Θεωρία Galois

Κεφάλαιο 8Το γενικό πολυώνυμο και το αντίστροφο πρόβλημα

Σε αυτό το κεφάλαιο αρχικά αποδεικνύουμε ότι υπάρχει επέκταση σωμάτων με ομάδα Galois την $S_{n}$ . Για το σκοπό αυτό εξετάζουμε τα συμμετρικά πολυώνυμα. Τέλος αναφερόμαστε στο αντίστροφο πρόβλημα της θεωρίας Galois.

8.1 Το γενικό πολυώνυμο

Ας θεωρήσουμε ένα πολυώνυμο $f(x)\in{\mathbb{Q}}[x]$ και $L$ το σώμα ανάλυσης του $f(x)$ πάνω από το ${\mathbb{Q}}$ . Επειδή $\operatorname{char}{\mathbb{Q}}=0$ , το $f(x)$ είναι διαχωρίσιμο και συνεπώς η επέκταση $L/{\mathbb{Q}}$ είναι επέκταση του Galois. H oμάδα Galois του f(x) (Galois group of $f(x)$ ) είναι η ομάδα $G=\operatorname{Gal}(L/{\mathbb{Q}})$ . Είδαμε ότι η ομάδα $G$ εκφράζεται ως ομάδα μεταθέσεων των $n$ αντικειμένων, όπου $n$ είναι το πλήθος των διακεκριμένων ριζών του $f(x)$ , δηλ. η ομάδα $G$ εμφυτεύεται στην ομάδα $S_{n}$ (βλ. Θεώρημα 3.1.1). Επομένως η τάξη της $G$ διαιρεί το $n!$ . Είναι λογικό να αναρωτηθούμε αν υπάρχει πολυώνυμο $f(x)\in{\mathbb{Q}}[x]$ τέτοιο ώστε η ομάδα Galois του $f(x)$ να είναι ισόμορφη με την $S_{n}$ . Στην ενότητα αυτή θα ασχοληθούμε με αυτό το ερώτημα. Για την αντιμετώπισή του μας χρειάζεται η επόμενη έννοια.

Ορισμός 8.1.1.

Έστω $E/F$ μία επέκταση σωμάτων και $a_{1},\ldots,a_{n}\in E$ . Τα στοιχεία $a_{1},\ldots,a_{n}$ λέγονται αλγεβρικά ανεξάρτητα πάνω από το $F$ (algebraically independent over $F$ ) αν δεν υπάρχει μη μηδενικό πολυώνυμο $f(x_{1},\ldots,x_{n})\in F[x_{1},\ldots,x_{n}]$ έτσι ώστε $f(a_{1},\ldots,a_{n})=0$ .

Με άλλα λόγια, τα στοιχεία $a_{1},\ldots,a_{n}\in E$ είναι αλγεβρικά ανεξάρτητα πάνω από το $F$ αν δεν υπάρχει μία (μη μηδενική) αλγεβρική σχέση με συντελεστές από το $F$ , που να ικανοποιείται από τα στοιχεία $a_{1},\ldots,a_{n}$ . Για να κατανοήσουμε καλύτερα αυτήν την έννοια, θα ακολουθήσουμε τη διαδικασία ορισμού των αλγεβρικών και υπερβατικών στοιχείων πάνω από το σώμα $F$ , με $\operatorname{char}F=0$ . Θεωρούμε τον πολυωνυμικό δακτύλιο $F[x_{1},\ldots,x_{n}]$ . O $F[x_{1},\ldots,x_{n}]$ είναι μία ακέραια περιοχή με σώμα κλασμάτων το σώμα $F(x_{1},\ldots,x_{n})$ (βλ. ΙΙΙ.4.1). Έστω η επέκταση $E/F$ και $a_{1},\ldots,a_{n}\in E$ . H συνάρτηση

h:\ F[x_{1},\ldots,x_{n}]\rightarrow E,\quad f(x_{1},\ldots,x_{n})\mapsto f(a_% {1},\ldots,a_{n})

είναι ένας ομομορφισμός δακτυλίων και

\ker h=\{f(x_{1},\ldots,x_{n}):\ f(a_{1},\ldots,a_{n})=0\}.

Φυσικά η συνάρτηση $h$ εξαρτάται από τα στοιχεία $a_{1},\ldots,a_{n}$ και ως γνωστόν ο $\ker h$ είναι ένα ιδεώδες του $F[x_{1},\ldots,x_{n}]$ . Αν ο $\ker h=\{0\}$ τότε τα στοιχεία $a_{1},\ldots,a_{n}$ είναι αλγεβρικά ανεξάρτητα πάνω από το $F$ . Αν ο $\ker h\neq\{0\}$ , τότε τα στοιχεία $a_{1},\ldots,a_{n}$ λέγονται αλγεβρικά εξαρτημένα (algebraically dependent). Από τα παραπάνω, προκύπτει το εξής:

Πρόταση 8.1.2.

Έστω $E/F$ μία επέκταση σωμάτων και $a_{1},\ldots,a_{n}\in E$ αλγεβρικά ανεξάρτητα πάνω από το $F$ . Tότε $F[x_{1},\ldots,x_{n}]\cong F[a_{1},\ldots,a_{n}]$ .

Είναι φανερό ότι αν τα στοιχεία $a_{1},\ldots,a_{n}$ είναι αλγεβρικά ανεξάρτητα πάνω από το $F$ , τότε κανένα από τα $a_{i}$ δεν είναι αλγεβρικό πάνω από το $F$ , για $i=1,\ldots,n$ . Σημειώνουμε ότι η έννοια της αλγεβρικής ανεξαρτησίας είναι γενικότερη της έννοιας της γραμμικής ανεξαρτησίας. Η αλγεβρική ανεξαρτησία συνεπάγεται τη γραμμική ανεξαρτησία, χωρίς να ισχύει το αντίστροφο (βλ. Άσκηση 7.3.1). Σημειώνουμε επίσης την παρακάτω γενίκευση της Πρότασης III.5.

Πρόταση 8.1.3.

Έστω $E/F$ επέκταση σωμάτων και έστω $a_{1},\ldots,a_{n}\in E$ γραμμικά ανεξάρτητα πάνω από το $F$ . Αν $t:\{a_{1},\ldots,a_{n}\}\rightarrow\{a_{1},\ldots,a_{n}\}$ είναι μία συνάρτηση, τότε υπάρχουν μοναδικοί αυτομομορφισμοί $\tilde{t}$ και $\tilde{\tilde{t}}$ , όπου

\tilde{t}:\ F[a_{1},\ldots,a_{n}]\rightarrow F[a_{1},\ldots,a_{n}],\textrm{ me% }f(a_{1},\ldots,a_{n})\mapsto f(t(a_{1}),\ldots,t(a_{n}))\

και

\tilde{\tilde{t}}:\ F(a_{1},\ldots,a_{n})\rightarrow F(a_{1},\ldots,a_{n}),% \textrm{ me }\frac{f_{1}(a_{1},\ldots,a_{n})}{f_{2}(a_{1},\ldots,a_{n})}% \mapsto\frac{f_{1}(t(a_{1}),\ldots,t(a_{n}))}{f_{2}(t(a_{1}),\ldots,t(a_{n}))}.

Στη συνέχεια θα οδηγηθούμε σε ένα παράδειγμα αλγεβρικά ανεξάρτητων στοιχείων, που είναι χρήσιμο για το σκοπό μας.

Ορισμός 8.1.4.

Έστω $n$ ένας θετικός ακέραιος και $F$ ένα σώμα με $\operatorname{char}F=0$ . Ένα πολυώνυμο $f(x_{1},\ldots,x_{n})\in F[x_{1},\ldots,x_{n}]$ λέγεται συμμετρικό (symmetric) αν

f(x_{1},\ldots,x_{n})=f(x_{\sigma(1)},\ldots,x_{\sigma(n)}),\textrm{ για κάθε % }\sigma\in S_{n}.

Τα πολυώνυμα

{e_{s}(x_{1},\ldots,x_{n})}=\sum_{\substack{T\subset\{1,\ldots,n\}\\ |T|=s}}\ \prod_{i\in T}x_{i},\quad 0\leq s\leq n

λέγονται στοιχειώδη συμμετρικά πολυώνυμα (elementary symmetric polynomials).

Έτσι τα στοιχειώδη συμμετρικά πολυώνυμα στον $F[x_{1},\ldots,x_{n}]$ είναι τα:

\begin{array}[]{ll}e_{0}(x_{1},\ldots,x_{n})=&1\\ e_{1}(x_{1},\ldots,x_{n})=&x_{1}+\cdots+x_{n}\\ e_{2}(x_{1},\ldots,x_{n})=&\sum\limits_{1\leq i<j\leq n}x_{i}x_{j}\\ \quad\quad\vdots\\ e_{n}(x_{1},\ldots,x_{n})=&x_{1}\cdots x_{n}\;.\end{array}

Οι επόμενες προτάσεις αναφέρονται στη δομή των συμμετρικών πολυωνύμων και δίνονται χωρίς απόδειξη, αφού ξεφεύγουν τον κύριο σκοπό μας. Για την απόδειξη του Θεωρήματος 8.1.5 ο αναγνώστης μπορεί να συμβουλευθεί το [4, Θεώρημα 3.1.2].

Θεώρημα 8.1.5 (Θεμελιώδες Θεώρημα των Συμμετρικών Πολυωνύμων).

i)

Τα μη σταθερά στοιχειώδη συμμετρικά πολυώνυμα $e_{1}(x_{1},\ldots,x_{n}),$ $\ldots,e_{n}(x_{1},\ldots,x_{n})$ του $F[x_{1},\ldots,x_{n}]$ είναι αλγεβρικά ανεξάρτητα πάνω από το σώμα $F$ .
ii)

Το σύνολο των συμμετρικών πολυωνύμων του $F[x_{1},\ldots,x_{n}]$ αποτελεί έναν υποδακτύλιο του $F[x_{1},\ldots,x_{n}]$ , που παράγεται ακριβώς από τα $e_{1}(x_{1},\ldots,x_{n})$ , $\ldots,e_{n}(x_{1},\ldots,x_{n})$ .

Η απόδειξη της επόμενης πρότασης γίνεται επαγωγικά ως προς το $n$ και αφήνεται για τον αναγνώστη, (βλ. άσκηση 7.3.2).

Πρόταση 8.1.6.

Έστω $a_{1},\ldots,a_{n}\in E$ . Τότε

\prod_{i=1}^{n}(x-a_{i})=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}e_{n-k}(a_{1},\ldots,a_{n})x^% {k},

όπου $e_{s}(x_{1},\ldots,x_{n})\in Ε[x_{1},\ldots,x_{n}]$ , $0\leq s\leq n$ , τα στοιχειώδη συμμετρικά πολυώνυμα του $Ε[x_{1},\ldots,x_{n}]$ .

Έστω τώρα $n$ ένας θετικός ακέραιος και $a_{1},\ldots,a_{n}\in E$ αλγεβρικά ανεξάρτητα στοιχεία πάνω από το $F$ , όπου $E/F$ επέκταση σωμάτων με $\operatorname{char}F=0$ . Τότε το πολυώνυμο

f(x)=\prod_{i=1}^{n}(x-a_{i})\in E[x_{1},\ldots,x_{n}]

(8.1.6.1)

γράφεται ως

f(x)=x^{n}+\sum_{k=0}^{n-1}c_{k}x^{k},

(8.1.6.2)

όπου $c_{i}=e_{n-i}(a_{1},\ldots,a_{n})$ για $i=0,\ldots,n-1$ , σύμφωνα με την Πρόταση 8.1.6. Το πολυώνυμο που αναφέρεται στις σχέσεις (8.1.6.1) και (8.1.6.2) λέγεται γενικό πολυώνυμο βαθμού n (general polynomial of degree $n$ ) και η εξίσωση $f(x)=0$ λέγεται γενική εξίσωση βαθμού n (general equation of degree $n$ ). H παρακάτω Παρατήρηση είναι σημαντική.

Παρατήρηση 8.1.7.

Me τους παραπάνω συμβολισμούς , aν $a_{1},\ldots,a_{n}$ είναι αλγεβρικά ανεξάρτητα στοιχεία πάνω από το $F$ , τότε τα στοιχεία $c_{0},c_{1},\ldots,c_{n-1}$ είναι αλγεβρικά ανεξάρτητα πάνω από το $F$ .

Απόδειξη.

Έστω ότι τα $c_{0},c_{1},\ldots,c_{n-1}$ είναι αλγεβρικά εξαρτημένα πάνω από το $F$ . Τότε υπάρχει $h(y_{0},\ldots,y_{n-1})\in F[y_{0},\ldots,y_{n-1}]$ έτσι ώστε $h(c_{0},\ldots,c_{n-1})=0$ . Τότε, όμως,

g(x_{1},\ldots,x_{n}):=h\left(e_{n}(x_{1},\ldots,x_{n}),\ldots,e_{1}(x_{1},% \ldots,x_{n})\right)\in F[x_{1},\ldots,x_{n}]

και $g(a_{1},\ldots,a_{n})=0$ . Αυτό αντιφάσκει με την υπόθεση ότι ta $a_{1},\ldots,a_{n}$ είναι αλγεβρικά ανεξάρτητα πάνω από το $F$ . ∎

Θεωρούμε, τώρα, το σώμα $L=F(a_{1},\ldots,a_{n})$ και το σώμα $K=F(c_{0},\ldots,c_{n-1})$ για τα αλγεβρικά ανεξάρτητα στοιχεία $a_{1},\ldots,a_{n}\in E$ , όπου $c_{i}=e_{n-i}(a_{1},\ldots,a_{n})$ , για $i=0,\ldots,n-1$ . Σημειώνουμε ότι $f(x)\in K[x]$ και ότι $Κ\subset L$ . Αφού $a_{1},\ldots,a_{n}$ είναι ρίζες του $f(x)$ , συμπεραίνουμε επίσης ότι Το $L$ είναι σώμα ανάλυσης του $f(x)$ πάνω από το $K$ . Ακόμη το πολυώνυμο $f(x)$ είναι διαχωρίσιμο, αφού ta $a_{1},\ldots,a_{n}$ είναι αλγεβρικά ανεξάρτητα και συνεπώς διακεκριμένα στοιχεία του $E$ . Έτσι καταλήγουμε στην επόμενη πρόταση.

Πρόταση 8.1.8.

Aν ta $a_{1},\ldots,a_{n}$ είναι αλγεβρικά ανεξάρτητα στοιχεία πάνω από το $F$ , τότε h $L=F(a_{1},\ldots,a_{n})$ είναι επέκταση του Galois πάνω από $K=F(c_{0},\ldots,c_{n-1})$ , όπου $c_{i}=e_{n-i}(a_{1},\ldots,a_{n})$ για $i=0,\ldots,n-1$ .

Ερχόμαστε, τώρα, στο κύριο συμπέρασμα αυτού του εδαφίου, που απαντά στο ερώτημα που τέθηκε στην αρχή του.

Θεώρημα 8.1.9.

Έστω $a_{1},\ldots,a_{n}$ αλγεβρικά ανεξάρτητα στοιχεία πάνω από το σώμα ${\mathbb{Q}}$ για έναν θετικό ακέραιο $n$ και

f(x)=x^{n}+\sum_{k=0}^{n-1}c_{k}x^{k}

Το γενικό πολυώνυμο βαθμού $n$ , όπου $c_{i}=e_{n-i}(a_{1},\ldots,a_{n})$ για $i=0,\ldots,n-1$ . Η ομάδα Galois της επέκτασης

{\mathbb{Q}}(a_{1},\ldots,a_{n})/{\mathbb{Q}}(c_{0},\ldots,c_{n-1})

είναι ισόμορφη με την $S_{n}$ .

Απόδειξη.

Αφού $\deg f(x)=n$ και ${\mathbb{Q}}(a_{1},\ldots,a_{n})/{\mathbb{Q}}(c_{0},\ldots,c_{n-1})$ είναι επέκταση του Galois, συμπεραίνουμε ότι $G=\operatorname{Gal}\left({\mathbb{Q}}(a_{1},\ldots,a_{n})/{\mathbb{Q}}(c_{0},% \ldots,c_{n-1})\right)$ εμφυτεύεται στην $S_{n}$ , (βλ. Θεώρημα 3.1.1). Έστω $\sigma\in S_{n}$ . Θεωρούμε την αντιστοιχία

g_{\sigma}:\ {\mathbb{Q}}(a_{1},\ldots,a_{n})\rightarrow{\mathbb{Q}}(a_{1},% \ldots,a_{n}),\quad\frac{f_{1}(a_{1},\ldots,a_{n})}{f_{2}(a_{1},\ldots,a_{n})}% \mapsto\frac{f_{1}(a_{\sigma(1)},\ldots,a_{\sigma(n)})}{f_{2}(a_{\sigma(1)},% \ldots,a_{\sigma(n)})}.

Είναι φανερό ότι η $g_{\sigma}$ είναι αυτομορφισμός του ${\mathbb{Q}}(a_{1},\ldots,a_{n})$ (βλ. Πρόταση 8.1.3), που κρατά σταθερά τα στοιχεία του ${\mathbb{Q}}(c_{0},\ldots,c_{n-1})$ . Επομένως

Η=\{g_{\sigma}:\ \sigma\in S_{n}\}\leq G\hookrightarrow S_{n}.

Όμως $|Η|=n!$ και άρα $H\cong S_{n}$ , με $g_{\sigma}\mapsto\sigma$ . Επομένως

S_{n}\cong\operatorname{Gal}\left({\mathbb{Q}}(a_{1},\ldots,a_{n})/{\mathbb{Q}% }(c_{0},\ldots,c_{n-1})\right).

Αποδείξαμε λοιπόν ότι η ομάδα Galois της επέκτασης ${\mathbb{Q}}(a_{1},\ldots,a_{n})/{\mathbb{Q}}(c_{0},\ldots,c_{n-1})$ είναι ισόμορφη με την $S_{n}$ . ∎

8.2 Το αντίστροφο πρόβλημα

Όπως είδαμε στη προηγούμενη ενότητα, για κάθε φυσικό αριθμό $n$ , υπάρχουν κατάλληλες επεκτάσεις σωμάτων $L/K$ , όπου $Κ$ επέκταση του ${\mathbb{Q}}$ , έτσι ώστε $\operatorname{Gal}(L/K)\cong S_{n}$ , (βλ. Θεώρημα 8.1.9). Aπό το Θεώρημα του Cayley, (βλ. Θεώρημα I.17), κάθε πεπερασμένη ομάδα τάξης $n$ εμφυτεύεται στην $S_{n}$ . Επομένως, σύμφωνα με το Θεμελιώδες Θεώρημα της Θεωρίας Galois, αν $G$ είναι υποομάδα της $S_{n}$ , τότε υπάρχει ενδιάμεσο υπόσωμα $Μ$ του $L$ ώστε $\operatorname{Gal}(L/M)\cong G$ . Αφού $M/K$ είναι επέκταση του ${\mathbb{Q}}$ , έπεται ότι το $Μ$ είναι επίσης επέκταση του ${\mathbb{Q}}$ . Καταλήγουμε έτσι στο συμπέρασμα:

Πρόταση 8.2.1.

Αν $G$ είναι μία πεπερασμένη ομάδα, τότε υπάρχει επέκταση $L/Μ$ , όπου το $Μ$ είναι επέκταση του ${\mathbb{Q}}$ , τέτοια ώστε $\operatorname{Gal}(L/M)\cong G$ .

Με χρήση του σημαντικού Θεωρήματος Αναγωγιμότητας του Hilbert αποδεικνύεται το επόμενο θεώρημα, που παρουσιάζουμε χωρίς απόδειξη.

Θεώρημα 8.2.2.

Για κάθε θετικό ακέραιο $n$ υπάρχει επέκταση $L/{\mathbb{Q}}$ έτσι ώστε $\operatorname{Gal}(L/{\mathbb{Q}})\cong S_{n}$ .

Για την απόδειξη και την εκφώνηση του Θεωρήματος του Hilbert παραπέμπουμε στο [4, Κεφάλαιο 3] και [3, Theorem 4.3]. Ακόμη και μετά τα Θεωρήματα 8.2.1 και 8.2.2 παραμένει το ερώτημα, αν ισχύει το αντίστοιχο με το Θεώρημα 8.2.2, με $G$ στη θέση της $S_{n}$ , όπου $G$ είναι μία πεπερασμένη ομάδα. Το ερώτημα αυτό είναι γνωστό, ως το Aντίστροφο Πρόβλημα της Θεωρίας Galois (Inverse Problem of Galois Theory).

Ερώτημα 8.2.3 (Αντίστροφο πρόβλημα της Θεωρίας Galois).

Έστω $G$ μία πεπερασμένη ομάδα. Υπάρχει επέκταση $L/{\mathbb{Q}}$ , έτσι ώστε $\operatorname{Gal}(L/{\mathbb{Q}})\cong G$ ;

Όπως είδαμε στην Ενότητα 5.2, από το Θεώρημα των Kronecker-Weber προκύπτει ότι αν $K/{\mathbb{Q}}$ είναι μία πεπερασμένη επέκταση του Galois έτσι ώστε h $\operatorname{Gal}(K/{\mathbb{Q}})$ να είναι αβελιανή, τότε υπάρχει μία ρίζα της μονάδας $\omega$ ώστε $K\subset{\mathbb{Q}}(\omega)$ , (βλ. Θεώρημα 5.2.8). Από το Θεώρημα των Kronecker-Weber, το Θεμελιώδες Θεώρημα της Θεωρίας Galois και τη Θεωρία των κυκλοτομικών σωμάτων που αναπτύξαμε στην Ενότητα 5.2, προκύπτει ότι αν δοθεί μία πεπερασμένη αβελιανή ομάδα $G$ , τότε υπάρχει επέκταση $M/{\mathbb{Q}}$ , ώστε $\operatorname{Gal}(M/{\mathbb{Q}})\cong G$ , (βλ. άσκηση 7.3.3).

Έχουμε επομένως μία μερική απάντηση του ερωτήματος 8.2.3. Η πλήρης όμως απάντηση στο Aντίστροφο Πρόβλημα της Θεωρίας Galois δεν έχει δοθεί ακόμη και το ερώτημα 8.2.3 παραμένει αναπάντητο. Αξίζει να επισημάνουμε το ακόλουθο σημαντικό σχετικό συμπέρασμα που αποδείχθηκε από το I. Shafarevich το 1954 στην εργασία: Construction of fields of algebraic numbers with given solvable Galois groups, Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. (525 - 578).

Θεώρημα 8.2.4 (Shafarevich).

Για κάθε πεπερασμένη επιλύσιμη ομάδα $G$ , υπάρχει επέκταση $L/{\mathbb{Q}}$ έτσι ώστε $\operatorname{Gal}(L/{\mathbb{Q}})\cong G$ .

8.3 Ασκήσεις

1.

Να δώσετε ένα παράδειγμα γραμμικά ανεξάρτητων στοιχείων πάνω από το ${\mathbb{Q}}$ που δεν είναι αλγεβρικά ανεξάρτητα.
2.

Έστω $a_{1},\ldots,a_{n}\in E$ και $e_{s}(x_{1},\ldots,x_{n})\in Ε[x_{1},\ldots,x_{n}]$ , $0\leq s\leq n$ τα στοιχειώδη συμμετρικά πολυώνυμα του $Ε[x_{1},\ldots,x_{n}]$ . Να αποδείξετε ότι

$\prod_{i=1}^{n}(x-a_{i})=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}e_{n-k}(a_{1},\ldots,a_{n})x^% {k}.$
3.

Να αποδείξετε ότι αν δοθεί μία πεπερασμένη αβελιανή ομάδα $G$ , τότε υπάρχει επέκταση $M/{\mathbb{Q}}$ , ώστε $\operatorname{Gal}(M/{\mathbb{Q}})\cong G$ .

Βιβλιογραφία Κεφαλαίου 8

1.

Bastida, J. R. Field Extensions and Galois Theory, Vol. 22. Addison-Wesley, 2007.
2.

Escofier, J.P. Galois Theory. Springer, 2001.
3.

Hadlock, C. R Field Theory and its Classical Problems.. ΜΑΑ, 2000.
4.

Prasolov, V. Polynomials. Springer, 2012.
5.

Ribenhoim, P. Algebraic Numbers. Wiley-Interscience, New York, 1972.
6.

Rotman, J. Θεωρία Galois. Leader Books, 2000.
7.

Serre, J. P. Topics in Galois Theory. Jones and Bartlett Boστοn, 1992.
8.

Volklein, H. Groups as Galois Groups: An Introduction. Cambridge Studies in Advnaced Mathematics 53, 1996.