2 Αναλυτική Μηχανική 2.1 Νόμοι του Νεύτωνα για σημειακά σωμάτια 2.3 Παράρτημα: Λογισμός μεταβολών

2.2 Εξισώσεις Euler-Lagrange και Hamilton

2.2.1 Γενικευμένες συντεταγμένες

Η θέση κάθε σωματίου στον χώρο μπορεί να περιγραφεί από τρεις καρτεσιανές συντεταγμένες. Αν θεωρήσουμε ένα σύστημα $N$ σωματίων, τότε αυτό περιγράφεται (δηλαδή, οι θέσεις των σωματίων καθορίζονται πλήρως) από $3N$ συντεταγμένες. Σε πολλές όμως περιπτώσεις αυτές δεν είναι οι πιο κατάλληλες μεταβλητές για την περιγραφή του συστήματος, ενώ υπάρχουν κάποιες άλλες μεταβλητές οι οποίες περιγράφουν με απλούστερο τρόπο το συγκεκριμένο σύστημα. Για παράδειγμα, θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε πολικές συντεταγμένες ή σφαιρικές συντεταγμένες. Μία κατηγορία συστημάτων όπου συχνά χρειαζόμαστε κατάλληλα επιλεγμένες μεταβλητές για να τα περιγράψουμε είναι για κινήσεις οι οποίες υπόκεινται σε δεσμούς. Είναι τότε μάλιστα δυνατόν να χρειάζονται λιγότερες από $3N$ μεταβλητές για να περιγράψουν το σύστημα. Ένα τέτοιο παράδειγμα είναι ένα σωμάτιο το οποίο είναι περιορισμένο να κινείται πάνω σε μία σφαίρα. Στην περίπτωση αυτή δεν είναι αναγκαίες τρεις μεταβλητές (π.χ., οι τρεις καρτεσιανές συντεταγμένες) για να περιγράψουν την κίνηση, αλλά, π.χ., μόνο οι δύο γωνίες σφαιρικών συντεταγμένων αρκούν. Επίσης, η θέση ενός σωματίου το οποίο είναι περιορισμένο να κινείται επάνω σε κύκλο δεδομένης ακτίνας $\ell$ (π.χ., το απλό εκκρεμές) περιγράφεται από μία μόνο μεταβλητή, η οποία είναι μία γωνία $\theta$ .

Για να περιγράψουμε γενικότερα συστήματα με μεταβλητές οι οποίες είναι ενδεχομένως κατάλληλες για το συγκεκριμένο κάθε φορά σύστημα εισάγουμε την έννοια των γενικευμένων συντεταγμένων [10]. Για ένα σύστημα $N$ σωματίων ορίζουμε τις $n$ μεταβλητές $q_{i}$ έτσι ώστε να περιγράφουν πλήρως το σύστημα. Εφόσον οι γενικευμένες συντεταγμένες καθορίζουν πλήρως τις θέσεις του συστήματος σωμάτων θα πρέπει να είναι βέβαια δυνατόν να καθορίσουμε τις καρτεσιανές συντεταγμένες του συστήματος. Με άλλα λόγια οι καρτεσιανές συντεταγμένες θα δίνονται από σχέσεις της μορφής

x_{i}=x_{i}(q_{1},q_{2},\ldots,q_{n},t),\qquad i=1,\ldots,3N.

(2.39)

Έχουμε δηλαδή σχέσεις μετασχηματισμού των γενικευμένων σε καρτεσιανές συντεταγμένες. Σαν παράδειγμα μετασχηματισμού της μορφής (2.39) σκεφθείτε ότι οι $q_{i}$ μπορεί να είναι οι πολικές συντεταγμένες $r,\theta$ , οπότε έχουμε $x_{1}=r\cos\theta,\,x_{2}=r\sin\theta$ . Σύμφωνα με τη συζήτηση στην προηγούμενη παράγραφο περιμένουμε ότι γενικά θα ισχύει $n\leq 3N$ .

2.2.2 Αρχή του Hamilton

Ας υποθέσουμε ένα σύστημα που περιγράφεται από τις γενικευμένες συντεταγμένες $q_{1},\ldots,q_{n}$ . Σε κάθε χρονική στιγμή η κατάσταση του συστήματος δίνεται από τις τιμές των συντεταγμένων. Άρα η εξέλιξή του στον χρόνο μπορεί να περιγραφεί σαν κίνηση στον $n$ -διάστατο χώρο των συντεταγμένων. Είμαστε τώρα σε θέση να δώσουμε μία πιο γενική αιτιολόγιση για τις εξισώσεις κίνησης ενός συστήματος σωμάτων, δηλαδή να εξάγουμε τις εξισώσεις Euler-Lagrange από μία γενική αρχή.

Γνωρίζουμε ήδη ότι η κίνηση ενός συστήματος σωμάτων περιγράφεται από τις εξισώσεις του Νεύτωνα. Θα δούμε όμως στη συνέχεια ότι είμαστε σε θέση να δώσουμε μία διαφορετική διατύπωση των νόμων κίνησης του συστήματος. Στη διατύπωση μάλιστα αυτή μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε οποιεσδήποτε γενικευμένες συντεταγμένες είναι πιο βολικές για το εκάστοτε σύστημα που θα μελετήσουμε. Η νέα διατύπωση θα γίνει με τη βοήθεια μίας πραγματικής συνάρτησης $L$ η οποία ονομάζεται Λαγκρανζιανή και παίζει το ρόλο ενός γενικευμένου δυναμικού. Οι νόμοι της κίνησης θα προκύψουν από την αρχή του Hamilton. Αυτή η τελευταία βασίζεται στο ολοκλήρωμα της $L$ στον χρόνο, από μία αρχική στιγμή $t_{1}$ σε μία τελική στιγμή $t_{2}$ :

I=\int_{t_{1}}^{t_{2}}L(q_{1},\ldots,q_{n},\dot{q}_{1},\ldots,\dot{q}_{n},t)\,dt.

(2.40)

Το $I$ είναι ένα συναρτησιακό και η μελέτη του γίνεται από τον λογισμό μεταβολών. Οι βασικές έννοιες και αποτελέσματα του λογισμού μεταβολών δίνονται στο υποκεφάλαιο 2.3 και αυτά θα χρησιμοποιήσουμε αρκετά στις επόμενες παραγράφους.

Παρατήρηση 2.5.

Η αρχή του Hamilton ορίζει ότι από όλες τις πιθανές κινήσεις στον χώρο το σώμα επιλέγει να κινηθεί σε αυτήν για την οποία το $I$ έχει ελάχιστη τιμή. Αυτό μας παραπέμπει κατευθείαν στον λογισμό μεταβολών. Άρα μπορούμε αμέσως να δούμε ότι η αρχή του Hamilton διατυπώνεται και ως (δείτε την Εξ. (2.89))

\delta I=\delta\int_{t_{1}}^{t_{2}}L(q_{1},\ldots,q_{n},\dot{q}_{1},\ldots,% \dot{q}_{n},t)\,dt=0,

(2.41)

όπου το σύμβολο $\delta I$ δηλώνει τη μεταβολή του $I$ .

2.2.3 Ολοκλήρωμα δράσης

Το ολοκλήρωμα (2.40), του οποίου η ολοκληρωταία ποσότητα είναι η Λαγκρανζιανή και η ολοκλήρωση είναι στον χρόνο, λέγεται ολοκλήρωμα δράσης (τέτοια ολοκληρώματα μελετώνται στο υποκεφάλαιο 2.3). Το $I$ είναι ένα συναρτησιακό όπου τον ρόλο του $x$ παίζει ο χρόνος $t$ . Πρέπει όμως να προσέξουμε ότι το $I$ εξαρτάται από $n$ συναρτήσεις $q_{i}$ και όχι από μία μόνο συνάρτηση $y$ όπως το $J(y)$ στην Εξ. (2.79).

Ζητάμε ελάχιστα του ολοκληρώματος δράσης (2.40). Θα θέλαμε δηλαδή τις συνθήκες για τις οποίες η μεταβολή $\delta I$ είναι μηδέν, όπως στην Εξ. (2.41) και συνεπώς ζητάμε μία γενίκευση του αποτελέσματος (2.97) το οποίο δίνει τις εξισώσεις Euler-Lagrange για συναρτησιακό το οποίο εξαρτάται από μία μόνο συνάρτηση.

Η γενίκευση θα δίνει εξισώσεις Euler-Lagrange για συναρτησιακό το οποίο εξαρτάται από $n$ συναρτήσεις $I=I(q_{1},\ldots,q_{n},\dot{q}_{1},\ldots,\dot{q}_{n},t)$ . Από τη συνθήκη $\delta I=0$ προκύπτουν οι εξής $n$ εξισώσεις Euler-Lagrange

\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_{k}}\right)-\frac{\partial L% }{\partial q_{k}}=0,\qquad k=1,\ldots,n.

(2.42)

Κάθε μία από αυτές έχει τη μορφή της Εξ. (2.97), τώρα όμως έχουμε ένα σύστημα $n$ τέτοιων εξισώσεων.

2.2.4 Λαγκρανζιανή

Για να μπορέσουμε να μελετήσουμε οποιοδήποτε σύστημα με βάση την αρχή του Hamilton και τις εξισώσεις Euler-Lagrange θα πρέπει πρώτα να έχουμε τη Λαγκρανζιανή του συστήματος $L$ . Θα δούμε σε αυτή την παράγραφο πώς αυτή προκύπτει για μία κατηγορία συστημάτων για τα οποία μπορούμε να ορίσουμε κινητική και δυναμική ενέργεια [8, 18, 10].

Η κινητική ενέργεια ενός συστήματος σωματίων γνωρίζουμε ότι είναι ανάλογη του τετραγώνου της ταχύτητάς τους όταν εργαζόμαστε σε καρτεσιανές συντεταγμένες. Σε γενικευμένες συντεταγμένες η κινητική ενέργεια θα έχει μία τετραγωνική μορφή ως προς $\dot{q}_{i}$ :

T=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}(q_{1},\ldots,q_{n})\,\dot{q}_{i}\dot{q}_{% j},

(2.43)

όπου οι $a_{ij}(q_{1},\ldots,q_{n})$ είναι συναρτήσεις των γενικευμένων συντεταγμένων $q_{i}$ . Ονομάζουμε τις $\dot{q}_{i}$ γενικευμένες ταχύτητες.

Παράδειγμα 2.11.

Η ταχύτητα σωματίου σε κυλινδρικές συντεταγμένες είναι $\bm{\upsilon}=\dot{r}\bm{\hat{e}}_{r}+r\dot{\theta}\bm{\hat{e}}_{\theta}+\dot{% z}\bm{\hat{e}}_{z}$ . Ώστε η κινητική του ενέργεια, αν η μάζα του είναι $m$ , είναι

T=\frac{1}{2}m\bm{\upsilon}^{2}=\frac{1}{2}m\left(\dot{r}^{2}+r^{2}\dot{\theta% }^{2}+\dot{z}^{2}\right)

η οποία είναι της μορφής (2.43).

Η δυναμική ενέργεια θεωρούμε (στην απλή περίπτωση) ότι είναι συνάρτηση των $q_{i}$ και ίσως και του χρόνου $t$ (αλλά όχι των γενικευμένων ταχυτήτων $\dot{q}_{i}$ ), δηλαδή είναι της μορφής:

V=V(q_{1},\ldots,q_{n},t).

(2.44)

Για συστήματα για τα οποία υπάρχει η δυναμική ενέργεια ορίζουμε τη Λαγκρανζιανή ως

L=L(tq_{1},\ldots,q_{n},\dot{q}_{1},\ldots,\dot{q}_{n},t):=T-V.

(2.45)

Ας περάσουμε αμέσως σε παραδείγματα για τις σχέσεις που είδαμε σε αυτή την παράγραφο.

Παράδειγμα 2.12.

Έστω ο αρμονικός ταλαντωτής σε μία διάσταση με κινητική και δυναμική ενέργεια

T=\frac{1}{2}\,m\dot{x}^{2},\qquad V=\frac{1}{2}\,kx^{2}.

Βρείτε τις εξισώσεις κίνησης.

Επίλυση.

Η Λαγκρανζιανή είναι

L=T-V=\frac{1}{2}\,m\dot{x}^{2}-\frac{1}{2}\,kx^{2}.

Εδώ έχουμε μία συντεταγμένη, την $x$ . Υπολογίζουμε

\frac{dL}{d\dot{x}}=m\dot{x},\qquad\frac{dL}{dx}=-kx

και άρα η εξίσωση Euler-Lagrange γράφεται

\frac{d}{dt}\left(\frac{dL}{d\dot{x}}\right)=\frac{dL}{dx}\Rightarrow\frac{d}{% dt}(m\dot{x})=-kx\Rightarrow m\ddot{x}+kx=0.

Παράδειγμα 2.13.

Έστω το απλό εκκρεμές με κινητική και δυναμική ενέργεια

T=\frac{1}{2}\,m(\ell\dot{\theta})^{2}=\frac{1}{2}\,m\ell^{2}\,\dot{\theta}^{2% },\qquad V=-mg\ell\,\cos\theta.

Βρείτε τις εξισώσεις κίνησης.

Επίλυση.

Η Λαγκρανζιανή είναι

L=T-V=\frac{1}{2}\,m\ell^{2}\,\dot{\theta}^{2}+mg\ell\,\cos\theta.

Έχουμε μία γενικευμένη συντεταγμένη, τη γωνία $\theta$ . Υπολογίζουμε

\frac{dL}{d\dot{\theta}}=m\ell^{2}\dot{\theta},\qquad\frac{dL}{d\theta}=-mg% \ell\,\sin\theta

και άρα η εξίσωση Euler-Lagrange γράφεται

\frac{d}{dt}\left(\frac{dL}{d\dot{\theta}}\right)=\frac{dL}{d\theta}% \Rightarrow\frac{d}{dt}(m\ell^{2}\dot{\theta})=-mg\ell\,\sin\theta\Rightarrow% \ddot{\theta}+\frac{g}{\ell}\,\sin\theta=0.

Παράδειγμα 2.14.

Έστω ένα σωμάτιο το οποίο κινείται στο επίπεδο (σε δύο διαστάσεις) και βρίσκεται σε κεντρικό δυναμικό, δηλαδή, όταν χρησιμοποιήσουμε πολικές συντεταγμένες $(r,\theta)$ , το δυναμικό γράφεται $V=V(r)$ . Βρείτε τις εξισώσεις κίνησης.

Επίλυση.

Η κινητική του ενέργεια σε πολικές συντεταγμένες είναι

T=\frac{1}{2}\,m\upsilon^{2}=\frac{1}{2}\,m(\dot{r}^{2}+r^{2}\dot{\theta}^{2})

(2.46)

και άρα η Λαγκρανζιανή είναι

L=\frac{1}{2}\,m(\dot{r}^{2}+r^{2}\dot{\theta}^{2})-V(r).

(2.47)

Έχουμε δύο γενικευμένες συντεταγμένες $r,\theta$ και άρα δύο εξισώσεις Euler-Lagrange. Υπολογίζουμε

		$\displaystyle\frac{\partial L}{\partial\dot{r}}=m\dot{r},\qquad\qquad\qquad% \frac{\partial L}{\partial\dot{\theta}}=mr^{2}\dot{\theta}$
		$\displaystyle\frac{\partial L}{\partial r}=mr\dot{\theta}^{2}-\frac{dV}{dr},% \qquad\frac{dL}{d\theta}=0$

και άρα οι εξισώσεις Euler-Lagrange είναι οι

	$\displaystyle\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{r}}\right)$	$\displaystyle=\frac{\partial L}{\partial r}\Rightarrow m\ddot{r}=mr\dot{\theta% }^{2}-\frac{dV}{dr}$
	$\displaystyle\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{\theta}}\right)$	$\displaystyle=\frac{\partial L}{\partial\theta}\Rightarrow\frac{d}{dt}(mr^{2}% \dot{\theta})=0.$

Παρατηρούμε ότι η τελευταία εξίσωση δίνει το αποτέλεσμα ότι η ποσότητα $mr^{2}\dot{\theta}$ παραμένει σταθερή κατά τη διάρκεια της κίνησης: $r^{2}\dot{\theta}=c$ .

2.2.5 Ενέργεια

Οι εξισώσεις Euler-Lagrange είναι σε μορφή η οποία υποδεικνύει την ύπαρξη ποσοτήτων οι οποίες διατηρούνται κατά τη διάρκεια της κίνησης. Για να βρούμε τέτοιες ποσότητες θα πρέπει να αποδείξουμε ότι η ολική παράγωγος τους στον χρόνο μηδενίζεται.

Ο βασικότερος νόμος διατήρησης παράγεται ως εξής. Γράφουμε το ολικό διαφορικό της Λαγκρανζιανής

\frac{dL}{dt}=\sum_{k}\left[\frac{\partial L}{\partial q_{k}}\dot{q}_{k}+\frac% {\partial L}{\partial\dot{q}_{k}}\frac{d\dot{q}_{k}}{dt}\right]+\frac{\partial L% }{\partial t},

(2.48)

και χρησιμοποιούμε τις εξισώσεις Euler-Lagrange (2.42)

		$\displaystyle\frac{dL}{dt}=\sum_{k}\left[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{% \partial\dot{q}_{k}}\right)\dot{q}_{k}+\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_{k}}% \frac{d\dot{q}_{k}}{dt}\right]+\frac{\partial L}{\partial t}=\sum_{k}\left[% \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_{k}}\dot{q}_{k}\right)% \right]+\frac{\partial L}{\partial t}\Rightarrow$
		$\displaystyle\frac{d}{dt}\left(\sum_{k}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_{k}}% \dot{q}_{k}-L\right)+\frac{\partial L}{\partial t}=0.$

Πρoκύπτει άμεσα ότι, στην περίπτωση $\partial L/\partial t=0$ , η ποσότητα

H(q_{k},\dot{q}_{k}):=\sum_{k}\dot{q}_{k}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_{k}% }-L(q_{k},\dot{q}_{k})

(2.49)

είναι διατηρήσιμη. Αυτή λέγεται ενέργεια του συστήματος.

Παράδειγμα 2.15.

Έστω ένα μονοδιάστατο σύστημα με Λαγκρανζιανή $L=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}-V(x)$ . Η ενέργειά του είναι

H=\dot{x}\frac{dL}{d\dot{x}}-L=(m\dot{x})\dot{x}-\left[\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}% -V(x)\right]=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}+V(x).

Η ενέργεια $H$ διατηρείται αφού $\partial L/\partial t=0$ .

Παράδειγμα 2.16.

Έστω ένα σύστημα το οποίο περιγράφεται σε πολικές συντεταγμένες και έχει Λαγκρανζιανή

L=\frac{1}{2}\,m(\dot{r}^{2}+r^{2}\dot{\theta}^{2})-V(r,\theta).

(2.50)

Για να υπολογίσουμε την ενέργεια έχουμε

\frac{\partial L}{\partial\dot{r}}=m\dot{r},\qquad\frac{\partial L}{\partial% \dot{\theta}}=mr^{2}\dot{\theta},

και άρα

	$\displaystyle Η$	$\displaystyle=\dot{r}\frac{\partial L}{\partial\dot{r}}+\dot{\theta}\frac{% \partial L}{\partial\dot{\theta}}-\left[\frac{1}{2}\,m(\dot{r}^{2}+r^{2}\,\dot% {\theta}^{2})-V(r,\theta)\right]$
		$\displaystyle=m\,\dot{r}^{2}+mr^{2}\,\dot{\theta}^{2}-\frac{1}{2}\,m\,\dot{r}^% {2}-\frac{1}{2}\,mr^{2}\,\dot{\theta}^{2}+V(r,\theta)$
		$\displaystyle=\frac{1}{2}\,m\,\left(\dot{r}^{2}+r^{2}\,\dot{\theta}^{2}\right)% +V(r,\theta).$

Ας δούμε τώρα κάποιες γενικές ιδιότητες για τις Λαγκρανζιανές συστημάτων για τα οποία μπορούμε να ορίσουμε κινητική και δυναμική ενέργεια. Ας υποθέσουμε τις γενικευμένες συντεταγμένες οι οποίες ορίζονται από τις

x_{i}=x_{i}(q_{k}).

(2.51)

Έχουμε για τις ταχύτητες:

\dot{x}_{i}=\sum_{k}\frac{\partial x_{i}}{\partial q_{k}}\dot{q}_{k}.

(2.52)

Οπότε η κινητική ενέργεια γράφεται

T=\frac{1}{2}\,\sum_{i}m_{i}\dot{x}_{i}^{2}=\frac{1}{2}\,\sum_{i}m_{i}\sum_{j}% \sum_{k}\left(\frac{\partial x_{i}}{\partial q_{j}}\frac{\partial x_{i}}{% \partial q_{k}}\right)\dot{q}_{j}\dot{q}_{k}=\frac{1}{2}\,\sum_{j,k}a_{jk}\,% \dot{q}_{j}\dot{q}_{k}

(2.53)

όπου τα $a_{jk}$ ορίζονται από την παραπάνω σχέση, δηλαδή,

a_{jk}=\sum_{i}m_{i}\,\frac{\partial x_{i}}{\partial q_{j}}\frac{\partial x_{i% }}{\partial q_{k}}

(2.54)

και ισχύει $a_{jk}=a_{kj}$ .

Είδαμε λοιπόν στην Εξ. (2.53) ότι η κινητική ενέργεια είναι μία ομογενής συνάρτηση δευτέρου βαθμού. Από το θεώρημα του Euler για ομογενείς συναρτήσεις παίρνουμε

\sum_{k}\dot{q}_{k}\frac{\partial T}{\partial\dot{q}_{k}}=2T.

(2.55)

Θεωρούμε επίσης ότι η δυναμική ενέργεια είναι $V=V(q_{k})$ , οπότε

\sum_{k}\dot{q}_{k}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_{k}}=\sum_{k}\dot{q}_{k}% \frac{\partial T}{\partial\dot{q}_{k}}=2T.

(2.56)

Βρίσκουμε τελικά

H=\sum_{k}\dot{q}_{k}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_{k}}-L=2T-(T-V)=T+V.

(2.57)

2.2.6 Γενικευμένη ορμή

Η μορφή των εξισώσεων Euler-Lagrange υποδεικνύει τις εξής σημαντικές ποσότητες

p_{k}:=\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_{k}}

(2.58)

οι οποίες ονομάζονται γενικευμένες ορμές. Για κάθε γενικευμένη συντεταγμένη $q_{k}$ υπάρχει η αντίστοιχη γενικευμένη ορμή $q_{k}$ . Άλλος όρος που χρησιμοποιείται για τις ποσότητες $p_{k}$ είναι κανονική ορμή. Με αυτό τον ορισμό μπορούμε να γράψουμε τις εξισώσεις Euler-Lagrange στη μορφή

\frac{dp_{k}}{dt}=\frac{\partial L}{\partial q_{k}}

(2.59)

οπότε βλέπουμε ότι η μεταβολή στον χρόνο μιας γενικευμένης ορμής ισούται με ποσότητα η οποία είναι, στις συνήθεις περιπτώσεις, ίση με μία γενικευμένη δύναμη - έτσι δικαιολογείται και το όνομά τους.

Παράδειγμα 2.17.

Έστω ένα μονοδιάστατο πρόβλημα με $T=\frac{1}{2}\,m\dot{x}^{2}$ και $L=T-V(x)$ . Έχουμε τη γενικευμένη ορμή

p_{k}=\frac{\partial L}{\partial\dot{x}}=\frac{\partial T}{\partial\dot{x}}=m% \,\dot{x},

η οποία συμπίπτει με τη συνήθη ορμή.

Παράδειγμα 2.18.

Έστω ένα σωμάτιο που βρίσκεται σε κεντρικό δυναμικό (σε δύο διαστάσεις) και περιγράφεται από πολικές συντεταγμένες. Έχουμε

T=\frac{1}{2}\,m\,(\dot{r}^{2}+r^{2}\dot{\theta}^{2}),\qquad L=T-V(r),

ώστε οι δύο γενικευμένες ορμές είναι

p_{r}=\frac{\partial L}{\partial\dot{r}}=m\dot{r},\qquad p_{\theta}=\frac{% \partial L}{\partial\dot{\theta}}=mr^{2}\,\dot{\theta}.

Η $p_{r}$ μοιάζει με συνήθη ορμή, ενώ η $p_{\theta}$ έχει μία ασυνήθιστη μορφή και ονομάζεται στροφορμή καθώς είναι ανάλογη (μέσω του $\dot{\theta}$ ) με τον ρυθμό περιστροφής του σωματίου.

Η σημαντικότερη ιδιότητα των γενικευμένων ορμών προκύπτει από τις εξισώσεις (2.59). Έχουμε μία ιδιαίτερα απλή σχέση στην περίπτωση κατά την οποία κάποια συντεταγμένη $q_{k}$ δεν εμφανίζεται στη Λαγκρανζιανή $L$ :

\frac{\partial L}{\partial q_{k}}=0\Rightarrow\frac{d}{dt}(p_{k})=0\Rightarrow p% _{k}=\hbox{σταθ.}

(2.60)

Παρατήρηση 2.6.

Στην περίπτωση που κάποια συντεταγμένη $q_{k}$ (για συγκεκριμένο $k$ ) δεν περιέχεται στην Λαγκρανζιανή, τότε η αντίστοιχη γενικευμένη ορμή $p_{k}$ είναι διατηρήσιμη ποσότητα.

Παράδειγμα 2.19.

Για το κεντρικό δυναμικό που είδαμε στο προηγούμενο παράδειγμα, η Λαγκρανζιανή

L=\frac{1}{2}\,m\,(\dot{r}^{2}+r^{2}\dot{\theta}^{2})-V(r)

δεν περιέχει τη συντεταγμένη $\theta$ , δηλ., $\partial L/\partial\theta=0$ . Άρα η αντίστοιχη γενικευμένη ορμή $p_{\theta}=mr^{2}\,\dot{\theta}$ (η στροφορμή) είναι διατηρήσιμη ποσότητα. Αυτό σημαίνει ότι η γωνιακή ταχύτητα ενός σωματίου είναι αντιστόφως ανάλογη της ακτινικής του συντεταγμένης

\dot{\theta}=\frac{p_{\theta}}{mr^{2}}

όπου $p_{\theta}$ είναι μία σταθερά.

Τέτοιες σχέσεις είναι πολύ χρήσιμες. Στο παράδειγμά μας, μπορούμε να επιστρέψουμε στην εξίσωση κίνησης για το $r$ (που έχουμε δει σε προηγούμενο παράδειγμα)

m\ddot{r}=mr\dot{\theta}^{2}-\frac{dV}{dr}

και να αντικαταστήσουμε το $\dot{\theta}$ από τον νόμο διατήρησης:

m\ddot{r}-\frac{p_{\theta}^{2}}{mr^{3}}+\frac{dV}{dr}=0,

οπότε έχουμε καταλήξει σε μία εξίσωση που περιέχει μόνο το $r$ .

2.2.7 Γενικευμένες δυνάμεις

Ας θυμηθούμε το απλό παράδειγμα ενός σώματος μάζας $m$ το οποίο κινείται σε μία διάσταση και βρίσκεται σε ένα παραβολικό δυναμικό $V=V(x)$ . Η Λαγκρανζιανή του είναι

L=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}-V(x).

Η εξίσωση Euler-Lagrange είναι

\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{x}}\right)=\frac{\partial L}{% \partial x}\Rightarrow m\ddot{x}=-\frac{\partial V}{\partial x}.

(2.61)

Το αριστερό μέλος είναι η μάζα επί την επιτάχυνση ενώ το δεξιό είναι η δύναμη που ασκείται λόγω του δυναμικού. Αν, για παράδειγμα, το δυναμικό είναι παραβολικό $V(x)=\frac{1}{2}kx^{2}$ , τότε η δύναμη είναι $F=-dV/dx=-kx$ , δηλαδή μία δύναμη επαναφοράς όπως στα ελατήρια. Η εξίσωση κίνησης είναι

m\ddot{x}=-kx

και περιγράφει ταλαντώσεις του σώματος.

Ας επαναλάβουμε τα παραπάνω για την περίπτωση μίας γενικευμένης συντεταγμένης $q$ , οπότε θα έχουμε εξισώσεις Euler-Lagrange της μορφής

\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\right)=\frac{\partial L}{% \partial q}.

Οι δυνάμεις που ασκούνται προέρχονται από δυναμικό $V=V(q)$ και περιλαμβάνονται στο δεξιό μέλος της εξίσωσης. Θα ονομάσουμε τον όρο $Q_{q}=-dV/dq$ γενικευμένη δύναμη που αντιστοιχεί στη γενικευμένη συντεταγμένη $q$ .

Παράδειγμα 2.20.

Το δυναμικό του απλού εκκρεμούς είναι $V(\theta)=-mg\cos\theta$ , ώστε η γενικευμένη δύναμη είναι

Q_{\theta}=-\frac{dV}{d\theta}=mg\sin\theta.

Πρέπει να προσέξουμε ότι, ενώ μία παράγωγος δυναμικού $V$ ως προς χωρική μεταβλητή $x$ δίνει μία συνήθη δύναμη (όπως στο παράδειγμα με το ελατήριο), η παράγωγος της $V$ ως προς $\theta$ δεν δίνει μία δύναμη όπως αυτή συνήθως εννοείται στη Φυσική. Γενικότερα, υποθέτουμε ένα δυναμικό που εξαρτάται από $n$ γενικευμένες συντεταγμένες $q_{k}$ και είναι $V=V(q_{1},\ldots,q_{n})$ και ονομάζουμε όλες τις ποσότητες $Q_{k}=-\partial V/\partial q_{k}$ γενικευμένες δυνάμεις.

Θα μας φανεί πολύ χρήσιμο να δούμε πώς συνδέονται οι γενικευμένες δυνάμεις με τις συνήθεις δυνάμεις. Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι οι $q_{k}$ μπορούν να δωθούν ως συναρτήσεις $m$ συνήθων συντεταγμένων $x_{i}$ , δηλαδή $q_{k}=q_{k}(x_{1},\ldots,x_{m}),\;k=1,\dots,n$ . Με τον κανόνα της αλυσίδας γράφουμε

Q_{k}:=-\frac{\partial V}{\partial q_{k}}=-\sum_{i}\frac{\partial V}{\partial x% _{i}}\frac{\partial x_{i}}{\partial q_{k}},\qquad k=1,\ldots,n.

(2.62)

Στην εξίσωση αυτή οι συνήθεις δυνάμεις είναι οι $F_{i}:=-\partial V/\partial x_{i}$ και οι γενικευμένες δυνάμεις $Q_{k}$ δίνονται από ένα συνδυασμό των συνήθων δυνάμεων. Μπορούμε λοιπόν να γράψουμε

Q_{k}=\sum_{i}F_{i}\frac{\partial x_{i}}{\partial q_{k}},\qquad k=1,\ldots,n.

(2.63)

2.2.8 Μη-διατηρητικά συστήματα

Παράδειγμα 2.21.

Αρμονικός ταλαντωτής με απόσβεση) Θεωρούμε έναν αρμονικό ταλαντωτή ο οποίος συναντά κάποια αντίσταση κατά την κίνησή του (π.χ., τριβή, αντίσταση του αέρα, κλπ). Μία τέτοια διαδικασία παριστάνεται από έναν επιπλέον όρο στο δεξιό μέλος της εξίσωσης του Νεύτωνα (2.21), μία δύναμη της μορφής $f_{\tau}=-\lambda\dot{x}$ όπου $\lambda$ είναι μία σταθερά. Αυτός ο όρος παριστάνει δύναμη ανάλογη της ταχύτητας η οποία μειώνει την επιτάχυνση, όταν $\lambda>0$ . Αυτή η δύναμη τριβής θα πρέπει να προστεθεί στη δύναμη επαναφοράς στην εξίσωση κίνησης, ώστε έχουμε

m\ddot{x}=-kx+f_{\tau}\Rightarrow m\ddot{x}=-kx-\lambda\dot{x}.

(2.64)

Η λύση είναι της μορφής $x(t)=Ce^{\mu t}$ , την οποία αντικαθιστούμε στην

m\ddot{x}+\lambda\dot{x}+kx=0

για να βρούμε τη συνθήκη

m\mu^{2}+\lambda\mu+k=0\Rightarrow\mu=\frac{-\lambda\pm\sqrt{\lambda^{2}-4mk}}% {2m}.

Βλέπουμε ότι το $\mu$ έχει αρνητικό πραγματικό μέρος. Στην περίπτωση σχετικά μικρής απόσβεσης, όπου $\lambda^{2}<4mk$ , γράφουμε

\mu=-\alpha\pm i\omega,\qquad\alpha:=\frac{\lambda}{2m},\quad\omega:=\frac{% \sqrt{4mk-\lambda^{2}}}{2m},

η λύση γράφεται

x(t)=Ce^{-\alpha t}\,e^{\pm i\omega t}

και παριστάνει ταλάντωση με μειούμενο πλάτος.

Αν πάρουμε την ενέργεια του ταλαντωτή η οποία είναι η

\mathcal{E}=\frac{1}{2}\,m\dot{x}^{2}+\frac{1}{2}\,kx^{2},

παρατηρούμε ότι θα μειώνεται καθώς το πλάτος της ταλάντωσης θα μειώνεται. Μπορούμε να υπολογίσουμε τον ρυθμό μεταβολής της ενέργειας ως εξής

\frac{d\mathcal{E}}{dt}=m\dot{x}\ddot{x}+kx\dot{x}=(m\ddot{x}+kx)\dot{x}=-c% \dot{x}^{2}<0,

(2.65)

έτσι δείχνουμε ότι, πραγματικά, η ενέργεια $\mathcal{E}$ μειώνεται με τον χρόνο. Παρατηρήστε ότι το αποτέλεσμα (2.65) για την μονότονη μείωση της ενέργειας προκύπτει χωρίς να χρειάζεται να γνωρίζουμε τη λύση $x(t)$ της εξίσωσης κίνησης.

Παρατήρηση 2.7.

Δεν υπάρχει τρόπος να εξαχθεί από δυναμικό $V$ μία δύναμη τριβής όπως η $f_{\tau}$ και έτσι δεν μπορεί να περιληφθεί σε οποιαδήποτε μορφή Λαγκρανζιανής και άρα ούτε στις εξισώσεις Euler-Lagrange όπως τις έχουμε γνωρίσει ως τώρα.

Αν περιοριστούμε στην περίπτωση του αρμονικού ταλαντωτή με απόσβεση που είδαμε, μπορούμε να γράψουμε την εξίσωση κίνησης στη μορφή

\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{x}}\right)=\frac{\partial L}{% \partial x}+f_{\tau},

(2.66)

όπου $L$ είναι η ήδη γνωστή Λαγκρανζιανή του και η δύναμη $f_{\tau}$ που δεν δίνεται από το δυναμικό του συστήματος έχει προστεθεί στο δεξιό μέλος.

Ας γενικεύσουμε την περιγραφή μας για ένα σύστημα το οποίο περιγράφεται από $n$ γενικευμένες συντεταγμένες $q_{k},\;k=1\ldots,n$ . Υποθέτουμε ότι στο σύστημα ασκούνται δυνάμεις και ορισμένες μόνο από αυτές παράγονται από δυναμικό $V(q_{1},\ldots,q_{n})$ , δηλαδή, οι συνάμεις γράφονται στη μορφή

Q_{k}=-\frac{\partial V}{\partial q_{k}}+Q_{k}^{\prime},

(2.67)

όπου $Q_{k}$ είναι η συνολική δύναμη (η οποία αντιστοιχεί στην κάθε γενικευμένη συντεταγμένη $q_{k}$ ) και $Q_{k}^{\prime}$ είναι το μέρος της δύναμης το οποίο δεν παράγεται από το δυναμικό $V$ . Κανουμε μία επέκταση των εξισώσεων Euler-Lagrange προσθέτοντας τις δυνάμεις $Q_{k}^{\prime}$ , ώστε έχουμε τη μορφή

\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_{k}}\right)-\frac{\partial L% }{\partial q_{k}}=Q_{k}^{\prime},\qquad k=1,\ldots,n.

(2.68)

Οι γενικευμένες δυνάμεις $Q_{k}^{\prime}$ δίνονται από εξίσωση ανάλογη της (2.63):

Q_{k}^{\prime}:=\sum_{i}F_{i}^{\prime}\,\frac{\partial x_{i}}{\partial q_{k}}

(2.69)

όπου $F_{i}^{\prime}$ είναι τώρα οι συνήθεις δυνάμεις που δεν παράγονται από το δυναμικό.

Παράδειγμα 2.22.

Έστω αρμονικός ταλαντωτής σε μία διάσταση στον οποίο ασκείται μία επιπλέον δύναμη τριβής $f_{\tau}=-c\dot{x}$ , όπου $c$ μία σταθερά. Γράψτε τις εξισώσεις κίνησης χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις Euler-Lagrange.

Επίλυση.

Η Λαγκρανζιανή είναι (όπου αγνοείται η δύναμη τριβής)

L=\frac{1}{2}\,m\dot{x}^{2}-\frac{1}{2}\,kx^{2}.

Στις εξισώσεις Euler-Lagrange πρέπει να λάβουμε επιπλέον υπ’ όψιν τη δύναμη τριβής. Αυτή είναι ίση με τη γενικευμένη δύναμη $Q_{x}^{\prime}=f_{\tau}$ , η οποία θα προστεθεί στο δεξιό μέλος της εξίσωσης. Η πλήρης εξίσωση είναι

\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{x}}\right)=\frac{\partial L}{% \partial x}+Q_{x}^{\prime}\Rightarrow m\ddot{x}=-kx-c\dot{x}\Rightarrow m\ddot% {x}+kx+c\dot{x}=0.

Παράδειγμα 2.23.

Έστω ένα σωμάτιο το οποίο βρίσκεται σε δυναμικό $V=V(r)$ , όπου $(r,\theta)$ είναι πολικές συντεταγμένες. Μία επιπλέον δύναμη τριβής $\bm{f}=-\lambda\bm{\upsilon}$ (η οποία δεν περιέχεται στο δυναμικό) ασκείται σε αυτό το σωμάτιο, όπου $\lambda$ είναι μία σταθερά και $\bm{\upsilon}$ είναι η ταχύτητά του. Γράψτε τις εξισώσεις κίνησής του.

Επίλυση.

Χρειάζεται να βρούμε τις γενικευμένες δυνάμεις που προκύπτουν από τη δύναμη τριβής. Εφαρμόζουμε την Εξ. (2.62) η οποία εδώ γράφεται ως εξής

Q_{r}^{\prime}=\bm{f}\cdot\frac{\partial\bm{r}}{\partial r},\qquad Q_{\theta}^% {\prime}=\bm{f}\cdot\frac{\partial\bm{r}}{\partial\theta}.

Εφόσον $\bm{r}=r\,\bm{\hat{e}}_{r}$ , έχουμε $\partial\bm{r}/\partial r=\bm{\hat{e}}_{r}$ και επίσης, χρησιμοποιώντας τον ορισμό του $\bm{\hat{e}}_{r}=\cos\theta\,\bm{\hat{\imath}}+\sin\theta\,\bm{\hat{\jmath}}$ , βρίσκουμε $\partial\bm{r}/\partial\theta=r\,\bm{\hat{e}}_{\theta}$ . Άρα οι γενικευμένες δυνάμεις είναι

Q_{r}^{\prime}=\bm{f}\cdot\bm{\hat{e}}_{r},\qquad Q_{\theta}^{\prime}=r\bm{f}% \cdot\bm{\hat{e}}_{\theta}.

Η δύναμη τριβής σε πολικές συντεταγμένες είναι

\bm{f}=-\lambda\bm{\upsilon}=-\lambda(\dot{r}\bm{\hat{e}}_{r}+r\dot{\theta}\bm% {\hat{e}}_{\theta})

και άρα έχουμε τελικά

Q_{r}^{\prime}=-\lambda\,\dot{r},\qquad Q_{\theta}^{\prime}=-\lambda\,r^{2}% \dot{\theta}.

Αυτές οι γενικευμένες δυνάμεις πρέπει να προστεθούν στο δεξιό μέλος των εξισώσεων Euler-Lagrange (τις οποίες έχουμε βρει σε προηγούμενο παράδειγμα). Έχουμε

	$\displaystyle\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{r}}\right)$	$\displaystyle=\frac{\partial L}{\partial r}+Q_{r}^{\prime}\Rightarrow m\ddot{r% }=mr\dot{\theta}^{2}-\frac{dV}{dr}-\lambda\,\dot{r}$
	$\displaystyle\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{\theta}}\right)$	$\displaystyle=\frac{\partial L}{\partial\theta}+Q_{\theta}^{\prime}\Rightarrow% \frac{d}{dt}(mr^{2}\dot{\theta})=-\lambda\,r^{2}\dot{\theta}.$

Παρατηρούμε ότι η 2η εξίσωση μπορεί να γραφεί στη μορφή

\frac{d}{dt}(mr^{2}\dot{\theta})=-\frac{\lambda}{m}\,(m\,r^{2}\dot{\theta}).

Αν θέσουμε

J:=mr^{2}\dot{\theta},

η εξίσωση κίνησης γράφεται και λύνεται ως εξής

\frac{dJ}{dt}=-\frac{\lambda}{m}\,J\Rightarrow J(t)=J_{0}\,e^{-\frac{\lambda}{% m}\,t}.

Η ποσότητα $J$ λέγεται στροφορμή του σωματίου. Η σταθερά της ολοκλήρωσης $J_{0}$ είναι η στροφορμή τη χρονική στιγμή $t=0$ , δηλ., $J(t=0)=J_{0}$ . Βλέπουμε ότι η στροφορμή μειώνεται με τον χρόνο λόγω της δύναμης τριβής.

2.2.9 Εξισώσεις Hamilton

Στην παράγραφο 2.2.5 είδαμε ότι η ενέργεια του συστήματος είναι μία διατηρήσιμη ποσότητα. Παρατηρούμε ότι, χρησιμοποιώντας τον ορισμό για τις γενικευμένες ορμές στην παράγραφο 2.2.6, η συνάρτηση για την ενέργεια (2.49) γράφεται

H=\sum_{k}\dot{q}_{k}p_{k}-L.

(2.70)

Εφόσον οι γενικευμένες ορμές ορίζονται μέσω της Λαγκρανζιανής θα πρέπει να είναι $p_{k}=p_{k}(q_{k},\dot{q}_{k})$ . Αντιστρέφοντας αυτές τις εξισώσεις μπορούμε να εκφράσουμε τις ταχύτητες ως $\dot{q}_{k}=\dot{q}_{k}(q_{k},p_{k})$ . Από αυτό το σημείο και πέρα μπορούμε να θεωρούμε την (2.70) ως συνάρτηση των $q_{k},p_{k}$ :

H(q_{k},p_{k})=\sum_{k}\dot{q}_{k}(q_{k},p_{k})p_{k}-L

(2.71)

και θα τη λέμε Χαμιλτονιανή του συστήματος [8, 18, 10].

Θα αναζητήσουμε μία αρχή ελαχίστου για την Χαμιλτονιανή, παρόμοια με αυτή που είδαμε για τη Λαγκρανζιανή. Για τον σκοπό αυτό παίρνουμε τη μεταβολή της $H$ , η οποία είναι

\delta H=\sum_{k}\left[p_{k}\,\delta\dot{q}_{k}+\dot{q}_{k}\,\delta p_{k}-% \frac{\partial L}{\partial q_{k}}\,\delta q_{k}-\frac{\partial L}{\partial\dot% {q}_{k}}\,\delta\dot{q}_{k}\right].

Εισάγωντας τον ορισμό των γενικευμένων ορμών (2.58) βλέπουμε ότι ο πρώτος και τέταρτος όρος στο δεξιό μέλος είναι αντίθετοι. Επίσης εισάγουμε τις εξισώσεις Euler-Lagrange στη μορφή (2.59) στον τρίτο όρο στο δεξιό μέλος και τελικά παίρνουμε

\delta H=\sum_{k}\left[\dot{q}_{k}\,\delta p_{k}-\dot{p}_{k}\,\delta q_{k}\right]

(2.72)

Αυτή είναι στη μορφή που χρειαζόμαστε εφόσον θεωρούμε την $H$ συνάρτηση των $q_{k},p_{k}$ . Ως τέτοια συνάρτηση γνωρίζουμε ότι η μεταβολή της $\delta H$ πρέπει να έχει τη μορφή

\delta H=\sum_{k}\left[\frac{\partial H}{\partial q_{k}}\delta p_{k}+\frac{% \partial H}{\partial p_{k}}\delta q_{k}\right].

Για να προκύπτει αυτή η μορφή θα πρέπει να ισχύουν οι

\dot{q}_{k}=\frac{\partial H}{\partial p_{k}},\qquad\dot{p}_{k}=-\frac{% \partial H}{\partial q_{k}},

(2.73)

Τις εξισώσεις που εξαγάγαμε τις ονομάζουμε εξισώσεις Hamilton του συστήματος. Επίσης ονομάζονται και κανονικές εξισώσεις της κίνησης, είτε λέμε ότι οι εξισώσεις της κίνησης είναι γραμμένες στην κανονική μορφή.

Παρατήρηση 2.8.

Στην περιγραφή του Hamilton η βασική συνάρτηση που περιγράφει το σύστημα (Χαμιλτονιανή) είναι συνάρτηση των θέσεων $q_{k}$ και των κανονικών τους ορμών $p_{k}$ , όπως αυτές προκύπτουν από την Εξ. (2.58). Οι εξισώσεις της κίνησης είναι αυτές για τις $q_{k},p_{k}$ που δίνονται στις Εξ. (2.73).

Παράδειγμα 2.24.

Βρείτε τις εξισώσεις Hamilton για τον αρμονικό ταλαντωτή.

Επίλυση.

Η Χαμιλτονιανή είναι

H=T+V=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}+\frac{1}{2}kx^{2}.

Η ορμή η οποία αντιστοιχεί στη θέση $x$ είναι

p=\frac{\partial L}{\partial\dot{x}}=m\dot{x}.

Με τη βοήθεια της τελευταίας γράφουμε την Χαμιλτονιανή ως συνάρτηση των $x, p$ :

H(x,p)=\frac{p^{2}}{2m}+\frac{1}{2}kx^{2}.

Έχουμε ένα ζευγάρι εξισώσεων Hamilton οι οποίες είναι

\dot{x}=\frac{\partial H}{\partial p}=\frac{p}{m},\qquad\dot{p}=-\frac{% \partial H}{\partial x}=-kx.

Μπορούμε από αυτές να εξαγάγουμε μία εξίσωση δεύτερης τάξης για τη θέση $x$ η οποία είναι η γνωστή εξίσωση του αρμονικού ταλαντωτή

\ddot{x}+\frac{k}{m}x=0.