1 Εισαγωγή – Διαστατική Ανάλυση 1.2 Διαστατική Ανάλυση 2 Αναλυτική Μηχανική

1.3 Μελέτη

1.3.1 Ασκήσεις

Άσκηση 1.1.

Χημική αντίδραση σε αντιδραστήρα
Θεωρείστε τη χημική αντίδραση που είδαμε στην παράγραφο 1.2.1. (α) Επιλύστε το τελικό αδιάστατο ΠΑΤ (1.5) ή (1.8). (β) Δώστε τη λύση στις αρχικές μεταβλητές. (γ) Εξετάστε τη μεταβολή της συγκέντρωσης του αντιδρώντος ως προς το χρόνο για διαφορετικές τιμές της παραμέτρου $\beta$ (δώστε γραφικές παραστάσεις).

Άσκηση 1.2.

Μετάπτωση μαγνητικής ροπής
Η εξίσωση κίνησης του διανύσματος της μαγνητικής ροπής $\bm{\mu}$ ενός ατόμου το οποίο βρίσκεται μέσα σε μαγνητικό πεδίο $\bm{H}$ είναι

\frac{d}{dt}\bm{\mu}=\gamma\,\bm{\mu}\times\bm{H}

όπου $\gamma$ είναι μία φυσική σταθερά η οποία λέγεται γυρομαγνητικός λόγος. Μία τυπική τιμή του μέτρου μαγνητικής ροπής ατόμου είναι η σταθερά $\mu_{B}$ η οποία λέγεται μαγνητόνη του Bohr. (α) Δείξτε ότι το διάνυσμα της μαγνητικής ροπής δεν μεταβάλλει το μέτρο του κατά την κίνηση σε μαγνητικό πεδίο. (β) Ορίστε νέες μεταβλητές και δώστε μία αδιάστατη μορφή της εξίσωσης (θεωρήστε $|\bm{\mu}|=\mu_{B}$ και ένα σταθερό μαγνητικό πεδίο). (γ) Δώστε τη γενική λύση της εξίσωσης στις αδιάστατες μεταβλητές (εδώ θεωρήστε $\bm{H}=H\bm{\hat{z}}$ ). (δ) Μετατρέψτε τη λύση στις αρχικές (φυσικές) μεταβλητές.