Παράρτημα

I Στοιχεία από τη Θεωρία Ομάδων

Ορισμός I.1.

Ένα μη κενό σύνολο $G$ λέγεται ομάδα (group) αν σε αυτό ορίζεται μία πράξη

\cdot:G\times G\longrightarrow G,\quad(a,b)\mapsto ab

με τις ακόλουθες ιδιότητες:

a.

Η πράξη είναι προσεταιριστική, δηλ. $a(bc)=(ab)c$ , για $a,b,c\in G$ ,
b.

υπάρχει ένα στοιχείο $e\in G$ τέτοιο ώστε $ea=a=ae$ , για $a\in G$ ,
g.

για κάθε $a\in G$ , υπάρχει ένα στοιχείο $a^{-1}\in G$ τέτοιο ώστε $a^{-1}a=e=aa^{-1}$ .

Το στοιχείο $e$ λέγεται ουδέτερο ή μοναδιαίο στοιχείο της ομάδας. Η ομάδα $G$ συμβολίζεται ως $(G,\cdot)$ όταν χρειάζεται να δοθεί έμφαση στη πράξη της. Aν η πράξη είναι αντιμεταθετική, δηλ.

ab=ba,\textrm{ για }a,b\in G\ ,

τότε η ομάδα $G$ λέγεται αντιμεταθετική ή αβελιανή. Ιδιαίτερα όταν η πράξη συμβολίζεται με $+$ και ονομάζεται πρόσθεση, τότε το ουδέτερο στοιχείο $e$ λέγεται μηδενικό στοιχείο και συμβολίζεται με $0$ . Αν το $G$ είναι ένα αριθμητικό σύνολο, π.χ. υποσύνολο του συνόλου $\mathbb{C}$ των μιγαδικών αριθμών και η πράξη είναι ο πολλαπλασιασμός των αριθμών, τότε το $e$ συμβολίζεται με $1$ . Το στοιχείο $a^{-1}$ λέγεται αντίστροφο του $a$ . Ιδιαίτερα όταν η πράξη συμβολίζεται με $+$ , τότε το $a^{-1}$ λέγεται αντίθετο του $a$ και συμβολίζεται με $-a$ . Το πλήθος των στοιχείων $|G|$ του συνόλου $G$ λέγεται τάξη (order) της $G$ . Αν $|G|<\infty$ τότε η $G$ λέγεται ομάδα πεπερασμένης τάξης ή πεπερασμένη ομάδα. Αν $|G|=\infty$ , τότε η $G$ λέγεται άπειρης τάξης ομάδα ή άπειρη ομάδα.

Παραδείγματα I.2.

1.

Οι $(\mathbb{Z},+)$ , $(\mathbb{Q},+)$ , $(\mathbb{R},+)$ , $(\mathbb{C},+)$ , $(\mathbb{Q}^{*},\cdot)$ , $(\mathbb{R}^{*},\cdot)$ , $(\mathbb{C}^{*},\cdot)$ είναι παραδείγματα άπειρων αβελιανών ομάδων, όπου ${\mathbb{Q}^{*}}=\mathbb{Q}\setminus\{0\}$ , και ανάλογα ορίζονται τα $\mathbb{R}^{*}$ , $\mathbb{C}^{*}$ . $r$ @ ${\mathbb{R}}^{*}$ $c$ @ ${\mathbb{C}}^{*}$ $q$ @ ${\mathbb{Q}}^{*}$

Έστω $n>1$ φυσικός αριθμός. Με ${{\mathbb{Z}}}_{n}$ $z n$ @ ${\mathbb{Z}}_{n}$ συμβολίζουμε το σύνολο των κλάσεων υπολοίπων $\operatorname{mod}n$ , δηλ.

\mathbb{Z}_{n}=\{\hbox{\vbox{\hrule height 0.3pt\kern 2.15pt\hbox{\kern-1.0pt$% a$\kern-1.0pt}}}:\ 0\leq a\leq n-1\},

όπου

\hbox{\vbox{\hrule height 0.3pt\kern 2.15pt\hbox{\kern-1.0pt$a$\kern-1.0pt}}}=% \{a+kn:\ k\in\mathbb{Z}\}.

Στο σύνολο $\mathbb{Z}_{n}$ ορίζουμε τις πράξεις $+$ και $\cdot$ ως εξής:

\hbox{\vbox{\hrule height 0.3pt\kern 2.15pt\hbox{\kern-1.0pt$a$\kern-1.0pt}}}+% \hbox{\vbox{\hrule height 0.3pt\kern 2.15pt\hbox{\kern-1.0pt$b$\kern-1.0pt}}}=% \hbox{\vbox{\hrule height 0.3pt\kern 2.15pt\hbox{\kern-1.0pt$a+b$\kern-1.0pt}}% }\ \ \textrm{ και }\ \ \hbox{\vbox{\hrule height 0.3pt\kern 2.15pt\hbox{\kern-% 1.0pt$a$\kern-1.0pt}}}\cdot\hbox{\vbox{\hrule height 0.3pt\kern 2.15pt\hbox{% \kern-1.0pt$b$\kern-1.0pt}}}=\hbox{\vbox{\hrule height 0.3pt\kern 2.15pt\hbox{% \kern-1.0pt$ab$\kern-1.0pt}}}.

Η $(\mathbb{Z}_{n},+)$ είναι αβελιανή ομάδα με $n$ στοιχεία. Η $(\mathbb{Z}_{n},\cdot)$ δεν είναι ομάδα, αφού δεν υπάρχει αντίστροφο για το $\bar{0}$ .

3.

Συμβολίζουμε με $ℤ_{n}^{♯} = {\bar{a} \in ℤ_{n} : (a,n) = 1} .$ Η $(\mathbb{Z}_{n}^{\sharp},\cdot)$ είναι αβελιανή ομάδα. Πράγματι, θα αποδείξουμε την ύπαρξη αντίστρoφου στοιχείου. Έστω $\hbox{\vbox{\hrule height 0.3pt\kern 2.15pt\hbox{\kern-1.0pt$a$\kern-1.0pt}}}% \in\mathbb{Z}_{n}^{\sharp}$ . Επειδή $(a,n)=1$ , έπεται ότι υπάρχουν $\kappa$ και $\lambda\in\mathbb{Z}$ , τέτοια ώστε $a\kappa+n\lambda=1$ . Επομένως $\bar{a κ + n λ} = \bar{1} και \bar{a κ} = \bar{1}, δηλ. \bar{a} \bar{κ} = \bar{1} .$ Συµπεραίνουµε ότι η k είναι η αντίστροφη κλάση της a στο $\mathbb{Z}$ . Από τις ιδιότητες του πολλαπλασιασµού έπεται ότι η $(\mathbb{Z}_{n}^{\sharp},\cdot)$ είναι αβελιανή οµάδα.
Η συνάρτηση του Euler (Euler’s φ function) ορίζεται ως η συνάρτηση $φ : ℕ \to ℤ, n \mapsto | ℤ_{n}^{♯} | .$ ΄Οταν n = p είναι πρώτος ϕυσικός αριθµός, τότε $ℤ_{p}^{♯} = ℤ_{p} \ {\bar{0}}$ και φ(p) = p−1.
4.

Έστω $F$ ένα σώμα, π.χ. $\mathbb{Q}$ , $\mathbb{R}$ , $\mathbb{C}$ ή $\mathbb{Z}_{p}$ , όπου $p$ είναι πρώτος φυσικός αριθμός. Έστω $\mathcal{M}_{n}(K)$ το σύνολο των $n\times n$ πινάκων με συντελεστές από το σώμα $F$ . Τότε $(\mathcal{M}_{n}(K),+)$ είναι μία αντιμεταθετική ομάδα.
5.

Έστω $F$ ένα σώμα. Τότε to σύνολο

${\operatorname{GL}_{n}(K)}=\{A\in\mathcal{M}_{n}(K):\ \det(A)\neq 0\},$

όπου $\det(A)$ είναι η ορίζουσα του πίνακα $Α$ , αποτελεί ομάδα με πράξη τον πολλαπλασιασμό πινάκων. Η ομάδα $\operatorname{GL}_{n}(K)$ λέγεται γενική γραμμική ομάδα (general linear group) και είναι αβελιανή αν και μόνο αν $n=1$ .
6.

Έστω $X$ ένα μη κενό σύνολο και $S_{X}$ το σύνολο όλων των αμφιμονότιμων και επί συναρτήσεων $f:\ X\rightarrow X$ . Το $S_{X}$ λέγεται σύνολο των μετασχηματισμών του συνόλου $X$ και αποτελεί ομάδα με πράξη τη σύνθεση συναρτήσεων. Η ομάδα $S_{X}$ είναι εν γένει μη αβελιανή. Ιδιαίτερα, αν $X=\{x_{1},\ldots,x_{n}\}$ τότε η ομάδα $S_{X}$ συμβολίζεται ${S_{n}}$ και λέγεται ομάδα των μεταθέσεων των n αντικειμένων (permutation group of $n$ elements). Η $S_{n}$ είναι αβελιανή αν και μόνο αν $n\leq 2$ .
7.

Έστω $G_{1}$ , $G_{2}$ δύο ομάδες. Το καρτεσιανό γινόμενο

$G_{1}\times G_{2}=\{(g_{1},g_{2}):\ g_{i}\in G_{i},\ i=1,2\}$

γίνεται ομάδα με πράξη την

$(g_{1},g_{2})(g_{1}^{\prime},g_{2}^{\prime})=(g_{1}g_{2},g_{1}^{\prime}g_{2}^{% \prime}).$

Moναδιαίο στοιχείο αυτής της ομάδας είναι το $(e_{1},e_{2})$ , όπου $e_{i}$ είναι το μοναδιαίο στοιχείο των $G_{i}$ , $i=1,2$ και

$(g_{1},g_{2})^{-1}=(g_{1}^{-1},g_{2}^{-1}).$

Ανάλογα ορίζεται και η ομάδα $G_{1}\times G_{2}\times\cdots\times G_{n}$ , όπου $G_{i}$ είναι ομάδα, για $i=1,\ldots,n$ , και ο πολλαπλασιασμός ορίζεται κατά τις συντεταγμένες των στοιχείων. Η ομάδα $G_{1}\times G_{2}\times\cdots\times G_{n}$ λέγεται ευθύ εξωτερικό γινόμενο (external direct product) των ομάδων $G_{1},\ldots,G_{n}$ , για $n\geq 2$ . ευθύ εξωτερικό γινόμενο $G_{1}\times G_{2}$

Είναι σημαντικό να γνωρίζουμε ποια υποσύνολα μίας ομάδας $G$ αποτελούν ομάδα ως προς την ίδια πράξη. Ένα τέτοιο υποσύνολο λέγεται υποομάδα (subgroup) της $G$ . Μία υποομάδα $H$ της $G$ συμβολίζεται με ${Η\leq G}$ ή με ${H<G}$ όταν πρόκειται για γνήσια υποομάδα της $G$ , δηλ. όταν $H\neq G$ . Ακολουθεί ένα χρήσιμο για τις εφαρμογές κριτήριο.

Θεώρημα I.3.

Έστω $(G,\cdot)$ μία ομάδα και $Η\subset G$ .

i.

$Η\leq G$ αν και μόνο αν $h_{1}h_{2}^{-1}\in H$ , για όλα τα $h_{1},h_{2}\in H$ . Ισοδύναμα, $Η\leq G$ αν και μόνο αν $h_{1}^{-1}h_{2}\in H$ , για όλα τα $h_{1},h_{2}\in H$ .
ii.

Ιδιαίτερα αν $|Η|<\infty$ , τότε $Η\leq G$ αν και μόνο αν $h_{1}h_{2}\in H$ , για όλα τα $h_{1},h_{2}\in H$ .

Παραδείγματα I.4.

1.

Έχουμε τις παρακάτω αλυσίδες υποομάδων της $(\mathbb{C},+)$ :

$(\mathbb{Z},+)<(\mathbb{Q},+)<(\mathbb{R},+)<(\mathbb{C},+)\ ,$

$(\mathbb{Q}^{*},\cdot)<(\mathbb{R}^{*},\cdot)<(\mathbb{C}^{*},\cdot).$
2.

Έστω $F$ ένα σώμα. Το σύνολο

${\operatorname{SL}_{n}(K)}=\{A\in\operatorname{GL}_{n}(K):\ \det A=1\}$

είναι υποομάδα της $\operatorname{GL}_{n}(K)$ .
3.

Έστω $X\neq\emptyset$ ένα σύνολο και $Y\subset X$ . Tότε $S_{Y}\leq S_{X}$ .

Ιδιαίτερα, αν $X$ είναι ο Ευκλείδειος χώρος $\mathbb{R}^{2}$ και $V$ είναι το σύνολο των σημείων ενός γεωμετρικού σχήματος στο επίπεδο, η ομάδα $S_{Y}$ λέγεται ομάδα συμμετρίας (symmetry group) του $V$ . Έτσι για παράδειγμα έχουμε την ομάδα συμμετρίας του ισόπλευρου τριγώνου, του τετραγώνου, του κανονικού πολυγώνου, κ. λ. π.

Ορίζουμε τις ακέραιες δυνάμεις του τυχαίου στοιχείου μίας ομάδας $G$ ως εξής:

a^{n}=\begin{cases}\overbrace{a\cdot a\cdots a}^{n\textrm{ φορές}}&\textrm{εάν% }n\geq 1\\ e&\textrm{εάν }n=0\\ (a^{-1})^{-n}&\textrm{εάν }n<0.\end{cases}

Ιδιαίτερα, όταν η ομάδα $(G,+)$ είναι προσθετική, τότε οι δυνάμεις είναι τα πολλαπλάσια:

na=\begin{cases}\overbrace{a+a\cdots+a}^{n\textrm{ φορές}}&\textrm{εάν }n\geq 1% \\ 0&\textrm{εάν }n=0\\ (-n)(-a)&\textrm{εάν }n<0.\end{cases}

Οι βασικές ιδιότητες των δυνάμεων δίνονται στην επόμενη πρόταση.

Πρόταση I.5.

Έστω $(G,\cdot)$ μία ομάδα και $a\in G$ . Τότε:

i.

$(a^{-1})^{-n}=(a^{n})^{-1}$ , $n\in\mathbb{Z}$ .
ii.

$a^{n}a^{m}=a^{n+m}$ , $n,m\in\mathbb{Z}$ .
iii.

$(a^{n})^{m}=a^{nm}$ , $n,m\in\mathbb{Z}$ .

Έστω $(G,\cdot)$ μία ομάδα και $g\in G$ . Είναι εύκολο να διαπιστώσουμε ότι το σύνολο

\mathbf{\langle g\rangle}:=\{g^{s}:\ s\in\mathbb{Z}\}

είναι υποομάδα της $G$ . Η υποομάδα αυτή λέγεται κυκλική ομάδα (cyclic group) παραγόμενη από το $g\in G$ . Βεβαίως είναι δυνατόν η ίδια η $G$ να είναι κυκλική. Για παράδειγμα είναι εύκολο να διαπιστώσουμε ότι

(\mathbb{Z},+)=\langle 1\rangle=\langle-1\rangle

και

(\mathbb{Z}_{n},+)=\langle\bar{1}\rangle\;.

Ένα υποσύνολο $X$ της πολλαπλασιαστικής ομάδας $G$ λέγεται παράγον σύνολο (generating set) της $G$ και συμβολίζουμε ${G=\langle X\rangle}$ ή ${G=\langle x:\ x\in X\rangle}$ , αν

G=\{x_{1}^{\epsilon_{1}}\cdots x_{s}^{\epsilon_{s}}:\ x_{i}\in X,\;\epsilon_{i% }=\pm 1,\;s\in\mathbb{N}\}.

Από το Θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής διαπιστώνουμε ότι

(\mathbb{Q},+)=\langle\frac{1}{n}:\ n\in\mathbb{N}\rangle,

ενώ

(\mathbb{Q}^{*},\cdot)=\langle p:\ p\textrm{ είναι πρώτος φυσικός αριθμός}% \rangle\;.

Έστω $G$ μία ομάδα και $g\in G$ . Είναι δυνατόν όλες οι ακέραιες δυνάμεις του στοιχείου $g$ να είναι διακεκριμένες, οπότε $|\langle g\rangle|=\infty$ . Αυτό συμβαίνει με το $1$ της ομάδας $(\mathbb{Z},+)$ . Είναι δυνατόν όμως $|\langle g\rangle|<\infty$ . Για παράδειγμα στην ομάδα $(\mathbb{C}^{*},\cdot)$ , η κυκλική υποομάδα που παράγεται από το $i$ έχει τέσσερα στοιχεία:

\langle i\rangle=\{1,i,-1,-i\}\leq(\mathbb{C}^{*},\cdot).

Είναι εύκολο να αποδείξει κανείς, ότι όταν οι δυνάμεις του $g$ δεν είναι διακεκριμένες, τότε υπάρχει ακέραιος $s$ τέτοιος ώστε $g^{s}=e$ . Έτσι έχει νόημα ο επόμενος ορισμός.

Ορισμός I.6.

Έστω $G$ μία ομάδα και $g\in G$ . Αν $|\langle g\rangle|=\infty$ , τότε λέμε ότι η τάξη (order) του $g$ είναι άπειρη και γράφουμε $\operatorname{ord}(g)=\infty$ . Αν $|\langle g\rangle|<\infty$ καλούμε τάξη (order) του $g$ τον ελάχιστο φυσικό αριθμό $n\neq 0$ για τον οποίο $g^{n}=e$ και γράφουμε ${\operatorname{ord}(g)}$ .

Έτσι $\operatorname{ord}(i)=4$ στην ομάδα $(\mathbb{C}^{*},\cdot)$ , ενώ $\operatorname{ord}(\bar{1})=n$ στην ομάδα $(\mathbb{Z}_{n},+)$ . Η επόμενη πρόταση συγκεντρώνει τις κυριότερες ιδιότητες των τάξεων των στοιχείων μίας ομάδας.

Πρόταση I.7.

Έστω $G$ μία ομάδα και $g\in G$ . Τότε:

i.

$\operatorname{ord}(g)=|\langle g\rangle|$ .
ii.

Έστω $\operatorname{ord}(g)=n<\infty$ . Τότε, για $\kappa,\lambda\in\mathbb{Z}$ , $g^{\kappa}=g^{\lambda}\Leftrightarrow\kappa\equiv\lambda\bmod n$ . Ιδιαίτερα $g^{\kappa}=e\Leftrightarrow\kappa\equiv 0\bmod n$
iii.

Έστω $\operatorname{ord}(g)=\infty$ . Τότε, για $\kappa,\lambda\in\mathbb{Z}$ , $g^{\kappa}=g^{\lambda}\Leftrightarrow\kappa=\lambda$ .
iv.

Για $\kappa\in\mathbb{Z}$ , ισχύει

$\operatorname{ord}(g^{\kappa})=\frac{n}{(n,\kappa)},$

όπου $(n,k)=\operatorname{\textrm{ΜΚΔ}}(n,\kappa)$ .
v.

Έστω $\operatorname{ord}(g)=n<\infty$ . Τότε $\langle g\rangle=\langle g^{\kappa}\rangle$ , αν και μόνο αν $(n,\kappa)=1$ .
vi.

Έστω $g,h\in G$ . Tότε

$\operatorname{ord}(g)=\operatorname{ord}(g^{-1}),\ \ \operatorname{ord}(gh)=% \operatorname{ord}(hg)\textrm{ και }\operatorname{ord}(ghg^{-1})=\operatorname% {ord}(h).$
vii.

Έστω $g,h\in G$ έτσι ώστε $gh=hg$ και $\left(\operatorname{ord}(g),\operatorname{ord}(h)\right)=1$ . Τότε

$\operatorname{ord}(gh)=\operatorname{ord}(g)\operatorname{ord}(h).$

Ιδιαίτερα, όταν η ομάδα $G$ είναι κυκλική, συμπεραίνουμε τα εξής:

Πρόταση I.8.

Έστω $G=\langle g\rangle$ μία κυκλική ομάδα.

i.

Έστω $\operatorname{ord}(g)=\infty$ . Τότε $G=$
ii.

Έστω $\operatorname{ord}(g)=n<\infty$ . Τότε $G=$

Παράδειγμα I.9.

$\mathbb{Z}_{8}^{\sharp}=\{\bar{1},\bar{3},\bar{5},\bar{7}\}$ και $\phi(8)=4$ . Αφού η τάξη των $\bar{3}$ , $\bar{5}$ , $\bar{7}$ είναι ίση με 2, η ομάδα $\mathbb{Z}_{8}^{\sharp}$ δεν είναι κυκλική.

Ένα από τα σημαντικότερα θεωρήματα της Θεωρίας Ομάδων είναι το Θεώρημα του Lagrange. Το θεώρημα αυτό παρέχει για τις πεπερασμένες ομάδες την εξαιρετική πληροφορία ότι η τάξη κάθε υποομάδας διαιρεί την τάξη της ομάδας.

Θεώρημα I.10 (Lagrange).

Έστω $G$ μία ομάδα και $Η\leq G$ .

i.

Η σχέση $a\sim b\Leftrightarrow a^{-1}b\in H$ , για $a,b\in G$ , είναι σχέση ισοδυναμίας στο σύνολο $G$ . Η κλάση ισοδυναμίας που περιέχει το $a\in G$ είναι το σύνολο $\bar{a}=aH=\{ah:\ h\in H\}$ . Ισχύει ότι

$G=\bigcup_{a\in X}aH,$

όπου $X$ είναι ένα πλήρες σύστημα αντιπροσώπων της σχέσης αυτής. Ακόμη $|H|=|aH|$ , για $a\in G$ .
ii.

Η σχέση $a\sim b\Leftrightarrow ba^{-1}\in H$ , $a,b\in G$ , είναι σχέση ισοδυναμίας στο σύνολο $G$ . Η κλάση ισοδυναμίας που περιέχει το $a\in G$ είναι το σύνολο $\bar{a}=Ha$ και

$G=\bigcup_{a\in Y}Ha,$

όπου $Y$ είναι ένα πλήρες σύστημα αντιπροσώπων της σχέσης αυτής. Ακόμη $|H|=|Ha|$ , $a\in G$ .
iii.

Τα σύνολα $X$ και $Y$ που εμφανίζονται παραπάνω έχουν την ίδια πληθυκότητα την οποία συμβολίζουμε με $[G:H]$ . Ισχύει η ισότητα

$|G|=[G:H]|H|\;.$
iv.

Αν η ομάδα $G$ είναι πεπερασμένη, τότε η τάξη κάθε υποομάδας της $Η$ διαιρεί την τάξη της $G$ .

To σύνολο $a H$ (αντίστοιχα $H a$ ), $a\in G$ , λέγεται αριστερή κλάση (αντίστοιχα δεξιά κλάση) (right and left cosets) της $H$ στη $G$ και η πληθυκότητα $[G:H]$ λέγεται δείκτης (index) της $H$ στην $Γ$ . Παρατηρούμε ότι ο δείκτης $[G:H]$ μπορεί να είναι πεπερασμένος αριθμός, μπορεί και όχι, π.χ. $[\mathbb{Z}:\mathbb{Z}_{n}]=n<\infty$ , ενώ $[\mathbb{Q}:\mathbb{Z}]=\infty$ . Αν η ομάδα $G$ είναι αβελιανή είναι φανερό ότι $aH=Ha$ , για κάθε $a\in G$ και για κάθε $Η\leq G$ . Αυτό, όμως, δεν συμβαίνει πάντα. Έτσι έχει νόημα ο παρακάτω ορισμός.

Ορισμός I.11.

Μία υποομάδα $Η$ της $G$ λέγεται κανονική (normal) και συμβολίζουμε $Η\mathrel{\unlhd}G$ , $Η\mathrel{\unlhd}G$ αν

aH=Ha\;,\textrm{ για κάθε }a\in G.

Ισοδύναμα, μία υποομάδα $Η$ είναι κανονική αν και μόνο αν $aHa^{-1}=H$ , για κάθε $a\in G$ . Γράφουμε $Η\mathrel{\lhd}G$ , αν h $Η$ είναι γνήσια κανονική υποομάδα της $G$ .

Η σημαντικότητα της κανονικής υποομάδας φαίνεται από το επόμενο θεώρημα.

Θεώρημα I.12.

Έστω $G$ μία ομάδα και $Η\leq G$ . H υποομάδα $Η$ είναι κανονική αν και μόνο αν το σύνολο πηλίκον

G/H:=\{aH:\ a\in G\}

αποτελεί ομάδα, με πράξη

(a_{1}H)\cdot(a_{2}H)=(a_{1}a_{2})H.

Το μοναδιαίο στοιχείο της $G/H$ είναι το $Η$ , ενώ $(aH)^{-1}=a^{-1}H$ , για $a\in G$ .

Όταν $Η\mathrel{\unlhd}G$ , η ομάδα $G/H$ λέγεται ομάδα πηλίκον (quotient group) της $Η$ στην $G$ . Το αποτέλεσμα της πράξης $(a_{1}H)\cdot(a_{2}H)$ είναι ανεξάρτητο της επιλογής των αντιπροσώπων $a_{1},a_{2}$ . Έτσι αν $b_{1}\in a_{1}H$ και $b_{2}\in b_{2}H$ , τότε

(a_{1}H)\cdot(a_{2}H)=(a_{1}a_{2})H=(b_{1}b_{2})H\;.

Οι υποομάδες της $G/H$ είναι της μορφής $N/H$ , όπου $Ν$ υποομάδα της $G$ που περιέχει την $Η$ . Είναι εύκολο να δούμε ότι:

(i)

$n\mathbb{Z}\mathrel{\lhd}\mathbb{Z}$ και $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=\{a+n\mathbb{Z}:\ a\in\mathbb{Z}\}=\mathbb{Z}_{n}$
(ii)

$\operatorname{SL}_{n}(\mathbb{Q})\mathrel{\lhd}\operatorname{GL}_{n}(\mathbb{Q})$ .

Σημειώνουμε την επόμενη παρατήρηση.

Παρατήρηση I.13.

i.

Κάθε υποομάδα αβελιανή ομάδας είναι αβελιανή.
ii.

Έστω $G$ μια ομάδα και $H\leq G$ με $[G:H]=2$ . Τότε $H\mathrel{\unlhd}G$ .

Από το Θεώρημα του Lagrange (Θεώρημα I.10) και τις ιδιότητες των κυκλικών ομάδων έχουμε το παρακάτω θεώρημα.

Θεώρημα I.14.

i.

Κάθε υποομάδα κυκλικής ομάδας είναι κυκλική.
ii.

Έστω $G=\langle a\rangle$ μία πεπερασμένη κυκλική ομάδα με τάξη $n$ . Για κάθε φυσικό αριθμό $m$ που διαιρεί το $n$ , υπάρχει μοναδική υποομάδα $H$ της $G$ με τάξη $m$ και $H=\langle a^{n/m}\rangle$ .
iii.

Κάθε ομάδα τάξης $p$ , όπου $p$ είναι πρώτος φυσικός αριθμός, είναι κυκλική.
iv.

(Fermat) Αν $p$ είναι πρώτος φυσικός αριθμός, τότε $a^{p-1}\equiv 1\operatorname{mod}p$ , για κάθε $a\in{\mathbb{Z}}$ .

Στη συνέχεια εξετάζουμε τις συναρτήσεις μεταξύ ομάδων. Έστω $(G,\cdot)$ και $(H,*)$ ομάδες και $f:G\rightarrow H$ μία συνάρτηση. Η $f$ λέγεται ομομορφισμός (homomorphism) αν

f(a\cdot b)=f(a)*f(b).

Ιδιαίτερα αν $G=H$ , τότε ο $f$ λέγεται ενδομορφισμός. Ο ομομορφισμός $f:G\rightarrow H$ λέγεται επιμορφισμός (epimorphism) αν η $f$ είναι επί συνάρτηση. Ο ομομορφισμός $f:G\rightarrow H$ λέγεται μονομορφισμός (monomorphism) αν η $f$ είναι αμφιμονότιμη συνάρτηση. Σε αυτήν την περίπτωση, η $f$ λέγεται επίσης εμφύτευση (embedding) εμφύτευση embedding και λέμε ότι η $G$ εμφυτεύεται στην $Η$ . Συχνά, η εμφύτευση συμβολίζεται ως $\hookrightarrow$ . Ο ομομορφισμός $f:G\rightarrow H$ λέγεται ισομορφισμός (isomorphism) αν η $f$ είναι αμφιμονότιμη και επί συνάρτηση. Σε αυτήν την περίπτωση, λέμε ότι οι ομάδες $G, Η$ είναι ισόμορφες (isomorphic) και συμβολίζουμε $G\cong H$ . $G\cong H$ Ιδιαίτερα, αν $G=H$ , τότε ο $f$ λέγεται αυτομορφισμός (automorphism).

Tο σύνολο

\ker f:=\{a\in G:\ f(a)=e\}\subset G

λέγεται πυρήνας (kernel) του $f$ . To σύνολο

\operatorname{Im}f:=\{f(a):\ a\in G\}\subset H

λέγεται εικόνα (image) του $f$ . Η επόμενη πρόταση συγκεντρώνει τις βασικότερες ιδιότητες των ομομορφισμών ομάδων.

Πρόταση I.15.

Έστω $f:G\rightarrow H$ ομομορφισμός ομάδων.

i.

$f(e)=e$ και $f(a^{-1})=f(a)^{-1}$ , για κάθε $a\in G$ .
ii.

$\ker f\mathrel{\unlhd}G$ , $\operatorname{Im}f\leq H$ .
iii.

$\ker f=\{e\}$ αν και μόνο αν $f$ είναι μονομορφισμός.
iv.

H $G$ εμφυτεύεται στην $Η$ αν και μόνον αν h $G$ είναι ισόμορφη με υποομάδα της $Η$ .
v.

Αν $a\in G$ και $\operatorname{ord}(f(a))=\infty$ , τότε $\operatorname{ord}(a)=\infty$ .
vi.

Αν $a\in G$ και $\operatorname{ord}(f(a))<\infty$ , τότε $\operatorname{ord}(f(a))|\operatorname{ord}(a)$ .
vii.

Αν o $f$ είναι μονομορφισμός και $a\in G$ , τότε $\operatorname{ord}(f(a))=\operatorname{ord}(a)$ .

Ο ομομορφισμός ομάδων δίνει σημαντικά εργαλεία για τη σύγκριση ομάδων και η ταξινόμηση όλων των ομάδων με προσέγγιση ισομορφίας είναι ο κύριος στόχος της Θεωρίας Ομάδων. Τα επόμενα θεωρήματα δίνουν πληροφορίες προς αυτήν την κατεύθυνση της οποίας η τελική διαδρομή είναι ακόμη άγνωστη.

Θεώρημα I.16.

Το σύνολο των αυτομορφισμών μίας ομάδας $G$ , με πράξη τη σύνθεση συναρτήσεων, αποτελεί ομάδα που συμβολίζεται με $\operatorname{Aut}(G)$ .

Αναφέραμε νωρίτερα την ομάδα μετασχηματισμών ενός συνόλου. Το επόμενο θεώρημα δείχνει ότι η μελέτη της είναι ιδιαίτερου ενδιαφέροντος.

Θεώρημα I.17 (Cayley).

Κάθε ομάδα $G$ εμφυτεύεται στην ομάδα $S_{G}$ των μετασχηματισμών του συνόλου της. Ιδιαίτερα, αν η ομάδα $G$ είναι πεπερασμένη και $|G|=n$ , τότε $G\hookrightarrow S_{n}$ .

Για τις κυκλικές ομάδες έχουμε το παρακάτω θεώρημα.

Θεώρημα I.18.

i.

Κάθε κυκλική ομάδα άπειρης τάξης είναι ισόμορφη με την $(\mathbb{Z},+)$ .
ii.

Κάθε κυκλική ομάδα πεπερασμένης τάξης $n<\infty$ είναι ισόμορφη με την $(\mathbb{Z}_{n},+)$ .
iii.

H $\operatorname{Aut}(\mathbb{Z})$ είναι κυκλική ομάδα τάξης 2.
iv.

H $\operatorname{Aut}(\mathbb{Z}_{n})$ είναι αβελιανή ομάδα τάξης $\phi(n)$ και είναι ισόμορφη με την $(\mathbb{Z}_{n}^{\sharp},\cdot)$ .
v.

Έστω $m,n\in\mathbb{N}$ . Tότε

$(\mathbb{Z}_{m}\times\mathbb{Z}_{n},+)\cong(\mathbb{Z}_{mn},+)\Leftrightarrow(% m,n)=1\ .$

Στη συνέχεια αναφέρουμε τα Θεωρήματα Ισομορφίας ομάδων. Αν $Κ, Ν$ είναι υποομάδες της ομάδας $G$ , με $Κ Ν$ εννοούμε το σύνολο $ΚΝ=\{kn:\ k\in K,n\in N\}$ .

Θεώρημα I.19 ( Πρώτο Θεώρημα Ισομορφίας Ομάδων).

Έστω $f:\ G\rightarrow H$ ένας ομομορφισμός ομάδων. Τότε

G/\ker f\cong\operatorname{Im}f\ ,\textrm{όπου }g\ker f\mapsto f(g)\;.

Θεώρημα I.20 ( Δεύτερο Θεώρημα Ισομορφίας Ομάδων).

Έστω $G$ μία ομάδα, $Ν,Κ\leq G$ και $N\mathrel{\unlhd}G$ . Τότε

i.

$KN\leq G$ και $K\cap N\mathrel{\unlhd}K$ .
ii.

$KN/N\;\cong\;K/K\cap N$ .

Θεώρημα I.21 ( Τρίτο Θεώρημα Ισομορφίας Ομάδων).

Έστω $G$ μία ομάδα, $Ν,H\mathrel{\unlhd}G$ και $N\leq H\leq G$ . Τότε

i.

$H/N\mathrel{\unlhd}G/N$ .
ii.

$(G/N)\big/(H/N)\;\cong\;G/H\ .$

Το επόμενο θεώρημα χαρακτηρίζει τις ομάδες που είναι ισόμορφες με το ευθύ εξωτερικό γινόμενο υποομάδων τους.

Θεώρημα I.22.

Έστω $G$ μία ομάδα και $H,K\leq G$ . H $G$ είναι ισόμορφη με την ομάδα $H\times K$ αν και μόνο αν ισχύουν οι παρακάτω τρεις συνθήκες:

i.

$H\mathrel{\unlhd}G$ , $K\unlhd G$ ,
ii.

$H\cap K=\{e\}$ ,
iii.

$G=HK$ .

Ισοδύναμα, $G\cong H\times K$ αν και μόνον αν

i.

τα στοιχεία της $H$ αντιμεταθέτονται με τα στοιχεία της $F$ και
ii.

κάθε στοιχείο της $G$ γράφεται μοναδικά ως γινόμενο $h k$ , για κάποια $h\in H$ και $k\in K$ .

Δεν είναι δύσκολο να αποδείξει κανείς τo επόμενο συμπέρασμα.

Πρόταση I.23.

i)
Με προσέγγιση ισομορφίας, υπάρχουν ακριβώς δύο ομάδες τάξης 4:
- –
  
  η $(\mathbb{Z}_{4},+)$ ,
- –
  
  η $(\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2},+)$ , η οποία λέγεται ομάδα του Klein.
ii)
Με προσέγγιση ισομορφίας, υπάρχουν ακριβώς δύο ομάδες τάξης 6:
- –
  
  h $(\mathbb{Z}_{6},+)$ ,
- –
  
  h $(S_{3},\circ)$ .

Τα Θεωρήματα του Sylow

Ένα εύλογο ερώτημα αφορά την ισχύ του αντίστρoφου του Θεωρήματος του Lagrange. Αν μία ομάδα έχει τάξη $n<\infty$ και $m|n$ , υπάρχει υποομάδα της τάξης $m$ ; Τα θεωρήματα του Sylow προσφέρουν μία ικανοποιητική απάντηση σε αυτό το ερώτημα. Συγκεντρώνουμε τα θεωρήματα αυτά παρακάτω:

Θεώρημα I.24 (Sylow).

Έστω $G$ μία ομάδα τάξης $n<\infty$ και $n=p^{s}m$ , όπου $p$ πρώτος και $p\nmid m$ . Με $N_{p}(t)$ συμβολίζουμε το πλήθος των υποομάδων της $G$ που έχουν τάξη $p^{t}$ .

i.

Υπάρχουν υποομάδες της $G$ με τάξη $p^{t}$ , $0\leq t\leq s$ , και $Ν_{p}(t)\equiv 1\operatorname{mod}p$ .
ii.

Οι υποομάδες τάξης $p^{s}$ της $G$ είναι συζυγείς, δηλ. αν $H_{1}$ , $H_{2}$ είναι δύο τέτοιες υποομάδες, τότε υπάρχει $g\in G$ τέτοιο ώστε $Η_{1}=gHg^{-1}$ . (Οι υποομάδες τάξης $p^{s}$ της $G$ λέγονται Sylow p-υποομάδες).
iii.

$Ν_{p}(s)|m$ .

Για $t=1$ , από το Θεώρημα I.24,(i), προκύπτει ότι αν $p$ διαιρεί την τάξη της $G$ , όπου $p$ πρώτος, τότε υπάρχει υποομάδα της $G$ με τάξη $p$ . Έτσι σύμφωνα με το Θεώρημα I.14, η υποομάδα αυτή είναι κυκλική και, επομένως, η $G$ έχει ένα στοιχεία τάξης $p$ . Έτσι προκύπτει το επόμενα Θεώρημα του Cauchy.

Θεώρημα I.25 (Cauchy).

Έστω $G$ πεπερασμένη ομάδα, $p$ πρώτος έτσι ώστε $p$ διαιρεί $|G|$ . Υπάρχει στοιχείο $g\in G$ τάξηs $p$ , δηλ. $\operatorname{ord}(g)=p$ .

Παραδείγματα I.26.

1.

Έστω $G$ μία ομάδα τάξης 15. Θα αποδείξουμε ότι h $G$ είναι κυκλική και συνεπώς $G\cong\mathbb{Z}_{15}$ . Από το Θεώρημα I.24,(i), υπάρχει τουλάχιστον μία υποομάδα, έστω $G_{3}$ της $G$ , τάξης 3 και μία υποομάδα, έστω $G_{5}$ , της $G$ , τάξης 5. Τότε $N_{3}(1)\equiv 1\operatorname{mod}3$ και $N_{3}(1)\;|\;5$ , άρα $N_{3}(1)=1$ . Ομοίως, $N_{5}(1)=1$ . Επομένως, οι $G_{3}$ και $G_{5}$ , ως μοναδικές $3$ -Sylow και $5$ -Sylow αντίστοιχα υποομάδες, είναι κανονικές, αφού ταυτίζονται με τις συζυγείς τους, Θεώρημα I.24,(ii). Σύμφωνα με το Θεώρημα I.18, οι $G_{3}$ και $G_{5}$ είναι κυκλικές. Επίσης $G_{3}\cap G_{5}=\{e\}$ , αφού ως υποομάδα της $G_{3}$ και της $G_{5}$ η τάξη της διαιρεί το 3 και το 5, (Θεώρημα I.14). Συνεπώς, σύμφωνα με τα Θεωρήματα I.22 και I.18, προκύπτει ότι

$G\cong G_{3}\times G_{5}\cong\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{5}\cong\mathbb{Z}% _{15}\ ,$

δηλ. η $G$ είναι κυκλική.
2.

Μία ομάδα $G$ λέγεται απλή (simple) αν δεν έχει κανονική υποομάδα διάφορη των $\{e\}$ και $G$ . Θα αποδείξουμε ότι οι μόνες απλές αβελιανές ομάδες είναι οι ομάδες τάξης πρώτου αριθμού.

Πράγματι, έστω $G$ μία αβελιανή ομάδα τάξης $p$ , όπου $p$ είναι πρώτος φυσικός αριθμός. Από το Θεώρημα I.10, δεν υπάρχει υποομάδα της $G$ διάφορη των $\{e\}$ και $G$ . Αντίστροφα, αν η $G$ είναι αβελιανή ομάδα τάξης $n<\infty$ και ο $n$ δεν είναι πρώτος αριθμός, τότε υπάρχει πρώτος $p<n$ τέτοιος ώστε $p|n$ . Από το Θεώρημα I.24 υπάρχει υποομάδα $Η<G$ με $|Η|=p$ . Επίσης, $Η\lhd G$ , αφού η $G$ είναι αβελιανή. Επομένως η $G$ δεν είναι απλή.

Επιλύσιμες Ομάδες

Έστω $G$ μία πεπερασμένα ομάδα. Κανονική σειρά (normal series) της $G$ λέγεται μία ακολουθία υποομάδων $G_{i}$ , $0\leq i\leq s$ , της $G$ ως εξής:

G=G_{0}\mathrel{\rhd}G_{1}\cdots\mathrel{\rhd}G_{s-1}\rhd G_{s}=\{e\}.

Ο φυσικός αριθμός $s$ λέγεται μήκος της σειράς (length) και οι ομάδες $G_{i}/G_{i+1}$ , $0\leq i\leq s-1$ , λέγονται παράγοντες της σειράς (factors). Ιδιαίτερα, αν οι παράγοντες της κανονικής σειράς είναι αβελιανές ομάδες, τότε η σειρά λέγεται επιλύσιμη (solvable). Μία πεπερασμένη ομάδα $G$ που έχει μία επιλύσιμη σειρά λέγεται επιλύσιμη (solvable).

Παραδείγματα I.27.

1.

Η ομάδα $G$ τάξης 15 με τους συμβολισμούς του Παραδείγματος I.26,1 είναι επιλύσιμη, αφού η σειρά της $G$

$G\;{\mathrel{\rhd}}\;G_{3}\;{\mathrel{\rhd}}\;\{e\}$

έχει τις ιδιότητες:

$G/G_{3}\cong{\mathbb{Z}}_{5}\ \textrm{ και }G_{3}\cong{\mathbb{Z}}_{3}.$
2.

Κάθε πεπερασμένη αβελιανή ομάδα είναι επιλύσιμη. Πράγματι, h

$G\mathrel{\lhd}\{e\}$

είναι μία επιλύσιμη σειρά.

Με χρήση των Θεωρημάτων του Sylow και thc μαθηματικής επαγωγής, αποδεικνύεται το παρακάτω χρήσιμο θεώρημα.

Θεώρημα I.28.

Έστω $G$ μία πεπερασμένη $p$ -ομάδα, δηλ. μία ομάδα με $|G|=p^{n}$ , για κάποιον πρώτο φυσικό αριθμό $p$ και κάποιον φυσικό αριθμό $n$ . Τότε υπάρχει μία κανονική σειρά υποομάδων $G_{i}$ , $0\leq i\leq s$ , της $G$

G=G_{0}\mathrel{\rhd}G_{1}\cdots\mathrel{\rhd}G_{s-1}\rhd G_{s}=\{e\},

έτσι ώστε $|G_{i}/G_{i+1}|=p$ .

Το επόμενο θεώρημα συγκεντρώνει τις κυριότερες ιδιότητες των επιλύσιμων ομάδων.

Θεώρημα I.29.

i.

Μία πεπερασμένη ομάδα $G$ είναι επιλύσιμη αν και μόνο αν έχει μία κανονική σειρά τέτοια ώστε κάθε παράγοντας της σειράς να είναι ομάδα τάξης πρώτου αριθμού.
ii.

Έστω $G$ πεπερασμένη ομάδα και $Ν ⊲ G$ . Η $G$ είναι επιλύσιμη αν και μόνο αν $N$ και $G / N$ είναι επιλύσιμες ομάδες.
iii.

Κάθε ομάδα πηλίκον επιλύσιμης ομάδας είναι επιλύσιμη.
iv.

Το ευθύ γινόμενο πεπερασμένου πλήθους πεπερασμένων επιλύσιμων ομάδων είναι επιλύσιμη ομάδα.
v.

Η ομομορφική εικόνα επιλύσιμης ομάδας είναι επιλύσιμη ομάδα.

Η ομάδα $S_{n}$

Στο εδάφιο αυτό εξετάζουμε την ομάδα $S_{n}$ . Από τον ορισμό της η $S_{n}$ , ως σύνολο των μεταθέσεων $n$ αντικειμένων, έχει $n!$ στοιχεία. Για ευκολία συμβολίζουμε τα αντικείμενα αυτά ως $1,2,\ldots,n$ . Έστω $\sigma\in S_{n}$ . Ένα στοιχείο $\sigma\in S_{n}$ μπορούμε να το συμβολίσουμε ως

\sigma=\begin{pmatrix}1&2&\cdots&n\cr\sigma(1)&\sigma(2)&\cdots&\sigma(n)\end{% pmatrix},

όπου aν $\sigma(n)=n$ , τότε το $\sigma$ μπορεί να θεωρηθεί ως στοιχείο της $S_{n-1}$ , παραλείποντας την πληροφορία $\sigma(n)=n$ . Έτσι μπορούμε να θεωρήσουμε τις διαδοχικές εμφυτεύσεις

S_{1}\hookrightarrow S_{2}\hookrightarrow\cdots\hookrightarrow S_{n-1}% \hookrightarrow S_{n}

και επομένως να θεωρούμε ότι

S_{1}<S_{2}<\cdots<S_{n-1}<S_{n}.

Επίσης στην παράσταση του στοιχείου $\sigma$ μπορούμε να παραλείπουμε τα στοιχείa του συνόλου $\{1,2,\ldots,n\}$ που μένουν σταθερά από τη $\sigma$ , αν βέβαια αυτό δεν δημιουργεί παρανοήσεις. Κυκλική μετάθεση ή κύκλος (cycle) λέγεται ένα στοιχείο της $S_{n}$ της μορφής

\tau:=\begin{pmatrix}i_{1}&i_{2}&\cdots&i_{s-1}&i_{s}\cr i_{2}&i_{3}&\cdots&i_% {s}&i_{1}\end{pmatrix},

όπου $\{i_{1},i_{2},\ldots,i_{s}\}\subseteq\{1,2,\ldots,n\}$ . H κυκλική μετάθεση $\tau$ συμβολίζεται ως $(i_{1}i_{2}\cdots i_{s})$ και ο αριθμός $s$ λέγεται μήκος (length) της $\sigma$ . Ένας κύκλος μήκους 2 λέγεται αντιμετάθεση (transposition). Η ομάδα $S_{n}$ είναι μη αντιμεταθετική για $n\geq 2$ . Όμως, εύκολα διαπιστώνουμε ότι αν

\sigma:=\begin{pmatrix}i_{1}&i_{2}&\cdots&&i_{t}\cr\sigma(i_{1})&\sigma(i_{2})% &\cdots&\sigma(i_{t})\end{pmatrix},\ \ \tau:=\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&\cdots% &j_{s}\cr\sigma(j_{1})&\sigma(j_{2})&\cdots&\sigma(j_{s})\end{pmatrix},

όπου $\{i_{1},\ldots,i_{t}\}$ , $\{j_{1},\ldots,j_{s}\}$ είναι ξένα μεταξύ τους υποσύνολα του $\{1,2,\ldots,n\}$ , τότε $\sigma\tau=\tau\sigma$ . Τότε οι μεταθέσεις $\sigma$ , $\tau$ λέγονται μεταθέσεις ξένες μεταξύ τους (disjoint permutions). Η επόμενη πρόταση είναι σημαντική για την περιγραφή στοιχείων της $S_{n}$ .

Πρόταση I.30.

i.

Κάθε στοιχείο $\sigma\in S_{n}$ αναλύεται σε γινόμενο κυκλικών μεταθέσεων ξένων μεταξύ τους ανά δύο. Η ανάλυση αυτή είναι μοναδική με προσέγγιση αντιμετάθεσης των παραγόντων της.
ii.

Η τάξη μίας κυκλικής μετάθεσης ισούται με το μήκος της.
iii.

Έστω $\sigma=\sigma_{1}\sigma_{2}\cdots\sigma_{k}$ η ανάλυση μίας μετάθεσης σε γινόμενο κύκλων ξένων μεταξύ τους an’a d’uo. Τότε

$\operatorname{ord}(\sigma)=\operatorname{\textrm{ΕΚΠ}}\left(\operatorname{ord}% (\sigma),\ldots,\operatorname{ord}(\sigma_{k})\right).$
iv.

Δύο στοιχεία $\sigma$ , $\tau$ της $S_{n}$ είναι συζυγή (conjugate), δηλ. $\sigma=f\tau f^{-1}$ , για κάποιο $f\in S_{n}$ , αν και μόνο αν τα $\sigma$ , $\tau$ έχουν την ίδια δομή ως γινόμενα κυκλικών μεταθέσεων ξένων μεταξύ τους ανά δύο.

Παράδειγμα I.31.

Έστω $\sigma=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\cr 3&1&2&5&4\end{pmatrix}$ , τότε $\sigma=(132)(45)=(45)(132)$ . Αν $\tau=(15)\in S_{5}$ τότε

\tau\sigma\tau^{-1}=(532)(41).

Έστω $\sigma\in S_{n}$ . Θεωρούμε το πολυώνυμο

f(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})=\prod_{\substack{i>j\\ 1\leq i,j\leq n}}(x_{i}-x_{j})\

με $n$ ανεξάρτητες μεταβλητές και συμβολίζουμε

\sigma f(x_{1}\ldots,x_{n})=\prod_{\substack{i>j\\ 1\leq i,j\leq n}}(x_{\sigma(i)}-x_{\sigma(j)})=\pm f(x_{1},\ldots,x_{n}).

Αν $\sigma f(x_{1},\ldots,x_{n})=f(x_{1},\ldots,x_{n})$ , τότε η $\sigma$ λέγεται άρτια (even) μετάθεση, διαφορετικά λέγεται περιττή (odd). Το σύνολο των άρτιων μεταθέσεων συμβολίζεται με $A_{n}$ . H επόμενη πρόταση είναι ιδιαίτερα χρήσιμη.

Πρόταση I.32.

i.

$A_{n}\lhd S_{n}$ και $S_{n}/A_{n}\cong\mathbb{Z}_{2}$ .
ii.

Για έναν κύκλο $(i_{1}\cdots i_{s})$ , ισχύει $(i_{1}i_{2}\cdots i_{s})=(i_{1}i_{s})(i_{2}i_{s})\cdots(i_{s-1}i_{s})$ .
iii.

Kάθε $\sigma\in S_{n}$ αναλύεται σε γινόμενο αντιμεταθέσεων. Η ανάλυση αυτή δεν είναι μοναδική. Ακόμη, ένα στοιχείο της $S_{n}$ είναι άρτια μετάθεση αν και μόνο αν είναι γινόμενο άρτιου πλήθους αντιμεταθέσεων.
iv.

$S_{n}=\langle\,(ij):\ 1\leq i,j\leq n\,\rangle=\langle\,(12),(13),\ldots,(1n)\,\rangle$ .
v.

$S_{n}=\langle\,(12),(12\cdots n)\,\rangle$ .
vi.

$A_{n}=\langle\,(abc):\ a,b,c\in\{1,2,\ldots,n\}\,\rangle=\langle\,(123),(124),% \ldots,(12n)\,\rangle$ .

Στη συνέχεια εξετάζουμε λεπτομερέστερα την ομάδα $S_{3}$ .

Παράδειγμα I.33.

Παρατηρούμε ότι αν $\sigma:=(123)$ και $\tau:=(12)$ , τότε

S_{3}=\{e,\sigma,\sigma^{2},\tau,\sigma\tau,\sigma^{2}\tau\}\ ,\ \textrm{δηλ. % }S_{3}=\langle\sigma,\tau\rangle.

Το διάγραμμα των υποομάδων της $S_{3}$ είναι

Η μόνη γνήσια κανονική υποομάδα της $S_{3}$ , διάφορη της $\{e\}$ , είναι η $\langle\sigma\rangle$ . H $S_{3}$ είναι επιλύσιμη με επιλύσιμη σειρά

S_{3}\mathrel{\rhd}\langle\sigma\rangle\mathrel{\rhd}\{e\}\;.

Ας έλθουμε τώρα στην $S_{4}$ .

Παράδειγμα I.34.

Έστω

K=\{\,e,(12)(34),(13)(24),(14)(23\,)\}\;\subset S_{4}.

Είναι εύκολο να διαπιστώσουμε ότι $K<Α_{4}$ . Επίσης, $K\mathrel{\lhd}S_{4}$ , αφού σύμφωνα με την Πρόταση I.30, όλα τα συζυγή των στοιχείων της $K$ είναι της ίδιας μορφής όπως τα στοιχεία της $K$ και άρα ανήκουν στη $K$ . ’Ara $K\mathrel{\lhd}A_{4}$ . Aφού $|Κ|=4$ , έπεται ότι $K$ είναι αβελιανή ομάδα και επομένως όλες οι υποομάδες της $K$ είναι κανονικές. Έτσι, αν $\sigma=(12)(34)$ τότε $\langle\sigma\rangle\lhd K$ . Επομένως, έχουμε την κανονική σειρά

S_{4}\mathrel{\rhd}A_{4}\mathrel{\rhd}K\mathrel{\rhd}\langle\sigma\rangle% \mathrel{\rhd}\{e\},

η οποία είναι επιλύσιμη γιατί

S_{4}/A_{4}\cong{\mathbb{Z}}_{2}\ ,\ A_{4}/K\cong{\mathbb{Z}}_{3}\ ,\ K/% \langle\sigma\rangle\cong{\mathbb{Z}}_{2}\ ,\ \langle\sigma\rangle\cong{% \mathbb{Z}}_{2}.

Άρα η $S_{4}$ είναι επιλύσιμη ομάδα. Τέλος παρατηρούμε ότι $S_{4}=\langle\,(12),(1234)\,\rangle$ .

Για $n\geq 5$ , συγκεντρώνουμε κάποιες από τις ιδιότητες της $S_{n}$ στο παρακάτω θεώρημα.

Θεώρημα I.35.

i.

Η $S_{5}$ παράγεται από μία τυχαία αντιμετάθεση και έναν τυχαίο κύκλο μήκους 5.
ii.

Η ομάδα $S_{n}$ δεν είναι επιλύσιμη για $n\geq 5$ .
iii.

Η ομάδα $A_{n}$ των άρτιων μεταθέσεων της $S_{n}$ είναι απλή για $n\geq 5$ .

II Αντιμεταθετικοί Δακτύλιοι

Ένα μη κενό σύνολο $R$ εφοδιασμένο με δύο πράξεις, την πρόσθεση $(+)$ και τον πολλαπλασιασμό $(\cdot)$ , λέγεται αντιμεταθετικός δακτύλιος (commutative ring) με μοναδιαίο στοιχείο, αν ικανοποιούνται τα επόμενα:

a.

$(R,+)$ είναι μία αβελιανή ομάδα (με $0$ συμβολίζουμε το μηδενικό της στοιχείο).
b.

$a(bc)=(ab)c$ , για όλα τα $a,b,c\in R$ .
g.

Υπάρχει $1\in R$ , έτσι ώστε $1\neq 0$ και $a\cdot 1=a=1\cdot a$ , για όλα τα $a\in R$ .
d.

$ab=ba$ , για όλα τα $a,b\in R$ .
e.

$a(b+c)=ab+ac$ και $(a+b)c=ac+bc$ , για ολα τα $a,b,c\in R$ .

Εάν επιπλέον h $(R\setminus\{0\},\cdot)$ είναι πολλαπλασιαστική ομάδα, τότε o $R$ λέγεται σώμα (field). Με $a^{-1}$ συμβολίζουμε το αντίστροφο του στοιχείου $a\in R\setminus{0}$ , αν αυτό υπάρχει. Συμβολίζουμε με $U(R)$ το σύνολο των αντρέψιμων στοιχείων του $R$ , δηλ.

U(R):=\{a\in R:\ \exists\;b\in R,ab=1\}.

Το σύνολο $(U(R),\cdot)$ είναι ομάδα, ενώ ο $R$ είναι σώμα αν και μόνο αν $U(R)=R\setminus\{0\}$ . Συμβολίζουμε με $R^{*}$ το σύνολο $R\setminus\{0\}$ . $U(R)$

Οι δακτύλιοι $\mathbb{Q}$ , $\mathbb{R}$ , $\mathbb{C}$ είναι σώματα. Ο αντιμεταθετικός δακτύλιος $\mathbb{Z}$ δεν είναι σώμα και $U(\mathbb{Z})=\{\pm 1\}$ . Ο αντιμεταθετικός δακτύλιος $\mathbb{Z}_{n}$ είναι σώμα αν και μόνο αν $n$ είναι πρώτος φυσικός αριθμός, αφού

U(\mathbb{Z}_{n})=\{\hbox{\vbox{\hrule height 0.3pt\kern 2.15pt\hbox{\kern-1.0% pt$m$\kern-1.0pt}}}:\ (m,n)=1\}={\mathbb{Z}}_{n}^{*}\textrm{ αν και μόνο αν }n% \textrm{ είναι πρώτος}.

Ένα μη κενό υποσύνολο $S$ του αντιμεταθετικού δακτυλίου $R$ λέγεται υποδακτύλιος (subring) του $R$ και γράφουμε $S\leq R$ , αν το $S$ αποτελεί δακτύλιο ως προς τις πράξεις του $R$ . Ένα μη κενό υποσύνολο $A$ του σώματος $K$ λέγεται υπόσωμα (subfield) του $K$ και γράφουμε $A\leq K$ , αν το $A$ ως προς τις πράξεις του $F$ είναι σώμα. Παραθέτουμε ένα κριτήριο που ελαχιστοποιεί τον σχετικό έλεγχο για τους υποδακτυλίους και τα υποσώματα.

Πρόταση II.1.

Ένα υποσύνολο $S\neq\emptyset$ του $R$ είναι υποδακτύλιος του $R$ αν και μόνο αν

s_{1}-s_{2},\ s_{1}\cdot s_{2}\in S,\textrm{ για όλα τα }s_{1},s_{2}\in S.

Ένα υποσύνολο $A\neq\emptyset$ του σώματος $K$ είναι υπόσωμα του $K$ αν και μόνο αν

a_{1}-a_{2}\in A\textrm{ για όλα τα }a_{1},a_{2}\in A\textrm{ kai }a_{1}a_{2}^% {-1}\in A,\textrm{ για όλα τα }a_{1}\in A\textrm{ kai }a_{2}\in A\setminus\{0\}.

Ένα υποσύνολο $I\neq\emptyset$ του δακτυλίου $R$ λέγεται ιδεώδες (ideal) αν $(I,+)$ είναι υποομάδα του $(R,+)$ και για κάθε $r\in R$ και για κάθε $a\in I$ isq’uei $ra\in I$ . Συμβολίζουμε με $Ι\unlhd R$ για να δηλώσουμε ότι το $Ι$ είναι ιδεώδες του $R$ . Αν $I\unlhd R$ και $a\in U(R)$ είναι τέτοιο ώστε $a\in I$ , τότε $I=R$ . Αν $Ι\unlhd R$ και $I\neq R$ , τότε λέμε ότι το $I$ είναι γνήσιο ιδεώδες (proper ideal) του $Ρ$ και γράφουμε $Ι\lhd R$ . Σημειώνουμε την παρακάτω πρόταση για ένα σώμα $K$ .

Πρόταση II.2.

Τα μόνα ιδεώδη ενός σώματος $K$ είναι τα $(0)$ και $F$ .

Αν $Ι,J\unlhd R$ , ορίζουμε $Ι+J:=\{a+b:\ a\in I,b\in J\}$ και το $I J$ να είναι το σύνολο που αποτελείται από όλα τα στοιχεία που γράφονται ως πεπερασμένα αθροίσματα στοιχείων της μορφής $h k$ , όπου $h\in I$ και $k\in J$ . Είναι εύκολο να δει κανείς ότι τα σύνολα $Ι+J$ , $I\cap J$ και $Ι J$ είναι ιδεώδη του $R$ και ότι

IJ\subset I\cap J\subset I,J\subset I+J.

Έστω $Ι\lhd R$ . Ο δακτύλιος πηλίκο (quotient ring) δακτύλιος πηλίκο $R/I$ του $R$ ως προς το $Ι$ έχει ως στοιχεία τα σύνολα $r+I$ , όπου $r\in R$ , δηλ. $R/I:=\{r+I:\ r\in R\}$ και πράξεις $R/I$

(r_{1}+I)+(r_{2}+I)=(r_{1}+r_{2})+I,\ (r_{1}+I)\cdot(r_{2}+I)=(r_{1}r_{2})+I.

Τα αποτελέσματα των πράξεων $(r_{1}+I)+(r_{2}+I)$ και $(r_{1}+I)\cdot(r_{2}+I)$ είναι ανεξάρτητα της επιλογής των αντιπροσώπων $r_{1},r_{2}$ . Έτσι αν $r_{1}^{\prime}\in r_{1}+I$ και $r_{2}^{\prime}\in r_{2}+I$ , τότε

(r_{1}+I)+(r_{2}+I)=(r_{1}+r_{2})+I=(r_{1}^{\prime}+r_{2}^{\prime})+I\;\textrm% { και }

(r_{1}+I)\cdot(r_{2}+I)=(r_{1}r_{2})+I=(r_{1}^{\prime}r_{2}^{\prime})+I.

Το μηδενικό στοιχείο του δακτυλίου $R/I$ είναι το $Ι=0+Ι$ , ενώ το μοναδιαίο στοιχείο του δακτυλίου $R/Ι$ είναι τo $1+I$ . Τα ιδεώδη του $R/I$ έχουν τη μορφή

J/I:=\{j+I:\ j\in J,\;J\unlhd R,\;I\subset J\}\;.

Μία συνάρτηση $f:R\rightarrow S$ , όπου $R$ και $S$ είναι δακτύλιοι, λέγεται ομομορφισμός δακτυλίων (ring homomorphism) αν η $f$ σέβεται την αλγεβρική δομή των δακτυλίων, δηλ.

f(r_{1}+r_{2})=f(r_{1})+f(r_{2}),\ f(r_{1}r_{2}=f(r_{1})f(r_{2}),

για κάθε $r_{1},r_{2}\in R$ . Ο πυρήνας (kernel) του ομομορφισμού $f:\ R\rightarrow S$ είναι το σύνολο

\ker f:=\{r\in R:\ f(r)=0\},

το οποίο είναι ιδεώδες του $R$ , δηλ. $\ker f\trianglelefteq R$ . Ακολουθούν τα Θεωρήματα Ισομορφίας για τους δακτυλίους.

Θεωρήματα Ισομορφίας

Θεώρημα II.3 (Πρώτο Θεώρημα Ισομορφίας Δακτυλίων).

Έστω $f:\ R\rightarrow S$ ένας ομομορφισμός δακτυλίων. Τότε

R/\ker f\rightarrow\operatorname{Im}f,\ r+\ker f\mapsto f(r)

είναι ισομορφικσμός και $R/\ker f\cong\operatorname{Im}f$ .

Θεώρημα II.4 (Δεύτερο Θεώρημα Ισομορφίας Δακτυλίων).

Έστω $Ι\neq J$ γνήσια ιδεώδη του $R$ . Τότε έχουμε ισομορφισμό δακτυλίων

(Ι+J)/I\cong J/(I\cap J).

Θεώρημα II.5 (Τρίτο Θεώρημα Ισομορφίας Δακτυλίων).

Έστω $Ι$ και $J$ ιδεώδη του $R$ και $I\subset J$ . Τότε έχουμε ισομορφισμό δακτυλίων

(R/I)/(J/I)\cong R/J.

Αφού τα μόνα ιδεώδη ενός σώματος είναι τα $(0)$ και το ίδιο το σώμα προκύπτει η επόμενη πρόταση ως άμεση συνέπεια του Πρώτου Θεωρήματος Ισομορφίας Δακτυλίων:

Πρόταση II.6.

Έστω $Κ,Κ^{\prime}$ σώματα. Αν $f:K\rightarrow K^{\prime}$ είναι ομομορφισμός δακτυλίων, τότε είτε ο $f$ είναι η μηδενική συνάρτηση είτε ο $f$ είναι μονομορφισμός.

Έστω $F$ σώμα. Ένας ισομορφισμός $\phi:F\rightarrow F$ λέγεται αυτομορφισμός (automorphism) του $F$ . Το σύνολο των αυτομορφισμών του $F$ συμβολίζεται με $\operatorname{Aut}(F)$ και εύκολα αποδεικνύεται ότι είναι ομάδα με πράξη τη σύνθεση συναρτήσεων.

Ένας δακτύλιος $R$ λέγεται ακέραiα περιοχή (integral domain) αν δεν έχει διαιρέτες του μηδενός, δηλ. δεν υπάρχουν στοιχεία $r$ , $s\in R^{*}$ ώστε $rs=0$ . Ο $\mathbb{Z}$ είναι ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα ακεραίας περιοχής.

Για κάθε ακεραία περιοχή $R$ ορίζεται το σώμα κλασμάτων (ή πηλίκων) (field of fractions) $K(R)$ , όπου $K(R)$

K(R):=\left\{\frac{r}{s}:\ r\in R,s\in R^{*}\right\}

με πράξεις

\frac{r_{1}}{s_{1}}+\frac{r_{2}}{s_{2}}=\frac{r_{1}s_{2}+s_{1}r_{2}}{s_{1}s_{2% }},\ \ \frac{r_{1}}{s_{1}}\frac{r_{2}}{s_{2}}=\frac{r_{1}r_{2}}{s_{1}s_{2}}.

Tα στοιχεία του $Κ(R)$ είναι στην πραγματικότητα κλάσεις ισοδυναμίας του $R\times R^{*}$ ως προς τη σχέση $(r,s)\sim(r^{\prime},s^{\prime})\Leftrightarrow rs^{\prime}=r^{\prime}s$ . Για λεπτομέρειες για την κατασκευή του σώματος κλασμάτων μίας ακεραίας περιοχής και την μοναδικότητά του με προσέγγιση ισομορφίας ο αναγνώστης παραπέμπεται στο [4, Ενότητα 4.4].

Έστω $R$ αντιμεταθετικός δακτύλιος. Σημειώνουμε τηn παρακάτω χρήσιμη πρόταση:

Πρόταση II.7.

Έστω $R$ αντιμεταθετικός δακτύλιος, $a,b\in R$ . Αν $n$ είναι φυσικός αριθμός, τότε

(a+b)^{n}=\sum_{i=0}^{n}a^{n-i}b^{i}=a^{n}+{n\choose 1}ab^{n-1}+\cdots+{n% \choose n-1}a^{n-1}b+b^{n}.

Ένα γνήσιο ιδεώδες $P$ του δακτυλίου $R$ λέγεται πρώτο (prime) αν

ab\in P\textrm{ για }a,b\in R\Rightarrow a\in P\textrm{ ή }b\in P.

Ένα γνήσιο ιδεώδες $Μ$ του δακτυλίου $R$ λέγεται μέγιστο (maximal), αν δεν υπάρχει γνήσιο ιδεώδες $Ι$ του $R$ έτσι ώστε $Μ\subsetneqq I$ .

Το επόμενο θεώρημα δίνει σημαντικές πληροφορίες για τα πρώτα και μέγιστα ιδεώδη, αφού οι ιδιότητες αυτές αντανακλούν ιδιότητες σε δακτυλίους πηλίκα.

Θεώρημα II.8.

Έστω $R$ ένας δακτύλιος και $Ι\lhd R$ . Τα επόμενα ισχύουν:

i.

Το $Ι$ είναι πρώτο ιδεώδες αν και μόνο αν ο δακτύλιος $R/I$ είναι ακεραία περιοχή.
ii.

Το $Ι$ είναι μέγιστο ιδεώδες αν και μόνο αν ο δακτύλιος $R/I$ είναι σώμα.

Είναι φανερό ότι κάθε μέγιστο ιδεώδες είναι πρώτο ιδεώδες, αφού το σώμα είναι ακεραία περιοχή. Έστω $P$ ένα μερικά διατεταγμένο σύνολο με διάταξη $\leq$ . Μία αλυσίδα (chain) του $P$ είναι μία ακολουθία στοιχείων $Α_{i}\in P$ , για $i=1,\ldots$ , τέτοια ώστε

Α_{1}\leq A_{2}\leq\cdots

To Λήμμα του Zorn (Zorn’s Lemma) είναι βασικό αξίωμα της Θεωρίας Συνόλων.

Λήμμα του Zorn. Έστω $P$ ένα (μη κενό) διατεταγμένο σύνολο τέτοιο ώστε κάθε αλυσίδα στοιχείων του $P$ να έχει άνω φράγμα. Τότε το $P$ έχει μέγιστο στοιχείο.

Με χρήση του Λήμματος του Zorn αποδεικνύεται ότι σε κάθε δακτύλιο υπάρχουν μέγιστα ιδεώδη, άρα και πρώτα.

Πρόταση II.9.

Έστω $R$ ένας δακτύλιος και $Ι$ γνήσιο ιδεώδες του $R$ . Υπάρχει μέγιστο ιδεώδες $M$ του $R$ τέτοιο ώστε $I\subset M$ .

Πράγματι, έστω $(P,\leq)$ το σύνολο των γνήσιων ιδεωδών του $R$ που περιέχουν το $Ι$ , με σχέση διάταξης $\leq$ τη συνήθη σχέση εγκλεισμού $\subseteq$ . Έτσι,

P=\{J:\ I\subset J\textrm{ και }J\;\lhd\;R\}\textrm{ και }I_{1}\leq I_{2}% \textrm{ αν }I_{1}\subseteq I_{2},\textrm{ για }I_{1},I_{2}\in P.

Είναι εύκολο να δει κανείς, ότι τα μέγιστα στοιχεία του $P$ ως προς τη διάταξη $\leq$ είναι μέγιστα ιδεώδη του $Ρ$ και περιέχουν το $Ι$ . Όμως, μία αλυσίδα στο $P$ έχει τη μορφή:

J_{1}\leq J_{2}\leq\cdots

(II.9.1)

και εύκολα ααποδεικνύεται (εξαιτίας των εγκλεισμών) ότι το σύνολο

J=\bigcup\limits_{i=1}J_{i}

είναι γνήσιο ιδεώδες του $R$ και ότι είναι άνω φράγμα της αλυσίδας (II.9.1). Σύμφωνα, λοιπόν, με το Λήμμα του Zorn, το $P$ έχει μέγιστο στοιχείο. Το μέγιστο στοιχείο του $P$ είναι ένα μέγιστο ιδεώδες του $R$ που περιέχει το $I$ .

Ιδιαίτερη σημασία έχουν στο κείμενο αυτό οι περιοχές κυρίων ιδεωδών (Principal Ideal Domains), για συντομία Π.Κ.Ι. Μία Π.Κ.Ι. είναι μία ακεραία περιοχή στην οποία κάθε ιδεώδες είναι κύριο (principal), δηλ. παράγεται από ένα μόνον στοιχείο. Έτσι αν $R$ είναι Π.Κ.Ι. και $Ι\trianglelefteq R$ , τότε υπάρχει $a\in R$ ώστε $Ι=\langle a\rangle:=aR=\{ar:\ r\in R\}$ και το $a$ λέγεται γεννήτορας (generator) του $Ι$ . Το ιδεώδες $Ι$ του $R$ που παράγεται (generated) από το υποσύνολο $X$ του $R$ , συμβολίζεται $Ι=\langle X\rangle$ και είναι το σύνολο

I:=\left\{\sum_{i=1}^{s}r_{i}x_{i}:\ r_{i}\in R,x_{i}\in X,s\in\mathbb{N}% \right\}.

Για δύο στοιχεία $a,b\in R$ λέμε ότι το $a$ διαιρεί (divides) το $b$ και γράφουμε $a|b$ αν υπάρχει στοιχείο $r\in R$ ώστε $b=ra$ . Ένα στοιχείο $p\in R$ λέγεται πρώτο (prime) αν $p\notin U(R)$ και

p|ab,\textrm{ για }a,b\in R\Rightarrow p|a\textrm{ ή }p|b.

Ένα στοιχείο $u\in R$ λέγεται ανάγωγο (irreducible) αν $u\notin U(R)$ και

u=ab,\textrm{ για }a,b\in R\Rightarrow a\in U(R)\textrm{ ή }b\in U(R).

Ένας δακτύλιος λέγεται περιοχή μονοσήμαντης ανάλυσης (Unique Factorization Domain), για συντομία Π.Μ.Α., αν είναι ακεραία περιοχή και κάθε στοιχείο $a\in R^{*}$ αναλύεται μοναδικά

a=uq_{1}q_{2}\cdots q_{s}\ ,

όπου $u\in U(R)$ και $q_{1},\ldots,q_{s}$ είναι ανάγωγα στοιχεία. Όταν λέμε μοναδικά εννοούμε ότι αν υπάρχει και άλλη τέτοια ανάλυση για το στοιχείο $a$ , δηλ.

a=u^{\prime}w_{1}w_{2}\cdots w_{t}\ ,

τότε $s=t$ και $w_{i}=e_{i}q_{i}^{\prime}$ , όπου $e_{i}\in U(R)$ και η ακολουθία $(q_{1}^{\prime},\ldots,q_{s}^{\prime})$ είναι μια μετάθεση της ακολουθίας $(q_{1},\ldots,q_{s})$ . Το επόμενο θεώρημα συνδέει τις προηγούμενες έννοιες.

Θεώρημα II.10.

i.

Κάθε πρώτο στοιχείο ενός δακτυλίου $R$ είναι ανάγωγο χωρίς να ισχύει το αντίστροφο.
ii.

Σε μία Π.Μ.Α. οι έννοιες ανάγωγο και πρώτο στοιχείο ταυτίζονται.
iii.

Κάθε Π.Κ.Ι. είναι Π.Μ.Α. χωρίς να ισχύει το αντίστροφο.
iv.

Έστω $R$ μία Π.Κ.Ι. Ένα ιδεώδες $Ι=(r)\trianglelefteq R$ είναι μέγιστο αν και μόνο αν το $r$ είναι ανάγωγο.

Έστω $R$ μία Π.Μ.Α. Θα ορίσουμε την έννοια του μέγιστου κοινού διαιρέτη και του ελαχίστου κοινού πολλαπλασίου στοιχείων του δακτυλίου $R$ . Έστω $a_{1},\ldots,a_{s}$ στοιχεία του $R$ . Τότε το στοιχείο $d\in R$ λέγεται ο μέγιστος κοινός διαιρέτης (greatest common divisor) τους και γράφουμε ${d=\operatorname{\textrm{ΜΚΔ}}(a_{1},\ldots,a_{s})}$ αν

a.

$d|a_{i},\ \textrm{gia }1\leq i\leq s$ , και
b.

όποτε $d^{\prime}\,|a_{i},\ \textrm{gia }1\leq i\leq s$ και για κάποιο $d^{\prime}\in R$ , τότε $d^{\prime}\,|d$ .

Αντίστοιχα, τo στοιχείο $e\in R$ λέγεται το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (least common multiple) των $a_{1},\ldots,a_{s}$ και γράφουμε ${e=\operatorname{\textrm{ΕΚΠ}}(a_{1},\ldots,a_{s})}$ αν $\operatorname{\textrm{ΕΚΠ}}$

a.

$a_{i}|e,\textrm{ gia }1\leq i\leq s$ , και
b.

όποτε $a_{i}|e^{\prime},\textrm{ gia }1\leq i\leq s$ και για κάποιο $e^{\prime}\in R$ , τότε $e|e^{\prime}$ .

Θεώρημα II.11.

Σε μία Π.Μ.Α. υπάρχει ο $\operatorname{\textrm{ΜΚΔ}}(a_{1},\ldots,a_{s})$ και o $\operatorname{\textrm{ΕΚΠ}}(a_{1},\ldots,a_{s})$ , για οποιαδήποτε στοιχεία $a_{1},\ldots,a_{s}$ του $R$ . Ιδιαίτερα, αν $d=\operatorname{\textrm{ΜΚΔ}}(a_{1},\ldots,a_{s})$ , τότε υπάρχουν στοιχεία $r_{1},\ldots,r_{s}\in R$ , τέτοια ώστε $d=r_{1}a_{1}+\cdots+r_{s}a_{s}$ .

Έστω $n>1$ φυσικός αριθμός. Από το Πρώτο Θεώρημα Ισομορφίας Δακτυλίων προκύπτει ότι η συνάρτηση

\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}_{n},\ s\mapsto s\operatorname{mod}n

είναι επιμορφισμός δακτυλίων με πυρήνα το ιδεώδες $n\mathbb{Z}=\langle n\rangle$ . Άρα $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\cong\mathbb{Z}_{n}$ . Εφαρμόζοντας τα προηγούμενα συμπεράσματα στον δακτύλιο $\mathbb{Z}$ , που είναι Π.Κ.Ι., παρατηρούμε ότι το ιδεώδες $\langle n\rangle$ είναι μέγιστο αν και μόνο αν to $n$ είναι πρώτος φυσικός αριθμός. Έτσι, ο δακτύλιος $\mathbb{Z}/\langle n\rangle\cong{\mathbb{Z}}_{n}$ είναι σώμα αν και μόνο αν ο $n$ είναι πρώτος φυσικός αριθμός.

III Δακτύλιοι Πολυωνύμων

Έστω $R$ ένας δακτύλιος. Μία άπειρη ακολουθία $f:=(a_{0},a_{1},\ldots,a_{n},\ldots)$ με $a_{i}\in R$ , $i\in{\mathbb{N}}$ , λέγεται τυπική σειρά (formal series) πάνω από τον $R$ . Συμβολίζουμε με $R[[x]]$ το σύνολο όλων των τυπικών σειρών πάνω από το $R$ . To $R[[x]]$ γίνεται δακτύλιος με τις ακόλουθες πράξεις: αν $f:=(a_{0},a_{1},\ldots,a_{n},\ldots)$ και $g:=(b_{0},b_{1},\ldots,b_{n},\ldots)$ είναι στοιχεία του $R[[x]]$ τότε $R[[x]]$

f+g=(a_{0}+b_{0},a_{1}+b_{1},\ldots)

και

fg=(a_{0}b_{0},a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0},\ldots,a_{0}b_{n}+a_{1}b_{n-1}+\cdots+a_{% n}b_{0},\ldots).

To μηδενικό στοιχείο του $R[[x]]$ είναι η τυπική σειρά $(0,0,\ldots)$ , ενώ το μοναδιαίο στοιχείο του $R$ είναι η τυπική σειρά $(1,0,\ldots)$ . Είναι φανερό ότι η αντιστοιχία

R\rightarrow R[[x]],\ \ a\mapsto(a,0,\cdots,0,\cdots)

είναι μονομορφισμός δακτυλίων και ότι ο $R$ εμφυτεύεται με αυτόν τον τρόπο στον $R[[x]]$ . Θα ταυτίσουμε τον $R$ με την εικόνα του στον $R[[x]]$ και χωρίς να δημιουργείται σύγχυση θα συμβολίζουμε με $a$ το στοιχείο $(a,0,\ldots)$ . Συμβολίζουμε επίσης με $x$ το στοιχείο $(0,1,0,\ldots)$ . Έτσι $x^{2}=(0,0,1,0\ldots)$ , $x^{3}=(0,0,0,1,\ldots)$ k.o.k., ak’omh

a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots=(a_{0},a_{1},\ldots,a_{n},\ldots).

Θεώρημα III.1.

Ένα στοιχείο $f=(a_{0},a_{1},\ldots,a_{n},\ldots)\in R[[x]]$ είναι αντιστρέψιμο αν και μόνο αν to $a_{0}$ είναι αντιστρέψιμο στον δακτύλιο $R$ , δηλ. αν to $a_{0}\in U(R)$ . Αν $F$ είναι σώμα, τότε το $f$ είναι αντιστρέψιμο αν και μόνο αν to $a_{0}\neq 0$ .

Για παράδειγμα to $1+x\in U(F[[x]])$ και παρατηρούμε ότι

(1+x)^{-1}=1-x+x^{2}-x^{3}+\cdots.

Ο δακτύλιος πολυωνύμων με συντελεστές από τον $R$ (polynomial ring with coefficients from $R$ ), συμβολίζεται με $R[x]$ , και είναι ο υποδακτύλιος του $R[[x]]$ , που αποτελείται από όλες τις τυπικές σειρές με πεπερασμένο πλήθος μη μηδενικών συντελεστών, δηλ.

R[x]=\{a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^{n}:\ \textrm{ όπου }\ n\geq 0\textrm{ και }% \alpha_{k}\in R,\textrm{ gia }0\leq k\leq n\}.

Από τον ορισμό του $R[x]$ , είναι φανερό ότι τα στοιχεία του $R[x]$ δεν είναι συνaρτήσεις. Μπορούμε, όμως, εύκολα να αποδείξουμε ότι η αντιστοιχία

R[x]\rightarrow R,\ \ a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^{n}\mapsto a_{0}+a_{1}a+% \cdots+a_{n}a^{n},

όπου $a$ είναι τυχαίο στοιχείο του $R$ , είναι ένας ομομορφισμός δακτυλίων. Αν $f(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^{n}\in R[x]$ , γράφουμε $f(a)=a_{0}+a_{1}a+\cdots+a_{n}a^{n}\in R$ . Σύμφωνα λοιπόν με τα παραπάνω, η συνάρτηση

\phi_{a}:\ R[x]\rightarrow R,\quad f(x)\mapsto f(a),\textrm{ για }a\in R,

πολυωνυμική συνάρτηση είναι ομομορφισμός δακτυλίων. Μπορούμε επίσης να ορίσουμε μία πολυωνυμική συνάρτηση (polynomial function) $F_{f}$ , για κάθε $f(x)\in R[x]$ , ως εξής:

F_{f}:\ R\rightarrow R,\quad a\mapsto f(a).

Έστω $f(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^{n}\in R[x]$ ένα μη μηδενικό στοιχείο του $R[x]$ , με $a_{n}\neq 0$ . Αν $a_{n}=1$ , τότε to $f(x)$ λέγεται κανονικό ή μονικό (monic) πολυώνυμο. Ο φυσικός αριθμός $n$ λέγεται βαθμός (degree) του πολυωνύμου $f(x)$ και συμβολίζεται ${\deg f(x)}$ . Ta πολυώνυμα βαθμού μηδέν είναι ακριβώς τα μη μηδενικά στοιχεία του $R$ . Το επόμενο θεώρημα δίνει τις ιδιότητες του βαθμού των μη μηδενικών πολυωνύμων.

Θεώρημα III.2.

Έστω $f(x)$ και $g(x)$ δύο μη μηδενικά στοιχεία του $R[x]$ . Τότε

i.

Αν $f(x)g(x)\neq 0$ , τότε $\deg f(x)g(x)\leq\deg f(x)+\deg g(x)$ . Ιδιαίτερα αν ο $R$ είναι μία ακεραία περιοχή, τότε $\deg f(x)g(x)=\deg f(x)+\deg g(x)$ .
ii.

Αν $f(x)+g(x)\neq 0$ , τότε $\deg f(x)+\deg g(x)\leq\max(\deg f(x),\deg g(x))$ .
iii.

Αν $R$ είναι ακεραία περιοχή, τότε ο $R[x]$ είναι ακεραία περιοχή επίσης.

Σημειώνουμε ότι το πολυώνυμο $0$ δεν έχει βαθμό. Πρέπει να παρατηρήσουμε ότι o δακτύλιος $R[x]$ δεν είναι σώμα σε καμία περίπτωση, ακόμη και αν ο $R$ είναι σώμα. Για παράδειγμα, το πολυώνυμο $x$ δεν είναι αντιστρέψιμο. Όταν o $R$ είναι ακεραία περιοχή, τότε τα αντιστρέψιμα στοιχεία του $R[x]$ είναι ακριβώς τα στοιχεία του $U(R)$ . Πράγματι, αν $f(x)g(x)=1$ τότε $0=\deg f(x)g(x)=\deg f(x)+\deg g(x)$ και άρα $\deg f(x)=\deg g(x)=0$ , δηλ. $f(x),g(x)\in R$ και είναι αντιστρέψιμα.

Έστω $F$ ένα σώμα. Όπως είδαμε παραπάνω, ο δακτύλιος $F[x]$ είναι ακεραία περιοχή. Το παρακάτω θεώρημα περιγράφει τις ιδιότητες του $F[x]$ .

Θεώρημα III.3.

Έστω $F$ ένα σώμα.

i.

(Θεώρημα Διαίρεσης) Αν $f(x),g(x)\in F[x]$ , tότε υπάρχουν μοναδικά $q(x),r(x)\in F[x]$ έτσι ώστε $f(x)=g(x)q(x)+r(x)$ , με $\deg r(x)<\deg q(x)$ ή $r(x)=0$ .
ii.

Ο δακτύλιος $F[x]$ είναι Π.Κ.Ι. και κατά συνέπεια Π.Μ.Α.
iii.

Το $f(x)\in F[x]$ είναι ανάγωγο αν και μόνο αν δεν υπάρχουν πολυώνυμα $f_{1}(x)$ , $f_{2}(x)$ τέτοια ώστε $f(x)=f_{1}(x)f_{2}(x)$ και $\deg f_{1}(x),\deg f_{2}(x)<\deg f(x)$ . To $f(x)$ είναι πρώτο αν και μόνο αν το $f(x)$ είναι ανάγωγο.
iv.

To ιδεώδες $\langle f(x)\rangle$ του $F[x]$ είναι μέγιστο αν και μόνο αν το $f(x)$ είναι ανάγωγο στο $F[x]$ .
v.

(Ευκλείδειος Αλγόριθμος) Αν $f(x)$ , $g(x)\in F[x]$ , τότε υπάρχουν $q(x)$ , $h(x)\in F[x]$ τέτοια ώστε $\operatorname{\textrm{ΜΚΔ}}(f(x),g(x))=q(x)f(x)+h(x)g(x)$ .
vi.

Έστω $E$ ένα σώμα, έτσι ώστε $F\subset E$ . Αν $f(x)$ , $g(x)\in F[x]$ , τότε οι μέγιστοι κοινοί διαιρέτες των $f(x)$ , $g(x)$ στους δακτυλίους $F[x]$ και $E[x]$ ταυτίζονται.

Σημειώνουμε ότι όταν $p$ είναι πρώτος φυσικός αριθμός και $a\in{\mathbb{Z}}_{p}$ , τότε $a^{p}=a$ , (βλ. Θεώρημα I.14.iv). To επόμενo συμπέρασμα προκύπτει εύκολα από την Πρόταση II.7 και την παρατήρηση ότι ο $p$ διαιρεί τον ${p\choose i}$ για $i=1,\ldots,p-1$ .

Πρόταση III.4.

Έστω $f(x)\in{\mathbb{Z}}_{p}[x]$ . Τότε $f(x^{p})=f(x)^{p}$ .

Το σώμα κλασμάτων της ακέραιας περιοχής $F[x]$ συμβολίζεται με $F(x)$ , δηλ.

F(x):=\left\{\frac{f(x)}{g(x)}:\ f(x),g(x)\in F[x],g(x)\neq 0\right\}\;.

Η θεωρία για τον δακτύλιο πολυωνύμων με μία μεταβλητή μπορεί να επεκταθεί για δακτυλίους πολυωνύμων με περισσότερες της μίας μεταβλητής. Σημειώνουμε, για τον συμβολισμό, ότι

R[x_{1},x_{2}]:=\left(R[x_{1}]\right)\,[x_{2}]

και επαγωγικά $R[x_{1},\ldots,x_{n}]$

R[x_{1},\ldots,x_{n}]:=\left(R[x_{1},\ldots,x_{n-1}]\right)[x_{n}].

Αν $F$ είναι σώμα, τότε o δακτύλιος $F[x_{1},\ldots,x_{n}]$ είναι ακεραία περιοχή και το σώμα κλασμάτων τou $F[x_{1},\ldots,x_{n}]$ συμβολίζεται με $F(x_{1},\ldots,x_{n})$ , δηλ.

{F(x_{1},\ldots,x_{n})}:=\left\{\frac{f}{g}:\ f,g\in F[x_{1},\ldots,x_{n}],g% \neq 0\right\}.

(III.4.1)

$F(x_{1},\ldots,x_{n})$ Σημειώνουμε την παρακάτω πρόταση:

Πρόταση III.5.

Έστω $F$ σώμα, $S$ δακτύλιος και $t:\{x_{1},\ldots,x_{n}\}\rightarrow S$ μία συνάρτηση. Τότε υπάρχει μοναδικός ομομορφισμός δακτυλίων

\tilde{t}:\ F[x_{1},\ldots,x_{n}]\rightarrow S,\textrm{ όπου }f(x_{1},\ldots,x% _{n})\mapsto f(t(x_{1}),\ldots,t(x_{n}))\ .

Τέλος στην ενότητα 7.2, θα χρειαστούμε την έννοια ενός πολυωνυμικού δακτυλίου με μεταβλητές από ένα σύνολο ανεξάρτητων μεταβλητών (μη πεπερασμένο). Aναφέρουμε, λοιπόν, ότι η κατασκευή του δακτυλίων πολυωνύμων, γενικεύεται για αυτήν την περίπτωση. Έστω $S$ ένα σύνολο ανεξάρτητων μεταβλητών, δηλ. $S=\{X_{\alpha}:\ a\in A\}$ , όπου $A$ είναι κάποιο σύνολο δεικτών, και έστω $F$ ένα σώμα. Θεωρούμε τον πολυωνυμικό δακτύλιο $R=F[S]$ με συντελεστές από το $F$ και με σύνολο μεταβλητών το $S$ . Ένα τυχαίο στοιχείο του $R$ εκφράζεται ως πολυώνυμο με πεπερασμένο αριθμό μεταβλητών από το σύνολο $S$ . Οι πράξεις ανάμεσα στα στοιχεία του $Ρ$ ικανοποιούν τους ίδιους κανόνες όπως στους συνήθεις πολυωνυμικούς δακτύλιους.

IV Χαρακτηριστική σώματος και πρώτα σώματα

Η χαρακτηριστική (characteristic) ενός αντιμεταθετικού δακτυλίου $R$ με μοναδιαίο στοιχείο συμβολίζεται με $\operatorname{char}R$ και είναι ο μικρότερος θετικός ακέραιος $n$ , αν υπάρχει, έτσι ώστε

n\cdot 1:=\underbrace{1+\cdots+1}_{\text{$n$-φορές}}=0.

Αν δεν υπάρχει τέτοιο $n$ , τότε η χαρακτηριστική του $R$ ορίζεται να είναι μηδέν. Οι δακτύλιοι ${\mathbb{Z}}$ , ${\mathbb{Z}}[x]$ και τα σώματα $\mathbb{Q}$ , $\mathbb{R}$ , $\mathbb{C}$ με τις γνωστές πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού έχουν χαρακτηριστική $0$ . Οι δακτύλιοι ${\mathbb{Z}}_{n}$ και ${\mathbb{Z}}_{n}[x]$ έχουν χαρακτηριστική $n$ . Αφού

(mn)\cdot 1=\underbrace{1+\cdots+1}_{\text{$mn$-φορές}}=(\underbrace{1+\cdots+% 1}_{\text{$m$-φορές}})(\underbrace{1+\cdots+1}_{\text{$n$-φορές}})=(m\cdot 1)(% n\cdot 1),

για τη χαρακτηριστική μίας ακεραίας περιοχή ισχύει η επόμενη πρόταση.

Πρόταση IV.1.

Έστω $R$ ακεραία περιοχή. Η χαρακτηριστική του $R$ είναι είτε $0$ είτε κάποιος πρώτος φυσικός αριθμός $p$ . Αν $|R|<\infty$ , τότε $\operatorname{char}R=p$ , όπου $p$ πρώτος φυσικός αριθμός.

Υπάρχουν και άπειρες ακέραιες περιοχές με χαρακτηριστική $p$ , όπως για παράδειγμα ο δακτύλιος πολυωνύμων ${\mathbb{Z}}_{p}[x]$ και το σώμα κλασμάτων ${\mathbb{Z}}_{p}(x)$ . Παρακάτω θα δούμε ότι η χαρακτηριστική ενός σώματος $F$ καθορίζει το μικρότερο σώμα που περιέχεται στο $F$ . Αν ο δακτύλιος $R$ περιέχει ως υποδακτύλιο ένα σώμα $F$ , τότε ο δακτύλιος $R$ έχει τη δομή διανυσματικού χώρου πάνω από το $F$ . Σε αυτήν την περίπτωση είναι φανερό ότι $\operatorname{char}R=\operatorname{char}F$ .

Ορισμός IV.2.

Πρώτο υπόσωμα (prime subfield) ενός σώματος $F$ είναι η τομή όλων των υποσωμάτων του.

Κάθε υπόσωμα ενός σώματος περιέχει τα στοιχεία $0$ και $1$ . Ακόμη παρατηρούμε ότι τα σώματα ${\mathbb{Q}}$ και ${\mathbb{Z}}_{p}$ δεν έχουν γνήσια υποσώματα και επομένως είναι ίσα με τα πρώτα υποσώματά τους. Το επόμενο θεώρημα αποδεικνύει ότι το ${\mathbb{Q}}$ και το ${\mathbb{Z}}_{p}$ , όπου $p$ πρώτος φυσικός αριθμός, είναι τα μόνα πρώτα υποσώματα με προσέγγιση ισομορφίας.

Θεώρημα IV.3.

Κάθε πρώτο υπόσωμα είναι ισόμορφο είτε με το σώμα ${\mathbb{Q}}$ είτε με το σώμα ${\mathbb{Z}}_{p}$ , όπου $p$ πρώτος φυσικός αριθμός.

Πράγματι, έστω $F$ ένα σώμα. Τότε η συνάρτηση

\phi:\ {\mathbb{Z}}\rightarrow F,\ n\mapsto n\cdot 1

είναι ομορφισμός δακτυλίων. Αν $\operatorname{char}F=0$ , τότε ο $\phi$ είναι μονομορφισμός και

\psi:\ {\mathbb{Q}}\rightarrow F,\ \psi\left(\frac{n}{s}\right)\mapsto(n\cdot 1% )(s\cdot 1)^{-1}

είναι μονομορφισμός σωμάτων. Έτσι το σώμα ${\mathbb{Q}}$ εμφυτεύεται στο $F$ . Αν, όμως, $\operatorname{char}F=p$ , τότε o πυρήνας του ομομορφισμού $\phi$ είναι ίσος με $p{\mathbb{Z}}$ . Σύμφωνα με το Πρώτο Θεώρημα Ισομορφίας Δακτυλίων έπεται ότι

{\mathbb{Z}}_{p}\cong{\mathbb{Z}}/p{\mathbb{Z}}\cong\operatorname{Im}\phi\,

δηλ. το ${\mathbb{Z}}_{p}$ είναι ισόμορφο με το υπόσωμα $\{0,1,2\cdot 1,\ldots,(p-1)\cdot 1\}$ του $F$ . Με άλλα λόγια to ${\mathbb{Z}}_{p}$ εμφυτεύεται στο $F$ . Σημειώνουμε επίσης ότι αν $F, E$ είναι δύο σώματα και $i:\ F\rightarrow E$ είναι μη μηδενικός ομομορφισμός δακτυλίων, τότε ο $i$ είναι εμφύτευση του $F$ στο $Ε$ και το $F$ είναι ισόμορφο με το υπόσωμα $i(F)$ του $Ε$ . Το σώμα $Ε$ γίνεται $F$ -διανυσματικός χώρος πάνω από το $F$ μέσω αυτής της εμφύτευσης: $c\cdot e=i(c)e,\textrm{ gια }c\in F,e\in E.$

Ορισμός IV.4.

To σώμα $Ε$ λέγεται επέκταση (extension) του σώματος $F$ και γράφουμε $Ε/F$ , $E/F$ αν υπάρχει εμφύτευση $i:\ F\hookrightarrow E$ . Το σώμα $Ε$ λέγεται πεπερασμένη επέκταση (finite extension) του $F$ όταν ${\rm dim}_{F}Ε=n<\infty$ . Διαφορετικά λέμε ότι το $Ε$ είναι άπειρη επέκταση (infinite extension) του $F$ .

Όταν $i:F\hookrightarrow E$ και $j:E\hookrightarrow L$ είναι εμφυτεύσεις σωμάτων, τότε η σύνδεση των $i$ και $j$ είναι μία εμφύτευση σωμάτων $F\hookrightarrow L$ και λέμε ότι το σώμα $Ε$ είναι ενδιάμεσo σώμα (intermediate field) της επέκτασης $L/F$ . Εφεξής, όταν $Ε/F$ είναι μία επέκταση, ταυτίζουμε το $F$ με την ισομορφική του εικόνα στο $E$ . Αν $Ε_{1}/F$ , $Ε_{2}/F$ είναι δύο επεκτάσεις του $F$ , τότε ο ομομορφισμός δακτυλίων $\phi:\ Ε_{1}\rightarrow Ε_{2}$ λέγεται $F$ -ομομορφισμός ( $F$ -homomorphism) αν $\phi(c)=c$ , για κάθε $c\in F$ .

Σχήμα .1: To $E$ είναι ενδιάμεσο σώμα της επέκτασης $L/F$ .

Έστω ότι $L$ είναι μία πεπερασμένη επέκταση του ${\mathbb{Z}}_{p}$ , έτσι ώστε ${\rm dim}_{{\mathbb{Z}}_{p}}L=n$ . Από αυτό έπεται ότι το σώμα $L$ ως διανυσματικός χώρος είναι ισόμορφος με τον διανυσματικό χώρο

\underbrace{{\mathbb{Z}}_{p}\times\cdots\times{\mathbb{Z}}_{p}}_{\text{$n$-φορ% ές}}.

Επομένως το $L$ έχει πληθυκότητα $p^{n}$ . Συμπεραίνουμε έτσι την ακόλουθη πρόταση.

Πρόταση IV.5.

Έστω $F$ ένα πεπερασμένο σώμα, δηλ. $|F|<\infty$ . Τότε, η χαρακτηριστική του $F$ είναι κάποιος πρώτος αριθμός $p$ και το πρώτο σώμα του $F$ είναι ισόμορφο με το ${\mathbb{Z}}_{p}$ . Αντίστροφα, κάθε πεπερασμένη επέκταση $L$ ενός σώματος ${\mathbb{Z}}_{p}$ έχει πεπερασμένου πλήθους στοιχεία και το πλήθος των στοιχείων της είναι μία δύναμη του $p$ . H πληθυκότητα του $L$ είναι $p^{n}$ αν και μόνο αν ${\rm dim}_{{\mathbb{Z}}_{p}}L=n$ .

Παρατηρούμε ότι η επέκταση είναι παραδείγματα άπειρων επεκτάσεων σωμάτων, η τελευταία από τις οποίες έχει χαρακτηριστική $p$ .

V Τύπος για τις ρίζες πολυωνύμων βαθμού 3 και 4

Σε αυτήν την ενότητα, παραθέτουμε τους τύπους για τις ρίζες των πολυωνύμων βαθμού 3 και 4. Για το πως προέκυψαν οι τύποι, παραπέμπουμε στα [6, σελ. 266-272] και [2, σελ. 266-272] .

V.1 Πολυώνυμα βαθμού 3.

Έστω

f(x)=x^{3}+px^{2}+qx+r\in\mathbb{C}[x].

Θέτουμε

D=p^{2}q^{2}-eq^{3}-4p^{3}r-27r^{2}+18pqr,

A=-p^{3}+\frac{9}{2}pq-\frac{27}{2}r+\frac{3i\sqrt{3}}{2}\sqrt{D}.

και

B=-p^{3}+\frac{9}{2}pq-\frac{27}{2}r-\frac{3i\sqrt{3}}{2}\sqrt{D}.

Σημειώνουμε ότι τα $Α$ και $B$ διαφέρουν στο πρόσημο του τελευταίου προσθετέου και ότι $\sqrt{D}$ είναι μία οποιαδήποτε τετραγωνική ρίζα του $D$ , βλ. το συμβολισμό μετά την Πρόταση 6.3.2. Έστω

\omega=e^{2\pi i/3}

η τρίτη πρωταρχική ρίζα της μονάδας, (βλ. Σχήμα 1.3). Μπορεί να αποδειχθεί απευθείας με αντικατάσταση, ότι οι τρεις ρίζες του $f(x)$ δίνονται από τους τύπους:

\frac{1}{3}\left(-p+\sqrt[3]{A}+\sqrt[3]{B}\right),

\frac{1}{3}\left(-p+\omega^{2}\sqrt[3]{A}+\omega\sqrt[3]{B}\right),

(V.1.1)

και

\frac{1}{3}\left(-p+\omega\sqrt[3]{A}+\omega^{2}\sqrt[3]{B}\right).

Όταν ο δευτεροβάθμιος όρος του $f(x)$ λείπει, όταν δηλ. $p=0$ και το $f(x)=x^{3}+qx+r\in\mathbb{Q}[x]$ τότε οι παραπάνω τύποι απλοποιούνται και οι τρεις ρίζες του $f(x)$ , είναι

y+z,\ \omega y+\omega^{2}y,\ \omega^{2}y+\omega z

όπου

y=\left(\frac{1}{2}\left(-r+\sqrt{r^{2}+\frac{4q^{3}}{27}}\right)\right)^{% \frac{1}{3}}

και

z=\left(\frac{1}{2}\left(-r-\sqrt{r^{2}+\frac{4q^{3}}{27}}\right)\right)^{% \frac{1}{3}}.

V.2 Πολυώνυμα βαθμού 4.

Έστω τώρα

f(x)=x^{4}+a_{1}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{3}xa_{4}\in{\mathbb{C}}[x].

Θέτουμε

p=-a_{2},\ q=a_{1}a_{3}-4a_{4},\ r=-a_{1}^{2}a_{4}+4a_{2}a_{4}-a_{3}^{2}\ ,

και θεωρούμε το τριτοβάθμιο πολυώνυμο

g(y)=y^{3}+b_{1}y^{2}+b_{2}y+b_{3}\in{\mathbb{C}}[y].

H εξίσωση

g(y)=0

λέγεται κυβική επιλύουσα (cubic resolvent). Έστω $\eta_{1},\eta_{2},\eta_{3}$ οι τρεις ρίζες του $g(y)$ , όπως στους τύπους (V.1.1).

Οι τέσσερις ρίζες του $f(x)$ δίνονται από τους παρακάτω τύπους:

\frac{1}{4}\left(-a_{1}+\sqrt{a_{1}^{2}-4a_{2}+4\eta_{1}}+\sqrt{a_{1}^{2}-4a_{% 2}+4\eta_{2}}+\sqrt{a_{1}^{2}-4a_{2}+4\eta_{3}}\right),

\frac{1}{4}\left(-a_{1}+\sqrt{a_{1}^{2}-4a_{2}+4\eta_{1}}-\sqrt{a_{1}^{2}-4a_{% 2}+4\eta_{2}}-\sqrt{a_{1}^{2}-4a_{2}+4\eta_{3}}\right),

\frac{1}{4}\left(-a_{1}-\sqrt{a_{1}^{2}-4a_{2}+4\eta_{1}}+\sqrt{a_{1}^{2}-4a_{% 2}+4\eta_{2}}-\sqrt{a_{1}^{2}-4a_{2}+4\eta_{3}}\right),

και

\frac{1}{4}\left(-a_{1}-\sqrt{a_{1}^{2}-4a_{2}+4\eta_{1}}-\sqrt{a_{1}^{2}-4a_{% 2}+4\eta_{2}}+\sqrt{a_{1}^{2}-4a_{2}+4\eta_{3}}\right).

Σημειώνουμε ότι οι παραπάνω τύποι είναι συμμετρικοί ως προς την επιλογή της αρίθμησης των $\eta_{1},\eta_{2},\eta_{3}$ της κυβικής επιλύουσας.

Για την ιστορία που οδήγησε στην επίλυση των πολυωνύμων τρίτου και τετάρτου βαθμού παραπέμπουμε σε πολυμεσικές διαλέξεις του ψηφιακού μαθήματος (open courses) Ιστορία των Μαθηματικών του Τμήματος Μαθηματικών, Α.Π.Θ. και συγκεκριμένα, για την επίλυση του τριτοβάθμιου πολυωνύμου, στις Ενότητες 5.3 και 5.4 ενώ για τα πολυώνυμα τετάρτου βαθμού παραπέμπουμε στην Ενότητα 5.5.

Βιβλιογραφία Παραρτήματος

[1]

Βάρσος, Δ., Δεριζιώτης, Δ., Μαλιάκας, Μ., Ταλέλλη, Ο., Εμμανουήλ , Ι., Μελάς, Α. Μια Εισαγωγή στην Άλγεβρα. ΕΚΠΑ, Εκδ. Σοφία, 2012.
[2]

Bewersdorff, J. Galois Theory for Beginniers, A Historical Perspective. AMS, 2006.
[3]

Dummit, D.S., Foote, R.M. Abstract Algebra. J. Wiley and Sons, INc, 2004.
[4]

Fraleigh, J. Εισαγωγή στην Άλγεβρα. Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης, 2011.
[5]

Hungerford,T. Algebra. Springer, 1974.
[6]

Λάκκης, Κ. Άλγεβρα. Θεσσαλονίκη, 1980.
[7]

Menini, C. Van Oystaeyen, F. Abstract Algebra. Marcel Dekker, 2004.
[8]

Πουλάκης, Δ. Άλγεβρα. Ζήτη, 2015.

Παράρτημα

I Στοιχεία από τη Θεωρία Ομάδων

Ορισμός I.1.

Παραδείγματα I.2.

Θεώρημα I.3.

Παραδείγματα I.4.

Πρόταση I.5.

Ορισμός I.6.

Πρόταση I.7.

Πρόταση I.8.

Παράδειγμα I.9.

Θεώρημα I.10 (Lagrange).

Ορισμός I.11.

Θεώρημα I.12.

Παρατήρηση I.13.

Θεώρημα I.14.

Πρόταση I.15.

Θεώρημα I.16.

Θεώρημα I.17 (Cayley).

Θεώρημα I.18.

Θεώρημα I.19 ( Πρώτο Θεώρημα Ισομορφίας Ομάδων).

Θεώρημα I.20 ( Δεύτερο Θεώρημα Ισομορφίας Ομάδων).

Θεώρημα I.21 ( Τρίτο Θεώρημα Ισομορφίας Ομάδων).

Θεώρημα I.22.

Πρόταση I.23.

Τα Θεωρήματα του Sylow

Θεώρημα I.24 (Sylow).

Θεώρημα I.25 (Cauchy).

Παραδείγματα I.26.

Επιλύσιμες Ομάδες

Παραδείγματα I.27.

Θεώρημα I.28.

Θεώρημα I.29.

Η ομάδα Sn

Πρόταση I.30.

Παράδειγμα I.31.

Πρόταση I.32.

Παράδειγμα I.33.

Παράδειγμα I.34.

Θεώρημα I.35.

II Αντιμεταθετικοί Δακτύλιοι

Πρόταση II.1.

Πρόταση II.2.

Θεώρημα II.3 (Πρώτο Θεώρημα Ισομορφίας Δακτυλίων).

Θεώρημα II.4 (Δεύτερο Θεώρημα Ισομορφίας Δακτυλίων).

Θεώρημα II.5 (Τρίτο Θεώρημα Ισομορφίας Δακτυλίων).

Πρόταση II.6.

Πρόταση II.7.

Θεώρημα II.8.

Πρόταση II.9.

Θεώρημα II.10.

Θεώρημα II.11.

III Δακτύλιοι Πολυωνύμων

Θεώρημα III.1.

Θεώρημα III.2.

Θεώρημα III.3.

Πρόταση III.4.

Πρόταση III.5.

IV Χαρακτηριστική σώματος και πρώτα σώματα

Πρόταση IV.1.

Ορισμός IV.2.

Θεώρημα IV.3.

Ορισμός IV.4.

Πρόταση IV.5.

V Τύπος για τις ρίζες πολυωνύμων βαθμού 3 και 4

V.1 Πολυώνυμα βαθμού 3.

V.2 Πολυώνυμα βαθμού 4.

Βιβλιογραφία Παραρτήματος

Η ομάδα $S_{n}$