Κεφάλαιο 7
Ομάδες Lie

Σύνοψη
Μια ομάδα Lie είναι μια λεία πολλαπλότητα και ταυτόχρονα ομάδα, τέτοια ώστε οι πράξεις της ομάδας να είναι λείες απεικονίσεις. Η δομή της ομάδας προσδίδει ιδιαίτερα πλούσια χαρακτηριστικά στις πολλαπλότητες αυτές. Για παράδειγμα, η μελέτη του εφαπτόμενου χώρου αρκεί να γίνει μόνο στο ουδέτερο στοιχείο της ομάδας. Τα πιο σημαντικά παραδείγματα ομάδων Lie είναι οι ομάδες πινάκων, δηλαδή κλειστές υποομάδες της γενικής γραμμικής ομάδας. Μια ιδιαίτερα σημαντική κλάση διανυσματικών πεδίων σε μια ομάδα Lie είναι τα αριστερά αναλλοίωτα διανυσματικά πεδία. Μέσω αυτών ορίζεται ένα αλγεβρικό αντικείμενο, η άλγεβρα Lie μιας ομάδας Lie. ΄Ετσι ορίζεται ένα γινόμενο Lie στο εφαπτόμενο χώρο της στο ουδέτερο στοιχείο. Ιδιαίτερα χρήσιμες καμπύλες σε μια ομάδα Lie είναι οι μονοπαραμετρικές υποομάδες και μέσω αυτών ορίζεται η εκθετική απεικόνιση. Για την περίπτωση των ομάδων πινάκων, αυτή είναι η συνηθισμένη εκθετική απεικόνιση πινάκων. Οι αναφορές μας είναι τα βιβλία [1], [2], [6], [8] και [11]. Το βιβλίο [12] είναι πιο προχωρημένο.

Προαπαιτούμενη γνώση
Διαφορικός Λογισμός μιας και πολλών μεταβλητών, Εισαγωγή στις Πολλαπλότητες, Γραμμική Άλγεβρα.

Μια ομάδα Lie είναι μια λεία πολλαπλότητα G, η οποία είναι ταυτόχρονα και ομάδα (υπό την γνωστή αλγεβρική έννοια), έτσι ώστε οι πράξη της ομάδας, καθώς και η απεικόνιση αντιστροφής να είναι λείες απεικονίσεις. Αποτελούν μια εξαιρετικά σημαντική κλάση πολλαπλοτήτων με μεγάλο εύρος εφαρμογών στη γεωμετρία, στη φυσική, στην αρμονική ανάλυση, στις διαφορικές εξισώσεις, αλλά και σε άλλους κλάδους των μαθηματικών όπως στατιστική, θεωρία ελέγχου κ.ά. Οι ομάδες Lie χρησιμοποιήθηκαν από τον Felix Klein για τη θεμελίωση της γεωμετρίας στο πρόγραμμα του Erlangen, θέμα το οποίο θα συζητήσουμε στο Κεφάλαιο 10. Για τους λόγους αυτούς, ένα μεγάλο τμήμα του βιβλίου αυτού ασχολείται με τις ομάδες Lie και τη γεωμετρία τους.

Ο σπόρος της θεωρίας των ομάδων Lie βρίσκεται στις προσπάθειες του Sophus Lie περί το 1870 να αναπτύξει μια θεωρία συμμετριών για την επίλυση συστημάτων διαφορικών εξισώσεων. Η αρχική ονομασία που έδωσε ο Lie στις συμμετρίες αυτές ήταν συνεχείς ομάδες. Ο όρος ομάδα Lie δόθηκε το 1893 από τον μαθητή του Lie, Arthur Tresse ([10]), αλλά η πιο ευρεία χρήση του οφείλεται στον Henri Cartan περί το 1930. Για διάφορα ιστορικά θέματα σχετικά με ομάδες Lie παραπέμπουμε στο βιβλίο [5].

Ο στόχος του Lie ήταν η ανάπτυξη μια θεωρίας ανάλογης αυτής της θεωρίας του variste Galois, σύμφωνα με την οποία τη θέση της λύσης μιας πολυωνυμικής εξίσωσης με ριζικά, θα έπαιρνε μια πεπερασμένη ομάδα συμμετριών μιας διαφορικής εξίσωσης. Οι διαφορικές εξισώσεις που μελετούσε τότε ο Lie είναι γνωστές ως εξισώσεις τύπου Lie, τυπικό παράδειγμα των οποίων είναι η εξίσωση Riccati. Τα απλούστερα παραδείγματα ομάδων Lie είναι οι ομάδες ισομετρικών των ℝⁿ, ℂⁿ και ℍⁿ (ℍ είναι το σύνολο των υπερμιγαδικών αριθμών), απ΄ όπου προκύπτουν η ορθογώνια ομάδα O(n), η μοναδιαία ομάδα U(n) και η συμπλεκτική ομάδα Sp(n).

7.1 Ορισμός και παραδείγματα

Επειδή σε κάθε ομάδα Lie οι πράξεις της ομάδας είναι λείες απεικονίσεις, τότε θα είναι και συνεχείς, οπότε οι ομάδες Lie είναι τοπολογικές ομάδες.¹

Η διάσταση μιας ομάδας Lie G είναι η διάσταση της G ως λεία πολλαπλότητα.

Παραδείγματα.

1. Τα σύνολα ℝⁿ, ℂⁿ και ℍⁿ είναι ομάδες Lie με πράξη την πρόσθεση και αν εξαιρέσουμε το μηδενικό στοιχείο γίνονται ομάδες Lie με πράξη τον πολλαπλασιασμό. Εδώ με ℍ συμβολίζουμε το σύνολο των upermigadikn arijmn (quaternions), δηλαδή αριθμών της μορφής q = t + xi + yj + zk, t,x,y,z ∈ ℝ, όπου {1,i,j,k} είναι μια βάση του ℝ⁴. Ο πολλαπλασιασμός ορίζεται από τις σχέσεις i² = j² = k² = -1,ij = k,ji = -k,ik = -j,ki = j,kj = -i,jk = i και στη συνέχεια με γραμμική επέκταση στο ℍ. Ισχύει ότι ℍℝ⁴ℂ². Θα αναφερθούμε εκτενέστερα στους υπερμιγαδικούς αριθμούς και στους ισομορφισμούς αυτούς, πιο κάτω.

2. Ο μοναδιαίος κύκλος S¹ είναι μια ομάδα Lie. Μπορούμε να ταυτίσουμε τον κύκλο S¹ με το σύνολο {z ∈ ℂ : = 1}, όλων των μιγαδικών αριθμών με μέτρο μονάδα, το οποίο είναι ομάδα με πράξη τον πολλαπλασιασμό στο ℂ. Η ταύτιση αυτή γίνεται ως εξής: (cosθ,sinθ) ↔ e^iθ, i = . Βλέπε περισσότερα στην υποπαράγραφο 7.1.1.

3. Αν G₁,G₂ είναι δύο ομάδες Lie, τότε το γινόμενο αυτών G₁ ×G₂ είναι λεία πολλαπλότητα και γίνεται ομάδα Lie με πράξη τον πολλαπλασιασμό στην ομάδα G₁ × G₂, ο οποίος ορίζεται ως εξής: αν (g₁,h₁),(g₂,h₂) ∈ G₁ × G₂, τότε (g₁,h₁) ⋅ (g₂,h₂) = (g₁g₂,h₁h₂).
Ο n-διάστατος δακτύλιος Tⁿ = S¹ ×× S¹ είναι ένα τέτοιο παράδειγμα.

4. Η γενική γραμμική ομάδα (general linear group) GL_nℝ είναι το πιο σημαντικό παράδειγμα ομάδας Lie. Το σύνολο GL_nℝ αποτελείται από όλους τους n × n αντιστρέψιμους πίνακες, δηλαδή

είναι λεία συνάρτηση. Επίσης, γνωρίζουμε ότι ο αντίστροφος πίνακας του A δίνεται από τη σχέση

όπου adjA είναι ο προσαρτημένος πίνακας του A, άρα τα στοιχεία του A^-1 θα είναι πολυώνυμα, οπότε η απεικόνιση

θα είναι λεία. Συνεπώς, η GL_nℝ είναι μια ομάδα Lie. Με το ίδιο σκεπτικό οι ομάδες GL_nℂ και GL_nℍ είναι ομάδες Lie. Από την γραμμική άλγεβρα γνωρίζουμε ότι η GL_nℝ είναι ισόμορφη με την ομάδα όλων των αντιστρέψιμων γραμμικών απεικονίσεων f : ℝⁿ → ℝⁿ (με πράξη τη σύνθεση απεικονίσεων), δηλαδή το σύνολο των αυτομορφισμών του ℝⁿ. Η ομάδα αυτή συμβολίζεται με Aut(ℝⁿ). Ανάλογα, αποδεικνύεται ότι η ειδική γραμμική ομάδα GL_nℂ όλων των αντιστρέψιμων μιγαδικών πινάκων είναι ομάδα Lie.

5. Η ειδική γραμμική ομάδα (special linear group) SL_nℝ είναι η υποομάδα της GL_nℝ που αποτελείται από όλους τους πίνακες με ορίζουσα ίση με 1. ΄Εχουμε αποδείξει στο Κεφάλαιο 3 ότι η SL_nℝ είναι μια κανονική υποπολλαπλότητα της GL_nℝ διάστασης n² - 1. Το ότι οι πράξεις του γινομένου και της αντιστροφής είναι λείες απεικονίσεις είναι κάπως πιο δύσκολο να αποδειχθεί και το παραλείπουμε. Ανάλογα προκύπτει ότι η ομάδα SL_nℂ = {A ∈ GL_nℂ : detA = 1} είναι ομάδα Lie.

6. Η ορθογώνια ομάδα (orthogonal group) ορίζεται ως O(n) = {A ∈ GL_nℝ : AA^t = I}, (όπου A^t είναι ο ανάστροφος του πίνακα A). Θα αποδείξουμε ότι η ορθογώνια ομάδα είναι μια κανονική υποπολλαπλότητα της GL_nℝ. Το ότι οι πράξεις της ομάδας είναι λείες απεικονίσεις, δεν είναι προφανές και το παραλείπουμε. ΄Εστω Sym_nℝ το σύνολο όλων των n × n συμμετρικών πινάκων. Το σύνολο Sym_nℝ είναι ένας διανυσματικός χώρος διάστασης n(n + 1)∕2 (άσκηση). Θεωρούμε την απεικόνιση

7. Η μοναδιαία ομάδα (unitary group) ορίζεται ως U(n) = {A ∈ GL_nℂ : AA^t = I}. Με παρόμοιο τρόπο και ελαφρά προσαρμογή του Παραδείγματος 6 προκύτει ότι η U(n) είναι ομάδα Lie. Η διάστασή της είναι

όπου Skew_n(ℂ) είναι το σύνολο των αντιερμιτιανών πινάκων.

8. Η συμπλεκτική ομάδα (symplectic group) Sp(n) = {A ∈ GL_nℍ : AA^t = I}. Ο συζυγής ενός υπερμιγαδικού q = t + ix + jy + kz ορίζεται ως q = t - ix - iy - kz. Βλέπε περισσότερα στην υποπαράγραφο 7.1.1. Αποδεικνύεται ότι η συμπλεκτική ομάδα είναι ομάδα Lie διάστασης 2n² + n. Πολλές φορές αυτή εκφράζεται και ως

9. Η ειδική ορθογώνια ομάδα (special linear group) και η ειδική μοναδιαία ομάδα (special unitary group) ορίζονται αντίστοιχα ως SO(n) = {A ∈ O(n) : detA = 1} και SU(n) = {A ∈ U(n) : detA = 1}. Ισχύει ότι SO(n) = O(n) ∩ SL_nℝ και SU(n) = U(n) ∩ SL_nℂ. Η διάσταση αυτών είναι αντίστοιχα n(n - 1) και n² - 1.

10. Η Ευκλείδεια ομάδα ορίζεται ως

Οι παραπάνω διαστάσεις μπορούν να υπολογιστούν και μέσω της εύρεσης του εφαπτόμενου χώρου μιας ομάδας Lie, όπως θα δούμε στην παράγραφο 7.2.

Οι ομάδες Lie O(n),U(n) και Sp(n) μπορούν να οριστούν και ως οι ομάδες ισομετριών του ℝⁿ, ℂⁿ και ℍⁿ αντίστοιχα, ως εξής. ΄Εστω K ∈{ℝ, ℂ, ℍ} και ορίζουμε στο K το εσωτερικό γινόμενο ⟨ , ⟩ με τιμή ⟨(x₁,…,x_n),(y₁,…,y_n)⟩ = x₁y₁ + … + x_ny_n. Θεωρούμε το σύνολο

Τότε είναι εύκολο να δούμε ότι το σύνολο O(n, K) ισούται με τις ομάδες O(n),U(n) και Sp(n), όταν K = ℝ, ℂ και ℍ αντίστοιχα.

Οι ομάδες Lie GL_nℝ, SL_nℝ, SO(n), O(n), GL_nℂ, U(n), κ.λπ. είναι γνωστές και ως οι κλασικές ομάδες Lie (classical Lie groups). Ταυτόχρονα, είναι και παραδείγματα ομάδων πινάκων (matrix groups). Μια ομάδα πινάκων είναι μια κλειστή υποομάδα μιας γενικής γραμμικής ομάδας (GL_nℝ, κ.λπ.). Για εύληπτες εισαγωγές στις ομάδες πινάκων παραπέμπουμε στα βιβλία [3] και [9].

Θα αναφέρουμε παρακάτω ένα σημαντικό αποτέλεσμα για τις κλειστές υποομάδες μιας ομάδας Lie. Χρειαζόμαστε αρχικά τους εξής ορισμούς.

Μια υποομάδα Lie H ⊂ G δεν έχει απαραίτητα την επαγόμενη τοπολογία της G. Το παρακάτω θεώρημα είναι αρκετά δύσκολο στην απόδειξή του.

Παράδειγμα. Οι ομάδες SL_nℝ, O(n), SO(n) είναι κλειστές υποομάδες της GL_nℝ, άρα σύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα είναι υποομάδες Lie της GL_nℝ.

Παρατήρηση. Αν και η μελέτη των ομάδων πινάκων μας δίνει μια πολύ καλή πληροφόρηση για την όλη θεωρία των ομάδων Lie, δεν ισχύει ότι μια ομάδα Lie είναι ομάδα πινάκων. ΄Ενα τέτοιο παράδειγμα είναι η oμάδα του Heisenberg³ H, η ακριβής περιγραφή της οποίας απαιτεί κάποια στοιχεία άλγεβρας. Παρόλα αυτά, αναφέρουμε ότι αυτή είναι της μορφής H = Nil³∕Z, όπου Nil³ είναι το σύνολο των πινάκων της μορφής

7.1.1 Ομάδες Lie μικρής διάστασης

Θα περιγράψουμε αναλυτικά κάποιες υποομάδες της O(n, K) για μικρές τιμές του n. Συγκεκριμένα, θα περιγράψουμε τους ισομορφισμούς

Από την ΄Ασκηση 2 έχουμε ότι

Ερχόμαστε τώρα στους επόμενους ισομορφισμούς. Από τον ορισμό της Sp(1) έχουμε ότι Sp(1) = . Κάνοντας πράξεις προκύπτει ότι

Θεωρούμε μια βάση του ℝ⁴, έστω και ορίζουμε έναν πολλαπλασιαστικό κανόνα για τα στοιχεία της με τον εξής τρόπο:

Επεκτείνουμε τώρα το γινόμενο αυτό σε ένα γινόμενο δύο οποιωνδήποτε στοιχείων του ℝ⁴ ως εξής: ΄Εστω q₁ = a + bi + cj + dk,q₂ = x + yi + zj + wk. Τότε

Το συζυγές ενός κβατερνίου q = a + bi + cj + dk ορίζεται ως q = a - bi - cj - dk, το μέτρο του ως |q| = = qq = qq και το αντίστροφο ως q^-1 = q.

Με πράξη λοιπόν τον πολλαπλασιασμό κβατερνίων η σφαίρα S³ = {q ∈ ℍ : |q| = 1} εφοδιάζεται με δομή ομάδας και έτσι προκύπτει ο ισομορφισμός Sp(1)S³.

Θα αποδείξουμε τώρα ότι Sp(1)SU(2).

Ταυτίζουμε τον υπερμιγαδικό αριθμό q με την τετράδα (a,b,c,d) ∈ ℝ⁴ και στη συνέχεια με το ζεύγος (u₁,u₂) ∈ ℂ², όπου u₁ = a + ib και u₂ = c + id. Ορίζουμε την απεικόνιση

Η απεικόνιση αυτή παίρνει πράγματι τιμές στην SU(2). Για να το δείξουμε αυτό, υπολογίζουμε την ορίζουσα

7.2 Ο Εφαπτόμενος χώρος μιας ομάδας Lie

Οι ομάδες Lie ως μη γραμμικά αντικείμενα, είναι αρκετά δύσκολα στη μελέτη. ΄Οπως και για μια οποιαδήποτε πολλαπλότητα ο εφαπτόμενος χώρος σε κάθε σημείο τους αποτελεί τη βέλτιστη γραμμική προσέγγιση στο σημείο αυτό. Ωστόσο, το σημαντικό με τη θεωρία των ομάδων Lie είναι ότι χρησιμοποιώντας απεικονίσεις μεταφοράς, (εδώ η δομή ομάδας παίζει σημαντικό ρόλο) αρκεί να μελετήσουμε τον εφαπτόμενο χώρο μόνο στο ουδέτερο σημείο. Επιπλέον, ο εφαπτόμενος χώρος στο ουδέτερο σημείο αποκτά δομή μιας άλγεβρας Lie (ένα καθαρά αλγεβρικό αντικείμενο) και το πιο συναρπαστικό σημείο της θεωρίας είναι ότι κάθε ομάδα Lie καθορίζεται τοπικά από την αντίστοιχη άλγεβρα Lie.

΄Εστω G μια ομάδα Lie και a ∈ G. Οι απεικονίσεις

Σχήμα 7.1: Η απεικόνιση αριστερής μεταφοράς L_α : G → G L_α(g) = αg, α ∈ G σε μια ομάδα Lie G. Οι εφαπτόμενοι χώροι T_eG και T_αG είναι ισόμορφοι.

Πριν προχωρήσουμε σε μερικά παραδείγματα υπολογισμών εφαπτόμενων χώρων κάποιων ομάδων Lie στο ουδέτερο σημείο τους, θα χρειαστούμε κάποιες ιδιότητες της εκθετικής απεικόνισης πινάκων. Για περισσότερες λεπτομέρειες παραπέμπουμε σε βιβλία γραμμικής άλγεβρας.

Πρόταση 7.1: ΄Εστω exp : M_n(ℂ) → M_n(ℂ) η εκθετική απεικόνιση πινάκων, η οποία ορίζεται μέσω της συγκλίνουσας δυναμοσειράς

όπου I είναι ο n×n ταυτοτικός πίνακας.⁵ Τότε ισχύουν οι εξής ιδιότητες:

(α) det(e^X) = e^trX,

(β) e^Xt = (e^X)^t,

(γ) Εάν XY = Y X τότε e^X+Y = e^Xe^Y .

Η εκθετική απεικόνιση είναι μια πολύ σημαντική απεικόνιση, διότι μέσω αυτής μπορούμε να πάρουμε καμπύλες στην GL_nℂ, οι οποίες να διέρχονται από δοθέν σημείο και να έχουν συγκεκριμένη αρχική ταχύτητα. Για παράδειγμα, η καμπύλη γ : ℝ → GL_nℂ, γ(t) = e^tX ικανοποιεί

Απόδειξη. Θεωρούμε την καμπύλη γ(t) = e^tX, η οποία ικανοποιεί γ(0) = I και γ′(0) = X. Τότε έχουμε ότι

▄

Παραδείγματα.

1. Ο εφαπτόμενος χώρος της GL_nℝ. Γνωρίζουμε από το Κεφάλαιο 3 ότι ο εφαπτόμενος χώρος της γενικής γραμμικής ομάδας GL_nℝ σε ένα οποιοδήποτε σημείο της g ταυτίζεται με το σύνολο M_nℝ όλων των n × n πραγματικών πινάκων. Επιπλέον, ως εφαρμογή της Πρότασης 3.11 είχαμε υπολογίσει ότι ο ισομορφισμός (dL_g)_I : T_I(GL_nℝ) → T_g(GL_nℝ)M_nℝ είναι η αριστερή μεταφορά (dL_g)_I(X) = gX (εδώ I είναι ο n × n ταυτοτικός πίνακας).

2. Ο εφαπτόμενος χώρος της SL_nℝ. Θυμίζουμε ότι ο εφαπτόμενος χώρος μιας λείας πολλαπλότητας M στο σημείο p ∈ M εκφράζεται ως T_pM = {γ′(0) : γ : (-ε,ε) → M, λεία καμπύλη με γ(0) = p} (Πρόταση 3.9). ΄Εστω X ∈ T_I(SL_nℝ). Τότε υπάρχει λεία καμπύλη γ : (-ε,ε) → SL_nℝ τέτοια ώστε γ(0) = I και γ′(0) = X. Επειδή η καμπύλη αυτή ανήκει στην SL_nℝ, ισχύει ότι detγ(t) = 1 για κάθε t ∈ (-ε,ε), συνεπώς παραγωγίζοντας τα δύο μέλη και υπολογίζοντας για t = 0, προκύτει ότι

3. Ο εφαπτόμενος χώρος της O(n). ΄Εστω X ∈ T_I(O(n)). Επιλέγουμε μια λεία καμπύλη γ : (-ε,ε) → O(n) τέτοια ώστε γ(0) = I και γ′(0) = X. Επειδή η καμπύλη αυτή ανήκει στην O(n), ισχύει ότι γ(s)γ(s)^t = I για κάθε t ∈ (-ε,ε). Παραγωγίζουμε και τα δύο μέλη χρησιμοποιώντας την ΄Ασκηση 1 και παίρνουμε

3. Ο εφαπτόμενος χώρος της SO(n). Γνωρίζουμε ότι SO(n) = O(n) ∩ SL_nℝ. Επειδή κάθε αντισυμμετρικός πίνακας έχει ίχνος μηδέν, από τα Παραδείγματα 2 και 3 προκύπτει ότι T_I(SO(n)) = T_I(O(n)).

7.3 Η άλγεβρα Lie μιας ομάδας Lie

Θα ορίσουμε αρχικά μια σημαντική κατηγορία διανυσματικών πεδίων σε μια ομάδα Lie και στη συνέχεια, σε κάθε ομάδα Lie G θα αντιστοιχίσουμε ένα αλγεβρικό αντικείμενο, την άλγεβρα Lie 𝔤 της G.

Ισοδύναμα, ένα διανυσματικό πεδίο X στην ομάδα Lie G θα λέγεται αριστερά αναλλοίωτο, εάν το παρακάτω διάγραμμα είναι μεταθετικό.

Μια σημαντική ιδιότητα ενός αριστερά αναλλοίωτου διανυσματικού πεδίου είναι ότι αυτό καθορίζεται από την τιμή του στο ουδέτερο στοιχείο e ∈ G, αφού X_α = (dL_α)_e(X_e) για κάθε α ∈ G. Επιπλέον, αποδεικνύεται ότι κάθε αριστερά αναλλοίωτο διανυσματικό πεδίο είναι λείο.

Σχήμα 7.2: ΄Ενα αριστερά αναλλοίωτο διανυσματικό πεδίο X σε μια ομάδα Lie G καθορίζεται από την τιμή του στο ουδέτερο στοιχείο, δηλαδή X_α = (dL_α)_e(X_e), α ∈ G.

Συμβολίζουμε με 𝔤 το σύνολο όλων των αριστερά αναλλοίωτων διανυσματικών πεδίων στην ομάδα Lie G. Τότε ο διανυσματικός χώρος 𝔤 είναι υπόχωρος του διανυσματικού χώρου X(G), όλων των λείων διανυσματικών πεδίων της G.

Εάν X,Y ∈𝔤, τότε ισχύει ότι [X,Y ] ∈𝔤. Πράγματι, έστω α,p ∈ G και f ∈ F(G). Τότε

Θυμίζουμε ότι μια άλγεβρα Lie είναι ένας διανυσματικός χώρος 𝔤 εφοδιασμένος με μια πράξη [ , ] : 𝔤 ×𝔤 →𝔤 (γινόμενο Lie) με τις εξής ιδιότητες: (1) [x,y] = -[y,x], (2) [αx + βy,z] = α[x,z] + β[y,z], [z,αx + βy] = α[z,x] + β[z,y], (3) [[x,y],z] + [[y,z],x] + [[z,x],y] = 0.

Μια υποάλγεβρα Lie (Lie subalgebra) μιας άλγεβρας Lie 𝔤 είναι ένας διανυσματικός υπόχωρος 𝔥 ⊂𝔤, ο οποίος είναι κλειστός ως προς το γινόμενο Lie

Συνεπώς, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι το σύνολο όλων των αριστερά αναλλοίωτων διανυσματικών πεδίων μιας ομάδας Lie είναι μια άλγεβρα Lie, η οποία είναι υποάλγεβρα Lie της άλγεβρας Lie X(G), όλων των λείων διανυσματικών πεδίων της G.

Οι άλγεβρες Lie των ομάδων πινάκων GL_nℝ, SL_nℝ, SO(n), GL_nℂ,U(n), κ.λπ. συμβολίζονται αντίστοιχα με

Απόδειξη. Η ϕ είναι προφανώς γραμμική. Επίσης είναι 1-1. Πράγματι, αν X ∈𝔤 με ϕ(X) = X_e = 0, τότε για κάθε g ∈ G είναι

συνεπώς X = 0. Για να δείξουμε ότι η ϕ είναι επί, αρκεί να δειχθεί ότι για κάθε εφαπτόμενο διάνυσμα υ ∈ T_eG υπάρχει ένα αριστερά αναλλοίωτο διανυσματικό πεδίο X^υ τέτοιο ώστε ϕ(X^υ) = υ. Πράγματι, αν υ ∈ T_eG, ορίζουμε το διανυσματικό πεδίο X^υ ∈𝔤 ως X_g^υ = (dL_g)_e(υ), (g ∈ G), για το οποίο έχουμε

Το πεδίο αυτό είναι αριστερά αναλλοίωτο. Πράγματι, αν α,g ∈ G τότε

Τέλος, το X^υ είναι ένα λείο διανυσματικό πεδίο. Αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε f ∈ F(G) η απεικόνιση X^υf : G → ℝ είναι λεία. Πράγματι, για κάθε g ∈ G είναι

Η απεικόνιση f ∘L_g είναι λεία ως σύνθεση λείων απεικονίσεων, οπότε η υ(f ∘L_g) είναι λεία και κατ΄ επέκταση η ζητούμενη απεικόνιση X^υf είναι λεία, άρα το πεδίο X^υ είναι λείο. ▄

Μέσω του παραπάνω ισομορφισμού μπορούμε να ορίσουμε ένα γινόμενο Lie στον εφαπτόμενο χώρο T_eG ως εξής: για κάθε u,υ ∈ T_eG θέτουμε

Παραδείγματα.

1. Θα αποδείξουμε ότι τα αριστερά αναλλοίωτα διανυσματικά πεδία της ομάδας Lie G = (ℝ,+) (με ουδέτερο στοιχείο το 0), είναι πολλαπλάσια του διανυσματικού πεδίου ∈ X(ℝ). Οι αριστερές μεταφορές είναι της μορφής L_g(x) = g + x και υπολογίζουμε αρχικά την τιμή (dL_g)₀(₀). Αυτή είναι ένα εφαπτόμενο διάνυσμα στο σημείο g ∈ ℝ, άρα ένα πολλαπλάσιο του |_g, δηλαδή της μορφής λ_g. Προκειμένου να βρούμε τον αριθμό λ, παίρνουμε την συνάρτηση f(x) = x και υπολογίζουμε:

2. Θα προσδιορίσουμε τα αριστερά αναλλοίωτα διανυσματικά πεδία της γενικής γραμμικής ομάδας GL_nℝ. Θυμίζουμε ότι για κάθε g ∈ GL_nℝ ο εφαπτόμενος χώρος T_g(GL_nℝ) είναι ισόμορφος με τον διανυσματικό χώρο M_n(ℝ), μέσω του οποίου έχουμε την παρακάτω αντιστοιχία μεταξύ εφαπτόμενων διανυσμάτων και n × n πινάκων:

(7.2)

΄Εστω B = ∑ b_ijI ∈ T_I(GL_nℝ) και έστω X^B το αντίστοιχο αριστερά αναλλοίωτο διανυσματικό πεδίο. Συμβολίζουμε επίσης με B = (b_ij) τον αντίστοιχο n × n πίνακα. ΄Εχουμε υπολογίσει στο Κεφάλαιο 3 (εφαρμογή της Πρότασης 3.11) ότι X_g^B = (dL_g)_I(B) = gB (λαμβάνοντας υπόψη και την ταύτιση (7.2). Ως προς τη συνηθισμένη βάση {_g} του T_g(GL_nℝ) η τιμή του πεδίου X^B στο σημείο g είναι

3. ΄Εστω V ένας πραγματικός διανυσματικός χώρος διάστασης n. Θεωρούμε το σύνολο των ενδομορφισμών (endomorphisms) του V , δηλαδή End(V ) = {f : V → V, f γραμμική} και το σύνολο Aut(V ) όλων των αντιστρέψιμων ενδομορφισμών του V , δηλαδή τους αυτομορφισμούς (automorphisms) του V . Το σύνολο End(V ) είναι ισόμορφο με το σύνολο όλων των n × n πραγματικών πινάκων M_nℝ (ως προς κάποια επιλογή βάσης του V ) και είναι επιπλέον άλγεβρα Lie διάστασης n² με γινόμενο Lie

Επίσης, επειδή V ℝⁿ θα είναι Aut(V )GL_nℝ. ΄Ετσι το σύνολο Aut(V ) ως ανοικτό υποσύνολο του End(V ) είναι μια λεία πολλαπλότητα και εφοδιασμένο με την πράξη της σύνθεσης απεικονίσεων γίνεται ομάδα Lie. Επειδή είναι

4. Θα αποδείξουμε ότι το γινόμενο Lie στην GL_nℝ δίνεται ως

7.4 Η σχέση μεταξύ ομάδων Lie και αλγεβρών Lie

Μέχρι στιγμής σε κάθε ομάδα Lie G έχουμε αντιστοιχίσει μια άλγβερα Lie 𝔤, ως το σύνολο όλων των αριστερά αναλλοίωτων διανυσματικών πεδίων της G. Η 𝔤 είναι ισόμορφη με τον εφαπτόμενο χώρο T_eG και μέσω αυτού του ισομορφισμού το γινόμενο Lie διανυσματικών πεδίων στην 𝔤 μεταφέρεται στον εφαπτόμενο χώρο T_eG. Το φυσικό ερώτημα είναι, αν δοθεί μια τυχαία (πραγματική) άλγεβρα Lie 𝔤, κατά πόσον υπάρχει ομάδα Lie της οποίας η άλγεβρα Lie να ισούται με την 𝔤. Η τεκμηρίωση της απάντησης δεν είναι εύκολο να παρουσιαστεί στα πλαίσια του παρόντος βιβλίου, οπότε θα δώσουμε μια γενική περιγραφή της σχετικής θεωρίας, η κατάληξη της οποίας είναι τα θεωρήματα του Lie.

΄Εστω G,H δύο ομάδες Lie. Μια απεικόνιση ϕ : G → H καλείται ομομορφισμός ομάδων Lie, αν είναι λεία και ομομορφισμός ομάδων. Επιπλέον, αν η ϕ είναι ισομορφισμός και αμφιδιαφόριση, τότε λέγεται ισομορφισμός ομάδων Lie και οι ομάδες Lie G,H ισόμορφες. Αν 𝔤 και 𝔥 είναι δύο άλγεβρες Lie, τότε η απεικόνιση τ : 𝔤 →𝔥 θα λέγεται ομομορφισμός αλγεβρών Lie αν είναι γραμμική και ισχύει

Στην περίπτωση που η απεικόνιση τ είναι ισομορφισμός, τότε οι δύο άλγεβρες είναι ισόμορφες. Θα ορίσουμε στη συνέχεια την έννοια της υποάλγεβρας Lie.

Η επόμενη πρόταση μας δίνει μια πρώτη σχέση ανάμεσα στις ομάδες Lie και τις άλγεβρες Lie.

Απόδειξη. Θα αποδείξουμε ότι η απεικόνιση dϕ_e : T_eG → T_ϕ(e)H είναι ομομορφισμός αλγεβρών Lie, δηλαδή θα πρέπει για κάθε u,υ ∈ T_eG να ισχύει dϕ_e([u,υ]) = [dϕ_eu,dϕ_eυ]. Τα εφαπτόμενα διανύσματα u,υ μέσω της απεικόνισης dϕ_e απεικονίζονται στα διανύσματα x = dϕ_e(u) και y = dϕ_e(υ) του εφαπτόμενου χώρου T_ϕ(e)H. Θεωρούμε τα αντίστοιχα αριστερά αναλλοίωτα διανυσματικά πεδία των προηγούμενων διανυσμάτων,

Τότε θα έχουμε ότι

(7.3)

Επειδή η ϕ είναι ομομορφισμός, το ϕ(e) είναι το ουδέτερο στοιχείο της ομάδας H. Επιπλέον, τα διανυσματικά πεδία X^u,X^υ ∈𝔤 είναι ϕ-συσχετισμένα με τα πεδία Y ^x,Y ^y ∈𝔥. Πράγματι, είναι

Στην τρίτη ισότητα χρησιμοποιήσαμε την υπόθεση ότι η απεικόνιση ϕ είναι ομομορφισμός ομάδων Lie, το οποίο είναι ισοδύναμο με την σχέση ϕ∘L_g = L_ϕ(g) ∘ϕ. Με τον ίδιο τρόπο προκύπτει ότι το διανυσματικό πεδίο X^υ είναι ϕ-συσχετισμένο με το πεδίο Y ^y, άρα λόγω της Πρότασης 4.4 το πεδίο [X^u,X^υ] θα είναι ϕ-συσχετισμένο με το πεδίο [Y ^x,Y ^y]. Αυτό σημαίνει ότι

(7.4)

Επομένως από τις σχέσεις (7.3) και (7.4) προκύπτει ότι dϕ_e([u,υ]) = [dϕ_eu,dϕ_eυ], δηλαδή η ϕ είναι ομομορφισμός αλγεβρών Lie. ▄

Λόγω του ισομορφισμού 𝔤T_eG γράφουμε τον παραπάνω ομομορφισμό αλγεβρών Lie και ως dϕ_e : 𝔤 →𝔥.

Η απόδειξη του πορίσματος είναι άμεση, αφού, όπως γνωρίζουμε, το διαφορικό της ένθεσης είναι απεικόνιση 1 - 1.

Στη συνέχεια, θα εξετάσουμε υπό ποιές συνθήκες ισχύει το αντίστροφο. Δηλαδή, αν έχουμε μια υποάλγεβρα Lie 𝔥 της 𝔤 κατά πόσον υπάρχει υποομάδα Lie H της ομάδας Lie G με άλγεβρα Lie την 𝔥. Η απάντηση δίνεται στο ακόλουθο θεώρημα:

Η απόδειξη δεν είναι εύκολη και στηρίζεται στο θεώρημα κατανομών του Frobenius. Επίσης, αν δεν απαιτήσουμε η υποομάδα H να είναι συνεκτική, τότε αυτή δεν είναι μοναδική. Για παράδειγμα, οι ομάδες Lie O(n) (μη συνεκτική) και SO(n) (συνεκτική) έχουν την ίδια άλγεβρα Lie 𝔬(n).

Ισχύει επίσης και το εξής:

Το παρακάτω θεώρημα συνοψίζει τα αποτελέσματα του Lie και δίνει την ακριβή σχέση μεταξύ ομάδων Lie και αλγεβρών Lie.

Παρατηρήσεις.

1. Η απόδειξη του (1) του παραπάνω θεωρήματος στηρίζεται στο θεώρημα του Ado⁸, στο οποίο αναφέρεται ότι κάθε πραγματική άλγεβρα Lie πεπερασμένης διάστασης είναι ισόμορφη με μια υποάλγεβρα Lie της άλγεβρας Lie M_n(ℝ) όλων των n × n πραγματικών πινάκων.

2. Η συνθήκη της απλής συνεκτικότητα στο (3) του θεωρήματος είναι απαραίτητη. Για παράδειγμα, αν G₁ = S¹ και G₂ = ℝ, τότε οι ομάδες αυτές έχουν την ίδια άλγεβρα Lie 𝔤 = ℝ, αλλά δεν είναι ισόμορφες. Η θεμελιώδης ομάδα της πρώτης είναι το σύνολο των ακεραίων, ενώ της δεύτερης είναι τετριμμένη.

7.5 Μονοπαραμετρικές υποομάδες και η εκθετικη απεικόνιση

Θα δώσουμε έναν δεύτερο χαρακτηρισμό του εφαπτόμενου χώρου μιας ομάδας Lie G, ως το σύνολο των μονοπαραμετρικών υποομάδων της. Στη συνέχεια, θα ορίσουμε την εκθετική απεικόνιση, η οποία είναι ιδιαίτερα σημαντική στη θεωρία των ομάδων Lie. Για την περίπτωση των ομάδων πινάκων αυτή είναι η συνηθισμένη εκθετική απεικόνιση πινάκων.

Βλέπουμε ότι η μονοπαραμετρική υποομάδα ϕ είναι μια λεία καμπύλη της ομάδας Lie G, η οποία ως ομομορφισμός θα ικανοποιεί τις σχέσεις ϕ(s + t) = ϕ(s)ϕ(t), ϕ(0) = e και ϕ(-t) = ϕ(t)^-1.

Παρατήρηση. Ο ορισμός είναι κάπως παραπλανητικός, αλλά έχει παραδοσιακά επικρατήσει. Γενικά δεν ισχύει ότι η εικόνα ϕ(ℝ) ⊂ G είναι μια υποομάδα της G, εκτός εάν η ϕ είναι 1 - 1. Στην περιπτωση αυτή, η εικόνα ϕ(ℝ) είναι ισόμορφη με το ℝ (ως προσθετική ομάδα).

Παραδείγματα

1. Η απεικόνιση ℝ → S¹, με ϕ(t) = e^it είναι μια μονοπαραμετρική υποομάδα του μοναδιαίου κύκλου S¹U(1).

2. Η απεικόνιση ϕ : ℝ → GL₃(ℝ), με ϕ(t) = είναι μια μονοπαραμετρική υποομάδα της GL₃(ℝ).

3. Η απεικόνιση ϕ : ℝ → SO(2), με ϕ(t) = είναι μια μονοπαραμετρική υποομάδα της SO(2). Πράγματι, η ϕ είναι λεία απεικόνιση. Θα δείξουμε ότι είναι ομομορφισμός. ΄Εχουμε,

Ερχόμαστε τώρα στο κεντρικό θεώρημα της ενότητας αυτής, το οποίο είναι η ταύτιση του εφαπτόμενου χώρου μιας ομάδας Lie G με το σύνολο των μονοπαραμετρικών υποομάδων της. Ας συμβολίσουμε το σύνολο αυτό με S.

Απόδειξη. ΄Εστω υ ∈ T_eG και έστω X_g^υ = (dL_g)_e(υ) το αντίστοιχο αριστερά αναλλοίωτο διανυσματικό πεδίο (g ∈ G). Πρέπει να βρούμε μια μονοπαραμετρική υποομάδα ϕ_υ : ℝ → G της G. Από τα Θεωρήματα 4.3 και 4.4 υπάρχει μοναδική ολοκληρωτική καμπύλη

του πεδίου X^υ, τέτοια ώστε ϕ(0) = e και = X_ϕ(t)^υ. Η καμπύλη ϕ είναι ένας ομομορφισμός. Πράγματι, για σταθερό s ∈ I τέτοιο ώστε s + t ∈ I για κάθε t ∈ I, οι καμπύλες ϕ₁,ϕ₂ : I → G με ϕ₁(t) = ϕ(s + t), ϕ₂(t) = ϕ(s)ϕ(t) ικανοποιούν ϕ₁(0) = ϕ₂(0) = ϕ(s) και

Επειδή το X είναι ένα αριστερά αναλλοίωτο θα ισχύει dL_ϕ(s)X_ϕ(t) = X_ϕ(s)ϕ(t). Αυτό σημαίνει ότι οι καμπύλες ϕ₁ και ϕ₂ είναι και οι δύο ολοκληρωτικές καμπύλες του διανυσματικού πεδίου X, άρα λόγω της μοναδικότητας της λύσης θα πρέπει ϕ₁(t) = ϕ₂(t), δηλαδή ϕ(s + t) = ϕ(s)ϕ(t), (s,t ∈ I). Τέλος, για να είναι η ϕ μια μονοπαραμετρική υποομάδα της G πρέπει να την επεκτείνουμε σε όλο το ℝ. Αυτό γίνεται ως εξής: Για κάθε t ∈ ℝ υπάρχει n ∈ ℕ τέτοιο ώστε ∈ I, οπότε ορίζουμε

Συνεπώς η ϕ_υ είναι ένας ομομορφισμός που για t = 0 διέρχεται από το e ∈ G, άρα αποτελεί μια μονοπαραμετρική υποομάδα της G. ▄

Χρησιμοποιώντας την ταύτηση του εφαπτόμενου χώρου T_eG με το σύνολο όλων των αριστερά αναλλοίωτων διανυσματικών πεδίων 𝔤 της ομάδας Lie G παίρνουμε το παρακάτω συμπέρασμα.

Μπορούμε τώρα να περιγράψουμε όλες τις μονοπαραμετρικές υποομάδες μιας ομάδας Lie G μέσω μιας απεικόνισης 𝔤 → G ως εξής:

Ορισμός 7.7: ΄Εστω G μια ομάδα Lie με αντίστοιχη άλγεβρα Lie 𝔤. Η εκθετική απεικόνιση (exponential map) exp : 𝔤 → G ορίζεται ως εξής:

όπου ϕ_X είναι η μοναδική μονοπαραμετρική υποομάδα του πεδίου X.

Σχήμα 7.3: Η εκθετική απεικόνιση σε μια ομάδα Lie G.

Παρατηρήσεις.

1. Στο Κεφάλαιο 5 είχαμε ορίσει την εκθετική απεικόνιση σε μια πολλαπλότητα Riemann. Οι έννοιες γενικά δεν σχετίζονται. Στην περίπτωση όμως που μια ομάδα Lie είναι εφοδιασμένη με μια αμφιαναλλοίωτη μετρική Riemann (βλ. Κεφάλαιο 9), οι δύο αυτές εκθετικές απεικονίσεις ταυτίζονται.

2. Το παρακάτω σχόλιο αφορά την ιστορική χρήση του όρου απειροστική ομάδα (infinitesimal group) την οποία είχε πρωτοχρησιμοποιήσει ο Lie για μια ομάδα Lie. Χρησιμοποιείται τακτικά και στη Φυσική. Αν ϕ(t) είναι μια μονοπαραμετρική ομάδα μιας ομάδας Lie G, τότε η παράγωγός της μπορεί να εκφραστεί ως

Παράδειγμα. ΄Εστω G = GL_nℝ. Γνωρίζουμε ότι η άλγεβρα Lie 𝔤𝔩_nℝ είναι το σύνολο M_nℝ. Θα δείξουμε ότι η εκθετική απεικόνιση exp : 𝔤𝔩_nℝ → GL_nℝ είναι απλά η συνήθης εκθετική απεικόνιση πινάκων, δηλαδή ότι exp(A) = e^A. ΄Εστω A ∈𝔤𝔩_nℝ. Τότε η απεικόνιση

είναι μια μονοπαραμετρική υποομάδα της GL_nℝ με ϕ′(0) = A (εύκολα έχουμε ότι ϕ(t + s) = ϕ(t)ϕ(s)). Τότε από το Πόρισμα 7.2 η εκθετική απεικόνιση θα δίνεται ως

Τα παραπάνω ισχύουν και στην περίπτωση, όπου G = GL_nℂ ή G = GL_nℍ.

Θα αποδείξουμε στη συνέχεια την απλή σχέση

Εναλλάσσοντας τους ρόλους των s,t και θέτοντας s = 1, προκύπτει ότι

Η παραπάνω σχέση σημαίνει ότι η εκθετική απεικόνιση απεικονίζει τις ευθείες {tX : t ∈ ℝ} του εφαπτόμενου χώρου T_eG σε μονοπαραμετρικές υποομάδες {ϕ_X(t) : t ∈ ℝ} της ομάδας Lie G.

Παρακάτω δίνουμε κάποιες βασικές ιδιότητες της εκθετικής απεικόνισης.

Η απόδειξη της πρότασης είναι άμεση συνέπεια των όσων έχουμε αναφέρει μέχρι στιγμής. Ενδεικτικά αποδεικνύουμε την ιδιότητα (2). Είναι

Απόδειξη. Θεωρούμε την καμπύλη α : I →𝔤 με α(t) = tX για την οποία είναι α(0) = 0 και α′(0) = X ∈𝔤. Τότε

▄

Επειδή το διαφορικό (dexp)₀ είναι η ταυτοτική απεικόνιση, αποτελεί έναν ισομορφισμό της 𝔤 στο 0 ∈𝔤. ΄Αρα από το θεώρημα αντίστροφης απεικόνισης η exp είναι τοπική αμφιδιαφόριση. Συγκεκριμένα, ισχύει το εξής:

Η ανοικτή περιοχή U = exp(Ũ) ονομάζεται κανονική περιοχή του e (normal neighborhood) και χρησιμοπείται ως ένας βολικός τοπικός χάρτης στο ουδέτερο της G.

Μέσω της εκθετικής απεικόνισης παίρνουμε μια σημαντική σχέση ανάμεσα στους ομομορφισμούς ομάδων Lie και τους ομομορφισμούς αλγεβρών Lie. Συγκεκριμένα, ισχύει το εξής θεώρημα, το οποίο είναι γνωστό ως η φυσιολογική συμπεριφορά (naturality) της εκθετικής απεικόνισης.

Θεώρημα 7.6: ΄Εστω G, H δύο ομάδες Lie με αντίστοιχες άλγεβρες Lie 𝔤, 𝔥. ΄Εστω ϕ : H → G ένας ομομορφισμός ομάδων Lie. Τότε το παρακάτω διάγραμμα είναι μεταθετικό:

Δηλαδή ισχύει ότι ϕ(exp_HX) = exp_G(dϕ_eX) για κάθε X ∈𝔥.

Απόδειξη. ΄Εστω X ∈𝔥. Θεωρούμε τις καμπύλες σ,τ : ℝ → G με

Αρκεί να αποδείξουμε ότι οι σ,τ είναι ίσες, οπότε για t = 1 θα έχουμε το ζητούμενο. Παρατηρούμε ότι η καμπύλη τ είναι η μονοπαραμετρική υποομάδα της G που αντιστοιχεί στο dϕ_eX ∈𝔤, άρα θα είναι ένας ομομορφισμός της G. Το ίδιο ισχύει και για την καμπύλη σ, αφού

Επίσης, είναι σ(0) = τ(0) = e, οπότε θα έχουμε

΄Αρα για κάθε t ∈ ℝ θα είναι σ(t) = τ(t), επομένως για t = 1 έχουμε ότι σ(1) = τ(1), δηλαδή ϕ(exp(X)) = exp(dϕ_eX) ▄

Παρακάτω, στην έκφραση exp_G ο δείκτης G θα συμβολίζει την εκθετική απεικόνιση της ομάδας Lie G, δηλαδή exp_G : 𝔤 → G.

Παρατήρηση. Χρησιμοποιώντας το παραπάνω πόρισμα, η υποομάδα H του Θεωρήματος 7.2, είναι αυτή που παράγεται από το σύνολο {exp(tX) : X ∈𝔥}.

Το Πόρισμα 7.3 είναι ιδιαίτερα χρήσιμο στο υπολογισμό των αλγεβρών Lie των κλειστών υποομάδων της γενικής γραμμικής ομάδας. Πράγματι, αν G είναι μια κλειστή υποομάδα Lie της GL_nK με K ∈{ℝ, ℂ} και 𝔤 η άλγεβρα Lie αυτής, τότε

Παράδειγμα. Θα αποδείξουμε ότι η άλγεβρα Lie της SU(n) = U(n) ∩ SL_nℂ είναι το σύνολο

Αρκεί να δείξουμε ότι T_ISU(n) = 𝔰𝔲(n). ΄Εστω A ∈ T_ISU(n). Τότε η καμπύλη γ : I → SU(n) με γ(s) = e^sA ικανοποιεί γ(0) = I και γ′(0) = A. Επειδή γ(s) ⊂ SU(n) = U(n) ∩ SL_nℂ θα έχουμε ότι

(7.5)

Απο την πρώτη σχέση παίρνουμε ότι γ(s)γ(s)^t = I και παραγωγίζοντας στο s = 0 παίρνουμε ότι

Επίσης, από τη δεύτερη σχέση (7.5) έχουμε ότι det(γ(s)) = 1 και παραγωγίζοντάς στο s = 0 παίρνουμε ότι

άρα, A ∈𝔰𝔲(n). Αντίστροφα, έστω A ∈𝔰𝔲(n), δηλαδή A + A^t = 0 και trA = 0. Θα δείξουμε ότι e^sA ∈ SU(n) = U(n) ∩ SL_nℂ. Πράγματι, είναι

δηλαδή e^sA ∈ U(n) και

άρα e^sA ∈ SL_nℂ. Επίσης ισχύει e^0A = I και _s=0e^sA = A, οπότε A ∈ T_ISU(n).

Μπορούμε εύκολα να δούμε ότι ένας πίνακας A που ανήκει στην 𝔰𝔲(2) έχει τη μορφή

Οι πίνακες στην παραπάνω βάση της 𝔰𝔲(2) ονομάζονται πίνακες του Pauli ⁹ και έχουν εκτενή χρήση στην κβαντομηχανική.

7.6 Ασκήσεις

1. Θεωρούμε τις απεικονίσεις A : (-ε,ε) → M_m×n(ℝ) και B : (-ε,ε) → M_n×p με την ιδιότητα τα στοιχεία των πινάκων A(t) και B(t) να είναι διαφορίσιμες συναρτήσεις του t ∈ (-ε,ε). Αποδείξτε ότι για κάθε t ∈ (-ε,ε) ισχύει

2. Αποδείξτε ότι η SO(2) εκφράζεται ως το σύνολο

3. Αποδείξτε αναλυτικά ότι οι ομάδες U(n) και SU(n) είναι ομάδες Lie διάστασης n² και n² - 1 αντίστοιχα.

4. Αποδείξτε ότι η ορθογώνια ομάδα O(n) είναι ένα κλειστό και φραγμένο υποσύνολο του M_n(ℝ), άρα είναι μια συμπαγής ομάδα.

5. ΄Εστω n περιττός. Αποδείξτε ότι η απεικόνιση f : O(n) → SO(n) ×{-1,+1} με τύπο f(A) = ((detA)A,detA) είναι ισομορφισμός ομάδων. Αποδείξτε ότι η SO(2) δεν είναι ισόμορφη με την O(2) ×{-1,+1}.

6. Αποδείξτε ότι η απεικόνιση f : SU(n) × S¹ → U(n) με τύπο f(A,u) = Aσ(u), όπου σ(u) = , είναι αμφιδιαφόριση.

(ϒπόδειξη. Για το επί υπολογίστε την ορίζουσα της εικόνας.)

7. Αναζητήστε στην εργασία [7] ή σε άλλες πηγές τον ορισμό και μερικές ιδιότητες της νηματοποίησης του Hopf (Hopf fibration). Η απεικόνιση αυτή ορίζεται ως h : S³ → S², h(z,w) = (2zw,|z|² -|w|²), (όπου S³ ⊂ ℝ⁴ℂ²). Ισχύει ότι h^-1(q) = S¹ για κάθε q ∈ S². Η πιο σημαντική της ιδιότητα είναι ότι μέσω της απεικόνισης αυτής η σφαίρα S³ είναι δυνατόν να εκφραστεί ως ένωση κύκλων S¹, ξένων μεταξύ τους.

8. Αποδείξτε ότι για κάθε a ∈ G η απεικόνιση L_a : G → G, L_a(g) = ag είναι αμφιδιαφόριση.

9. ΄Εστω G μια ομάδα Lie και H μια υποομάδα της G η οποία είναι κανονική υποπολλαπλότητα της G. Αποδείξτε ότι η H είναι μια υποομάδα Lie της G.

10. ΄Εστω G μια ομάδα πινάκων με άλγεβρα Lie 𝔤. Αποδείξτε ότι για κάθε g ∈ G

11. ΄Εστω λ ένας άρρητος αριθμός και έστω

(ϒπόδειξη. Αποδείξτε ότι το G είναι πυκνό στην U(1).)

12. ΄Εστω λ ένας άρρητος αριθμός και έστω η απεικόνιση

Συνεπώς, η εικόνα f(G) ενός ομομορφισμού f : G → H ομάδων Lie, δεν είναι γενικά μια κανονική υποπολλαπλότητα της H ([4]).

13. Αποδείξτε ότι T_I(U(n)) = {X ∈ M_n(ℂ) : X^t = -X}, το σύνολο όλων των n × n αντιερμητιανών πινάκων.

14. ΄Εστω Sp(n) = {A ∈ U(2n) : A^tJ = JA^-1}, όπου J = . Αποδείξτε ότι T_I(Sp(n) = {X ∈ M_2n(ℂ) : X^t = -X, X^tJ + JX = 0}.

15. ΄Εστω u,υ ∈ T_eG με X^u,X^υ τα αντίστοιχα αριστερά αναλλοίωτα διανυσματικά πεδία. Αποδείξτε ότι

16. Βρείτε όλα τα αριστερά αναλλοίωτα διανυσματικά πεδία στον ℝⁿ και στον μοναδιαίο κύκλο S¹.

17. Θεωρούμε το σύνολο πινάκων της μορφής

(α) Το σύνολο H είναι μια λεία πολλαπλότητα αμφιδιαφορική με τον ℝ³.

(β) Το H με πράξη πολλαπλασιασμό πινάκων είναι μια ομάδα Lie.

(γ) Το σύνολο {,,x + } αποτελεί μια βάση της άλγεβρας Lie 𝔥 της H.

(δ) Βρείτε την άλγεβρα Lie της H.

(ε) Βρείτε την εκθετική απεικόνιση της H.

(ϒποδείξεις: Για το (γ): Επειδή dimH = 3, αρκεί να δειχθεί ότι τα διανυσματικά αυτά πεδία είναι γραμμικώς ανεξάρτητα (που είναι άμεσο) και ότι είναι αριστερά αναλλοίωτα διανυσματικά πεδία της H. Για το (δ): Βρείτε τον εφαπτόμενο χώρο στο ουδέτερο. Αυτός αποτελείται από τους αυστηρά άνω τριγωνικούς πίνακες.)

18. Αποδείξτε ότι ο πίνακας δεν μπορεί να εκφραστεί ως e^A για κάποιον πίνακα A ∈ GL_nℝ. Συνεπώς, η εκθετική απεικόνιση γενικά δεν είναι επί.

Βιβλιογραφία