5 Μαθηματική Βιολογία – Πληθυσμιακά Μοντέλα Ενός Είδους 5 Μαθηματική Βιολογία – Πληθυσμιακά Μοντέλα Ενός Είδους 5.2 Συνεχή Πληθυσμιακά Μοντέλα Ενός Είδους

5.1 Εισαγωγή: Μαθηματική Μοντελοποίηση Βιολογικών Συστημάτων

Το κεφάλαιο αυτό ασχολείται με εφαρμογές των μαθηματικών στη βιολογία και ειδικότερα με μαθηματικά μοντέλα βιολογικών συστημάτων. Τα τελευταία αποτελούν βασικό αντικείμενο της «Μαθηματικής Βιολογίας», δηλαδή της μελέτης φαινομένων της βιολογίας με τη χρήση μαθηματικών εννοιών [25]. Θα πρέπει εκ των προτέρων να πούμε ότι στις μέρες μας η μαθηματική μοντελοποίηση εφαρμόζεται / αφορά σε ένα πολύ μεγάλο εύρος βιολογικών φαινομένων – προβλημάτων, η πλήρης μελέτη και παρουσίαση των οποίων είναι πέρα από τους σκοπούς του παρόντος συγγράμματος. Εδώ θα εστιάσουμε σε «βασικά» μαθηματικά μοντέλα, τα οποία αφορούν κυρίως πληθυσμούς βιολογικών ειδών καθώς και μοντέλα ασθενειών. Τα μοντέλα αυτά αποτελούν επίσης, πολύ καλά παραδείγματα για οποιοδήποτε μάθημα σχετικό με την μαθηματική μοντελοποίηση ή γενικότερα με εφαρμογές των μαθηματικών στις φυσικές επιστήμες, ή τις επιστήμες της μηχανικής («μαθηματικές επιστήμες»).

Βασικός μας λοιπόν στόχος είναι η εξοικείωση του αναγνώστη με βασικές εφαρμογές της μαθηματικής μοντελοποίησης σε σημαντικά βιολογικά προβλήματα, με μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον.

5.1.1 Ένα πρώτο παράδειγμα

Ας δούμε πρώτα ένα πολύ απλό παράδειγμα. Έστω ότι στόχος μας είναι η μελέτη ενός συγκεκριμένου οικοσυστήματος, π.χ. ενός είδους πουλιών το οποίο ζει σε ένα δάσος και η πρόβλεψη της χρονικής εξέλιξης του πληθυσμού, δηλαδή του αριθμού, των πουλιών [5]. Προφανώς ο αριθμός των πουλιών εξαρτάται από ένα μεγάλο αριθμό παραμέτρων, όπως (α) από τα υπόλοιπα είδη τα οποία ζουν στο συγκεκριμένο οικοσύστημα, (β) το μέγεθος του οικοσυστήματος, και κυρίως το πόσο «φαγητό» υπάρχει για το συγκεκριμένο είδος στο οικοσύστημα, (γ) τους δυνητικούς εχθρούς-θηρευτές που έχει το συγκεκριμένο είδος, και ασφαλώς (δ) το φυσικό ρυθμό γεννήσεων/θανάτων του είδους. Σε μια πρώτη (απλούστερη δυνατή) προσέγγιση μπορούμε να θεωρήσουμε ότι:

1.

Υπάρχει «άπειρο» (πάρα πολύ για τον αριθμό των πουλιών) διαθέσιμο φαγητό, και
2.

Δεν υπάρχουν φυσικοί εχθροί ή θηρευτές του συγκεκριμένου είδους.

Δηλαδή υποθέτουμε ότι η ανάπτυξη του πληθυσμού μπορεί να γίνει σε ιδανικό επίπεδο.

Έστω επίσης ότι ο πληθυσμός των πουλιών, σε χρόνο $t$ , περιγράφεται από μια χρονικά εξαρτημένη μεταβλητή $N(t)$ . Τότε, αν θεωρήσουμε ότι ο ρυθμός μεταβολής (αύξησης ή μείωσης) του πληθυσμού, δηλαδή η διαφορά φυσικών γεννήσεων και θανάτων, ανά μονάδα χρόνου $\Delta t$ , είναι ο θετικός αριθμός $A$ , ο αριθμός των πουλιών σε χρόνο $t+\Delta t$ είναι:

N(t+\Delta t)=N(t)+A\,\Delta t\,N(t)

ή αλλιώς η διαφορά του πληθυσμού σε χρόνο $\Delta t$ είναι:

\Delta N=N(t+\Delta t)-N(t)=A\,\Delta t\,N(t)

(5.1)

Εύκολα βλέπουμε ότι αν ο χρόνος είναι συνεχής μεταβλητή, θεωρώντας δηλαδή ότι ο πληθυσμός μπορεί να περιγραφεί σε συνεχή χρονική εξέλιξη (συνεχές μοντέλο), ο ρυθμός μεταβολής (η παράγωγος) του πληθυσμού γίνεται:

\frac{dN(t)}{dt}:=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta N}{\Delta t}=AN(t).

(5.2)

Η παραπάνω συνήθης διαφορική εξίσωση, μαζί με την κατάλληλη αρχική συνθήκη, είναι ένα πρόβλημα αρχικών τιμών, ΠΑΤ (initial value problem, IVP), για την επίλυση του οποίου χρειαζόμαστε μια αρχική συνθήκη. Η αρχική συνθήκη είναι η τιμή της μεταβλητής $N$ σε χρόνο $t_{0}$ (π.χ. ίσο με το μηδέν, $t_{0}=0$ ), δηλαδή ο αριθμός των πουλιών στη χρονική στιγμή $t_{0}$ , έστω $N_{0}$ . Η λύση του παραπάνω ΠΑΤ είναι:

N(t)=N_{0}\,e^{At}.

(5.3)

Βλέπουμε λοιπόν, ότι μπορούμε να προβλέψουμε τον πληθυσμό του συγκεκριμένου είδους πουλιών σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή, δηλαδή τη μεταβλητή $N(t)$ , γνωρίζοντας μόνο τις σταθερές $Α$ και $N_{0}$ .

Παρατήρηση 5.1.

Προσέξτε ότι για να έχει βιολογική σημασία η παραπάνω εξίσωση πρέπει πάντα $N(t)\geq 0$ . Επίσης παρατηρούμε ότι, κάτω από τις αρχικές υποθέσεις που έχουμε κάνει, ο πληθυσμός των πουλιών θα μεγαλώνει εκθετικά για κάθε χρονικό διάστημα, δηλαδή επ΄ άπειρον!

Ερώτηση κατανόησης 5.1.

Νομίζετε ότι η παραπάνω συμπεριφορά είναι ρεαλιστική; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Παρακάτω θα δούμε πιο λεπτομερή μοντέλα που περιγράφουν το ίδιο πρόβλημα.

5.1.2 Σπουδαιότητα Μαθηματικής Βιολογίας

Από το παραπάνω, αρκετά απλό, παράδειγμα καταλαβαίνουμε τη σπουδαιότητα της μαθηματικής μοντελοποίησης βιολογικών συστημάτων (ή της «μαθηματικής βιολογίας») η οποία μπορεί να μας δώσει άμεσες εκτιμήσεις για πραγματικά βιολογικά προβλήματα, δεδομένων κάποιων «βιολογικών υποθέσεων», δηλαδή προσεγγίσεων πραγματικών δεδομένων, χρησιμοποιώντας μαθηματικά εργαλεία [1].

Γενικότερα σκοπός της μαθηματικής βιολογίας είναι:

•

Η μελέτη βιολογικών συστημάτων με χρήση μαθηματικών εργαλείων, και
•

Η ανάπτυξη χώρο-χρονικών μαθηματικών μοντέλων για τη μελέτη βιολογικών συστημάτων.

Ορισμός.

Με τον όρο χώρο-χρονικό μαθηματικό μοντέλο στη βιολογία εννοούμε ένα σύνολο υποθέσεων για κάποιο βιολογικό σύστημα εκφρασμένο με μαθηματικές εξισώσεις, το οποίο εμπεριέχει (εξαρτάται από) τον χώρο και τον χρόνο. Με άλλα λόγια το μαθηματικό-βιολογικό μοντέλο μπορεί να είναι ένα σύστημα εξισώσεων, ένας αλγόριθμος, ένα σύνολο αριθμών ή μια στοχαστική διαδικασία, κλπ.

Βασικό κίνητρο για την ανάπτυξη της μαθηματικής μοντελοποίησης βιολογικών συστημάτων αποτελεί ο όλο και περισσότερο σημαντικός ρόλος της βιολογίας στις μέρες μας. Ειδικά στον 21ο αιώνα οι μεγαλύτερες τεχνολογικές ανακαλύψεις αναμένεται να βασίζονται στη βιολογία. Χαρακτηριστικά παραδείγματα αφορούν τους τομείς της βιοτεχνολογίας, βιο-νανοτεχνολογίας, μοριακής ιατρικής – βιολογίας, κλπ.

Η ανάπτυξη μαθηματικών μοντέλων στη βιολογία γίνεται έχοντας ως βασικούς στόχους:

•

Την κατανόηση βιολογικών φαινομένων με τη χρήση μαθηματικών, και
•

Την πρόβλεψη / προσομοίωση (prediction/simulation) συμπεριφορών και ιδιοτήτων πολύπλοκων βιολογικών συστημάτων.

Είναι πολύ σημαντικό να επισημάνουμε εκ των προτέρων ότι ακριβώς λόγω της μεγάλης πολυπλοκότητας των πραγματικών βιολογικών συστημάτων δεν υπάρχει το «τέλειο» μαθηματικό μοντέλο, δηλαδή

1.

Πρώτον, κάθε μοντέλο εμπεριέχει κάποιες υποθέσεις καθώς και κάποιο σφάλμα στις προβλέψεις του, και θα πρέπει πάντα να ελέγχεται με βάση τα πραγματικά αποτελέσματα, και
2.

Δεύτερον, ακόμη και αν το μοντέλο παράγει αποτελέσματα σε συμφωνία με τα πειραματικά δεδομένα δε σημαίνει απαραίτητα ότι οι υποθέσεις/παραδοχές του είναι σωστές!

Επίσης, κανένα μοντέλο δεν μπορεί να συμπεριλάβει όλες τις παραμέτρους που επηρεάζουν πολύπλοκα βιολογικά συστήματα. Συνηθισμένα βιολογικά συστήματα (π.χ. πληθυσμός σε ένα οικοσύστημα, ιδιότητες βιομορίων σε ατομικό/μοριακό επίπεδο κ.α.) αποτελούνται από ένα πολύ μεγάλο αριθμό ειδών και επηρεάζονται από πολλές διαφορετικές παραμέτρους που έχουν σχέση με το περιβάλλον. Αυτό όμως δεν είναι κατ’ ανάγκη πρόβλημα καθώς βασικός στόχος μας δεν είναι η περιγραφή ενός βιολογικού συστήματος με όλες τις δυνατές παραμέτρους αλλά η περιγραφή των πιο σημαντικών φυσικών παραμέτρων που περιγράφουν το συγκεκριμένο σύστημα, για το δεδομένο πρόβλημα. Προσέξτε ότι τα παραπάνω στην πραγματικότητα ισχύουν, όπως έχουμε δει στα προηγούμενα κεφάλαια, για οποιοδήποτε μοντέλο ενός πραγματικού πολύπλοκου φαινομένου – συστήματος.

Παρατήρηση 5.2.

Σε πιο Μαθηματική γλώσσα θα λέγαμε ότι τα βιολογικά συστήματα αποτελούν τυπικά προβλήματα μεγάλου αριθμού μεταβλητών, ή μεγάλης διάστασης (high dimensionality problems). Βασικός στόχος είναι η περιγραφή τέτοιων συστημάτων με ένα μικρό αριθμό κατάλληλων μεταβλητών, ή ελάττωση της διάστασης (dimensionality reduction).

Η διαδικασία ανάπτυξης ενός βιολογικού μαθηματικού μοντέλου είναι επίσης παρόμοια με αυτή που είδαμε στη γενική περιγραφή μαθηματικών μοντέλων, και η οποία αποτελείται, εν συντομία, από τα παρακάτω στάδια:

1.

Επιλογή ενός βιολογικού συστήματος, συλλογή και οργάνωση βιολογικών δεδομένων από πειραματικές μετρήσεις.
2.

Δημιουργία του μαθηματικού μοντέλου (π.χ. πρόβλημα εκφρασμένο μέσω ενός συστήματος εξισώσεων) για τη περιγραφή του συγκεκριμένου συστήματος.
3.

Επίλυση του μαθηματικού προβλήματος με τη χρήση, ή τη δημιουργία νέων, μαθηματικών εργαλείων.
4.

Έλεγχος των προβλέψεων του μοντέλου με πειραματικές παρατηρήσεις.

Τέλος θα πρέπει να τονίσουμε ότι η ανάπτυξη της Μαθηματικής Βιολογίας τις τελευταίες δεκαετίες και περισσότερο τα τελευταία χρόνια είναι τόσο μεγάλη ώστε πλέον υπάρχουν αρκετά εξειδικευμένα συγγράμματα, ενώ αποτελεί ξεχωριστό μάθημα στο προπτυχιακό ή/και μεταπτυχιακό πρόγραμμα τμημάτων Μαθηματικών / Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Βιολογίας, αλλά και επιστημων της Μηχανικής. Στόχος αυτού και του επόμενου κεφαλαίου είναι η παρουσίαση των πιο βασικών μοντέλων μαθηματικής βιολογίας, τα οποία, εκτός των άλλων, αποτελούν επίσης εξαιρετικά παραδείγματα μαθηματικής μοντελοποίησης πολύπλοκων ρεαλιστικών συστημάτων. Ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης μπορείς να βρει περισσότερες πληροφορίες για μαθηματικά μοντέλα βιολογικών συστημάτων σε κλασικά συγγράμματα όπως αυτά που αναφέρονται στη βιβλιογραφία [32, 1, 25, 33].

5.1.3 Ιστορικά Στοιχεία

Το πρώτο (;) μαθηματικό βιολογικό μοντέλο αναπτύχθηκε από τον Fibonacci τον 13ο αιώνα (1202) [6] (Ιστοσελίδα, Fibonacci Sequence, n.d.). Είναι ένα μοντέλο ανάπτυξης πληθυσμού λαγών. O Fibonacci (Leonardo of Pisa) θεώρησε το παρακάτω πρόβλημα. Έστω ένα ζευγάρι λαγών, το οποίο βρίσκεται απομονωμένο – προστατευμένο σε περιβάλλον με άφθονη τροφή. Πόσα ζευγάρια λαγών θα προκύψουν από το αρχικό ζευγάρι μέσα σε κάποιο συγκεκριμένο χρονικό διάστημα;

Οι βασικές υποθέσεις του μοντέλου είναι οι παρακάτω:

•

Θεωρούμε ότι αρχικά υπάρχει ένα ζευγάρι νεογέννητων λαγών (ένα θηλυκό και ένα αρσενικό) οι οποίοι μετά από μια αναπαραγωγική περίοδο (μία χρονική περίοδο) παράγουν άλλο ένα ζευγάρι νεογέννητων αρσενικών – θηλυκών λαγών.
•

Δεν λαμβάνουμε υπόψη τον θάνατο των λαγών.
•

Τα νεογέννητα χρειάζονται 1 χρονική περίοδο για να φτάσουν σε ηλικία αναπαραγωγής.
•

Κάθε θηλυκό γεννάει ακριβώς 1 ζευγάρι αρσενικών – θηλυκών λαγών.

Σύντομο πρόβλημα 5.1.

Πόσα ζευγάρια λαγών υπάρχουν ύστερα από $n$ χρονικές περιόδους; Σας θυμίζει κάτι αυτός ο αριθμός;

5.1.4 Μαθηματικά Μοντέλα στη Βιολογία

Τα μαθηματικά μοντέλα που χρησιμοποιούνται στη βιολογία μπορούν να καταταχθούν στις ακόλουθες κατηγορίες, ανάλογα με το μαθηματικό τους περιεχόμενο [7, 25]:

•

Διακριτά / Συνεχή μοντέλα ανάλογα με το αν η βιολογική μεταβλητή (π.χ. πληθυσμός ενός είδους) είναι συνεχής ή διακριτή. Τα διακριτά μοντέλα συνήθως καταλήγουν σε διακριτές εξισώσεις διαφορών ενώ τα συνεχή σε συνεχείς, ή μερικές, διαφορικές εξισώσεις.
•

Ντετερμινιστικά / Στοχαστικά μοντέλα: Ανάλογα με το αν οι μαθηματικές σχέσεις είναι ντετερμινιστικές (δεν εμπεριέχουν τυχαιότητα) ή στοχαστικές (εμπεριέχουν τυχαιότητα).
•

Γραμμικά / Μη γραμμικά μοντέλα, ανάλογα με το είδος των εξισώσεων που προκύπτουν.
•

Χρόνο-εξαρτώμενα / Χρόνο-ανεξάρτητα μοντέλα, ανάλογα με το αν οι μεταβλητές των μοντέλων εξαρτώνται ή όχι από το χρόνο.
•

Μηχανιστικά / Περιγραφικά μοντέλα, ανάλογα με το αν έχουν προκύψει από βασικούς νόμους, ή από μια περισσότερο ποιοτική περιγραφή του βιολογικού συστήματος.
•

κλπ.

Επίσης, τα μαθηματικά μοντέλα στη βιολογία διακρίνονται, ανάλογα με το βιολογικό σύστημα-πρόβλημα το οποίο μελετάνε, σε:

•

Πληθυσμιακά μοντέλα: Μοντέλα δηλαδή τα οποία περιγράφουν την εξέλιξη του αριθμού (πληθυσμών) βιολογικών ειδών (ζώων, φυτών κλπ.).
•

Μοντέλα Ασθενειών, τα οποία περιγράφουν τη χρονική ή χώρο-χρονική εξέλιξη ασθενειών.
•

Μοντέλα Διάχυσης, τα οποία περιγράφουν τη δυναμική εξέλιξη των μεταβλητών σε συγκεκριμένα χωρία, συνήθως μέσω μερικών διαφορικών εξισώσεων.
•

κλπ.

Ειδικότερα τα πληθυσμιακά μοντέλα χωρίζονται σε:

•

Μοντέλα ενός πληθυσμού.
•

Μοντέλα αλληλεπιδρώντων πληθυσμών.

Παρακάτω θα εξετάσουμε αναλυτικά τις παραπάνω δύο κατηγορίες πληθυσμιακών μοντέλων. Σε κάθε περίπτωση θα παρουσιάσουμε τόσο συνεχή όσο και διακριτά μοντέλα.

Η μελέτη όλων των παραπάνω διαφορετικών μοντέλων είναι πέρα από τους στόχους του παρόντος συγγράμματος. Εδώ θα μελετήσουμε τα πιο σημαντικά από τα παραπάνω μοντέλα με ιδιαίτερο μαθηματικό αλλά και κυρίως με μεγάλο βιολογικό ενδιαφέρον. Πιο συγκεκριμένα, στο παρόν κεφάλαιο θα εξετάσουμε τα πληθυσμιακά μοντέλα ενός είδους, ενώ στο επόμενο κεφάλαιο (Κεφάλαιο 6) θα μελετήσουμε μοντέλα αλληλεπιδρώντων ειδών, καθώς και μοντέλα ασθενειών.