Η Γεωμετρία έχει μια μακρά και σημαντική ιστορία. Οι προσπάθειες των μαθηματικών να αποδείξουν το πέμπτο αίτημα του Ευκλείδη οδήγησαν στην ανακάλυψη των μη Ευκλείδειων γεωμετριών (ελλειπτική, υπερβολική), δηλαδή γεωμετριών με συμβατή αξιωματική ανάπτυξη χωρίς την υπόθεση του πέμπτου αιτήματος. Μερικοί μαθηματικοί που συνέβαλαν στην ανάπτυξη των μη Ευκλείδειων γεωμετριών είναι οι N. I Lobachevsky, J. Bolyai, E. Beltrami και C. F. Gauss. Η ανακάλυψη του απειροστικού λογισμού από τους Newton και Leibnitz τον δέκατο έβδομο αιώνα έδωσε στον Gauss τα βασικά εργαλεία, προκειμένου να αναπτύξει πλήρως τη θεωρία των επιφανειών στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο. Το κεντρικό αντικείμενο μελέτης είναι η έννοια της καμπυλότητας μιας επιφάνειας όπου το βασικό αποτέλεσμα είναι το Theorema Egregium, το οποίο αναφέρει ότι η καμπυλότητα Gauss μιας επιφάνειας, είναι εσωτερική ποσότητα αυτής. Αυτό σημαίνει ότι η καμπυλότητα Gauss είναι δυνατόν να υπολογιστεί με μετρήσεις επί της ίδιας της επιφάνειας και όχι απλώς με εξωτερική παρατήρηση. Η θεωρία αυτή παρουσιάζεται αναλυτικά στο βιβλίο μου Στοιχειώδης Διαφορική Γεωμετρία, Σύνδεσμος Ελληνικών Ακαδημαϊκών Βιβλιοθηκών, Αθήνα 2015.
Μετά τον Gauss η γεωμετρία αναπτύχθηκε προς δύο κατευθύνσεις. Η μία σχετίζεται με την εργασία του B. Riemann, ο οποίος συνέλαβε ένα πρωτοπόρο πλαίσιο γενίκευσης της θεωρίας επιφανειών του Gauss, από τις δύο στις πολλές διαστάσεις. Τα νέα αντικείμενα μελέτης ονομάζονται πολλαπλότητες Riemann, τα οποία σε γενικές γραμμές είναι χώροι που τοπικά είναι ομοιομορφικοί με έναν Ευκλείδειο χώρο και επιδέχονται σε κάθε σημείο τους μια μετρική, δηλαδή έναν τρόπο μέτρησης αποστάσεων. Το πιο ενδιαφέρον σημείο της θεωρίας του Riemann είναι ότι χρησιμοποιώντας διαφορικό λογισμό κατάφερε να ορίσει μια έννοια καμπυλότητας σε πολλές διαστάσεις, η οποία μεταβάλλεται από σημείο σε σημείο. Για την περίπτωση των επιφανειών η καμπυλότητα αυτή συμπίπτει με την καμπυλότητα Gauss. Η θεωρία του Riemann ονομάζεται σήμερα διαφορική γεωμετρία και χρησιμοποιήθηκε αργότερα από τον A. Einstein για τη μαθηματική θεμελίωση της γενικής θεωρίας σχετικότητας.
Η άλλη κατεύθυνση ανάπτυξης της γεωμετρίας μετά τον Gauss πραγματοποιήθηκε από τον F. Klein, ο οποίος έδωσε τον ορισμό της γεωμετρίας χρησιμοποιώντας την έννοια της ομάδας μετασχηματισμών. Σύμφωνα με τον Klein, γεωμετρία είναι η μελέτη εκείνων των ιδιοτήτων των γεωμετρικών αντικειμένων οι οποίες παραμένουν αναλλοίωτες κάτω από τη δράση συγκεκριμένων ομάδων μετασχηματισμών. Διαφορετικές ομάδες μετασχηματισμών ορίζουν διαφορετικές γεωμετρίες, για παράδειγμα Ευκλείδεια, προβολική κ.λπ. Οι ομάδες τις οποίες χρησιμοποίησε ο Klein, προκειμένου να ορίσει τις διάφορες γεωμετρίες, ήταν οι ομάδες του Lie. Ο S. Lie μελετούσε συμμετρίες συστημάτων διαφορικών εξισώσεων και τεχνικές ολοκλήρωσης για αυτά, στα πλαίσια ενός γενικότερου προγράμματος αντίστοιχου με αυτό του E. Galois, σχετικά με την επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων. Αρχικά ο Lie ονόμασε τις ομάδες αυτές συνεχείς ομάδες, οι οποίες στη συνέχεια ονομάστηκαν ομάδες Lie (ορολογία που αποδίδεται στον μαθητή του A. Tresse και αργότερα στον H. Cartan).
Το παρόν βιβλίο ασχολείται με τις δύο αυτές όψεις της σύγχρονης διαφορικής γεωμετρίας, δηλαδή τις πολλαπλότητες Riemann και τις ομάδες Lie. Η μεταβατική δράση μιας ομάδας Lie σε μια πολλαπλότητα δημιουργεί έναν χώρο πηλίκο, ο οποίος ονομάζεται ομογενής χώρος (homogeneous space) και αυτός είναι ένα μοντέλο μιας γεωμετρίας κατά Klein. Οι ομογενείς χώροι χρησιμοποιούνται εκτενώς στη διαφορική γεωμετρία, την αρμονική ανάλυση, τη φυσική στοιχειωδών σωματιδίων κ.λπ.
ϒπάρχει και μια άλλη σύγχρονη προσέγγιση της γεωμετρίας, η οποία ενοποιεί τις απόψεις του Riemann και του Klein, με την οποία όμως δεν ασχολούμαστε εδώ. Αυτή είναι η προσέγγιση του E. Cartan της οποίας αντικείμενο μελέτης είναι η συνοχή (connection) σε μια κύρια δέσμη (principal bundle). Η προσέγγιση αυτή έχει ιδιαίτερη αξία και εφαρμογή στην ερμηνεία της θεωρίας των Chern-Weil περί χαρακτηριστικών κλάσεων (characteristic classes) μιας κύριας νηματικής δέσμης, καθώς και στη βαθύτερη συσχέτιση γεωμετρίας και φυσικής.
Μια σύντομη περιγραφή των κεφαλαίων του βιβλίου έχει ως εξής: Στο Κεφάλαιο 1 μελετάμε προκαταρκτικές έννοιες στον Ευκλείδειο χώρο, όπως τα εφαπτόμενα διανύσματα, ο εφαπτόμενος χώρος και οι διαφορικές μορφές. Τα εφαπτόμενα διανύσματα ορίζονται ως παραγωγίσεις στον χώρο των λείων συναρτήσεων σε ένα ανοικτό υποσύνολο του ℝn, προκειμένου να προετοιμαστεί η γενίκευσή τους σε μια πολλαπλότητα. Στο Κεφάλιο 2 ασχολούμαστε με το κεντρικό αντικείμενο του βιβλίου που είναι οι λείες (διαφορικές) πολλαπλότητες. Περιγράφουμε αναλυτικά τα παραδείγματα της σφαίρας και του πραγματικού προβολικού χώρου και μελετάμε λείες συναρτήσεις μεταξύ πολλαπλοτήτων. Στο Κεφάλιο 3 ορίζουμε το διαφορικό μιας λείας απεικόνισης μεταξύ δύο πολλαπλοτήτων, δίνουμε τρόπο υπολογισμού του μέσω καμπυλών στην πολλαπλότητα και ορίζουμε την έννοια της υποπολλαπλότητας. Ως αποτέλεσμα του θεωρήματος αντίστροφης απεικόνισης για πολλαπλότητες προκύπτει το θεώρημα του κανονικού συνόλου στάθμης, το οποίο μας επιτρέπει να ορίσουμε υποπολλαπλότητες μιας πολλαπλότητας. Η έννοια του διανυσματικού πεδίου αναπτύσσεται στο Κεφάλαιο 4, όπου ταυτόχρονα παρουσιάζουμε και τις συναρτήσεις εξογκώματος (bump functions), οι οποίες είναι αναγκαίες στη θεωρία πολλαπλοτήτων. Εν προκειμένω, μας επιτρέπουν να χαρακτηρίσουμε τη διαφορισιμότητα ενός διανυσματικού πεδίου σε μια πολλαπλότητα.
Η γεωμετρία μιας λείας πολλαπλότητας παρουσιάζεται στα Κεφάλαια 5 και 6. Στο Κεφάλαιο 5 ορίζουμε τη μετρική Riemann, καθώς και την έννοια της συνοχής, η οποία μας επιτρέπει να παραγωγίσουμε διανύσματα σε μια πολλαπλότητα και γενικεύει την έννοια της παραγώγου κατά κατεύθυνση στον ℝn. Η μοναδική συνοχή η οποία είναι συμβατή με μια μετρική Riemann ονομάζεται συνοχή Levi-Civita και είναι αυτή που χρησιμοποιούμε, προκειμένου να ορίσουμε γεωδαισιακές καμπύλες σε μια πολλαπλότητα Riemann, καθώς και τον τανυστή καμπυλότητας στη συνέχεια. Επιπλέον, στο κεφάλαιο αυτό κάνουμε μια σύντομη αναφορά στους τανυστές, ένα εξαιρετικά χρήσιμο εργαλείο χειρισμού όλων των εννοιών της γεωμετρίας Riemann. Παρόλα αυτά, στο βιβλίο αυτό έχουμε ελαχιστοποιήσει την χρήση τους, προκειμένου να κάνουμε την παρουσίαση πιο εύληπτη. Στο Κεφάλαιο 6 ορίζουμε τον τανυστή καμπυλότητας και την καμπυλότητα τομής, έννοιες ισοδύναμες σε μια πολλαπλότητα Riemann. Στη συνέχεια, ορίζουμε ασθενέστερες έννοιες καμπυλότητας, όπως η καμπυλότητα Ricci και η βαθμωτή καμπυλότητα. Για την περίπτωση μιας πολλαπλότητας Riemann διάστασης 2 όλες αυτές οι καμπυλότητες συμπίπτουν με τη γνωστή καμπυλότητα Gauss μιας επιφάνειας.
Τα Κεφάλαια 7 και 8 ασχολούνται με τη σημαντική κατηγορία πολλαπλοτήτων που είναι οι ομάδες Lie, δηλαδή λείες πολλαπλότητες οι οποίες έχουν επιπλέον δομή ομάδας, ώστε οι πράξεις της ομάδας να είναι λείες απεικονίσεις. Τα πιο σημαντικά παραδείγματα τέτοιων πολλαπλοτήτων είναι οι ομάδες πινάκων, δηλαδή κλειστών υποομάδων της ομάδας των αντιστρέψιμων πραγματικών ή μιγαδικών πινάκων. Αν και ο ορισμός τους είναι αρκετά απλός, οι ομάδες Lie έχουν εξαιρετικά πλούσια δομή, ιδιαίτερα χρήσιμη για γεωμετρικές και φυσικές εφαρμογές. Η δομή τους εξετάζεται στο Κεφάλαιο 8, όπου γίνεται αναφορά στη θεωρία αναπαραστάσεων ομάδων Lie και ιδιαίτερα στην συζυγή αναπαράσταση μιας ομάδας. Στο τέλος του κεφαλαίου παρουσιάζουμε το θεώρημα ταξινόμησης των συμπαγών και συνεκτικών ομάδων Lie.
Στα δύο τελευταία κεφάλαια παρουσιάζεται η διασύνδεση των ομάδων Lie με τη γεωμετρία Riemann. Συγκεκριμένα, στο Κεφάλαιο 9 ασχολούμαστε με τη μελέτη της γεωμετρίας μιας ομάδας Lie δίνοντας τύπους για τις διάφορες καμπυλότητες για μια αριστερά αναλλοίωτη και μια αμφιαναλλοίωτη μετρική. Κάνουμε μια εφαρμογή στην σφαίρα S3, η οποία μαζί με τον κύκλο S1 είναι οι μόνες σφαίρες που επιδέχονται δομή ομάδας. Τέλος, στο Κεφάλαιο 10 ασχολούμαστε με τη θεωρία των ομογενών πολλαπλοτήτων Riemann. Αυτές είναι πολλαπλότητες πηλίκα G∕K, όπου G είναι μια ομάδα Lie και K μια κλειστή υποομάδα Lie της G, εφοδιασμένες με μια G-αναλλοίωτη μετρική. Αποτελούν το μοντέλο της γεωμετρίας κατά Klein. Δίνουμε αρκετά παραδείγματα τέτοιων πολλαπλοτήτων (σφαίρες, πολλαπλότητες Grassmann), τύπους για τις διάφορες καμπυλότητες και υπολογισμούς αυτών.
Το βιβλίο απευθύνεται κυρίως σε προπτυχιακούς, αλλά και σε μεταπτυχιακούς φοιτητές μαθηματικών και φυσικής. Η προαπαιτούμενη γνώση είναι λογισμός μιας και πολλών μεταβλητών και γραμμική άλγεβρα. Η γνώση θεωρίας επιφανειών είναι επιθυμητή, αλλά όχι τεχνικά απαραίτητη. Τα θέματα που πραγματευόμαστε απαιτούν μεν μια μαθηματική ωριμότητα, αλλά παρουσιάζονται με εύληπτο τρόπο και κάποιες αποδείξεις δύσκολων θεωρημάτων παραλείπονται. Αυτό ήταν εκ των πραγμάτων αναπόφευκτο, δεδομένου ότι το φάσμα των θεμάτων που διαπραγματευόμαστε είναι αρκετά ευρύ και αποτελεί σίγουρα αντικείμενο παραπάνω του ενός βιβλίου. Επαφίεται στον διδάσκοντα να επιλέξει τμήματα τα οποία κατά την κρίση του θα επιθυμούσε να αναπτύξει περισσότερο.