Κεφάλαιο 10
Ομογενείς χώροι - Γεωμετρία κατά Klein

Σύνοψη
Σύμφωνα με τον F. Klein η γεωμετρία είναι η μελέτη εκείνων των ιδιοτήτων ενός χώρου οι οποίες παραμένουν αναλλοίωτες από τη δράση μιας ομάδας μετασχηματισμών. Σε σύχγρονη γλώσσα, ο χώρος είναι μια λεία πολλαπλότητα και η ομάδα είναι μια ομάδα Lie, η οποία δρα στην πολλαπλότητα μεταβατικά. Διαφορετικές ομάδες Lie ορίζουν, μέσω των δράσεών τους, διαφορετικές γεωμετρίες σε μια πολλαπλότητα. Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζουμε τα γενικά χαρακτηριστικά της θεωρίας των ομογενών χώρων, με έμφαση στους αναγωγικούς ομογενείς χώρους. Για έναν τέτοιο ομογενή χώρο δίνουμε τύπους για τη συνοχή Levi-Civita, τανυστή καμπυλότητας, καμπυλότητα Ricci και βαθμωτή καμπυλότητα. Τέλος, κάνουμε εφαρμογή σε ενδεικτικά παραδείγματα. Οι αναφορές μας με αύξοντα βαθμό δυσκολίας είναι τα βιβλία [1], [2], [5], [6], [9], [11], [3], [12], [16], [10], [7], καθώς και οι καλογραμμένες διπλωματικές εργασίες [15] και [18].

Προαπαιτούμενη γνώση
Εισαγωγή στις Πολλαπλότητες, Εισαγωγή στις Ομάδες Lie, Γραμμική Άλγεβρα, Στοιχειώδης Θεωρία Αναπαραστάσεων.

΄Ενας ομογενής χώρος είναι μια λεία πολλαπλότητα M στην οποία δρα μεταβατικά μια ομάδα Lie G. Οι ομογενείς χώροι αποτελούν μια φυσική επέκταση των ομάδων Lie και η βασική τους ιδιότητα είναι ότι, αν γνωρίζουμε την τιμή κάποιου γεωμετρικού αντικειμένου (π.χ. καμπυλότητα) σε ένα σημείο του χώρου, τότε χρησιμοποιώντας απεικονίσεις μεταφοράς, μπορούμε να υπολογίσουμε την τιμή του σε οποιοδήποτε σημείο του χώρου. Μια κλάση ομογενών χώρων είναι οι αναγωγικοί ομογενείς χώροι τους οποίους θα μελετήσουμε στη συνέχεια του κεφαλαίου.

Οι ομογενείς χώροι είναι το μοντέλο της γεωμετρίας του Klein, σύμφωνα με το οποίο η γεωμετρία είναι η μελέτη εκείνων των γεωμετρικών αντικειμένων που παραμένουν αναλλοίωτα μέσω της δράσης μιας ομάδας σε ένα χώρο. Η ομάδα αυτή είναι γνωστή ως ομάδα μετασχηματισμών (transformation group). Θεωρώντας διαφορετικές ομάδες κάθε φορά, οδηγούμαστε σε διαφορετικές γεωμετρίες. Τέλος, να αναφέρουμε ότι η θεωρία των ομογενών χώρων χρησιμοποιείται ευρέως στη μαθηματική φυσική, όπου μαζί με την θεωρία συνοχών αποτελούν σημαντικό εργαλείο για την έρευνα στη σύγχρονη θεωρία στοιχειωδών σωματιδίων.

10.1 Δράσεις ομάδων

Θα ξεκινήσουμε την ενότητα με τον ορισμό της δράσης μιας τοπολογικής ομάδας ή μιας ομάδας Lie σε ένα σύνολο, το οποίο μπορεί να είναι τοπολογικός χώρος, λεία πολλαπλότητα ή και διανυσματικός χώρος. Στη συνέχεια, θα δώσουμε μερικούς ορισμούς σχετικά με την έννοια της δράσης, για παράδειγμα θα δούμε πότε η δράση λέγεται μεταβατική και τέλος θα αναφέρουμε μερικά παραδείγματα.

Ορισμός 10.1: ΄Εστω G μια τοπολογική ομάδα (αντίστ. ομάδα Lie) και M ένας τοπολογικός χώρος (αντίστ. λεία πολλαπλότητα). Μια αριστερή δράση (left action) της G στη M είναι μια συνεχής (αντίστ. λεία) απεικόνιση

η οποία για κάθε g₁,g₂ ∈ G και p ∈ M ικανοποιεί τις παρακάτω συνθήκες:

• (α)  λ(e,p) = ep = p  και
• (β)  λ(g₁g₂,p) = (g₁g₂)p = g₁(g₂p) = λ(g₁,λ(g₂,p))

Παρόμοια, μπορούμε να ορίσουμε τη δεξιά δράση της G στη M, μέσω μιας συνεχούς (αντίστ. λείας) απεικόνισης ϕ : M × G → M, όπου κάθε ζεύγος (p,g) ∈ M × G απεικονίζεται στο σημείο p ⋅ g = pg το οποίο ανήκει στην M και ικανοποιεί τις ανάλογες συνθήκες:

• (α')  ϕ(p,e) = pe = p  και
• (β')  ϕ(p,g₁g₂) = p(g₁g₂) = (pg₁)g₂ = ϕ(ϕ(p,g₁),g₂)

για κάθε g₁,g₂ ∈ G και p ∈ M. Πολλές φορές ο χώρος M με τη δράση της G καλείται G-χώρος (G-space), ενώ η ομάδα G αναφέρεται και ως ομάδα μετασχηματισμών (transformation group) της M.

Στο βιβλίο αυτό η G θα είναι μια ομάδα Lie και η M μια λεία πολλαπλότητα ενώ, επειδή κάθε αριστερή δράση μπορεί να γίνει δεξιά θέτοντας το g ⋅ p να είναι p ⋅ g^-1 και αντιστρόφως, θα ασχοληθούμε μόνο με τις αριστερές δράσεις.

Αν λ είναι μια αριστερή δράση της G στην M, τότε για κάθε g ∈ G η απεικόνιση

είναι μια αμφιδιαφόριση της M. Πράγματι, παρατηρούμε ότι

κατά συνέπεια για κάθε g ∈ G, η αντίστροφη απεικόνιση της λ_g είναι η λεία απεικόνιση λ_g^-1 = (λ_g)^-1. Οπότε, μέσω των αριστερών δράσεων (αντίστ. δεξιών) μπορούμε να αναπαραστήσουμε την ομάδα G ως μια υποομάδα της ομάδας των αμφιδιαφορίσεων της πολλπαπλότητας M. Ας δούμε τώρα κάποιους ορισμούς σχετικά με μια δράση. ΄Εστω M ένας G-χώρος.

• Μια δράση λέγεται μεταβατική (transitive), αν για κάθε ζεύγος σημείων p,q ∈ M υπάρχει g ∈ G τέτοιο ώστε q = gp.
• Για κάθε m ∈ M, η ομάδα ισοτροπίας (isotropy group) του m, είναι το σύνολο εκείνων των στοιχείων της ομάδας, που διατηρούν το m σταθερό, δηλαδή είναι το σύνολο το οποίο συμβολίζουμε με G_m, όπου

• Για κάθε m ∈ M, η τροχιά (orbit) του m, είναι το σύνολο

• Μια δράση καλείται αποτελεσματική (effective), αν το e ∈ G είναι το μοναδικό στοιχείο που ορίζει την τετριμμένη δράση, δηλαδή αν gm = m για όλα τα m ∈ M, τότε g = e.
• Μια δράση καλείται ελεύθερη (free), αν η σχέση gm = m για κάποιο m ∈ M συνεπάγεται ότι g = e. Δηλαδή η δράση είναι ελεύθερη αν G_m = {e}.

Παρατηρήσεις.

1. Εύκολα προκύπτει ότι η ομάδα ισοτροπίας G_m του m ∈ M είναι μια υποομάδα Lie της G. Πράγματι, παρατηρούμε ότι για κάθε g₁,g₂ ∈ G_m είναι (g₁g₂) ⋅ m = g₁ ⋅ (g₂ ⋅ m) = g₁ ⋅ m = m, δηλαδή g₁g₂ ∈ G_m, οπότε το σύνολο G_m είναι κλειστό ως προς τον πολλαπλασιασμό της G. Το ουδέτερο στοιχείο e ∈ G ανήκει στην ομάδα ισοτροπίας του m, αφού e ⋅ m = m. Τέλος, για κάθε g ∈ G_m έχουμε g^-1 ∈ G_m, διότι m = e ⋅ m = (g^-1g) ⋅ m = g^-1 ⋅ (gm) = g^-1 ⋅ m. ΄Αρα το G_m είναι υποομάδα της G. Για να δείξουμε ότι είναι υποομάδα Lie της G, αρκεί να δείξουμε ότι είναι κλειστό (τοπολογικά) υποσύνολο της G. Παρατηρούμε ότι το G_m είναι η αντίστροφη εικόνα της συνεχούς απεικόνισης f_m : G → M, με τιμή f_m(g) = gm. Συνεπώς, η ομάδα ισοτροπίας του σημείου m ∈ M είναι μια υποομάδα Lie της G.

2. Αν M είναι ένας G-χώρος, τότε για m₁,m₂ ∈ M ορίζουμε

Τότε η σχέση ῾῾~᾿᾿ είναι μια σχέση ισοδυναμίας. Πράγματι, για κάθε m ∈ M έχουμε em = m, άρα m ~ m. ΄Εστω m₁ ~ m₂, δηλαδή gm₁ = m₂ για κάποιο g ∈ G. Τότε

άρα m₂ ~ m₁. Τέλος αν m₁ ~ m₂ και m₂ ~ m₃ τότε g₁m₁ = m₂ και g₂m₂ = m₃, για κάποια g₁,g₂ ∈ G. ΄Αρα (g₂g₁)m₁ = g₂(g₁m₁) = g₂m₂ = m₃, δηλαδή m₁ ~ m₃. Οι κλάσεις ισοδυναμίας της ~ είναι ακριβώς οι τροχιές της δράσεις της ομάδας G. Κατά συνέπεια, οι τροχιές διαμερίζουν την πολλαπλότητα M. Με αυτόν τον τρόπο δημιουργείται ο χώρος πηλίκο M∕G (χώρος τροχιών – orbit space).

3. Για κάθε g ∈ G ισχύει ότι G_g⋅x = gG_xg^-1. Πράγματι, αν h ∈ G_g⋅x, τότε h ⋅ (g ⋅ x) = g ⋅ x. Πολλαπλασιάζουμε την προηγούμενη σχέση με το g^-1 από αριστερά και έχουμε

΄Αρα g^-1hg ∈ G_x, ή h ∈ g^-1G_xg. Επομένως, δείξαμε ότι G_g⋅x ⊆ g^-1G_xg. Μένει να δείξουμε ότι g^-1G_xg ⊆ G_g⋅x. ΄Εστω h ∈ g^-1G_xg. Τότε το g^-1hg ανήκει στο σύνολο G_x, δηλαδή (g^-1hg) ⋅ x = x. Πολλαπλασιάζοντας την τελευταία σχέση από αριστερά με g, θα πάρουμε g(g^-1hg) ⋅ x = g ⋅ x, ή eh(g ⋅ x) = g ⋅ x, δηλαδή h ∈ G_g⋅x. Αυτό μας λέει ότι, στην περίπτωση που δύο στοιχεία x,gx ≡ m ∈ M ανήκουν στην ίδια τροχιά, τότε οι ομάδες ισοτροπίας τους διαφέρουν μόνο κατά τον εσωτερικό αυτομορφισμό I_g : G → G, I_g(α) = g^-1αg, ή ότι οι ομάδες ισοτροπίας είναι συζυγείς.

Παραδείγματα.

1. ΄Εχουμε δει στο Κεφάλαιο 8 ότι κάθε αναπαράσταση ϕ : G → Aut(V ) ορίζει μια δράση της ομάδας G στον διανυσματικό χώρο V με τον εξής τρόπο:

Τότε ισχύει

δηλαδή η απεικόνιση Φ είναι πράγματι μια δράση.

2. Η φυσική δράση της GL_nℝ στον χώρο ℝⁿ.
Θεωρούμε έναν πίνακα A = [α_ij] ∈ GL_nℝ και ένα διάνυσμα-στήλη u = (u_i) ∈ ℝⁿ. Τότε η απεικόνιση

είναι μια αριστερή δράση της γενικής γραμμικής ομάδας στον Ευκλείδειο χώρο ℝⁿ. Πράγματι, παρατηρούμε ότι για κάθε u ∈ ℝⁿ και A,B ∈ GL_nℝ έχουμε I_n ⋅u = u και (AB) ⋅u = A⋅ (B ⋅u). Επίσης, η παραπάνω απεικόνιση είναι λεία, διότι τα στοιχεία του πίνακα A ⋅ u είναι οι λείες συναρτήσεις, A ⋅ u = ∑ _j[α_ij]u_j.
Η δράση αυτή δεν είναι μεταβατική, επειδή για κάθε A ∈ GL_nℝ ισχύει ότι A⋅ 0 = 0. Η μεταβατικότητα ισχύει στην περίπτωση που η γενική γραμμική ομάδα δρά στον ℝⁿ\{0}. Για παράδειγμα, όταν n = 2, τότε θεωρούμε ένα μη μηδενικό διάνυσμα υ = ∈ ℝ², και ζητάμε έναν πίνακα A ∈ GL₂ℝ, τέτοιον ώστε A = υ. Στην περίπτωση που έχουμε α≠0, θεωρούμε τον πίνακα A = , ενώ αν β≠0 τότε θεωρούμε τον πίνακα B = . Παρατηρούμε ότι οι πίνακες A,B ανήκουν στη γενική γραμμική ομάδα και ο καθένας στέλνει το διάνυσμα στο υ. Με το ίδιο σκεπτικό ορίζεται η μεταβατική δράση των υποομάδων της GL_nℝ στον Ευκλείδειο χώρο ℝⁿ\{0}.

3. Κάθε ομάδα Lie G μπορεί να θεωρηθεί ως G-χώρος, αφού η G δρά στον ευατό της μέσω της απεικόνισης

Επίσης, αν H είναι μια υποομάδα της G τότε η G είναι ένας H-χώρος μέσω της δράσης H × G → G, (h,g)hg. Η απεικόνιση I_h : G → G με τιμή I_h(g) = hgh^-1 για κάθε h ∈ H, ορίζει μια λεία δράση της υποομάδας H στην G. Πράγματι, για κάθε h₁,h₂ ∈ H και g ∈ G είναι I_e = ege^-1 = g και I_h1h2(g) = h₁h₂g(h₁h₂)^-1 = h₁(h₂gh₂^-1)h₁^-1 = I_h1(I_h2(g)).

10.2 Πολλαπλότητες πηλίκο

΄Εστω G μια ομάδα Lie και K μια υποομάδα της G. Το σύνολο όλων των αριστερών συμπλόκων {gK : g ∈ G} της K στην G συμβολίζεται με G∕K. Το σύνολο αυτό εφοδιασμένο με την τοπολογία πηλίκο (που ορίζεται μέσω της κανονικής προβολής π : G → G∕K, π(g) = gK), ονομάζεται χώρος πηλίκο (coset space).

Γενικά, αν X είναι ένας τοπολογικός χώρος και ~ είναι μια σχέση ισοδυναμίας στον X, τότε ο χώρος πηλίκο X∕ ~ είναι το σύνολο όλων των κλάσεων ισοδυναμίας, δηλαδή

Προκειμένου ο χώρος πηλίκο να αποκτήσει δομή λείας πολλαπλότητας, η υποομάδα K απαιτείται να είναι κλειστή. Για την απόδειξη της παρακάτω πρότασης παραπέμπουμε στα βιβλία [7], [11], [16].

ϒπάρχουν πολλές περιπτώσεις κατά τις οποίες η υποομάδα K μπορεί να είναι κλειστή. Για παράδειγμα, εάν η G είναι συνεκτική και απλά συνεκτική και η K είναι συνεκτική με ημιαπλή άλγεβρα Lie, τότε η K είναι κλειστή. Για περισσότερες πληροφορίες επί αυτού παραπέμπουμε στο βιβλίο [10].

Η λεία πολλαπλότητα G∕K, που κατασκευάζεται σύμφωνα με το Θεώρημα 10.1, ονομάζεται πολλαπλότητα πηλίκο (coset manifold) ή ομογενής χώρος (homogeneous space). Επιπλέον, ισχύει ότι dim(G∕K) = dim G - dim K.

Αν G∕K είναι ένας ομογενής χώρος, τότε η απεικόνιση

είναι μια δράση και ονομάζεται φυσική δράση της G στον G∕K. Η δράση αυτή είναι μεταβατική.

Για κάθε α ∈ G ορίζουμε την απεικόνιση τ_a : G∕K → G∕K με τ_a(gK) = agK, η οποία ονομάζεται αριστερή μεταφορά (left translation) στον G∕K. Αν a,b ∈ G και L_a η αριστερή μεταφορά της ομάδας Lie G, τότε έχουμε ότι

Η απεικόνιση τ_a είναι μια αμφιδιαφόριση του G∕K, αφού είναι λεία και έχει αντίστροφη τη λεία απεικόνιση τ_a^-1 = (τ_a)^-1.

Θα δούμε τώρα ότι κάθε μεταβατική δράση μπορεί να περιγραφεί με αυτόν τον τρόπο. Συγκεκριμένα, αν έχουμε μια μεταβατική δράση μιας ομάδας Lie G σε μια πολλαπλότητα M, τότε η M είναι ένας ομογενής χώρος. Συγκεκριμένα, ισχύει το εξής:

Για την απόδειξη του θεωρήματος αυτού θα χρειαστούμε κάποια αποτελέσματα, για τις αποδείξεις των οποίων παραπέμπουμε στο βιβλίο [11].

Πρόταση 10.1: ΄Εστω M,N δύο λείες πολλαπλότητες και π : M → N μια υπεμβάπτιση. ΄Εστω P μια λεία πολλαπλότητα και F : M → P λεία απεικόνιση, η οποία είναι σταθερή, όταν περιοριστεί στην υποπολλαπλότητα π^-1(p) για κάθε p ∈ N. Τότε υπάρχει μοναδική λεία απεικόνιση : N → P, τέτοια ώστε ∘ π = F.

Επειδή η απεικόνιση π στο παραπάνω θεώρημα είναι καταβύθιση, τότε για κάθε p ∈ N το σύνολο π^-1(p) (κανονικό σύνολο στάθμης) είναι μια υποπολλαπλότητα της M διάστασης dimM - dimN.

Θυμίζουμε ότι (βλ. Κεφάλαιο 8), όταν έχουμε δύο G-χώρους V και W, τότε μια απεικόνιση A : V → W λέγεται ισοαναλλοίωτη, αν για κάθε g ∈ G και υ ∈ V ισχύει A(g ⋅υ) = g ⋅A(υ). Στην περίπτωση που η δράση της ομάδας G στο χώρο V είναι μεταβατική, τότε η τάξη της απεικόνισης A είναι σταθερή. Συγκεκριμένα ισχύει το εξής:

Απόδειξη. (του Θεωρήματος 10.2)
(α) Θεωρούμε τη λεία απεικόνιση F : G → M με τιμή F(g) = g⋅m. Τότε παρατηρούμε ότι K = F^-1({m}), δηλαδή η K είναι ένα κλειστό υποσύνολο της G ως αντίστροφη εικόνα του κλειστού συνόλου {m}⊆ M. Επομένως, σύμφωνα με το Θεώρημα 7.1 η ομάδα ισοτροπίας του σημείου m ∈ M είναι μια κλειστή υποομάδα Lie της G.
(β) Θα δείξουμε πρώτα ότι η j είναι καλώς ορισμένη. ϒποθέτουμε ότι g₁K = g₂K, δηλαδή g₁^-1g₂ ∈ K. Θέτουμε g₁^-1g₂ = k. Τότε είναι:

Η τέταρτη ισότητα ισχύει, διότι το k ∈ K. Στη συνέχεια, θα δείξουμε ότι η απεικόνιση j είναι G-ισοαναλλοίωτη. Πράγματι, είναι

Επίσης, η j είναι λεία, διότι, αν περιορίσουμε την απεικόνιση F στην ομάδα ισοτροπίας K, δηλαδή F : K → M, τότε είναι σταθερή, αφού για κάθε k ∈ K έχουμε

Επομένως, από την Πρόταση 10.1 και επειδή ισχύει ότι π^-1(m) = K, θα υπάρχει μοναδική λεία απεικόνιση , τέτοια ώστε ∘ π = F. Στη συγκεκριμένη περίπτωση η είναι η απεικόνιση j : G∕K → M.

΄Αρα, αφού η j είναι λεία και ισοαναλλοίωτη, από την Πρόταση 10.2 θα έχει σταθερή τάξη. Για να είναι αμφιδιαφόριση, αρκεί να δείξουμε ότι η j είναι 1 - 1 (άσκηση, βλ. και []). Για το επί, έστω q ∈ M. Τότε υπάρχει κάποιο στοιχείο g ∈ G, τέτοιο ώστε j(gK) = g⋅m = q. Η τελευταία ισότητα ισχύει, επειδή η δράση της G στην πολλαπλότητα M είναι μεταβατική. Τέλος, η απεικόνιση j είναι 1-1, αφού, αν j(g₁K) = j(g₂K), τότε g₁ ⋅ m = g₂ ⋅ m, δηλαδή g₁^-1g₂ ⋅ m = m κατ′ επέκταση g₁^-1g₂ ∈ K, οπότε g₁K = g₂K. Το (γ) είναι άμεσο. ▄

Από το Θεώρημα 10.2 οδηγούμαστε στον παρακάτω ορισμό:

Αν (M,g) είναι μια πολλαπλότητα Riemann, τότε το σύνολο των ισομετριών I(M) είναι ομάδα με πράξη τη σύνθεση συναρτήσεων. ΄Ενα θεώρημα των Myers-Steenrod αναφέρει ότι το σύνολο I(M) είναι ομάδα Lie. Επίσης, η ομάδα I(M) δρά μεταβατικά στην πολλαπλότητα Riemann M ως εξής:

Η μεταβατικότητα σημαίνει ότι, για κάθε δύο σημεία p,q ∈ M υπάρχει μια ισομετρία f ∈ I(M), τέτοια ώστε f(p) = q. Σε αυτή την περίπτωση η M ονομάζεται omogenc pollaplthta Riemann. Επιπλέον, ισχυει το εξής:

Περισσότερα για τις γεωμετρίες Klein και για τη μετάβαση στη γεωμετρία κατά Cartan (μελέτη μιας συνοχής σε μια κύρια G-δέσμη), παραπέμπουμε στο βιβλίο [14].

Σε μια πολλαπλότητα ενδέχεται να δρούν μεταβατικά περισσότερες από μία ομάδες Lie, έτσι η ίδια πολλαπλότητα θα είναι αμφιδιαφορική με διαφορετικούς ομογενείς χώρους. Ενα χαρακτηριστικό παράδειγμα, όπως θα δούμε στη συνέχεια είναι η σφαίρα Sⁿ. Η εύρεση όλων ομάδων Lie, οι οποίες δρουν μεταβατικά σε μια πολλαπλότητα, αποτελεί ένα δύσκολο πρόβλημα της γεωμετρίας. Επίσης, πρέπει να αναφέρουμε ότι τα παραδείγματα που θα μελετήσουμε στη συνέχεια είναι όλα παραδείγματα ομογενών πολλαπλότητων Riemann. Το χαρακτηριστικό στοιχείο σε αυτά τα παραδείγματα είναι ότι δεν απαιτείται να δρά ολόκληρη η ομάδα των ισομετρίων της πολλαπλότητας, αλλά μια υποομάδα αυτής.

Παραδείγματα.

1. ΄Εστω G μια ομάδα Lie. Τότε η G εκφράζεται ως ομογενής χώρος με τους εξής δύο τρόπους: G = G∕{e} = (G × G)∕G. Στην πρώτη περίπτωση η G δρα μεταβατικά στον ευατό της μέσω της αριστερής μεταφοράς L_a : G → G, για κάθε a ∈ G. Στη δεύτερη περίπτωση η ομάδα G × G δρά στην G μέσω των αριστερών και δεξιών μεταφορών. Η ομάδα ισοτροπίας στη δεύτερη περίπτωση είναι η G, η οποία εμφυτεύεται στην G × G κατά διαγώνιο τρόπο.

2. ΄Εστω G μια ομάδα Lie διάστασης n και έστω 𝔤 η άλγεβρα Lie της G. Θεωρούμε το σύνολο 𝔐 όλων των εσωτερικών γινομένων της άλγεβρας 𝔤. Θα αποδείξουμε ότι το σύνολο

είναι αμφιδιαφορικό με τον ομογενή χώρο GL_nℝ∕O(n). Συγκεκριμένα, θα δείξουμε ότι η γενική γραμμική ομάδα GL_nℝ δρά μεταβατικά στο 𝔐. ΄Εστω

(10.1)

Η απεικόνιση (10.1) είναι μια δράση διότι, για κάθε (u,υ) ∈𝔤 ×𝔤 έχουμε

όπου [f] είναι ο πίνακας της απεικόνισης f ως προς μια βάση του χώρου 𝔤. Επομένως, αν επιλέξουμε τον πίνακα g = P ∈ O(n) ⊂ GL_nℝ, τότε θα έχουμε

Πρέπει να σημειώσουμε ότι η δράση που ορίσαμε μέσω της απεικόνισης (10.1) με μορφή πινάκων, γράφεται ως A ⋅ [f] = (A^-1)^t[f]A^-1. Τέλος, θα υπολογίσουμε την ομάδα ισοτροπίας του εσωτερικού γινομένου h ∈𝔐 ως προς το οποίο η βάση της άλγεβρας Lie 𝔤 είναι ορθοκανονική, δηλαδή πρέπει να προσδιορίσουμε το σύνολο

Γνωρίζουμε ότι κάθε πίνακας A ∈ GL_nℝ ικανοποιεί την σχέση = , οπότε αν υποθέσουμε ότι A ∈ O(n), τότε θα έχουμε = = , δηλαδή οι ορθογώνιοι πίνακες αφήνουν αναλλοίωτο το εσωτερικό γινόμενο. Επομένως, για την ομάδα ισοτροπίας (GL_nℝ)_h, αν επιλέξουμε g ∈ O(n), τότε θα είναι

άρα (GL_nℝ)_h = O(n). Από το Θεώρημα 10.2 η απεικόνιση

είναι αμφιδιαφόριση, οπότε

3. ΄Εστω Sⁿ = (x₁,…,x_n+1) ∈ ℝⁿ⁺¹ : ∑ _ix_i² = 1 η μοναδιαία σφαίρα στον ℝⁿ⁺¹. Αν είναι το κανονικό εσωτερικό γινόμενο του ℝⁿ⁺¹, τότε το σύνολο αυτό εκφράζεται και ως

Θα δείξουμε ότι η σφαίρα Sⁿ είναι αμφιδιαφορική με τον ομογενή χώρο O(n + 1)∕O(n). Θα πρέπει δηλαδή να ορίσουμε μια μεταβατική δράση της ορθογώνιας ομάδας O(n + 1) στην Sⁿ και στη συνέχεια να υπολογίσουμε την ομάδα ισοτροπίας σε κάποιο σημείο της σφαίρας. Για το πρώτο γνωρίζουμε ότι η GL_n+1ℝ δρά με φυσικό τρόπο στον Ευκλείδειο χώρο ℝⁿ⁺¹ μέσω του πολλαπλασιασμού πινάκων. Στην περίπτωση που A ∈ O(n + 1), δηλαδή A^tA = I, τότε είναι

Η πρώτη ισότητα ισχύει, διότι για κάθε πίνακα A ∈ GL_nℝⁿ⁺¹ το εσωτερικό γινόμενο ικανοποιεί την σχέση = . Η παραπάνω σχέση μας λέει ότι κάθε ορθογώνιος πίνακας διατηρεί τα μέτρα των διανυσμάτων του ℝⁿ⁺¹. Επομένως, μπορούμε να περιορίσουμε τη φυσική δράση της ειδικής γραμμικής ομάδας στον ℝⁿ⁺¹, στη δράση της ομάδας O(n + 1) στη μοναδιαία σφαίρα Sⁿ ως εξής:

Θα αποδείξουμε ότι η δράση αυτή είναι μεταβατική. Πράγματι, αν e₁ = ^t ∈ Sⁿ και υ ∈ Sⁿ ένα άλλο μοναδιαίο διάνυσμα, αναζητάμε πίνακα A ∈ O(n + 1) τέτοιον ώστε Ae₁ = υ. Αρκεί να επιλέξουμε A = (υ υ₁…υ_n), όπου {υ,υ₁,…,υ_n} είναι μια ορθοκανονική βάση του ℝⁿ⁺¹. Στη συνέχεια, θα υπολογίσουμε την ομάδα ισοτροπίας του σημείου e₁ ∈ Sⁿ, δηλαδή θα πρέπει να βρούμε το σύνολο

Αν επιλέξουμε A = , τότε Ae₁ = e₁. Θα πρέπει όμως ο A να ανήκει στην ορθογώνια ομάδα O(n + 1), δηλαδή detA = ±1, άρα αρκεί να πάρουμε B ∈ O(n). Επομένως, η ομάδα ισοτροπίας θα περιέχει πίνακες της παραπάνω μορφής. Λόγω της εμβύθισης

μπορούμε να ταυτίσουμε όλους τους πίνακες της ορθογώνιας ομάδας O(n) με πίνακες της O(n + 1), οπότε η ομάδα ισοτροπίας του σημείου e₁ ∈ Sⁿ είναι

δηλαδή μια κλειστή υποομάδα της O(n + 1). Σύμφωνα με το Θεώρημα 10.2 η απεικόνιση

είναι αμφιδιαφόριση, επομένως

Στην περίπτωση που θεωρήσουμε την δράση της ειδικής ορθογώνιας ομάδας SO(n + 1) στη σφαίρα Sⁿ τότε θα έχουμε

4. Το μιγαδικό ανάλογο του προηγούμενου παραδείγματος προέρχεται από τη φυσική δράση της GL_n+1ℂ στον μιγαδικό χώρο ℂⁿ⁺¹. Σε αυτή την περίπτωση θα είναι

Το εσωτερικό γινόμενο ορίζεται ως = ∑ _i=1u_iυ_i. Θα δείξουμε ότι η σφαίρα είναι αμφιδιαφορική με τον ομογενή χώρο U(n + 1)∕U(n). Ενας ερμητιανός πίνακας A ∈ U(n + 1) διατηρεί τα μέτρα των διανυσμάτων του χώρου ℂⁿ⁺¹. Πράγματι,

όπου η πρώτη ισότητα ισχύει από την ιδιότητα του εσωτερικού γινομένου στον ℂⁿ⁺¹, ενώ στη δεύτερη ισότητα χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι A ∈ U(n + 1), δηλαδή A^tA = I. Συνεπώς, περιορίζοντας τη δράση της GL_n+1ℂ στη δράση της μοναδιαίας ομάδας U(n + 1) στην σφαίρα Sⁿ, δηλαδή

και εργαζόμενοι όπως στο Παράδειγμα 3, προκύπτει ότι η δράση είναι μεταβατική. Επιπλέον, η ομάδα ισοτροπίας σε κάποιο σημείο της σφαίρας είναι η κλειστή υποομάδα U(n) της U(n + 1). ΄Αρα η μοναδιαία σφαίρα S²ⁿ⁺¹ θα είναι αμφιδιαφορική με τον ομογενή χώρο U(n + 1)∕U(n). Τέλος, λαμβάνοντας υπόψη τον προσανατολισμό των βάσεων στον ℂⁿ⁺¹, η S²ⁿ⁺¹ θα είναι αμφιδιαφορική με τον ομογενή χώρο SU(n + 1)∕SU(n), άρα

Επίσης, υπάρχει και το υπερμιγαδικό ανάλογο του παραδείγματος αυτού, δηλαδή

Μάλιστα, από τα παραπάνω προκύπτει ότι S⁰O(1), S¹U(1)SO(2) και S³SU(2)Sp(1) (και όπως έχουμε αναφέρει στο Κεφάλαιο 7 αυτές είναι οι μόνες σφαίρες που επιδέχονται δομή ομάδας Lie).

5. Ο πραγματικός προβολικός χώρος ℝPⁿ είναι αμφιδιαφορικός με τον ομογενή χώρο SO(n + 1)∕O(n)O(n + 1)∕O(n) × O(1). Για την πρώτη περίπτωση θεωρούμε τη δράση της SO(n + 1) στον ℝⁿ⁺¹\{0} μέσω του πολλαπλασιασμού πινάκων και την περιορίζουμε στον υπόχωρο ℝPⁿ ⊂ ℝⁿ⁺¹\{0}, δηλαδή

Η δράση αυτή είναι μεταβατική, ενώ η ομάδα ισοτροπίας είναι η O(n), η οποία είναι μια κλειστή υποομάδα της SO(n + 1), οπότε ℝPⁿSO(n + 1)∕O(n). Στη δεύτερη περίπτωση θεωρούμε τη λεία δράση της ορθογώνιας ομάδας O(n + 1) στον ℝPⁿ. Αποδεικνύεται ότι η δράση είναι μεταβατική, ενώ η ομάδα ισοτροπίας σε κάποιο σημείο του προβολικού χώρου αποτελείται από τους πίνακες

Θα ισχύουν τα ίδια και για τον μιγαδικό προβολικό χώρο ℂPⁿ, ο οποίος θα είναι αμφιδιαφορικός με τους ομογενείς χώρους SU(n + 1)∕U(n) = U(n + 1)∕U(n) × U(1).

6. Οι πολλαπλότητες Grassmann Gr_kℝⁿ.
Μία πολλαπλότητα Grassmann αποτελείται από το σύνολο όλων των k-διάστατων υποχώρων του ℝⁿ. Αποδεικνύεται ότι το σύνολο αυτο έχει δομή μιας λείας πολλαπλότητας (βλ. [4], [13]). ΄Ενας k-διάστατος υπόχωρος W ∈ Gr_kℝⁿ είναι δυνατόν να παράγεται από k ορθοκανονικά διανύσματα του ℝⁿ, δηλαδή W = span{x₁,…,x_k}≡, όπου k ≤ n. Θεωρώντας τα x_i, i = 1,…,k ως διανύσματα-στήλη, μπορούμε να γράψουμε το ως έναν n × k πίνακα ως = (x₁,…,x_k). Θα δείξουμε ότι η πολλαπλότητα Gr_kℝⁿ είναι αμφιδιαφορική με τον ομογενή χώρο

Από το Παράδειγμα 2 γνωρίζουμε ότι ένας ορθογώνιος πίνακας A ∈ O(n) διατηρεί τα μέτρα των διανυσμάτων του ℝⁿ, οπότε το σύνολο

(όπου A⋅ỹ είναι πολλαπλασιασμός πινάκων), θα είναι ένας k-διάστατος υπόχωρος του ℝⁿ. Επομένως, η δράση της ορθογώνιας ομάδας O(n) στην πολλαπλότητα Grassmann μπορεί να οριστεί ως εξής:

Θα αποδείξουμε ότι η δράση είναι μεταβατική. ΄Εστω V ένας k-διάστατος υπόχωρος του ℝⁿ, ο οποίος παράγεται από τα πρώτα k διανύσματα της κανονικής βάσης του ℝⁿ, ας τη συμβολίζουμε με B = {e₁,…,e_k,e_k+1,…,e_n} και έστω W ∈ Gr_kℝⁿ ένας άλλος k-διάστατος υπόχωρος, ο οποίος παράγεται από k ορθοκανονικά διανύσματα u₁,…,u_k του ℝⁿ. Από την γραμμική άλγεβρα γνωρίζουμε ότι μπορούμε να βρούμε διανύσματα u_k+1,…,u_n τέτοια ώστε το σύνολο B′ = {u₁,…,u_k,u_k+1,…,u_n} να είναι μια ορθοκανονική βάση του ℝⁿ. Επίσης, γνωρίζουμε ότι ο πίνακας μετάβασης από μια ορθοκανονική βάση σε μία άλλη είναι ορθογώνιος, οπότε στην περίπτωσή μας αρκεί να πάρουμε τον πίνακα μετάβασης από τη βάση B′ στην B, δηλαδή A = (u₁,…,u_n), όπου τα u_i, i = 1,…,n είναι τα διανύσματα-στήλες του ℝⁿ. Τότε θα είναι Ae_i = u_i, i = 1,…,n. Για παράδειγμα, αν υποθέσουμε ότι κάθε u_i εκφράζεται ως u_i = , τότε A = . Οπότε, για παράδειγμα έχουμε:

Τέλος, αν θέσουμε ẽ = (e₁…,e_k) και ũ = (u₁,…,u_k) ως τους n × k πίνακες που αποτελούνται από τα διανύσματα-στήλες του ℝⁿ τα οποία παράγουν τους υποχώρους V και W αντίστοιχα, τότε θα είναι Aẽ = (u₁,…,u_k) = ũ, δηλαδή A⋅V = W. Επομένως, η δράση είναι μεταβατική. Η ομάδα ισοτροπίας του υπόχωρου V είναι το σύνολο το οποίο περιέχει πίνακες της μορφής

Αυτό είναι μια κλειστή υποομάδα της O(n) και είναι ισόμορφο με την ομάδα O(k) × O(n - k). Επομένως, η απεικόνιση

είναι αμφιδιαφόριση, άρα Gr_kℝⁿO(n)∕O(k) × O(n - k). Στην περίπτωση που λάβουμε υπόψην τον προσανατολισμό των βάσεων και διαλέξουμε προσανατολισμένους υπόχωρους του Ευκλείδειου χώρου, τότε οδηγούμαστε σε μια μεταβατική δράση της SO(n) στην πολλαπλότητα Grassmann, οπότε με παρόμοιο σκεπτικό η πολλαπλότητα Gr_kℝⁿ είναι αμφιδιαφορική με τον ομογενή χώρο SO(n)∕SO(k) × SO(n - k). Τέλος, αξίζει να σημειώσουμε ότι η διάσταση της πολλαπλότητας Grassmann είναι:

7. Οι πολλαπλότητες Stiefel V _kℝⁿ.
Οι πολλαπλότητες Stiefel V _kℝⁿ είναι το σύνολο όλων των ορθοκανονικών k-διάστατων πλαισίων (orthonormal k-frames) ũ = (u₁,…,u_k), k ≤ n, όπου u_i, i = 1,…,k είναι ορθοκανονικά διανύσματα του ℝⁿ. Αποδεικνύεται ότι το σύνολο αυτό έχει δομή λείας πολλαπλότητας (βλ. [4], [13]). ΄Οπως και στο προηγούμενο παράδειγμα, αν θεωρήσουμε τα διανύσματα του ℝⁿ ως διανύσματα-στήλες, τότε κάθε τέτοιο πλαίσιο μπορεί να εκφραστεί ως ένας n × k πίνακας. Θα αποδείξουμε ότι ο χώρος V _kℝⁿ είναι αμφιδιαφορικός με τον ομογενή χώρο O(n)∕O(n - k). Πρώτα θα ορίσουμε μια δράση της ορθογώνιας ομάδας στην πολλαπλότητα V _kℝⁿ. Επειδή η ομάδα O(n) όταν δράσει στον χώρο ℝⁿ διατηρεί τα μήκη των διανυσμάτων, θα έχουμε ότι το A ⋅ũ (όπου ũ είναι n × k πίνακας), είναι ένα ορθοκανονικό πλαίσιο, αφού ισχύει ότι

Συνεπώς, ορίζουμε την δράση της O(n) στην πολλαπλότητα V _kℝⁿ, ως εξής:

Θα αποδείξουμε ότι η δράση αυτή είναι μεταβατική. ΄Εστω ένα τυχαίο στοιχείο ũ = (u₁,…,u_k) ∈ V _kℝⁿ. Τότε ως γνωστόν μπορούμε να βρούμε διανύσματα u_k+1,…,u_n του ℝⁿ, έτσι ώστε το σύνολο {u₁,…,u_k,u_k+1,…,u_n} να είναι μια ορθοκανονική βάση του ℝⁿ. Θεωρώντας κάθε u_i,(i = 1,…,n) ως διάνυσμα-στήλη, ορίζουμε τον n×n πίνακα A = (u₁ … u_n). Προφανώς ο πίνακας A ανήκει στην O(n) και ικανοποιεί τη σχέση

όπου {e₁ = (1,…,0),…,e_n = (0,…,1)} είναι η κανονική βάση του ℝⁿ. ΄Αρα, αν θέσουμε ẽ = (e₁,…,e_k), θα έχουμε A ⋅ẽ = ũ, επομένως η δράση είναι μεταβατική. Η ομάδα ισοτροπίας του ẽ = (e₁,…,e_k) είναι το σύνολο το οποίο αποτελείται από πίνακες της μορφής

Το σύνολο αυτό αποτελεί κλειστή υποομάδα της O(n) και είναι ισόμορφο με την ομάδα O(n - k). ΄Αρα η απεικόνιση

είναι μια αμφιδιαφόριση, οπότε V _kℝⁿO(n)∕O(n - k). Στην περίπτωση που επιλέξουμε A ∈ SO(n), τότε με παρόμοιο τρόπο προκύπτει ότι

Τέλος, η διάσταση της πολλαπλότητας V _kℝⁿ είναι:

10.3 Αναγωγικοί ομογενείς χώροι

Προκειμένου να μελετήσουμε τη γεωμετρία ενός ομογενούς χώρου G∕K, θα επιθυμούσαμε μια αποτελεσματική περιγραφή του εφαπτόμενου χώρου T_o(G∕K), όπου o = eK = K είναι το ουδέτερο σύμπλοκο του χώρου πηλίκο G∕K. Μια τέτοια περίπτωση συμβαίνει όταν ο ομογενής χώρος είναι αναγωγικός. Επειδή η κανονική προβολή π : G → G∕K είναι υπεμβάπτιση, τότε T_o(G∕K)𝔤∕𝔨, όπου με o συμβολίζουμε το ουδέτερο σύμπλοκο eK = K του ομογενούς χώρου G∕K. Στους αναγωγικούς ομογενείς χώρους, που θα παρουσιάσουμε στη συνέχεια, θα δούμε ότι ο πρηγούμενος ισομορφισμός γίνεται πολύ πιο απλός.

Αν ισχύει Ad(k)𝔪 ⊂𝔪, τότε προκύπτει ότι [𝔨,𝔪] ⊂𝔪. Το αντίστροφο ισχύει μόνο στην περίπτωση που η ομάδα K είναι συνεκτική.

Μια περίπτωση όπου ο ομογενής χώρος G∕K είναι αναγωγικός, είναι αυτή κατά την οποία η ομάδα Lie G είναι συμπαγής και ημιαπλή. Πράγματι, τότε αρκεί να πάρουμε ως υπόχωρο 𝔪 = 𝔨^⊥, το ορθογώνιο συμπλήρωμα της 𝔨 στην άλγεβρα Lie 𝔤 ως πρός το -B, την αρνητική τιμή της μορφής Killing της 𝔤 (γενικότερα μπορούμε να πάρουμε ένα οποιοδήποτε Ad(K)-αναλλοίωτο εσωτερικό γινόμενο της 𝔤). ΄Αλλες περιπτώσεις κατά τις οποίες ένας ομογενής χώρος G∕K αναγωγικός, είναι οι εξής (βλ. [10]):

• Η K να είναι συμπαγής.
• Η K να είναι συνεκτική και ημιαπλή.
• Η K να είναι διακριτή υποομάδα της G. Τότε έχουμε την τετριμμένη περίπτωση 𝔨 = 0 και 𝔪 = 𝔤.

Απόδειξη. Θα δείξουμε ότι για κάθε k ∈ K είναι Ad(k)𝔨^⊥ = {Ad(k)X : X ∈𝔨^⊥}⊆𝔨^⊥. ΄Εστω X ∈𝔨^⊥ και Y ∈𝔨, οπότε = 0. Για κάθε h ∈ K θα έχουμε:

Επομένως, αφού για κάθε k ∈ K ισχύει = 0, αυτό σημαίνει ότι το Ad(k)X είναι ορθογώνιο σε κάθε Y ∈𝔨, άρα είναι ορθογώνιο στον υπόχωρο 𝔨. Οπότε για κάθε X ∈𝔨^⊥ και k ∈ K, έχουμε Ad(h)X ∈𝔨^⊥, δηλαδή ο υπόχωρος 𝔨^⊥ είναι Ad(K)-αναλλοίωτος. ▄

Θεωρούμε τώρα την κανονική προβολή π : G → G∕K, π(g) = gK και υποθέτουμε ότι ο G∕K είναι ένας αναγωγικός ομογενής χώρος. Τότε το διαφορικό (dπ)_e : 𝔤 → T_o(G∕K) επάγει έναν γραμμικό ισομορφισμό μεταξύ του 𝔪 και T_o(G∕K). Για να το αποδείξουμε, χρειαζόμαστε την παρακάτω πρόταση.

Απόδειξη. Η απεικόνιση f είναι σταθερή στο σύνολο Z = f^-1(y) ⊂ M, οπότε το διαφορικό της θα είναι μηδέν στον T_xZ ⊂ T_xM, για κάθε x ∈ Z. ΄Αρα ο T_xZ είναι υπόχωρος του Kerdf_x = {A ∈ T_xM : df_xA = 0}. Επίσης, έχουμε ότι για κάθε σημείο x ∈ Z η απεικόνιση df_x : T_xM → T_yN είναι επί. Επομένως,

Η τέταρτη ισότητα ισχύει από υπόθεση. Οπότε, αφού dimKerdf_x = dim(Z) = dim(KerT_xZ) και επειδή ο T_xZ είναι υπόχωρος του πυρήνα Kerdf_x, θα έχουμε το ζητούμενο, δηλαδή Kerdf_x = T_xZ. ▄

Ο ισομορφισμός 𝔪T_o(G∕K) προκύπτει τώρα ως εξής: Η π είναι υπεμβάπτιση οπότε το διαφορικό της είναι επί σε κάθε σημείο της G, άρα και στο ουδέτερο e. Το σημείο o = eK = K ∈ G∕K είναι μια κανονική τιμή της προβολής π και π^-1(o) = K. Τότε, ο πυρήνας του διαφορικού (dπ)_e, σύμφωνα με την προηγούμενη πρόταση, θα είναι ο εφαπτόμενος χώρος της υποπολλαπλότητας K = π^-1(o), δηλαδή Ker(dπ)_e = T_eK = 𝔨. Συνεπώς έχουμε

και επειδή ο ομογενής χώρος G∕K είναι αναγωγικός, δηλαδή 𝔤 = 𝔨 ⊕𝔪, η παραπάνω ισότητα γράφεται

Επειδή το διαφορικό (dπ)_e είναι μια γραμμική και επί απεικόνιση, παίρνουμε τον κανονικό ισομορφισμό 𝔪T_o(G∕K). Στην περίπτωση που ο ομογενής χώρος G∕K δεν είναι αναγωγικός, ο παραπάνω ισομορφισμός είναι μόνο μεταξύ των 𝔤∕𝔨 και T_o(G∕K).

Σχήμα 10.1: Για έναν αναγωγικό ομογενή χώρο G∕K με αναγωγική ανάλυση 𝔤 = 𝔨 ⊕𝔪, ισχύει ο ισομορφισμός 𝔪T_o(G∕K).

΄Εστω G∕K ένας αναγωγικός ομογενής χώρος και 𝔤 = 𝔨 ⊕𝔪 η αντίστοιχη αναγωγική ανάλυση της άλγεβρας Lie 𝔤. Αν X ∈𝔤 και exptX η αντίστοιχη μονοπαραμετρική υποομάδα που παράγεται από το X τότε

δηλαδή (dπ)_e(X) = (dπ)_e(X_𝔪) = X_o^*. Γενικά, για κάθε αριστερά αναλλοίωτο διανυσματικό πεδίο X ∈𝔤 ορίζουμε το διανυσματικό πεδίο X^* στον ομογενή χώρο G∕K μέσω της σχέσης

Για την καλύτερη κατανόηση των παραπάνω εννοιών θα δώσουμε στη συνέχεια, ένα παράδειγμα υπολογισμού της αναγωγικής ανάλυσης ενός ομογενούς χώρου.

Παράδειγμα. Θα βρούμε την αναγωγική ανάλυση του ομογενούς χώρου SU(3)∕S(U(1) × U(1) × U(1)) = SU(3)∕T, όπου T ο μεγιστικός δακτύλιος της SU(3). Ο συγκεκριμένος χώρος ονομάζεται πολλαπλότητα σημαιών (flag manifold) ² και έχει διάσταση dimSU(3) - dimT = 3² - 1 - (3 - 1) = 6. Η άλγεβρα Lie της SU(3) είναι το σύνολο

θα χρησιμοποιήσουμε τη μορφή Killing της SU(3), η οποία δίνεται από την σχέση B(X,Y ) = 6tr(XY ). Επειδή η SU(3) είναι συμπαγής και ηπιαπλή, ένα εσωτερικό γινόμενο που ορίζεται στην άλγεβρα Lie 𝔰𝔲(3) είναι το = -B( , ), οπότε ως προς αυτό το γινόμενο θα έχουμε

Για να προσδιορίσουμε το παραπάνω σύνολο παίρνουμε για C τους πίνακες e₁,e₂ και για A τον πίνακα που δίνεται από την έκφραση (10.2) και θα πρέπει = -tr(AC) = 0 για κάθε C ∈{e₁,e₂}. ΄Εχουμε

Παίρνουμε για X και Y τους πίνακες

Τότε μετά από πράξεις θα καταλήξουμε στο εξής:

Συνεπώς, έχουμε βρεί μια αναγωγική ανάλυση του ομογενούς χώρου SU(3)∕S(U(1) × U(1) × U(1)) = SU(3)∕T.

10.4 Η ισοτροπική αναπαράσταση

Σε προηγούμενο κεφάλαιο ορίσαμε τη συζυγή αναπαράσταση Ad ≡ Ad^G : G → Aut(𝔤) μιας ομάδας Lie G ως το διαφορικό του εσωτερικού αυτομορφισμού I_g : G → G, με I_g(x) = gxg^-1 στο ουδέτερο σημείο της ομάδας G, δηλαδή Ad(g) ≡ Ad^G(g) = (dI_g)_e. Θα γενικεύσουμε τώρα αυτήν την έννοια για τους ομογενείς χώρους.

΄Εστω M μια λεία πολλαπλότητα και G μια ομάδα Lie η οποία δρά από τα αριστερά στην M μέσω της απεικόνισης a : G × M → M, (g,m)gm. Θεωρούμε την αμφιδιαφόριση a_g : M → M και έστω H = {g ∈ G : gp = p}⊆ G η ομάδα ισοτροπίας του σημείου p ∈ M. Τότε η ισοτροπική αναπαράσταση (isotropy representation) της H στο p ορίζεται ως

είναι μια αμφιδιαφόριση. Επίσης, παρατηρούμε ότι για κάθε k ∈ K έχουμε τ_k(o) = τ_k(eK) = keK = ekK = eK = o. Συνεπώς, για κάθε k ∈ K το διαφορικό της απεικόνισης τ_k αποτελεί έναν αυτομορφισμό του χώρου T_o(G∕K)𝔤∕𝔨. Επομένως, για την ισοτροπική αναπαράσταση δίνουμε τον εξής ορισμό.

Ορισμός 10.5: Η ισοτροπική αναπαράσταση (isotropy representation) ενός ομογενούς χώρου G∕K είναι ο ομομορφισμός

Δηλαδή για κάθε X ∈ T_o(G∕K) έχουμε Ad^G∕K(k)(X) = (dτ_k)_o(X).

Στην περίπτωση που ο ομογενής χώρος G∕K είναι αναγωγικός, δηλαδή υπάρχει ένας Ad^G(K)-αναλλοίωτος υπόχωρος 𝔪 τέτοιος ώστε 𝔤 = 𝔨 ⊕𝔪, τότε είναι δυνατόν να δοθεί μια ακριβής σχέση ανάμεσα στην ισοτροπική αναπαράσταση του ομογενούς χώρου G∕K και της συζυγούς αναπαράστασης Ad^G της ομάδας Lie G. Αρχικά θα συνοψίσουμε τις αναπαραστάσεις που έχουμε ορίσει μέχρι στιγμής

Πρόταση 10.6: ΄Εστω G∕K ένας αναγωγικός ομογενής χώρος και 𝔤 = 𝔨 ⊕𝔪 η αναγωγική ανάλυση της 𝔤. Τότε για κάθε k ∈ K και X = X_𝔨 ⊕ X_𝔪 ∈𝔤, όπου X_𝔨 ∈𝔨 και X_𝔪 ∈𝔪 ισχύει:

(10.3)

δηλαδή, Ad^G_K = Ad^K ⊕ Ad^G∕K.

Απόδειξη. Επειδή έχουμε ευθύ άθροισμα, αρκεί να αποδείξουμε την σχέση (10.3) για τις περιπτώσεις X_𝔨 = 0 και X_𝔪 = 0. Στη δεύτερη περίπτωση, δηλαδή X_𝔪 = 0, η (10.3) ισοδυναμεί με την Ad^G(k)X_𝔨 = Ad^K(k)X_𝔨. Αυτό πράγματι ισχύει, διότι, αν θεωρήσουμε τον περιορισμό της Ad^G στην K, Ad^G_K : K → Aut(𝔤), τότε για κάθε k ∈ K έχουμε Ad^K(k) = Ad^G(k)_𝔨, αφού η K είναι υποομάδα Lie της G.
Στην πρώτη περίπτωση αρκεί να δείξουμε ότι Ad^G(k)X_𝔪 = Ad^G∕K(k)X_𝔪, ή ισοδύναμα

Δηλαδή θα πρέπει να αποδείξουμε ότι η ισοτροπική αναπαράσταση του χώρου G∕K είναι ισοδύναμη με την συζυγή αναπαράσταση Ad^G_K στο χώρο 𝔪. Επομένως αρκεί να αποδειχθεί ότι το παρακάτω διάγραμμα είναι αντιμεταθετικό:

Πριν προχωρήσουμε στην απόδειξη, διευκρινίζουμε τα εξής: Η πρώτη οριζόντια απεικόνιση του διαγράμματος προέρχεται από τον περιορισμό της Ad^G(k) στον υπόχωρο 𝔪 και από το γεγονός ότι Ad^G(k)𝔪 ⊂𝔪. Οι κάθετες απεικονίσεις είναι ισομορφισμοί και προέρχονται από τον περιορισμό της (dπ)_e : 𝔤 → T_o(G∕K) στον 𝔪. ΄Εστω λοιπόν k ∈ K και X_𝔪 ∈𝔪. Θα δείξουμε ότι (dπ)_e(Ad^G(k)X_𝔪) = (dτ_k)_o((dπ)_e(X_𝔪)). ΄Εχουμε:

Στην τέταρτη ισότητα χρησιμοποιήσαμε ότι exp(Ad(g)X) = gexp(tX)g^-1 και στην πέμπτη ότι για κάθε k ∈ K ισχύει k^-1K = K. ▄

Από την παραπάνω απόδειξη προκύπτει το εξής:

Στην περίπτωση που ο G∕K δεν είναι αναγωγικός, το προηγούμενο πόρισμα ισχύει αν αντικαταστήσουμε τον 𝔪 με τον 𝔤∕𝔨.

Παρατήρηση. ΄Εστω G∕K ένας ομογενής χώρος και 𝔤 = 𝔨 ⊕𝔪 η αναγωγική ανάλυση της άλγεβρας Lie 𝔤. Τότε συνδυάζοντας τα όσα έχουμε αναφέρει μέχρι στιγμής καταλήγουμε στα ακόλουθα συμπεράσματα:

1. Αν η ισοτροπική αναπαράσταση Ad^G∕K : K → Aut(𝔪) είναι μη αναγώγιμη (δηλαδή οι μοναδικοί Ad^G∕K-αναλλοίωτοι υπόχωροι του 𝔪 είναι ο τετριμμένος {0} και ο 𝔪), τότε ο εφαπτόμενος χώρος 𝔪T_o(G∕K) δεν διασπάται σε μικρότερης διάστασης υποχώρους.
2. Στην περίπτωση που η ισοτροπική αναπαράσταση Ad^G∕K : K → Aut(𝔪) είναι αναγώγιμη, (δηλαδή υπάρχουν Ad^G∕K-αναλλοίωτοι υπόχωροι 𝔪_i του 𝔪T_o(G∕K)), τότε η ισοτροπική αναπαράσταση μπορεί να γραφεί ως ευθύ άθροισμα μη αναγώγιμων αναπαραστάσεων (ισοδύναμων ή μη ισοδύναμων) φ_i : K → Aut(𝔪_i), i = 1,2…l και l ≤ dim(𝔪) ως εξής:
   

Παραδείγματα.

1. Θα υπολογίσουμε την ισοτροπική αναπαράσταση του ομογενούς χώρου SO(4)∕SO(2) (πολλαπλότητα Stiefel διάστασης 5). ΄Εστω λ₄ : SO(4) → Aut(ℝ⁴) και Ad^SO(4) = ∧²λ₄ η συνήθης αναπαράσταση και η συζυγής αναπαράσταση αντίστοιχα, της SO(4). Γνωρίζουμε ότι η ισοτροπική αναπαράσταση Ad^{SO(4)∕SO(2)} : SO(2) → Aut(𝔪) του ομογενούς χώρου SO(4)∕SO(2) συνδέεται με τη συζυγή αναπαράσταση της SO(4) μέσω της σχέσης

Τότε θα έχουμε:

όπου V,W είναι διανυσματικοί χώροι πεπερασμένης διάστασης. Βλέπουμε ότι ο πρώτος όρος στην τελική έκφραση της περιορισμένης αναπαράστασης Ad^SO(4)_SO(2) είναι η συζυγής αναπαράσταση της SO(2), οπότε η ισοτροπική αναπαράσταση του ομογενούς χώρου είναι η

(10.4)

Παρατηρούμε ότι η ισοτροπική αναπαράσταση εκφράζεται ως ευθύ άθροισμα τριών μη αναγώγιμων αναπαραστάσεων διαστάσεων 1,2 και 2 αντίστοιχα. Το παραπάνω άθροισμα επάγει έναν ισομορφισμό του εφαπτόμενου χώρου 𝔪T_o(G∕K) με το ευθύ άθροισμα τριών πραγματικών υποχώρων⁴ διαστάσεων 1,2 και 2 αντίστοιχα, δηλαδή

Πρέπει να σημειώσουμε εδώ ότι, επειδή στην σχέση (10.4) οι δύο τελευταίες αναπαραστάσεις είναι ισοδύναμες, η διάσπαση του 𝔪 δεν είναι μοναδική.

2. ΄Εστω ο ομογενής χώρος G∕K = U(3)∕U(1) × U(1) × U(1) (πολλαπλότητα σημαιών διάστασης 6). Θα υπολογίσουμε την ισοτροπική αναπαράσταση του χώρου G∕K. Επειδή οι ομάδες Lie περιέχουν μιγαδικά στοιχεία, είναι πιο εύχρηστο να υπολογίσουμε τη μιγαδοποιημένη ισοτροπική αναπαράσταση. ΄Εστω μ₃ : U(3) → Aut(ℂ³) και μ₁ : U(1) → Aut(ℂ) οι κανονικές αναπαραστάσεις των U(3) και U(1) αντίστοιχα. Για τη μιγαδοποίηση της συζυγούς αναπαράστασης της U(n) ισχύει ότι Ad^U(n) ⊗ ℂ = μ_n ⊗_ℂμ_n. ΄Εστω σ_i : U(1) × U(1) × U(1) → U(1), i = 1,2,3, η προβολή στην i-συνιστώσα. Τότε η σύνθεση

είναι η κανονική αναπαράσταση της i-συνιστώσας του καρτεσιανού γινομένου K = U(1) × U(1) × U(1) (i = 1,2,3). ΄Εχουμε:

Η παραπάνω αναπαράσταση είναι αναγώγιμη και εκφράζεται ως ευθύ άθροισμα έξι μη ισοδύναμων και μη αναγώγιμων μιγαδικών αναπαραστάσεων. Κάθε μία από αυτές είναι μονοδιάστατη. Γι΄ αυτό, ο μιγαδοποιημένος εφαπτόμενος χώρος 𝔪^ℂ της G∕K είναι ισόμορφος με το ευθύ άθροισμα έξι μονοδιάστατων μιγαδικών υποχώρων

Σημειώνουμε ότι αυτή η διάσπαση επάγει μια διάσπαση του 𝔪 σε τρεις δισδιάστατους πραγματικούς υποχώρους,

όπου 𝔪_ij^ℂ = K_ij ⊕ K_ji.

Ο ομογενής χώρος G′∕K′ = SU(3)∕S(U(1) × U(1) × U(1)) έχει διάσταση 6 και είναι ισόμορφος με τον G∕K, συνεπώς ο μιγαδοποιημένος εφαπτόμενος χώρος του G′∕K′ (τον οποίο θα συμβολίζουμε επίσης με 𝔪^ℂ), είναι ισόμορφος με το παραπάνω ευθύ άθροισμα των έξι μονοδιάστατων υποχώρων K_ij.

10.5 G-αναλλοίωτες μετρικές και η συνοχή Levi-Civita

Ορισμός 10.7: ΄Εστω M = G∕K ένας ομογενής χώρος. Μια μετρική Riemann g στην M καλείται G-αναλλοίωτη (G-invariant), εάν για κάθε a ∈ G,p ∈ M η αμφιδιαφόριση τ_a : G∕K → G∕K τ_a(p) = ap είναι μια ισομετρία, δηλαδή

Θα δώσουμε τώρα μια περιγραφή των G-αναλλοίωτων μετρικών σε έναν αναγωγικό ομογενή χώρο.

Απόδειξη. ΄Εστω g μια G-αναλλοίωτη μετρική στον ομογενή χώρο G∕K. Ορίζουμε στον 𝔪 ένα εσωτερικό γινόμενο _o με περιορισμό της μετρικής στον εφαπτόμενο χώρο T_o(G∕K)𝔪, δηλαδή

Επειδή η μετρική είναι G-αναλλοίωτη, η προηγούμενη σχέση γράφεται και ως _o = g_o(X,Y ). Το εσωτερικό αυτό γινόμενο είναι Ad^G∕K-αναλλοίωτο. Πράγματι, είναι

Στην πρώτη ισότητα χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι η προβολή π είναι ισομετρία. Η τρίτη ισότητα ισχύει, διότι το διάγραμμα της Πρότασης 10.6 είναι αντιμεταθετικό και η τελευταία ισότητα ισχύει από τον ορισμό του εσωτερικού γινομένου, αφού για κάθε X ∈ T_o(G∕K) έχουμε ότι Ad^G∕K(k)X ∈ T_o(G∕K).

Αντίστροφα, έστω _o ένα Ad^G∕K-αναλλοίωτο εσωτερικό γινόμενο στο χώρο 𝔪. Επεκτείνουμε αυτό το γινόμενο σε ολόκληρο τον ομογενή χώρο G∕K, δηλαδή για κάθε σημείο gK ∈ G∕K θέτουμε

(10.5)

Λόγω του Ad^G∕K-αναλλοίωτου, αυτό το εσωτερικό γινόμενο δεν εξαρτάται από την επιλογή του αντιπροσώπου (άσκηση). Επίσης από την σχέση (10.5) προκύπτει ότι η dτ_k : 𝔪 →𝔪 είναι ισομετρία, επομένως η μετρική στον ομογενή χώρο είναι G-αναλλοίωτη. ▄

Κάθε εσωτερικό γινόμενο στον υπόχωρο 𝔪 που ικανοποιεί τη Συνθήκη 2 της προηγούμενης πρότασης καλείται Ad(K)-αναλλοίωτο.

Αν K = {e}, τότε ο ομογενής χώρος G∕K είναι ουσιαστικά η ομάδα Lie G και σε αυτή την περίπτωση ο ισομορφισμός 𝔪T_o(G∕K) γενικεύει τον ισομορφισμό 𝔤T_eG. Τότε οι G-αναλλοίωτες μετρικές στον ομογενή χώρο G∕K αποτελούν τη γενίκευση των αριστερά αναλλοίωτων μετρικών στην ομάδα G. Η έννοια της αμφιαναλλοίωτης μετρικής σε μια ομάδα Lie G στους ομογενείς χώρους γενικεύται ως εξής:

Ορισμός 10.8: ΄Εστω G∕K ένας αναγωγικός ομογενής χώρος εφοδιασμένος με μια G-αναλλοίωτη μετρική. Ο G∕K ονομάζεται φυσικά αναγωγικός (naturally reductive), αν το αντίστοιχο εσωτερικό γινόμενο στον χώρο 𝔪 ικανοποιεί την σχέση

για κάθε X,Y,Z ∈𝔪.

Επειδή ο ομογενής χώρος G∕K είναι αναγωγικός, η άλγεβρα Lie 𝔤 της ομάδας G θα γράφεται ως 𝔤 = 𝔨 ⊕𝔪, οπότε στην παραπάνω σχέση συμβολίζουμε με [X,Y ]_𝔪 τη συνιστώσα του [X,Y ] στον υπόχωρο 𝔪. Γενικά ισχύει [X,Y ] = [X,Y ]_𝔨 + [X,Y ]_𝔪. ΄Ενα παράδειγμα φυσικά αναγωγικού ομογενούς χώρου είναι η σφαίρα SⁿSO(n + 1)∕SO(n).

΄Εστω G∕K ένας ομογενής χώρος με την G να είναι συμπαγής και ημιαπλή ομάδα Lie. Επειδή η G είναι συμπαγής, θα επιδέχεται μια αμφιαναλλοίωτη μετρική. Αυτή επάγει ένα Ad(G)-αναλλοίωτο εσωτερικό γινόμενο στην άλγεβρα Lie 𝔤, το οποίο θα συμβολίζουμε με Q = Q(⋅,⋅). Ως προς αυτό το εσωτερικό γινόμενο θεωρούμε την αναγωγική ανάλυση 𝔤 = 𝔨 ⊕𝔪 της 𝔤, όπου ο υπόχωρος 𝔪 είναι το ορθογώνιο συμπλήρωμα ως προς το Q του 𝔨, δηλαδή 𝔪 = 𝔨^⊥ και Q(𝔪,𝔨) = 0. Ο περιορισμός του εσωτερικού γινομένου Q στον υπόχωρο 𝔪 επάγει στον ομογενή χώρο G∕K μια G-αναλλοίωτη μετρική g = Q|_𝔪, η οποία λέγεται φυσική μετρική (normal homogeneous Riemannian metric). Μια τέτοια μετρική είναι φυσικά αναγωγική. Μια ειδική κατηγορία αυτών των μετρικών δίνεται από τον παρακάτω ορισμό,

Ορισμός 10.9: Η φυσική μετρική στον ομογενή χώρο G∕K, η οποία επάγεται από το εσωτερικό γινόμενο -B(⋅,⋅), όπου B η μορφή Killing της 𝔤, δηλαδή

λέγεται κανονική μετρική (standard homogeneous Riemannian metric).

Ο καθορισμός όλων των G-αναλλοίωτων μετρικών στον ομογενή χώρο ή ισοδύναμα όλων των Ad^G∕K-αναλλοίωτων εσωτερικών γινομένων στον υπόχωρο 𝔪 εξαρτάται από την ισοτροπική αναπαράσταση Ad^G∕K : K → Aut(𝔪) του ομογενούς χώρου. Συγκεκριμένα, διακρίνουμε τις εξής δύο περιπτώσεις:

1. * Η ισοτροπική αναπαράσταση είναι μη αναγώγιμη. Τότε υπάρχει μοναδικό (αγνοώντας πολλαπλασιασμό με θετικές σταθερές) ισοτροπικά αναλλοίωτο εσωτερικό γινόμενο στον χώρο 𝔪, οπότε από την Πρόταση 10.7 η G-αναλλοίωτη μετρική στον ομογενή χώρο θα είναι μοναδική. Επιπλέον η μετρική αυτή είναι Einstein.

Πράγματι, επειδή η ομάδα Lie είναι συμπαγής και ημιαπλή, επιδέχεται μια αμφιαναλλοίωτη μετρική και κατ′ επέκταση θα υπάρχει ένα Ad(G)-αναλλοίωτο εσωτερικό γινόμενο στην 𝔤. Συγκεκριμένα, επειδή η ομάδα G είναι ημιαπλή, η μορφή Killing B θα είναι αρνητικά ορισμένη, οπότε μπορούμε να επιλέξουμε = -B(⋅,⋅). Οταν το περιορίσουμε στον υπόχωρο 𝔪, θα πάρουμε την κανονική μετρική g = -B(⋅,⋅)|_𝔪 στον ομογενή χώρο. Η μετρική αυτή είναι μοναδική, διότι η ισοτροπική αναπαράσταση είναι μη αναγώγιμη, άρα από το Θεώρημα 8.8 θα έχουμε ότι, αν ′ είναι ένα άλλο Ad^G∕K-αναλλοίωτο εσωτερικό γινόμενο στον 𝔪, τότε θα υπάρχει σταθερά λ ∈ ℝ⁺, τέτοια ώστε = λ′. Επιπλέον, επειδή ο τανυστής Ricci είναι μια Ad^G∕K-αναλλοίωτη συμμετρική διγραμμική μορφή, θα πρέπει με το ίδιο σκεπτικό να ισούται με κάποιο πολλαπλάσιο της μετρικής, δηλαδή Ric = cg,  c ∈ ℝ⁺, επομένως η κανονική μετρική του ομογενούς χώρου G∕K είναι μετρική Einstein.

1. ** Η ισοτροπική αναπαράσταση είναι αναγώγιμη, δηλαδή υπάρχουν Ad^G∕K-αναλλοίωτοι υπόχωροι 𝔪_i του 𝔪. Τότε η Ad^G∕K : K → Aut(𝔪) θα γράφεται ως ευθύ άθροισμα μη αναγώγιμων υποαναπαραστάσεων φ_i : K → Aut(𝔪_i), δηλαδή

   όπου 𝔪𝔪₁ ⊕𝔪₂ ⊕⊕𝔪_l και κάθε 𝔪_i είναι Ad^G∕K-αναλλοίωτος υπόχωρος.

Επειδή κάθε φ_i είναι μια μη αναγώγιμη αναπαράσταση, τότε σε κάθε υπόχωρο 𝔪_i θα υπάρχει μοναδικό Ad(K)-αναλλοίωτο εσωτερικό γινόμενο, δηλαδή ερχόμαστε στην πρώτη περίπτωση που περιγράψαμε προηγουμένως. ΄Οταν οι αναπαραστάσεις φ_i είναι ανά δύο μη ισοδύναμες, τότε η διάσπαση 𝔪𝔪₁ ⊕𝔪₂ ⊕⊕𝔪_l θα είναι μοναδική και επιπλέον οι υπόχωροι 𝔪_i, i = 1,…,l θα είναι κάθετοι μεταξύ τους. Σε αυτή την περίπτωση το ισοτροπικά αναλλοίωτο εσωτερικό γινόμενο στον 𝔪 θα γράφεται ως

όπου x_i ∈ ℝ⁺ για κάθε i = 1,2,…,l. ΄Αρα όλες οι G-αναλλοίωτες μετρικές στον ομογενή χώρο G∕K θα δίνονται από το παραπάνω εσωτερικό γινόμενο. Οι μετρικές αυτές ονομάζονται διαγώνιες (diagonal metrics).

Στην περίπτωση όμως που κάποιες από τις αναπαραστάσεις φ_i είναι ισοδύναμες, τότε η διάσπαση του 𝔪 δεν είναι μοναδική και επίσης ενδέχεται κάποιοι από τους υποχώρους 𝔪_i να μην είναι κάθετοι μεταξύ τους, οπότε εδώ οι διαγώνιες μετρικές θα αποτελούν ένα υποσύνολο όλων των G-αναλλοίωτων μετρικών του ομογενούς χώρου G∕K. Η πλήρης περιγραφή όλων των G-αναλλοίωτων μετρικών στον G∕K είναι αρκετά πιο δύσκολη. ΄Ενα παράδειγμα αυτής της περίπτωσης αποτελούν οι πολλαπλότητες Stiefel V _kℝⁿ. Για παράδειγμα, έχουμε δει ότι η ισοτροπική αναπαράσταση της V ₁ℝ⁴SO(4)∕SO(2) είναι Ad^{SO(4)∕SO(2)} = 1 ⊕ λ₂ ⊕ λ₂, όπου οι δύο τελευταίες υποαναπαραστάσεις είναι ισοδύναμες.

Στη συνέχεια, θα ορίσουμε τη συνοχή Levi-Civita σε έναν αναγωγικό ομογενή χώρο G∕K εφοδιασμένον με μια G-αναλλοίωτη μετρική. ΄Εστω 𝔤 = 𝔨 ⊕𝔪 η αναγωγική ανάλυση της άλγεβρας Lie 𝔤. Για κάθε X ∈𝔤 ορίζουμε το διανυσματικό πεδίο X^* στον ομογενή χώρο G∕K από την σχέση

Επειδή ο χώρος είναι αναγωγικός, μπορούμε να ταυτίσουμε τον 𝔪 με τον εφαπτόμενο χώρο T_o(G∕K) μέσω της απεικόνισης

Το διανυσματικό πεδίο X^* είναι ένα πεδίο Killing (βλ. Κεφάλαιο 6, ΄Ασκηση 8) και για κάθε X^*,Y ^*∈𝔛(G∕K) ισχύει η σχέση⁵

(10.7)

Θα χρειαστούμε λοιπόν το εξής:

Πρόταση 10.8: ΄Εστω (M,g) μια πολλαπλότητα Riemann εφοδιασμένη με τη συνοχή Levi-Civita. Αν X,Y,Z είναι διανυσματικά πεδία Killing, τότε ισχύει

(10.8)

Απόδειξη. Η συνοχή Levi-Civita χαρακτηρίζεται από την ταυτότητα Koszul:

Επειδή τα X,Y,Z είναι διανυσματικά πεδία Killing, θα ισχύουν οι σχέσεις

Αντικαθιστώντας τις σχέσεις αυτές στην ταυτότητα Koszul, θα πάρουμε τη ζητούμενη σχέση. ▄

Μπορούμε τώρα να ορίσουμε τη συνοχή Levi-Civita σε έναν ομογενή χώρο G∕K.

Θεώρημα 10.3: ΄Εστω G∕K ένας αναγωγικός ομογενής χώρος με αναγωγική διάσπαση 𝔤 = 𝔨 ⊕𝔪. ΄Εστω g μια G-αναλλοίωτη μετρική στον G∕K με το αντίστοιχο Ad^G∕K-αναλλοίωτο εσωτερικό γινόμενο στον 𝔪. Τότε, για κάθε X,Y,Z ∈𝔪T_o(G∕K), ισχύει

(10.9)

όπου η απεικόνιση U : 𝔪 ×𝔪 →𝔪 ορίζεται από την σχέση

(10.10)

Απόδειξη. ΄Εστω X,Y,Z ∈𝔪 με X^*,Y ^*,Z^* τα αντίστοιχα διανυσματικά πεδία Killing. Από τις σχέσεις (10.8) και (10.7) παίρνουμε

Επίσης, επειδή X,Y,Z ∈𝔪 έχουμε ότι

απ΄ όπου προκύπτει η ζητούμενη σχέση. ▄

Παρατήρηση. Στην περίπτωση που έχουμε U ≡ 0, δηλαδή ⟨[Z,X]_𝔪,Y ⟩ = -⟨X,[Z,Y ]_𝔪⟩, τότε επειδή το γινόμενο είναι Ad^G∕K-αναλλοίωτο, από την Πρόταση 9.2 θα ισχύει = - για κάθε X,Y,Z ∈𝔪. Συνδυάζοντας τις δύο προηγούμενες σχέσεις παίρνουμε ότι

δηλαδή ο ομογενής χώρος είναι φυσικά αναγωγικός.

10.6 Καμπυλότητα

Θα παρουσιάσουμε τύπους για τις διάφορες καμπυλότητες για μια G-αναλλοίωτη μετρική σε έναν αναγωγικό ομογενή χώρο. Επειδή οι αποδείξεις τους είναι αρκετά τεχνικές, δεν θα τις δώσουμε εδώ, αλλά παραπέμπουμε στα βιβλία [1] και [3], στις διπλωματικές εργασίες [15] και [18], καθώς και στην εργασία [17]. Θα δούμε όμως εφαρμογές σε μερικά παραδείγματα.

Θεώρημα 10.4: ΄Εστω G∕K ένας αναγωγικός ομογενής χώρος εφοδιασμένος με μια G-αναλλοίωτη μετρική g και 𝔤 = 𝔨 ⊕𝔪 η αναγωγική ανάλυση της άλγεβρας Lie 𝔤. Τότε, για κάθε X,Y ∈𝔪 ο τανυστής καμπυλότητας ικανοποιεί την σχέση

Εάν = = 1 και = 0, τότε η παραπάνω σχέση μας δίνει την καμπυλότητα τομής του επιπέδου που παράγεται από τα X,Y ∈ T_o(G∕K)𝔪.

Στη συνέχεια θα περιγράψουμε την καμπυλότητα Ricci σε έναν αναγωγικό ομογενή χώρο G∕K. Θεωρούμε μια ορθοκανονική βάση {X_i} του 𝔪 ως προς το Ad^G∕K-αναλλοίωτο εσωτερικό γινόμενο . Για να απλοποιήσουμε τον τύπο της καμπυλότητας Ricci, θέτουμε Z = ∑ _iU(X_i,X_i).

Λήμμα 10.1: Το Z = ∑ _iU(X_i,X_i) είναι το μοναδικό εφαπτόμενο διάνυσμα στον χώρο 𝔪, το οποίο για κάθε X ∈𝔪 ικανοποιεί την σχέση

Εδώ με tr συμβολίζουμε το ίχνος του ενδομορφισμού ad(X) : 𝔤 →𝔤.

Απόδειξη. Επειδή ο υπόχωρος 𝔪 είναι Ad^G∕K-αναλλοίωτος, θα ισχύει [𝔪,𝔨] ⊂𝔪, οπότε για κάθε X ∈𝔪 θα είναι [X,𝔨] ⊂𝔪. Συνεπώς, είναι

▄

Πρόταση 10.9: Η καμπυλότητα Ricci ενός αναγωγικού ομογενούς χώρου G∕K δίνεται από την σχέση

όπου {X_i} μια ορθοκανονική βάση του 𝔪 και Z το μοναδικό εφαπτόμενο διάνυσμα που ορίσαμε παραπάνω.

Ο προηγούμενος τύπος απλουστεύεται σημαντικά με την χρήση της μορφής Killing της 𝔤.

Πρόταση 10.10: Η καμπυλότητα Ricci για τον αναγωγικό ομογενή χώρο G∕K δίνεται από την σχέση

Τέλος, για τη βαθμωτή καμπυλότητα του αναγωγικού ομογενούς χώρου έχουμε το εξής:

Πρόταση 10.11: Η βαθμωτή καμπυλότητα δίνεται από την σχέση:

Ας δούμε τώρα την περίπτωση που ο ομογενής χώρος G∕K είναι φυσικά αναγωγικός. Τότε για την απεικόνιση U : 𝔪 ×𝔪 →𝔪 θα έχουμε U ≡ 0, επομένως η συνοχή Levi-Civita θα δίνεται από τον τύπο

Συνεπώς σε αυτή την περίπτωση οι τύποι για την καμπυλότητα του ομογενούς χώρου θα απλοποιούνται αρκετά.

Πρόταση 10.12: ΄Εστω G∕K ένας φυσικά αναγωγικός ομογενής χώρος. Τότε ο τανυστής καμπυλότητας δίνεται από τον τύπο

΄Οταν η μετρική στον φυσικά αναγωγικό ομογενή χώρο G∕K είναι η φυσική μετρική, δηλαδή g(⋅,⋅) = Q(⋅,⋅)|_𝔪 για την οποία ισχύει Q(𝔨,𝔪) = 0, τότε ο τανυστής καμπυλότητας και η καμπυλότητα Ricci δίνονται αντίστοιχα απο τους παρακάτω τύπους:

Παραδείγματα.

1. Θα μελετήσουμε την καμπυλότητα της σφαίρας S³SO(4)∕SO(3) ως προς την κανονική μετρική. Προτρέπουμε τον αναγνώστη να γενικεύσει το παράδειγμα αυτό για την σφαίρα SⁿSO(n + 1)∕SO(n).

Η άλγεβρα Lie 𝔰𝔬(4) της ομάδας Lie SO(4) αποτελείται από όλους τους 4 × 4 αντισυμμετρικούς πραγματικούς πίνακες, ΄Εστω e_ij ο 4 × 4 πίνακας ο οποίος έχει 1 στην (i,j)-θέση, -1 στην (j,i)-θέση και στις υπόλοιπες θέσεις 0. Τότε 𝔰𝔬(4) = span{e_ij : 1 ≤ i < j ≤ 4}. Για την εύρεση ενός Ad(SO(3))-αναλλοίωτου υποχώρου 𝔪, έτσι ώστε να ισχύει 𝔰𝔬(4) = 𝔰𝔬(3) ⊕𝔪, θα χρησιμοποιήσουμε τη μορφή Killing της SO(4), η οποία δίνεται από τη σχέση B(X,Y ) = 2tr(XY ), X,Y ∈𝔰𝔬(4). Επειδή η ομάδα Lie SO(4) είναι συμπαγής και ημιαπλή, η μορφή Killing είναι αρνητικά ορισμένη, οπότε θεωρούμε το εσωτερικό γινόμενο

Ως προς το εσωτερικό γινόμενο αυτό ο υπόχωρος 𝔪 θα είναι το ορθογώνιο συμπλήρωμα της 𝔰𝔬(3), δηλαδή

Εμβυθίζουμε τα στοιχεία του συνόλου 𝔰𝔬(3) μέσα στο σύνολο 𝔰𝔬(4) ως εξής:

Θα υπολογίσουμε στη συνέχεια την ισοτροπική αναπαράσταση Ad^{SO(4)∕SO(3)} : SO(3) → Aut(𝔪) του ομογενούς χώρου SO(4)∕SO(3), η οποία όπως γνωρίζουμε χαρακτηρίζεται από την ισότητα

Θυμίζουμε ότι Ad^SO(4) = ∧²λ₄ και λ₄ : SO(4) → Aut(ℝ⁴) είναι αντίστοιχα η συζυγής και η συνήθης αναπαράσταση της ομάδας SO(4), οπότε έχουμε

Αυτή είναι η συνήθης αναπαράσταση της SO(3) η οποία είναι μη αναγώγιμη, επειδή οι μοναδικοί αναλλοίωτοι υπόχωροι του ℝ³ κάτω από την δράση της ομάδας SO(3)⁶ είναι οι {0} και ℝ³. Επομένως, υπάρχει μοναδικό (αγνοώντας πολλαπλασιασμό με θετικές σταθερές) Ad^SO(3)-αναλλοίωτο εσωτερικό γινόμενο στον χώρο 𝔪, συνεπώς η SO(4)-αναλλοίωτη μετρική στον ομογενή χώρο SO(4)∕SO(3) θα είναι μοναδική. Θεωρούμε την κανονική μετρική

όπου B η μορφή Killing της 𝔰𝔬(4) η οποία δίνεται από την σχέση B(X,Y ) = 2tr(XY ).

Τέλος, θα υπολογίσουμε την καμπυλότητα τομής του αναγωγικού ομογενούς χώρου SO(4)∕SO(3) ως προς την κανονική μετρική g_μ(X,Y ) = -2μtr(XY ). Παρατηρούμε ότι η βάση {e₁₄,e₂₄,e₃₄} του χώρου 𝔪 δεν είναι ορθοκανονική ως προς την g_μ, οπότε θέτουμε

Θα χρειαστούμε τα παρακάτω γινόμενα Lie:

Λόγω της ισότητας 𝔰𝔬(4) = 𝔰𝔬(3) ⊕𝔪 θα είναι [X,Y ] = [X,Y ]_𝔰𝔬(3) + [X,Y ]_𝔪, για κάθε X,Y ∈𝔰𝔬(4). Από τους προηγούμενους υπολογισμούς βλέπουμε ότι για κάθε X,Y ∈𝔪 είναι [X,Y ]_𝔪 = 0. ΄Αρα η απεικόνιση U : 𝔪 ×𝔪 →𝔪 που ορίζεται από την σχέση (10.10) θα είναι η μηδενική, άρα ο ομογενής χώρος SO(4)∕SO(3) είναι φυσικά αναγωγικός. Συνεπώς, για την καμπυλότητα τομής μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο (10.11) και παίρνουμε:

Με τον ίδιο τρόπο βρίσκουμε ότι

2. Θα μελετήσουμε την καμπυλότητα της σφαίρας S⁵SU(3)∕SU(2). Προτρέπουμε τον αναγνώστη να επεκτείνει τους υπολογισμούς στην σφαίρα S²ⁿ⁺¹SU(n + 1)∕SU(n).

Επειδή η ομάδα SU(2) είναι συμπαγής, ο ομογενής χώρος SU(3)∕SU(2) θα είναι αναγωγικός. ΄Εστω 𝔰𝔲(3) = 𝔰𝔲(2) ⊕𝔪 μια αναγωγική ανάλυση της άλγεβρας Lie 𝔰𝔲(3). Θα προσδιορίσουμε τον υπόχωρο 𝔪. Η άλγεβρα Lie της ομάδας SU(3) έχει διάσταση 8 και αποτελείται από όλους τους 3 × 3 αντιερμητιανούς πίνακες

Για να κάνουμε πράξεις, θα πρέπει να δούμε τα στοιχεία της 𝔰𝔲(2) ως στοιχεία της 𝔰𝔲(3), μέσω της εμβύθισης 𝔰𝔲(2)𝔰𝔲(3). Πρέπει να σημειώσουμε ότι ο υπόχωρος 𝔪 εξαρτάται από τον τρόπο που θα επιλέξουμε να εμβυθίσουμε τη βάση της 𝔰𝔲(2) μέσα στην 𝔰𝔲(3). Διαλέγουμε την εξής εμβύθιση

Σχετικά με την ισοτροπική αναπαράσταση του SU(3)∕SU(2), επειδή SU(3)∕SU(2)U(3)∕U(2), είναι πιο εύχρηστο να υπολογιστεί η μιγαδοποιημένη ισοτροπική αναπαράσταση Ad^U(3)∕U(2) ⊗ ℂ : U(2) → Aut(𝔪). Αφήνουμε ως άσκηση ότι αυτή ισούται με

η οποία είναι αναγώγιμη και εκφράζεται ως ευθύ άθροισμα τριών μη αναγώγιμων και μη ισοδύναμων υποαναπαραστάσεων διαστάσεων 2, 2 και 1 αντίστοιχα. Συνεπώς, ο μιγαδοποιήμενος εφαπτόμενος χώρος 𝔪^ℂ του ομογενούς χώρου U(3)∕U(2) θα εκφράζεται ως ευθύ άθροισμα τριών μιγαδικών υποχώρων διαστάσεων 2, 2 και 1, δηλαδή

Επομένως, ο πραγματικός εφαπτόμενος χώρος 𝔪 θα γράφεται ως ευθύ άθροισμα δύο πραγματικών Ad(U(2))-αναλλοίωτων υποχώρων διαστάσεων 4 και 1, δηλαδή θα είναι

Επειδή U(3)∕U(2)SU(3)∕SU(2), ο εφαπτόμενος χώρος του SU(3)∕SU(2) (τον οποίο συμβολίζουμε επίσης με 𝔪) θα είναι ισόμορφος με το παραπάνω ευθύ άθροισμα των δύο Ad(SU(2))-αναλλοίωτων υπόχωρων 𝔪₁ και 𝔪₂. Επιπλέον, επειδή για τους υποχώρους 𝔪₁ και 𝔪₂ θα πρέπει να ισχύουν οι σχέσεις [𝔰𝔲(2),𝔪₁] ⊂𝔪₁ και [𝔰𝔲(2),𝔪₂] ⊂𝔪₂, θα έχουμε 𝔪₁ = spanυ₂,υ₃,υ₄,υ₅ και 𝔪₂ = spanυ₁. Επομένως, επειδή η ισοτροπική αναπαράσταση εκφράζεται ως ευθύ άθροισμα μη αναγώγιμων και μη ισοδύναμων υποαναπαραστάσεων, κάθε Ad(SU(2))-αναλλοίωτο εσωτερικό γινόμενο στον 𝔪 θα δίνεται ως

όπου B : 𝔰𝔲(3) ×𝔰𝔲(3) → ℝ, (X,Y )6tr(XY ). Συνεπώς, κάθε SU(3)-αναλλοίωτη μετρική στον SU(3)∕SU(2) περιγράφεται από το παραπάνω εσωτερικό γινόμενο.

Θεωρούμε τη διαγώνια μετρική⁷

Για ευκολία στις πράξεις πολλαπλασιάζουμε την παραπάνω μετρική με και θέτουμε λ = , τότε θα προκύψει μια νέα μετρική με μία παράμετρο, δηλαδή

Με βάση την παραπάνω μετρική θα υπολογίσουμε την καμπυλότητα τομής του ομογενούς χώρου SU(3)∕SU(2)S⁵, χρησιμοποιώντας το Θεώρημα 10.4. Λόγω της συμπεριφοράς της καμπυλότητας τομής ως προς ομοιοθεσίες (βλ. τέλος του Κεφαλαίου 6), η καμπυλότητα ως προς τη μετρική g_(x1,x2) θα δίνεται ως K_{g(x 1,x2)} = K_gλ. Παρατηρούμε ότι η βάση υ₁,υ₂,υ₃,υ₄,υ₅ του χώρου 𝔪 δεν είναι ορθοκανονική ως προς την μετρική g_λ, οπότε θέτουμε

Θα χρειαστούμε τα γινόμενα Lie [u_i,u_j], τα οποία μετά από υπολογισμό είναι τα εξής:

Επομένως, επειδή τα εφαπτόμενα διανύσματα u_i, i = 1,2,…,5 είναι ορθοκανονικά ως προς τη μετρική g_λ, η καμπυλότητα τομής του επιπέδου που παράγεται από τα δύο διανύσματα u_i,u_j (i≠j), θα δίνεται από την σχέση K(u_i,u_j) = g_λ(R(u_i,u_j)u_i,u_j), όπου ο τανυστής καμπυλότητας R καθορίζεται από το Θεώρημα 10.4. ΄Εχουμε ότι

Στη συνέχεια, θα υπολογίσουμε την καμπυλότητα Ricci του χώρου SU(3)∕SU(2) και θα διερευνήσουμε κατά πόσον η διαγώνια μετρική g_λ είναι μετρική Einstein. ΄Εχουμε

Επομένως, θα πρέπει

Από την παραπάνω διαδικασία συμπεραίνουμε ότι η διαγώνια μετρική του ομογενούς χώρου SU(3)∕SU(2) είναι μετρική Einstein μόνο στην περίπτωση που η καμπυλότητα είναι σταθερή. Το αποτέλεσμα αυτό είχε αποδειχθεί στις εργασίες [8] και [19].

Επίσης, παρατηρούμε ότι για λ = προκύπτει K(u₂,u₃) = K(u₄,u₅) = 0, ενώ για 0 < λ < παίρνουμε K(u₂,u₃), K(u₄,u₅) < 0. Τέλος, αν λ > η καμπυλότητα του ομογενούς χώρου SU(3)∕SU(2)S⁵ είναι παντού θετική. Στην περίπτωση όμως που η σφαίρα S⁵ είναι αμφιδιαφορική με τον ομογενή χώρο SO(6)∕SO(5), τότε η καμπυλότητα θα είναι πάντα θετική. Βλέπουμε δηλαδή ότι η γεωμετρία της σφαίρας Sⁿ εξαρτάται κάθε φορά από την ομάδα που δρα μεταβατικά σε αυτήν.

10.7 Ασκήσεις

1. Αποδείξτε ότι το σύνολο Gr₂ℝ⁴ όλων των δισδιάστατων υποχώρων του ℝ⁴ αποτελεί μια λεία πολλαπλότητα διάστασης 6.

2. Η Ευκλείδεια ομάδα

3. Θεωρούμε την ομάδα Lie SL₂ℝ = {A ∈ GL₂ℝ : detA = 1} και το υπερβολικό επίπεδο M = {z ∈ ℂ : Imz > 0}. Αποδείξτε ότι η σχέση

4. Αποδείξτε ότι η ομάδα GL_n+1ℝ δρα μεταβατικά στον προβολικό χώρο ℝPⁿ και βρείτε την ομάδα ισοτροπίας στο σημείο [e₁], e₁ = (1,0,…,0) ∈ ℝⁿ⁺¹.

5. Βρείτε μια αναγωγική διάσπαση 𝔤 = 𝔨 ⊕𝔪 των εξής ομογενών χώρων G∕K: S³SO(4)∕SO(3), S⁵SU(3)∕SU(2), του προβολικού χώρου ℝP²SO(3)∕O(2), της πολλαπλότητας Grassmann Gr₂ℝ⁴SO(4)∕SO(2) × SO(2) και της πολλαπλότητας Stiefel V ₂ℝ⁴SO(4)∕SO(2).

6. Αποδείξτε ότι η ισοτροπική αναπαράσταση της σφαίρας Sⁿ = SO(n + 1)∕SO(n) είναι μη αναγώγιμη.

7. Αποδείξτε ότι η μιγαδοποιημένη ισοτροπική αναπαράσταση του ομογενούς χώρου SO(2n)∕U(n) είναι μη αναγώγιμη. Συγκεκριμένα, αποδείξτε ότι Ad^{SO(2n)∕U(n)} ⊗ ℂ = ∧²μ_n ⊕∧²μ_n.

8. Αποδείξτε αναλυτικά το αντίστροφο της Πρότασης 10.7. Συγκεκριμένα, αποδείξτε ότι αν gK = hK (g,h ∈ G) τότε το εσωτερικό γινόμενο (10.5) ικανοποιεί την σχέση ⟨X,Y ⟩_hK = ⟨X,Y ⟩_gK.

9. Βρείτε μια αναγωγική διάσπαση της πολλαπλότητας Stiefel V ₂ℝ⁴SO(4)∕SO(2) ως προς το εσωτερικό γινόμενο ⟨X,Y ⟩ = -B(X,Y ) = -2tr(XY ) της 𝔰𝔬(4). Χρησιμοποιείστε τον τύπο (10.12) για να υπολογίσετε την καμπυλότητα Ricci για την κανονική μετρική g_B = -B|_𝔪.

10. ΄Ενας ομογενής χώρος ονομάζεται συμμετρικός (symmetric space) εάν επιδέχεται μια αναγωγική διάσπαση 𝔤 = 𝔨 ⊕𝔪, τέτοια ώστε να ισχύουν οι σχέσεις

(β) Αποδείξτε ότι για κάθε X,Y ∈𝔪 ο τανυστής καμπυλότητας και η καμπυλότητα Ricci δίνονται αντίστοιχα από τις σχέσεις

Βιβλιογραφία