Κεφάλαιο 6
Καμπυλότητα

Σύνοψη
Το κεντρικό αντικείμενο μελέτης της γεωμετρίας Riemann είναι η καμπυλότητα. Παρουσιάζουμε σε σύγχρονη γλώσσα τον ιστορικό ορισμό της καμπυλότητας τομής που έδωσε ο Riemann. Στη συνέχεια, αναπτύσσουμε αναλυτικά τις (ισοδύναμες) έννοιες του τανυστή καμπυλότητας και την καμπυλότητα τομής. Η καμπυλότητα Ricci και η βαθμωτή αποτελούν δύο άλλα είδη καμπυλοτήτων που ορίζονται σε μια πολλαπλότητα Riemann. Στην περίπτωση μιας κανονικής επιφάνειας στον ℝ3, όλα τα είδη αυτά των καμπυλοτήτων ταυτίζονται. Οι βασικές αναφορές στο κεφάλαιο αυτό είναι τα βιβλία [3], [4], [6], [8], [10] και [11]. Σε πιο προχωρημένο επίπεδο είναι τα βιβλία [2] και [7].

Προαπαιτούμενη γνώση
Διαφορικός Λογισμός μιας και πολλών μεταβλητών, Γραμμική Άλγεβρα, Θεωρία Επιφανειών.

6.1 Ο ορισμός του Riemann

Γνωρίζουμε από τη θεωρία επιφανειών όπως αυτή αναπτύχθηκε μετά το 1700, ότι η καμπυλότητα Gauss αποτελεί ένα μέτρο της κύρτωσης μιας επιφάνειας στον ℝ3. Θυμίζουμε ότι ένας τρόπος να οριστεί η καμπυλότητα Gauss είναι μέσω των κύριων καμπυλοτήτων, δηλαδή λαμβάνοντας υπόψη ότι η επιφάνεια βρίσκεται εμβαπτισμένη στον ℝ3. Με το περίφημο Theorema Egregium ο Gauss απέδειξε το απροσδόκητο αποτέλεσμα ότι η καμπυλότητα Gauss αποτελεί μια ισομετρική αναλλοίωτη της επιφάνειας, δηλαδή ότι δεν εξαρτάται από το γεγονός ότι η επιφάνεια βρίσκεται στον ℝ3. Το σημαντικό αυτό θεώρημα οδήγησε τον Riemann1 στην ανακάλυψη της ομώνυμης γεωμετρίας, κεντρικό αντικείμενο της οποίας είναι η γενίκευση της καμπυλότητας Gauss σε οποιαδήποτε πολλαπλότητα Riemann ([13]).

Από ιστορικής απόψεως ο Riemann όρισε μια έννοια καμπυλότητας για μια πολλαπλότητα Riemann, γενικεύοντας την καμπυλότητα Gauss. Η καμπυλότητα αυτή σήμερα ονομάζεται καμπυλότητα τομής. Παρακάτω θα περιγράψουμε σύντομα τον αρχικό ορισμό του Riemann. Για περισσότερα ιστορικά και μαθηματικά θέματα σχετικά με την συνεισφορά του Riemann, παραπέμπουμε στα βιβλία [1], [4] και στην εργασία [9].

΄Εστω M μια πολλαπλότητα Riemann, p ∈ M και έστω Π ένας υπόχωρος του TpM διάστασης 2. Θεωρούμε το σύνολο όλων των γεωδαισιακών με αρχή το p και με διανύσματα ταχύτητάς τους να ανήκουν στον υπόχωρο Π. Τα τμήματα των γεωδαισιακών αυτών τα οποία βρίσκονται σε μια κανονική περιοχή U του p, ορίζουν μια υποπολλαπλότητα N της M, διάστασης 2. Σε σύγχρονη γλώσσα N = expp(Π ∩ expp-1(U)). Η υποπολλαπλότητα N της M έχει μια επαγόμενη μετρική. Σύμφωνα με το Theorema Egregium η καμπυλότητα Gauss της N μπορεί να υπολογιστεί από τη μετρική αυτή. Αυτή ακριβώς είναι η καμπυλότητα τομής την οποία εισήγαγε ο Riemann στο p για το επίπεδο Π και συμβολίζεται με K(p,Π). Προφανώς, αν M = ℝn, τότε K(p,Π) = 0 για κάθε p και για κάθε Π.

Αν και γεωμετρικά εύληπτη, η καμπυλότητα τομής είναι δύσκολο να υπολογιστεί με τον τρόπο που την όρισε ο Riemann και πέρασε αρκετός χρόνος μέχρι να αναπτυχθεί ένα πιο χρηστικό εργαλείο. Ο τανυστής καμπυλότητας, τον οποίο θα ορίσουμε στη συνέχεια, αν και ως έννοια είναι πιο αφηρημένη και μακριά από την αρχική ιδέα του Riemann, εντούτοις αποτελεί ένα λειτουργικό εργαλείο, προκειμένου να δοθούν ορισμοί και να γίνονται υπολογισμοί.

6.2 Ο τανυστής καμπυλότητας

Για τον ορισμό του τανυστή καμπυλότητας, αρκεί να έχουμε μια λεία πολλαπλότητα εφοδιασμένη με μια ομοπαραλληλική συνοχή. Είναι δυνατόν να αναπτυχθούν διάφορα ήδη γεωμετρίας με την προσέγγιση αυτή. Επειδή όμως εμείς στο παρόν βιβλίο (αλλά και γενικά στην μαθηματική πρακτική) ασχολούμαστε με τη γεωμετρία των πολλαπλοτήτων Riemann, η συνοχή που θα χρησιμοποιούμε είναι η συνοχή Levi-Civita.

Ορισμός 6.1: ΄Εστω (M,g) μια πολλαπλότητα Riemann με συνοχή Levi-Civita ∇. Η απεικόνιση

R : X (M ) × X (M )× X (M ) → X (M )
με τιμή
R (X,Y )Z = ∇X ∇Y Z - ∇Y ∇X Z - ∇ [X,Y]Z
ονομάζεται τανυστής καμπυλότητας (curvature tensor) της (M,g).

Παρατήρηση. Εφιστούμε την προσοχή στον αναγνώστη στο ότι πολλές φορές η καμπυλότητα ορίζεται στην βιβλιογραφία με αντίθετο πρόσημο, δηλαδή R(X,Y )Z = ∇[X,Y ]Z -∇X∇Y Z + ∇Y ∇XZ. Σε αυτή την περίπτωση διάφοροι τύποι έχουν αντίθετο πρόσημο.

Η παραπάνω απεικόνιση είναι πράγματι ένας τανυστής τύπου (1,3), όπως θα αποδείξουμε αμέσως. Αποτελεί εσωτερική ποσότητα της πολλαπλότητας, επειδή εξαρτάται μόνο από τη συνοχή Levi-Civita.

Για κάθε X,Y ∈ X(M) ορίζεται ο τελεστής

R(X, Y ) : X (M ) → X (M ), Z ↦→ R(X, Y )Z
και για κάθε x,y ∈ TpM ο τελεστής
R : T M → T M, z ↦→ R (x, y)z, xy p p p
γνωστός ως τελεστής καμπυλότητας.

Πρόταση 6.1: Για κάθε X,Y,Z ∈ X(M) η συνάρτηση R(X,Y )Z είναι F(M)-γραμμική ως προς τις μεταβλητές X,Y και Z. Συνεπώς, η συνάρτηση R είναι ένας τανυστής τύπου (1,3).

Απόδειξη. Θα αποδείξουμε πρώτα την F(M)-γραμμικότητα της R(X,Y )Z ως προς X. Θα χρησιμοποιήσουμε την εξής σχέση (βλ. Κεφάλαιο 4, ΄Ασκηση 12):

[f X,gY ] = f g[X, Y ]+ f(Xg )Y - g(Yf )X,
(6.1)

για κάθε f,g ∈ F(M),X,Y ∈ X(M). Από το ορισμό της καμπυλότητας έχουμε ότι

R(f X,Y )Z = ∇fX ∇Y Z - ∇Y ∇fX Z - ∇ [fX,Y]Z.
(6.2)

Λόγω της F(M)-γραμμικότητας της συνοχής ∇ ως προς X, ο πρώτος όρος της (6.2) ισούται με f∇X∇Y Z και λόγω του κανόνα Leibnitz ο δεύτερος όρος της (6.2) ισούται με

∇ (f∇ Z ) = (Y f)∇ Z + f ∇ ∇ Z. Y X X Y X
Χρησιμοποιώντας την (6.1) και το γεγονός ότι X(1) = 0, ο τελευταίος όρος της (6.2) ισούται με
∇[fX,Y]Z = ∇f[X,Y]- (Y f)X Z = f∇ [X,Y ]Z - (Y f)∇X Z.
Κάνοντας πράξεις με τους τρεις όρους της (6.2), παίρνουμε τελικά ότι
R (fX, Y)Z = f (∇X ∇Y Z - ∇Y ∇X Z - ∇[X,Y]Z ) = fR(X, Y )Z.
Χρησιμοποιώντας την F(M)-γραμμικότητα της R(X,Y )Z ως προς X και το γεγονός ότι ο τελεστής R(X,Y ) είναι αντισυμμετρικός ως προς X και Y , η F(M)-γραμμικότητα της R(X,Y )Z ως προς Y είναι άμεση:
R(X, fY ) = - R (f Y,X ) = - fR (Y,X ) = f R(X, Y ).
Αφήνουμε ως άσκηση την F(M)-γραμμικότητα της R(X,Y )Z ως προς Z. ▄

Παράδειγμα. Αν M = ℝn τότε R(X,Y )Z = 0 για κάθε X,Y,Z ∈ X(ℝn). Πράγματι, αν Z = ∑ Zi∂∂ui = (Z1,…,Zn), όπου ui οι φυσικές συντεταγμένες του ℝn, τότε

∇X Z = (XZ1, ...,XZn )
και
1 n ∇Y ∇X Z = (Y XZ ,...,YXZ ).
Συνεπώς,
R (X, Y )Z = ∇X ∇Y Z - ∇Y ∇X Z - ∇ [X,Y]Z = 0.
Βλέπουμε λοιπόν ότι ο τανυστής καμπυλότητας R αποτελεί ένα μέτρο απόκλισης της πολλαπλότητας (M,g) από το να είναι Ευκλείδεια.

Ας δούμε τώρα τοπική έκφραση του τανυστή καμπυλότητας (ιδιαίτερα τακτική σε βιβλιογραφία Φυσικής). ΄Εστω (U;x1,…,xn) ένας τοπικός χάρτης της M και θέτουμε Xi = -∂i ∂x. Τότε, επειδή ισχύει [Xi,Xj] = 0, θα έχουμε ότι

R(Xi,Xj )Xk = ∇Xi ∇Xj Xk - ∇Xj ∇XiXk = (∇Xi ∇Xj - ∇Xj ∇Xi )Xk,
απ΄ όπου φαίνεται ότι ο τανυστής καμπυλότητας αποτελεί επίσης ένα μέτρο της μη μεταθετικότητας της συνοχής.

Πρόταση 6.2: ΄Εστω (M,g) μια πολλαπλότητα Riemann διάστασης n και οι συναρτήσεις Rijkl = g(R(Xi,Xj)Xk,Xl), (i,j,k,l = 1,…,n). Τότε

( ) ∑n ∂Γ-sjk- ∂Γ-sik- ∑n r s r s Rijkl = gsl ∂xi - ∂xj + {ΓjkΓir - Γ ikΓ jr} , s=1 r=1
όπου Γijk τα σύμβολα Christoffel της (M,g).

Απόδειξη. Επειδή είναι [Xi,Xj] = 0, έχουμε ότι

∑n ∑n R (Xi,Xj)Xk = ∇Xi ∇Xj Xk - ∇Xj ∇XiXk = ∇Xi ( Γ sjkXs )- ∇Xj ( Γ sikXs ) s=1 s=1 ∑n ( ∂Γ s ∑n s ∑n ) = --jkXs + Γ sjkΓ risXr - ∂ΓikXs - Γ sikΓ rjsXr s=1 ∂xi r=1 ∂xj r=1 ∑n ( ∂Γ s s ∑n ) = --jk-- ∂Γik-+ {Γ rjkΓ sir - Γ rikΓ sjr} Xs, s=1 ∂xi ∂xj r=1
απ΄ όπου προκύπτει το ζητούμενο. ▄

Πολλές φορές ορίζουμε και τις συναρτήσεις Rijkl από την σχέση

n ∑ l R (Xi, Xj)Xk = R ijkXl, l=1
οι οποίες σχετίζονται με τις συναρτήσεις Rijkl μέσω της ισότητας
∑n Rijkl = g(R (Xi,Xj )Xk, Xl) = Rsijkgsk. s=1
Τότε προκύπτει ότι
l ∂Γ ljk ∂Γ-lik- ∑n r l r l R ijk = ∂xi - ∂xj + {ΓjkΓir - Γ ikΓjr}. r=1

Επίσης, αν X = ∑ iuiXi,Y = ∑ jυjXj και Z = ∑ kwkXk, τότε η σχέση

∑ l i j k R (X, Y )Z = R ijku v w Xl i,j,k,l
δείχνει ότι για δεδομένα διανυσματικά πεδία X,Y,Z η τιμή του διανυσματικού πεδίου R(X,Y )Z σε ένα σημείο p εξαρτάται μόνο από τις τιμές Xp,Y p,Zp και τις τιμές των συναρτήσεων Rijkl στο σημείο p.

Παράδειγμα. ΄Εστω M = ℝn εφοδιασμένος με τη μετρική gij = δij. Τότε ως γνωστόν είναι Γijk = 0 για κάθε i,l,k, συνεπώς παίρνουμε πάλι ότι R ≡ 0.

Πρόταση 6.3: (Πρώτη ταυτότητα του Bianchi). Για κάθε X,Y,Z ∈ X(M) ισχύει

R (X, Y )Z + R(Y,Z )X + R (Z,X )Y = 0.

Απόδειξη. Με κυκλική εναλλαγή στην σχέση ∇XY -∇Y X = [X,Y ] και χρησιμοποιώντας την ταυτότητα Jacobi προκύπτει ότι

R (X,Y )Z + R (Y, Z)X + R(Z,X )Y = ∇X ∇Y Z - ∇Y ∇X Z - ∇[X,Y]Z + ∇ ∇ X - ∇ ∇ X - ∇ X + ∇ ∇ Y - ∇ ∇ Y - ∇ Y Y Z Z Y [Y,Z] Z X X Z [Z,X] = ∇Z [X, Y] + ∇Y [Z, X ]+ ∇X [Y,Z]- ∇[X,Y]Z - ∇[Y,Z]X - ∇ [Z,X ]Y = [Z,[X, Y]]+ [X,[Y,Z ]]+ [Y,[Z,X ]] = 0.
▄

ϒπάρχει και η ονομαζόμενη δεύτερη ταυτότητα του Bianchi, σύμφωνα με την οποία

(∇X R )(Y,Z )+ (∇Y R)(Z,X ) + (∇Z R)(X,Y ) = 0.
Για την απόδειξή της όμως, χρειαζόμαστε να ορίσουμε την συναλλοίωτη παράγωγο ∇XR ενός τανυστή τύπου (1,3) ως προς ένα διανυσματικό πεδίο X, θέμα για το οποίο δεν θα ασχοληθούμε.

Ο τανυστής καμπυλότητας ικανοποιεί τις εξής ταυτότητες συμμετρίας. Θέτουμε

R(X, Y,Z, W ) = g(R (X,Y )Z,W ).

Πρόταση 6.4: Για κάθε X,Y,Z,W ∈ X(M) ισχύουν οι σχέσεις:

Απόδειξη. Η ταυτότητα (i) προκύπτει άμεσα από τον ορισμό του τανυστή καμπυλότητας. Θα αποδείξουμε την (ii) και αφήνουμε την (iii) ως άσκηση.

Αρκεί να δείξουμε την ταυτότητα R(X,Y,Z,Z) = 0. Τότε η ζητούμενη σχέση προκύπτει άμεσα από το ότι R(X,Y,Z + W,Z + W) = 0. Πράγματι, έχουμε ότι

R(X, Y,Z, Z) = g(∇X ∇Y Z - ∇Y ∇X Z - ∇[X,Y]Z,Z ).
(6.3)

Στη συνέχεια, θα χρησιμοποιήσουμε τη συμβατότητα της μετρικής με τη συνοχή Levi-Civita

Xg (Y,Z ) = g(∇X Y,Z )+ g(Y,∇X Z ),
για κατάλληλες επιλογές των διανυσματικών πεδίων X,Y,Z, καθώς και τον ορισμό του γινομένου Lie, [X,Y ]f = X(Y f) - Y (Xf). Προτρέπουμε τον αναγνώστη να πιστοποιήσει αναλυτικά τα παρακάτω βήματα. ΄Εχουμε ότι
g(∇X ∇Y Z,Z ) = Xg (∇Y Z, Z) + g(∇X Z,∇Y Z ),
g(∇Y ∇X Z, Z) = Yg(∇X Z,Z) + g(∇X Z,∇Y Z)
και
1 g(∇ [X,Y ]Z, Z) = -[X, Y]g(Z,Z ). 2
Συνεπώς, προκύπτει ότι
R(X, Y,Z, Z) = g (∇X ∇Y Z,Z )- g(∇Y ∇X Z, Z) - g(∇[X,Y]Z, Z) 1 = Xg (∇Y Z, Z) - Yg(∇X Z, Z) - -[X, Y]g(Z,Z ) 2 = 1X (Yg(Z, Z))- 1Y(Xg (Z,Z ))- 1-[X, Y ]g(Z, Z) 2 2 2 = 1[X,Y ]g (Z, Z) - 1[X,Y ]g(Z,Z ) = 0. 2 2
▄

Χρησιμοποιώντας την τοπική έκφραση του τανυστή καμπυλότητας, η πρώτη ταυτότητα του Bianchi, καθώς και οι ταυτότητες συμμετρίας της Πρότασης 6.4 εκφράζονται αντίστοιχα ως εξής:

R + R + R = 0 ijkl jkil kijl Rijkl = - Rjikl Rijkl = - Rijlk Rijkl = Rklij.

6.3 Η καμπυλότητα τομής

΄Αμεσα συνδεδεμένη με τον τανυστή καμπυλότητας και ταυτόχρονα πιο κοντά στον αρχικό ορισμό του Riemann, είναι η καμπυλότητα τομής.

΄Εστω (M,g) μια πολλαπλότητα Riemann και p ∈ M. ΄Εστω Π ένας δισδιάστατος υπόχωρος του TpM (ένας τέτοιος ονομάζεται εφαπτόμενο επίπεδο της M στο p) και έστω x,y ∈ Π. Ορίζουμε

2 Q (x,y ) = g(x,x)g(y,y)- g (x,y ).
Τότε από την γραμμική άλγεβρα προκύπτει ότι το επίπεδο Π είναι μη ιδιάζον εάν και μόνο εάν Q(x,y)≠0 για κάποια (και άρα για όλες) βάση {x,y} του Π. Επιπλέον, η απόλυτη τιμή |Q(x,y)| εκφράζει το τετράγωνο του εμβαδού του παραλληλογράμμου, με πλευρές τα διανύσματα x,y.

Λήμμα 6.1: Εάν Π είναι ένα μη ιδιάζον εφαπτόμενο επίπεδο της M στο σημείο p, τότε ο αριθμός

g(R(x,y)y,x ) K (x,y) = ------------- Q (x,y )
δεν εξαρτάται από την επιλογή της βάσης {x,y} του Π.

Απόδειξη. Δύο βάσεις {x,y}, {υ,w} του Π σχετίζονται μέσω των εξισώσεων

x = av + bw y = cv + dw,
έτσι ώστε ad - bc≠0. Με απευθείας υπολογισμό προκύπτει ότι
g(R(x,y)y,x) = (ad- bc)2g(R(v,w )w,v)
και
Q(x,y) = (ad- bc)2Q(v,w ),
απ΄ όπου προκύπτει το ζητούμενο. ▄

Ορισμός 6.2: ΄Εστω Π ένας δισδιάστατος υπόχωρος του TpM και {x,y} μια τυχαία βάση του Π. Τότε ο αριθμός

g(R(x,y)y,x) K (Π ) ≡ K (x,y) =------------- Q(x,y )
ονομάζεται η καμπυλότητα τομής (sectional curvature) της M στο σημείο p.

Εάν θεωρήσουμε την πολλαπλότητα Grassmann Gr2(TpM) όλων των δισδιάστατων υποχώρων του TpM, δηλαδή

Gr (T M ) = {V ⊂ T M : V δισ διάστατος υπόχω ρος του T M }, 2 p p p
τότε η καμπυλότητα τομής της M στο σημείο p είναι η συνάρτηση
g(R(x,y)x,y) Kp : Gr2 (TpM ) → ℝ, Kp (span(x,y)) = -------------. Q (x,y )

Παρατήρηση. Εάν dimM = 2, τότε η καμπυλότητα τομής στο σημείο p είναι η γνωστή μας καμπυλότητα Gauss της M στο σημείο p. Εδώ είναι Π = TpM και η K είναι μια συνάρτηση του σημείου p και μόνο, η οποία δίνεται ως

R1221 R1212 K = g--g----g2- = - g--g----g2-. 11 22 12 11 22 12
Λόγω της Πρότασης 6.2 η συνάρτηση R1212 εξαρτάται μόνο από τη μετρική, συνεπώς για την περίπτωση των επιφανειών, η παραπάνω ισότητα εκφράζει το Theorema Egregium ([12]).

Παράδειγμα. Θεωρούμε την σφαίρα S2 εφοδιασμένη με τη μετρική

g = ---1--dz2 + (1- z2)dθ2. 1 - z2
΄Εστω X = √ ----2- 1- z-∂ ∂z και Y = --1--- √1--z2∂- ∂θ. Τότε είναι
g(X,X ) = g(Y,Y ) = 1 και g(X, Y ) = 0.
΄Ενας απλός υπολογισμός δίνει ότι
--z---∂f- --z--- [X,Y ]f = 1- z2 ∂θ άρα [X, Y] = 1- z2Y.
Ως συνέπεια, προκύπτουν οι εξής υπολογισμοί (ελέγξτε προσεκτικά):
g(∇Y X, X ) = g (∇X X,X ) = 0,
άρα
g(∇ Y,X ) = g(∇ X, X) + g([X, Y ],X ) = 0, οπότε ∇ Y = 0. X Y X
Παρόμοια,
g(∇X X, Y) = - g(X, ∇X Y ) = 0, άρα ∇X X = 0,
z z g(∇Y X, Y ) = g(∇X Y, Y) - g([X, Y ],Y ) = - √----2, άρα ∇Y X = - √-----2-Y, 1- z 1- z
g(∇Y Y,X ) = - g(Y,∇Y X ) = √-z----, άρα ∇Y Y = √--z----X. 1- z2 1- z2
Συνεπώς, η καμπυλότητα τομής της σφαίρας S2 είναι
K = g (R (X,Y )Y,X ) = g(∇X ∇Y Y - ∇Y ∇X Y - ∇ [X,Y]Y,X ) = g (∇ (√--z---X )- √--z---∇ Y, X) X 1 - z2 1 - z2 Y ∘ ------∂ z z z = 1- z2---√-----2-- √------2√------2 = 1. ∂z 1- z 1 - z 1- z
Επειδή οι υπολογισμοί αυτοί ισχύουν για οποιοδήποτε σημείο της σφαίρας, προκύπτει ότι η καμπυλότητα της σφαίρας είναι σταθερή. Από το παράδειγμα αυτό αναδεικνύεται το γεγονός ότι ο υπολογισμός της καμπυλότητας τομής, είναι και αυτός μια όχι εύκολη διαδικασία.

Η καμπυλότητα τομής σε ένα σημείο είναι λοιπόν γνωστή, όταν γνωρίζουμε τον τανυστή καμπυλότητας R στο σημείο αυτό, όπως προκύπτει από τον ορισμό. Το ενδιαφέρον είναι ότι ισχύει και το αντίστροφο: η γνώση της καμπυλότητας τομής K(Π) για κάθε Π ⊂ TpM δισδιάστατο υπόχωρο, προσδιορίζει πλήρως τον R στο σημείο p. Αυτό είναι ένα καθαρά αλγεβρικό αποτέλεσμα, το οποίο αν και δεν θα αποδείξουμε εδώ, σημαίνει το εξής:

΄Εστω F : TpM × TpM × TpM → TpM μια τριγραμμική απεικόνιση, η οποία ικανοποιεί την ταυτότητα Bianchi (Πρόταση 6.3), καθώς και τις συμμετρίας του τανυστή καμπυλότητας (Πρόταση 6.4). Ορίζουμε

g(F(x,y)y,x)- K (x,y) = Q(x,y) ,
για κάθε x,y τα οποία παράγουν ένα μη ιδιάζον επίπεδο. Τότε ισχύει
g(R (x, y)v,w ) = F(x,y,v,w )
για κάθε x,y,υ,w ∈ TpM.

Μια πολλαπλότητα Riemann ονομάζεται πολλαπλότητα σταθερής καμπυλότητας (constant curvature), εάν η καμπυλότητα τομής είναι σταθερή σε κάθε σημείο p και για κάθε επίπεδο Π. Τότε γράφουμε K = K(p,Π) ≡  σταθερά. Η μελέτη τέτοιων πολλαπλοτήτων αποτελεί σημαντικό πεδίο της διαφορικής γεωμετρίας. Παραδείγματα τέτοιων πολλαπλοτήτων είναι ο Ευκλείδειος χώρος ℝn, όπου K ≡ 0, η σφαίρα Sn όπου K ≡ 1 και ο υπερβολικός χώρος ℍn όπου K ≡-1.

Θα αποδείξουμε στη συνέχεια μια απλή έκφραση του τανυστή καμπυλότητας μιας πολλαπλότητας Riemann, η οποία έχει σταθερή καμπυλότητα τομής. Δεν υπάρχει κάποια ιδιαίτερα εύκολη απόδειξη του αποτελέσματος αυτού, και αυτή που παραθέτουμε έχει προσαρμοστεί από το βιβλίο [5]. Για εναλλακτικές αποδείξεις παραπέμπουμε στα βιβλία των [7] και [10].

Αρχίζουμε με έναν ισοδύναμο ορισμό του να είναι μια πολλαπλότητα Riemann σταθερής καμπυλότητας. Ορίζουμε τις συναρτήσεις δ,Δ : M → ℝ με τύπους

δ : ↦→ min Kp (V), Δ : ↦→ max Kp(V ). V∈Gr2(TpM) V∈Gr2(TpM )
Μια πολλαπλότητα Riemann (M,g) ονομάζεται:

(α) (γνήσια) θετικής καμπυλότητας εάν δ ≥ 0 (> 0) για κάθε p.

(β) (γνήσια) αρνητικής καμπυλότητας εάν Δ ≤ 0 (< 0) για κάθε p.

(γ) σταθερής καμπυλότητας εάν δ = Δ =  σταθερά.

(δ) επίπεδη (flat) εάν δ ≡ Δ ≡ 0.

Λήμμα 6.2: ΄Εστω (M,g) μια πολλαπλότητα Riemann, p ∈ M και Y ∈ TpM. Τότε ο τελεστής

R : T M → T M, R (X ) = R (X,Y )Y Y p p Y
είναι αυτοσυζυγής. 2

Απόδειξη. ΄Εστω Z ∈ TpM. Τότε έχουμε ότι

g(RY (X ),Z) = g(R (X,Y )Y,Z ) = g(R (Y,Z)X, Y ) = g(R (Z,Y )Y,X ) = g(X, RY (Z)).
▄

΄Εστω Y ∈ TpM με |Y | = 1. Ορίζουμε

Y ⊥ = {X ∈ TpM : g(X,Y ) = 0}.
Επειδή είναι RY (Y ) = 0 και λόγω του παραπάνω λήμματος, ο περιορισμός του αυτοσυζυγούς τελεστή RY στον υπόχωρο Y ⊥ έχει μια ορθοκανονική βάση από ιδιοδιανύσματα X1,…,Xn-1. Οι αντίστοιχες ιδιοτιμές ικανοποιούν
δ(p) ≤ λ1(p) ≤ ⋅⋅⋅ ≤ λn-1(p) ≤ Δ (p).

Ορίζουμε το τανυστικό πεδίο τύπου (1,3)

R1 : X3 (M ) → X (M ), R1(X, Y)Z = g(Y, Z)X - g(X, Z)Y.
Θα δείξουμε την παρακάτω τεχνική πρόταση. Προτρέπουμε τον αναγνώστη να ελέγξει αναλυτικά την απόδειξη.

Πρόταση 6.5: ΄Εστω (M,g) μια πολλαπλότητα Riemann και έστω X,Y,Z λεία διανυσματικά πεδία στην M. Τότε ισχύουν οι εξής ανισότητες:

Απόδειξη. Χωρίς βλάβη της γενικότητας μπορούμε να υποθέσουμε ότι |X| = |Y | = |Z| = 1. ΄Εστω ότι X = X⊥ + X⊤ με X⊥⊥ Y και X⊤ παράλληλο του Y . Τότε R(X,Y )Z = R(X⊥,Y )Z, άρα μπορούμε να υποθέσουμε επιπλέον ότι X ⊥ Y . Τότε θα έχουμε ότι R1(X,Y )Y = g(Y,Y )X - g(X,Y )Y = X.

Η πρώτη ανισότητα προπύπτει από το γεγονός ότι οι ιδιοτιμές του αυτοσυζυγούς τελεστή

Δ + δ X ↦→ {R (X, Y)Y - --2--⋅ X}
περιορισμένου στον υπόχωρο Y ⊥ του TpM, βρίσκονται στο διάστημα [δ-2Δ-,Δ--2δ].

΄Οσον αφορά τη δεύτερη ανισότητα, παρατηρούμε ότι ο τελεστής R1 ικανοποιεί την πρώτη ταυτότητα του Bianchi, καθώς και τις ταυτότητες συμμετρίας του τανυστή καμπυλότητας, συνεπώς το ίδιο θα συμβαίνει και για τον τελεστή D = R -Δ+2δ ⋅ R1. Τότε προκύπτει η ταυτότητα

6⋅D (X,Y )Z = D (X,Y + Z )(Y + Z) - D (X, Y - Z )(Y - Z) + D (X + Z,Y )(X + Z )- D (X - Z,Y )(X - Z ).

Τελικά παίρνουμε ότι

6|D (X,Y )Z| ≤ 1(Δ - δ){|X |(|Y + Z |2 + |Y - Z|2)+ |Y |(|X + Z|2 + |X - Z|2)} 2 = 1(Δ - δ){2|X |(|Y |2 + |Z|2)+ 2|Y|(|X |2 + |Z|2)} 2 = 4(Δ - δ).
▄

Ως συνέπεια παίρνουμε τελικά το παρακάτω χρήσιμο αποτέλεσμα:

Πόρισμα 6.1: ΄Εστω (M,g) μια πολλαπλότητα Riemann σταθερής καμπυλότητας κ. Τότε ο τανυστής καμπυλότητας έχει τη μορφή

R(X, Y )Z = κ(g(Y,Z )X - g(X,Z )Y).

Απόδειξη. Είναι άμεσο αποτέλεσμα της Πρότασης 6.5 θέτοντας Δ = δ = c. ▄

΄Ενα ακόμα σχετικό αποτέλεσμα είναι το παρακάτω θεώρημα, την απόδειξη του οποίου παραλείπουμε (βλ. [4]).

Θεώρημα 6.1: (Θεώρημα του Schur.) ΄Εστω (M,g) μια συνεκτική πολλαπλότητα Riemann διάστασης n ≥ 3. Εάν για κάθε p ∈ M η καμπυλότητα τομής Kp(Π) δεν εξαρτάται από το επίπεδο Π (άρα είναι συνάρτηση μόνο του σημείου p), τότε η M είναι πολλαπλότητα σταθερής καμπυλότητας τομής, δηλαδή K(p) = K, σταθερή.

Παράδειγμα. Θεωρούμε τον μοναδιαίο ανοικτό δίσκο U του επιπέδου ℝ2 εφοδιασμένον με τη μετρική Riemann

g = -----1----(dx2 + dy2) 1- x2 - y2
(δίσκος του Poincaré). Ο αντίστροφος του πίνακα της μετρικής είναι
( ) - 1 1 - x2 - y2 0 (g )kl = 0 1 - x2 - y2 .
Θέτουμε x = x1,y = x2. Χρησιμοποιώντας την σχέση (5.7) τα σύμβολα Christoffel είναι
x Γ 111 = Γ 212 = Γ 221 = - Γ 122 =---2---2- 1- xy - y - Γ 211 = Γ 112 = Γ 121 = Γ 222 =---2----2. 1 - x - y
Τότε η συνάρτηση g(R(∂- ∂x,∂- ∂y)∂- ∂y,-∂ ∂x) καθορίζει πλήρως την καμπυλότητα τομής και λόγω της Πρότασης 6.2, ισούται με
g(R(-∂-,-∂-) ∂-,-∂-) = ------2------. ∂x ∂y ∂y ∂x (1 - x2 - y2)2

6.4 Η καμπυλότητα Ricci και η βαθμωτή καμπυλότητα

Ο τανυστής καμπυλότητας αποτελεί ένα αρκετά δύσκολο αντικείμενο στον χειρισμό του. Για τον λόγο αυτό εισάγονται δύο άλλα είδη καμπυλοτήτων, η καμπυλότητα Ricci 3 και η βαθμωτή καμπυλότητα, οι οποίες είναι μεν πιο απλές και εύκολες στον χειρισμό τους, χάνεται όμως η πλήρης γεωμετρική πληροφόρηση για την πολλαπλότητα (M,g). Οι νέοι αυτοί τανυστές ουσιαστικά προκύπτουν με συστολή (contraction) του τανυστή καμπυλότητας, αλλά δεν θα χρησιμοποιήσουμε εδώ την έννοια αυτή. Το όφελος είναι (και ουσιαστικά αυτή ήταν ιστορικά η αρχική επιδίωξη του Ricci) η εισαγωγή ενός είδους καμπυλότητας (εν προκειμένω η καμπυλότητα Ricci), η οποία να έχει ως τανυστής τον ίδιο τύπο με τη μετρική g, δηλαδή να είναι τύπου (0,2). Η βαθμωτή καμπυλότητα είναι στη συνέχεια μια πραγματική συνάρτηση στην πολλαπλότητα M.

Θυμίζουμε από την γραμμική άλγεβρα ότι αν (V,⟨ , ⟩) είναι ένας διανυσματικός χώρος με εσωτερικό γινόμενο, T : V → V ένας γραμμικός τελεστής και {e1,…,en} μια ορθοκανονική βάση του V , τότε το ίχνος του τελεστή T εκφράζεται ως

∑n tr(T) = ⟨T(ei),ei⟩. i=1

Ορισμός 6.3: ΄Εστω (M,g) μια πολλαπλότητα Riemann. Ο τανυστής Ricci (Ricci tensor) ή καμπυλότητα Ricci (Ricci curvature) είναι ο τανυστής τύπου (0,2)

Ric : X (M ) × X (M ) → F(M )
με τύπο
Ric(X, Y ) = tr{Z ↦→ R(Z,X )Y }.

Εάν {e1,…,en} είναι μια ορθοκανονική βάση του TpM τότε για κάθε x,y ∈ TpM έχουμε ότι

∑n ∑n Ricp(x,y) = g(Rp (ei,x)y,ei) = g(Rp(x,ei)ei,y). i=1 i=1

Εύκολα προκύπτει ότι ο τανυστής Ricci είναι συμμετρικός, δηλαδή ισχύει Ric(X,Y ) = Ric(Y,X). Τακτικά χρησιμοποιούμε αντί για τον τανυστή Ricci τον τελεστή Ricci (Ricci operator)

r : TpM → TpM
ο οποίος ορίζεται ως
∑n r(x) = R(x,ei)ei. i=1
Ο παραπάνω τελεστής ορίζει έναν τανυστή τύπου (1,1). Τότε ο τανυστής Ricci γράφεται ως
Ric(X, Y ) = g(r(X ),Y ).

Επειδή η καμπυλότητα τομής K καθορίζει τον τανυστή καμπυλότητα R, θα καθορίζει και τον τανυστή Ricci. Πράγματι, αν u ∈ TpM είναι ένα μοναδιαίο διάνυσμα και {e1,…,en} μια ορθοκανονική βάση του TpM τέτοια ώστε u = e1, τότε η καμπυλότητα Ricci της (M,g) ως προς τη διεύθυνση u είναι

∑n ∑n Ricp(u, u) = g(r(u),u) = g(Rp(u,ei)ei,u ) = Kp(u,ei). i=2 i=2
Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας την ταυτότητα πολικότητας 4 και βαθμωτό πολλαπλασιασμό, η καμπυλότητα Ricci καθορίζεται πλήρως για κάθε x,y ∈ TpM.

Ορισμός 6.4: Η βαθμωτή καμπυλότητα (scalar curvature) μιας πολλαπλότητας Riemann είναι η συνάρτηση S : M → ℝ με τιμή

∑n ∑n S(p) = Ricp(ej,ej) = g(Rp(ei,ej)ej,ei). j=1 j,1=1

Εάν {e1,…,en} είναι μια ορθοκανονική βάση του TpM, τότε η βαθμωτή καμπυλότητα εκφράζεται ως

∑n ∑n ∑n S (p ) = g(Rp (ei,ej)ej,ei) = Kp (ei,ej) = 2 Kp (ei,ej). j,1=1 i⁄=j i<j
Από εδώ και στο εξής μπορούμε να παραλείπουμε το σημείο p στις παραπάνω εκφράσεις με παράλληλη αντικατάσταση της βάσης {e1,…,en} με ένα ορθοκανονικό πλαίσιο διανυσματικών πεδίων {E1,…,En} της M.

Ως προς ένα τοπικό σύστημα συντεταγμένων ο τανυστής Ricci και η βαθμωτή καμπυλότητα δίνονται αντίστοιχα ως εξής. Αν Rij = Ric(-∂- ∂xi,-∂- ∂xi), τότε

∑ l ∑ kl Rij = Rilk = g Rijlk l k,l
και
∑ ij ∑ ij kl S(p) = g Rij = g g Rijlk. i,j i,j,k,l

Παράδειγμα. ΄Εστω M μια κανονική επιφάνεια στον ℝ3. Τότε η βαθμωτή καμπυλότητα καθορίζει πλήρως τον τανυστή καμπυλότητας (άρα και την καμπυλότητα τομής K), αφού ισχύει ότι

S = 2K.

Πρόταση 6.6: ΄Εστω (M,g) μια πολλαπλότητα Riemann διάστασης n και σταθερής καμπυλότητα κ. Τότε ισχύουν τα εξής:

Απόδειξη. ΄Εστω {E1,…,En} ένα ορθοκανονικό πλαίσιο της M και έστω X,Y ∈ X(M). Τότε από το Πόρισμα 6.1 προκύπτει ότι

∑n ∑n Ric(X, Y) = g(R(X, Ei)Ei,Y ) = g(κ{g(Ei,Ei)X - g(Ei,X )Ei},Y ) i=1( i=1 ) ∑n = κ g(Ei,Ei)g(X, Y) - g(Ei,X )g (Ei,Y ) ( i=1 ) ∑n ∑n = κ g(X,Y ) 1- g(Ei, X)g(Ei,Y ) = κ(n - 1)g(X,Y ). i=1 i=1

Επίσης, είναι

n n ∑ ∑ S(p) = Ricp(ei,ei) = κ(n - 1)g(ei,ei) = κn (n- 1), i=1 i=1
όπου ei η τιμή του πεδίου Ei στο σημείο p. ▄

Ορισμός 6.5: Μια πολλαπλότητα Riemann ονομάζεται πολλαπλότητα Einstein, εάν ο τανυστής Ricci ικανοποιεί την εξίσωση Ric(X,Y ) = cg(X,Y ), για κάποια σταθερά c.

Θέτοντας X = Y = ei, ({ei} μια ορθοκανονική βάση του TpM) στην παραπάνω εξίσωση και αθροίζοντας για 1 ≤ i ≤ n, προκύπτει ότι

S(p)- c = n .
Η εύρεση και μελέτη μετρικών Einstein σε μια πολλαπλότητα Riemann αποτελεί μια σημαντική περιοχή έρευνας της διαφορικής γεωμετρίας. Οι μετρικές αυτές θεωρούνται προνομιούχες μετρικές για πολλούς λόγους. Αποτελούν κατ΄ αρχάς τη φυσικότερη γενίκευση των μετρικών σταθερής καμπυλότητας, σε μια πολλαπλότητα Riemann. Επίσης, σύμφωνα με ένα παλαιό αποτοτέλεσμα του D. Hilbert, για μια συμπαγή πολλαπλότητα Riemann οι μετρικές Einstein προκύπτουν ως κρίσιμα σημεία του συναρτησοειδούς της βαθμωτής καμπυλότητας g↦→∫ MSgdvolg, επί του συνόλου των μετρικών με όγκο μονάδα. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει συσχέτιση με θεωρία λογισμού των μεταβολών, κάτι ιδιαίτερα σημαντικό στην γεωμετρία και την φυσική. Τέλος, η εξίσωση Ric(X,Y ) = cg(X,Y ) αποτελεί ειδική περίπτωση της εξίσωσης πεδίου του Einstein.5

Εάν μια πολλαπλότητα Riemann έχει σταθερή καμπυλότητα τομής, τότε σύμφωνα με την παραπάνω πρόταση είναι πολλαπλότητα Einstein. Στην περίπτωση που η διάσταση της πολλαπλότητας είναι 3 τότε ισχύει και το αντίστροφο.

Πρόταση 6.7: ΄Εστω (M,g) μια πολλαπλότητα Einstein διάστασης 3. Τότε η M έχει σταθερή καμπυλότητα τομής.

Απόδειξη. ΄Εστω p ένα τυχαίο σημείο της M και {e1,…,en} μια ορθοκανονική βάση του TpM. Θα πρέπει αν αποδείξουμε ότι για όλους τους υποχώρους Πij = span{ei,ej} (i≠j) η καμπυλότητα τομής είναι σταθερή. Είναι

Ric(e1,e1) = K (e1,e1)+ K (e1,e2)+ K (e1,e3) = K (e1,e2)+ K (e1,e3)
και με παρόμοιο τρόπο λαμβάνουμε το σύστημα
( ) ( ) ( ) Ric(e1,e1) 1 0 1 K (e1,e2) |(Ric(e2,e2)|) = |( 1 1 0|) |( K (e2,e3)|) . Ric(e3,e3) 0 1 1 K (e1,e3)
Λύνοντας το παραπάνω σύστημα ως προς τις τιμές της καμπυλότητας τομής, λαμβάνουμε το σύστημα

( ) ( ) ( ) K (e1,e2) 1∕2 1∕2 - 1 ∕2 Ric(e1,e1) |( K (e2,e3)|) = |( - 1∕2 1∕2 1∕2 |) |( Ric(e2,e2)|) . K (e1,e3) 1∕2 - 1∕2 1∕2 Ric(e3,e3)
Επειδή η M είναι πολλαπλότητα Einstein, θα υπάρχει σταθερά c ∈ ℝ τέτοια ώστε
Ric(ei,ei) = cg(ei,ei) = cδii = c,
συνεπώς θα είναι
K (e1,e2) = K (e2,e3) = K (e1,e3) = c, 2
δηλαδή για όλους τους υποχώρους του TpM η καμπυλότητα τομής είναι σταθερή. Επειδή το σημείο p ήταν τυχαίο, η πολλαπλότητα έχει σταθερη καμπυλότητα τομής. ▄

6.5 Ομοιοθεσίες και ισομετρίες

Ορισμός 6.6: Μια λεία απεικόνιση f : (M,g) → (N,h) μεταξύ δύο πολλαπλοτήτων Riemann ονομάζεται τοπική ισομετρία εάν το διαφορικό dfp : TpM → Tf(p)N είναι μια γραμμική ισομετρία, δηλαδή ισχύει

h ((df) (u),(df )(v)) = g (u, v) f(p) p p f(p) p
για κάθε p ∈ M και για κάθε u,υ ∈ TpM.

Μια ισομετρία είναι μια τοπική ισομετρία εάν επιπλέον η f είναι αμφιδιαφόριση.

Ορισμός 6.7: Μια αμφιδιαφόριση f : (M,g) → (N,h) ονομάζεται ομοιοθεσία κατά παράγοντα c≠0 εάν ισχύει

hf(p)(dfp(u ),dfp(v))f(p) = cgp(u,v)
για κάθε p ∈ M και για κάθε u,υ ∈ TpM.

Προφανώς μια ισομετρία είναι μια ομοιθεσία κατά παράγοντα c = 1.

Είναι φυσικό να αναμένουμε ότι οι ισομετρίες διατηρούν όλες τις γεωμετρικές έννοιες που σχετίζονται με μια πολλαπλότητα Riemann (συνοχή Levi-Civita, καμπυλότητα κ.λπ.). Θα δούμε στη συνέχεια συνοπτικά το θέμα αυτό.

Ορισμός 6.8: ΄Εστω f : M → N μια αμφιδιαφόριση. Τότε για κάθε διανυσματικό πεδίο X ∈ X(M) ορίζουμε το διανυσματικό πεδίο f*X ∈ X(M) ως

(f*X )f(p) = dfp(Xp ), p ∈ M,
ή ισοδύναμα
(f*X)q = dff-1(q)(Xf -1(q)), q ∈ N.
Το διανυσματικό πεδίο f*X ονομάζεται η προώθηση (push-forward) του πεδίου X

Χρησιμοποιώντας τον τύπο του Koszul αποδεικνύεται το εξής:

Πρόταση 6.8: ΄Εστω f : M → N μια ισομετρία μεταξύ πολλαπλοτήτων Riemann. Τότε

f*(∇X Y) = ∇f*X (f*Y ), X, Y ∈ X (M ),
όπου ∇XY είναι η συνοχή Levi-Civita στην M και αντίστοιχα στην N.

Ως συνέπεια, ο τανυστής καμπυλότητας διατηρείται μέσω μιας τοπικής ισομετρίας f : M → N, δηλαδή ισχύει

f*R(X, Y)Z = R(f*X, f*Y)f*Z.
Συνοψίζουμε στην παρακάτω πρόταση τη διατήρηση των διαφόρων γεωμετρικών ποσοτήτων μέσω μιας τοπικής ισομετρίας.

Πρόταση 6.9: ΄Εστω f : M → N μια τοπική ισομετρία. Τότε οι παρακάτω γεωμετρικές έννοιες διατηρούνται μέσω της f:

΄Οσον αφορά τις ομοιοθεσίες, οι συνοχές Levi-Civita διατηρούνται μέσω αυτών. Επιπλέον, οι ομοιοθεσίες διατηρούν τη συναλλοίωτη παράγωγο, την παράλληλη μεταφορά, τις γεωδαισιακές, τον τανυστή καμπυότητας R και τον τανυστή Ricci. ΄Ομως η καμπυλότητα τομής και η βαθμωτή καμπυλότητα δεν διιατηρούνται μέσω ομοιοθεσιών. Συγκεκριμένα, αν f : M → N είναι μια ομοιοθεσία κατά παράγοντα c, τότε ισχύουν οι σχέσεις

1 1 KN (df(Π )) =-cKM (Π ) και SN ∘f = -cSM .

6.6 Ασκήσεις

1. Αποδείξτε ότι η συνάρτηση R(X,Y )Z = ∇X∇Y Z -∇Y ∇XZ -∇[X,Y ]Z είναι F(M)-γραμμική ως προς Z.

2. Αποδείξτε την ταυτότητα (iii) της Πρότασης 6.4.

3. Αναζητήστε στην βιβλιογραφία μια απόδειξη του Θεωρήματος του Schur (Θεώρημα 6.1).

4. Αποδείξτε ότι ο τανυστής Ricci είναι συμμετρικός, δηλαδή για κάθε x,y ∈ TpM ισχύει Ricp(x,y) = Ricp(y,x).

5. Αποδείξτε ότι αν μια πολλαπλότητα Riemann έχει διάσταση 3 η καμπυλότητα Ricci καθορίζει την καμπυλότητα τομής. Το ίδιο συμβαίνει αν η διάσταση της πολλαπλότητας είναι 2. (ϒπόδειξη: Πάρτε μια ορκοκανονική βάση {e1,e2,e3} του TpM και υπολογίστε διαδοχικά τις τιμές Ric(ei,ei),i = 1,2,3. Στη συνέχεια, εκφράστε τις τιμές αυτές ως γραμμικές εκφράσεις των K(ei,ej).)

6. Θεωρούμε τον Ευκλείδειο χώρο ℝ3 εφοδιασμένον με τη μετρική Riemann

g = e2z(dx2 + dy2 + dz2).
Δείξτε ότι g(R(∂∂x,∂∂z)∂∂z,∂∂x) = 0.

7. Θεωρούμε τον Ευκλείδειο χώρο ℝ3 εφοδιασμένον με τη μετρική Riemann

g = dx2 + (dy - xdz)2 + dz2 = dx2 + dy2 - 2xdydz + (1 + x2)dz2.
(α) Γράψτε τον πίνακα της μετρικής και βρείτε τα μη μηδενικά σύμβολα Christoffel.

(β) Βρείτε τις συναρτήσεις Rijkl και στη συνέχεια τις μη μηδενικές συναρτήσεις Rijkl = ∑ sRijksgsk (συνιστώσες του τανυστή καμπυλότητας).

(γ) Αποδείξτε ότι οι μη μηδενικές συνιστώσες του τανυστή Ricci δίνονται από τις συναρτήσεις

1- 1- 1- 2 R11 = - R22 = - 2, R23 = R32 = - 2x, R33 = 2(x - 1),
και ότι η βαθμωτή καμπυλότητα είναι σταθερή, S(p) = -1 2.

8. ΄Ενα διανυσματικό πεδίο X σε μια πολλαπλότητα Riemann (M,g) ονομάζεται πεδίο Killing εάν ισχύει

g(∇Y X, Z)+ g (∇Z X, Y ) = 0,
για κάθε X,Y,Z ∈ X(M). Αποδείξτε ότι η παραπάνω ισότητα ισοδυναμεί με την
Xg (Y, Z) = g([X, Y ],Z )+ g(Y,[X, Z]).
Για ένα διανυσματικό πεδίο Killing ορίζουμε την απεικόνιση
AX : X(M ) → X (M ), AX (Z ) = ∇Z X (τελεστής Nomizu ).
Θεωρούμε τη συνάρτηση f : M → ℝ με τύπο f(q) = gq(X,X). ΄Εστω p ∈ M ένα κρίσιμο σημείο της f (δηλαδή dfp = 0). Δείξτε ότι για κάθε Z ∈ X(M) ισχύουν τα εξής:

(α) gp(AX(Z),X) = 0.

(β) gp(AX(Z),AX(Z)) = 12Zp(Zg(X,X)) + g(R(X,Z)Z,X).

(ϒπόδειξη: ΄Εστω T = 1 2Z(Zg(X,X)) + g(R(X,Z)Z,X). Χρησιμοποιείστε την εξίσωση Killing και θα προκύψει ότι T = -g(∇XX,∇ZZ) - g(∇X∇ZX,Z) - g(∇ZX,∇XZ) + g(∇ZX,∇ZX). Με χρήση πάλι της εξίσωσης Killing παίρνουμε ότι T = -g(∇XX,∇ZZ) + g(∇ZX,∇ZX). Αλλά ∇XpX = 0, απ΄ όπου προκύπτει το ζητούμενο.)

(γ) Αναζητήστε στην βιβλιογραφία μια απόδειξη για το εξής: ΄Εστω M μια συμπαγής πολλαπλότητα Riemann άρτιας διάστασης με θετική καμπυλότητα τομής. Τότε κάθε πεδίο Killing X έχει ένα ιδιάζον σημείο (singular point), δηλαδή υπάρχει p ∈ M ώστε Xp = 0.

Βιβλιογραφία

[1]   M. Berger, A Panoramic View of Riemannian Geometry, Springer, 2002.

[2]   A. Besse, Einstein Manifolds, Springer, 2008.

[3]   W. Boothby, An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry, 2nd ed., Academic Press, Boston, 1986.

[4]   M. do Carmo, Riemannian Geometry, Birkhäuser, Boston 1992.

[5]   S. Gallot, D. Hulin and J. Lafontaine, Riemannian Geometry, 3rd ed. Springer, 2004.

[6]   L. Godinho and J. Natário, An Introduction to Riemannian Geometry: With Applications to Mechanics and Relativity , Springer, 2014.

[7]   S. Kobayashi and K. Nomizu, Foundations of Differential Geometry, Vol. I, Wiley Classics, 1996.

[8]   J.M. Lee, Riemannian Manifolds: An Introduction to Curvatute, Springer, New York, 1997.

[9]   A.M. Naveira, The Riemann Curvature Through History, Rev. R. Acad. Cien. Serie A. Mat. 99 (2) 195–210.

[10]   B. O’ Neill, Semi-Riemannian Geometry with Applications to Relativity, Academic Press 1983.

[11]   P. Petersen, Riemannian Geometry, Springer, New York, 1998.

[12]   A.N. Pressley, Elementary Differential Geometry Geometry, 2nd ed. Springer, New York, 2010. Μετάφραση: Στοιχειώδης Διαφορική Γεωμετρία, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Κρήτη 2012.

[13]   B. Riemann, On the hypotheses which lie at the foundations of geometry, Μετάφραση από τα Γερμανικά από τον Henry S. White στο βιβλίο: D.E. Smith: A Source Book in Mathematics, Dover ed. Vol. 2, Dover, New York, 1959, 411–425. Μετάφραση στα Ελληνικά: Επί των Σχετικών με την Γεωμετρία ϒποθέσεων, Εκδόσεις Τροχαλία, Αθήνα 1999.