Κεφάλαιο 1
Ο Ευκλείδειος Χώρος

Σύνοψη
Ο Ευκλείδειος χώρος ℝⁿ αποτελεί το βασικό παράδειγμα μιας πολλαπλότητας, συνεπώς απαιτείται μια καλή κατανόηση της έννοιας της διαφορισιμότητας μιας συνάρτησης στον ℝⁿ, καθώς και αυτής του εφαπτόμενου διανύσματος. Οι έννοιες αυτές θα επεκταθούν αργότερα στις πολλαπλότητες. Θα μελετήσουμε εφαπτόμενα διανύσματα και διανυσματικά πεδία στον ℝⁿ ως παραγωγίσεις. Επιπλέον, θα περιγράψουμε τα δυϊκά αντικείμενα των διανυσματικών πεδίων που είναι οι διαφορικές μορφές. Χρησιμοποιώντας διαφορικές μορφές είναι δυνατόν να δοθεί μια ενοποιημένη παρουσίαση των θεμελιωδών θεωρημάτων του διανυσματικού λογισμού. Οι βασικές αναφορές μας είναι τα βιβλία [1], [2], [4], [5], [7] και [8]. Για πιο προχωρημένη άποψη παραπέμπουμε στα βιβλία [3] και [6].

Προαπαιτούμενη γνώση
Διαφορικός Λογισμός μιας και πολλών μεταβλητών, Βασική Γραμμική Άλγεβρα.

1.1 Λείες συναρτήσεις σε Ευκλείδειο χώρο

Θεωρούμε τον Ευκλείδειο χώρο ℝⁿ και γράφουμε τις συντεταγμένες του ως x¹,…,xⁿ. Για την περίπτωση των ℝ² και ℝ³ γράφουμε x,y και x,y,z αντίστοιχα. ΄Εστω p = (p¹,…,pⁿ) ένα σημείο σε ένα ανοικτό υποσύνολο U του ℝⁿ.

Ορισμός 1.1: ΄Εστω k ένας μη αρνητικός ακέραιος. Μια πραγματική συνάρτηση f : U → ℝ ονομάζεται κλάσης C^k στο p ∈ U, εάν οι μερικές παράγωγοι

όλων των τάξεων j ≤ k υπάρχουν και είναι συνεχείς στο p. Η συνάρτηση f : U → ℝ ονομάζεται κλάσης C^∞ (ή λεία) στο p, εάν είναι κλάσης C^k για κάθε k ≥ 0. Μια διανυσματική συνάρτηση f : U → ℝ^m ονομάζεται κλάσης C^k στο p ∈ U, εάν όλες οι συνιστώσεις συναρτήσεις¹ f¹,…,f^m της f είναι κλάσης C^k στο p. Η f : U → ℝ^m ονομάζεται κλάσης C^k στο U εάν είναι κλάσης C^k σε κάθε σημείο p ∈ U. Παρόμοια, ορίζεται μια συνάρτηση f : U → ℝ^m να είναι C^∞ (ή λεία) στο U. Συμβολίζουμε με C^∞(U) το σύνολο όλων των λείων συναρτήσεων στο ανοικτό U.

Μια περιοχή ενός σημείου p ∈ ℝⁿ είναι ένα ανοικτό υποσύνολο του ℝⁿ το οποίο περιέχει το σημείο p. Στη μαθηματική ανάλυση συναντάμε και την έννοια της αναλυτικής συνάρτησης σε ένα σημείο p, ως την πραγματική συνάρτηση η οποία σε μια περιοχή του p ισούται με το ανάπτυγμα Taylor αυτής. Μια αναλυτική συνάρτηση είναι κλάσης C^∞, αλλά το αντίστοφο δεν ισχύει γενικά. ΄Ενα παράδειγμα είναι η συνάρτηση f : ℝ → ℝ με f(x) = e^-1∕x για x > 0 και f(x) = 0 για x ≤ 0. Εμείς θα χρειαστούμε το εξής θεώρημα Taylor με υπόλοιπο για συναρτήσεις κλάσης C^∞, για την απόδειξη του οποίου παραπέμπουμε σε βιβλία μαθηματικής ανάλυσης.

΄Ενα υποσύνολο του S του ℝⁿ ονομάζεται αστεροειδές ως προς ένα σημείο p ∈ S, εάν για κάθε x ∈ S το ευθύγραμμο τμήμα από το p στο x βρίσκεται ολόκληρο μέσα στο S.

Πρόταση 1.1: (Θεώρημα Taylor). ΄Εστω U ένα ανοικτό υποσύνολο του ℝⁿ το οποίο είναι αστεροειδές ως προς το σημείο p = (p¹,…,pⁿ) και έστω f : U → ℝ μια λεία (δηλ. κλάσης C^∞) συνάρτηση. Τότε υπάρχουν συναρτήσεις g₁(x),…g_n(x) ∈ C^∞(U) ώστε να ισχύει

1.2 Εφαπτόμενα διανύσματα στον ℝⁿ ως παραγωγίσεις

Στην στοιχειώδη διαφορική γεωμετρία ορίζουμε ένα εφαπτόμενο διάνυσμα σε ένα σημείο p μιας επιφάνειας M στον ℝ³ ως ένα σημείο του εφαπτόμενου επιπέδου της M στο p. Το εφαπτόμενο επίπεδο μπορεί να οριστεί διαισθητικά ως εξής: Θεωρούμε όλα τα επίπεδα που διέρχονται από τρία σημεία της επιφάνειας M. Καθώς τα τρία αυτά σημεία πλησιάζουν το σημείο p, εάν τα αντίστοιχα επίπεδα στα οποία βρίσκονται πλησιάζουν σε ένα οριακό επίπεδο έστω Π, τότε το επίπεδο Π ονομάζεται το εφαπτόμενο επίπεδο της M στο p. Ο ορισμός όμως αυτός προϋποθέτει ότι η επιφάνεια βρίσκεται εμφυτευμένη σε έναν Ευκλείδειο χώρο, συνεπώς δεν θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί για περιπτώσεις όπως το προβολικό επίπεδο, το οποίο δεν εμφυτεύεται σε κάποιον χώρο ℝⁿ. Χρειαζόμαστε λοιπόν μια άλλη οπτική για τα εφαπτόμενα διανύσματα του ℝⁿ, προκειμένου αυτά να γενικευθούν σε πολλαπλότητες. Η οπτική αυτή βρίσκεται στην έννοια της παραγώγου κατά κατεύθυνση.

1.2.1 Η παράγωγος κατά κατεύθυνση

Θεωρούμε τον εφαπτόμενο χώρο T_pℝⁿ σε ένα σημείο p ∈ ℝⁿ, ως τον διανυσματικό χώρο όλων των διανυσμάτων τα οποία έχουν αρχή το σημείο p. Λόγω της αντιστοιχίας μεταξύ διανυσμάτων και στηλών ενός n× 1 ή ενός n× 1 πίνακα, ο διανυσματικός χώρος ℝⁿ μπορεί να ταυτιστεί με τον εφαπτόμενο χώρο T_pℝⁿ. Για να διακρίνουμε μεταξύ σημείων και εφαπτόμενων διανυσμάτων, θα συμβολίζουμε ένα σημείο του ℝⁿ ως p = (p¹,…,pⁿ) και ένα διάνυσμα στον εφαπτόμενο χώρο T_pℝⁿ ως

Θεωρούμε την ευθεία στον ℝⁿ η οποία διέρχεται από το σημείο p = (p¹,…,pⁿ) και είναι παράλληλη προς το διάνυσμα υ = (υ¹,…,υⁿ). Η ευθεία αυτή έχει παραμέτρηση

(1.1)

Με τον τρόπο αυτό ορίζεται η απεικόνιση

1.2.2 Σπόροι συναρτήσεων

Εάν δύο συναρτήσεις παίρνουν τις ίδιες τιμές σε μια περιοχή ενός σημείου p, τότε θα έχουν την ίδια παράγωγο κατά κατεύθυνση στο p. Αυτό μας οδηγεί στο να ορίσουμε μια σχέση ισοδυναμίας στο σύνολο όλων των λείων συναρτήσεων οι οποίες ορίζονται σε μια περιοχή του p. Συγκεκριμένα, έστω το σύνολο όλων των ζευγών (f,U), όπου U μια περιοχή του p και f : U → ℝ μια λεία συνάρτηση. Ορίζουμε την σχέση (f,U) ~ (g,V ), εάν υπάρχει ανοικτό W ⊂ U ∩ V το οποίο να περιέχει το p έτσι ώστε f|_W = g|_W . Εύκολα προκύπτει ότι η ~ είναι μια σχέση ισοδυναμίας. Η κλάση ισοδυναμίας του (U,f) ονομάζεται σπόρος (germ) της f στο p. Συμβολίζουμε με C_p^∞(ℝⁿ) ή απλώς C_p^∞ το σύνολο όλων των σπόρων των λείων συναρτήσεων στο p.

Παράδειγμα. Οι συναρτήσεις f(x) = με πεδίο ορισμού το ℝ \{-1} και g(x) = 1 - x + x² - x³ + με πεδίο ορισμού το διάστημα (-1,1) έχουν τον ίδιο σπόρο σε κάθε σημείο p ∈ (-1,1).

Οι πράξεις της πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού συναρτήσεων εφοδιάζουν το σύνολο C_p^∞ με τη δομή μιας (πραγματικής) άλγεβρας (βλ. ΄Ασκηση 2).

1.2.3 Παραγωγίσεις κατά σημείο

Η παράγωγος κατά κατεύθυνση ορίζει μια απεικόνιση D_υ : C_p^∞ → ℝ, fD_υf μεταξύ πραγματικών διανυσματικών χώρων, η οποία είναι γραμμική και λόγω της (1.1) ικανοποιεί τον κανόνα του Leibnitz

(1.2)

Γενικά μια γραμμική απεικόνιση D : C_p^∞→ ℝ η οποία ικανοποιεί τον κανόνα του Leibnitz (1.2) ονομάζεται παραγώγιση στο p ή παραγώγιση κατά σημείο στο σύνολο C_p^∞. Συμβολίζουμε με D_pℝⁿ το σύνολο όλων των παραγωγίσεων στο p. Το σύνολο αυτό αποτελεί έναν πραγματικό διανυσματικό χώρο (βλ. ΄Ασκηση 2).

΄Εχουμε λοιπόν ορίσει μια απεικόνιση

(1.3)

η οποία είναι προφανώς γραμμική (λόγω της γραμμικότητας της D_υ ως προς υ).

Απόδειξη. Λόγω της γραμμικότητας της D είναι D(c) = D(c ⋅ 1) = cD(1), άρα αρκεί να δείξουμε ότι D(1) = 0. Λόγω της (1.2) είναι

απ΄ όπου προκύπτει ότι D(1) = 0. ▄

Ορίζουμε το δέλτα του Kronecker ως

Το βασικό αποτέλεσμα είναι το εξής:

Απόδειξη. Αποδεικνύουμε αρχικά ότι η ϕ είναι 1 - 1. ΄Εστω ότι D_υ = 0 για κάποιο υ ∈ T_pℝⁿ. Τότε παραγωγίζοντας τις συναρτήσεις συντεταγμένων x^j (j = 1,…,n) έχουμε ότι

άρα υ = 0, οπότε η ϕ είναι 1-1. Αποδεικνύουμε τώρα ότι η ϕ είναι επί. ΄Εστω D μια παραγώγιση στο p και έστω (f,V ) ένας αντιπρόσωπος ενός σπόρου στο σύνολο C_p^∞. Επιλέγοντας το V όσο μικρό χρειάζεται, μπορούμε να υποθέσουμε ότι αυτό είναι μια ανοικτή μπάλλα, άρα ένα αστεροειδές σύνολο. Από το θεώρημα Taylor (Θεώρημα 1.1) υπάρχουν λείες συναρτήσεις g_i(x) σε μια περιοχή του p, έτσι ώστε να ισχύει Εφαρμόζοντας την παραγώγιση D και στα δύο μέλη της παραπάνω ισότητας προκύπτει ότι όπου λάβαμε υπόψη το Λήμμα 1.1 και τον κανόνα του Leibnitz (1.2). Από την ισότητα αυτή προκύπτει ότι D = D_v, όπου υ = (Dx¹,…,Dxⁿ). ▄

Λόγω του παραπάνω θεωρήματος μπορούμε να ταυτίζουμε τα εφαπτόμενα διανύσματα σε ένα σημείο p με τις παραγωγίσεις κατά σημείο. Μέσω του ισομορφισμού T_pℝⁿD_pℝⁿ, η κανονική βάση e₁,…,e_n του T_pℝⁿ αντιστοιχεί στο σύνολο των μερικών παραγώγων _p,…,_p. Συνεπώς, μπορούμε να γράφουμε ένα εφαπτόμενο διάνυσμα υ = ∑ υⁱe_i ως

(1.4)

1.2.4 Διανυσματικά πεδία

΄Ενα διανυσματικό πεδίο X σε ένα ανοικτό υποσύνολο U του ℝⁿ είναι μια συνεχής συνάρτηση η οποία αντιστοιχεί σε κάθε σημείο p ∈ U ένα εφαπτόμενο διάνυσμα X_p ∈ T_pℝⁿ. Λόγω της (1.4) το διάνυσμα αυτό γράφεται ως

΄Εστω F(U) ο δακτύλιος όλων των λείων συναρτήσεων στο U. Τότε για f ∈ F(U) και X ∈ X(U) ορίζουμε το λείο διανυσματικό πεδίο fX με τιμή

Αν X ∈ X(U) και f ∈ F(U) τότε ορίζουμε τη συνάρτηση Xf : U → ℝ με τύπο

Εάν A είναι μια άλγεβρα επί ενός σώματος K, τότε μια παραγώγιση στην A είναι μια K-γραμμική απεικόνιση D : A → A, τέτοια ώστε για κάθε a,b ∈ A να ισχύει D(ab) = (Da)b + a(Db). Το σύνολο Der(A) όλων των παραγωγίσεων στην A αποτελεί έναν διανυσματικό χώρο, συνεπώς ορίζεται η απεικόνιση

1.3 Η εξωτερική άλγεβρα των πολυγραμμικών συναρτήσεων

ϒπάρχουν διάφοροι λόγοι (π.χ. η ανάπτυξη μιας θεωρίας ολοκλήρωσης στον ℝⁿ ή σε πολλαπλότητες) για τους οποίους είναι απαραίτητο αντί για τα εφαπτόμενα διανύσματα, να χρησιμοποιούμε τα δυϊκά τους αντικείμενα που είναι οι γραμμικές μορφές σε έναν διανυσματικό χώρο. Στη συνέχεια, μπορούμε εύκολα να τα γεκικεύσουμε και να ορίσουμε τις πολυγραμμικές μορφές. Τέτοια παραδείγματα γνωρίζουμε ήδη και είναι η ορίζουσα ενός πίνακα και το εξωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων του ℝ³. Τα δύο αυτά παραδείγματα έχουν την επιπλέον ιδιότητα ότι είναι αντισυμμετρικές ή εναλλάσσουσες μορφές. Η σχετική θεωρία αναπτύχθηκε από τον Hermann Grassmann στην προσπάθειά του να γενικεύσει τον διανυσματικό λογισμό του ℝ³ στον χώρο ℝⁿ. Η εργασία του Grassmann αρχικά δεν είχε εκτιμηθεί ιδιαιτέρως, μέχρι που ο Élie Cartan ανέδειξε την αξία της θεωρίας των διαφορικών μορφών, με σημαντικές εφαρμογές στη γεωμετρία και αλγεβρική τοπολογία.

1.3.1 Πολυγραμμικές συναρτήσεις

΄Εστω V ένας διανυσματικός χώρος και έστω V ^* ο δυϊκός χώρος του V . Ο δυϊκός χώρος εποτελείται από όλες τις γραμμικές συναρτήσεις f : V → ℝ (γραμμικές μορφές). ϒποθέτουμε στο εξής ότι ο V είναι πεπερασμένης διάστασης και έστω e₁,…,e_n μια βάση του V . Τότε κάθε υ ∈ V γράφεται κατά μοναδικό τρόπο ως υ = ∑ υⁱe_i, υⁱ ∈ ℝ. Ορίζουμε τις γραμμικές μορφές αⁱ : V → ℝ με αⁱ(υ) = υⁱ. Παρατηρούμε ότι

(1.5)

Από την γραμμική άλγεβρα είναι γνωστό ότι οι συναρτήσεις α¹,…,αⁿ αποτελούν μια βάση του V ^*, συνεπώς dimV = dimV ^*.

Παράδειγμα. Κάθε διάνυσμα υ ∈ V μπορεί να γραφτεί κατά μοναδικό τρόπο ως υ = ∑ bⁱ(υ)e_i, όπου bⁱ(υ) ∈ ℝ. ΄Εστω α¹,…,αⁿ η δυϊκή βάση της e₁,…,e_n. Τότε

Προτρέπουμε στο σημείο αυτό τον αναγνώστη να κάνει μια σύντομη επανάληψη στην ομάδα μεταθέσεων S_k (άρτιες, περιττές μεταθέσεις κ.λπ). Θυμίζουμε ότι αν A = {1,…,k} τότε το σύνολο S_k αποτελείται από όλες τις 1-1 και επί απεικονίσεις σ : A → A (μεταθέσεις) σ = . Το σύνολο S_k αποτελεί ομάδα με πράξη τσ ≡ τ ∘σ : A → A. Για έναν διανυσματικό χώρο V συμβολίζουμε με V ^k = V ×V ×V το καρτεσιανό γινόμενο k-φορές.

Ορισμός 1.2: Μια συνάρτηση f : V ^k → ℝ ονομάζεται πολυγραμμική μορφή ή k-γραμμική (ή και τανυστής τύπου (0,k)), εάν είναι γραμμική ως προς κάθε μεταβλητή, δηλαδή ισχύει

για κάθε a,b ∈ ℝ και υ,w ∈ V .

Αν k = 2 ή k = 3, η f ονομάζεται διγραμμική ή τριγραμμική αντίστοιχα. Συμβολίζουμε με L_k(V ) το σύνολο όλων των k-γραμμικών συναρτήσεων.

Παραδείγματα.
1. Το εσωτερικό γινόμενο f = του ℝⁿ με f(υ,w) = = ∑ υⁱwⁱ όπου υ = ∑ υⁱe_i,w = ∑ wⁱe_i ως προς την κανονική βάση e₁,…,e_n του ℝⁿ είναι μια διγραμμική συνάρτηση.
2. Η ορίζουσα f(υ₁,…,υ_n) = det(υ₁,…,υ_n) ως συνάρτηση των n διανυσμάτων (στήλες) υ₁,…,υ_n ∈ ℝⁿ είναι μια πολυγραμμική συνάρτηση.

Παραδείγματα.
1. Το εσωτερικό γινόμενο f(υ,w) = του ℝⁿ είναι συμμετρική συνάρτηση.
2. Η ορίζουσα f(υ₁,…,υ_n) = det(υ₁,…,υ_n) του ℝⁿ είναι εναλλάσσουσα.
3. Το εξωτερικό γινόμενο υ × w του ℝ³ είναι εναλλάσσουσα.
4. Αν f,g : V → ℝ γραμμικές μορφές επί του διανυσματικού χώρου V τότε η συνάρτηση f ∧ g : V × V → ℝ με τύπο (f ∧ g)(u,υ) = f(u)g(υ) - f(υ)g(u) είναι εναλλάσσουσα. Είναι μια ειδική περίπτωση του εξωτερικού γινομένου που θα ορίσουμε αργότερα.

Συμβολίζουμε με A_k(V ) το σύνολο όλων των εναλλασσουσών πολυγραμμικών συναρτήσεων επί του διανυσματικού χώρου V (k > 0). Για k = 0 ορίζουμε μια 0-πολυγραμμική συνάρτηση να είναι μια σταθερά, άρα A₀(V ) = ℝ.

΄Εστω f ∈ L_k(V ) και σ ∈ S_k. Ορίζουμε μια νέα k-γραμμική συνάρτηση σf ως

Η απόδειξη αφήνεται ως άσκηση.

Συνεπώς, η ομάδα S_k δρά από τα αριστερά στο σύνολο L_k(V ). Δηλαδή υπάρχει μια απεικόνιση S_k × L_k(V ) → L_k(V ) (σ,f)σ ⋅ f η οποία να ικανοποιεί τις ιδιότητες

(i) 1 ⋅ f = f, για κάθε f ∈ L_k(V ) (όπου 1 η ταυτοτική μετάθεση) και

(ii) σ ⋅ (τ ⋅ f) = (στ) ⋅ f, για κάθε σ,τ ∈ S_k, f ∈ L_k(V ).

΄Εστω τώρα f ∈ L_k(V ). Ορίζουμε τη συμμετρική k-γραμμική συνάρτηση Sf ως

Απόδειξη. Επειδή η f είναι εναλλάσσουσα, θα είναι σf = (sgnσ)f και επειδή sgnσ = ±1, θα έχουμε ότι

▄

Παράδειγμα. ΄Εστω f ∈ L₃(V ) και υ₁,υ₂,υ₃ ∈ V . Τότε

Θα ορίσουμε τώρα μια πρώτη πράξη μεταξύ πολυγραμμικών συναρτήσεων.

Ορισμός 1.4: ΄Εστω f ∈ L_k(V ) και g ∈ L_l(V ). Το τανυστικό γινόμενο f ⊗ g ∈ L_k+l(V ) είναι η (k + l)-πολυγραμμική συνάρτηση

Παράδειγμα. (Διγραμμικές συναρτήσεις) ΄Εστω e₁,…,e_n μια βάση του διανυσματικού χώρου V , α¹,…,αⁿ η αντίστοιχη δυϊκή της βάση του V ^* και : V ×V → ℝ μια διγραμμική απεικόνιση. Θέτουμε g_ij = ∈ ℝ και έστω υ = ∑ υⁱe_i,w = ∑ wⁱe_i. Τότε είναι υⁱ = αⁱ(υ) και w^j = α^j(w). Συνεπώς θα έχουμε ότι

Ο συμβολισμός αυτός χρησιμοποιείται τακτικά στη διαφορική γεωμετρία. Για παράδειγμα, κάντε σύγκριση με την πρώτη θεμελιώδη μορφή

Πρόταση 1.5: Το τανυστικό γινόμενο ικανοποιεί την προσεταιριστική ιδιότητα, δηλαδή

Η απόδειξη αφήνεται ως άσκηση.

Η επόμενη πράξη μεταξύ δύο πολυγραμμικών συναρτήσεων είναι η πλέον βασική για τη γεωμετρία.

Ορισμός 1.5: ΄Εστω f ∈ A_k(V ),g ∈ A_l(V ). Το εξωτερικό γινόμενο (σφηνοειδές) (wedge product) f ∧ g ορίζεται ως

ή πιο αναλυτικά

Σημειώστε ότι η f ∧ g είναι πράγματι εναλλάσσουσα, δηλαδή f ∧ g ∈ A_k+l(V ). Αν k = 0, τότε η f ∈ A₀(V ) είναι μια σταθερά c άρα c ∧ g = cg(υ₁,…,υ_l). Ο συντελεστής εμφανίζεται προκειμένου να συγκεντρώνονται διπλοί όροι στο άθροισμα, όπως φαίνεται και στα παρακάτω παραδείγματα.

Παραδείγματα.
1. ΄Εστω f,g ∈ A₁(V ). Τότε f ∧ g ∈ A₂(V ) και (f ∧ g)(υ₁,υ₂) = f(υ₁)g(υ₂) - f(υ₂)g(υ₁).
2. ΄Εστω f ∈ A₂(V ) και g ∈ A₁(V ). Τότε f ∧ g ∈ A₃(V ) και έστω υ₁,υ₂,υ₃ ∈ V . Θυμίζουμε ότι

Το εξωτερικό γινόμενο ικανοποιεί τις εξής ιδιότητες:

1. ΄Εστω f ∈ A_k(V ),g ∈ A_l(V ). Τότε f ∧ g = (-1)^klg ∧ f. (Αντιμεταθετικότητα)
2. ΄Εστω f ∈ A_k(V ),g ∈ A_l(V ),h ∈ A_m(V ). Τότε (f ∧ g) ∧ h = f ∧ (g ∧ h). (Προσεταιριστικότητα).

Συνεπώς, f ∧ g ∧ h = A(f ⊗ g ⊗ h). Πιο γενικά, αν f_i ∈ A_di(V ), τότε

Πρόταση 1.6: (Εξωτερικό γινόμενο γραμμικών μορφών.) ΄Εστω α¹,…,α^k ∈ V ^* = A₁(V ),υ₁,…,υ_k ∈ V . Τότε

Απόδειξη. Λόγω της παραπάνω Ιδιότητας 2 είναι

▄

Παράδειγμα. ΄Εστω e₁,…,e_n μια βάση του V και α¹,…,αⁿ η αντίστοιχη δυϊκή βάση του V ^*. Τότε (α¹ ∧∧ αⁿ)(e₁,…,e_n) = 1.

΄Εστω V ένας διανυσματικός χώρος διάστασης n. Το σύνολο A_*(V ) = ⊕ _k=0ⁿA_k(V ) έχει δομή μιας μεταθετικής βαθμωτής άλγεβρας (graded commutative algebra) και ονομάζεται εξωτερική άλγεβρα ή άλγεβρα του Grassmann.

Θα βρούμε τώρα μια βάση του διανυσματικού χώρου A_k(V ).

΄Εστω e₁,…,e_n μια βάση του διανυσματικού χώρου V και α¹,…,αⁿ η δυϊκή της βάση στον V ^*. ΄Εστω I = (i₁,…,i_k) και θέτουμε e_I = (e_i1,…,e_ik) (πολυδείκτης), α^I = α^i₁ ∧∧ α^i_k. Μια k-γραμμική συνάρτηση f : V ^k → ℝ καθορίζεται πλήρως από τις τιμές της σε όλα τα στοιχεία της μορφής (e_i1,…,e_ik). Εάν η f είναι επιπλέον εναλλάσσουσα, τότε καθορίζεται πλήρως από τις τιμές της σε στοιχεία της μορφής (e_i1,…,e_ik) με 1 ≤ i₁ < < i_k ≤ n.

Λήμμα 1.2: Αν I = (1 ≤ i₁ < < i_k ≤ n) και J = (1 ≤ j₁ < < j_k ≤ n) τότε

Απόδειξη. Αποδεικνύουμε πρώτα την γραμμική ανεξαρτησία. ΄Εστω ότι ∑ c_Iα^I = 0 για κάποια c_I ∈ ℝ για όλους τους γνησίως αύξοντες πολυδείκτες μήκους k. Τότε χρησιμοποιώντας το Λήμμα 1.2 για J = (j₁ < < j_k) και εφαρμόζοντας την παραπάνω ισότητα στο e_J, προκύπτει ότι 0 = ∑ _Ic_Iα^I(e_J) = ∑ _Ic_Iδ_J^I = c_J, άρα τα α^I είναι γραμμικώς ανεξάρτητα.

Θα δείξουμε τώρα ότι τα α^I παράγουν τον A_k(V ). Πράγματι, αν f ∈ A_k(V ) ισχυριζόμαστε ότι f = ∑ f(e_I)α^I, όπου το I διατρέχει όλους τους γνησίως αύξοντες πολυδείκτες μήκους k. Για να το δείξουμε αυτό, έστω g = ∑ f(e_I)α^I και θα πιστοποιήσουμε την ισότητα των f και g με υπολογισμό σε κάθε e_J, όπου J = (1 ≤ j₁ < < j_k ≤ n) (λόγω της πολυγραμμικότητας και της αντισυμμετρικότητας). Είναι

συνεπώς f = g = ∑ f(e_I)α^I. ▄

Παράδειγμα. ΄Εστω dimV = 4 και k = 2. ΄Εστω e₁,e₂,e₃,e₄ μια βάση του V με αντίστοιχη δυϊκή βάση α¹,α²,α³,α⁴. Τότε μια βάση του χώρου A₂(V ) αποτελείται από τις το πλήθος διγραμμικές μορφές α¹ ∧ α²,α¹ ∧ α³,α¹ ∧ α⁴,α² ∧ α³,α² ∧ α⁴,α³ ∧ α⁴. (Αποδείξτε το αυστηρά).
Παρατηρήστε επίσης ότι αν, για παράδειγμα, k = 5 > 4 = dimV , τότε τα στοιχεία της βάσης του A₅(V ) θα περιέχουν μορφές της μορφής

1.3.2 Διαφορικές μορφές στον ℝⁿ

Θα μελετήσουμε τώρα την εξωτερική άλγεβρα του Grassmann για την περίπτωση που ο διανυσματικός χώρος V είναι ο εφαπτόμενος χώρος T_pℝⁿ. Οι διαφορικές μορφές είναι k-γραμμικές συναρτήσεις, οι οποίες ορίζονται σε ένα ανοικτό υποσύνολο U του ℝⁿ που περιέχει το σημείο p. Συνεπώς, όπως θα δούμε είναι δυνατόν να οριστεί έννοια παραγώγισης των διαφορικών μορφών κατά μοναδικό τρόπο, γνωστή ως εξωτερική παράγωγος. Το ενδιαφέρον γεγονός είναι ότι οι έννοιες αυτές μπορούν να γενικευθούν σε πολλαπλότητες.

Θα αρχίσουμε με τις 1-μορφές που από μόνες τους έχουν ενδιαφέρον. Συμβολίζουμε τον συνεφαπτόμενο χώρο (T_pℝⁿ)^* με T_p^*ℝⁿ.

Ορισμός 1.6: ΄Εστω U ⊂ ℝⁿ ανοικτό. Μια διαφορική 1-μορφή (differential 1-form) (ή συναλλοίωτο διανυσματικό πεδίο) είναι μια απεικόνιση ω η οποία σε κάθε p ∈ U αντιστοιχεί ένα διάνυσμα ω_p ∈ T_p^*ℝⁿ, δηλαδή

Παρατηρήσεις.
1) Η ένωση ⋃ _p∈UT_p^*ℝⁿ αποτελείται από ξένα μεταξύ τους υποσύνολα.
2) Μια διαφορική 1-μορφή θα ονομάζεται απλώς 1-μορφή.
3) Οι 1-μορφές είναι αντικείμενα δυϊκά των διανυσματικών πεδίων στο U, δεδομένου ότι ένα διανυσματικό πεδίο X στο U μπορεί να θεωρηθεί ως μια απεικόνιση

Παρατήρηση. Η παράγωγος κατά κατεύθυνση μιας συνάρτησης σε ένα σημείο p ως προς τη διεύθυνση ενός εφαπτόμενου διανύσματος X_p, ορίζει μια διγραμμική απεικόνιση (ζευγάρωμα)

Λόγω της παραπάνω πρότασης η τιμή μιας 1-μορφής ω σε ένα σημείο p ∈ U ⊂ ℝⁿ είναι

Παράδειγμα. Αν x,y,z είναι οι συντεταγμένες του ℝ³, τότε οι dx,dy,dz είναι οι 1-μορφές στον ℝ³ και κάθε 1-μορφή ω στον ℝ³ γράφεται ως

Με την παρακάτω πρόταση θα δούμε ότι μπορούμε να δώσουμε νοήμα σε μια έκφραση του διαφορικού την οποία είχαμε γνωρίσει (συμβολικά) στον λογισμό πολλών μεταβλητών.

Απόδειξη. Λόγω της Πρότασης 1.8, σε κάθε p ∈ U έχουμε ότι (df)_p = ∑ α_i(p)(dxⁱ)_p,α_i(p) ∈ ℝ. Συνεπώς,

(1.6)

για κάποιες πραγματικές συναρτήσεις α_i : U → ℝ. Προκειμένου να βρούμε τις α_i εφαρμόζουμε και τα δύο μέλη της (1.6) στο διανυσματικό πεδίο :

όπου η πρώτη ισότητα προκύπτει από τον ορισμό του διαφορικού. ▄

Παράδειγμα. Οι διαφορικές 1-μορφές εμφανίζονται κατά φυσικό τρόπο ακόμα και αν μελετάμε μόνο διανύσματα X_p ∈ T_pℝⁿ. Πράγματι, αν X_p = ∑ bⁱ(X_p)_p, bⁱ(X_p) ∈ ℝ τότε σύμφωνα με το παράδειγμα της σελίδας 7 είναι bⁱ(X_p) = (dxⁱ)_p(X_p), συνεπώς, όταν το p μεταβάλλεται, προκύπτει η ισότητα συναρτήσεων bⁱ = dxⁱ.

Προχωράμε τώρα στον ορισμό μιας k-μορφής,

Γνωρίζουμε ότι μια βάση του χώρου A_k(T_pℝⁿ) είναι το σύνολο

Ορισμός 1.9: ΄Εστω ω ∈ Ω^k(U),φ ∈ Ω^l(U). Το εξωτερικό γινόμενο (ή σφηνοειδές) (wedge product) ορίζεται σημειακά ως

Αν ω = ∑ _Iα_Idx^I και φ = ∑ _Jb_Jdx^J, τότε

• (ω ∧ φ) ∧ τ = ω ∧ (φ ∧ τ)
• ω ∧ φ = (-1)^kl(φ ∧ ω)
• ω ∧ (φ + τ) = ω ∧ φ + ω ∧ τ.

Παραδείγματα.

1. ΄Εστω x,y,z οι συναρτήσεις συντεταγμένων του ℝ³. Η γενική μορφή των λείων 0-μορφών, 1-μορφών, 2-μορφών και 3-μορφών στον ℝ³ είναι η εξής:

• 0-μορφές: f : ℝ³ → ℝ λεία συνάρτηση
• 1-μορφές: fdx + gdy + hdz
• 2-μορφές: fdx ∧ dy + gdx ∧ dz + hdy ∧ dz
• 3-μορφές: fdx ∧ dy ∧ dz,

όπου f,g,h : ℝ³ → ℝ είναι λείες συναρτήσεις.

2. ΄Εστω x¹,x²,x³,x⁴ οι συναρτήσεις συντεταγμένων του ℝ⁴. Μια βάση του διανυσματικού χώρου A₃(T_pℝ⁴) είναι το σύνολο

Το σύνολο Ω^*(U) = ⊕ _k=0^∞Ω^k(U) αποτελεί μια βαθμωτή, αντιμεταθετική άλγεβρα επί του ℝ και είναι επιπλέον ένα F(U)-πρότυπο.

Μια διαφορική 1-μορφή δρα σε ένα διανυσματικό πεδίο ως εξής:

΄Εστω ω μια λεία 1-μορφή και X ένα λείο διανυσματικό πεδίο στο ανοικτό U ⊂ ℝⁿ. Ορίζουμε τη συνάρτηση ω(X) : U → ℝ με τύπο

Παραδείγματα.

1. Αν ω ∈ Ω²(ℝ³) και φ ∈ Ω¹(ℝ³), τότε ω ∧ φ ∈ Ω³(ℝ³). ΄Αρα για κάθε X,Y,Z ∈ 𝔛(ℝ³) είναι

2. ΄Εστω ω = fdx ∧ dy + gdx ∧ dz + hdy ∧ dz ∈ Ω²(ℝ³) και φ = adx + bdy + cdz ∈ Ω¹(ℝ³). Τότε

3. ΄Εστω ω = x²dx + e^xydy + ydz ∈ Ω¹(ℝ³) και X = -y + - x²y ∈ 𝔛(ℝ³). Τότε ω(X) = -x²y + e^xy - x²y² ∈ F(ℝ³).

Παρατήρηση. Είναι dxⁱ ∧ dxⁱ = 0, αλλά για ω ∈ Ω^k(ℝⁿ) δεν ισχύει γενικά ότι ω ∧ ω = 0 (εκτός εάν k περιττός). Για παράδειγμα, έστω ω = dx¹ ∧ dx² + 2dx³ ∧ dx⁴ ∈ Ω²(ℝ⁴). Τότε ω ∧ ω = 4dx¹ ∧ dx² ∧ dx³ ∧ dx⁴≠0.

΄Εστω ω μια διαφορική k-μορφή σε ένα ανοικτό υποσύνολο U ⊂ ℝⁿ. Θα ορίσουμε μια διαφορική (k + 1)-μορφή dω στο U την οποία θα ονομάσουμε εξωτερική παράγωγο της ω. Πρώτα θα την ορίσουμε για 0-μορφές. Αν f ∈ F(U), ορίζουμε την εξωτερική παράγωγο της f ως το διαφορικό df ∈ Ω¹(U)

Ορισμός 1.10: ΄Εστω k ≥ 1 και ω = ∑ _Iα_Idx^I ∈ Ω^k(U). Η εξωτερική παράγωγος (exterior derivative) της ω είναι η (k + 1)-μορφή

Παραδείγματα.

1. ΄Εστω ω = fdx + gdy ∈ Ω¹(ℝ²) όπου f,g λείες συναρτήσεις στο ℝ². Συμβολίζουμε με f_x = , f_y = . Τότε

2. ΄Εστω ω = xyzdx + yzdy + (x + z)dz ∈ Ω¹(ℝ³). Επιβεβαιώστε ότι

Η εξωτερική παράγωγος είναι μια απεικόνιση της μορφής

1. Είναι αντιπαραγώγιση βαθμού 1, δηλαδή ισχύει
2. d ∘ d ≡ d² = 0
3. Για κάθε f ∈ F(U) και X ∈ X(U) ισχύει (df)(X) = Xf.

Οι παραπάνω τρεις ιδιότητες χαρακτηρίζουν κατά μοναδικό τρόπο την εξωτερική παράγωγο σε ένα ανοικτό υποσύνολο U του ℝⁿ, όπως φαίνεται στην παρακάτω πρόταση.

Απόδειξη. Επειδή κάθε k-μορφή είναι άθροισμα όρων της μορφης fdx^i₁∧∧dx^i_k, λόγω της γραμμικότητας αρκεί να δείξουμε την ισότητα D = d για μια τέτοια k-μορφή. Από την υπόθεση, για κάθε λεία συνάρτηση είναι Df = df και επιπλέον Ddxⁱ = DDxⁱ = 0. Χρησιμοποιώντας το ότι η D είναι αντιπαραγώγιση και επαγωγή επί του k, προκύπτει ότι για κάθε πολυδείκτη I μήκους k θα είναι D(dx^I) = D(dx^i₁∧∧dx^i_k) = 0. Λόγω των ιδιοτήτων του τελεστή D και του ορισμού της εξωτερικής παραγώγου, προκύπτει ότι για κάθε k-μορφή fdx^I ισχύει ότι

΄Αρα D = d στο Ω^*(U). ▄

Προφανώς κάθε ακριβής μορφή ω είναι κλειστή, λόγω του ότι d(dτ) = 0. Το αντίστροφο δεν ισχύει πάντα. Πράγματι, η 1-μορφή ω στο ℝ² \{(0,0)} με τύπο

Σημειώνουμε ότι η παραπάνω ορολογία συνδέεται με τις ονομαζόμενες ακριβείς διαφορικές εξισώσεις με τρόπο που αφήνουμε στον αναγνώστη να διερευνήσει.

Από τα παραπάνω προκύπτει ότι για κάθε ανοικτό U ⊂ ℝⁿ η εξωτερική παράγωγος d εφοδιάζει τον διανυσματικό χώρο Ω^*(U) των λείων μορφών στο U με δομή διαφορικού συμπλέγματος, το οποίο ονομάζεται σύμπλεγμα του de Rham στο U:

Οι κλειστές μορφές στο U είναι ακριβώς τα στοιχεία του πυρήνα της d και οι ακριβείς μορφές είναι ακριβώς τα στοιχεία της εικόνας της d. Ο χώρος πηλίκο H^k(U) = Kerd^k∕Imd^k-1 ονομάζεται k-τάξης συνομολογία de Rham του U.

1.3.3 Εφαρμογές στον διαφορικό λογισμό

Κλείνουμε το κεφάλαιο αυτό δίνοντας μια ενοποιημένη παρουσίαση των βασικών θεωρημάτων του διανυσματικού λογισμού, χρησιμοποιώντας διαφορικές μορφές. Θυμίζουμε ότι μια διανυσματική συνάρτηση στο ανοικτό U ⊂ ℝⁿ έχει τη μορφή

Μπορούμε να ταυτίσουμε τις 1-μορφές στο U με διανυσματικά πεδία στο U μέσω της Pdx + QdyRdz←→(P,Q,R), τις 2-μορφές στο U με διανυσματικά πεδία στο U μέσω της Pdx∧dz + Qdz ∧dx + Rdx∧dy←→(P,Q,R) και τις 3-μορφές στο U με συναρτήσεις στο U μέσω της fdx ∧ dy ∧ dz ↔ f. Οι ταυτίσεις αυτές επάγουν αντίστοιχες ταυτίσεις των εξωτερικών παραγωγίσεων μιας 0-μορφής f, μιας 1-μορφής και μιας 2-μορφής με τους γνωστούς τελεστές ως εξής:

Συνοψίζοντας τα παραπάνω, οι τελεστές grad,curl και div είναι αντίστοιχα η εξωτερική παράγωγος d όταν αυτή δρα σε 0-μορφές, 1-μορφές και 2-μορφές. Το παρακάτω διάγραμμα περιγράφει τις ταυτίσεις αυτές σε ένα ανοικτό υποσύνολο του ℝ³:

Σύμφωνα με τις ταυτίσεις αυτές, ένα διανυσματικό πεδίο (P,Q,R) του ℝ³ ισούται με την κλίση μιας λείας συνάρτησης f εάν και μόνο εάν η αντίστοιχη 1-μορφή Pdx + Qdy + Rdz ισούται με df.

Από τον διανυσματικό λογισμό γνωρίζουμε τα παρακάτω θεμελιώδη θεωρήματα:

Τα θεωρήματα αυτά διατυπώνονται σε γλώσσα διαφορικών μορφών ως εξής (άσκηση).

Θεωρήματα 1.2′ και 1.3′.  d² = 0
Θεώρημα 1.4′ Μια 1-μορφή του ℝ³ είναι ακριβής εάν και μόνο εάν είναι κλειστή.

Η γενίκευση του Θεωρήματος 1.4′ για διαφορικές μορφές στον ℝⁿ είναι το παρακάτω σημαντικό αποτέλεσμα.

Η αιτία της αποτυχίας του αντιστρόφου του Θεωρήματος 1.4′ έγκειται στην τοπολογία του χώρου, όπως φαίνεται στο παρακάτω παράδειγμα:

Παράδειγμα. ΄Εστω U = ℝ³ \{άξονας z} και το διανυσματικό πεδίο του ℝ³, = (-,,0). Τότε curl = , αλλά το πεδίο δεν μπορεί να εκφραστεί ως κλίση μιας λείας συνάρτησης f ∈ F(U). Πράγματι, αν υπήρχε τέτοια συνάρτηση f, τότε από γνωστό θεώρημα των επικαμπύλιων ολοκληρωμάτων θα είχαμε

Παρατηρείστε ότι το σύνολο U δεν είναι απλά συνεκτικό³ ενώ ο ℝⁿ είναι απλά συνεκτικός.

1.4 Ασκήσεις

1. ΄Εστω το διανυσματικό πεδίο X = x + y² και η συνάρτηση f(x,y,z) = x² + e^y + z². ϒπολογίστε τη συνάρτηση Xf και το διανυσματικό πεδίο fX.

2. Μια άλγεβρα επί ενός σώματος K είναι ένας διανυσματικός χώρος A επί του K εφοδιασμένος με έναν πολλαπλασιασμό

(α) (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c) (προσεταιριστικότητα),

(β) (a + b) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c και a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c (επιμεριστικότητα),

(γ) k(a ⋅ b) = (ka) ⋅ b + a ⋅ (kb) (ομογένεια).

Μια άλγεβρα A ονομάζεται μεταθετική εάν για κάθε a,b ∈ A ισχύει a ⋅ b = b ⋅ a.

Ορίστε πράξεις πρόσθεσης, πολλαπλασιασμού και βαθμωτού πολλαπλασιασμού στο σύνολο C_p^∞ και αποδείξτε ότι αυτό είναι μια μεταθετική άλγεβρα.

3. Αποδείξτε ότι το σύνολο D_pℝⁿ αποτελεί έναν πραγματικό διανυσματικό χώρο.

4. Αποδείξτε την Πρόταση 1.2.

5. ΄Εστω V ένας διανυσματικός χώρος διάστασης n. Αποδείξτε ότι οι συναρτήσεις α¹,…,αⁿ όπως ορίστηκαν στην (1.5) αποτελούν μια βάση του V ^*

6. Αποδείξτε ότι, αν σ,τ ∈ S_k, f ∈ L_k(V ), τότε τ(σf) = (τσ)f.

7. Αποδείξτε ότι οι Sf, Af είναι συμμετρική και αντισυμμετρική πολυγραμμική συνάρτηση αντίστοιχα.

8. Αποδείξτε τη μεταθετικότητα και την προσεταιριστικότητα του εξωτερικού γινομένου.

9. ΄Εστω f μια k-γραμμική μορφή στον διανυσματικό χώρο V . Αποδείξτε ότι η f είναι εναλλάσσουσα εάν και μόνο εάν ισχύει f(υ₁,…,υ_k) = 0 οποτεδήποτε δύο από τα διανύσματα υ₁,…,υ_k είναι ίσα.

10. ΄Εστω α¹,…,α^k γραμμικές μορφές σε έναν διανυσματικό χώρο V . Αποδείξτε ότι α¹ ∧∧α^k≠0 εάν και μόνο εάν τα α¹,…,α^k είναι γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα του V ^*.

11. ΄Εστω ω η 1-μορφή z²dx - xdz και X το διανυσματικό πεδίο -y + x του ℝ³. ϒπολογίστε την συνάρτηση ω(X) και τη μορφή dω.

12. ΄Εστω ω η 1-μορφή xdx-ydy + zdz και X το διανυσματικό πεδίο cos(x + y + z) + sin(x + y + z) + e^y του ℝ³. ϒπολογίστε την τιμή ω_p(X_p), όπου p = (1,1,-1).

13. Συμβολίζουμε τις κανονικές συντεταγμένες του ℝ³ με ρ,ϕ,θ και θέτουμε x = ρsinϕcosθ, y = ρsinϕsinθ και z = ρcosϕ. Εκφράστε τις μορφές dx,dy,dz και dx ∧ dy ∧ dz συναρτήσει των μορφών dρ,dϕ και dθ.

14. Μια συνάρτηση f : ℝ³ → ℝ ονομάζεται ομογενής βαθμού k (k μη αρνητικός ακέραιος) εάν για κάθε (x,y,z) ∈ ℝ³ και για κάθε t ∈ ℝ ισχύει f(tx,ty,tz) = t^kf(x,y,z). Αποδείξτε ότι εάν η f : ℝ³ → ℝ είναι ομογενής βαθμού k, τότε ικανοποιεί την ταυτότητα του Euler

ϒπόδειξη. Παραγωγίστε και τα δύο μέλη της f(tx,ty,tz) = t^kf(x,y,z) ως προς t και θέστε t = 1.

15. ΄Εστω V ένας διανυσματικός χώρος διάστασης 3 με {e₁,e₂,e₃} μια βάση του και δυϊκή βάση {α¹,α²,α³}. Αντιστοιχούμε στη μορφή α = a₁α¹ + a₂α² + a₃α³ το διάνυσμα υ_α = (a₁,a₂,a₃) ∈ ℝ³ και στην διγραμμική εναλλάσσουσα συνάρτηση

Βιβλιογραφία