5.4 Μελέτη

Εκθετικό Μοντέλο – Επίλυση
Όπως είδαμε το Μαλθουσιανό (εκθετικό) μοντέλο ορίζεται από τη συνήθη διαφορική εξίσωση:

$$\frac{dN(t)}{dt}=(b-d)N(t)=rN(t)$$

• (α)

  Βρείτε τη λύση για αρχική τιμή του πληθυσμού $N(t=0)=N_0$.

• (β)

  Βρείτε τα (ή το) σημεία ισορροπίας και μελετήστε την ευστάθειά τους.

Εκθετικό Μοντέλο – Περιγραφή
Όπως είδαμε το Μαλθουσιανό (εκθετικό) μοντέλο προβλέπει εξέλιξη του πληθυσμού η οποία δίνεται ως

$$N(t)=N_0{e}^{rt}.$$

Μελετήστε την εξέλιξη του πληθυσμού, κάνοντας τη γραφική παράσταση $N(t)$ vs. $t$, για:

• (α)

  $r=1.0$, και διαφορετικές τιμές του $N(0)=N_0$ , π.χ. $N_0=0.01,0.1,1,10,100$.

• (β)

  $N_0=1.0$, και διαφορετικές τιμές του $r$ , π.χ. $r=0.1,1,2,5$.

Τι παρατηρείτε;

Συνεχές Λογιστικό Μοντέλο – Επίλυση

Η λογιστική εξίσωση, δηλαδή διαφορική εξίσωση που περιγράφει το συνεχές λογιστικό (logistic) μοντέλο είναι η εξής:

$$\frac{dN}{dt}=rN\left(1-\frac{N}{K}\right)$$

όπου $r,K$ θετικές σταθερές. Θεωρήστε αρχική συνθήκη $N(t=0)=N_0$. Δείξτε ότι η λύση του παραπάνω προβλήματος αρχικών τιμών είναι:

$$N(t)=\frac{N_{0}K{e}^{rt}}{K+N_0(e^{rt}-1)}.$$

[Υπόδειξη: Η λογιστική εξίσωση είναι μια υποπερίπτωση των εξισώσεων Bernoulli.]

Συνεχές Λογιστικό Μοντέλο – Μελέτη
Έστω πληθυσμός που περιγράφεται από το συνεχές λογιστικό μοντέλο ως:

$$N(t)=\frac{N_{0}K{e}^{rt}}{K+N_0(e^{rt}-1)}$$

όπου $r,K$, και $N_0$ είναι θετικές σταθερές Χρησιμοποιώντας ένα πρόγραμμα γραφικών παραστάσεων κάνετε τα παρακάτω:

• (α)

  Κάνετε τη γραφική παράσταση $N=N(t)$, για $K=1,r=1.0$, και διαφορετικές τιμές του $N(0)=N_0$ , π.χ. $N_0=0.01,0.1,1,10,100$.

• (β)

  Κάνετε τη γραφική παράσταση $N=N(t)$, για $K=1,N(0)=2$, και διαφορετικές τιμές του ρυθμού αύξησης $r$, π.χ. $r=0.1,1,2,5,10$.

Συζητήστε όλα τα παραπάνω αποτελέσματα.

Εξίσωση von Bertalanffy
Μελετήστε το γενικευμένο συνεχές λογιστικό μοντέλο, ή αλλιώς εξίσωση von Bertalanffy.

1. 1.

   Πρώτα επιβεβαιώστε τη λύση της εξίσωσης.

2. 2.

   Κατόπιν κάνετε γραφικές παραστάσεις της λύσης για διαφορετικές τιμές των παραμέτρων.

Σε κάθε περίπτωση συγκρίνετε με τις προβλέψεις του Λογιστικού μοντέλου.

Λογιστικό μοντέλο με συγκομιδή
Έστω μονάδα ιχθυοκαλλιέργειας, στην οποία εκτρέφεται και αλιεύετε ένα συγκεκριμένο είδος ψαριού. Θεωρήστε ότι ο πληθυσμός του είδους περιγράφεται από το συνεχές λογιστικό μοντέλο με συγκομιδή της μορφής:

$$\frac{dN(t)}{dt}=rN(t)\left(1-\frac{N(t)}{K}\right)-EN(t)=F(N)$$

• (α)

  Βρείτε τα σημεία ισορροπίας του πληθυσμού και μελετήστε την ευστάθειά τους.

• (β)

  Βρείτε τη μέγιστη απόδοση της μονάδας.

Διακριτό Λογιστικό Μοντέλο
Θεωρήστε το διακριτό λογιστικό μοντέλο:

$$\mathrm{\Delta }P=rP[1-P/1000].$$

Βρείτε και γράψτε σε μια αναφορά τα ακόλουθα:

• (α)

  Αλλάξτε τις μονάδες πληθυσμού ώστε η χωρητικότητα $K$ να είναι $K=1$ και η μόνη παράμετρος του μοντέλου να είναι ο ρυθμός αύξησης $r$. Κατόπιν εξετάστε την μακροπρόθεσμη (long-term) χρονική συμπεριφορά για διαφορετικές τιμές του $r$ ξεκινώντας από 0.5.

• (β)

  Για ποια τιμή του $r$ παρατηρούμε την αλλαγή της συμπεριφοράς σε ταλαντώσεις 2 κύκλων; 4 κύκλων; 8-κύκλων;

• (γ)

  Πως επηρεάζει τη λύση η αύξηση της τιμής του $r$; Συγκρίνετε με την περίπτωση του συνεχούς λογιστικού μοντέλου.