Περιεχόμενα

• Πρόλογος
• Εισαγωγή
• 1 Εισαγωγή – Διαστατική Ανάλυση
  • Περίληψη
  • Προαπαιτούμενες γνώσεις
  • 1.1 Τι είναι η Μαθηματική Μοντελοποίηση;
    • 1.1.1 Ιστορικά Στοιχεία
    • 1.1.2 Διαδικασία Μαθηματικής Μοντελοποίησης
    • 1.1.3 Παράμετροι / Μεταβλητές των Μοντέλων
    • 1.1.4 Μαθηματικά Εργαλεία
  • 1.2 Διαστατική Ανάλυση
    • 1.2.1 Μία Χημική Αντίδραση
  • 1.3 Μελέτη
    • 1.3.1 Ασκήσεις
• 2 Αναλυτική Μηχανική
  • Περίληψη
  • Προαπαιτούμενες γνώσεις
  • 2.1 Νόμοι του Νεύτωνα για σημειακά σωμάτια
    • 2.1.1 Θέση, ταχύτητα και τροχιά σωματίου
    • 2.1.2 Πολικές συντεταγμένες
    • 2.1.3 Νόμοι του Νεύτωνα
    • 2.1.4 Ενέργεια
    • 2.1.5 Δυναμική ενέργεια και δυνάμεις
  • 2.2 Εξισώσεις Euler-Lagrange και Hamilton
    • 2.2.1 Γενικευμένες συντεταγμένες
    • 2.2.2 Αρχή του Hamilton
    • 2.2.3 Ολοκλήρωμα δράσης
    • 2.2.4 Λαγκρανζιανή
    • 2.2.5 Ενέργεια
    • 2.2.6 Γενικευμένη ορμή
    • 2.2.7 Γενικευμένες δυνάμεις
    • 2.2.8 Μη-διατηρητικά συστήματα
    • 2.2.9 Εξισώσεις Hamilton
  • 2.3 Παράρτημα: Λογισμός μεταβολών
    • 2.3.1 Μεταβολικά προβλήματα
    • 2.3.2 Συνθήκη για ακρότατα
    • 2.3.3 Εξισώσεις Euler-Lagrange
  • 2.4 Μελέτη
    • 2.4.1 Ασκήσεις
    • 2.4.2 Εργασίες
• 3 Δυναμικά συστήματα
  • Περίληψη
  • Προαπαιτούμενες γνώσεις
  • 3.1 Συστήματα διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης
    • 3.1.1 Χώρος φάσεων
    • 3.1.2 Συστήματα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με δύο μεταβλητές
    • 3.1.3 Πραγματικές ιδιοτιμές
    • 3.1.4 Μιγαδικές ιδιοτιμές
    • 3.1.5 Κατάταξη σημείων ισορροπίας
    • 3.1.6 Ευστάθεια σημείων ισορροπίας
  • 3.2 Διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης
    • 3.2.1 Το απλό εκκρεμές
    • 3.2.2 Εξισώσεις δεύτερης τάξης ως σύστημα εξισώσεων πρώτης τάξης
  • 3.3 Μη γραμμικά συστήματα
  • 3.4 Μελέτη
    • 3.4.1 Ασκήσεις
    • 3.4.2 Εργασίες
    • 3.4.3 Αλγόριθμοι / Κώδικες
• 4 Δυναμική Φορτίων - Δυναμική Δινών
  • Σύνοψη
  • Προαπαιτούμενη γνώση
  • 4.1 Δυναμική φορτίων σε ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο
    • 4.1.1 Φορτίο σε ηλεκτρικό πεδίο
    • 4.1.2 Φορτίο σε μαγνητικό πεδίο
    • 4.1.3 Φορτίο σε μαγνητικό πεδίο: Νόμοι διατήρησης
    • 4.1.4 Φορτίο σε ομογενές ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο
    • 4.1.5 Λαγκρανζιανή περιγραφή
    • 4.1.6 Χαμιλτονιανή περιγραφή
    • 4.1.7 Κίνηση ζεύγους φορτίων σε μαγνητικό πεδίο
    • 4.1.8 Δύναμη τριβής στην κίνηση φορτίου
  • 4.2 Δυναμική δινών σε ρευστά και στη συμπυκνωμένη ύλη
    • 4.2.1 Δίνες σε ρευστά και στη συμπυκνωμένη ύλη
    • 4.2.2 Δυναμική σημειακών δινών
    • 4.2.3 Ζεύγος αλληλεπιδρουσών δινών: Διατηρήσιμες ποσότητες
    • 4.2.4 Ζεύγος αλληλεπιδρουσών δινών: Τροχιές
    • 4.2.5 Σύστημα $N$ αλληλεπιδρουσών δινών
    • 4.2.6 Σύστημα τριών δινών
    • 4.2.7 Χαμιλτονιανή περιγραφή
    • 4.2.8 Λαγκρανζιανή περιγραφή
  • 4.3 Μελέτη
    • 4.3.1 Ασκήσεις
    • 4.3.2 Εργασίες
• 5 Μαθηματική Βιολογία – Πληθυσμιακά Μοντέλα Ενός Είδους
  • Περίληψη
  • Προαπαιτούμενες γνώσεις
  • 5.1 Εισαγωγή: Μαθηματική Μοντελοποίηση Βιολογικών Συστημάτων
    • 5.1.1 Ένα πρώτο παράδειγμα
    • 5.1.2 Σπουδαιότητα Μαθηματικής Βιολογίας
    • 5.1.3 Ιστορικά Στοιχεία
    • 5.1.4 Μαθηματικά Μοντέλα στη Βιολογία
  • 5.2 Συνεχή Πληθυσμιακά Μοντέλα Ενός Είδους
    • 5.2.1 Μαλθουσιανό – Εκθετικό Μοντέλο
    • 5.2.2 Λογιστικό Μοντέλο
    • 5.2.3 Παράδειγμα: Μοντέλο με Συγκομιδή (Αλιεία)
  • 5.3 Διακριτά Πληθυσμιακά Μοντέλα Ενός Είδους
    • 5.3.1 Διακριτό Μαλθουσιανό Μοντέλο
    • 5.3.2 Διακριτό Λογιστικό Μοντέλο
    • 5.3.3 Παράδειγμα: Διακριτό Μοντέλο Ανάπτυξης Καρκινικών Κυττάρων
  • 5.4 Μελέτη
    • 5.4.1 Ασκήσεις
    • 5.4.2 Εργασίες
• 6 Μαθηματική Βιολογία – Μοντέλα Αλληλεπιδρώντων Πληθυσμών
  • Περίληψη
  • Προαπαιτούμενες γνώσεις
  • 6.1 Συνεχή Μοντέλα Αλληλεπιδρώντων Πληθυσμών
    • 6.1.1 Μοντέλα Τύπου Θηράματος–Θηρευτή: Lotka–Volterra
    • 6.1.2 Μοντέλα Ανταγωνισμού
    • 6.1.3 Μοντέλα Συμβίωσης
  • 6.2 Διακριτά Μοντέλα Αλληλεπιδρώντων Πληθυσμών
    • 6.2.1 Διακριτά Μοντέλα Θηράματος–Θηρευτή
    • 6.2.2 Διακριτά Μοντέλα Ανταγωνισμού
    • 6.2.3 Διακριτά Μοντέλα Συμβίωσης
  • 6.3 Μοντέλα Επιδημιών
    • 6.3.1 Συνεχές Επιδημιολογικό Μοντέλο SIR
    • 6.3.2 Διακριτό Επιδημιολογικό Μοντέλο SIR
    • 6.3.3 Παραλλαγές των Επιδημιολογικών Μοντέλων SIR
  • 6.4 Μελέτη
    • 6.4.1 Ασκήσεις
    • 6.4.2 Εργασίες
    • 6.4.3 Αλγόριθμοι / Κώδικες
• 7 Στοχαστικά Συστήματα – Μέθοδοι Monte Carlo
  • Περίληψη
  • Προαπαιτούμενες γνώσεις
  • 7.1 Εισαγωγή: Στοχαστικά Συστήματα
    • 7.1.1 Ντετερμινιστικά – Στοχαστικά Συστήματα
    • 7.1.2 Πιθανότητες – Στοχαστικές Διεργασίες
  • 7.2 Αλγόριθμοι Monte Carlo
    • 7.2.1 Ένα πρώτο παράδειγμα
    • 7.2.2 Ιστορικά στοιχεία
  • 7.3 Γεννήτριες Τυχαίων Αριθμών
    • 7.3.1 Ομοιόμορφη Κατανομή
    • 7.3.2 Αντίστροφη Μέθοδος
    • 7.3.3 Κανονική Κατανομή
    • 7.3.4 Μέθοδοι Αποδοχής – Απόρριψης
  • 7.4 Αλγόριθμοι Monte Carlo Μαρκοβιανών Αλυσίδων
    • 7.4.1 Μαρκοβιανές Αλυσίδες
    • 7.4.2 Αλγόριθμος Metropolis
    • 7.4.3 Αλγόριθμος Metropolis – Hastings
  • 7.5 Παράδειγμα – Μοριακό Μοντέλο Σκληρών Σφαιρών
  • 7.6 Μελέτη
    • 7.6.1 Ασκήσεις
    • 7.6.2 Εργασίες
    • 7.6.3 Αλγόριθμοι / Κώδικες
• A Βασικά μαθηματικά εργαλεία
  • Σύνοψη
  • Προαπαιτούμενη γνώση
  • A.1 Διανύσματα
    • A.1.1 Εσωτερικό γινόμενο
    • A.1.2 Εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων
  • A.2 Γραμμική Άλγεβρα – Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Πινάκων
    • A.2.1 Το πρόβλημα των ιδιοτιμών
    • A.2.2 Ιδιοδιανύσματα
    • A.2.3 Ιδιότητες ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων
    • A.2.4 Διαγωνιοποίηση πινάκων
    • A.2.5 Λύσεις συστημάτων διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης με σταθερούς συντελεστές
  • A.3 Πιθανότητες
    • A.3.1 Βασικοί Ορισμοί – Ιδιότητες
    • A.3.2 Τυχαίες Μεταβλητές
    • A.3.3 Σύγκλιση Τυχαίων Μεταβλητών
• Βιβλιογραφία

Κατάλογος σχημάτων

• Μαθηματική Μοντελοποίηση
• 1.1 Διαδικασία μαθηματικής μοντελοποίησης
• 1.2 Χημικός αντιδραστήρας
• 2.1 Κυκλική κίνηση
• 2.2 Πολικές συντεταγμένες
• 2.3 Απλό εκκρεμές
• 2.4 Δυναμικό Lennard Jones
• 2.5 Δυναμικό με τοπικό ελάχιστο
• Άσκηση 2.7.
• Άσκηση 2.11.
• 3.1 Σαγματικό σημείο
• 3.2 Κόμβος
• 3.3 Είδη σημείων ισορροπίας
• 3.4 Διάγραμμα φάσεων για το απλό εκκρεμές.
• 3.5 Κέντρο
• 3.6 Διάγραμμα φάσεων με σάγμα και εστία
• 4.1 Δίνες σε υπερρευστά
• 4.2 Ζεύγος μαγνητικών δινών
• 4.3 Τροχιές ζεύγους δινών
• 5.1 Εκθετικό μοντέλο
• 5.2 Λογιστικό μοντέλο
• 5.3 Λογιστικό μοντέλο με συγκομιδή
• 5.4 Διακριτό Λογιστικό μοντέλο
• 5.5 Διακριτό Λογιστικό μοντέλο για μεγάλους ρυθούς ανάπτυξης
• 5.6 Διάγραμμα διακλάδωσης διακριτού Λογιστικού μοντέλου
• 5.7 Μοντέλο ανάπτυξης καρκινικών κυττάρων
• 6.1 Συνεχές μοντέλο Lotka–Volterra, εξέλιξη πληθυσμών
• 6.2 Συνεχές μοντέλο Lotka–Volterra, διάγραμμα φάσεων
• 6.3 Μοντέλο θηρευτή–θηράματος
• 6.4 Διακριτό μοντέλο Lotka–Volterra, εξέλιξη πληθυσμών, χώρος φάσεων
• 6.5 Διακριτό μοντέλο Lotka–Volterra, διάγραμμα φάσεων
• 7.1 Υπολογισμός του $\pi$.
• 7.2 Υπολογισμός του $\pi$ με τη μέθοδο του Buffon
• 7.3 Ομοιόμορφη κατανομή από τον αλγόριθμο «συμβατική γεννήτρια»
• 7.4 Συσχέτιση τυχαίων αριθμών για τον αλγόριθμο συμβατική γεννήτρια.
• 7.5 Ομοιόμορφη κατανομή από τον αλγόριθμο Mersenne Twister.
• 7.6 Κανονική κατανομή από τον αλγόριθμο Box-Muller
• 7.7 Δυναμικό αλληλεπίδρασης μοντέλου σκληρών σφαιρών.
• 7.8 Πείραμα της Βροχής