2.3 Παράρτημα: Λογισμός μεταβολών

Κάνοντας μία επισκόπηση του απειροστικού λογισμού μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι ένα από τα κεντρικά του προβλήματα είναι η εύρεση ακροτάτων μίας δεδομένης συνάρτησης. Π.χ., μία συνάρτηση μίας μεταβλητής $f(x)$ έχει ελάχιστο στη θέση $x_0$ αν ισχύει $f(x_0)\le f(x)$ για κάθε $x$ στο πεδίο ορισμού της τέτοιο ώστε , για κάποιο $\delta >0$. Αν η $f$ είναι διαφορίσιμη τότε είναι αναγκαία η συνθήκη

$${\frac{df}{dx}|}_{x_0}=0.$$

(2.74)

Ο λογισμός μεταβολών ασχολείται με γενικεύσεις του παραπάνω προβλήματος. Ασχολείται με ελαχιστοποίηση (ή μεγιστοποίηση) γενικότερων ποσοτήτων που λέγονται συναρτησοειδή [24].

Ένα θεμελιώδες πρόβλημα του λογισμού μεταβολών είναι η ελαχιστοποίηση ενός συναρτησοειδούς. Δηλαδή, η αναζήτηση συνάρτησης για την οποία το συναρτησοειδές έχει ελάχιστο. Στο παράδειγμα με το μήκος τόξου, αναζητούμε την καμπύλη $y=y(x)$ για την οποία το μήκος τόξου είναι ελάχιστο. Είναι γνωστό ότι αυτό επιτυγχάνεται από μία συνάρτηση που δίνει ευθεία γραμμή (μεταξύ των ακραίων σημείων). Στο παράδειγμα με το εμβαδόν παρατηρούμε ότι το ολοκλήρωμα (2.76) είναι θετικά ορισμένο (αφού $y(x)\ge 0$), ώστε εύκολα συμπεραίνουμε ότι η $y(x)=0$, για την οποία το εμβαδόν μηδενίζεται, ελαχιστοποιεί το συναρτησοειδές (δηλ., το εμβαδόν).

Στον κλασικό λογισμό μεταβολών τα συναρτησοειδή που έχουν ενδιαφέρον είναι της μορφής

$$J(y)={\int }_a^{b}L(x,y(x),y_x(x))dx.$$

(2.77)

Εδώ η $L=L(x,y(x),y_x(x))$ είναι μία έκφραση που περιέχει τη συνάρτηση $y(x)$ αλλά και την παράγωγό της $y_x(x)$, καθώς επίσης και την ανεξάρτητη μεταβλητή $x$. Σε προηγούμενο παράδειγμα είχαμε $L=\sqrt{1+y^{\prime }{(x)}^2}$.

Η συνάρτηση $L$ ονομάζεται Λαγκρανζιανή (από το όνομα του Lagrange) και εμφανίζεται σε προβλήματα μηχανικής. Εκεί η ανεξάρτητη μεταβλητή είναι ο χρόνος και έτσι γράφουμε συνήθως τη μορφή

$$J(y)={\int }_a^{b}L(t,y,\dot{y})dx,$$

(2.78)

όπου εννοείται $y=y(t)$.

Ας δούμε αναλυτικά το θεμελιώδες πρόβλημα του λογισμού μεταβολών, δηλαδή την ελαχιστοποίηση ενός συναρτησοειδούς. Θα ήταν ενδιαφέρον αν μπορούσαμε να είχαμε μία συνθήκη ελαχίστου όπως συμβαίνει στον συνήθη απειροστικό λογισμό, όπου αναγκαία συνθήκη είναι ο μηδενισμός της παραγώγου. Είναι όμως προφανές ότι για να πετύχουμε κάτι τέτοιο θα πρέπει πρώτα να ορίσουμε κάτι ανάλογο της παραγώγου για συναρτησοειδή [24, 36].

Ας υποθέσουμε μία συνάρτηση $y=y(x)$ (μίας μεταβλητής $x$) και ενδιαφερόμαστε για το ολοκλήρωμα

$$J(y)={\int }_{x_1}^{x_2}L(x,y,y_x)dx,$$

(2.79)

όπου $y_x:=dy/dx$ και έστω οι συναρτήσεις $y(x)$ οι οποίες είναι δύο φορές συνεχώς διαφορίσιμες, $y\in C^2[x_1,x_2]$. Θα ονομάσουμε στα επόμενα το σύνολο αυτών των συναρτήσεων $A$.

Ας θεωρήσουμε ότι υπάρχει μία συνάρτηση $y_0(x)\in A$ για την οποία το συναρτησιακό $J$ έχει ελάχιστο, δηλαδή $J(y_0)\le J(y)$ για κάθε $y$ στη γειτονιά του $y_0$. Υποθέτουμε τώρα μία συνάρτηση $\eta (x)$ με συνεχή δεύτερη παράγωγο και με $\eta (x_1)=0=\eta (x_2)$. Εισάγουμε την παράμετρο $ϵ$ και γράφουμε συναρτήσεις στη γειτονιά της συνάρτησης $y_0(x)\in A$ ως

$$y(x,ϵ)=y_0(x)+ϵ\eta (x).$$

(2.80)

Σημειώστε ότι έχουμε $y_0(x)=y(x,ϵ=0)$ και επίσης με τη συνθήκη μηδενισμού της $\eta (x)$ στα άκρα του διαστήματος βλέπουμε ότι $y(x,ϵ)\in A$. Η συνάρτηση $y(x)$ μπορεί να μεταβάλλεται ως προς την αρχική συνάρτηση $y_0(x)$. Η μεταβολή μίας συνάρτησης $y$ συμβολίζεται γενικά με $\delta y$ και στην περίπτωση της συνάρτησης η οποία ορίζεται στην Εξ. (2.80) ως μεταβολή της συνάρτησης νοείται η $\delta y=\eta (x)$. Η συνολική μεταβολή της συνάρτησης είναι ανάλογη του $ϵ$, είναι δηλαδή $ϵ\delta y$. Η μεταβολή του συναρτησοειδούς που οφείλεται στη μεταβολή $ϵ\delta y$ ορίζεται ως

$$\mathrm{\Delta }J=J(y_0+ϵ\eta )-J(y_0).$$

(2.81)

Ορίσαμε λοιπόν στα παραπάνω κάποιες έννοιες και ποσότητες σε αναλογία με συνήθεις συναρτήσεις. Πηγαίνοντας ένα βήμα παραπέρα βλέπουμε ότι το συναρτησιακό $J$, με τον δεδομένο ορισμό του $y(x,ϵ)$, γίνεται μία συνάρτηση του $ϵ$. Αυτή θα τη συμβολίσουμε με το νέο σύμβολο $𝒥$ και γράφουμε

$$𝒥(ϵ)={\int }_{x_1}^{x_2}L(x,y(x,ϵ),y_x(x,ϵ))dx.$$

(2.82)

Έχουμε

$$𝒥(0)=J(y_0),𝒥(ϵ)=J(y_0+ϵ\eta ).$$

(2.83)

Εφόσον θεωρήσουμε ότι το $J(y)$ έχει ελάχιστο για $y=y_0$, τότε, για κάθε αποδεκτή επιλογή για το $\eta (x)$, βλέπουμε ότι η $𝒥(ϵ)$ πρέπει να έχει ελάχιστο στη θέση $ϵ=0$. Άρα η συνθήκη

$${𝒥}^{\prime }(ϵ=0)=0$$

(2.84)

είναι αναγκαία για την ύπαρξη ελαχίστου της $J(y)$.

Για να δούμε αναλυτικότερα τη συνθήκη για το ελάχιστο θα χρειαστεί να υπολογίσουμε τη μεταβολή του $J$, δηλαδή την έκφραση

$$\frac{d}{dϵ}J(y+ϵ\eta )=\frac{d}{dϵ}{\int }_{x_1}^{x_2}L(x,y+ϵ\eta ,y_x+ϵ{\eta }_x)dx.$$

(2.90)

Θα θεωρήσουμε συναρτήσεις $L(x,y,y_x)$ οι οποίες είναι δύο φορές διαφορίσιμες ως προς όλες τις μεταβλητές. Με τον κανόνα της αλυσιδωτής παραγώγισης έχουμε

$$\frac{dJ}{dϵ}={\int }_{x_1}^{x_2}\left(\frac{\partial L}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial ϵ}+\frac{\partial L}{\partial y_x}\frac{\partial y_x}{\partial ϵ}\right)dx.$$

(2.91)

Ο δεύτερος όρος στο δεξιό μέλος, με κατά παράγοντες ολοκλήρωση, γίνεται

$${\int }_{x_1}^{x_2}\frac{\partial L}{\partial y_x}\frac{\partial y_x}{\partial ϵ}dx={\int }_{x_1}^{x_2}\frac{\partial L}{\partial y_x}\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x\partial ϵ}dx={\frac{\partial L}{\partial y_x}\frac{\partial y}{\partial ϵ}|}_{x_1}^{x_2}-{\int }_{x_1}^{x_2}\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial L}{\partial y_x}\right)\frac{\partial y}{\partial ϵ}dx.$$

(2.92)

Έχουμε $\partial y/\partial ϵ=\eta (x)$ και άρα

$$\frac{dJ}{dϵ}={\int }_{x_1}^{x_2}\left[\frac{\partial L}{\partial y}-\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial L}{\partial y_x}\right)\right]\eta (x)dx+{\frac{\partial L}{\partial y_x}\eta (x)|}_{x_1}^{x_2}.$$

(2.93)

Εφόσον έχουμε υποθέσει $\eta (x)=0$ στα άκρα του διαστήματος $x=x_1,x=x_2$, οι συνοριακοί όροι μηδενίζονται. Άρα έχουμε

$$\frac{dJ}{dϵ}={\int }_{x_1}^{x_2}\left[\frac{\partial L}{\partial y}-\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial L}{\partial y_x}\right)\right]\eta (x)dx.$$

(2.94)

Η συνθήκη (2.84) για να έχουμε ακρότατο σημαίνει τον μηδενισμό της έκφρασης στο δεξιό μέλος της (2.94) για κάθε αποδεκτή συνάρτηση $\eta (x)$.

Στο σημείο αυτό χρειαζόμαστε το ακόλουθο:

Σύντομη απόδειξη. Έστω $\varphi (x)\ne 0$, π.χ., $\varphi (x=\xi )>0$. Τότε υπάρχει γειτονιά $G$ του $x$ () όπου $\varphi (x)>0$. Τώρα εκλέγουμε $\eta (x)={(x-{\xi }_0)}^4{(x-{\xi }_1)}^4$ στο $G$ και $\eta (x)=0$ εκτός του $G$. Στην περίπτωση αυτή θα έχουμε ${\int }_{x_1}^{x_2}\varphi \eta dx>0$, το οποίο όμως αντιβαίνει στην υπόθεση. ∎

Χρησιμοποιώντας τον συμβολισμό που έχουμε εισαγάγει ας γράψουμε την (2.94) ως

$$\delta J={\int }_{x_1}^{x_2}\left[\frac{\partial L}{\partial y}-\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial L}{\partial y_x}\right)\right]\delta ydx.$$

(2.96)

Η συνθήκη $\delta J=0$ με τη βοήθεια του προηγουμένου λήμματος (2.95) δίνει την ακόλουθη αναγκαία συνθήκη για να έχει ακρότατο το $J$:

$$\frac{\partial L}{\partial y}-\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial L}{\partial y_x}\right)=0.$$

(2.97)

Η διαφορική αυτή εξίσωση λέγεται εξίσωση Euler-Lagrange. Οι λύσεις $y(x)$ εξασφαλίζουν ότι $\delta J(y,\eta )=0$ για κάθε $\eta (x)$ και λέμε ότι το $y(x)$ είναι στάσιμο σημείο του $J(y)$.