Πρόλογος
Εισαγωγή
1 Ο Ευκλείδειος Χώρος
 1.1 Λείες συναρτήσεις σε Ευκλείδειο χώρο
 1.2 Εφαπτόμενα διανύσματα στον ℝⁿ ως παραγωγίσεις
  1.2.1 Η παράγωγος κατά κατεύθυνση
  1.2.2 Σπόροι συναρτήσεων
  1.2.3 Παραγωγίσεις κατά σημείο
  1.2.4 Διανυσματικά πεδία
 1.3 Η εξωτερική άλγεβρα των πολυγραμμικών συναρτήσεων
  1.3.1 Πολυγραμμικές συναρτήσεις
  1.3.2 Διαφορικές μορφές στον ℝⁿ
  1.3.3 Εφαρμογές στον διαφορικό λογισμό
 1.4 Ασκήσεις
 Βιβλιογραφία
2 Λείες πολλαπλότητες
 2.1 Λείες πολλαπλότητες
  2.1.1 Ο πραγματικός προβολικός χώρος
 2.2 Λείες απεικονίσεις
  2.2.1 Το θεώρημα αντίστροφης συνάρτησης
 2.3 Ασκήσεις
 Βιβλιογραφία
3 Το διαφορικό μιας λείας απεικόνισης
 3.1 Ο εφαπτόμενος χώρος
 3.2 Το διαφορικό
  3.2.1 Εμβαπτίσεις και εμφυτεύσεις
  3.2.2 Καμπύλες σε πολλαπλότητες
 3.3 ϒποπολλαπλότητες
 3.4 Ασκήσεις
 Βιβλιογραφία
4 Διανυσματικά πεδία
 4.1 Η εφαπτόμενη δέσμη
  4.1.1 Συνολοθεωρητικός ορισμός
  4.1.2 Τοπολογία
  4.1.3 Διαφορική δομή
 4.2 Διανυσματικές δέσμες
 4.3 Συναρτήσεις εξογκώματος και διαμέριση της μονάδας
  4.3.1 Λείες συναρτήσεις εξογκώματος
  4.3.2 Διαμέριση της μονάδας
 4.4 Διανυσματικά πεδία
  4.4.1 Λεία διανυσματικά πεδία
  4.4.2 Ολοκληρωτικές καμπύλες
  4.4.3 Τοπική ροή
  4.4.4 Το γινόμενο Lie
 4.5 Ασκήσεις
 Βιβλιογραφία
5 Πολλαπλότητες Riemann
 5.1 Τανυστικά πεδία
 5.2 Μετρικές Riemann
 5.3 Η συνοχή Levi-Civita
 5.4 Γεωδαισιακές καμπύλες
  5.4.1 Η συναλλοίωτη παράγωγος
  5.4.2 Γεωδαισιακές
 5.5 Η εκθετική απεικόνιση
 5.6 Ασκήσεις
 Βιβλιογραφία
6 Καμπυλότητα
 6.1 Ο ορισμός του Riemann
 6.2 Ο τανυστής καμπυλότητας
 6.3 Η καμπυλότητα τομής
 6.4 Η καμπυλότητα Ricci και η βαθμωτή καμπυλότητα
 6.5 Ομοιοθεσίες και ισομετρίες
 6.6 Ασκήσεις
 Βιβλιογραφία
7 Ομάδες Lie
 7.1 Ορισμός και παραδείγματα
  7.1.1 Ομάδες Lie μικρής διάστασης
 7.2 Ο Εφαπτόμενος χώρος μιας ομάδας Lie
 7.3 Η άλγεβρα Lie μιας ομάδας Lie
 7.4 Η σχέση μεταξύ ομάδων Lie και αλγεβρών Lie
 7.5 Μονοπαραμετρικές υποομάδες και η εκθετική απεικόνιση
 7.6 Ασκήσεις
 Βιβλιογραφία
8 Η δομή μιας ομάδας Lie
 8.1 Ο τύπος των Campbell-Baker-Hausdorff
 8.2 Στοιχεία θεωρίας αναπαραστάσεων
 8.3 Η συζυγής αναπαράσταση
  8.3.1 Η συνήθης αναπαράσταση
  8.3.2 Μιγαδοποίηση
 8.4 Η μορφή Killing
 8.5 Μεγιστικοί δακτύλιοι
 8.6 Η ταξινόμηση των συμπαγών και συνεκτικών ομάδων Lie
 8.7 Ασκήσεις
 Βιβλιογραφία
9 Η γεωμετρία μιας ομάδας Lie
 9.1 Αριστερά αναλλοίωτες μετρικές
  9.1.1 Αριστερά αναλλοίωτες μετρικές στην SU(2)
 9.2 Συνοχή Levi-Civita και καμπυλότητα τομής
 9.3 Η γεωμετρία μιας αμφιαναλλοίωτης μετρικής
 9.4 Ασκήσεις
 Βιβλιογραφία
10 Ομογενείς χώροι - Γεωμετρία κατά Klein
 10.1 Δράσεις ομάδων
 10.2 Πολλαπλότητες πηλίκο
 10.3 Αναγωγικοί ομογενείς χώροι
 10.4 Η ισοτροπική αναπαράσταση
 10.5 G-αναλλοίωτες μετρικές και η συνοχή Levi-Civita
 10.6 Καμπυλότητα
 10.7 Ασκήσεις
 Βιβλιογραφία