4.3 Μελέτη

Τροχιά φορτίου σε ομογενές μαγνητικό πεδίο
Ας υποθέσουμε ότι ένα φορτισμένο σωμάτιο μάζας $m$ και φορτίου $q$ βρίσκεται σε ομογενές σταθερό μαγνητικό πεδίο $B$. Έχει αρχική ταχύτητα ${\dot{x}}_0:=\dot{x}(t=0),{\dot{y}}_0:=\dot{y}(t=0)$ και βρίσκεται στο σημείο $x_0:=x(t=0),y_0:=y(t=0)$. Βρείτε την τροχιά του. [Υπόδειξη: Υπολογίστε την ποσότητα ${(x-R_x)}^2+{(y-R_y)}^2$.]

Ευθύγραμμη τροχιά φορτίου σε ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο
Έστω ένα φορτισμένο σωμάτιο το οποίο βρίσκεται μέσα σε κάθετα μεταξύ τους ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο τα οποία είναι σταθερά και ομογενή. Βρείτε μια ειδική λύση (για κατάλληλες αρχικές συνθήκες) η οποία περιγράφει ευθύγραμμη και ομαλή κίνηση του σωματίου.

Χαμιλτονιανή φορτίου σε ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο
Ένα σωμάτιο μάζας $m$ με φορτίο $q$ βρίσκεται σε μαγνητικό πεδίο $B$ το οποίο παράγεται από διανυσματικό δυναμικό $𝑨$ ως $𝑩=\nabla \times 𝑨$ και σε ηλεκτρικό πεδίο το οποίο παράγεται από βαθμωτό δυναμικό $\mathrm{\Phi }$ ως $𝑬=-\nabla \mathrm{\Phi }$. Βρείτε ότι η Χαμιλτονιανή του δίνεται ως

Εξισώσεις Euler-Lagrange για ζεύγος αλληλεπιδρώντων φορτίων
Γράψτε το σύστημα των εξισώσεων (4.41) για ζεύγος φορτίων σε σταθερό μαγνητικό πεδίο θεωρώντας δυναμικό αλληλεπίδρασης

(α) Ορίστε νέες παραμέτρους ώστε να γράψετε το σύστημα σε πιο απλή μορφή. (β) Γράψτε ένα ισοδύναμο σύστημα εξισώσεων 1ης τάξεως.

Σύστημα $N$ αλληλεπιδρώντων φορτίων
Γενικεύστε τις εξισώσεις (4.41) για να περιγράψετε ένα σύστημα $N$ αλληλεπιδρώντων φορτίων σε μαγνητικό πεδίο. Βρείτε διατηρήσιμες ποσότητες για αυτό το σύστημα (ενέργεια, οδηγός της κίνησης). [Υπόδειξη: Το δυναμικό μπορεί να δίνεται από ένα άθροισμα από όρους της μορφής $V({\mathrm{\ell }}_{ij})$ όπου $(i,j)$ είναι όλα τα δυνατά ζευγάρια φορτίων και ${\mathrm{\ell }}_{ij}$ η αποστάσεις μεταξύ τους. Ακολούθως αρκεί να χρησιμοποιήσετε αθροίσματα στα δεξιά μέλη των εξισώσεων, για κάθε αλληλεπιδρόν ζεύγος φορτίων.]

Κίνηση φορτίου με τριβή
Θεωρήστε την περίπτωση ενός φορτίου το οποίο βρίσκεται σε ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο και υπόκειται σε τριβή. Βρείτε αριθμητικά και σχεδιάστε την τροχιά του σωματίου για κάποιες συγκεκριμένες αρχικές συνθήκες της επιλογής σας και για μία σταθερά τριβής $\alpha >0$. [Υπόδειξη: θεωρήστε σταθερά και ομογενή πεδία κάθετα μεταξύ τους.]

Τροχιά ζεύγους δινών
(α) Θεωρήστε δύο δίνες με ισχύες ${\gamma }_1,{\gamma }_2$ και ${\gamma }_1+{\gamma }_2\ne 0$. Βρείτε αναλυτικά την τροχιά τους χρησιμοποιώντας τις διατηρήσιμες ποσότητες.
(β) Έστω δίνες με ${\gamma }_1={\gamma }_2=1/2$ οι οποίες βρίσκονται αρχικά στις θέσεις $(x_1,y_1)=(1,0)$ και $(x_2,y_2)=(-1,0)$. Βρείτε την τροχιά τους.
(γ) Έστω δίνες με ${\gamma }_1=2{\gamma }_2=2$ οι οποίες βρίσκονται αρχικά στις θέσεις $(x_1,y_1)=(1,0)$ και $(x_2,y_2)=(-1,0)$. Βρείτε την τροχιά τους.

Τροχιά ζεύγους δινών Kelvin
(α) Θεωρήστε δύο δίνες με ισχύες ${\gamma }_1,{\gamma }_2$ και ${\gamma }_1+{\gamma }_2=0$. Βρείτε αναλυτικά την τροχιά τους χρησιμοποιώντας τις διατηρήσιμες ποσότητες.
(β) Έστω δίνες με ${\gamma }_1=-{\gamma }_2=1$ οι οποίες βρίσκονται αρχικά στις θέσεις $(x_1,y_1)=(1,0)$ και $(x_2,y_2)=(-1,0)$. Λύστε τις εξισώσεις κίνησης και έτσι βρείτε την τροχιά τους.

Εξισώσεις κίνησης ζεύγους δινών στο μιγαδικό επίπεδο
Γράψτε τις Εξ. (4.54) χρησιμοποιώντας τις μιγαδικές μεταβλητές $z_k=x_k+i{y}_k,k=1,2$.

Εξισώσεις κίνησης ζεύγους δινών πολικές συντεταγμένες
Γράψτε τις Εξ. (4.54) σε πολικές συντεταγμένες για ${\gamma }_1={\gamma }_2$. Βρείτε τη γωνιακή συχνότητα περιστροφής του ζεύγους.

Δίνη σε εξωτερικό πεδίο
(α) Γράψτε τη (γενική) Λαγκρανζιανή για μία δίνη σε εξωτερικό πεδίο το οποίο δίνεται από δυναμικό. (β) Θεωρήστε παραβολικό δυναμικό το οποίο να παγιδεύει τη δίνη και γράψτε την (ειδικότερη) Λαγκρανζιανή. (γ) Γράψτε και λύστε τις εξισώσεις κίνησης. (δ) Γράψτε κώδικα ο οποίος να λύνει τις εξισώσεις κίνησης για ένα γενικό δυναμικό. Σχεδιάστε λύσεις για ένα δυναμικό της επιλογής σας. [Υπόδειξη: Προσθέσθε έναν νέο κατάλληλο όρο δυναμικού στην ενέργεια είτε στη Λαγκρανζιανή και εξαγάγεται τις νέες εξισώσεις κίνησης.]

Δύναμη τριβής για δίνες
(α) Γράψτε την (γενική) Λαγκρανζιανή για μία δίνη σε εξωτερικό δυναμικό. (β) Θεωρήστε δυναμικό το οποίο να δίνει μία σταθερή δύναμη και γράψτε την (ειδικότερη) Λαγκρανζιανή. Βρείτε την τροχιά της δίνης. (γ) Ακολούθως, θεωρήστε δύναμη τριβής ανάλογη της ταχύτητας και γράψτε τις εξισώσεις κίνησης. (δ) Δώστε λύσεις των εξισώσεων κίνησης και βρείτε την τροχιά της δίνης (δηλαδή, $y=y(x)$).

Εξισώσεις κίνησης για τρεις δίνες
Εξάγετε τις εξισώσεις κίνησης (4.80) για τρεις αλληλεπιδρώσες δίνες.

Τρεις δίνες: Δυναμική πλευρών τριγώνου
Εξάγετε τις δυναμικές εξισώσεις (4.82) για τις αποστάσεις μεταξύ τριών αλληλεπιδρουσών δινών (δηλαδή, για τις πλευρές του τριγώνου που σχηματίζουν οι τρεις δίνες).