Υποδείξεις λύσεων επιλεγμένων ασκήσεων

α) Έστω $\mathrm{{\rm A}}$ ένα σημείο μίας ευθείας. Ορίζουμε αριστερά του $\mathrm{{\rm A}}$ επί της ευθείας σημείο $\mathrm{{\rm B}}$, ώστε το μήκος $BA$ να είναι ίσο με $1$. Με κέντρο το $\mathrm{{\rm B}}$ και ακτίνα μεγαλύτερη του $1$ χαράσσουμε περιφέρεια κύκλου, που τέμνει την ευθεία δεξιά του σημείου $\mathrm{{\rm A}}$ στο σημείο, έστω $\mathrm{\Gamma }$. Με την ίδια ακτίνα και κέντρο το σημείο $\mathrm{\Gamma }$ χαράσσουμε νέα περιφέρεια κύκλου. Οι δύο περιφέρειες τέμνονται στα σημεία, έστω $\mathrm{\Delta }$ και $\mathrm{{\rm E}}$. Η ευθεία $\mathrm{\Delta }\mathrm{{\rm E}}$ είναι η ζητούμενη.

β) Εργαζόμαστε όπως στο α) θεωρώντας το τμήμα $\mathrm{{\rm B}}\mathrm{\Gamma }$.

γ) Από το σημείο $\mathrm{{\rm A}}$ εκτός ευθείας χαράσσουμε περιφέρεια με κέντρο το $\mathrm{{\rm A}}$ τέτοια ώστε να τμήσει την ευθεία σε δύο σημεία, έστω $\mathrm{{\rm B}}\mathrm{\Gamma }$. Η μεσοκάθετος στο $\mathrm{{\rm B}}\mathrm{\Gamma }$ τέμνει την ευθεία στο σημείο, έστω $\mathrm{\Delta }$. Από το $\mathrm{{\rm A}}$ φέρουμε κάθετη στο $\mathrm{{\rm A}}\mathrm{\Delta }$. Αυτή είναι η ζητούμενη.

δ) Έστω η γωνία $\mathrm{{\rm A}}\mathrm{{\rm O}}\mathrm{{\rm B}}$ με κορυφή $\mathrm{{\rm O}}$. Με κέντρο το $\mathrm{{\rm O}}$ και ακτίνα μήκους $1$ χαράσσουμε περιφέρεια κύκλου που το τμήμα $\mathrm{{\rm O}}\mathrm{{\rm A}}$ στο σημείο έστω ${\mathrm{{\rm A}}}^{\prime }$ και το $\mathrm{{\rm O}}\mathrm{{\rm B}}$ στο σημείο, έστω ${\mathrm{{\rm B}}}^{\prime }$. Η μεσοκάθετος από το $\mathrm{{\rm O}}$ στο ${\mathrm{{\rm A}}}^{\prime }{\mathrm{{\rm B}}}^{\prime }$ είναι η ζητούμενη.

Σε μία ευθεία ορίζουμε τρία σημεία $\mathrm{{\rm A}},\mathrm{{\rm B}},\mathrm{\Gamma }$ ώστε το $\mathrm{{\rm A}}\mathrm{{\rm B}}$ να έχει μήκος $1$ και το $\mathrm{{\rm B}}\mathrm{\Gamma }$ να έχει μήκος $\alpha$. Με διάμετρο το $\mathrm{{\rm A}}\mathrm{\Gamma }$ χαράσσουμε περιφέρεια κύκλου (βρίσκουμε το μέσον του $\mathrm{{\rm A}}\mathrm{{\rm B}}$ όπως στο β). Από το σημείο $\mathrm{{\rm B}}$ φέρουμε κάθετο στο $\mathrm{{\rm A}}\mathrm{\Gamma }$ (βλ. 1α), αυτή τέμνει την περιφέρεια, έστω στο $\mathrm{\Delta }$. Το μήκος $\mathrm{\Delta }\mathrm{{\rm B}}$ είναι το ζητούμενο.

Να χρησιμοποιήσετε τον τριγωνομετρικό κύκλο.

Έστω $\mathrm{{\rm A}}$ μία πλευρά του κανονικού $n$-γώνου και $\mathrm{{\rm O}}$ το κέντρο του. Να φέρετε τη μεσοκάθετο από το $\mathrm{{\rm O}}$ στο $\mathrm{{\rm A}}\mathrm{{\rm B}}$ και να εργαστείτε όπως στην άσκηση 3 για τα ίσα ορθογώνια τρίγωνα που σχηματίζονται.

N,N, O, N, N, N,N

Οι ανάγωγοι παράγοντες του $x^4+4$ έχουν βαθμό $2$ . Για το $f(x)=x^4+1$ μελετήστε το πολυώνυμο $f(x+1)$. Για το πολυώνυμο $f(x)=(4/3)x^5+(6/5)x^2+2$ μελετήστε το πολυώνυμο $15f(x)$.

Να υπολογίσετε πρώτα τα ανάγωγα πολυώνυμα βαθμού $2$. Στη συνέχεια, στο $f(x)=x^4+a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ θέστε στη θέση των συντελεστών τα στοιχεία $0$ ή $1$ και ελέγξτε ποια είναι ανάγωγα. Αν δεν είναι ανάγωγα, τότε είτε έχουν ρίζα στο ${\mathbb{Z}}_2[x]$ είτε έχουν έναν ανάγωγο παράγοντα βαθμού $2$.

Για το $x^4+4$ δείτε την άσκηση 5.

${\mathrm{\Phi }}_{13}(x)$.

Nα αναλύσετε σε γινόμενο παραγόντων τα πολυώνυμα: $(x^8-1)/(x-1)$ και $(x^9-1)/(x-1)$. Οι ανάγωγοι παράγοντες στον $ℝ[x]$ έχουν βαθμό το πολύ $2$. Οι ανάγωγοι παράγοντες στον $ℂ[x]$ έχουν βαθμό ακριβώς $1$. Στον $\mathbb{Q}[x]$, το $x^7+x^6+\mathrm{\cdots }+x+1$ έχει ακριβώς έναν ανάγωγο παράγοντα βαθμού $4$, ενώ το $x^8+x^7+\mathrm{\cdots }+1$ έχει ακριβώς έναν ανάγωγο παράγοντα βαθμού $6$. H Ενότητα 5.2 ασχολείται με τους ανάγωγους παράγοντες του $x^n-1$ στον $\mathbb{Q}[x]$.

$\mathbb{Q}(\sqrt{5},\sqrt{7})=\{a_0+a_1\sqrt{5}+a_2\sqrt{7}+a_3\sqrt{35}:a_i\in \mathbb{Q},i=1,\mathrm{\dots },4\}$.

$\mathbb{Q}(i\sqrt{11})=\{a_0+a_1\sqrt{11}:a_0,a_1\in \mathbb{Q}\}$.

Για το $a=\sqrt{7}+1/2$, βλέπουμε ότι $2a-1=2\sqrt{7}$ και επομένως το $a$ είναι ρίζα του $4x^2-4a-27$.

Να χρησιμοποιήσετε τον ισομορφισμό $\mathbb{Q}[x]/⟨x^3-2⟩\cong \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$, $x+⟨x^3-2⟩\mapsto \sqrt[3]{2}$ . Να γράψετε τη μονάδα ως γραμμικό συνδυασμό των $x^3-2$ και $x^2+1$ . Στη συνέχεια να βρείτε τον αντίστροφο του ${\sqrt[3]{2}}^2+1$ από αυτή την σχέση.

$\mathrm{\infty }$, $\mathrm{\infty }$, $1$, $7$.

Αν $\varphi$ είναι ένας τέτοιος ισομορφισμός, τότε $\varphi (\sqrt{3})=\alpha +\beta \sqrt{5}$, για κάποιους ρητούς $\alpha ,\beta$. Άρα $3=\varphi {(\sqrt{3})}^2={(\alpha +\beta \sqrt{5})}^2={\alpha }^2+5{\beta }^2+2\alpha \beta \sqrt{5}$, άτοπο γιατί ο $\sqrt{5}$ δεν είναι ρητός.

Να αποδείξετε με επαγωγή ότι αν $p_1,\mathrm{\dots },p_n$ είναι διακριτοί πρώτοι, τότε

Να συμπεράνετε ότι $[\overline{\mathbb{Q}}:\mathbb{Q}]=\mathrm{\infty }$.

${\mathbb{Z}}_2$, ${\mathbb{Z}}_2$, ${\mathbb{Z}}_4$, $S_3$.

Να χρησιμοποιήσετε την Πρόταση 2.3.2.

Έστω $G=Gal(ℝ/\mathbb{Q})$.

1. (a)

   Aν $a\le b\in ℝ$ και $\sigma \in G$, να δείξετε ότι $\sigma (a)\le \sigma (b)$, (να χρησιμοποιήσετε το στοιχείο $\sqrt{b-a}$ και την εικόνα του $\sigma (\sqrt{b-a})$).

2. (b)

   Αν $a\in R$ και $\sigma \in G$, να θεωρήσετε μία αύξουσα ακολουθία ρητών αριθμών που συγκλίνει στο $a$ για να καταλήξετε ότι $a\le \sigma (a)$. Στη συνέχεια να θεωρήσετε μία φθίνουσα ακολουθία ρητών αριθμών που συγκλίνει στο $a$ για να καταλήξετε ότι $a\ge \sigma (a)$.

Οι ομάδες των ασκήσεων 26 και 26 θα εξεταστούν αναλυτικότερα στο Κεφάλαιο 5.

O,N,O,N,O,O,O,N,O,N,O,O,O,O,N.

Αν $h\in H$, τότε $h\in G$ και $h(a)=a$, $\forall a\in F$. Άρα $F\subset E^H\subset E$.

Έστω και $a\in E^{H_2}$. Τότε $h(a)=a$, $\forall h\in H_2$, άρα $h(a)=a$, $\forall h\in H_1$. Άρα $E^{H_2}\subset E^{H_1}$.

• –

  $B=\mathbb{Q}(\sqrt{2})$, $E=\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2})$.

• –

  Αδύνατον.

• –

  $E$ το σώμα ανάλυσης του $x^3-2$ πάνω από το $\mathbb{Q}$ και $B=\mathbb{Q}(\sqrt{2})$.

$E=\mathbb{Q}(\sqrt{2},i)$, αφού

Παρατηρήστε ότι ${irr}_{(\mathbb{Q},\sqrt{2})}(x)=x^2-2$. Οι εικόνες του $\alpha =\sqrt{2}+i$ είναι τα

Επίσης, ${irr}_{\mathbb{Q},\alpha )}(x)=x^4-6x^2+17$ και επομένως $\alpha ({\alpha }^3-2\alpha )=-17$ και $a^{-1}=-({\alpha }^3-2\alpha )/17$.

To $E$ είναι σώμα ανάλυσης του $(x^2-3)(x^2-5)$ και συνεπώς h $E/\mathbb{Q}$ είναι επέκταση του Galois.

H ομάδα $Gal(E/F)$ καθορίζεται από τις μεταθέσεις των ριζών του $f(x)$. Αφού $charF\ne 2$, μια μετάθεση των ριζών του $f(x)$ είναι περιττή αν και μόνο αν $\sigma (\mathrm{\Delta })=-\mathrm{\Delta }$ . Αφού η $\mathrm{\Delta }\in F$ έπεται ότι $\sigma (\mathrm{\Delta })=\mathrm{\Delta }$, για κάθε $\sigma \in Gal(E/F)$.

O βαθμός $[E:\mathbb{Q}]$ diaire'itai από το $4$ και το $5$, άρα $[E:\mathbb{Q}]=20$. H $G$ είναι ισόμορφη με γνήσια υποομάδα της $S_5$ . Υπάρχουν αυτομορφισμοί $\sigma ,\tau \in G$ τέτοιοι ώστε $\sigma (\sqrt[5]{3})=\sqrt[5]{3}$, $\sigma (\omega )={\omega }^2$ και $\tau (\sqrt[5]{3})=\sqrt[5]{3}$, $\tau (\omega )=\omega$.

Παρατηρήστε ότι το $N(\alpha )$ ανήκει στο $E^G$.

Προκύπτει από το Θεώρημα 3.4.5.

Προκύπτει από το Θεώρημα 3.5.3 με $K=F(\alpha )$.

Συγκρίνετε με το πολυώνυμο ${\mathrm{\Phi }}_{p^2}(x)$.

Για το (b) παρατηρήστε ότι o ένας παράγοντα2 της σειράς είναι ισόμορφος με την $Gal(F(\omega )/F)$ που είναι υποομάδα αβελιανής ομάδας (βλ. Θεώρημα 5.1.4), ενώ για τον άλλο παράγοντα χρησιμοποιήστε το Θεώρημα 5.3.1.

Να παρατηρήσετε ότι ${\mathrm{\Phi }}_{2p}(x){\mathrm{\Phi }}_p(x){\mathrm{\Phi }}_2(x){\mathrm{\Phi }}_1(x)=x^{2p}-1$ και ότι ${\mathrm{\Phi }}_p(x){\mathrm{\Phi }}_1(x)=x^p-1$.

Να παρατηρήσετε ότι $\varphi (12)=4$ και na $\omega$ είναι μια πρωταρχική $12$ -ρίζα της μονάδας, τότε $G=Gal(\mathbb{Q}(\omega )/\mathbb{Q})=\{{id}_{\mathbb{Q}(\omega )},\sigma ,\tau ,\sigma \tau \}$ , όπου $\sigma (\omega )={\omega }^2$, $\tau (\omega )={\omega }^7$, $\sigma \tau (\omega )={\omega }^{11}$. Να δείξετε ότι τα ενδιάμεσα σώματα είναι τα: $\mathbb{Q}({\omega }^3)$, $\mathbb{Q}({\omega }^2)$, $\mathbb{Q}({\omega }^6)$.

Έστω $E=\mathbb{Q}(\omega )$. Γνωρίζουμε ότι $[E:\mathbb{Q}]=\varphi (n)$ , όπου $\varphi$ είναι η συνάρτηση του Euler. Έστω $\zeta =\omega +{\omega }^{-1}$ , τότε εκτελώντας τις πράξεις, έχουμε ${\omega }^2-\zeta \omega +1=0$ και επομένως $[E:\mathbb{Q}(\zeta )]\le 2$. Επίσης $\zeta \in ℝ$ και επομένως $[E:\mathbb{Q}(\zeta )]\ge 2$. Να συμπεράνετε ότι $[E:\mathbb{Q}(\zeta )]=2$ και άρα $[\mathbb{Q}(\zeta ):\mathbb{Q}]=\varphi (n)/2$.

Στην Ενότητα 5 δίνονται οι τύποι για τις ρίζες του τεταρτοβάθμιου πολυωνύμου $f(x)$.

Θεωρήστε την ομάδα $Gal(L/\mathbb{Q})$ και εφαρμόστε το Θεώρημα I.28. Σύμφωνα με το Θεώρημα I.28: η ομάδα $Gal(L/\mathbb{Q})$ έχει μία κανονική σειρά

τέτοια ώστε η ομάδα $G_i/G_{i-1}$ να έχει τάξη $2$, για $i=1,\mathrm{\dots },t$. Από το Θεμελιώδες Θεώρημα της Θεωρίας Galois έπεται ότι υπάρχει μία ακολουθία σωμάτων

με $[K_i:K_{i-1}]=2$, για $i=1,\mathrm{\dots },t$.

To $L$ περιέχει αναγκαστικά και τον συζυγή του $z$, επομένως περιέχει και το $a$ και το $bi$. Να αποδείξετε ότι το $a$ και το $b$ ικανοποιούν το κριτήριο της άσκησης 6.4.7 για τα αντίστοιχα σώματα ανάλυσης.

Για κάθε $n$, υπάρχει $a\in ℝ$ έτσι ώστε $\mathrm{deg}{irr}_{(\mathbb{Q},a)}(x)>n$. Για το αριθμήσιμο κομμάτι της ερώτησης, να μετρήσετε τα πολυώνυμα του $\mathbb{Q}[x]$.

Έστω $F$ υπόσωμα του $ℂ$. Aν $a,b$ είναι δύο υπερβατικά στοιχεία πάνω από το $F$, τότε να αποδείξετε ότι υπάρχει ισομορφισμός $F(a)\to F(b)$. Αν $a$, $b$ είναι διακεκριμένες ρίζες του ίδιου ανάγωγου πολυωνύμου με συντελεστές στο $F$, να αποδείξετε ότι h $\varphi :F(a)\to F(b)$, με $\varphi (a)=\varphi (b)$, μπορεί να επεκταθεί σε αυτομορφισμό του ${\overline{F}}_{ℂ}$, χρησιμοποιώντας το Λήμμα του Zorn.

Θυμίζουμε από τη Θεωρία Ομάδων ότι κάθε πεπερασμένη αβελιανή ομάδα $G$ είναι ευθύ άθροισμα κυκλικών ομάδων, δηλ.

για κάποιους φυσικούς αριθμούς $n_i$, $i=1,\mathrm{\dots },s$. Θεωρούμε πρώτους φυσικούς $p_1$, $p_2,\mathrm{\dots },p_s$ τέτοιους ώστε $p_i\equiv 1mod{n}_i$, $1\le i\le s$ (υπάρχουν άπειροι τέτοιοι πρώτοι). Έστω $n=p_1{p}_2\mathrm{\cdots }{p}_s$ και $\omega$ μία πρωταρχική $n$-ρίζα της μονάδας. Γνωρίζουμε ότι

και ${\mathbb{Z}}_{p_i}^{*}\cong {\mathbb{Z}}_{p_i-1}$, αφού η ${\mathbb{Z}}_{p_i}^{*}$ είναι κυκλική ομάδα τάξης $p_i-1$. Όμως, αφού $p_i-1=k_i{n}_i$ , για κάποιον ακέραιο $k_i$, έπεται ότι η ομάδα ${\mathbb{Z}}_{n_i}$ είναι ισόμορφη με υποομάδα της ${\mathbb{Z}}_{p-1}$, έστω την $H_i$, για $i=1,\mathrm{\dots },s$. Θεωρούμε, τώρα, την υποομάδα

της $\mathrm{{\rm M}}$, η οποία αντιστοιχεί σε ένα σώμα $\mathbb{Q}\le \mathrm{{\rm K}}\le \mathbb{Q}(\omega )$. Να αποδείξετε ότι $Gal(K/\mathbb{Q})$ είναι ισόμορφη με την $G$.