Κεφάλαιο 2
Λείες πολλαπλότητες

Σύνοψη
Παρουσιάζουμε τον ορισμό μιας λείας (διαφορικής) πολλαπλότητας και αναλύουμε δύο βασικά παραδείγματα, την μοναδιαία σφαίρα και τον προβολικό χώρο. Στη συνέχεια, μελετάμε την έννοια της διαφορισιμότητας μιας συνάρτησης μεταξύ δύο πολλαπλοτήτων και το θεώρημα αντίστροφης συνάρτησης για πολλαπλότητες. Οι βασικές αναφορές είναι τα βιβλία [1], [7] και [15].

Προαπαιτούμενη γνώση
Διαφορικός Λογισμός μιας και πολλών μεταβλητών, Βασική Γραμμική Άλγεβρα, Γενική Τοπολογία.

2.1 Λείες πολλαπλότητες

Μια λεία πολλαπλότητα είναι ένα γεωμετρικό αντικείμενο με την ιδιότητα σε κάθε σημείο του να υπάρχει μια περιοχή (που θα ονομάζεται χάρτης) ομοιομορφική με ένα ανοικτό υποσύνολο του ℝⁿ. Οι πολλαπλότητες αποτελούν γενίκευση των καμπυλών και επιφανειών σε μεγαλύτερες διαστάσεις.

Χρειάστηκαν αρκετά χρόνια μέχρι η έννοια της πολλαπλότητας να πάρει τη σημερινή της μορφή. Οι πρώτοι σπόροι της ιδέας βρίσκονται στην εργασία του C. F. Gauss: Disquisitiones generales circa superficies curvas (General Investigations of Curves Surfaces), Commentat. Soc. Göttingensis VI (1827). Στη συνέχεια, ο B. Riemann στην περίφημη ομιλία του στο Göttengen με τίτλο Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen (On the hypotheses that underlie geometry), Habilitation-schrift 1854; Gött. Abh. Ges. Wiss. 13 (1867) (μεταφρ. Θ. Χριστακόπουλος Επί των Σχετικών με τη Γεωμετρία ϒποθέσεων, Εκδ. Τροχαλία 1999), έθεσε το θέμα της διαφορικής γεωμετρίας για οποιαδήποτε διάσταση. Ο Riemann χρησιμοποίησε τη λέξη Mannigfaltigkeit (manifold), για να περιγράψει τα αντικείμενα μελέτης του, όρο που διατήρησε ο H. Poincaré κατά την ανάπτυξη της θεωρίας ομολογίας στο τέλος του 19ου αιώνα. Ο σύγχρονος ορισμός της πολλαπλότητας, χρησιμοποιώντας όρους συνολοθεωρητικής τοπολογίας και συναρτήσεις αλλαγής συντεταγμένων, δόθηκε από τους O. Veblen και J.H.C. Whitehead A set of axioms of differential qeometry, Proceedings of the National Academy of Sciences 17(10)(1931) 551–561 (βλ. και των ιδίων The Foundations of Differential Geometry, Cambridge Univ. Press, 1932).

Μερικοί λόγοι για τους οποίους χρειαζόμαστε την έννοια της πολλαπλότητας είναι οι εξής:

1. ΄Οπως αναφέραμε παραπάνω, πολλά γνωστά μας γεωμετρικά αντικείμενα είναι πολλαπλότητες, π.χ. η σφαίρα, ο δακτύλιος (torus) κ.ά.. Γενικά μια κανονική επιφάνεια στον ℝ³ είναι μια πολλαπλότητα διάστασης 2.
2. Η ακριβής περιγραφή των χώρων φάσεων φυσικών αντικειμένων απαιτεί την χρήση πολλαπλοτήτων. Για παράδειγμα, οι δυνατές θέσεις ενός αεροσκάφους περιγράφονται από πέντε αριθμούς, τρείς για τις συντεταγμένες θέσης του και δύο (γωνίες του Euler) για τον προσανατολισμό του. Οριζεται έτσι μια πολλαπλότητα διάστασης 5.
3. Το πεδίο ορισμού της λύσης μιας συνήθους διαφορικής εξίσωσης είναι πολλές φορές μια πολλαπλότητα. Για παράδειγμα, το πεδίο ορισμού μιας εκ των λύσεων μιας μιγαδικής συνήθους διαφορικής εξίσωσης είναι μια επιφάνεια Riemann (πολλαπλότητα διάστασης 2).
4. Πολλές γεωμετρικές έννοιες έχουν δομή πολλαπλότητας. Για παράδειγμα, η ομάδα των στροφών (ως μετασχηματισμός) του ℝ³ είναι μια πολλαπλότητα διάστασης 3. Χρειαζόμαστε δύο παραμέτρους για τον καθορισμό του άξονα περιστροφής και μια παράμετρο για τη γωνία περιστροφής

ϒπάρχουν διάφορα ήδη πολλαπλοτήτων, όπως τοπολογικές πολλαπλότητες, πολλαπλότητες κλάσης C^k, αναλυτικές πολλαπλότητες, μιγαδικές πολλαπλότητες. Στο βιβλίο αυτό ενδιαφερόμαστε για τις λείες ή διαφορικές πολλαπλότητες, οι οποίες είναι τοπολογικές πολλαπλότητες εφοδιασμένες με έναν μεγιστικό λείο άτλαντα.

Το ζεύγος (U,φ) ονομάζεται τοπικός χάρτης (local chart) ή τοπικό σύστημα συντεταγμένων (local coordinate system) στο p.

Σχήμα 2.1: Τοπικός χάρτης (U,φ) της πολλαπλότητας M στο σημείο p ∈ M.

Η συνθήκη της τοπικά Ευκλείδειας δομής είναι απαραίτητη προκειμένου να ορίσουμε διαφορισιμότητα συναρτήσεων ορισμένων σε μια πολλαπλότητα. Αυτό θα γίνει χρησιμοποιώντας τη διαφορισιμότητα συναρτήσεων μεταξύ ανοικτών υποσυνόλων του ℝⁿ (όπως την γνωρίζουμε από τον απειροστικό λογισμό).

Αν πⁱ : ℝⁿ → ℝ είναι οι κανονικές προβολές (i = 1,…,n) τότε οι συναρτήσεις xⁱ = πⁱ ∘φ : U ⊂ M → φ(U) → ℝⁿ ονομάζονται τοπικές συντεταγμένες στο p ∈ U.

Προκειμένου η διάσταση μιας τοπολογικής πολλαπλότητας να είναι καλώς ορισμένη, πρέπει να ισχύει ότι αν n≠m, τότε κάθε ανοικτό υποσύνολο του ℝⁿ δεν είναι ομοιομορφικό με ένα ανοικτό υποσύνολο του ℝ^m. Αυτό είναι ένα δύσκολο αποτέλεσμα, γνωστό ως θεώρημα του αναλλοίωτου της διάστασης. ΄Ενα ανάλογο αποτέλεσμα όμως για λείες πολλαπλότητες είναι πιο εύκολο να αποδειχθεί (και θα το δούμε αργότερα).

Η Ιδιότητα 2 αναφέρεται ως η λεία συμβατότητα των χαρτών (U_α,φ_α) και (U_β,φ_β). Οι συναρτήσεις φ_α ∘ φ_β^-1,φ_β ∘ φ_α^-1 ονομάζονται συναρτήσεις αλλαγής συντεταγμένων.

Σχήμα 2.2: Συναρτήσεις αλλαγής συντεταγμένων φ_α ∘ φ_β^-1 των χαρτων (U_α,φ_α) και (U_β,φ_β).

Η σχέση συμβατότητας μεταξύ δύο χαρτών είναι προφανώς ανακλαστική και συμμετρική, αλλά δεν είναι μεταβατική. Παρ΄ όλα αυτά, αν ορίσουμε ένας χάρτης (U,φ) να είναι συμβατός με έναν άτλαντα , εάν είναι συμβατός με όλους τους χάρτες (U_α,φ_α) του άτλαντα, τότε ισχύει το εξής:

΄Ενας άτλαντας A σε έναν τοπικά Ευκλείδειο χώρο ονομάζεται μεγιστικός άτλαντας (maximal atlas) εάν δεν περιέχεται σε κάποιον μεγαλύτερο άτλαντα. Δηλαδή, αν B είναι ένας άλλος άτλαντας που περιέχει τον A, τότε A = B.

Μια λεία πολλαπλότητα διάστασης 1 ονομάζεται λεία καμπύλη και μια πολλαπλότητα διάστασης 2 λεία επιφάνεια. ΄Οταν θα γράφουμε πολλαπλότητα θα εννοούμε λεία πολλαπλότητα. Θα αποδείξουμε αργότερα ότι, αν ένα ανοικτό υποσύνολο U του ⊂ ℝⁿ είναι αμφιδιαφορικό με ένα ανοικτό V ⊂ ℝ^m τότε m = n, συνεπώς η διάσταση μιας λείας πολλαπλότητας είναι καλώς ορισμένη.

Για να αποδείξουμε ότι μια τοπολογική πολλαπλότητα M είναι μια λεία πολλαπλότητα, αρκεί να κατασκευάσουμε κάποιον άτλαντα και όχι απαραίτητα έναν μεγιστικό άτλαντα. Πράγματι, ισχύει το εξής:

Παραδείγματα.
1. Ο Ευκλείδειος χώρος ℝⁿ καλύπτεται με έναν μόνο χάρτη U = ℝⁿ,φ = Id_ℝⁿ, άρα είναι μια πολλαπλότητα διάστασης n.

2. ΄Εστω M μια πολλαπλότητα διάστασης n με άτλαντα (U_α,φ_α) : α ∈ I και έστω V ένα ανοικτό υποσύνολο της M. Τότε και το V είναι λεία πολλαπλότητα διάστασης n, αφού μπορούμε να ορίσουμε στο V έναν άτλαντα με περιορισμό των χαρτών (U_α,φ_α) στο V , δηλαδή (V ∩ U_α,φ_α|_{V ∩Uα}).

3. Σε μια πολλαπλότητα διάστασης μηδέν κάθε μονοσύνολο είναι ομοιομορφικό με τον ℝ⁰, άρα είναι ανοικτό. Συνεπώς, μια τέτοια πολλαπλότητα είναι ένα διακριτό σύνολο και λόγω του δεύτερου αξιώματος αριθμησιμότητας, το διακριτό αυτό σύνολο είναι αριθμήσιμο.

4. Η σφαίρα Sⁿ = {(x₁,…,x_n+1) ∈ ℝⁿ⁺¹  :  ∑ _i=1ⁿ⁺¹x_i² = 1} είναι μια λεία πολλαπλότητα διάστασης n. Ας δούμε για ευκολία την σφαίρα S² = {(x₁,x₂,x₃) ∈ ℝ³  :  x₁² + x₂² + x₃² = 1}. ΄Εστω N = {(0,0,1)} και S = {(0,0,-1)} ο βόρειος και νότιος πόλος αντίστοιχα. Ορίζουμε δύο χάρτες (U,φ),(V,ψ) της S² ως εξής: U = S² \{N},V = S² \{S} και

Σχήμα 2.3: Στερεογραφική προβολή φ(p) του σημείου p ∈ S² του άνω ημισφαιρίου.

οι στερεογραφικές προβολές. Οι απεικονίσεις φ,ψ είναι 1 - 1 με αντίστροφες τις

5. Το καρτεσιανό γινόμενο M × N δύο πολλαπλοτήτων M και N είναι λεία πολλαπλότητα. Ως αποτέλεσμα, ο δακτύλιος (torus) S¹ × S¹ = T² και ο κύλινδρος S¹ × ℝ είναι λείες πολλαπλότητες.

Σχήμα 2.4: Ο δακτύλιος T² = S¹ × S¹ ⊂ ℝ³.

6. Το σύνολο M_m×n(ℝ) όλων των m × n πραγματικών πινάκων είναι ένας διανυσματικός χώρος διάστασης mn. Ως τοπολογικός χώρος είναι ομοιομορφικός με τον ℝ^mn, άρα σύμφωνα με το Παράδειγμα 1 είναι πολλαπλότητα διάστασης mn.

7. Το σύνολο Gl_nℝ = {A ∈ M_n×n(ℝ)  :  det(A)≠0} = det^-1(ℝ \{0}) είναι ένα ανοικτό υποσύνολο του M_n×n(ℝ) = M_nℝ, άρα σύμφωνα με το Παράδειγμα 2. είναι πολλαπλότητα διάστασης n². Το σύνολο Gl_nℝ είναι επιπλέον μια ομάδα (με πράξη το γινόμενο πινάκων) και ονομάζεται γενική γραμμική ομάδα (general linear group). Παρόμοια ορίζεται η μιγαδική γενική γραμμική ομάδα Gl_nℂ η οποία είναι μια πολλαπλότητα διάστασης 2n².

8. Το σύνολο SO(n) = {A ∈ M_nℝ  :  AA^t = I_n,detA = 1} ονομάζεται ειδική ορθογώνια ομάδα (special linear group). Αποδεικνύεται ότι το σύνολο SO(n) είναι μια λεία πολλαπλότητα διάστασης n(n - 1)∕2. Θα το εξηγήσουμε αυτό αργότερα χωρίς την αναλυτική περιγραφή χαρτών. Προτρέπουμε τον αναγνώστη να αναζητήσει στη βιβλιογραφία την ονομαζόμενη παραμετρικοποίηση του Cayley της ορθογώνιας ομάδας O(n) = {A ∈ M_nℝ  :  AA^t = I_n}. Μπορούμε να δούμε κάποιες απλές περιπτώσεις:

• α)  n = 1. Το σύνολο SO(1) = {1} είναι πολλαπλότητα διάστασης 0.
• β)  n = 2. Με απλό υπολογισμό προκύπτει ότι
  
  συνεπώς η ομάδα SO(2) είναι ομοιομορφική με τον κύκλο S¹, άρα είναι πολλαπλότητα διάστασης 1.
• γ)  n = 3. Η ομάδα SO(3) είναι πιο περίπλοκη στην περιγραφή. Γεωμετρικά κάθε στοιχείο της SO(3) παριστά μια στροφή στον ℝ³ κατά γωνία θ περί μια ευθεία που διέρχεται από την αρχή. Επειδή η ευθεία αυτή καθορίζεται από δύο γωνίες φ και ψ, μπορούμε κάπως διαισθητικά να πούμε ότι η SO(3) είναι μια πολλαπλότητα διάστασης 3. Οι γωνίες θ,φ και ψ είναι γνωστές και ως γωνίες Euler.

9. ΄Εστω A ⊂ ℝⁿ και μια συνάρτηση f : A → ℝ^m. Το γράφημα της f είναι το υποσύνολο του A × ℝ^m,

Το επόμενο παράδειγμα είναι ιδιαίτερα σημαντικό, γιαυτό θα το εξετάσουμε χωριστά.

2.1.1 Ο πραγματικός προβολικός χώρος

ϒπενθυμίζουμε κάποια θέματα από τη γενική τοπολογία, για τα οποία παραπέμπουμε στα βιβλία [3], [10] και [16]. ΄Εστω ~ μια σχέση ισοδυναμίας σε ένα σύνολο M. Η κλάση ισοδυναμίας [x] του x ∈ M αποτελείται από όλα τα στοιχεία του M που είναι ισοδύναμα με το x. Μια σχέση ισοδυναμίας στο σύνολο M διαμερίζει το M σε κλάσεις ισοδυναμίας ξένες μεταξύ τους. Το σύνολο όλων των κλάσεων ισοδυναμίας συμβολίζεται με M∕ ~ και ονομάζεται σύνολο πηλίκο του M μέσω της σχέσης ισοδυναμίας ~. Η απεικόνιση π : M → M∕ ~, x[x], ονομάζεται κανονική προβολή.

ϒποθέτουμε τώρα ότι το M είναι ένας τοπολογικός χώρος και έστω ~ μια σχέση ισοδυναμίας στον M. Η τοπολογία πηλίκο (quotient topology) στο M∕ ~ ορίζεται ως η τοπολογία για την οποία ένα σύνολο U στο M∕ ~ είναι ανοικτό, εάν και μόνο εάν το π^-1(U) είναι ανοικτό στον M. Ο τοπολογικός χώρος M∕ ~ ονομάζεται χώρος πηλίκο (quotient space) και η προβολή π : M → M∕ ~ γίνεται αυτομάτως συνεχής απεικόνιση. Μια σχέση ισοδυναμίας ~ σε έναν τοπολογικό χώρο M ονομάζεται ανοικτή, εάν η προβολή π : M → M∕ ~ είναι ανοικτή απεικόνιση.² Το γράφημα μιας σχέσης ιδοσυναμίας ~ στον M είναι το υποσύνολο R = {(x,y) ∈ M ×M : x ~ y} του M ×M. Ισχύουν τα εξής:

Ερχόμαστε τώρα στον ορισμό του προβολικού χώρου. Ορίζουμε στο σύνολο ℝⁿ⁺¹ \{0} μια σχέση ισοδυναμίας ~ ως εξής: Για x,y ∈ ℝⁿ⁺¹ \{0}

Γεωμετρικά, δύο μη μηδενικά σημεία του ℝⁿ⁺¹ είναι ισοδύναμα εάν και μόνο εάν ανήκουν στην ίδια ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων, συνεπώς ο προβολικός χώρος μπορεί να θεωρηθεί ως το σύνολο όλων των ευθειών που διέρχονται από την αρχή των αξόνων του ℝⁿ⁺¹. Κάθε τέτοια ευθεία τέμνει τη μοναδιαία σφαίρα Sⁿ σε ένα ζεύγος αντιποδικών σημείων. Αντίστροφα, κάθε ζεύγος αντιποδικών σημείων της Sⁿ ορίζει μία και μοναδική ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων του ℝⁿ⁺¹. Ορίζοντας μια σχέση ισοδυναμίας ~ στην Sⁿ ταυτοποιώντας αντιποδικά της σημεία ως

Σχήμα 2.5: Μια ευθεία που διέρχεται από το 0 ∈ ℝ³ ορίζει ένα ζεύγος αντιποδικών σημείων στην S².

Λόγω της Πρότασης 2.2 ο πραγματικός προβολικός χώρος είναι χώρος Hausdorff και έχει αριθμήσιμη βάση. Θα ορίσουμε τώρα σε αυτόν έναν λείο άτλαντα. ΄Εστω

2.2 Λείες απεικονίσεις

Η έννοια της διαφορισιμότητας μιας απεικόνισης μεταξύ Ευκλειδείων χώρων μπορεί να επεκταθεί σε πολλαπλότητες.

Παρατηρήσεις.
1. Ο παραπάνω ορισμός δεν εξαρτάται από την επιλογή του χάρτη (U,φ). Πράγματι, εάν (V,ψ) είναι ένας άλλος χάρτης στο p ∈ M, τότε στο σύνολο ψ(U ∩ V ) θα έχουμε ότι

2. Μια λεία συνάρτηση f : M → ℝ στο p είναι και συνεχής στο p. Πράγματι, επειδή η f ∘ φ^-1 : φ(U) → ℝ είναι διαφορίσιμη στο φ(p) το οποίο ανήκει σε ένα ανοικτό υποσύνολο του ℝⁿ, θα είναι και συνεχής στο φ(p). Συνεπώς, η f = (f ∘ φ^-1) ∘ φ θα είναι συνεχής στο p ως σύνθεση συνεχών απεικονίσεων.

Η παρακάτω πρόταση δείχνει ότι για να αποδείξουμε ότι μία συνάρτηση είναι λεία αρκεί να χρησιμοποιήσουμε τους χάρτες ενός μόνο άτλαντα.

Ερχόμαστε τώρα στον ορισμό μια λείας συνάρτησης μεταξύ δύο πολλαπλοτήτων.

Σχήμα 2.6: Τοπική αναπαράσταση ψ ∘ f ∘ φ^-1 της απεικόνισης f : M → N μεταξύ πολλαπλοτήτων.

΄Οπως και για την περίπτωση μιας πραγματικής συνάρτησης f : M → ℝ, ο ορισμός δεν εξαρτάται από την επιλογή των χαρτών (άσκηση). Γενικεύοντας την Πρόταση 2.3 προκύπτει ο εξής χαρακτηρισμός λείων συναρτήσεων:

Αφήνουμε ως ασκήσεις τις παρακάτω προτάσεις.

Παραδείγματα.
1. ΄Εστω f : S² → ℝ, f(x,y,z) = z η συνάρτηση ύψους (height function). Θα δείξουμε ότι αυτή είναι λεία. Χρησιμοποιούμε τους χάρτες (U,φ) και (V,ψ) της στερεογραφικής προβολής και πρέπει να δείξουμε ότι οι απεικονίσεις f ∘ φ^-1 και f ∘ ψ^-1 είναι λείες. Πράγματι,

2. ΄Εστω M και N δύο πολλαπλότητες και π : M × N → M, π(p,q) = p η προβολή στον πρώτο παράγοντα του γινομένου. Τότε η π είναι λεία. Πράγματι, έστω (p,q) ∈ M ×N ένα τυχαίο σημείο και έστω (U,φ = (x¹,…,x^m)), (V,ψ = (y¹,…,yⁿ)) συστήματα συντεταγμέων στα p και q αντίστοιχα. Τότε λόγω της ΄Ασκησης 3 το ζεύγος (U × V,φ × ψ) = (U × V ;x¹,…,x^m,y¹,…,yⁿ) είναι ένα σύστημα συντεταγμένων στο σημείο (p,q). Η τοπική αναπαράσταση της π είναι

3. Μια ομάδα Lie είναι μια λεία πολλαπλότητα G που είναι επιλέον ομάδα, τέτοια ώστε οι πράξεις μ : G×G → G του πολλαπλασιασμού και i : G → G, i(x) = x^-1 της αντιστροφής να είναι λείες. Μερικά παραδείγματα ομάδων Lie είναι ο Ευκλείδειος χώρος ℝⁿ με πράξη την πρόσθεση, το σύνολο ℂ^* των μη μηδενικών μιγαδικών αριθμών με πράξη τον πολλαπλασιασμό, ο μοναδιαίος κύκλος S¹ ⊂ ℂ , καθώς και η γενική γραμμική ομάδα Gl_nℝ όλων των n×n πραγματικών αντιστρέψιμων πινάκων. Θα μελετήσουμε τη σημαντική αυτή κατηγορία πολλαπλοτήτων στο Κεφάλαιο 7.

Γενικεύοντας την ΄Ασκηση 1 στην μοναδιαία σφαίρα Sⁿ ⊂ ℝⁿ, μπορούμε να ορίσουμε σε αυτήν μια διαφορική δομή, η οποία ονομάζεται κανονική διαφορική δομή. ΄Ενα από τα πιο αναπάντεχα αποτελέσματα της τοπολογίας ήταν η ανακάλυψη το 1956 από τον John Milnor ([9]) κάποιων λείων πολλαπλοτήτων, οι οποίες είναι ομοιομορφικές, αλλά δεν είναι αμφιδιαφορικές με την σφαίρα S⁷, εφοδιασμένη με την κανονική διαφορική δομή. Οι σφαίρες αυτές ονομάζονται εξωτικές σφαίρες (exotic spheres). Το 1963 οι Michel Kervaire και John Milnor ([5]) απέδειξαν ότι υπάρχουν ακριβώς 28 διαφορικές δομές στην σφαίρα S⁷, οι οποίες δεν είναι αμφιδιαφορικές μεταξύ τους. Επίσης, ο Michel Kervaire απέδειξε ότι υπάρχουν τοπολογικές πολλαπλότητες που δεν επιδέχονται καμμία διαφορική δομή ([4]).

Αποδεικνύεται ότι για διαστάσεις μικρότερες του 4 κάθε τοπολογική πολλαπλότητα επιδέχεται μια και μοναδική διαφορική δομή. Για διαστάσεις μεγαλύτερες του 4 κάθε συμπαγής τοπολογική πολλαπλότητα επιδέχεται έναν πεπερασμένο αριθμό διαφορικών δομών. Η διάσταση 4 παραμένει ένα μυστήριο. Για παράδειγμα, δεν είναι γνωστό κατά πόσον η σφαίρα S⁴ επιδέχεται έναν πεπερασμένο ή άπειρο αριθμό διαφορικών δομών. Η πρόταση αυτή είναι γνωστή ως η λεία εικασία του Poincaré. Παρεμπιπτόντως, η εικασία του Poincaré, η οποία απεδείχθη από τον Grigori Perelman σε τρεις εργασίες το 2002 και 2003 ([11], [12], [13]), αναφέρει ότι κάθε κλειστή, απλά συνεκτική πολλαπλότητα διάστασης 3 είναι ομοιομορφική με την σφαίρα S³.

2.2.1 Το θεώρημα αντίστροφης συνάρτησης

Θα μεταφέρουμε την έννοια της μερικής παραγαγώγου από έναν Ευκλείδειο χώρο σε ένα τοπικό σύστημα συντεταγμένων μιας πολλαπλότητας, ώστε να γενικεύσουμε το κλασικό θεώρημα αντίστροφης συνάρτησης. Χρησιμοποιώντας το θεώρημα αυτό θα μπορούμε να δώσουμε ένα απλό κριτήριο πότε ένα σύνολο λείων (πραγματικών) απεικονίσεων αποτελούν ένα σύστημα συντεταγμένων στην περιοχή ενός σημείου της πολλαπλότητας. Επιπλέον, σε αρκετές περιπτώσεις, θα μπορούμε να αποδεικνύουμε ευκολότερα ότι ένα σύνολο είναι μια λεία πολλαπλότητα.

΄Εστω f μια λεία (πραγματική) συνάρτηση ορισμένη σε έναν χάρτη (U,φ = (x¹,…,xⁿ)) μιας πολλαπλότητας M και έστω p ∈ U. Συμβολίζουμε με u¹,…,uⁿ τις συντεταγμένες του ℝⁿ. Τότε η συνάρτηση f ∘ φ^-1 : (u¹,…,uⁿ) → f(φ^-1(u¹,…,uⁿ)) ορίζεται στο ανοικτό φ(U) που περιέχει το φ(p), άρα ορίζονται οι συνήθεις περικές παράγωγοι

Οι μερικές παράγωγοι σε μια πολλαπλότητα ικανοποιούν την εξής ιδιότητα, αντίστοιχη των μερικών παραγώγων των συναρτήσεων συντεταγμένων του ℝⁿ.

Απόδειξη. ΄Εστω p ∈ U. Τότε εξ ορισμού της μερικής παραγώγου έχουμε ότι

▄

Μια λεία απεικόνιση f : M → N ονομάζεται τοπικά αντιστρέψιμη ή τοπική αμφιδιαφόριση σε ένα σημείο p ∈ M, εάν υπάρχει μια περιοχή του p, στην οποία η απεικόνιση _U : U → f(U) να είναι αμφιδιαφόριση. Το κλασικό θεώρημα αντίστροφης συνάρτησης αναφέρει το εξής ([8], [14]):

Λόγω του τοπικού χαρακτήρα το θεώρημα γενικεύεται εύκολα σε πολλαπλότητες.

Απόδειξη. Ο Ιακωβιανός πίνακας της f ως προς τους χάρτες (U,φ) και (V,ψ) είναι

ο οποίος είναι ο Ιακωβιανός πίνακας στο σημείο φ(p), της απεικόνισης ψ∘f ∘φ^-1 : ℝⁿ ⊃ φ(U) → ψ(V ) ⊂ ℝⁿ, μεταξύ ανοικτών υποσυνόλων του ℝⁿ. Λόγω του θεωρήματος της αντίστροφης απεικόνισης στον ℝⁿ, θα ισχύει εάν και μόνο εάν η ψ ∘ f ∘ φ^-1 είναι τοπικά αντιστρέψιμη στο φ(p). Επειδή οι συναρτήσεις φ και ψ είναι αμφιδιαφορίσεις, το τελευταίο συμπέρασμα ισοδυναμεί με το ότι η f είναι τοπικά αντιστρέψιμη στο p. ▄

Η βασική εφαρμογή του παραπάνω θεωρήματος στην περίπτωση των πολλαπλοτήτων είναι στο να αποφασίσουμε κατά πόσον ένα σύνολο που περιέχει n λείες συναρτήσεις f¹,…,fⁿ σε μια περιοχή ενός σημείου p μιας πολλαπλότητας M διάστασης n, αποτελούν ένα τοπικό σύστημα συντεταγμένων στο p, ενδεχομένως σε μια μικρότερη περιοχή.

Παράδειγμα 2.1: Θεωρούμε τη συνάρτηση f : ℝ² → ℝ², f(x,y) = (x² +y² -1,x). Λόγω του θεωρήματος αντίστροφης απεικόνισης, η f είναι μια τοπική αμφιδιαφόριση στο p = (x,y) εάν και μόνο εάν

Συνεπώς, οι συναρτησεις f¹ = x² + y² - 1 και f² = x είναι δυνατόν να αποτελέσουν ένα σύστημα συντεταγμένων για οποιοδήποτε σημείο p ∈ ℝ², εκτός των σημείων που βρίσκονται στον άξονα x.

2.3 Ασκήσεις

1. Θεωρούμε την σφαίρα S² = {(x,y,z) ∈ ℝ³  : x² + y² + z² = 1} και ορίζουμε έξι χάρτες σε αυτήν που αντιστοιχούν στα έξι ημισφαίρια (μπρος, πίσω, άνω, κάτω, δεξιά αριστερά) ως εξής:

Σχήμα 2.7: ΄Εξι χάρτες της μοναδιαίας σφαίρας S².

Αποδείξτε ότι ο άτλαντας {(U₁,φ₁),…,(U₆,φ₆)} εφοδιάζει την σφαίρα S² με δομή λείας πολλαπλότητας διάστασης 2. Προσαρμόστε το παράδειγμα αυτό για την περίπτωση του κύκλου S¹ = {(x,y) ∈ ℝ²  :  x² + y² = 1}.

2. Χρησιμοποιήστε το Λήμμα 2.1 και αποδείξτε την Πρόταση 2.1.

3. ΄Εστω M και N λείες πολλαπλότητες. Είναι γνωστό από τη γενική τοπολογία ότι το καρτεσιανό γινόμενο M ×N εφοδιασμένο με την τοπολογία γινόμενο είναι χώρος Hausdorff και έχει αριθμήσιμη βάση. Κατασκευάστε έναν άτλαντα στον M ×N ως εξής: Για δύο απεικονίσεις f : X → X′ και g : Y → Y ′ ορίζουμε το γινόμενό τους ως

4. Αποδείξτε τις Προτάσεις 2.6 και 2.7.

5. Θεωρούμε τους παρακάτω δύο χάρτες του μοναδιαίου κύκλου S¹ = {e^it : t ∈ [0,2π]}⊂ ℂ:

Σχήμα 2.8: Οι χάρτες (φ₁,U₁), (φ₂,U₂) του κύκλου S¹ ⊂ ℂ.

Αποδείξτε ότι οι χάρτες (U₁,ϕ₁) και (U₂,ϕ₂) είναι συμβατοί.

ϒπόδειξη: Βρείτε την τομή U₁ ∩ U₂ (αποτελείται από δύο συνεκτικές συνιστώσες), τις εικόνες ϕ₁(U₁ ∩ U₂), ϕ₂(U₁ ∩ U₂) (αποτελούνται από ένωση δύο διαστημάτων), καθώς και τις συναρτήσεις ϕ₂ ∘ ϕ₁^-1,ϕ₁ ∘ ϕ₂^-1.

6. ΄Εστω x = (x¹,…,xⁿ) ∈ ℝⁿ και ||x|| = . Αποδείξτε ότι η απεικόνιση

Σχήμα 2.9: Ο πραγματικός προβολικός χώρος ℝP² ως χώρος πηλίκο του κλειστού μοναδιαίου δίσκου D².

όπου ℍ = {(x,y,z) ∈ ℝ³ : x² + y² + z² = 1,z ≥ 0} και D² = {(x,y) ∈ ℝ² : x² + y² ≤ 1}.
Στο σύνολο ℍ η σχέση ισοδυναμίας ~ ορίζεται ταυτίζοντας τα αντιποδικά σημεία στον ισημερινό και στο D² η σχέση ισοδυναμίας ~ ορίζεται ταυτίζοντας αντιποδικά σημεία στο σύνορο του κύκλου.

Ο πραγματικός προβολικός χώρος ℝPⁿ δεν εμφυτεύεται ως υποπολλαπλότητα του ℝ³, εκτός εάν επιτρέψουμε να έχει αυτοτομές (self-intersections), οπότε τότε απλώς εμβαπτίζεται στον ℝ³ και η επιφάνεια που προκύπτει ονομάζεται επιφάνεια του Werner Boy ([2], [6]), (πρόβλημα που του είχε τεθεί από τον David Hilbert).

Σχήμα 2.10: Ο πραγματικός προβολικός χώρος ℝP² εμβαπτισμένος στον ℝ³ με αυτοτομές.

7. Είναι δυνατόν να καλυφθεί η σφαίρα S² με έναν μόνο χάρτη;

8. Αποδείξτε ότι ο πραγματικός προβολικός χώρος ℝPⁿ είναι συμπαγής τοπολογικός χώρος.

9. ΄Εστω f : M → N μια λεία συνάρτηση και έστω p ∈ M. Αν (U,φ) είναι ένας χάρτης στο p και (V,ψ) είναι ένας χάρτης στο f(p) ∈ N, αποδείξτε ότι η τοπική αναπαράσταση ψ ∘ f ∘ φ^-1 της f είναι διαφορίσιμη στο σημείο φ(p).

10. Θεωρούμε την πραγματική ευθεία ℝ με δύο μεγιστικούς άτλαντες, τον (ℝ,φ = Id : ℝ → ℝ) και τον (ℝ,ψ : ℝ → ℝ), όπου ψ(x) = x^1∕3. Δείξτε ότι οι δύο διαφορικές δομές είναι διαφορετικές μεταξύ τους, δηλαδή ότι η ταυτοτική απεικόνιση Id : (ℝ,φ) → (ℝ,ψ) δεν είναι αμφιδιαφόριση. Παρόλα αυτά, αποδείξτε ότι οι πολλαπλότητες (ℝ,φ) και (ℝ,ψ) είναι αμφιδιαφορικές.

11. Αποδείξτε ότι η απεικόνιση f : S² → S²,f(x,y,z) = (-x,y,z) είναι λεία.

12. Αποδείξτε ότι οι πολλαπλότητες S¹ και ℝP¹ είναι αμφιδιαφορικές.

Βιβλιογραφία