Σύντομη ιστορική ανασκόπηση

Η επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων, δηλαδή εξισώσεων της μορφής $f(x)=0$, όπου $f(x)$ είναι ένα πολυώνυμο, απασχόλησε τους μαθηματικούς από την αρχαιότητα. Αρχαιολογικές έρευνες αναφέρουν ότι στη Μεσοποταμία βρέθηκαν ευρήματα περίπου 3300 χρόνια π. Χ., όπου σε κεραμικά εμφανίζονται σχέσεις που θυμίζουν τη σημερινή διαίρεση. Είναι γνωστό ότι, ανάμεσα στο 1900–1600 π.Χ., οι Βαβυλώνιοι ανέπτυξαν μεθόδους για την επίλυση δευτεροβάθμιων πολυωνυμικών εξισώσεων με συντελεστές θετικούς ακέραιους. Η εξαγωγή ριζικών είναι φανερή σε αυτές τις προσπάθειες.

Οι αρχαίοι Έλληνες κατέχουν μία περίοπτη θέση στην ιστορία των μαθηματικών, γιατί ανακάλυψαν την απόδειξη για την τεκμηρίωση της μαθηματικής αλήθειας. Το 430 π.Χ. με γεωμετρικές μεθόδους πρώτοι οι αρχαίοι Έλληνες της σχολής του Πυθαγόρα (570-495 π. Χ.) αποδεικνύουν ότι το $\sqrt{2}$ δεν είναι ρητός αριθμός. Το 300 π. Χ. ο Ευκλείδης έγραψε «Τα Στοιχεία» ένα έργο τεράστιας μαθηματικής αξίας. Αν και ο Ευκλείδης δεν ασχολήθηκε με την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων στη γενική τους μορφή, μπόρεσε να απαντήσει σε ερωτήσεις της μορφής: για ποια $x$, $y$, ισχύει $x-y=a$ και $xy=b$ . Η επίλυση αλγεβρικών εξισώσεων δευτέρου βαθμού με χρήση γεωμετρικών μεθόδων απασχόλησε τους αρχαίους Έλληνες. O Πλούταρχος (46-120) αναφέρει ότι ο Πλάτωνας (427-347 π. Χ.) εισήγαγε τη μέθοδο γεωμετρικών κατασκευών με κανόνα και διαβήτη πιστεύοντας ότι ο διπλασιασμός του κύβου, ένα από τα κλασσικά προβλήματα της αρχαιότητας, έπρεπε να λυθεί με καθαρά γεωμετρικό τρόπο.

Πρώτος ο άραβας Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (780-850) περίπου το 830 επισήμανε την ύπαρξη δευτεροβάθμιας εξίσωσης με δύο διακεκριμένες ρίζες θετικούς ακέραιους. Το 1074 ο Omar Khayyan (1048-1131), o οποίος έζησε στο Ιράν, έδωσε λύσεις για κάποιες τριτοβάθμιες εξισώσεις με συντελεστές θετικούς ακέραιους χρησιμοποιώντας κωνικές τομές. Σημειώνουμε ότι οι αρνητικοί αριθμοί άρχισαν να χρησιμοποιούνται ευρέως τον 16-o αιώνα. Το 1515 ο Ιταλός Scipione del Ferro (1465-1526), καθηγητής στο πανεπιστήμιο της Bologna, υπολόγισε τις λύσεις της εξίσωσης $x^3+mx=n$, για φυσικούς αριθμούς $m$ και $n$ . Το 1535 ο Niccolo Fontana (1500-1557), γνωστός ως Tartaglia, υπολόγισε τις ρίζες μερικών ειδικών περιπτώσεων τριτοβάθμιων αλγεβρικών εξισώσεων. Το 1539 ο Girolamo Cardano (1501-1576) δημοσίευσε στο βιβλίο του «Ars Magma» (Μέγα Έργο) τις λύσεις των εξισώσεων που έλυσε ο Tartaglia, χωρίς, όμως, την έγκριση του τελευταίου. Ο Cardano στο βιβλίο του αυτό δημοσίευσε την επίλυση 13 ακόμη περιπτώσεων τριτοβάθμιων εξισώσεων τις οποίες ο ίδιος υπολόγισε. O Cardano έδωσε μία πλήρη επίλυση των πολυωνυμικών εξισώσεων τρίτου βαθμού χρησιμοποιώντας και αρνητικούς αριθμούς. Στο έργο Ars Magma αναφέρεται επίσης μία μέθοδος επίλυσης πολυωνυμικών εξισώσεων τετάρτου βαθμού η οποία επινοήθηκε από τον Lodovico Ferrari (1522-1565), μαθητή του Cardano. Ο Rafaele Bombelli (1526-1572) στο βιβλίο του με τίτλο Algebra συγκέντρωσε τις μέχρι τότε γνώσεις και επηρεασμένος από το έργο το Διόφαντου (210-290) έγραψε αναλυτικά και με πιο σύγχρονο τρόπο την επίλυση των εξισώσεων $3$-ου και $4$ -ou βαθμού δίνοντας την αριθμητική των αρνητικών αριθμών, αλλά και τις ιδιότητες των μιγαδικών αριθμών. Το 1615 ο Γάλλος μαθηματικός Francois Viete (1540-1603) έδωσε μία ευκρινέστερη ανάπτυξη της μεθόδου του Ferrari και ήταν ο πρώτος που χρησιμοποίησε γράμματα για συντελεστές και αγνώστους σε μία εξίσωση χωρίς, όμως, να δώσει τη γενική λύση των εξισώσεων. Ο επίσης gάλλος μαθηματικός Albert Girard (1595-1632) ήταν ο πρώτος ο οποίος ισχυρίστηκε ότι ένα πολυώνυμο βαθμού $n$ έχει το πολύ $n$ πλήθους πραγματικούς αριθμούς ως ρίζες και ακριβώς $n$ αν συμπεριληφθούν και οι φανταστικοί αριθμοί ως ρίζες. Μετά από αυτά τα επιτεύγματα άρχισε η έντονη δραστηριότητα των μαθηματικών να συνεχιστεί η προσπάθεια εύρεσης των ριζών πολυωνυμικών εξισώσεων βαθμού μεγαλύτερου του 4 με ριζικά.

Το 1683 o Γερμανός μαθηματικός Ehrenfried Walter von Tschirnhaus (1651-1708) παρουσίασε μία ενιαία μέθοδο επίλυσης μίας αλγεβρικής εξίσωσης οπουδήποτε βαθμού. Η μέθοδος αυτή οδηγούσε στην επίλυση ενός γραμμικού συστήματος, που, όπως, επισήμανε ο Leibniz ήταν πολύ δύσκολο να λυθεί. Ο Γερμανός μαθηματικός Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), ένας από τους σημαντικούς ερευνητές στη μιγαδική ανάλυση, ασχολήθηκε ιδιαίτερα με την επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων 5-ου βαθμού χωρίς, όμως, να φθάσει στον στόχο του. Στην εύρεση των λύσεων της εξίσωσης $x^n-1=0$, δηλ. της εύρεσης των $n$ -οστών ριζών της μονάδας, συνέτεινε ο Roger Cotes (1682-1716) χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικές μεθόδους. Ο Γάλλος μαθηματικός Abraham de Moivre (1667-1754) εφαρμόζοντας και τελειοποιώντας τα αποτελέσματα της εργασίας του Cotes βρήκε τις ρίζες του πολυωνύμου $x^n-1$ και έδωσε τους γνωστούς τύπους που φέρουν το όνομά του. Με την εργασία αυτή του de Moirve αποδείχθηκε ότι η εξαγωγή ριζών μιγαδικών αριθμών δεν παράγει νέους τύπους αριθμών, αλλά πάλι μιγαδικούς αριθμούς. Είναι αξιοσημείωτο ότι η εργασία του de Moirve ώθησε τους μαθηματικούς της εποχής σε μεθόδους προχωρημένων μαθηματικών για την επίλυση αλγεβρικών εξισώσεων. Η μέθοδος που πρότεινε το 1765 ο Γάλλος μαθηματικός Etienne Bezout (1730-1783) είχε ιδιαίτερο ενδιαφέρον γιατί χρησιμοποίησε την εξαγωγή ριζών της μονάδας για την επίλυση εξισώσεων μικρού βαθμού. Ο μέγας μαθηματικός Leonhard Euler (1707-1783), ο οποίος γεννήθηκε στην Ελβετία, ασχολήθηκε επίσης με την επίλυση αλγεβρικών εξισώσεων, αλλά και αυτός χωρίς να οδηγηθεί στον στόχο του παρά τις μεγάλες επιτεύξεις του σε μεγάλου εύρους μαθηματικές θεωρίες. Η πρώτη μεγάλη έκρηξη στην επίλυση αλγεβρικών εξισώσεων έγινε το 1770 με την σχεδόν ταυτόχρονη δημοσίευση των συμπερασμάτων του ιταλο-γάλλου μαθηματικού Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) και του γάλλου μαθηματικού Alexandre-Theophile Vandermonde (1735-1796) οι οποίοι ανεξάρτητα ο ένας του άλλου έδωσαν έναν νέο τρόπο επίλυσης των αλγεβρικών εξισώσεων. Ο ίδιος ο Lagrange αναφέρει ότι η μελέτη του εξυπηρετεί δύο σκοπούς: ο πρώτος δίνει περισσότερο φως στις ήδη γνωστές λύσεις εξισώσεων 3-ου και 4-ου βαθμού και ο δεύτερος την εισήγηση μεθόδων που μπορούν να εφαρμοστούν σε λύσεις εξισώσεων μεγαλύτερου βαθμού. Ο Lagrange μελετώντας τις εργασίες των προγενεστέρων του ερευνητών και κυρίως των Euler, Bezout και Tschirnhaus διαπίστωσε ότι όλες οι μέθοδοι οδηγούν στην εύρεση κατάλληλων συναρτήσεων των ριζών της εξίσωσης που έχουν βαθμό μικρότερο από την αρχική εξίσωση και επιπλέον οι ρίζες μπορούν εύκολα να εξαχθούν από αυτές. Στο τέλος της εργασίας του ο Lagrange απέδειξε συμπεράσματα της Θεωρίας Ομάδων, με όρους μεταθέσεων, μεταξύ αυτών και το πολύ σημαντικό γνωστό σήμερα Θεώρημα του Lagrange. Πολύ ενδιαφέρον γεγονός είναι ότι σε αυτήν την εργασία του ο Lagrange μελετάει το ρόλο των μεταθέσεων των ριζών της αλγεβρικής εξίσωσης στην εύρεση των ριζών. Ο Vandermonde δεν υπήρξε ο μαθηματικός της κλάσης μεγέθους του Lagrange και του Euler, όμως είχε εξαιρετικές ιδέες για την επίλυση αλγεβρικών εξισώσεων. Ανάπτυξε πολλές από τις ιδέες του Lagrange πριν από τον Lagrange και μερικές σύγχρονα με αυτόν. Όμως, οι μέθοδοί του δεν ήσαν διατυπωμένες με σαφήνεια και παρουσιάστηκαν δύο χρόνια μετά τις δημοσιεύσεις των εργασιών του Lagrange, o οποίος ήταν πασίγνωστος. Ο μέγας Γερμανός μαθηματικός Carl Friedrich Gauss (1777-1855), ο αποκαλούμενος από όλους πλέον τους μαθηματικούς πρίγκιπας των μαθηματικών, είχε σημαντική συνεισφορά στην επίλυση αλγεβρικών εξισώσεων. Το 1799 απέδειξε το θεμελιώδες θεώρημα της Άλγεβρας με μεθόδους της μαθηματικής ανάλυσης. Η δεύτερη μεγάλη συνεισφορά του ήταν στην επίλυση των κυκλοτομικών εξισώσεων. Ο Gauss με τη μελέτη του στα κυκλοτομικά σώματα έδειξε πώς μπορούσε να εφαρμόσει και να τελειοποιήσει τα επιχειρήματα του Vandermonde για να βρει επαγωγικούς τύπους με ριζικά, προκειμένου να υπολογίσει τις $n$-ρίζες της μονάδας. Χωρίς να φθάσει στο επιδιωκόμενο αποτέλεσμα βρήκε τρόπους να αναγάγει την εύρεση των ριζών της μονάδας στην εύρεση ριζών κυκλοτομικών πολυωνύμων μικρότερων βαθμών. Ως εφαρμογή αυτών των συμπερασμάτων το 1796 κατασκεύασε με κανόνα και διαβήτη το κανονικό 17-γωνο σε ηλικία 19 ετών.

Οι μέθοδοι του Lagrange έμπνευσαν τον Paolo Ruffini (1765- 1822), o οποίος το 1799 δημοσίευσε ένα δίτομο έργο όπου αποδείκνυε ότι μία αλγεβρική εξίσωση βαθμού μεγαλύτερου του 5 δεν επιλύεται με ριζικά. Η εργασία του Ruffini ήταν ιδιαίτερα εκτενής και δυσνόητη. Κάποια συμπεράσματα του Ruffini γενικεύτηκαν από τον γάλλο μαθηματικό Augustin Louis Cauchy (1789-1857), o οποίος έδειξε ιδιαίτερο ενδιαφέρον για το έργο του Ruffini βρίσκοντας, όμως, ένα αποδεικτικό κενό. Το 1824 μία νέα σχετικά σύντομη απόδειξη του συμπεράσματος του Ruffini δόθηκε από νεαρό νορβηγό μαθηματικό Νiels-Henrik Abel (1802-1829). Η απόδειξη του Abel ήταν ανεξάρτητη από τη δουλειά του Ruffini και κάλυπτε το αποδεικτικό κενό της απόδειξης του Ruffini. Με τα σημαντικά συμπεράσματα των Gauss, Ruffini και Abel γνωρίζουμε μέχρι στιγμής ότι εκτός από τα πολυώνυμα $3$-ου και $4$-ου βαθμού και τα κυκλοτομικά πολυώνυμα οποιουδήποτε βαθμού είναι επιλύσιμα με ριζικά, ενώ κάθε πολυώνυμο βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του $5$ δεν είναι επιλύσιμο με ριζικά. Το ερώτημα που πρέπει να απαντηθεί τώρα είναι πότε ένα πολυώνυμο είναι επιλύσιμο με ριζικά; Η τιμή της απάντησης στο κρίσιμο αυτό ερώτημα ανήκει στον ιδιοφυή νεαρό Evariste Galois (1811-1832). Ο GaloisEvariste Galois στα 21 χρόνια που έζησε είχε μία δραματική ζωή, που απασχολεί ακόμη τους ιστορικούς ώστε να φέρουν στο φως όλες τι πτυχές της, αλλά κατάφερε να κάνει σημαντικές μαθηματικές ανακαλύψεις από τη εποχή της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσής του. Ο Galois μελέτησε το έργο του Lagrange και επηρεάστηκε από αυτό. Προσπάθησε από τον Μάιο του 1829 να δημοσιοποιήσει τα συμπεράσματά του. Δύο εργασίες του στάλθηκαν μέσω της Ακαδημίας Επιστημών του Παρισιού στον Cauchy για να τις κρίνει, o οποίος τις έχασε. Το Φεβρουάριο του 1830 η εργασία του στάλθηκε πάλι από την Ακαδημία Επιστημών του Παρισιού για κρίση στον Joseph Fourier (1768-1830) o οποίος πέθανε πριν την διαβάσει και έτσι χάθηκε. Τον Ιανουάριο του 1831 ο Galois υπέβαλε την εργασία του στον γάλλο μαθηματικό Simeon Denis Poisson (1781-1840) ο οποίοςτην απέρριψε ως ακατάληπτη. Οι ιστορικές αναφορές μας πληροφορούν ότι ο Galois την παραμονή μίας μονομαχίας, που του κόστισε τη ζωή, έγραψε μία επιστολή με ημερομηνία 29 Μαΐου 1832 προς το φίλο του Auguste Chevallier στην οποία έδινε ένα σκίτσο των συμπερασμάτων του για την επίλυση αλγεβρικών εξισώσεων. Επιθυμία του Galois ήταν να μοιραστεί το περιεχόμενο της επιστολής σε επιφανή μέλη της μαθηματικής κοινότητας. Η επιθυμία του Galois εκτελέστηκε από τον Chevalier και τον αδελφό του Galois, έτσι ένα αντίγραφο έφθασε στον Joseph Liouville (1809-1882), ο οποίος ως μέλος της Ακαδημίας Επιστημών του Παρισιού, αναγνώρισε το κείμενο του Galois και διαβεβαίωσε την ορθότητά του με σχετική του ανακοίνωση στην Ακαδημία το 1843. O Liouville αποκωδικοποίησε το κείμενο του Galois και με τη φροντίδα του δημοσιεύθηκε το 1846. H βασική ιδέα του Galois ήταν να προσαρτήσει σε κάθε πολυώνυμο μία ομάδα μεταθέσεων των ριζών του και το βασικό του συμπέρασμα ήταν να αποδείξει μία ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε ένα πολυώνυμο να είναι επιλύσιμο με ριζικά. Απαντώντας σε ένα από τα πλέον σημαντικά ερωτήματα που απασχόλησαν τους πλέον επιφανείς μαθηματικούς τουλάχιστον μέχρι την εποχή του. O αναγνώστης μπορεί να βρει μία μετάφραση στα αγγλικά από τα γαλλικά της εργασίας του Galois, όπως γράφτηκε από τον ίδιο στην επιστολή του το 1832, στο [2] και [3].

Πρώτο μέλημα των μαθηματικών μετά την κοινοποίηση της θεωρίας του Galois ήταν να ετοιμαστεί το μαθηματικό υπόβαθρο ώστε αυτή να γίνει κατανοητή από όλους τους μαθηματικούς. O Γερμανός μαθηματικός Leopold Kronecker (1823- 1891) ανάπτυξε τη θεωρία σωμάτων κυρίως στο κατασκευαστικό της μέρος. Ο επίσης Γερμανός μαθηματικός Richard Dedekind (1831-1916) θεμελίωσε τη θεωρία σωμάτων από τη συνολοθεωρητική της πλευρά, ήταν ο πρώτος ο οποίος ασχολήθηκε με την ομάδα αυτομορφισμών ενός σώματος στη θέση της ομάδας μεταθέσεων ριζών και όρισε την ομάδα Galois, όπως την εννοούμε σήμερα. Το 1854 ο άγγλος μαθηματικός Arthur Cayley (1821-1895) όρισε την έννοια της ομάδας, όπως την εννοούμε σήμερα. Το ενδιαφέρον των μαθηματικών πλέον στράφηκε προς τη θεωρία ομάδων και δεν ασχολούνταν μόνο με τις ομάδες μεταθέσεων, λόγω της επιρροής της θεωρίας Galois. Ο Γερμανός μαθηματικός Emil Artin (1898-1962) ευθύνεται κατά ένα μεγάλο μέρος για τη σημερινή παρουσίαση της Θεωρίας Galois, αυτός έδωσε τη μορφή στο Θεμελιώδες Θεώρημα της Θεωρίας Galois, όπως το διδάσκουμε σήμερα, και σε αυτόν οφείλονται πολλές από τις επί μέρους αποδείξεις, αφού από το κείμενο του Galois δεν ήταν σαφής η αντιστοιχία μεταξύ υποομάδων και υποσωμάτων. Το 1928 ο Γερμανός μαθηματικός Wolfgang Krull (1899-1971) επέκτεινε τη Θεωρία Galois σε άπειρες επεκτάσεις σωμάτων όπου η τοπολογία παίζει σημαντικό ρόλο. Το 1968 οι S.U. Chase, D.K. Harrison και Α. Rosenberg στοπ 1 επέκτειναν τη θεωρία Galois σε επεκτάσεις αντιμεταθετικών δακτυλίων. H Θεωρία Galois εξακολουθεί να δημιουργεί νέους προβληματισμούς και το επιστημονικό αυτό αντικείμενο να είναι συνεχούς ενδιαφέροντος. Για περισσότερα ιστορικά στοιχεία παραπέμπουμε στα συγγράμματα που αναφέρονται στη βιβλιογραφία αυτού του εδάφιου και σε πολυμεσικές διαλέξεις του ψηφιακού μαθήματος (open courses) Ιστορία των Μαθηματικών του Τμήματος Μαθηματικών, Α.Π.Θ.