Το κεφάλαιο αυτό είναι μια σύντομη εισαγωγή σε μεθόδους μαθηματικής μοντελοποίησης στοχαστικών συστημάτων. Αρχικά θα δούμε τι είναι τα στοχαστικά συστήματα και ποιες είναι οι βασικές τους ιδιότητες. Η μαθηματική μοντελοποίηση των στοχαστικών συστημάτων μπορεί να επιτευχθεί χρησιμοποιώντας πολλές διαφορετικές κατηγορίες αριθμητικών μεθόδων, η παρουσίαση των οποίων είναι πέρα από τους σκοπούς ενός βασικού μαθήματος «Μαθηματικής Μοντελοποίησης» αλλά και του συγγράμματος. Εδώ θα εστιάσουμε στις μεθόδους προσομοιώσεων Monte Carlo. Πιο συγκεκριμένα, θα παρουσιάσουμε διεξοδικά τους πιο σημαντικούς αλγόριθμους Monte Carlo. Επίσης θα δούμε εφαρμογές τους σε διάφορα συστήματα.
Ως ένα πρώτο ορισμό θα λέγαμε ότι οι μέθοδοι μοντελοποίησης στοχαστικών συστημάτων Monte Carlo είναι μια μεγάλη κατηγορία υπολογιστικών μεθόδων, κοινά χαρακτηριστικά των οποίων είναι: (α) χρήση «τυχαίων αριθμών», και (β) η παρατήρηση ότι αυτοί έχουν συγκεκριμένες ιδιότητες. [30, 23] Μέσω των παραπάνω χαρακτηριστικών ένα πολύ μεγάλο εύρος πιθανών προβλημάτων μπορεί να μελετηθεί, το οποίο σχετίζεται με τις φυσικές επιστήμες, τα οικονομικά, τις κοινωνικές επιστήμες κλπ. [21, 9]
Αρχικά ας θυμηθούμε κάποιες βασικές ιδιότητες των δυναμικών συστημάτων (ΔΣ), τα οποία μελετήθηκαν εκτενώς σε προηγούμενο μέρος (δες Κεφάλαιο 3). Γενικά, με τον όρο ΔΣ εννοούμε την περιγραφή της (χρονικής) εξέλιξης μιας μεταβλητής, ή ενός σημείου, στο γεωμετρικό χώρο μέσω συγκεκριμένων κανόνων. Τα ΔΣ μπορούν να χωριστούν σε ντετερμινιστικά και στοχαστικά ανάλογα με τη μορφή της χρονικής εξέλιξης τους. Πιο συγκεκριμένα, θεωρήστε μια (εξαρτημένη) μεταβλητή , όπου η ανεξάρτητη μεταβλητή, συνήθως χρόνος. Το ΔΣ της είναι:
Ντετερμινιστικό: Αν η μελλοντική κατάσταση του συστήματος, A(t), καθορίζεται πλήρως από δεδομένες αρχικές τιμές του συστήματος, . Σε μια τέτοια περίπτωση δεν υπάρχει τυχαιότητα στην εξέλιξη της A.
Στοχαστικό: Αν δεδομένες αρχικές τιμές του συστήματος, υπάρχουν περισσότερες από μία πιθανές μελλοντικές καταστάσεις, . Οι καταστάσεις αυτές δεν είναι κατ’ ανάγκη ισοπίθανες.
Εύκολα καταλαβαίνουμε ότι η έννοια των στοχαστικών συστημάτων συνδέεται άμεσα με τις πιθανότητες και τις στοχαστικές διεργασίες, τις οποίες παρουσιάζουμε συνοπτικά στην παρακάτω ενότητα.
Παραδείγματα ντετερμινιστικών συστημάτων:
Κλασική μηχανική: Νόμοι του Νεύτωνα.
Κβαντική μηχανική: Εξίσωση Schroendiger.
Ροή ρευστών: Εξισώσεις Navier-Stokes.
Ντετερμινιστικό Χάος.
κλπ.
Παραδείγματα στοχαστικών συστημάτων:
Τυχαίοι περίπατοι (Random walks).
Κίνηση Brown.
Χρηματιστήριο: Τιμές μετοχών.
Τιμές βιολογικών-ιατρικών παραμέτρων ασθενών. κλπ.
Προτείνετε περισσότερα παραδείγματα ντετερμινιστικών και στοχαστικών συστημάτων;
Όπως έχουμε δει σε όλη τη διάρκεια του βιβλίου, ένας από τους κύριους στόχους της μαθηματικής μοντελοποίησης είναι η μελέτη φαινομένων τα οποία εξελίσσονται στο χρόνο και τα οποία συνήθως περιγράφονται με τη μορφή δυναμικών συστημάτων. Συνεπώς απαιτείται η επίλυση των εξισώσεων που περιγράφουν κάποιο συγκεκριμένο ΔΣ. Στα προηγούμενα κεφάλαια παρουσιάσαμε αναλυτικά την επίλυση ΔΣ σε διαφορετικά προβλήματα από τις φυσικές επιστήμες (Κεφ. 2, 3 και 4) και τη Βιολογία (Κεφ. 5 και 6). Όλα τα παραπάνω παραδείγματα αφορούν ντετερμινιστικά συστήματα τα οποία εμφανίζουν προβλεπόμενη ή χαοτική (ντετερμινιστικό χάος) χρονική συμπεριφορά. Το παρόν κεφάλαιο αφορά τη μελέτη στοχαστικών συστημάτων και την αριθμητική τους επίλυση χρησιμοποιώντας μεθόδους Monte Carlo.
Όπως αναφέραμε και παραπάνω βασικό χαρακτηριστικό των στοχαστικών μαθηματικών μοντέλων είναι η τυχαιότητα που υπάρχει στην εξέλιξη των μεταβλητών, οι οποίες συνήθως ακολουθούν μια συγκεκριμένη κατανομή πιθανότητα. Εύκολα καταλαβαίνουμε ότι για την παρουσίαση αυτών των μοντέλων είναι απαραίτητες βασικές γνώσεις πιθανοτήτων και στατιστικής. Μια συνοπτική παρουσίαση βασικών εννοιών πιθανότητας παρουσιάζεται στο Παράρτημα του συγγράματος. Επίσης, πριν προχωρήσουμε στην λεπτομερής παρουσίαση μελέτη των στοχαστικών συστημάτων θα θέλαμε να υπενθυμίσουμε κάποιους βασικούς ορισμούς σχετικά με τις στοχαστικές διεργασίες, οι οποίοι είναι απαραίτητοι σε κάθε στοχαστικό μαθηματικό μοντέλο.
Τυχαίοι Αριθμοί ή Τυχαίες Μεταβλητές (Random Numbers / Random Variables): Τυχαίοι αριθμοί ή τυχαίες μεταβλητές, Τ.Μ., είναι ποσότητες των οποίων οι τιμές προέρχονται από μια κατανομή πιθανότητας και δεν έχουν κάποια συγκεκριμένη συσχέτιση μεταξύ τους.
Χαρακτηριστικό παράδειγμα τυχαίας μεταβλητής είναι το πόσες φορές έφερε «γράμματα» ή «κορώνα» ένα νόμισμα σε τυχαίες ρίψεις.
Στοχαστικές ή Τυχαίες Διεργασίες (Stochastic or Random Processes): Στοχαστικές διεργασίες είναι συναρτήσεις των οποίων οι τιμές είναι τυχαίες (μη ντετερμινιστικές) μεταβλητές. Είναι δηλαδή ποσότητες με συγκεκριμένες κατανομές πιθανότητας.
Παραδείγματα στοχαστικών διεργασιών είναι:
Διακριτό χρόνο (discrete time): Χρονική σειρά τυχαίων μεταβλητών.
Τυχαίο Πεδίο (random field): Τυχαία συνάρτηση με πεδίο τιμών μια περιοχή του χώρου.
Γεννήτρια Τυχαίων Αριθμών (Random Number Generator): Γεννήτρια τυχαίων αριθμών (ή μεταβλητών) ονομάζουμε ένα αλγόριθμο, ο οποίος δημιουργεί μια ακολουθία τυχαίων αριθμών.
Παρακάτω θα συζητήσουμε λεπτομερώς τις έννοιες των «τυχαίων αριθμών» και αλγορίθμων δημιουργίας τους.
Δώστε παραδείγματα τυχαίων μεταβλητών.