4.1 Δυναμική φορτίων σε ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο

Θεωρούμε ένα ηλεκτρικό πεδίο το οποίο είναι ένα διανυσματικό πεδίο $𝑬=𝑬(𝒓)$. Η ηλεκτρική δύναμη που ασκείται σε ένα φορτισμένο σωμάτιο με φορτίο $q$ δίνεται με τη βοήθεια του ηλεκτρικού πεδίου και είναι ${𝑭}_E=q𝑬$ [11]. Αν το φορτισμένο σωμάτιο έχει μάζα $m$ τότε η εξίσωση του Νεύτωνα έχει τη μορφή

$$m\frac{d𝝊}{dt}=q𝑬.$$

(4.1)

Οι εξισώσεις Maxwell του ηλεκτρομαγνητισμού μάς λένε ότι για το ηλεκτρικό πεδίο $𝑬$ ισχύει $\nabla \times 𝑬=0$ (αυτό πάντως ισχύει μόνο στην περίπτωση που τα μαγνητικά πεδία του περιβάλλοντος είναι ανεξάρτητα του χρόνου). Αυτό έχει ως συνέπεια ότι μπορούμε να ορίσουμε μία βαθμωτή συνάρτηση δυναμικού $\mathrm{\Phi }=\mathrm{\Phi }(𝒓)$ τέτοια ώστε η κλίση του δυναμικού να δίνει το ηλεκτρικό πεδίο: $𝑬=-\mathbf{\nabla }\mathrm{\Phi }$. Θα περιοριστούμε σε κίνηση στο επίπεδο $xy$, ώστε το δυναμικό είναι συνάρτηση $\mathrm{\Phi }=\mathrm{\Phi }(x,y)$. Οι εξισώσεις κίνησης (4.1) έχουν τη μορφή

(4.2)

Το δυναμικό είναι χρήσιμο και στον ορισμό της ενέργειας του συστήματος η οποία είναι

$$ℰ=\frac{1}{2}m({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2)+q\mathrm{\Phi }(x,y).$$

(4.3)

Μπορούμε να δείξουμε ότι αυτή διατηρείται στον χρόνο. Υπολογίζουμε τη χρονική παράγωγό της, λαμβάνοντας υπόψιν ότι η θέση του σωματίου $(x,y)$ εξαρτάται από τον χρόνο. Για παράδειγμα, η ολική χρονική παράγωγος του δυναμικού είναι

$$\frac{d\mathrm{\Phi }}{dt}=\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial y}\frac{dy}{dt}.$$

Η ολική παράγωγος της ενέργειας είναι

$$\frac{dℰ}{dt}=m\dot{x}\ddot{x}+m\dot{y}\ddot{y}+q\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial x}\dot{x}+q\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial y}\dot{y}=\dot{x}\left(m\ddot{x}+q\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial x}\right)+\dot{y}\left(m\ddot{y}+q\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial y}\right)=0.$$

Το αποτέλεσμα στην τελευταία ισότητα προκύπτει με χρήση των εξισώσεων κίνησης (4.2). Εφόσον η χρονική παράγωγος της ενέργειας είναι μηδέν για κάθε δυνατή κίνηση του φορτίου προκύπτει ότι η $ℰ$ είναι μία σταθερή συνάρτηση.

Θα υποθέσουμε τώρα ότι το φορτισμένο σωμάτιο μάζας $m$ με ηλεκτρικό φορτίο $q$ κινείται μέσα σε ένα μαγνητικό πεδίο $𝑩$. Η δύναμη που του ασκείται εξαρτάται, όχι μόνο από το μαγνητικό πεδίο, αλλά και από την ταχύτητά του $𝝊$ και δίνεται από την [11, 10]

$${𝑭}_B=q𝝊\times 𝑩.$$

(4.4)

Θα θεωρήσουμε στα παρακάτω την περίπτωση ενός σταθερού ομογενούς μαγνητικού πεδίου $𝑩=B\widehat{𝒛}$, όπου $B$ είναι σταθερά. Χωρίς βλάβη της γενικότητας θέσαμε τον άξονα $z$ στην κατεύθυνση του σταθερού μαγνητικού πεδίου. Θα περιοριστούμε επίσης στην περίπτωση που το φορτίο κινείται σε έναν διδιάστατο χώρο, δηλαδή στο επίπεδο $xy$ το οποίο είναι κάθετο στο $𝑩$. Σύμφωνα με το νόμο του Νεύτωνα οι εξισώσεις κίνησης είναι

$$m\frac{d𝝊}{dt}=q𝝊\times 𝑩\Rightarrow \frac{d𝝊}{dt}=\frac{qB}{m}𝝊\times \widehat{𝒛}.$$

(4.5)

Οι εξισώσεις για τις συνιστώσες της ταχύτητας $𝝊=({\upsilon }_x,{\upsilon }_y)$ γράφονται σε απλούστερη μορφή ως

(4.6)

όπου έχουμε ορίσει την ποσότητα

$${\omega }_{\mathrm{c}}=\frac{qB}{m}$$

(4.7)

η οποία λέγεται συχνότητα κυκλότρου.

Υπολογίζουμε την παράγωγο του τετραγώνου του μέτρου της ταχύτητας ${|𝝊|}^2={𝝊}^2$:

$$\frac{d{𝝊}^2}{dt}=2𝝊\cdot \frac{d𝝊}{dt}=2𝝊\cdot (q𝝊\times 𝑩)=0.$$

Στον υπολογισμό χρησιμοποιήσαμε την Εξ. (4.5) για την παράγωγο της ταχύτητας και ακολούθως μία βασική ιδιότητα του τριπλού γινομένου. Το αποτέλεσμα δείχνει ότι το μέτρο της ταχύτητας $|𝝊|$ είναι σταθερό για κάθε κίνηση φορτίου που υπακούει τις εξισώσεις κίνησης.

Η μορφή των εξισώσεων (4.6) γίνεται σαφής αν γράψουμε τις δύο συνιστώσες της ταχύτητας ως μία μιγαδική μεταβλητή

$$\tilde{\upsilon }={\upsilon }_x+i{\upsilon }_y,$$

(4.8)

για την οποία, χρησιμοποιώντας τις Εξ. (4.6), βρίσκουμε την εξίσωση κίνησης

$$\dot{\tilde{\upsilon }}+i{\omega }_{\mathrm{c}}\tilde{\upsilon }=0.$$

(4.9)

Πρόκειται για μία γραμμική εξίσωση 1ης τάξης και η λύση της είναι

(4.10)

όπου οι ${\upsilon }_0,\delta$ είναι πραγματικές σταθερές. Βλέπουμε ότι η ταχύτητα $𝝊$ μεταβάλλεται περιοδικά και η ${\upsilon }_0$ δίνει το σταθερό μέτρο της. Η φάση $\delta$ καθορίζει την κατεύθυνση της αρχικής ταχύτητας. Για παράδειγμα, όταν $\delta =0$ η αρχική ταχύτητα είναι $𝝊(t=0)=(v_0,0)$.

Οι συντεταγμένες θέσης βρίσκονται ολοκληρώνοντας τις Εξ. (4.10) και δίνονται από τις

$$x(t)=x_0+R\sin ({\omega }_{\mathrm{c}}t+\delta ),y(t)=y_0+R\cos ({\omega }_{\mathrm{c}}t+\delta ),R=\frac{{\upsilon }_0}{{\omega }_{\mathrm{c}}},$$

(4.11)

όπου $x_0,y_0$ είναι δύο νέες σταθερές από την ολοκλήρωση. Η κίνηση είναι κυκλική γύρω από τη θέση $(x_0,y_0)$, την οποία μπορούμε για απλότητα να θέσουμε στην αρχή των αξόνων $(0,0)$. Η συχνότητα περιστροφής είναι ${\omega }_{\mathrm{c}}$ και αυτή είναι ανεξάρτητη του μέτρου της ταχύτητας ${\upsilon }_0$.

Οι δύο εξισώσεις της κίνησης (4.6) γράφονται, για τη θέση $(x,y)$, στη μορφή

$$\frac{\ddot{x}}{{\omega }_{\mathrm{c}}}-\dot{y}=0,\frac{\ddot{y}}{{\omega }_{\mathrm{c}}}+\dot{x}=0.$$

(4.12)

Αυτές μπορούν να γραφούν ως αναλλοίωτες χρονικές παράγωγοι

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\dot{x}}{{\omega }_{\mathrm{c}}}-y\right)=0,\frac{d}{dt}\left(\frac{\dot{y}}{{\omega }_{\mathrm{c}}}+x\right)=0,$$

(4.13)

άρα, οι ποσότητες στις παρενθέσεις είναι διατηρήσιμες ποσότητες της κίνησης. Θα ορίσουμε τις διατηρήσιμες ποσότητες στη μορφή

$$R_x:=x+\frac{\dot{y}}{{\omega }_{\mathrm{c}}},R_y:=y-\frac{\dot{x}}{{\omega }_{\mathrm{c}}}$$

(4.14)

έτσι ώστε να σχετίζονται με τις συντεταγμένες της φυσικής θέσής του φορτίου. Αυτές οι ποσότητες είναι χρήσιμες για την περιγραφή της κίνησης και το διάνυσμα $(R_x,R_y)$ λέγεται οδηγός της κίνησης (guiding center).

Τέλος, σημειώνουμε ότι το σύστημα έχει ενέργεια την

$$ℰ=\frac{1}{2}m({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2)$$

(4.15)

η οποία περιέχει μόνο τον κινητικό όρο, ενώ η ύπαρξη μαγνητικού πεδίου δεν προσθέτει επιπλέον όρο σε αυτήν. Η ενέργεια διατηρείται στην κίνηση, όπως αποδεικνύεται αν πάρουμε τη χρονική της παράγωγο:

$$\frac{dℰ}{dt}=m\dot{x}\ddot{x}+m\dot{y}\ddot{y}=\dot{x}(qB\dot{y})+\dot{y}(-qB\dot{x})=0.$$

Στον υπολογισμό έχουμε χρησιμοποιήσει τις εξισώσεις κίνησης (4.12). Η αποσαφήνιση ότι η (4.15) δίνει πραγματικά την ενέργεια του συστήματος θα δωθεί μέσω του Λαγκρανζιανού και Χαμιλτονιανού φορμαλισμού σε επόμενη παράγραφο.

Θεωρούμε ένα σωμάτιο μάζας $m$ φορτισμένο με ηλεκτρικό φορτίο $q$ το οποίο βρίσκεται υπό την επίδραση μαγνητικού πεδίου $𝑩=B\widehat{𝒛}$ και ηλεκτρικού πεδίου $𝑬$. Θα περιοριστούμε στην περίπτωση που το $𝑬$ είναι κάθετο στο $𝑩$, δηλαδή, είναι της μορφής $𝑬=(E_x,E_y,0)$.

Οι εξισώσεις κίνησης του σωματίου είναι [22]

(4.16)

Θα μελετήσουμε την περίπτωση ομογενούς ηλεκτρικού πεδίου και θα επιλέξουμε $𝑬=E\widehat{𝒙}$, όπου το $E$ είναι σταθερά στον χώρο και τον χρόνο. Οι εξισώσεις κίνησης γράφονται ως

(4.17)

Χρησιμοποιούμε και πάλι μιγαδική μεταβλητή για την ταχύτητα $\tilde{\upsilon }={\upsilon }_x+i{\upsilon }_y$, για την οποία η εξίσωση κίνησης είναι

$$\frac{d\tilde{\upsilon }}{dt}+i{\omega }_{\mathrm{c}}\tilde{\upsilon }={\omega }_{\mathrm{c}}\frac{E}{B}.$$

(4.18)

Λύση είναι η

$$\tilde{\upsilon }(t)={\upsilon }_x+i{\upsilon }_y={\upsilon }_0{e}^{-i({\omega }_{\mathrm{c}}t+\delta )}-i\frac{E}{B},$$

(4.19)

όπου ${\upsilon }_0,\delta$ είναι πραγματικές σταθερές. Αν επιλέξουμε την τιμή $\delta =-\pi /2$ (πράγμα που αντιστοιχεί σε επιλογή της αρχής του χρόνου $t$), έχουμε

$${\upsilon }_x(t)={\upsilon }_0\sin {\omega }_{\mathrm{c}}t,{\upsilon }_y(t)={\upsilon }_0\cos {\omega }_{\mathrm{c}}t-\frac{E}{B}.$$

(4.20)

Προσέξτε ότι η ταχύτητα στον χρόνο $t=0$ είναι $𝝊(t=0)=(v_0-E/B)\widehat{\mathit{ȷ}}$ (ώστε δεν έχει μέτρο ίσο με $v_0$). Μπορούμε, ως ειδική περίπτωση, να επιλέξουμε $v_0=E/B$ οπότε θα έχουμε αρχική ταχύτητα $𝝊(t=0)=0$.

Είναι δυνατόν να δώσουμε μία πλήρη λύση του προβλήματος υπολογίζοντας τη θέση του σωματίου. Ολοκληρώνουμε τις Εξ. (4.20) και βρίσκουμε τη θέση του φορτίου

$$x(t)=x_0+R(1-\cos {\omega }_{\mathrm{c}}t),y(t)=y_0+R\sin {\omega }_{\mathrm{c}}t-\frac{E}{B}t,R=\frac{{\upsilon }_0}{{\omega }_{\mathrm{c}}}.$$

(4.21)

Οι εξισώσεις αυτές, οι οποίες δίνουν την τροχιά του φορτίου, ορίζουν το τροχοειδές. Στην περίπτωση που επιλέξουμε αρχική ταχύτητα μηδέν, δηλαδή, $v_0=E/B$, παίρνουμε την κυκλοειδή κίνηση

$$x(t)=x_0+R(1-\cos {\omega }_{\mathrm{c}}t),y(t)=y_0+R(\sin {\omega }_{\mathrm{c}}t-{\omega }_{\mathrm{c}}t).$$

(4.22)

Η κίνηση στην κατεύθυνση $x$ είναι περιοδική με κέντρο το $x=x_0+R$ και μέγιστη απομάκρυνση $R$. Στην κατεύθυνση $y$ έχουμε έναν όρο γραμμικό στον χρόνο $t$ και σαν συνέπεια μία μονότονη αύξηση του $y(t)$.

Ο οδηγός της κίνησης βρίσκεται αφού αντικαταστήσουμε τις (4.21), (4.20) στον ορισμό (4.14):

$$R_x=x_0+\frac{1}{{\omega }_{\mathrm{c}}}\left({\upsilon }_0-\frac{E}{B}\right),R_y=y_0-\frac{E}{B}t.$$

(4.23)

Άρα το σημείο $(R_x,R_y)$ κινείται ευθύγραμμα και με σταθερή ταχύτητα προς την αρνητική κατεύθυνση $y$. Στην ειδική περίπτωση $v_0=E/B$ η αρχική θέση είναι $(R_x,R_y)=(x_0,y_0)$. Αν επιλέξουμε την αρχή των αξόνων ώστε $x_0=0=y_0$ τότε το σημείο $(R_x,R_y)$ θα κινείται επάνω στον άξονα $y$.

Στη συνέχεια θα δώσουμε μία συντομότερη μελέτη του προβλήματος η οποία βασίζεται στις διατηρήσιμες ποσότητες τις οποίες βρήκαμε απουσία ηλεκτρικού πεδίου, δηλαδή, στον οδηγό κίνησης $(R_x,R_y)$. Οι εξισώσεις για τη θέση του φορτίου είναι

(4.24)

και μπορούν να γραφούν ως

	${\displaystyle \frac{d}{dt}}\left({\displaystyle \frac{\dot{x}}{{\omega }_{\mathrm{c}}}}-y\right)$	$={\displaystyle \frac{E}{B}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{d{R}_y}{dt}}=-{\displaystyle \frac{E}{B}}$
	${\displaystyle \frac{d}{dt}}\left({\displaystyle \frac{\dot{y}}{{\omega }_{\mathrm{c}}}}+x\right)$	$=0\Rightarrow {\displaystyle \frac{d{R}_x}{dt}}=0,$

όπου εισαγάγαμε τον ορισμό (4.14) για τη θέση $(R_x,R_y)$ του οδηγού κίνησης. Οι λύσεις αυτών των εξισώσεων βρίσκονται εύκολα και είναι

$$R_x=R_x^{(0)},R_y=-\frac{E}{B}t+R_y^{(0)},$$

όπου $R_x^{(0)},R_y^{(0)}$ είναι σταθερές που καθορίζονται από τις αρχικές συνθήκες και δίνουν τον οδηγό της κίνησης στον χρόνο $t=0$. Αυτές οι εξισώσεις συμπίπτουν με τις (4.23) με κατάλληλη επιλογή των σταθερών.

Σημειώστε ότι ενώ το $R_x$ είναι διατηρήσιμη ποσότητα (όπως και στην περίπτωση όπου είχαμε μόνο μαγνητικό πεδίο), το $R_y$ δεν είναι πλέον διατηρήσιμη ποσότητα. Βλέπουμε ότι ο οδηγός της κίνησης κάνει ευθύγραμμη και ομαλή κίνηση προς την κατεύθυνση $y$. Η θέση του οδηγού κίνησης δεν συμπίπτει με τη θέση του σωματίου. Όμως, είναι εύλογο να υποθέσει κανείς ότι η θέση του σωματίου είναι κοντά στον οδηγό της κίνησης. Αυτή η εικόνα είναι σωστή ειδικά όταν το μαγνητικό πεδίο $B$ είναι μεγάλο. Συμπερασματικά, η λύση που βρήκαμε υποδεικνύει ότι η κίνηση του σωματίου είναι περιορισμένη προς την κατεύθυνση $x$ (αφού το $R_x$ είναι σταθερό στον χρόνο), ενώ το σωμάτιο κινείται προς την κατεύθυνση $y$.

Σύμφωνα με όσα είμαστε συνηθισμένοι να σκεφτόμαστε, με βάση τους νόμους του Νέυτωνα, η επιτάχυνση είναι κατά την κατεύθυνση της δύναμης και άρα και η κίνηση θα περιμέναμε να ήταν προς την ίδια κατεύθυνση. Στο πρόβλημα όμως αυτού του κεφαλαίου το μαγνητικό πεδίο φαίνεται να έχει τελείως ανατρέψει αυτή τη λογική.

Μπορούμε να εισαγάγουμε το ηλεκτρικό δυναμικό $\mathrm{\Phi }(x,y)$ για να περιγράψουμε το ηλεκτρικό πεδίο $𝑬$. Για την περίπτωση του σταθερού πεδίου $𝑬=(E,0,0)$ το δυναμικό είναι

$$\mathrm{\Phi }(x)=Ex$$

(4.25)

και μπορούμε άμεσα να επιβεβαιώσουμε ότι $𝑬=-\nabla \mathrm{\Phi }$. Η ενέργεια του σωματίου προκύπτει όταν στην έκφραση (4.15) προστεθεί η ενέργεια του δυναμικού του ηλεκτρικού πεδίου (4.25):

	$ℰ$	$={\displaystyle \frac{1}{2}}m({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2)+q\mathrm{\Phi }(x,y)\Rightarrow$
	$ℰ$	$={\displaystyle \frac{1}{2}}m({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2)-qEx.$		(4.26)

Αυτή η ενέρεια συμπίπτει με την ενέργεια (4.3) για φορτίο το οποίο βρίσκεται σε ηλεκτρικό πεδίο μόνο.

Δεδομένου ότι το σύστημα του φορτίου σε ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο διατηρεί την ενέργεια, θα ήταν προτιμότερο να το περιγράψουμε με τον λαγκρανζιανό φορμαλισμό. Για να γράψουμε τη Λαγκρανζιανή χρειαζόμαστε το δυναμικό $\mathrm{\Phi }(x,y)$ του φορτίου το οποίο οφείλεται στο ηλεκτρικό πεδίο. Για το μαγνητικό πεδίο δεν έχουμε συνάρτηση δυναμικής ενέργειας, όμως θα πρέπει να εισαχθεί ένας όρος στη Λαγκρανζιανή έτσι ώστε το πεδίο $𝑩$ να παράγεται στις εξισώσεις κίνησης.

Η Λαγκρανζιανή για το πρόβλημά μας μπορεί να γραφεί ως [10]

$$L=\frac{1}{2}m{\dot{𝒓}}^2-q(\mathrm{\Phi }-\dot{𝒓}\cdot 𝑨)$$

(4.27)

όπου επιλέξαμε διανυσματικό συμβολισμό με $𝒓=x\widehat{𝒙}+y\widehat{𝒚}$. Το $𝑨=(A_x,A_y)$ είναι διανυσματική συνάρτηση των συντεταγμένων $(x,y)$, λέγεται διανυσματικό δυναμικό και θα το επιλέξουμε αργότερα.

Ας δούμε τις εξισώσεις τις οποίες δίνει η Λαγκρανζιανή (4.27). Από τον όρο που περιέχει το διανυσματικό πεδίο $𝑨$ θα προκύψει στις εξισώσεις Lagrange η ολική χρονική παράγωγος $d𝑨/dt$. Αυτή δίνεται με τον κανόνα της αλυσιδωτής παραγώγισης, για παράδειγμα, έχουμε

$$\frac{d{A}_x}{dt}=\dot{x}{\partial }_x{A}_x+\dot{y}{\partial }_y{A}_x,$$

όπου υποθέτουμε ότι το $𝑨$ δεν εξαρτάται εκπεφρασμένα από τον χρόνο, δηλαδή, $\partial 𝑨/\partial t=0$ (μία όμοια σχέση προκύπτει για την $d{A}_y/dt$). Για την πρώτη εξίσωση Lagrange έχουμε

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right)=\frac{\partial L}{\partial x}\Rightarrow \frac{d}{dt}\left(m\dot{x}+q{A}_x\right)=q\dot{𝒓}\cdot {\partial }_x𝑨-q{\partial }_x\mathrm{\Phi }\Rightarrow m\ddot{x}+q\frac{d{A}_x}{dt}=q(\dot{x}{\partial }_x{A}_x+\dot{y}{\partial }_x{A}_y)-q{\partial }_x\mathrm{\Phi }.$$

Τελικά παίρνουμε

$$m\ddot{x}=q\dot{y}({\partial }_x{A}_y-{\partial }_y{A}_x)-q{\partial }_x\mathrm{\Phi }.$$

(4.29)

Βλέπουμε ότι αν επιλέξουμε $𝑨$ τέτοιο ώστε

$${\partial }_x{A}_y-{\partial }_y{A}_x=B$$

(4.30)

τότε πραγματικά η Λαγκρανζιανή παράγει τις Εξ. (4.24). Φθάνουμε ακριβώς στο ίδιο συμπέρασμα αν εξάγουμε και την εξίσωση για τη συντεταγμένη $y$, η οποία είναι

$$m\ddot{y}=-q\dot{y}({\partial }_x{A}_y-{\partial }_y{A}_x)-q{\partial }_y\mathrm{\Phi }.$$

Για την περίπτωση του φορτίου στο παράδειγμα 4.5 η Λαγκρανζιανή (4.28) λαμβάνεται με την επιλογή $𝑨=B(0,x,0)$. Για αυτό το $𝑨$ πραγματικά ικανοποιείται η (4.30) και δίνει ένα σταθερό $B$. Μία διαφορετική επιλογή για το διανυσματικό πεδίο είναι η $𝑨=B(-y,0,0)$, για την οποία επίσης ικανοποιείται η Εξ. (4.30). Έχουμε λοιπόν μία διαφορετική αλλά ισοδύναμη μορφή για τη Λαγκρανζιανή η οποία είναι η

$$L=\frac{1}{2}m({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2)-q(\mathrm{\Phi }+y\dot{x}).$$

Μία τρίτη, πιο συμμετρική μορφή, προκύπτει από την επιλογή $𝑨=\frac{B}{2}(-y,x,0)$, η οποία επίσης ικανοποιεί την Εξ. (4.30). Η συμμετρική στις συντεταγμένες $x,y$ Λαγκρανζιανή που προκύπτει είναι

$$L=\frac{1}{2}m({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2)+\frac{qB}{2}(x\dot{y}-y\dot{x})-q\mathrm{\Phi }.$$

(4.31)

Οι συζυγείς κανονικές ορμές για τη θέση $(x,y)$ του φορτίου θα πρέπει να υπολογιστούν από τον γενικό τύπο [10]

$$p_x=\frac{\partial L}{\partial x}=m\dot{x}-\frac{qB}{2}y,p_y=\frac{\partial L}{\partial y}=m\dot{y}+\frac{qB}{2}x,$$

(4.32)

όπου χρησιμοποιήσαμε τη συμμετρική μορφή της Λαγκρανζιανής (4.31). Άρα, η συνήθης ορμή, την οποία θα ονομάσουμε $𝝅=(m\dot{x},m\dot{y})$, διαφέρει από την κανονική ορμή $𝒑=(p_x,p_y)$ στην Εξ. (4.32). Αυτό περιπλέκει αρκετά την περιγραφή του συστήματος, ταυτοχρόνως όμως το κάνει ιδιαίτερα ενδιαφέρον.

Η Χαμιλτονιανή που προκύπτει από τη Λαγκρανζιανή (4.31) είναι η

$$H=\dot{x}{p}_x+\dot{y}{p}_y-L=\frac{1}{2}m({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2)+q\mathrm{\Phi }.$$

(4.33)

Οι Εξ. (4.32) δίνουν τις ταχύτητες

$$\dot{x}=\frac{1}{m}\left(p_x+\frac{qB}{2}y\right),\dot{y}=\frac{1}{m}\left(p_y-\frac{qB}{2}x\right)$$

(4.34)

Αντικαθιστούμε τις ταχύτητες στην Χαμιλτονιανή ώστε αυτή γράφεται ως συνάρτηση των θέσεων και κανονικών ορμών, στη μορφή $H=H(𝒓,𝒑)$, ως

$$H=\frac{1}{2m}\left[{\left(p_x+\frac{qB}{2}y\right)}^2+{\left(p_y-\frac{qB}{2}x\right)}^2\right]+q\mathrm{\Phi }.$$

(4.35)

Οι εξισώσεις Hamilton για τις συντεταγμένες συμπίπτουν με τις (4.34):

$$\dot{x}=\frac{\partial H}{\partial p_x}=\frac{1}{m}\left(p_x+\frac{qB}{2}y\right),\dot{y}=\frac{\partial H}{\partial p_y}=\frac{1}{m}\left(p_y-\frac{qB}{2}x\right).$$

(4.36)

Οι εξισώσεις Hamilton για τις ορμές προκύπτουν από τους γενικούς τύπους του χαμιλτονιανού φορμαλισμού ως εξής:

(4.37)

Γιά να περιγράψουμε περισσότερα από ένα φορτισμένα σωμάτια τα οποία βρίσκονται σε μαγνητικό πεδίο $𝑩=B\widehat{𝒛}$ θα πρέπει να γενικεύσουμε τη Λαγκρανζιανή (4.31). Θεωρούμε $N$ σωμάτια με ίδια μάζα $m$, φορτία $q_i$ και διανύσματα θέσης $(x_i,y_i)$. Γράφουμε τη Λαγκρανζιανή η οποία είναι το άθροισμα όρων όπως η Λαγκρανζιανή (4.31) για το κάθε φορτίο:

$$L=\frac{1}{2}m\sum _i({\dot{x}}_i^2+{\dot{y}}_i^2)+\frac{B}{2}\sum _i{q}_i(x_i{\dot{y}}_i-y_i{\dot{x}}_i)-V(|{𝒓}_i-{𝒓}_j|)$$

(4.38)

όπου ο δείκτης $i$ παίρνει τις τιμές $i=1,\mathrm{\dots },N$. Έχουμε επίσης θεωρήσει έναν επιπλέον όρο ο οποίος περιγράφει αλληλεπίδραση μεταξύ των φορτίων. Αυτός είναι η δυναμική ενέργεια αλληλεπίδρασης $V(|{𝒓}_i-{𝒓}_j|)$ το οποίο θεωρούμε ότι εξαρτάται μόνο από τις αποστάσεις μεταξύ ζευγών σωματίων

$$|{𝒓}_i-{𝒓}_j|=\sqrt{{(x_j-x_i)}^2+{(y_j-y_i)}^2}.$$

(4.39)

Η δυναμική ενέργεια $V$ θα περιέχει ένα άθροισμα όρων, έναν για κάθε ζεύγος αλληλεπιδρώντων φορτίων.

Ας περιοριστούμε στην περίπτωση ενός ζεύγους φορτίων. Η Λαγκρανζιανή είναι

$$L=\frac{1}{2}m\sum _{i=1}^2({\dot{x}}_i^2+{\dot{y}}_i^2)+\frac{B}{2}\sum _{i=1}^2{q}_i(x_i{\dot{y}}_i-y_i{\dot{x}}_i)-V(|{𝒓}_1-{𝒓}_2|)$$

(4.40)

Έχουμε τις τέσσερις εξισώσεις Euler-Lagrange:

(4.41)

Για τη δυναμική ενέργεια αλληλεπίδρασης έχουμε $V=V(\mathrm{\ell })$ όπου

$$\mathrm{\ell }=|{𝒓}_1-{𝒓}_2|=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}.$$

Ισχύει

$$\frac{\partial V}{\partial x_1}=V^{\prime }(\mathrm{\ell })\frac{\partial \mathrm{\ell }}{\partial x_1}=V^{\prime }(\mathrm{\ell })\frac{x_1-x_2}{\mathrm{\ell }},\frac{\partial V}{\partial x_2}=V^{\prime }(\mathrm{\ell })\frac{\partial \mathrm{\ell }}{\partial x_2}=V^{\prime }(\mathrm{\ell })\frac{x_2-x_1}{\mathrm{\ell }},$$

άρα έχουμε $\partial V/\partial x_1=-\partial V/\partial x_2$ και επίσης ισχύει $\partial V/\partial y_1=-\partial V/\partial y_2$. Αν προσθέσουμε τις δύο τελευταίες εξισώσεις (4.41) και τις δύο πρώτες βρίσκουμε τις εξής δύο σχέσεις

$$\frac{d}{dt}\left(x_1+x_2+\frac{{\dot{y}}_1}{{\omega }_1}+\frac{{\dot{y}}_2}{{\omega }_2}\right)=0,\frac{d}{dt}\left(y_1+y_2-\frac{{\dot{x}}_1}{{\omega }_1}-\frac{{\dot{x}}_2}{{\omega }_2}\right)=0,{\omega }_i:=\frac{q_{i}B}{m}.$$

(4.42)

Ορίζουμε τον οδηγό της κίνησης $(R_x,R_y)$ για ένα ζεύγος φορτίων ως

$$R_x:=\frac{1}{2}(x_1+x_2)+\frac{{\dot{y}}_1}{2{\omega }_1}+\frac{{\dot{y}}_2}{2{\omega }_2},R_y:=\frac{1}{2}(y_1+y_2)-\frac{{\dot{x}}_1}{2{\omega }_1}-\frac{{\dot{x}}_2}{2{\omega }_2}$$

(4.43)

και οι Εξ. (4.42) αποδεικνύουν ότι αυτές οι δύο ποσότητες είναι διατηρήσιμες. Το σημείο $(R_x,R_y)$ δίνει ένα μέτρο της μέσης θέσης του ζεύγους φορτίων το οποίο έχει την ιδιότητα ότι παραμένει σταθερό στο χρόνο απουσία εξωτερικών δυνάμεων.

Η ενέργεια συστήματος φορτίων είναι το άθροισμα των κινητικών ενεργειών των φορτίων με την προσθήκη της ενέργειας αλληλεπίδρασης $V$:

$$ℰ=\frac{1}{2}m\sum _i({\dot{x}}_i^2+{\dot{y}}_i^2)+V(|{𝒓}_i-{𝒓}_j|)$$

(4.44)

και είναι φυσικά μία διατηρήσιμη ποσότητα.

Ένα φυσικό σύστημα υπόκειται συνήθως σε αλληλεπιδράσεις οι οποίες τείνουν να μειώσουν την ενέργειά του. Αυτήν τη διαδικασία την περιγράφουμε πολλές φορές με την εισαγωγή φαινομενολογικών δυνάμεων τις οποίες ονομάζουμε δυνάμεις τριβής.

Για να μελετήσουμε την επίδραση δυνάμεων τριβής στην κίνηση φορτίου μέσα σε μαγνητικό πεδίο πρέπει να προσθέσουμε έναν κατάλληλο όρο στις Εξ. (4.24). Αυτός μπορεί να έχει τη μορφή $-\alpha \dot{x}$ στο δεξιό μέλος της πρώτης εξίσωσης και $-\alpha \dot{y}$ για τη δεύτερη εξίσωση, όπου $\alpha$ είναι μία θετική σταθερά που ονομάζεται σταθερά τριβής. Γράφουμε τις νέες εξισώσεις ως εξής [28]

(4.47)

Οι δυνάμεις τριβής θα πρέπει (εκ του ορισμού τους) να μειώνουν την ενέργεια ενός κινούμενου σωματίου. Θα δείξουμε ότι η ενέργεια (4.1.4) του συστήματος μειώνεται με τον χρόνο όταν ισχύουν οι Εξ. (4.47). Παίρνουμε τη χρονική παράγωγο της ενέργειας

$$\frac{dℰ}{dt}=m\dot{x}\ddot{x}+m\dot{y}\ddot{y}-qE\dot{x}.$$

Χρησιμοποιούμε τις εξισώσεις κίνησης

$$\frac{dℰ}{dt}=\dot{x}(qB\dot{y}+qE-\alpha \dot{x})+\dot{y}(-qB\dot{x}-\alpha \dot{y})-qE\dot{x}=-\alpha ({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2),$$

ώστε βρίσκουμε ότι όταν κινείται το σωμάτιο (όταν ${\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2\ne 0\iff \dot{x}=0=\dot{y}$).

Μπορούμε να γράψουμε τις Εξ. (4.47) στην εξής μορφή:

$${\dot{R}}_x=-\frac{\alpha }{qB}\dot{y},{\dot{R}}_y=-\frac{E}{B}+\frac{\alpha }{qB}\dot{x}.$$

(4.48)

Αυτό το σύστημα εξισώσεων θα μπορούσε να λυθεί, όμως εδώ θα περιορισθούμε στη συμπεριφορά του συστήματος για μεγάλους χρόνους. Στην τελική κατάσταση (δηλαδή, για $t\to \mathrm{\infty }$) θα υποθέσουμε ότι έχουμε $\ddot{x}=0,\ddot{y}=0$ και άρα έχουμε για τα $\dot{x},\dot{y}$ τις εξής αλγεβρικές εξισώσεις

$$\dot{y}-\frac{\alpha }{qB}\dot{x}=-\frac{E}{B},\dot{x}+\frac{\alpha }{qB}\dot{y}=0.$$

Αυτές λύνονται με απλό τρόπο και παίρνουμε

$$\dot{x}=\frac{\alpha (qE)}{{(qB)}^2+{\alpha }^2},\dot{y}=-\frac{(qE)(qB)}{{(qB)}^2+{\alpha }^2}.$$

(4.49)

Αυτές οι εξισώσεις δίνουν την ταχύτητα του σωματίου όταν αυτή είναι σταθερή, όπως υποθέσαμε ότι συμβαίνει για μεγάλους χρόνους.