Τα μαθηματικά έχουν χρησιμοποιηθεί για τη μελέτη φαινομένων του πραγματικού κόσμου, αλλά και δημιουργημάτων του ανθρώπου, από την αρχαιότητα έως σήμερα. Πράγματι, στην προσπάθεια του ανθρώπου να επιλύσει βασικά του προβλήματα, και να αναπτύξει πολιτισμό, βασικό ρόλο έπαιξε η περιγραφή φαινομένων ή διαδικασιών με τη χρήση μαθηματικών εννοιών και συμβόλων. Αυτή τη μαθηματική περιγραφή συνήθως την ονομάζουμε μαθηματικό μοντέλο.
Το παρόν σύγγραμμα αφορά τη Μαθηματική Μοντελοποίηση, δηλαδή τη διαδικασία ανάπτυξης ενός μαθηματικού μοντέλου, το οποίο στην πολύ γενική περιγραφή αφορά φαινόμενα, δραστηριότητες ή διαδικασίες που μπορούν να προέρχονται από τελείως διαφορετικά επιστημονικά πεδία, όπως από τις φυσικές επιστήμες, τις επιστήμες της μηχανικής, τα οικονομικά, τις κοινωνικές επιστήμες αλλά και τις ανθρωπιστικές σπουδές. Από όλα τα παραπάνω πιθανά επιστημονικά πεδία, εδώ θα εστιάσουμε στα μαθηματικά μοντέλα που αφορούν κυρίως τις φυσικές επιστήμες, όπως φαίνεται και από τον υπότιτλο του βιβλίου.
Γιατί όμως χρειάζεται ένα εξειδικευμένο βιβλίο μαθηματικής μοντελοποίησης; Για να απαντήσουμε στην ερώτηση αυτή θα πρέπει να σκεφτούμε τη σημαντικότητα του αντικειμένου στην εποχή μας. Πράγματι η αλματώδης εξέλιξη της τεχνολογίας στην εποχή μας έχει συνδεθεί με την χρήση υπαρχόντων και την ανάπτυξη νέων καινοτόμων μαθηματικών εργαλείων και εννοιών με στόχο την εφαρμογή τους σε μια πληθώρα διαφορετικών πεδίων όπως τη νανοτεχνολογία, τα σύγχρονα υλικά, τη βιοτεχνολογία και τη μοριακή ιατρική, με πολύ σημαντικές επιπτώσεις στην καθημερινή ζωή των ανθρώπων. Σε όλα αυτά τα πεδία απαιτείται η ανάπτυξη μαθηματικών μοντέλων για το σχεδιασμό και τη βελτίωση καινοτόμων διαδικασιών. Για αυτό το λόγο στις μέρες μας η μαθηματική μοντελοποίηση αποτελεί πλέον βασικό αντικείμενο στις προπτυχιακές και μεταπτυχιακές σπουδές πανεπιστημιακών τμημάτων των φυσικών επιστημών και της μηχανικής, είτε ως αυτοτελές μάθημα είτε σε συνδυασμό με συγγενή επιστημονικά πεδία.
Βασικό αντικείμενο λοιπόν του συγγράμματος είναι παρουσίαση βασικών στοιχείων μαθηματικής μοντελοποίησης με εφαρμογές κυρίως στις φυσικές επιστήμες. Κύριοι στόχοι του βιβλίου είναι οι εξής:
Πρώτον, να παρουσιάσουμε τις βασικές αρχές της μαθηματικής μοντελοποίησης και πιο συγκεκριμένα του τρόπου ανάπτυξης μοντέλων για τη μελέτη και κατανόηση της συμπεριφοράς πραγματικών πολύπλοκων συστημάτων.
Δεύτερον, να μελετήσουμε εκτενώς παραδείγματα μαθηματικών μοντέλων τα οποία αφορούν κυρίως τις Φυσικές επιστήμες, προέρχονται δηλαδή από τη Φυσική, τη Χημεία και τη Βιολογία.
Για την επίτευξη των παραπάνω είναι απαραίτητη η παρουσίαση των μαθηματικών εργαλείων που απαιτούνται για τη μελέτη – επίλυση των μαθηματικών μοντέλων. Αυτό αποτελεί επίσης ένα βασικό στόχο του συγγράμματος.
Ας δούμε όμως πολύ σύντομα τα βήματα μελέτης ενός φαινομένου μέσω της μαθηματικής μοντελοποίησης
Το πρώτο βήμα αφορά τη συλλογή δεδομένων από πειραματικές μετρήσεις, για ένα συγκεκριμένο φαινόμενο ή διαδικασία.
Το δεύτερο, την ανάπτυξη των μαθηματικών εννοιών και σχέσεων που περιγράφουν το φαινόμενο (δηλαδή του μαθηματικού μοντέλου) μέσω κατάλληλων υποθέσεων/παραδοχών.
Το τρίτο, την επίλυση του μοντέλου με χρήση διαφόρων μαθηματικών εργαλείων.
Το τελευταίο βήμα σχετίζεται με τον έλεγχο των προβλέψεων/αποτελεσμάτων του μοντέλου μέσω πειραματικών παρατηρήσεων, και στην περίπτωση που αυτές δεν είναι ικανοποιητικές τη πιθανή βελτίωση του μοντέλου και των υποθέσεων στις οποίες αυτό έχει βασισθεί.
Σχεδιασμός του βιβλίου. Λόγω ακριβώς της γενικότητας κα του εύρους των εφαρμογών των μαθηματικών μοντέλων, το αντικείμενο της μαθηματικής μοντελοποίησης μπορεί να παρουσιασθεί σε ένα σύγγραμμα με διαφορετικούς τρόπους, οι οποίοι συνήθως εμπίπτουν σε δύο διαφορετικές κατηγορίες. Η πρώτη αφορά την παρουσίαση ανάλογα με τα φαινόμενα – προβλήματα τα οποία εξετάζονται. Η δεύτερη την παρουσίαση ανάλογα με τα μαθηματικά εργαλεία που χρησιμοποιούνται. Στο παρόν σύγγραμμα ακολουθούμε την πρώτη μέθοδο, καθώς θεωρούμε ότι η ανάγκη για διακριτή συστηματική μελέτη των μαθηματικών μοντέλων προκύπτει: (α) από το μεγάλο εύρος πιθανών συστημάτων υπό μελέτη και (β) από την κοινή μεθοδολογία σε διαφορετικά προβλήματα. Επίσης θεωρούμε ότι ο τρόπος αυτός είναι καταλληλότερος από εκπαιδευτικής πλευράς καθώς παρουσιάζει τα μαθηματικά εργαλεία που χρησιμοποιούνται, και πολύ συχνά έχουν ήδη διδαχθεί οι φοιτητές στα βασικά μαθήματα ενός πρώτου κύκλου (1 ή 2 ετών) των προπτυχιακών τους σπουδών, σε συνέργεια με πραγματικά προβλήματα. Θα πρέπει να τονίσουμε ότι υπό την παραπάνω έννοια είναι εξαιρετικά σημαντική η επίλυση παραδειγμάτων, προβλημάτων και εργασιών, κάτι που αποτελεί βασικό χαρακτηριστικό του συγγράμματος.
Όπως αναφέρθηκε και παραπάνω τα θέματα της Μαθηματικής Μοντελοποίησης εκτείνονται σε όλο το εύρος των επιστημών διότι τα φαινόμενα για τα οποία μία ποσοτική περιγραφή τους μπορεί να κριθεί χρήσιμη είναι ευρύτατα. Για να προκύψει μία συστηματική εργασία σε αυτόν τον τομέα είναι λοιπόν ανάγκη να εντοπίσει κανείς το ενδιαφέρον του περιορίζοντάς το σε ορισμένες επιστήμες και σε ορισμένα μόνο θέματα. Στο παρόν σύγγραμμα έχουμε περιορισθεί στην περιγραφή μαθηματικών μοντέλων στις θετικές επιστήμες.
Πιο συγκεκριμένα η δομή του βιβλίου είναι η εξής. Το πρώτο κεφάλαιο είναι μια σύντομη εισαγωγή στη μαθηματική μοντελοποίηση. Αναφέρονται βασικές έννοιες που σχετίζονται με την ανάπτυξη και μαθηματική θεμελίωση μοντέλων, περιγράφονται βασικά μαθηματικά εργαλεία αναπτύσσοντας εκτενώς τη διαστατική ανάλυση – αδιαστατοποίηση. Τα επόμενα δύο κεφάλαια είναι αφιερωμένα σε κλασικά θέματα της επιστήμης πάνω στα οποία μπορούν να βασισθούν νεότεροι κλάδοι. Πιο συγκεκριμένα το κεφάλαιο 2 περιγράφει την κλασική μηχανική με βάση τους νόμους του Νεύτωνα αλλά και τον Λαγκρανζιανό και τον Χαμιλτονιανό φορμαλισμό. Το κεφάλαιο 3 είναι μια εκτενής εισαγωγή στα δυναμικά συστήματα, περιγράφοντας βασικές έννοιες και τεχνικές, δίνοντας ιδιαίτερο βάρος σε συστήματα συνήθων διαφορικών εξισώσεων, περιγράφοντας τα σημεία ισορροπίας και την ευστάθειά τους, αναδεικνύοντας με αυτό τον τρόπο τη χρησιμότητά τους στην κατανόηση ιδιοτήτων των μαθηματικών μοντέλων. Κατόπιν στο κεφάλαιο 4 δίνεται μια λεπτομερής μελέτη της κίνησης φορτίων υπό την επίδραση ηλεκτρικού και μαγνητικού πεδίου. Τα δύο επόμενα κεφάλαια 5 και 6 αφορούν μαθηματικά μοντέλα που περιγράφουν βιολογικά συστήματα. Πιο συγκεκριμένα, στο κεφάλαιο 5 περιγράφονται συνεχή και διακριτά πληθυσμιακά μοντέλα ενός είδους, ενώ στο κεφάλαιο 6 πληθυσμιακά μοντέλα αλληλεπιδρώντων ειδών καθώς και επιδημιολογικά μοντέλα. Τέλος στο κεφάλαιο 7 δίνεται μια σύντομη εισαγωγή στη μαθηματική μοντελοποίηση στοχαστικών συστημάτων και πιο ειδικά με τις μεθόδους Monte Carlo. Στο παράρτημα του βιβλίου δίνεται μια συνοπτική παρουσίαση βασικών μαθηματικών εργαλείων από τα διανύσματα, τη γραμμική άλγεβρα, τις διαφορικές εξισώσεις, και τις πιθανότητες. Στα περισσότερα κεφάλαια του βιβλίου υπάρχουν παραδείγματα λυμένα με χρήση υπολογιστικών αλγορίθμων.
Το σύγγραμμα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη διδασκαλία σε ένα έως δύο διδακτικά εξάμηνα, με επιθυμητή χρήση υπολογιστικών εργαστηρίων, σε ένα τυπικό τμήμα μαθηματικών ή εφαρμοσμένων μαθηματικών. Η διδασκαλία του συνόλου των θεμάτων θα απαιτούσε περισσότερο του ενός εξαμήνου. Για την περίπτωση ενός εξαμηνιαίου μαθήματος προτείνουμε την πλήρη διδασκαλία των κεφαλαίων 1, 2 και 3 καθώς και επιλογή θεμάτων από τα επόμενα κεφάλαια. Πιο συγκεκριμένα η διδασκαλία του κεφαλαίου 5 έχει ως βάση το κεφάλαιο 2, ενώ αυτή των κεφαλαίων 5 και 6, το κεφάλαιο 3.
Η χρήση του συγγράμματος μπορεί να γίνει με διαφορετικούς τρόπους ανάλογα με το υπόβαθρο των φοιτητών, το επιστημονικό πεδίο που θεραπεύει το τμήμα, και το αν πρόκειται να διδαχθεί σε ένα πλήρες διδακτικό εξάμηνο. Γενικότερα προτείνουμε αρχικά τη διδασκαλία των δύο πρώτων κεφαλαίων, στα οποία μπορούν να προστεθούν νεότερα θέματα τα οποία αναπτύσσονται στα επόμενα κεφάλαια. Περιγράφουμε ορισμένες από τις δυνατότητες για την περίπτωση ενός εξαμηνιαίου μαθήματος. (α) Μετά την διδασκαλία του κεφαλαίου 2 μπορεί να ακολουθήσει το κεφάλαιο 4. Αυτό θα αποτελούσε ένα μεγάλο μέρος ενός εξαμηνιαίου μαθήματος που αφορά τη δυναμική σωμάτων στις θετικές επιστήμες. (β) Μετά την διδασκαλία του κεφαλαίου 3 μπορεί να ακολουθήσει αυτή των κεφαλαίων 5 και 6. Αυτό θα αποτελούσε ένα μεγάλο μέρος ενός εξαμηνιαίου μαθήματος στην μαθηματική βιολογία. (γ) Μετά την διδασκαλία του κεφαλαίου 2 μπορεί να ακολουθήσει το κεφάλαιο 7. Αυτό θα αποτελούσε ένα μεγάλο μέρος ενός εξαμηνιαίου μαθήματος στην μελέτη και επίλυση μοντέλων με αριθμητικές μεθόδους στις θετικές επιστήμες. Σε κάθε περίπτωση προτείνουμε οποιοδήποτε θέμα επιλεχθεί να διδαχθεί να συνοδευτεί από εκτενή μελέτη και επίλυση αντίστοιχων παραδειγμάτων και αριθμητικών προσομοιώσεων.
Τέλος τονίζουμε ότι πέρα των θεμάτων που παρουσιάζονται εδώ, περισσότερο διαδραστικό υλικό υπάρχει στην ιστοσελίδα: