A Βασικά μαθηματικά εργαλεία A Βασικά μαθηματικά εργαλεία A.2 Γραμμική Άλγεβρα – Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Πινάκων

A.1 Διανύσματα

A.1.1 Εσωτερικό γινόμενο

Θεωρούμε δύο διανύσματα $\bm{a}=a_{1}\bm{\hat{\imath}}+a_{2}\bm{\hat{\jmath}}+a_{3}\bm{\hat{k}}$ και $\bm{b}=b_{1}\bm{\hat{\imath}}+b_{2}\bm{\hat{\jmath}}+b_{3}\bm{\hat{k}}$ .

Ορισμός.

Το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων $\bm{a},\bm{b}$ ορίζεται ως

\bm{a}\cdot\bm{b}=|\bm{a}|\,|\bm{b}|\,\cos\theta

(A.1)

όπου $\theta$ η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων. Το εσωτερικό γινόμενο λέγεται και βαθμωτό γινόμενο.

Το εσωτερικό γινόμενο μπορεί να υπολογιστεί αν γνωρίζουμε τις συνιστώσες των διανυσμάτων ως

\bm{a}\cdot\bm{b}=a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}.

(A.2)

Έχουμε τις ιδιότητες:

$\bullet$

$\bm{a}\cdot\bm{b}=\bm{b}\cdot\bm{a}$
$\bullet$

$(c\bm{a})\cdot\bm{b}=c(\bm{a}\cdot\bm{b}),\quad c\in\mathbb{R}$
$\bullet$

$\bm{a}\cdot(\bm{b}+\bm{c})=\bm{a}\cdot\bm{b}+\bm{a}\cdot\bm{c}$

Παρατήρηση A.1.

Το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων $\bm{a},\bm{b}$ είναι ίσο με μηδέν όταν αυτά είναι κάθετα μεταξύ τους είτε όταν ένα διάνυσμα είναι ίσο με το μηδενικό διάνυσμα.

A.1.2 Εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων

Ορισμός.

To εξωτερικό γινόμενο μεταξύ δύο διανυσμάτων $\bm{a},\bm{b}$ συμβολίζεται ως

\bm{a}\times\bm{b}

και ορίζεται ως διάνυσμα με διεύθυνση κάθετη στα $\bm{a}$ και $\bm{b}$ έτσι ώστε τα $(\bm{a},\bm{b},\bm{a}\times\bm{b})$ να σχηματίζουν ένα δεξιόστροφο σύστημα. Το μέτρο του είναι $|\bm{a}\times\bm{b}|=|\bm{a}|\,|\bm{b}|\,\sin\theta$ , όπου $\theta$ η γωνία μεταξύ των $\bm{a}$ και $\bm{b}$ .

Χρησιμοποιώντας τις συνιστώσες των διανυσμάτων το εξωτερικό γινόμενο δίνεται ως

\bm{a}\times\bm{b}=(a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y})\bm{\hat{\imath}}+(a_{z}b_{x}-a_{x}b% _{z})\bm{\hat{\jmath}}+(a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x})\bm{\hat{k}}.

(A.3)

Παρατήρηση A.2.

Το εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων δίνεται με τη μορφή ορίζουσας ως

\bm{a}\times\bm{b}=\left|\begin{array}[]{ccc}\bm{\hat{\imath}}&\bm{\hat{\jmath% }}&\bm{\hat{k}}\\ a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{array}\right|.

(A.4)

Από τις ιδιότητες των οριζουσών συνάγονται οι ιδιότητες του εξωτερικού γινομένου:

•

$\bm{a}\times\bm{b}=-\bm{b}\times\bm{a}$
•

$\bm{a}\times\bm{a}=0$
•

$\bm{a}\times(\beta\bm{b}+\gamma\bm{c})=\beta(\bm{a}\times\bm{b})+\gamma(\bm{a}% \times\bm{c}),\quad\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R}.$

Παρατήρηση A.3.

Το εξωτερικό γινόμενο δεν έχει τη μεταθετική ιδιότητα.

Παράδειγμα A.1.

(Τριπλό γινόμενο ή μικτό γινόμενο) Ας θεωρήσουμε τον συνδυασμό των διανυσμάτων $\bm{a},\bm{b},\bm{c}$ :

\bm{a}\cdot(\bm{b}\times\bm{c}).

Παρατηρούμε ότι $\bm{b}\times\bm{c}$ είναι διάνυσμα, και άρα έχουμε το (βαθμωτό) εσωτερικό γινόμενο των δύο διανυσμάτων $\bm{a}$ και $\bm{b}\times\bm{c}$ , ώστε το αποτέλεσμα είναι πραγματικός αριθμός. Υπολογίζουμε

	$\displaystyle\bm{a}\cdot(\bm{b}\times\bm{c})$	$\displaystyle=(a_{1}\bm{\hat{\imath}}+a_{2}\bm{\hat{\jmath}}+a_{3}\bm{\hat{k}}% )\cdot\left(\bm{\hat{\imath}}\left\|\begin{array}[]{cc}b_{2}&b_{3}\\ c_{2}&c_{3}\end{array}\right\|-\bm{\hat{\jmath}}\left\|\begin{array}[]{cc}b_{1}&% b_{3}\\ c_{1}&c_{3}\end{array}\right\|+\bm{\hat{k}}\left\|\begin{array}[]{cc}b_{1}&b_{2}% \\ c_{1}&c_{2}\end{array}\right\|\right)=$
		$\displaystyle a_{1}\left\|\begin{array}[]{cc}b_{2}&b_{3}\\ c_{2}&c_{3}\end{array}\right\|-a_{2}\left\|\begin{array}[]{cc}b_{1}&b_{3}\\ c_{1}&c_{3}\end{array}\right\|+a_{3}\left\|\begin{array}[]{cc}b_{1}&b_{2}\\ c_{1}&c_{2}\end{array}\right\|=\left\|\begin{array}[]{ccc}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3}\\ c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}\right\|.$

Παράδειγμα A.2.

Σώμα μάζας $m$ κινείται γύρω από ένα κέντρο $O$ με ταχύτητα $\bm{v}$ . Αν $\bm{p}=m\bm{v}$ είναι η ορμή του, η στροφορμή του ορίζεται ως

\bm{l}=\bm{r}\times\bm{p}=m\bm{r}\times\bm{v}.

Για παράδειγμα, αν η κίνηση είναι κυκλική το μέτρο της στροφορμής είναι $l=mvr$ . Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής είναι

\frac{d\bm{l}}{dt}=\frac{d}{dt}(\bm{r}\times\bm{p})=\frac{d\bm{r}}{dt}\times% \bm{p}+\bm{r}\times\frac{d\bm{p}}{dt}=\bm{v}\times(m\bm{v})+\bm{r}\times\bm{F}% =\bm{r}\times\bm{F},

όπου $\bm{F}$ είναι η δύναμη και το $\bm{\tau}=\bm{r}\times\bm{F}$ λέγεται ροπή της δύναμης.

Σύντομο πρόβλημα A.1.

Αν τα διανύσματα $\bm{a},\,\bm{b},\,\bm{c}$ ικανοποιούν την ισότητα $\bm{a}+\bm{b}+\bm{c}=0$ , να δείξετε ότι

\bm{a}\times\bm{b}=\bm{c}\times\bm{a}=\bm{b}\times\bm{c}.