4.2 Δυναμική δινών σε ρευστά και στη συμπυκνωμένη ύλη

Οι δίνες είναι φυσικές οντότητες οι οποίες εμφανίζονται και παίζουν σημαντικό ρόλο σε πάρα πολλά φυσικά συστήματα. Οι πιο γνωστές δίνες είναι αυτές που εμφανίζονται στα ρευστά. Στη μηχανική ρευστών είναι γνωστό ότι οι δίνες (fluid vortices) παίζουν κεντρικό ρόλο στην περιγραφή και κατανόηση τόσο την κίνησης των ρευστών όσο και πιο περίπλοκων φαινομένων όπως η τυρβώδης ροή. Στην ατμόσφαιρα είναι γνωστοί οι στρόβιλοι οι οποίοι εμφανίζονται σε μικρές αλλά και σε εξαιρετικά μεγάλες διαστάσεις [31].

Η περιγραφή της κίνησης των ρευστών και άρα και της δυναμικής των δινών βασίζεται στις εξισώσης της μηχανικής ρευστών οι οποίες είναι μη-γραμμικές μερικές διαφορικές εξισώσεις. Απλοποίηση της περιγραφής δινών προκύπτει στην περίπτωση που θεωρήσουμε ότι κάθε δίνη είναι μακριά από κάθε άλλη και άρα μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η σημαντική κεντρική περιοχή της δίνης είναι μικρού μεγέθους σε σύγκριση με την απόσταση μεταξύ τους. Τότε μπορούμε να περιγράψουμε προσεγγιστικά τη θέση κάθε δίνης με ένα σημείο. Λέμε τότε ότι έχουμε την προσέγγιση σημειακών δινών.

Στην περιγραφή δινών πολύ χρήσιμη είναι μία ποσότητα η οποία λέγεται στροβιλότητα (vorticity, $\gamma$) και της οποίας το ολοκλήρωμα στην επιφάνεια του ρευστού

$$\mathrm{\Gamma }=\int \gamma dxdy$$

δίνει την ισχύ της δίνης. Επιπλέον, μπορεί να δειχθεί ότι για μία δίνη οι ποσότητες

$$I_x=\int x\gamma dxdy,I_y=\int y\gamma dxdy$$

(4.52)

είναι διατηρήσιμες. Αυτές οι ποσότητες μπορούν να θεωρηθούν ως ένας ορισμός της θέσης μίας δίνης (μετά από κατάλληλη κανονικοποίηση). Στην περίπτωση που θεωρούμε τη δίνη σημειακή μπορούμε εύκολα να δούμε ότι τα παραπάνω ολοκληρώματα δίνουν τη θέση της σημειακής δίνης πολλαπλασιασμένη με την ισχύ της.

Ορισμένα ρευστά επιδεικνύουν ασυνήθιστες ιδιότητες όταν βρίσκονται σε ιδιαίτερα χαμηλές θερμοκρασίες. Η πιο εντυπωσιακή ίσως ιδιότητα τους είναι ότι ρέουν χωρίς η κίνησή τους να επιβραδύνεται από φαινόμενα τριβής. Υγρά που παρουσιάζουν αυτή την ιδιότητά ονομάζονται υπερρευστά. Τα σημαντικότερα υπερρευστά είναι το στοιχείο Ήλιο σε θερμοκρασίες Kelvin το οποίο βρίσκεται τότε σε υγρή κατάσταση. Επίσης, υπερρευστά είναι οι ατμοί αλκαλικών μετάλλων (Li, Na, K, Rb, Cs) οι οποίοι παγιδεύονται με μαγνητικά πεδία και ψύχονται σε θερμοκρασίες $T\sim 10-100$ nanoKelvin με οπτικά (LASER) και άλλα μέσα.

Μία επιπλέον ιδιότητα των υπερρευστών είναι ότι οι δίνες που δημιουργούνται σε αυτά έχουν ισχύ η οποία είναι ακέραιο πολλαπλάσιο μιας βασικής ποσότητας ισχύος. Τέτοιες δίνες ονομάζονται κβαντισμένες (quantized vortices). Η ιδιότητα αυτή των δινών σχετίζεται πάντως με την ιδιότητα της ροής χωρίς τριβή. Τα υπερρευστά και οι δίνες τους μελετώνται με τη βοήθεια των νόμων της κβαντικής φυσικής. Σε ορισμένες περιπτώσεις το υπερρευστό καθώς και οι δίνες τους μπορούν να περιγραφούν από ένα μιγαδικό πεδίο $\mathrm{\Psi }(x,y)$ το οποίο ονομάζεται κυματοσυνάρτηση του υπερρευστού. Η κυματοσυνάρτηση υπακούει μη-γραμμικές μερικές διαφορικές εξισώσεις. Οι εξισώσεις όμως αυτές διαφέρουν πολύ από εκείνες για τα συνήθη ρευστά στα οποία αναφερθήκαμε παραπάνω.

Ένα σημαντικό σημείο είναι ότι η στροβιλότητα στα υπερρευστά συνδέεται με τοπολογικά χαρακτηριστικά του πεδίου που περιγράφει το υπερρευστό, δηλαδή της κυματοσυνάρτησής του. H ολική ισχύς $\mathrm{\Gamma }=\int \gamma dxdy$ παίρνει διάκριτες τιμές και έχει την ερμηνεία ενός τοπολογικού αριθμού. Διατηρήσιμες ποσότητες ανάλογες των (4.52) υπάρχουν και σε αυτή την περίπτωση.

Κάτω από ορισμένες προϋποθέσεις μπορούμε να κάνουμε την προσέγγιση των σημειακών δινών και στο παρόν σύστημα. Έτσι μπορούμε να απλοποιήσουμε σημαντικά τη μελέτη της δυναμικής τους.

Παρά το ότι συνδέουμε συνήθως τις δίνες με τα ρευστά, η αλήθεια είναι ότι οι δίνες, ως μαθηματικές δομές διανυσματικών πεδίων, εμφανίζονται σε πολλά διαφορετικά συστήματα. Ένα παράδειγμα είναι τα μαγνητικά υλικά στα οποία έχουμε τις λεγόμενες μαγνητικές δίνες.

Τα μαγνητικά συστήματα τα οποία έχουν ιδαίτερο εργαστηριακό ενδιαφέρον είναι υπέρλεπτα υμένια (φιλμ) από σιδηρομαγνητικά υλικά. Η μικροσκοπική δομή σε ένα μαγνητικό υλικό περιγράφεται από ένα διανυσματικό πεδίο $𝒎(x,y)$ το οποίο παριστάνει τη μαγνήτιση του υλικού σε κάθε σημείο $(x,y)$ του υμενίου. Ένα ενδιαφέρον ερώτημα είναι τι δομές σχηματίζει η μαγνήτιση στο υλικό και ποιά είναι η εξέλιξή τους στον χρόνο. Για παράδειγμα, αυτό το ερώτημα αποκτά ιδιαίτερο ενδιαφέρον όσον αφορά στον μαγνητικό δίσκο ενός υπολογιστή όπου η πληροφορία αποθηκεύεται σε κάποιες ειδικές δομές της μαγνήτισης, ενώ για τα γραφτεί ή να σβηστεί μία πληροφορία θα πρέπει οι δομές αυτές να μεταβληθούν με ελεγχόμενο τρόπο.

Μία αριθμητική προσομοίωση μαγνητικών δομών οι οποίες χαρακτηρίζονται ως μαγνητικές δίνες παρουσιάζονται στο σχήμα 4.2. Βλέπουμε ότι στην περίπτωση των μαγνητικών δινών δεν υπάρχει ροή πραγματικού ρευστού. Συμβαίνει όμως να μπορούμε να ορίσουμε μία ποσότητα $q$ η οποία έχει ομοιότητες με τη στροβιλότητα ($\gamma$) στα ρευστά. Η $q$ δίνει μεταβολές της μαγνήτισης $𝒎$ στον χώρο (χωρικές παραγώγους της $𝒎$) και σχετίζεται άμεσα με κάποια τοπολογικά χαρακτηριστικά της μαγνήτισης. Η ισχύς της δίνης $Q=\int qdxdy$ είναι ένας ακέραιος αριθμός, όπως συμβαίνει και με την ισχύ των δινών σε υπερρευστά.

Από τη θεωρία προκύπτουν διατηρήσιμες ποσότητες της μορφής

$$I_x=\int xqdxdy,I_y=\int yqdxdy$$

(4.53)

οι οποίες είναι απολύτως ανάλογες με τις (4.52). Μπορεί να δειχθεί ότι, στην περίπτωση που θεωρήσουμε ότι οι μαγνητικές δίνες είναι σημειακές, η δυναμική τους συμπεριφορά μοντελοποιείται από εξισώσεις ανάλογες με αυτές των δινών σε ρευστά.

Ας περιοριστούμε στην περιγραφή μίας απομονωμένης δίνης. Τις εξισώσεις κίνησης μπορούμε να τις εξαγάγουμε από τις (4.54) θέτωντας ${\gamma }_2=0$ και ακολούθως (για την απλοποίηση του συμβολισμού) $x=x_1,y=y_1$. Οι εξισώσεις κίνησης για τις μεταβλητές $x,y$ είναι

$$\dot{x}=0,\dot{y}=0.$$

(4.58)

Οι παραπάνω εξισώσεις έχουν τη μορφή ιδιαίτερα απλών νόμων διατήρησης. Οι λύσεις τους είναι $x=\text{σταθ.},y=\text{σταθ.}$ και οδηγούν στο συμπέρασμα ότι μία απομονωμένη δίνη (δηλαδή μία δίνη που δεν δέχεται δυνάμεις) είναι πάντα στάσιμη σε ένα ρευστό.

Οι απλοί αυτοί νόμοι διατήρησης βρίσκονται σε αντιστοιχία με τους νόμους διατήρησης για τα $I_x,I_y$ στις Εξ. (4.52) για τους οποίους μιλήσαμε στη γενική εισαγωγή για τις δίνες. Αυτή είναι μία πρώτη ένδειξη ότι το μοντέλο που χρησιμοποιούμε αποδίδει βασικές δυναμικές ιδιότητες των δινών.

Θεωρούμε δύο δίνες οι οποίες είναι όμοιες, δηλαδή έχουν την ίδια ισχύ και για απλότητα παίρνουμε ${\gamma }_1={\gamma }_2=1$. Οι διατηρήσιμες ποσότητες όπως δίνονται στις εξισώσεις (4.56), (4.59), (4.61) είναι

(4.62)

Οι $I_x$ και $I_y$ είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους και επίσης η τιμή τους μπορεί να αλλάξει με απλή μετάθεση της αρχής του συστήματος συντεταγμένων. Εκλέγουμε λοιπόν την αρχή του συστήματος συντεταγμένων έτσι ώστε $I_x=0,I_y=0$. Ώστε ισχύουν οι

$$x_2=-x_1,y_2=-y_1.$$

(4.63)

Από τη διατήρηση της ενέργειας έχουμε

$$ℰ=-\ln \left[{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2\right]\Rightarrow {(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2={\mathrm{\ell }}_0^2$$

(4.64)

Βλέπουμε ότι η απόσταση μεταξύ των δινών παραμένει σταθερή και στη σταθερή τιμή της δώσαμε το σύμβολο ${\mathrm{\ell }}_0$. Με τη βοήθεια των (4.63) η απόσταση μεταξύ των δύο δινών γράφεται

$${\mathrm{\ell }}_0=2\sqrt{x_1^2+y_1^2}=2\sqrt{x_2^2+y_2^2}.$$

Συμπερασματικά, η Εξ. (4.63) δείχνει ότι οι δίνες βρίσκονται (για όλους τους χρόνους) σε αντιδιαμετρικές θέσεις ως προς ένα σημείο το οποίο έχει εκλεγεί ως αρχή των αξόνων. Η Εξ. (4.64) δείχνει ότι βρίσκονται σε σταθερή μεταξύ τους απόσταση ${\mathrm{\ell }}_0/2$ σε κάθε χρονική στιγμή. Άρα οι δίνες κινούνται σε κύκλο με κέντρο την αρχή των αξόνων και διάμετρο ${\mathrm{\ell }}_0$.

Για να βρούμε τη γωνιακή ταχύτητα περιστροφής θα πρέπει να ανατρέξουμε στις εξισώσεις κίνησης, αφού οι διατηρήσιμες ποσότητες δεν περιέχουν τον χρόνο. Θεωρούμε τις δύο από τις Εξ. (4.54) οι οποίες δίνουν τις χρονικές παραγώγους των μεταβλητών $x_1,y_1$ και χρησιμοποιούμε τις σχέσεις (4.63), (4.64) τις οποίες βρήκαμε από τους νόμους διατήρησης. Έτσι, βρίσκουμε για τη θέση $(x_1,y_1)$ τις διαφορικές εξισώσεις:

(4.65)

Παίρνοντας τη χρονική παράγωγο της πρώτης και χρησιμοποιώντας τη δεύτερη βρίσκουμε

$${\ddot{y}}_1=\frac{2}{{\mathrm{\ell }}_0^2}{\dot{x}}_1\Rightarrow {\ddot{y}}_1+\frac{4}{{\mathrm{\ell }}_0^4}{y}_1=0.$$

(4.66)

Μία ανάλογη εξίσωση μπορούμε να εξάγουμε και για την $x_1$, καθώς επίσης και για τις $x_2,y_2$. Οι εξισώσεις αυτές περιγράφουν περιοδική κίνηση με γωνιακή συχνότητα

$$\omega =\frac{2}{{\mathrm{\ell }}_0^2}.$$

(4.67)

Θεωρούμε δύο δίνες οι οποίες έχουν ίση και αντίθετη ισχύ και για απλότητα παίρνουμε ${\gamma }_1=-{\gamma }_2=1$. Οι διατηρήσιμες ποσότητες όπως δίνονται στις εξισώσεις (4.56), (4.59), (4.61) είναι

(4.68)

Με κατάλληλη στροφή του συστήματος συντεταγμένων μπορούμε να εκλέξουμε τον άξονα $x$ να είναι παράλληλος στην ευθεία που περνάει από τις δύο δίνες (στην αρχική τους θέση). Επίσης, παίρνουμε τον άξονα $y$ έτσι ώστε να διχοτομεί το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τις δύο δίνες. Άρα, αν ${\mathrm{\ell }}_0$ είναι η απόσταση μεταξύ των δινών τότε αυτές βρίσκονται αρχικά στις θέσεις $(-{\mathrm{\ell }}_0/2,0),({\mathrm{\ell }}_0/2,0)$. Έτσι έχουμε επιτύχει να ισχύει

$$y_1=y_2\Rightarrow I_y=0.$$

(4.69)

Αφού η $I_y$ διατηρείται, θα έχουμε ότι $y_1=y_2$ για κάθε χρονική στιγμή. Επίσης, παρατηρούμε ότι

$${|{𝒓}_2-{𝒓}_1|}^2={(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2=I_x^2+I_y^2,$$

άρα η απόσταση μεταξύ των δινών είναι σταθερή και θέτουμε ${(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2={\mathrm{\ell }}_0^2$. Η διατηρήσιμη ποσότητα $ℰ$ είναι ισοδύναμη με την πρόταση που μόλις δείξαμε, ότι η απόσταση ${\mathrm{\ell }}_0$ παραμένει σταθερή. Άρα η διατηρήσιμη ποσότητα $ℰ$ περιέχεται στις $I_x,I_y$. Ειδικότερα, αφού έχουμε εκλέξει $I_y=0$ έχουμε

$${\mathrm{\ell }}_0^2=I_x^2.$$

Για την τελευταία διατηρήσιμη ποσότητα, τη στροφορμή $M$, έχουμε

$$M=\frac{1}{2}(x_1^2-x_2^2)=\frac{1}{2}(x_1-x_2)(x_1+x_2)=\frac{I_x}{2}(x_1+x_2),$$

ώστε συμπεραίνουμε ότι το άθροισμα $x_1+x_2$ είναι επίσης διατηρήσιμη ποσότητα. Συγκεντρώνοντας το τελευταίο αποτέλεσμα και τη διατήρηση του $I_x$ έχουμε

$$x_1-x_2=\text{σταθ.},x_1+x_2=\text{σταθ.}\Rightarrow x_1=\text{σταθ.},x_2=\text{σταθ.}$$

(4.70)

δηλαδή, οι συντεταγμένες $x_1,x_2$ παραμένουν αμετάβλητες κατά τη διάρκεια της κίνησης.

Συμπερασματικά, η Εξ. (4.70) δείχνει ότι οι δίνες δεν κινούνται κατά τη διεύθυνση του άξονα $x$ (δηλαδή, κατά τη διεύθυνση της ευθείας που τις συνδέει). Είναι δυνατόν να κινούνται μόνο κατά τη διεύθυνση $y$ (δηλαδή, κάθετα στην ευθεία που τις συνδέει).

Για να βρούμε την ταχύτητα κίνησης του ζεύγους θα πρέπει να ανατρέξουμε στις εξισώσεις κίνησης. Παρατηρούμε ότι οι ταχύτητες των δύο δινών είναι ίσες (αφού $y_1=y_2$ για κάθε χρονική στιγμή) και θέτουμε $\upsilon ={\dot{y}}_1={\dot{y}}_2$. Οπότε από τη δεύτερη Εξ. (4.54) έχουμε

$${\dot{y}}_2={\gamma }_1\frac{x_2-x_1}{{\mathrm{\ell }}^2}\Rightarrow \upsilon =-\frac{I_x}{{\mathrm{\ell }}_0^2}\Rightarrow \upsilon =-\frac{1}{I_x}.$$

Στην περίπτωση που μελετάμε είναι $I_x=-{\mathrm{\ell }}_0$, ώστε οι δίνες έχουν ταχύτητα

$$\upsilon =\frac{1}{{\mathrm{\ell }}_0}$$

με φορά προς τον θετικό άξονα $y$.

Η κατεύθυνση της ταχύτητας εξαρτάται από το πρόσημο του $I_x=x_1-x_2$. Αν αντιστρέψουμε τις θέσεις των δινών αντιστρέφεται και η φορά της κίνησης.

Θεωρούμε δύο δίνες με ισχύες ${\gamma }_1,{\gamma }_2>0$ και ${\gamma }_1+{\gamma }_2\ne 0$. Θα θέλαμε να βρούμε την τροχιά τους χρησιμοποιώντας μόνο τις διατηρήσιμες ποσότητες. Θεωρούμε τις $I_x,I_y$ ως σταθερές και γράφουμε τις

$$x_2=\frac{I_x}{{\gamma }_2}-\frac{{\gamma }_1}{{\gamma }_2}{x}_1,y_2=\frac{I_y}{{\gamma }_2}-\frac{{\gamma }_1}{{\gamma }_2}{y}_1.$$

(4.71)

Επίσης, από τη διατήρηση της ενέργειας $ℰ=-{\gamma }_1{\gamma }_2\ln (|{𝒓}_2-{𝒓}_1|)$ προκύπτει ότι $|{𝒓}_2-{𝒓}_1|={\mathrm{\ell }}_0$, όπου ${\mathrm{\ell }}_0$ είναι η σταθερή απόσταση μεταξύ των δύο δινών και μπορούμε να γράψουμε

$${\mathrm{\ell }}_0^2={(x_1-x_2)}^2+{(y_1-y_2)}^2.$$

(4.72)

Αντικαθιστούμε τις Εξ. (4.71) στην τελευταία και βρίσκουμε

		${\left[\left(1+{\displaystyle \frac{{\gamma }_1}{{\gamma }_2}}\right)x_1-{\displaystyle \frac{I_x}{{\gamma }_2}}\right]}^2+{\left[\left(1+{\displaystyle \frac{{\gamma }_1}{{\gamma }_2}}\right)y_1-{\displaystyle \frac{I_y}{{\gamma }_2}}\right]}^2={\mathrm{\ell }}_0^2\Rightarrow$
		${\left[({\gamma }_1+{\gamma }_2)x_1-I_x\right]}^2+{\left[({\gamma }_1+{\gamma }_2)y_1-I_y\right]}^2={\gamma }_2^2{\mathrm{\ell }}_0^2\Rightarrow$
		${\left[x_1-{\displaystyle \frac{I_x}{{\gamma }_1+{\gamma }_2}}\right]}^2+{\left[y_1-{\displaystyle \frac{I_y}{{\gamma }_1+{\gamma }_2}}\right]}^2={\left({\displaystyle \frac{{\gamma }_2{\mathrm{\ell }}_0}{{\gamma }_1+{\gamma }_2}}\right)}^2.$

Χρησιμοποιούμε τον ορισμό του οδηγού κίνησης (4.60), θέτουμε την ολική ισχύ του συστήματος

$$\mathrm{\Gamma }={\gamma }_1+{\gamma }_2$$

και έχουμε την τροχιά της δίνης ${\gamma }_1$ σε πιο συμπαγή μορφή:

$${(x_1-R_x)}^2+{(y_1-R_y)}^2={\left(\frac{{\gamma }_2{\mathrm{\ell }}_0}{\mathrm{\Gamma }}\right)}^2.$$

(4.73)

Δηλαδή, έχουμε για τη δίνη ${\gamma }_1$ κίνηση επάνω σε κύκλο με κέντρο τον οδηγό κίνησης και ακτίνα $A_1={\gamma }_2{\mathrm{\ell }}_0/\mathrm{\Gamma }$. Ομοίως, για τη δίνη ${\gamma }_2$ βρίσκουμε

$${(x_2-R_x)}^2+{(y_2-R_y)}^2={\left(\frac{{\gamma }_1{\mathrm{\ell }}_0}{\mathrm{\Gamma }}\right)}^2,$$

(4.74)

Για να βρούμε τη συχνότητα περιστροφής χρησιμοποιούμε το αποτέλεσμα ότι $|{𝒓}_1-{𝒓}_2|={\mathrm{\ell }}_0$ και αντικαθιστούμε τις Εξ. (4.71) στις εξισώσεις κίνησης. Bρίσκουμε ότι το σημείο $(x_1,y_1)$ κάνει κυκλική κίνηση με κέντρο τον οδηγό κίνησης και γωνιακή συχνότητα

$$\omega =\frac{\mathrm{\Gamma }}{{\mathrm{\ell }}_0^2}.$$

(4.75)

Ομοίως βρίσκουμε ότι το $(x_2,y_2)$ κινείται με την ίδια γωνιακή συχνότητα.