Μια Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα για τις Θετικές Επιστήμες

Κεφάλαιο 2Πίνακες

Η χρήση των πινάκων αποτελεί ουσιαστικό εργαλείο της Γραμμικής Άλγεβρας με ποικίλες εφαρμογές. Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε τους πίνακες ως αυτοτελή αντικείμενα και θα αναπτύξουμε τις ιδιότητές τους. Θα εξετάσουμε τη συνάρτηση της ορίζουσας και θα εφαρμόσουμε τη μελέτη μας για την επίλυση γραμμικών συστημάτων.

2.1 Πράξεις Πινάκων

Όπως στο Κεφάλαιο 1, με $\Bbbk$ συμβολίζουμε είτε το σώμα των πραγματικών αριθμών $\mathbb{R}$ , είτε το σώμα των μιγαδικών αριθμών $\mathbb{C}$ . Για συντομία, συμβολίζουμε με $\mathcal{M}_{m\times n}(\Bbbk)$ το σύνολο των $m\times n$ -πινάκων με συντελεστές από το $\Bbbk$ . Όταν $n=m$ γράφουμε $\mathcal{M}_{n}(\Bbbk)$ για αυτό το σύνολο και ο πίνακας $A\in\mathcal{M}_{n}(\Bbbk)$ λέγεται τετραγωνικός (square). Οι πίνακες οριοθετούνται με αγκύλες ή παρενθέσεις. Έστω $Α=(a_{ij})\in\mathcal{M}_{m\times n}(\Bbbk)$ . Η $i$ γραμμή του $Α$ αντιστοιχεί σε έναν $1\times n$ πίνακα, που συνήθως συμβολίζουμε με $\Gamma_{i}$ . Η $j$ στήλη του $Α$ αντιστοιχεί σε έναν $m\times 1$ πίνακα, που συνήθως συμβολίζουμε με $\Sigma_{j}$ . Δηλαδή,

\Gamma_{i}=\left[\begin{array}[]{cccc}\alpha_{i1}&\alpha_{i2}&\cdots&\alpha_{% in}\end{array}\right],\quad\Sigma_{j}=\left[\begin{array}[]{ccc}\alpha_{1j}\\ \alpha_{2j}\\ \vdots\\ \alpha_{mj}\end{array}\right].

Δύο πίνακες $(\alpha_{ij})$ και $(\beta_{ij})$ του $\mathcal{M}_{n\times m}(\Bbbk)$ λέγονται ίσοι (equal) αν $\alpha_{ij}=\beta_{ij}$ για όλα τα $1\leq i\leq n$ και $1\leq j\leq m$ .

Παραδείγματα 2.1.1.

1.

Έστω $A\in\mathcal{M}_{2\times 3}({\mathbb{C}})$ , όπου

$A=\left[\begin{array}[]{ccc}1&1&-1\\ 0&2&4\end{array}\right].$
Τα έξι στοιχεία του $A$ σχηματίζουν τρεις στήλες

$\Sigma_{1}=\left[\begin{array}[]{ccc}1\\ 0\end{array}\right],\;\;\Sigma_{2}=\left[\begin{array}[]{ccc}1\\ 2\end{array}\right],\;\;\Sigma_{3}=\left[\begin{array}[]{ccc}-1\\ 4\end{array}\right]$
και δύο γραμμές

$\Gamma_{1}=\left[\begin{array}[]{ccc}1&1&-1\end{array}\right]\;\;\;\hbox{και}% \;\;\;\Gamma_{2}=\left[\begin{array}[]{ccc}0&2&4\end{array}\right].$
Το στοιχείο $\alpha_{12}$ είναι το $1$ , ενώ το στοιχείο $\alpha_{21}$ είναι το $0$ .
2.

Ο πίνακας $[3]$ είναι ένας $1\times 1$ -πίνακας.
3.

Οι πίνακες περιγράφουν με συστηματικό τρόπο ένα σύνολο δεδομένων. O επόμενος πίνακας αναφέρεται στην κατανομή των εγγεγραμμένων φοιτητών του μαθήματος της Γραμμικής Άλγεβρας το έτος 2013-2014. Οι γραμμές αντιστοιχούν στα γένη (αρσενικό και θηλυκό), ενώ οι στήλες αντιστοιχούν στους φοιτητές/φοιτήτριες ανά έτος (πρωτοετείς, δευτεροετείς κοκ).

$\left[\begin{array}[]{ccccccccc}40&16&10&12&6&3&3&5\\ 53&11&9&5&4&1&1&4\end{array}\right].$ (2.1.1.1)
O πίνακας

$\left[\begin{array}[]{ccccccccc}15&4&1&2&3&0&0&1\cr 22&5&2&0&1&0&0&0\end{array% }\right]$ (2.1.1.2)
αναφέρεται στο ίδιο σύνολο και δίνει το πλήθος των φοιτητών και φοιτητριών που πέρασαν το μάθημα το ίδιο ακαδημαϊκό έτος.
4.

Όπως είδαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο, σε κάθε γραμμικό σύστημα αντιστοιχεί ένας επαυξημένος πίνακας. Έτσι, το γραμμικό σύστημα

$\begin{array}[]{ccccc}x_{1}&+&x_{2}&=&5\\ 2x_{1}&-&x_{2}&=&1\end{array}$ (2.1.1.3)
μπορεί να περιγραφεί από τον επαυξημένο πίνακα

$\left[\begin{array}[]{cr|c}1&1&5\\ 2&-1&1\end{array}\right].$
5.

Ένα απλό κατευθυνόμενο γράφημα (simple directed graph) είναι ένα σύνολο κορυφών και ακμών μεταξύ των κορυφών, με φορά που καθορίζεται από βέλη, έτσι ώστε μεταξύ δύο κορυφών να υπάρχει το πολύ μία ακμή. Σε κάθε διατεταγμένο γράφημα με $n$ κορυφές μπορούμε να αντιστοιχήσουμε έναν τετραγωνικό $n\times n$ πίνακα, $Α=(a_{ij})$ , όπου $a_{i j} = {\begin{cases} 1 & εάν υπάρχει βέλος από την κορυφή i στην κορυφή j \\ 0 & διαφορετικά . \end{cases}$ Ο πίνακας $A$ ονομάζεται πίνακας γειτνίασης (adjacency matrix). Έτσι, το γράφημα

Σχήμα 2.1: Κατευθυνόμενο γράφημα

έχει πίνακα γειτνίασης τον πίνακα

A= [ 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 ] .
6.

Αν ένα κατευθυνόμενο γράφημα έχει $n$ κορυφές και $m$ ακμές, τότε μπορούμε να θεωρήσουμε τον $m\times n$ πίνακα πρόσπτωσης (incidence matrix) του γραφήματος, $A=(a_{ij})$ , όπου $a_{i j} = {\begin{cases} - 1, & αν η ακμή i ξεκινά στην κορυφή j, \\ + 1, & αν η ακμή i καταλήγει στην κορυφή j, \\ 0, & διαφορετικά. \end{cases}$ Θα γράψουμε τον πίνακα πρόσπτωσης για το προηγούμενο γράφημα, αφού πρώτα αριθμήσουμε τις ακμές του.

Σχήμα 2.2: Κατευθυνόμενο γράφημα με αριθμημένες ακμές

O πίνακα πρόσπτωσης είναι

$A=\left[\begin{array}[]{rrrr}-1&1&0&0\cr-1&0&0&1\cr 0&-1&0&1\cr 1&0&-1&0\cr 0&% 1&-1&0\cr 0&0&1&-1\end{array}\right].$
7.

O μηδενικός πίνακας στο $\mathcal{M}_{n\times m}(\Bbbk)$ είναι ο $m\times n$ πίνακας που όλα τα στοιχεία του είναι το $0$ και συμβολίζεται με $\bf 0$ .

Στα προηγούμενα παραδείγματα είδαμε ότι η χρήση των πινάκων συστηματοποιεί τη γραφή κάποιων δεδομένων. Η χρησιμότητα, όμως, των πινάκων βρίσκεται στο γεγονός ότι πολλά επιστημονικά προβλήματα εκφράζονται με πίνακες και έτσι μπορούν να επιλυθούν με μαθηματικές μεθόδους, είτε αυτά προέρχονται από την επιστήμη των μαθηματικών είτε όχι. Στη συνέχεια θα ορίσουμε την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό πινάκων.

Ορισμός 2.1.2.

Αν $A=(\alpha_{ij})$ , $B=(\beta_{ij})$ είναι στοιχεία του $\mathcal{M}_{n\times m}(\Bbbk)$ , τότε το άθροισμα (sum) των $Α$ , $Β$ ορίζεται ως εξής:

Α+Β=(\alpha_{ij}+\beta_{ij}).

Παραδείγματα 2.1.3.

1.

$\;\;\left[\begin{array}[]{rrr}2&2&1\\ 0&3&4\end{array}\right]+\left[\begin{array}[]{rrr}2&0&1\\ 1&0&-1\end{array}\right]=\left[\begin{array}[]{rrr}4&2&2\\ 1&3&3\end{array}\right].$
2.

Το άθροισμα των πινάκων

$\left[\begin{array}[]{cc}1&0\\ 0&1\end{array}\right]\;\;\;\hbox{και}\;\;\;\left[\begin{array}[]{cc}0&2\\ 1&3\\ 5&4\end{array}\right]$
δεν ορίζεται αφού οι πίνακες έχουν διαφορετικά μεγέθη.

Είναι φανερό ότι η πρόσθεση που ορίσαμε είναι στενά συνδεμένη με την πρόσθεση του $\Bbbk$ . Αν $Α=(\alpha_{ij})\in\mathcal{M}_{n\times m}(\Bbbk)$ , συμβολίζουμε με $-A$ τον πίνακα που έχει στη θέση $(i,j)$ το στοιχείο $-\alpha_{ij}$ , δηλ.

-Α=(-\alpha_{ij}).

Ο πίνακας $-A$ λέγεται αντίθετος (opposite) πίνακας του $A$ . Είναι εύκολο να διαπιστώσει κανείς ότι ισχύουν οι εξής ιδιότητες:

Πρόταση 2.1.4.

Έστω $A$ , $B$ , $\Gamma$ πίνακες του $\mathcal{M}_{n\times m}(\Bbbk)$ . Τότε:

•

$\;\;A+(B+\Gamma)=(A+B)+\Gamma$ . Η ιδιότητα αυτή λέγεται προσεταιριστική ιδιότητα (associativity) της πρόσθεσης.
•

$\;\;A+{\bf 0}=Α$ .
•

$\;\;A+(-A)={\bf 0}=(-A)+A$ .
•

$\;\;A+B=B+A$ . Η ιδιότητα αυτή λέγεται αντιμεταθετική ιδιότητα (commutativity) της πρόσθεσης.

Συμπεραίνουμε ότι, όσο αφορά την πράξη της πρόσθεση πινάκων, το σύνολο $\mathcal{M}_{n\times m}(\Bbbk)$ έχει τις ιδιότητες που έχουν τα συνήθη σύνολα αριθμών. Ορίζουμε τώρα τον πολλαπλασιασμό πινάκων.

Ορισμός 2.1.5.

Έστω $A\in\mathcal{M}_{n\times m}(\Bbbk)$ και $B\in\mathcal{M}_{m\times\kappa}(\Bbbk)$ . Το γινόμενο (product) των πινάκων $A$ και $B$ συμβολίζεται με $A\cdot B$ ή απλά $A B$ και ορίζεται να είναι ο $n\times\kappa$ πίνακας που στην $i$ γραμμή και $j$ στήλη έχει το στοιχείο

\gamma_{ij}=\alpha_{i1}\beta_{1j}+\alpha_{i2}\beta_{2j}+\cdots+\alpha_{im}% \beta_{mj}=\sum^{m}_{\kappa=1}\alpha_{i\kappa}\beta_{\kappa j}.

Σχηματικά

\gamma_{ij}\ \leftrightsquigarrow\left[\begin{array}[]{cccc}\alpha_{i1}&\alpha% _{i2}&\cdots&\alpha_{in}\end{array}\right]\left[\begin{array}[]{c}\beta_{1j}\\ \beta_{2j}\\ \vdots\\ \beta_{mj}\end{array}\right]\begin{array}[]{c}\\ .\end{array}

Ο πολλαπλασιασμός δεν είναι απαραίτητα αντιμεταθετικός. Έτσι, η σειρά με την οποία γράφουμε τους όρους του γινομένου έχει μεγάλη σημασία. Για να έχει νόημα το γινόμενο $Α\;Β$ , θα πρέπει ο αριθμός στηλών του πίνακα $Α$ να είναι ίσος με τον αριθμό των γραμμών του $Β$ .

Παραδείγματα 2.1.6.

1.

$\left[\begin{array}[]{cccc}1&2&0&1\end{array}\right]\left[\begin{array}[]{c}3% \\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]=1\cdot 3+2\cdot 0+0\cdot 0+1\cdot 1=4$ .
2.

$\left[\begin{array}[]{c}0\\ 1\\ 3\end{array}\right]\left[\begin{array}[]{cccc}2&1&0&4\end{array}\right]=\left[% \begin{array}[]{cccc}0&0&0&0\\ 2&1&0&4\\ 6&3&0&12\end{array}\right]$ .
3.

$\left[\begin{array}[]{cc}1&i\\ 0&1\end{array}\right]\left[\begin{array}[]{cc}0&1\\ 0&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}[]{cc}0&1+i\\ 0&1\end{array}\right]$ .
4.

Για να έχει νόημα το γινόμενο $Α\;Α$ θα πρέπει ο $Α$ να είναι τετραγωνικός πίνακας. Στην περίπτωση αυτή συμβολίζουμε με $A^{2}$ το γινόμενο $A\;A$ . Γενικότερα ορίζουμε τη δύναμη $A^{m}$ για κάθε φυσικό αριθμό $m>1$ να είναι το γινόμενο $A\;A^{m-1}$ .
5.

Έστω

$A=\begin{bmatrix}0&1&0&1\cr 0&0&0&1\cr 1&1&0&0\cr 0&0&1&0\end{bmatrix}\ .$
Τότε

$Α^{2}=\begin{bmatrix}0&0&1&1\cr 0&0&1&0\cr 0&1&0&2\cr 1&1&0&0\end{bmatrix}% \quad\textrm{ και }A^{3}=\begin{bmatrix}1&1&1&0\cr 1&1&0&0\cr 0&0&2&1\cr 0&1&0% &2\end{bmatrix}.$

Στο Κεφάλαιο 1 είδαμε ότι τα γραμμικά συστήματα

\begin{matrix}\alpha_{11}\;x_{1}+\alpha_{12}\;x_{2}+\cdots+\alpha_{1n}\;x_{n}&% =\beta_{1}\\ \;\;\vdots&\vdots\cr\alpha_{m1}x_{1}+\alpha_{m2}x_{2}+\cdots+\alpha_{mn}x_{n}&% =\beta_{m}\end{matrix}

γράφονται εν συντομία ως $AX=B$ , όπου $Α=(\alpha_{ij})$ είναι ο πίνακας των συντελεστών και $Β$ ο πίνακας των σταθερών. Ο συμβολισμός αυτός είναι συμβατός με τον ορισμό του γινομένου των πινάκων, αρκεί να θεωρήσουμε ως $X$ τον πίνακα-στήλη των αγνώστων. Το παράδειγμα που ακολουθεί θα διασαφηνίσει αυτόν τον ισχυρισμό.

Παράδειγμα 2.1.7.

Έστω οι πίνακες

A=\begin{bmatrix}1&2\cr 3&4\end{bmatrix}\ ,\quad X=\begin{bmatrix}x_{1}\cr x_{% 2}\end{bmatrix}\ ,\quad B=\begin{bmatrix}2\cr 5\end{bmatrix}\ .

Το γινόμενο $A X$ δίνει τον πίνακα

ΑX=\begin{bmatrix}x_{1}+2x_{2}\cr 3x_{1}+4x_{2}\end{bmatrix}

και η ισότητα $AX=B$ μας δίνει τη σχέση:

\begin{bmatrix}x_{1}+2x_{2}\cr 3x_{1}+4x_{2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\cr 5% \end{bmatrix}.

Οι πίνακες αυτοί είναι ίσοι αν και μόνο αν

\begin{matrix}x_{1}+2x_{2}&=&2\cr 3x_{1}+4x_{2}&=&5\ .\end{matrix}

Η κύρια διαγώνιος (main diagonal) ενός πίνακα $Α=(α_{ij})\in\mathcal{M}_{n\times m}(\Bbbk)$ αποτελείται από όλα τα στοιχεία της μορφής $a_{ii}$ . Συμβολίζουμε με $I_{n}$ τον πίνακα του $\mathcal{M}_{n}(\Bbbk)$ που έχει όλα τα στοιχεία της κύριας διαγωνίου του ίσα με 1, ενώ όλα τα υπόλοιπα είναι μηδέν. Ο πίνακας $I_{n}$ λέγεται μοναδιαίος (identity matrix) $n\times n$ -πίνακας γιατί όπως θα δούμε παίζει τον ρόλο της μονάδας στον πολλαπλασιασμό των πινάκων. Για παράδειγμα, ο πίνακας

I_{3}=\left[\begin{array}[]{ccc}1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\end{array}\right]\begin{array}[]{c}\\ \\ ,\end{array}

είναι ο μοναδιαίος $3\times 3$ πίνακας.

Η επόμενη πρόταση συγκεντρώνει τις βασικές ιδιότητες του πολλαπλασιασμού, που ο αναγνώστης μπορεί εύκολα να επιβεβαιώσει.

Πρόταση 2.1.8.

Έστω $A\in\mathcal{M}_{n\times m}(\Bbbk)$ , $B,B^{\prime}\in\mathcal{M}_{m\times k}(\Bbbk)$ , $\Gamma\in\mathcal{M}_{k\times s}(\Bbbk)$ . Τότε:

i)

$A(B\Gamma)=(AB)\Gamma$ . Η ιδιότητα αυτή λέγεται προσεταιριστική ιδιότητα (assosiativity) του πολλαπλασιασμού.
ii)

$AI_{m}=A=I_{n}A=A$ .
iii)

$A(B+\Gamma)=AB+A\Gamma$ . Η ιδιότητα αυτή λέγεται δεξιά επιμεριστική ιδιότητα (right distributivity) του πολλαπλασιασμού.
iv)

$(Α+B)\Gamma=Α\Gamma+B\Gamma$ . Η ιδιότητα αυτή λέγεται αριστερά επιμεριστική ιδιότητα (left distributivity) του πολλαπλασιασμού.

Όπως είδαμε στην Πρόταση 2.1.4, η πρόσθεση των πινάκων έχει την αντιμεταθετική ιδιότητα. Δεν συμβαίνει όμως το ίδιο με τον πολλαπλασιασμό των πινάκων. Τι εννοούμε: υπάρχουν πίνακες τετραγωνικοί πίνακες $A,B\in\mathcal{M}_{n}(\Bbbk)$ έτσι ώστε

AB\neq BA.

(2.1.8.1)

Για παράδειγμα

\left[\begin{array}[]{cc}1&0\\ 0&0\end{array}\right]\left[\begin{array}[]{cc}0&1\\ 0&0\end{array}\right]=\left[\begin{array}[]{cc}0&1\\ 0&0\end{array}\right],

ενώ

\left[\begin{array}[]{cc}0&1\\ 0&0\end{array}\right]\left[\begin{array}[]{cc}1&0\\ 0&0\end{array}\right]=\left[\begin{array}[]{cc}0&0\\ 0&0\end{array}\right].

Παρατηρούμε, επίσης, ότι είναι δυνατόν το γινόμενο δύο μη μηδενικών πινάκων να είναι ο μηδενικός πίνακας, βλ. προηγούμενο παράδειγμα. Ως προς τον πολλαπλασιασμό, λοιπόν, το σύνολο $\mathcal{M}_{n\times m}(\Bbbk)$ διαφέρει ουσιαστικά από τα συνήθη σύνολα αριθμών.

Στη συνέχεια θα ορίσουμε το βαθμωτό γινόμενο (scalar product) βαθμωτό γινόμενο ενός στοιχείου $\kappa\in\Bbbk$ με έναν πίνακα $A=(\alpha_{ij})\in\mathcal{M}_{n\times m}(\Bbbk)$ . To γινόμενο αυτό συμβολίζεται με $\kappa Α$ και είναι ο πίνακας $(\kappa\alpha_{ij})$ . Έτσι, ο πίνακας $\kappa A$ προκύπτει από τον πίνακα $A$ , αν πολλαπλασιάσουμε κάθε στοιχείο του $A$ επί το $\kappa$ . Είναι εύκολο να αποδείξει ο αναγνώστης την επόμενη πρόταση.

Πρόταση 2.1.9.

Έστω $A$ , $B$ δύο πίνακες του $\mathcal{M}_{m\times n}(\Bbbk)$ , $C\in\mathcal{M}_{n\times l}(\Bbbk)$ και $\kappa,\lambda\in\Bbbk$ . Τότε:

i)

$\kappa(A+B)=\kappa A+\kappa B$ .
ii)

$(\kappa+\lambda)A=\kappa A+\lambda A$ .
iii)

$(\kappa\lambda)A=\kappa(\lambda A)$ .
iv)

$\kappa(AC)=(\kappa A)C=A(\kappa C)$ .

O πίνακας που προκύπτει από έναν πίνακα $Α$ , θέτοντας ως γραμμές του νέου πίνακα τις στήλες του $Α$ , λέγεται ανάστροφος (transpose) του $Α$ και συμβολίζεται με $A^{T}$ . Έτσι αν $A=(\alpha_{ij})\in\mathcal{M}_{n\times m}(K)$ , τότε $A^{T}=(\beta_{ij})\in\mathcal{M}_{m\times n}(\Bbbk)$ , όπου $\beta_{ij}=\alpha_{ji}$ , $1\leq i\leq n$ , $1\leq j\leq m$ . Τέλος, αν $Α=(a_{ij})\in\mathcal{M}_{n\times m}({\mathbb{C}})$ , τότε ο συζυγής (conjugate) του $Α$ είναι ο πίνακας $\overline{A}=(\overline{a_{ij}})$ .

Παραδείγματα 2.1.10.

1.

Έστω

$\;A=\begin{bmatrix}1&0&2&3\cr 0&1&3&5\end{bmatrix}\;.$
Τότε

$\;A^{T}=\begin{bmatrix}1&0\cr 0&1\cr 2&3\cr 3&5\end{bmatrix}\;.$
2.

Έστω

$X=\begin{bmatrix}a_{1}+b_{1}i\cr\vdots\cr a_{n}+b_{n}i\end{bmatrix}\in\mathcal% {M}_{n\times 1}({\mathbb{C}}),\textrm{ 'opou }a_{j},b_{j}\in{\mathbb{R}},% \textrm{ gia }1\leq j\leq n\textrm{ kai }X\neq{\bf 0}\,.$
Τότε

$X^{T}\ \overline{X}\in\mathcal{M}_{1}({{\mathbb{R}}})$
και είναι θετικός πραγματικός αριθμός. Πράγματι

$\overline{X}=\begin{bmatrix}a_{1}-b_{1}i\cr\vdots\cr a_{n}-b_{n}i\end{bmatrix}$
και

$X^{T}\ \overline{X}=\begin{bmatrix}(a_{1}^{2}+b_{1}^{2})+\cdots(a_{n}^{2}+b_{n% }^{2})\end{bmatrix}.$

Η απόδειξη της επόμενης πρότασης προκύπτει εύκολα με βάση τους ορισμούς.

Πρόταση 2.1.11.

Έστω $A,B\in\mathcal{M}_{n}(\Bbbk)$ . Τότε

i)

$(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$ .
ii)

$(A^{T})^{T}=A$ .
iii)

$(\kappa A)^{T}=\kappa A^{T}$ , $\;\kappa\in K$ .

Ο πίνακας $A\in\mathcal{M}_{n}(\Bbbk)$ λέγεται συμμετρικός (symmetric) αν $A=A^{T}$ , δηλ. αν $\alpha_{ij}=\alpha_{ji}$ , $1\leq i,j\leq n,$ ενώ ο $Α$ λέγεται αντισυμμετρικός (antisymmetric) αν $A=-A^{T}$ , δηλ. αν $\alpha_{ij}=-\alpha_{ji}$ , $1\leq i,j\leq n$ . Ο πίνακας $Α$ λέγεται διαγώνιος (diagonal) αν όλα τα στοιχεία που βρίσκονται επάνω και κάτω από την κύρια διαγώνιο είναι μηδέν, δηλ. an $\alpha_{ij}=0$ , για $i\neq j$ , $1\leq i,j\leq n$ . Ο $Α$ λέγεται άνω τριγωνικός (upper triangular) αν όλα τα στοιχεία κάτω από την κύρια διαγώνιο είναι μηδέν, δηλ. αν $\alpha_{ij}=0$ , για $i>j$ , $1\leq i,j\leq n$ . Ο $Α$ λέγεται κάτω τριγωνικός (lower triangular) αν όλα τα στοιχεία επάνω από την κύρια διαγώνιο είναι μηδέν, δηλ. αν $\alpha_{ij}=0$ , για $i<j$ , $1\leq i,j\leq n$ . To ίχνος (trace) ενός πίνακα $A=(\alpha_{ij})\in\mathcal{M}_{n}(\Bbbk)$ είναι το άθροισμα των τιμών της κυρίας διαγωνίου του $Α$ και συμβολίζεται με $\operatorname{Tr}A$ $\operatorname{Tr}A$ :

\operatorname{Tr}(A):=\alpha_{11}+\cdots+\alpha_{nn}\ .

Παραδείγματα 2.1.12.

1.

Οι πίνακες

$Α_{1}=\;\left[\begin{array}[]{cc}1&2\\ 2&3\end{array}\right],\ Α_{2}=\;\left[\begin{array}[]{ccc}6&1&5\\ 1&0&2\\ 5&2&1\end{array}\right],$
είναι συμμετρικοί. Τα ίχνη των πινάκων είναι $\operatorname{Tr}(A_{1})=4$ , $\operatorname{Tr}(A_{2})=7$ .
2.

Οι πίνακες

$\;\left[\begin{array}[]{rr}0&1\\ -1&0\end{array}\right],\ \;\left[\begin{array}[]{rrr}0&3&6\\ -3&0&-2\\ -6&2&0\end{array}\right]\;$
είναι αντισυμμετρικοί και έχουν ίχνος ίσο με το $0$ .
3.

Ισχύει ότι

$\left[\begin{array}[]{rr}2&3\\ 7&5\end{array}\right]=\left[\begin{array}[]{rr}2&5\\ 5&5\end{array}\right]+\left[\begin{array}[]{rr}0&-2\\ 2&0\end{array}\right],$
δηλ. ο πίνακας στα αριστερά είναι ίσος με το άθροισμα ενός συμμετρικού και ενός αντισυμμετρικού πίνακα. Ο αναγνώστης ζητείται στις ασκήσεις να δείξει ότι κάθε τετραγωνικός πίνακας γράφεται ως άθροισμα ενός συμμετρικού και ενός αντισυμμετρικού πίνακα.
4.

$\operatorname{Tr}({\bf 0})=0$ ενώ $\operatorname{Tr}(I_{n})=n$ .
5.

Αν $A\in\mathcal{M}_{n}({\mathbb{R}})$ , τότε $A^{T}A$ είναι συμμετρικός, δηλ. ο $A^{T}A$ είναι ίσος με τον ανάστροφό του, αφού από τις ιδιότητες του γινομένου, ισχύει ότι

$(Α^{Τ}Α)^{Τ}=Α^{Τ}(Α^{Τ})^{Τ}=Α^{Τ}Α\ .$

Θα κλείσουμε αυτήν την ενότητα με μία παρατήρηση που συνδέει τις πράξεις γραμμών που μελετήσαμε στο προηγούμενο κεφαλαίο με τον πολλαπλασιασμό των πινάκων. Έστω ότι $\;E_{i\leftrightarrow j}$ είναι ο πίνακας που προκύπτει αν στον $I_{n}$ αντιμεταθέσουμε την $i$ με την $j$ γραμμή, δηλ.

I_{n}\;\;\begin{array}[]{c}\\ \overrightarrow{\Gamma_{i}\leftrightarrow\Gamma_{j}}\end{array}\;E_{i% \leftrightarrow j}\;.

O πίνακας $E_{i\leftrightarrow j}\in\mathcal{M}_{n}(\Bbbk)$ και ο πολλαπλασιασμός $E_{i\leftrightarrow j}\;A$ είναι επιτρεπτός για κάθε $Α\in\mathcal{M}_{n\times m}(\Bbbk)$ . Έστω, λοιπόν, ότι $Α\in\mathcal{M}_{n\times m}(\Bbbk)$ . Δεν είναι δύσκολο να δει κανείς ότι ο πίνακας $E_{i\leftrightarrow j}\;A\in\mathcal{M}_{n\times m}(\Bbbk)$ προκύπτει αν στον $Α$ αντιμεταθέσουμε την $i$ με την $j$ γραμμή, δηλ.

Α\;\begin{array}[]{c}\\ \overrightarrow{\Gamma_{i}\leftrightarrow\Gamma_{j}}\end{array}\;E_{i% \leftrightarrow j}\;Α\;.

Με άλλα λόγια η στοιχειώδης πράξη της αντιμετάθεσης δύο γραμμών του $Α$ αντιστοιχεί σε πολλαπλασιασμό (από τα αριστερά) του $Α$ με τον πίνακα $E_{i\leftrightarrow j}$ . Στην επόμενη ενότητα θα δούμε ότι αυτό ισχύει για κάθε στοιχειώδη πράξη γραμμών.

Παραδείγματα 2.1.13.

\;\;E_{1\leftrightarrow 2}\begin{bmatrix}1&2&3\cr 4&5&6\cr 7&8&9\end{bmatrix}=% \left[\begin{array}[]{ccc}0&1&0\\ 1&0&0\\ 0&0&1\end{array}\right]\begin{bmatrix}1&2&3\cr 4&5&6\cr 7&8&9\end{bmatrix}=% \left[\begin{array}[]{ccc}4&5&6\\ 1&2&3\\ 7&8&9\end{array}\right].

Ασκήσεις Ενότητας 2.1

1.
Να γίνουν οι εξής πράξεις:
1. (a)
  
  $\left[\begin{array}[]{cc}1&2\\ 5&3\end{array}\right]\left(\left[\begin{array}[]{cc}2&0\\ 0&4\end{array}\right]+\left[\begin{array}[]{cc}1&2\\ 3&5\end{array}\right]\right)$ ,
2. (b)
  
  $\left[\begin{array}[]{ccc}1&2&0\\ 3&1&1\\ 0&0&4\end{array}\right]\left[\begin{array}[]{c}3\\ 0\\ 1\end{array}\right]$ .
  
  Λύση
2.

Δίνεται ο πίνακας

$A=\left[\begin{array}[]{rrr}0&a&\;\;b\\ -a&0&\;\;c\\ -b&-c&\;\;0\end{array}\right].$
Να υπολογίσετε τον πίνακα $A^{3}$ . Na παρατηρήσετε ότι η κύρια διαγώνιος του $A^{3}$ έχει όλα τα στοιχεία της ίσα με μηδέν.

Λύση
3.
Να περιγράψετε όλους τους $2\times 2$ πίνακες πίνακες που αντιμεταθέτονται με τους εξής πίνακες:
1. (a)
  
  $\left[\begin{array}[]{cc}1&0\\ 0&0\end{array}\right]$ ,
2. (b)
  
  $\left[\begin{array}[]{cc}2&0\\ 0&6\end{array}\right]$ ,
3. (c)
  
  $\left[\begin{array}[]{cc}1&3\\ 0&1\end{array}\right]$ .
  
  Λύση
4.

Να γράψετε τον πίνακα

$\begin{bmatrix}1&2&3\cr 4&5&6\cr 7&8&9\end{bmatrix}$
ως άθροισμα ενός συμμετρικού και ενός αντισυμμετρικού πίνακα.

Λύση
5.

Να αποδείξετε ότι το γινόμενο δύο κάτω τριγωνικών πινάκων στο $\mathcal{M}_{m}(\Bbbk)$ είναι κάτω τριγωνικός πίνακας. Στη συνέχεια, με τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής, να επαληθεύσετε ότι για κάθε φυσικό αριθμό $n$ , το γινόμενο $n$ κάτω τριγωνικών πινάκων στο $\mathcal{M}_{m}(\Bbbk)$ είναι κάτω τριγωνικός πίνακας.

Λύση

2.2 Αντιστρέψιμοι Πίνακες

Η έννοια των αντιστρέψιμων πινάκων είναι κεντρική στη μελέτη μας.

Ορισμός 2.2.1.

O πίνακας $Α\in M_{n}(\Bbbk)$ λέγεται αντιστρέψιμος(invertible) πίνακας, αν υπάρχει πίνακας $B$ έτσι ώστε

AB=I_{n}=BA\ .

Στη περίπτωση αυτή ο πίνακας $Β$ λέγεται αντίστροφος (inverse) πίνακας του $A$ , και συμβολίζεται με $A^{-1}$ $A^{-1}$ .

Σύμφωνα με τον ορισμό, για να είναι ο $Α\in\mathcal{M}_{n}(\Bbbk)$ αντιστρέψιμος, θα πρέπει να υπάρχει ένας πίνακας $B$ που να ικανοποιεί ταυτόχρονα δύο συνθήκες: $AB=I_{n}$ και $ΒΑ=I_{n}$ . Θα δούμε αργότερα ότι αν $AB=I_{n}$ τότε $ΒΑ=I_{n}$ και αντίστροφα. Έτσι, για να βρεθεί ο αντίστροφος του πίνακα $Α$ (αν υπάρχει), αρκεί να βρεθεί πίνακας $Β$ που να πολλαπλασιάζεται από τα αριστερά (ή από τα δεξιά) με τον $Α$ και να δίνει το μοναδιαίο πίνακα. Θα χρησιμοποιήσουμε αυτήν τη γνώση άτυπα στα επόμενα παραδείγματα , αφού ακόμα δεν την έχουμε αποδείξει.

Παραδείγματα 2.2.2.

1.

Ο πίνακας $\left[\begin{array}[]{cc}1&0\\ 1&1\end{array}\right]$ έχει αντίστροφο τον $\left[\begin{array}[]{rr}1&0\\ -1&1\end{array}\right]$ . Πράγματι,

$\left[\begin{array}[]{cc}1&0\\ 1&1\end{array}\right]\left[\begin{array}[]{rr}1&0\\ -1&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}[]{cc}1&0\\ 0&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}[]{rr}1&0\\ -1&1\end{array}\right]\left[\begin{array}[]{cc}1&0\\ 1&1\end{array}\right].$
2.

Ο πίνακας $A=\left[\begin{array}[]{cc}1&0\\ 0&0\end{array}\right]$ δεν έχει αντίστροφο. Πράγματι αν $B$ είναι ο αντίστροφος του $Α$ τότε $AB=I_{n}$ . Όμως, στο γινόμενο $Α Β$ η τελευταία γραμμή είναι μηδέν και άρα είναι αδύνατον $AB=I_{n}$ .
3.

Έστω $Α$ ένας τετραγωνικός $n\times n$ πίνακας με μηδενική τη γραμμή $i$ . Για κάθε τετραγωνικό $n\times n$ πίνακα $Β$ η γραμμή $i$ του $Α Β$ θα είναι μηδέν. Είναι, λοιπόν, αδύνατον να βρεθεί πίνακας $Β$ έτσι ώστε $AB=I_{n}$ . Ο πίνακας $Α$ δεν είναι αντιστρέψιμος.
4.

Έστω $Α$ ένας τετραγωνικός $n\times n$ πίνακας με μηδενική τη στήλη $j$ . Για κάθε τετραγωνικό $n\times n$ πίνακα $Β$ η στήλη $j$ του $B A$ για κάθε πίνακα $Β$ θα είναι μηδέν. Είναι, λοιπόν, αδύνατον να βρεθεί πίνακας $Β$ έτσι ώστε $BA=I_{n}$ . Ο πίνακας $Α$ δεν είναι αντιστρέψιμος.
5.

O μηδενικός τετραγωνικός πίνακας $\bf{0}$ δεν είναι αντιστρέψιμος.
6.

Ο μοναδιαίος πίνακας $Ι_{n}$ είναι αντιστρέψιμος: $Ι_{n}I_{n}=I_{n}$ , άρα ${I_{n}}^{-1}=I_{n}$ .
7.

Έστω

$Α=\begin{bmatrix}a&b\cr c&d\end{bmatrix}$
και $ad-bc\neq 0$ . Τότε αν

$B=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\cr-c&a\end{bmatrix}\ ,$
είναι εύκολο να επιβεβαιωθεί ότι $A\;B=B\;A=I_{2}$ και άρα $B=A^{-1}$ . Ο αριθμός $ad-bc$ λέγεται ορίζουσα (determinant) του $Α\in\mathcal{M}_{2}(\Bbbk)$ και συμβολίζεται με $\det(A)$ .
8.

Έστω

$Α=\left[\begin{array}[]{ccc}\alpha_{1}&&{\bf 0}\\ &\ddots&\\ {\bf 0}&&\alpha_{n}\end{array}\right]$
ένας διαγώνιος πίνακας με $\alpha_{1}\cdots\alpha_{n}\neq 0$ , $1\leq i\leq n$ . Τότε εύκολα μπορεί να επιβεβαιώσει ο αναγνώστης ότι

$A^{-1}=\left[\begin{array}[]{ccc}\alpha_{1}^{-1}&&{\bf 0}\\ &\ddots&\\ {\bf 0}&&\alpha_{n}^{-1}\end{array}\right].$
9.

Έστω ότι ο $Α$ είναι αντιστρέψιμος πίνακας και ότι $B=A^{-1}$ . Τότε ο $Β$ είναι αντιστρέψιμος πίνακας και $Α=Β^{-1}$ .
10.

Έστω ότι ο $A$ είναι αντιστρέψιμος πίνακας. Θα αποδείξουμε ότι για κάθε $n\in\mathbb{N}$ ισχύει η παρακάτω ιδιότητα:

$(A^{n})^{-1}=(A^{-1})^{n}.$
Απόδειξη.
Για $n=2$ , επιβεβαιώνουμε ότι πολλαπλασιάζοντας τον πίνακα $A^{2}$ με τον πίνακα $(A^{-1})^{2}$ , προκύπτει ο μοναδιαίος πίνακας $I_{2}$ :

$\displaystyle Α^{2}(A^{-1})^{2}=(A\;A)(A^{-1}A^{-1})=A(A\;A^{-1})A^{-1}=A\;I_{% 2}\;A^{-1}=\\ \displaystyle Α(Ι_{2}\;Α^{-1})=A\;A^{-1}=I_{2}.$
Για γενικό $n\in{\mathbb{N}}$ , o ισχυρισμός ότι ισχύει η ισότητα $(A^{n})^{-1}=(A^{-1})^{n}$ αποδεικνύεται με τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής. Δηλαδή, πρέπει να δείξουμε ότι ισχύει η πρόταση για την αρχική τιμή του $n$ (επαγωγικό βήμα) και υποθέτοντας ότι η πρόταση είναι αληθής για $n=k$ (υπόθεση της επαγωγής), θα πρέπει στη συνέχεια να δείξουμε ότι η πρόταση ισχύει για $n=k+1$ .
- –
  
  Για το επαγωγικό βήμα, όταν $n=1$ , η πρόταση είναι προφανώς αληθής, αφού $(A^{1})^{-1}=Α^{-1}$ και $(A^{-1})^{1}=A^{-1}$ .
- –
  
  Θα υποθέσουμε ότι η πρόταση είναι αληθής για $n=k$ , δηλ. ότι $(A^{k})^{-1}=(A^{-1})^{k}$ .
- –
  
  Στη συνέχεια θα αποδείξουμε την πρόταση για $n=k+1$ . Πράγματι,
  
  $\displaystyle Α^{k+1}(A^{-1})^{k+1}=(AΑ^{κ})\left((A^{-1})^{κ}A^{-1}\right)=A% \left(Α^{κ}(A^{-1})^{κ}\right)A^{-1}=\\ \displaystyle A\;I_{n}\;A^{-1}=Α(Ι_{n}Α^{-1})=A\;A^{-1}=I_{n}.$
∎
Παρατηρούμε ότι το πέρασμα από $n=k$ στο $n=k+1$ εμπεριέχει τα ίδια βήματα όπως και η απόδειξη της πρότασης για $n=2$ . Αυτό ισχύει για πολλές από τις αποδείξεις που χρησιμοποιούν τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής.

Αν o $A$ είναι αντιστρέψιμος, τότε θέτουμε $A^{0}=I_{n}$ και για $n\in\mathbb{N}$ ορίζουμε

Α^{-n}:=(A^{-1})^{n}.

Έτσι, όταν o $A$ είναι αντιστρέψιμος, η δύναμη $A^{m}$ έχει οριστεί για κάθε ακέραιο $m$ . Τονίζουμε ότι είναι ιδιαίτερα άκομψο να γράφει κανείς $1/Α$ εννοώντας $A^{-1}$ και ότι κλάσματα με παρανομαστές συνδυασμούς πινάκων θα πρέπει να αποφεύγονται.

Πρόταση 2.2.3.

Αν οι πίνακες $Α,Β\in\mathcal{M}_{n}(\Bbbk)$ είναι αντιστρέψιμοι, τότε και το γινόμενό τους είναι αντιστρέψιμος πίνακας και

(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}.

Γενικότερα, αν οι πίνακες $A_{1},A_{2},\ldots,A_{s}$ του $\mathcal{M}_{n}(\Bbbk)$ είναι αντιστρέψιμοι, τότε

(A_{1}A_{2}\cdots A_{s})^{-1}=A_{s}^{-1}A_{s-1}^{-1}\cdots A_{1}^{-1}.

Απόδειξη. Από τον ορισμό του αντίστροφου πίνακα προκύπτει ότι

(AB)(B^{-1}A^{-1})=[A(BB^{-1})]A^{-1}=(AI_{n})A^{-1}=AA^{-1}=I_{n}.

Όμοια $(B^{-1}A^{-1})(AB)=I_{n}$ . Άρα $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ . Η απόδειξη γενικεύεται εύκολα όταν έχουμε περισσότερο από δύο πίνακες και αφήνεται ως άσκηση για τον αναγνώστη.

Θα ορίσουμε τώρα έναν στοιχειώδη πίνακα για κάθε μία από τις στοιχειώδεις πράξεις γραμμών.

Ορισμός 2.2.4.

Υπάρχουν τρεις τύποι στοιχειωδών (elementary) πινάκων:

•

Αν $i\neq j$ και $a\in\Bbbk$ , τότε o $E_{i+a\cdot j}$ , είναι ο στοιχειώδης πίνακας που προκύπτει από τον $I_{n}$ αν αντικαταστήσουμε την $i$ γραμμή του $I_{n}$ με τη γραμμή $\Gamma_{i}+a\Gamma_{j}$ , δηλ.

$I_{n}\;\begin{array}[]{c}\\ \overrightarrow{\Gamma_{i}\rightarrow\Gamma_{i}+a\Gamma_{j}}\end{array}\;E_{i+% a\cdot j}\;.$
•

O $E_{i\leftrightarrow j}$ είναι ο στοιχειώδης πίνακας που προκύπτει από τον $I_{n}$ αν αντιμεταθέσουμε την $i$ με την $j$ γραμμή, δηλ.

$I_{n}\;\begin{array}[]{c}\\ \overrightarrow{\Gamma_{i}\leftrightarrow\Gamma_{j}}\end{array}\;E_{i% \leftrightarrow j}\;.$
•

Αν $b\in\Bbbk$ και είναι διάφορο του μηδενός, τότε ο $E_{b\cdot i}$ είναι ο στοιχειώδης πίνακας $E_{b\cdot i}$ και προκύπτει από τον $I_{n}$ αν πολλαπλασιάσουμε τα στοιχεία της $i$ γραμμής με ένα στοιχείο $b$ , δηλ.

$I_{n}\begin{array}[]{c}\\ \overrightarrow{\Gamma_{i}\rightarrow b\Gamma_{i}}\end{array}\;E_{b\cdot i}\;.$

Στα επόμενα παραδείγματα θα υπολογίσουμε διάφορους στοιχειώδεις πίνακες.

Παραδείγματα 2.2.5.

1.

Στον $\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$ οι στοιχειώδεις πίνακες είναι οι εξής:

$Ε_{1+a\cdot 2}=\left[\begin{array}[]{cc}1&a\\ 0&1\end{array}\right],\ E_{2+a\cdot 1}=\left[\begin{array}[]{cc}1&0\\ a&1\end{array}\right],\ E_{1\leftrightarrow 2}=\left[\begin{array}[]{cc}0&1\\ 1&0\end{array}\right]\ ,$
$E_{b\cdot 1}=\left[\begin{array}[]{cc}b&0\\ 0&1\end{array}\right],\ E_{b\cdot 2}=\left[\begin{array}[]{cc}1&0\\ 0&b\end{array}\right],$
όπου $a,b\in\mathbb{R}$ και $b\neq 0$ .
2.

Στον $\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ έχουμε

$E_{1+a\cdot 3}=\left[\begin{array}[]{ccc}1&0&a\\ 0&1&0\\ 0&0&1\end{array}\right],\;E_{2\leftrightarrow 3}=\left[\begin{array}[]{ccc}1&0% &0\\ 0&0&1\\ 0&1&0\end{array}\right],\;E_{b\cdot 3}=\left[\begin{array}[]{ccc}1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&b\end{array}\right].$

Οι στοιχειώδεις πίνακες είναι αντιστρέψιμοι. O αναγνώστης καλείται να βρει τον αντίστροφο για τους τρεις τύπους στοιχειωδών πινάκων, βλ. Άσκηση 2.2.1. Εύκολα μπορεί να επιβεβαιωθεί η επόμενη πρόταση.

Πρόταση 2.2.6.

Αν $A=(\alpha_{ij})\in\mathcal{M}_{n\times m}(\Bbbk)$ , τότε

i)

Ο πίνακας $E_{i+a\cdot j}\,A$ προκύπτει από τον $A$ αν αντικαταστήσουμε την γραμμή $\Gamma_{i}$ με την $\Gamma_{i}+a\Gamma_{j}$ , δηλ.

$Α\begin{array}[]{c}\\ \overrightarrow{\Gamma_{i}\rightarrow\Gamma_{i}+a\Gamma_{j}}\end{array}\;E_{i+% a\cdot j}\;Α.$
ii)

Ο πίνακας $E_{i\leftrightarrow j}\,A$ προκύπτει από τον $A$ αν αντιμεταθέσουμε την $i$ -γραμμή με την $j$ -γραμμή, δηλ.

$Α\begin{array}[]{c}\\ \overrightarrow{\Gamma_{i}\leftrightarrow\Gamma_{j}}\end{array}\;E_{i% \leftrightarrow j}\;Α.$
iii)

Ο πίνακας $E_{b\cdot i}\,A$ προκύπτει από τον $A$ αν πολλαπλασιάσουμε τα στοιχεία της $i$ γραμμής επί $b\in\Bbbk$ , δηλ.

$Α\begin{array}[]{c}\\ \overrightarrow{\Gamma_{i}\rightarrow b\Gamma_{i}}\end{array}\;E_{b\cdot i}\;Α.$

Παραδείγματα 2.2.7.

1.

Έστω

$A=\begin{bmatrix}0&3\cr 2&4\end{bmatrix}\ \text{ και }B=\begin{bmatrix}2&4\cr 0% &3\end{bmatrix}.$
Παρατηρούμε ότι $A\begin{array}[]{c}\\ \overrightarrow{\Gamma_{1}\leftrightarrow\Gamma_{2}}\end{array}Β$ και $Β=E_{1\leftrightarrow 2}\;A$ .
2.
Θα φέρουμε τον πίνακα $Α$ του προηγούμενου παραδείγματος σε ελαττωμένη κλιμακωτή μορφή γραμμών.

$A=\begin{bmatrix}0&3\cr 2&4\end{bmatrix}\;.$
Τότε

$A\begin{array}[]{c}\\ \overrightarrow{\Gamma_{1}\leftrightarrow\Gamma_{2}}\end{array}A_{1}=\begin{% bmatrix}2&4\cr 0&3\end{bmatrix}\begin{array}[]{c}\\ \overrightarrow{\Gamma_{1}\rightarrow\frac{1}{2}\Gamma_{1}}\end{array}A_{2}=% \begin{bmatrix}1&2\cr 0&3\end{bmatrix}\begin{array}[]{c}\\ \overrightarrow{\Gamma_{2}\rightarrow\frac{1}{3}\Gamma_{2}}\end{array}$
$A_{3}=\begin{bmatrix}1&2\cr 0&1\end{bmatrix}\begin{array}[]{c}\\ \overrightarrow{\Gamma_{1}\rightarrow\Gamma_{1}-2\Gamma_{2}}\end{array}I_{2}.$
Έπεται ότι
- –
  
  $A_{1}=E_{1\leftrightarrow 2}\;A$ ,
- –
  
  $A_{2}=E_{\frac{1}{2}\cdot 1}\;A_{1}=E_{\frac{1}{2}\cdot 1}\;E_{1% \leftrightarrow 2}\;A$ ,
- –
  
  $A_{3}=E_{\frac{1}{3}\cdot 2}\;A_{2}=E_{\frac{1}{3}\cdot 2}\;E_{\frac{1}{2}% \cdot 1}\;E_{1\leftrightarrow 2}\;A$ ,
- –
  
  $\ I_{2}=E_{1-2\cdot 2}\;A_{3}=E_{1-2\cdot 2}\;E_{\frac{1}{3}\cdot 2}\;E_{\frac% {1}{2}\cdot 1}\;E_{1\leftrightarrow 2}\;A$ .

Σημειώνουμε την επόμενη παρατήρηση για την ελαττωμένη κλιμακωτή μορφή $R$ ενός πίνακα $A$ . Η απόδειξή της είναι συνέπεια της Πρότασης 2.2.6 και του αλγορίθμου του Gauss για την εύρεση της ελαττωμένης κλιμακωτής μορφής γραμμών ενός πίνακα $Α$ .

Πρόταση 2.2.8.

Έστω $R$ η ελαττωμένη κλιμακωτή μορφή γραμμών ενός πίνακα $Α\in\mathcal{M}_{n\times m}(\Bbbk)$ . Υπάρχουν στοιχειώδεις πίνακες $E_{1},\ldots,E_{n}$ έτσι ώστε

R=E_{n}\cdots E_{1}\;A\;.

Έστω $B$ το γινόμενο των $E_{1},\ldots,E_{n}$ της Πρότασης 2.2.8. Αν η ελαττωμένη κλιμακωτή μορφή γραμμών του $Α$ είναι ο μοναδιαίος πίνακας, τότε από την Πρόταση 2.2.8, προκύπτει ότι

Ι_{n}=ΒΑ.

Έτσι, αν η ελαττωμένη κλιμακωτή μορφή γραμμών του $Α$ είναι ο $Ι_{n}$ , θα δείξουμε ότι ο $Α$ είναι αντιστρέψιμος και ότι ο αντίστροφός του είναι ο πίνακας $Β=E_{1}\cdots E_{n}$ , όπου $E_{1},\ldots,E_{n}$ είναι οι στοιχειώδεις πίνακες της Πρότασης 2.2.8. Ήδη γνωρίζουμε ότι $Β\,Α=Ι_{ν}$ . Μένει να δείξουμε ότι $A\,B=I_{n}$ .

Παράδειγμα 2.2.9.

Έστω

Α=\begin{bmatrix}1&2\cr 3&4\end{bmatrix}\;.

Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε έναν πίνακα $Β=(b_{ij})$ έτσι ώστε $ΑΒ=Ι_{2}$ . Θα πρέπει να ισχύει ότι

\begin{bmatrix}1&2\cr 3&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\cr b_{21}&b% _{22}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\,\,b_{11}+2b_{21}&b_{12}+2b_{22}\cr 3b_{11}% +4b_{21}&3b_{12}+4b_{22}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\cr 0&1\end{bmatrix}.

Πρέπει λοιπόν να λύσουμε τις επόμενες 4 εξισώσεις:

\begin{matrix}\;\;b_{11}+2b_{21}&&=&1\cr 3b_{11}+4b_{21}&&=&0\cr&\;\;b_{12}+2b% _{22}&=&0\cr&3b_{12}+4b_{22}&=&\ \ 1\;.\end{matrix}

Παρατηρούμε ότι, για να λύσουμε αυτό το σύστημα, αρκεί να λύσουμε τα εξής δύο γραμμικά συστήματα, για τα οποία ο (κοινός) πίνακας συντελεστών είναι $Α$ .

\begin{matrix}b_{11}+2b_{21}&=&1\cr 3b_{11}+4b_{21}&=&0\end{matrix}\ \quad% \textrm{ kai }\ \quad\begin{matrix}b_{12}+2b_{22}&=&0\cr 3b_{12}+4b_{22}&=&\ % \ 1\ .\end{matrix}

Θεωρούμε τον επαυξημένο (κατά δύο στήλες) πίνακα και με στοιχειώδεις πράξεις γραμμών τον φέρνουμε σε ελαττωμένη κλιμακωτή μορφή γραμμών:

\left[\begin{array}[]{cc|cc}1&2&1&0\cr 3&4&0&1\end{array}\right]\,% \longrightarrow\,\cdots\longrightarrow\left[\begin{array}[]{cc|cc}1&0&-2&1\cr 0% &1&{3}/{2}&-{1}/{2}\end{array}\right].

Προκύπτει ότι $(b_{11},b_{21})=(-2,{3}/{2})$ ενώ $(b_{12},b_{22})=(1,-{1}/{2})$ . Επομένως αν

B=\begin{bmatrix}-2&1\cr{3}/{2}&-{1}/{2}\end{bmatrix}\;,

τότε $ΑΒ=I_{2}$ . Σημειώνουμε ότι ο πίνακας $Β$ βρέθηκε φέρνοντας τον πίνακα $[A\ |\ I_{2}]$ σε ελαττωμένη κλιμακωτή μορφή γραμμών, εφαρμόζοντας τον αλγόριθμο του Gauss, δηλ.

[A\ |\ I_{2}]\longrightarrow\cdots\longrightarrow[Ι_{2}\ |\ B]\;.

Οι στοιχειώδεις πράξεις γραμμών που εφαρμόσαμε στον $Α$ μας έδωσαν το μοναδιαίο πίνακα:

Ι_{2}=E_{1-2\cdot 2}E_{-\frac{1}{2}\cdot 2}E_{2-3\cdot 1}Α\;,

ενώ οι ίδιες πράξεις γραμμών εφαρμόστηκαν στον $Ι_{2}$ για να καταλήξουμε στον $Β$ . Έτσι,

Β=E_{1-2\cdot 2}\;E_{-\frac{1}{2}\cdot 2}\;E_{2-3\cdot 1}\;Ι_{2}=E_{1-2\cdot 2% }\;E_{-\frac{1}{2}\cdot 2}\;E_{2-3\cdot 1}\;.

Θα γενικεύσουμε τις παρατηρήσεις που κάναμε στο προηγούμενο παράδειγμα. Έστω ότι $Α\in\mathcal{M}_{n}(\Bbbk)$ και ότι θέλουμε να βρούμε έναν πίνακα $Β=(b_{ij})$ , έτσι ώστε $AB=I_{n}$ . Αφού o πίνακας $ΑΒ\in\mathcal{M}_{n}(\Bbbk)$ έχει $n^{2}$ στοιχεία, η ισότητα $AB=I_{n}$ , δίνει $n^{2}$ (το πλήθος) γραμμικές εξισώσεις. Θέλουμε, λοιπόν, να λύσουμε $n^{2}$ γραμμικές εξισώσεις με $n^{2}$ αγνώστους. Μπορούμε να οργανώσουμε αυτές τις εξισώσεις σε $n$ γραμμικά συστήματα (με $n$ εξισώσεις και $n$ αγνώστους), τα οποία ονομάζουμε συστήματα της εξίσωσης $AB=I_{n}$ . Ο κοινός πίνακας των συντελεστών σε αυτά τα συστήματα είναι ο πίνακας $Α$ . Μπορεί κανείς να επιλύσει τα συστήματα αυτά ταυτόχρονα. Ο επαυξημένος πίνακας είναι ίσος με τον πίνακα $\begin{bmatrix}A&Ι_{n}\end{bmatrix}$ . Ανάλογα με την βαθμίδα του πίνακα $Α$ , υπάρχουν δύο περιπτώσεις για την ελαττωμένη κλιμακωτή μορφή γραμμών του $\begin{bmatrix}Α&Ι_{n}\end{bmatrix}$ .

•

Αν $\operatorname{rank}(A)=n$ , τότε όλα τα γραμμικά συστήματα της εξίσωσης $AB=I_{n}$ είναι συμβατά και έχουν μοναδικές λύσεις. Οι λύσεις αυτές προκύπτουν από την ελαττωμένη κλιμακωτή μορφή γραμμών του πίνακα $[\;Α\;|\;I_{n}\;]$ . Φέρνουμε τον πίνακα $[\;Α\;|\;I_{n}\;]$ σε ελαττωμένη κλιμακωτή μορφή γραμμών. Ο πίνακας $Β$ προκύπτει στο τελευταίο βήμα:

$[\;Α\;|\;I_{n}\;]\rightarrow\cdots\rightarrow[\;Ι_{n}\;|\;B\;]\;.$
Αν $E_{1},\ldots,E_{n}$ είναι οι στοιχειώδεις πίνακες που φέρνουν τον πίνακα $Α$ σε ελαττωμένη κλιμακωτή μορφή γραμμών, τότε

$E_{\kappa}\cdots\;E_{1}\;A=Ι_{ν}.$ (2.2.9.1)
Επομένως

$[\;Α\;|\;I_{n}\;]\longrightarrow\cdots\longrightarrow[\;Ι_{n}\;|\;E_{\kappa}% \cdots E_{1}\;].$
Άρα ο ζητούμενος πίνακας $Β$ με την ιδιότητα $ΑΒ=Ι_{ν}$ είναι ο πίνακας $E_{\kappa}\cdots E_{1}$ . Όμως, από τη Σχέση (2.2.9.3) προκύπτει ότι $BΑ=Ι_{ν}$ . Επομένως ο $Α$ είναι αντιστρέψιμος και

$A^{-1}=E_{\kappa}\cdots\;E_{1}$
όπου $E_{1},\ldots,E_{n}$ είναι οι στοιχειώδεις πίνακες που φέρνουν τον πίνακα $Α$ σε ελαττωμένη κλιμακωτή μορφή γραμμών.
•

Αν $\operatorname{rank}(A)<n$ , τότε

$[\;Α\;|\;I_{n}\;]\rightarrow\cdots\rightarrow[\;R\;|\;C\;]\;,$ (2.2.9.2)
όπου $R$ είναι η ελαττωμένη κλιμακωτή μορφή γραμμών του $A$ . Αφού $R\neq I_{n}$ , η τελευταία γραμμή του $R$ είναι μηδενική. Θα δούμε ότι η τελευταία γραμμή του $C$ δεν είναι μηδενική και επομένως τουλάχιστον ένα από τα γραμμικά συστήματα της εξίσωσης $AB=I_{n}$ δεν είναι συμβατό. Σύμφωνα με την Πρόταση 2.2.8, έχουμε ότι

$E_{\kappa}\cdots E_{2}\;E_{1}\;A=R\;,$ (2.2.9.3)
όπου $E_{1},\ldots,E_{\kappa}$ στοιχειώδεις πίνακες. Άρα

$[\;Α\;|\;I_{n}\;]\longrightarrow\cdots\longrightarrow[\;R\;|\;E_{\kappa}\cdots E% _{1}\;].$
Δηλαδή ο πίνακας $C$ της Σχέσης (2.2.9.2) είναι το γινόμενο $E_{\kappa}\cdots E_{1}$ . Αφού ο $C$ είναι το γινόμενο αντιστρέψιμων πινάκων, έπεται ότι ο $C$ είναι αντιστρέψιμος πίνακας, βλ. Πρόταση 2.2.3. Επομένως ο $C$ δεν μπορεί να έχει μία μηδενική γραμμή, βλ. Παράδειγμα 2.2.2. Αφού ο πίνακας $R$ έχει μηδενική την τελευταία του γραμμή, έπεται ότι τουλάχιστον ένα από τα συστήματα της εξίσωσης $AB=I_{n}$ δεν είναι συμβατό. Επομένως όταν $\operatorname{rank}(A)<n$ , δεν υπάρχει πίνακας $Β$ έτσι ώστε $AB=I_{n}$ και ο πίνακας $Α$ δεν είναι αντιστρέψιμος.

Αποδείξαμε λοιπόν την εξής πρόταση:

Έστω

A,B\in\mathcal{M}_{n}(\Bbbk)

i)

Ο πίνακας $Α$ είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν $\operatorname{rank}(A)=n$ .
ii)

Αν $Α\,B=I_{n}$ ('h $B\,A=I_{n}$ ), τότε οι πίνακες $Α$ και $B$ είναι αντιστρέψιμοι και $B=A^{-1}$ .

Ο ακόλουθος αλγόριθμος κωδικοποιεί τη διαδικασία εύρεσης αντιστρόφου:

Αλγόριθμος 2.2.1 Αλγόριθμος εύρεσης αντιστρόφου

Είσοδος: Ένας τετραγωνικός

n\times n

πίνακας

Α

Έξοδος: O αντίστροφος του

Α

, αν υπάρχει.

Βήμα 1 Παραθέτουμε δεξιά του

Α

τον

I_{n}

και σχηματίζουμε τον επαυξημένο πίνακα

[\;Α\;|\;I_{n}\;].

Βήμα 2 Εφαρμόζουμε τον αλγόριθμο του Gauss και φέρνουμε τον

[\;Α\;|\;I_{n}\;]

σε ελαττωμένη κλιμακωτή μορφή γραμμών

[\;R\;|\;B\;]

Βήμα 3 Αν

R=I_{n}

τότε ο

A

είναι αντιστρέψιμος και

Β=Α^{-1}

. Αν

R\neq I_{n}

, τότε ο πίνακας

Α

δεν είναι αντιστρέψιμος.

Θα εφαρμόσουμε τον αλγόριθμο (2.2.1) και το Θεώρημα 2.2.10 στα επόμενα παραδείγματα:

Παραδείγματα 2.2.11.

1. Θα υπολογίσουμε τον αντίστροφο του πίνακα

Α=\left[\begin{array}[]{rrr}1&3&0\\ 2&4&3\\ 1&2&1\end{array}\right].

Παίρνουμε τον επαυξημένο πίνακα

[\;Α\;|\;I_{n}\;]

και τον φέρνουμε σε ελαττωμένη κλιμακωτή μορφή γραμμών:

\displaystyle\left[\begin{array}[]{rrr}1&3&0\\ 2&4&3\\ 1&2&1\end{array}\right.\left|\begin{array}[]{rrr}1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\end{array}\right]\longrightarrow{}\ \left[\begin{array}[]{rrr}1&3&0\\ 0&-2&3\\ 0&-1&1\end{array}\right.\left|\begin{array}[]{rrr}1&0&0\\ -2&1&0\\ -1&0&1\end{array}\right]\longrightarrow\\ \\ \displaystyle\left[\begin{array}[]{rrr}1&3&0\\ 0&-1&1\\ 0&-2&3\end{array}\right.\left|\begin{array}[]{rrr}1&0&0\\ -1&0&1\\ -2&1&0\end{array}\right]\longrightarrow{}\left[\begin{array}[]{rrr}1&3&0\\ 0&1&-1\\ 0&-2&3\end{array}\right.\left|\begin{array}[]{rrr}1&0&0\\ 1&0&-1\\ -2&1&0\end{array}\right]\longrightarrow\\ \\ \displaystyle\left[\begin{array}[]{rrr}1&0&3\\ 0&1&-1\\ 0&0&1\end{array}\right.\left|\begin{array}[]{rrr}-2&0&3\\ 1&0&-1\\ 0&1&-2\end{array}\right]\longrightarrow{}\left[\begin{array}[]{rrr}1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\end{array}\right.\left|\begin{array}[]{rrr}-2&-3&9\\ 1&1&-3\\ 0&1&-2\end{array}\right].

Επομένως

\ Α^{-1}=\left[\begin{array}[]{rrr}-2&-3&9\\ 1&1&-3\\ 0&1&-2\end{array}\right].

2. Έστω

Α=\begin{bmatrix}1&2&3\cr 2&5&6\cr 3&7&9\end{bmatrix}\ .

Παίρνουμε τον επαυξημένο πίνακα

[\;Α\;|\;I_{n}\;]

. Εφαρμόζοντας στοιχειώδεις πράξεις γραμμών βρίσκουμε ότι

\begin{bmatrix}1&2&3&|&1&0&0\cr 2&5&6&|&0&1&0\cr 3&7&9&|&0&0&1\end{bmatrix}\ % \longrightarrow\cdots\longrightarrow\begin{bmatrix}1&2&3&|&\;\ 1&\;\ 0&0\cr 0&% 1&0&|&-2&\;\ 1&0\cr 0&0&0&|&-1&-1&1\end{bmatrix}\ .

Παρατηρούμε ότι

\operatorname{rank}A<3

και άρα o

Α

δεν είναι αντιστρέψιμος. 3. Έστω ότι

A\in\mathcal{M}_{n}(K)

και

\;Α^{4}+3Α^{2}+A-4Ι_{n}=0\;

. Τότε

\;Α^{4}+3A^{2}+A=4I_{n}\;\Rightarrow\;A\big(\frac{1}{4}(A^{3}+3A+I_{n})\big)=I% _{n}.

Σύμφωνα με το Θεώρημα 2.2.10, ο πίνακας

Α

είναι αντιστρέψιμος και

Α^{-1}=\frac{1}{4}(A^{3}+3A+I_{n})

Για τον ανάστροφο πίνακα του $Α$ , έχουμε την επόμενη σημαντική πρόταση:

Πρόταση 2.2.12.

Έστω $A\in\mathcal{M}_{n}(K)$ . Ο πίνακας $A$ είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν ο πίνακας $A^{T}$ είναι αντιστρέψιμος και $(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}$ .

Απόδειξη.

Αν ο $Α$ είναι αντιστρέψιμος, τότε

A\;A^{-1}=I_{n}\Leftrightarrow(A\;A^{-1})^{T}=I_{n}^{T}\Leftrightarrow(A^{-1})% ^{T}A^{T}=I_{n}.

Άρα $Α^{Τ}$ είναι αντιστρέψιμος και

(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}.

Αντίστροφα, αν $A^{T}$ είναι αντιστρέψιμος, τότε $A=(A^{T})^{T}$ είναι αντιστρέψιμος από το προηγούμενο βήμα. ∎

Η τελευταία παρατήρηση αυτής της ενότητας αφορά την επίλυση γραμμικών συστημάτων, όταν ο πίνακας των συντελεστών είναι αντιστρέψιμος.

Παρατήρηση 2.2.13.

Αν $Α\in\mathcal{M}_{n}(\Bbbk)$ είναι αντιστρέψιμος πίνακας, τότε το σύστημα $AX=B$ έχει μοναδική λύση, που προκύπτει από το γινόμενο $A^{-1}B$ .

Απόδειξη.

ΑX=Β\Rightarrow Α^{-1}(ΑX)=Α^{-1}Β\Rightarrow(Α^{-1}Α)X=Α^{-1}Β

\Rightarrow Ι_{n}X=Α^{-1}Β\Rightarrow X=A^{-1}B\;.

∎

Η προηγούμενη μέθοδος επίλυσης συστημάτων χρησιμοποιείται πρακτικά μόνο αν ο πίνακας $Α^{-1}$ είναι ήδη γνωστός. Συνήθως όμως ο αριθμός των πράξεων που απαιτούνται για να υπολογιστεί ο $A^{-1}$ είναι μεγάλος και η μέθοδος αυτή είναι χρονοβόρα.

Παράδειγμα 2.2.14.

Θα βρούμε τη λύση του συστήματος $ΑX=B$ όπου

Α=\begin{bmatrix}1&3&0\cr 2&4&3\cr 1&2&1\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}1% \cr 0\cr 1\end{bmatrix}

Στο Παράδειγμα 2.2.11 είδαμε ότι

Α^{-1}=\begin{bmatrix}-2&-3&9\cr 1&1&-3\cr 0&1&-2\end{bmatrix}.

Άρα

A^{-1}B=\begin{bmatrix}7\cr-2\cr-2\end{bmatrix}

και η μοναδική λύση του συστήματος $AX=B$ είναι $(7,-2,-2)$ .

Ασκήσεις Ενότητας 2.2

1.

Να βρείτε τον αντίστροφο για τους τρεις τύπους στοιχειωδών πινάκων, (Υπόδειξη: Πρόταση 2.2.6).

Λύση
2.

Να υπολογίσετε τους αντιστρόφους των εξής πινάκων, αν υπάρχουν.

$A=\left[\begin{array}[]{cc}2&1\\ 4&3\end{array}\right],\;\;\;\;B=\left[\begin{array}[]{ccr}0&2&-1\\ 2&1&1\\ 1&3&0\end{array}\right],\;\;\;\;C=\left[\begin{array}[]{ccr}1&3&0\\ 0&2&-1\\ 2&8&2\end{array}\right]\;.$

Λύση
3.

Να βρείτε τις λύσεις των συστημάτων

$AX_{1}=\begin{bmatrix}1\cr 0\end{bmatrix},\quad AX_{2}=\begin{bmatrix}1\cr-1% \end{bmatrix},\quad AX_{3}=\begin{bmatrix}0\cr 2\end{bmatrix},\quad BX_{4}=% \begin{bmatrix}0\cr 0\cr 0\end{bmatrix},\quad BX_{5}=\begin{bmatrix}1\cr 1\cr 1% \end{bmatrix},$
όπου $Α$ και $B$ είναι οι πίνακες της προηγούμενης άσκησης.

Λύση
4.

Αν $A^{2}+2A-I_{n}=\bf 0$ , να αποδείξετε ότι ο πίνακας $A\in\mathcal{M}_{n}(K)$ είναι αντιστρέψιμος και να βρείτε τον αντίστροφό του ως άθροισμα δυνάμεων του $Α$ . Ομοίως, να βρείτε τον αντίστροφο του $Β\in\mathcal{M}_{n}(K)$ , όπου $2Β^{3}+Β^{2}-4Β+3Ι_{n}=\bf 0$ , και στη συνέχεια τον $(Β^{Τ})^{-1}$ .

Λύση

2.3 Ορίζουσες Πινάκων

Όπως θα δούμε στον Ορισμό 2.3.2, η ορίζουσα (determinant) είναι μία συνάρτηση

\det:\ \mathcal{M}_{n}(\Bbbk)\longrightarrow\Bbbk\;,

που σε κάθε $n\times n$ -πίνακα $A$ του $\mathcal{M}_{n}(\Bbbk)$ αντιστοιχεί ένα στοιχείο του $\Bbbk$ . H τιμή της ορίζουσας του $Α$ συμβολίζεται με $\det A$ ή με $|A|$ $|A|$ .

Η ορίζουσα ενός $1\times 1$ πίνακα $[\alpha]$ είναι το $\alpha$ . Δηλ. $\det[\alpha]=\alpha$ . Η ορίζουσα ενός $2\times 2$ πίνακα δίνεται από τον τύπο των διαγωνίων

\det\begin{bmatrix}a&b\cr c&d\end{bmatrix}=ad-bc.

Για $n>2$ , θα δώσουμε έναν αναδρομικό τύπο για την ορίζουσα με τη βοήθεια των οριζουσών κάποιων $(n-1)\times(n-1)$ υποπινάκων του $Α$ . Οι πίνακες αυτοί, λέγονται ελάσσονες (minors) πίνακες του $A$ και συμβολίζονται με $A_{ij}$ . $A_{ij}$ Ο $A_{ij}$ είναι ο υποπίνακας του $Α$ που προκύπτει από τον $Α$ αν αγνοήσουμε την $i$ γραμμή και την $j$ στήλη του $Α$ .

Παραδείγματα 2.3.1.

1.

Αν $A=\left[\begin{array}[]{rrr}1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&0\end{array}\right]$ , τότε $A_{23}=\left[\begin{array}[]{rr}1&2\\ 7&8\end{array}\right]$ . $\begin{array}[]{c}\\ \\ \Box\end{array}$
2.

Ο ελάσσων πίνακας $(I_{n})_{11}$ του μοναδιαίου $n\times n$ πίνακα είναι ο πίνακας $Ι_{n-1}$ .
3.

Στη συνέχεια, θα υπολογίσουμε τον $(Ι_{3})_{21}$ . Αφού $Ι_{3}=\begin{bmatrix}1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\end{bmatrix}$ , έπεται ότι $(Ι_{3})_{21}=\begin{bmatrix}0&0\cr 0&1\end{bmatrix}\;.$
4.

Έστω $Α$ ένας διαγώνιος $n\times n$ πίνακας. Αν $i\neq j$ τότε $Α_{ij}$ έχει (τουλάχιστον) μία μηδενική γραμμή και στήλη.
5.

Έστω $Α$ ένας άνω (ή κάτω) τριγωνικός πίνακας. Τότε ο πίνακας $Α_{11}$ είναι άνω (ή κάτω) τριγωνικός πίνακας.

Ορισμός 2.3.2.

Η ορίζουσα ενός $n\times n$ -πίνακα $A=(\alpha_{ij})\in\mathcal{M}_{n}(\Bbbk)$ δίνεται από τον τύπο

\det A=\alpha_{11}\det A_{11}-\alpha_{21}\det A_{21}+\cdots+(-1)^{n+1}\alpha_{% n1}\det A_{n1}.

Παραπάνω είδαμε την ανάπτυξη της ορίζουσας του πίνακα $A$ κατά τα στοιχεία της πρώτης στήληςανάπτυξη ορίζουσας. Όπως θα δούμε, η ορίζουσα του $Α$ μπορεί να υπολογισθεί με αντίστοιχη ανάπτυξη κατά τα στοιχεία μίας οποιασδήποτε στήλης ή γραμμής.

Παραδείγματα 2.3.3.

1.

Έστω $A=[2]$ , τότε $\det A=2$ .
2.

Η ορίζουσα του πίνακα $Α=\left[\begin{array}[]{rr}1&0\\ 2&4\end{array}\right]$ είναι $\det A=4$ .
3.

Έστω $A=\left[\begin{array}[]{rrr}1&2&1\\ 3&1&1\\ 0&-1&1\end{array}\right]$ . Τότε

$\det A=1\det\left[\begin{array}[]{rr}1&1\\ -1&1\end{array}\right]-3\det\left[\begin{array}[]{rr}2&1\\ -1&1\end{array}\right]+0\det\left[\begin{array}[]{rr}2&1\\ 1&1\end{array}\right]=$
$=1\cdot 2-3\cdot 3+0=-7.$
4.

Έστω

$A=\begin{bmatrix}2&1&2&1\cr 0&3&1&1\\ 0&0&-1&1\cr 3&0&0&0\end{bmatrix}\ .$
Τότε

$\det A=2\det A_{11}-0\det A_{21}+0\det A_{31}-3\det A_{41}\ .$
Παρατηρούμε ότι δεν υπάρχει λόγος να υπολογίσουμε τους πίνακες $A_{21}$ , $A_{31}$ και τις ορίζουσές τους, αφού θα πολλαπλασιαστούν με το $0$ . Ο πίνακας $Α_{41}$ είναι ο $3\times 3$ πίνακας του Παραδείγματος 3 και είδαμε ότι $\det A_{41}=-7$ . Μένει λοιπόν να υπολογίσουμε την ορίζουσα του πίνακα $Α_{11}$ .

$\displaystyle\det A_{11}=\det\begin{bmatrix}3&1&1\cr 0&-1&1\cr 0&0&0\end{% bmatrix}=3\det\begin{bmatrix}-1&1\cr 0&0\end{bmatrix}-0\det\begin{bmatrix}1&1% \cr 0&0\end{bmatrix}+0\begin{bmatrix}1&1\cr-1&1\end{bmatrix}$
$=0-0+0=0\;.$

Άρα

$\det A=-3\cdot(-7)=21\;.$
5.

Θα δούμε ότι $|I_{n}|=1$ . Θα γράφουμε $Ι$ αντί για $I_{n}$ , για ευκολία συμβολισμού. Έτσι,

$\det I_{n}=\det I=1\det I_{11}-0\det I_{21}+\cdots+(-1)^{n+1}0\det I_{n1}=\det% {I}_{11}.$
Όμως ${I}_{11}=(I_{n})_{11}=Ι_{n-1}$ . Έτσι, επαναλαμβάνοντας $n-1$ φορές βρίσκουμε ότι

$\det I_{n}=\det I_{n-1}=\cdots=\det[1]=1\;.$
6.

Έστω $Α$ ένας άνω τριγωνικός πίνακας. Τότε

$\det A=a_{11}\det A_{11}+0\det Α_{21}-\cdots+(-1)^{n+1}0\det Α_{n1}=a_{11}\det A% _{11}\;.$
Όμως o $Α_{11}$ είναι ένας άνω τριγωνικός πίνακας. Επαναλαμβάνοντας τα προηγούμενα $n-1$ φορές βρίσκουμε ότι $\det A=a_{11}\cdots a_{nn}$ . Αποδείξαμε λοιπόν το παρακάτω συμπέρασμα. Αν o $A$ είναι άνω τριγωνικός πίνακας, τότε η ορίζουσα του $A$ ισούται με το γινόμενο των στοιχείων της κυρίας διαγωνίου του $A$ .

Αναφέρουμε κάποιες από τις ιδιότητες των οριζουσών που αποδεικνύονται εύκολα από τον ορισμό και που ο αναγνώστης καλείται να βεβαιώσει.

Πρόταση 2.3.4.

Έστω $A\in\mathcal{M}_{n}(\Bbbk)$ . Τότε

i)

$\det E_{i+a\cdot j}A=\det A$ .
ii)

$\det E_{i\leftrightarrow j}A=-\det A$ .
iii)

$\det E_{b\cdot i}A=b\det A$ .

Είναι φανερό ότι οι υπολογισμοί για την ορίζουσα του πίνακα $Α$ είναι απλούστεροι όταν ο $Α$ έχει πολλά μηδενικά και ιδιαίτερα αν ο $Α$ είναι σε κλιμακωτή μορφή γραμμών. Η προηγούμενη πρόταση περιγράφει αναλυτικά την επίδραση των στοιχειωδών πράξεων γραμμών στην ορίζουσα. Αν $Ε_{1},\ldots,E_{s}$ είναι στοιχειώδεις πίνακες, τότε εφαρμόζοντας $s$ φορές την Πρόταση 2.3.4 είναι φανερό ότι

\det\left(E_{1}E_{2}\cdots E_{s}A\right)=\det E_{1}\;\det E_{2}\cdots\det E_{s% }\det A\;.

(2.3.4.1)

Έτσι, για να υπολογίσουμε την ορίζουσα του $Α$ , πρώτα φέρνουμε τον $Α$ σε κλιμακωτή μορφή γραμμών και στη συνέχεια χρησιμοποιούμε την Πρόταση 2.3.4.

Παραδείγματα 2.3.5.

1.

Ας υπολογίσουμε την ορίζουσα του πίνακα

$A=\left[\begin{array}[]{cccc}1&1&1&1\\ 1&1&3&5\\ 0&1&3&7\\ 0&0&0&2\end{array}\right].$
Βλέπουμε ότι

$Α\begin{array}[]{c}\\ \overrightarrow{\Gamma_{2}\rightarrow\Gamma_{2}-\Gamma_{1}}\end{array}A_{1}=% \left[\begin{array}[]{cccc}1&1&1&1\\ 0&0&2&4\\ 0&1&3&7\\ 0&0&0&2\end{array}\right]\begin{array}[]{c}\\ \overrightarrow{\Gamma_{3}\leftrightarrow\Gamma_{2}}\end{array}A_{2}=\left[% \begin{array}[]{cccc}1&1&1&1\\ 0&1&3&7\\ 0&0&2&4\\ 0&0&0&2\end{array}\right]$
$\begin{array}[]{c}\\ \overrightarrow{\Gamma_{3}\rightarrow{1\over 2}\Gamma_{3}}\end{array}A_{3}=% \left[\begin{array}[]{cccc}1&1&1&1\\ 0&1&3&7\\ 0&0&1&2\\ 0&0&0&2\end{array}\right].$
Ο πίνακας $Α_{3}$ είναι άνω τριγωνικός. Σύμφωνα με το Παράδειγμα 2.3.3.6,

$\det Α_{3}=1\cdot 1\cdot 1\cdot 2=2.$

Σύμφωνα με την Πρόταση 2.3.4 και πηγαίνοντας ανάποδα από τον $Α_{3}$ προς τον $A$ , βλέπουμε ότι

$\det A_{2}=2\det A_{3},\ \det A_{1}=-\det A_{2},\ \det A=\det A_{1}\;,$
και άρα

$\det A=-4.$
2.

Έστω $A\in\mathcal{M}_{n}(\Bbbk)$ και $b\in\Bbbk$ . Θα υπολογίσουμε την ορίζουσα του πίνακα $b A$ , όταν γνωρίζουμε την ορίζουσα του $Α$ . Ο πίνακας $b A$ προκύπτει από τον $Α$ πολλαπλασιάζοντας κάθε γραμμή του $A$ με $b$ . Άρα $\det(bA)=b\cdots b\,\det A=b^{n}\det A$ και αποδείξαμε την εξής ιδιότητα.

Αν $A\in\mathcal{M}_{n}(\Bbbk)$ και $b\in\Bbbk$ , τότε $\det(bA)=b^{n}\det A$ .
3.

Αν $A\in\mathcal{M}_{2}(\Bbbk)$ και $\det A=3$ , τότε $\det(2A)=2^{2}\cdot 3=12$ .
4.

Αν $A\in\mathcal{M}_{3}(\Bbbk)$ και $\det A=3$ , τότε $\det(2A)=2^{3}\cdot 3=24$ .

Παρατηρούμε ότι ισχύει το εξής:

Πρόταση 2.3.6.

$\det E_{i+a\cdot j}=1$ , $\;\;\det E_{i\leftrightarrow j}=-1$ , $\;\;\det E_{b\cdot i}=b$ .

Απόδειξη.

Οι στοιχειώδεις πίνακες προκύπτουν από το μοναδιαίο πίνακα $I_{n}$ με μία στοιχειώδη πράξη γραμμών. Έχουμε ότι $\det I_{n}=1$ . Επομένως

\det I_{n}=\det(E_{i+a\cdot j}\;I_{n})\Rightarrow\det I_{n}=\det E_{i+a\cdot j% }\Rightarrow\det E_{i+a\cdot j}=1.

Όμοια αποδεικνύονται και οι άλλες ισότητες. ∎

Σημειώνουμε την επόμενη χρήσιμη παρατήρηση που προκύπτει με βάση όσα είπαμε προηγουμένως.

Παρατήρηση 2.3.7.

Έστω $R$ μία κλιμακωτή μορφή γραμμών του $Α$ . Τότε υπάρχει $b\in\Bbbk$ τέτοιο ώστε $b\neq 0$ και $\det R=b\det A$ .

Η επόμενη σημαντική πρόταση δίνει ένα κριτήριο αντιστρεψιμότητας του $Α$ .

Πρόταση 2.3.8.

Ο πίνακας $A\in\mathcal{M}_{n}(\Bbbk)$ είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν $\det A\neq 0$ . Ισοδύναμα $\det A=0$ αν και μόνο αν ο $A$ δεν είναι αντιστρέψιμος δηλ. $\det A=0$ αν και μόνο αν $\operatorname{rank}A<n$ .

Απόδειξη.

Έστω $A\in\mathcal{M}_{n}(\Bbbk)$ και $R$ η ελαττωμένη κλιμακωτή μορφή γραμμών του $A$ . Ο πίνακας $Α$ είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν $R=I_{n}$ . Σύμφωνα με την Παρατήρηση 2.3.7, $\det A\neq 0$ αν και μόνο αν $\det R\neq 0$ . ∎

Σημειώνουμε το εξής πόρισμα.

Πόρισμα 2.3.9.

Έστω $A\in\mathcal{M}_{n}(\Bbbk)$ .

i)

Αν $A$ έχει μία μηδενική γραμμή ή στήλη, τότε $\det A=0$ .
ii)

Αν μία γραμμή του $Α$ είναι πολλαπλάσιο μίας άλλης γραμμής του $Α$ , τότε $\det A=0$ .

Απόδειξη.

i). Έστω ότι μία γραμμή ή στήλη του $Α$ είναι μηδενική. Τότε $\operatorname{rank}(A)<n$ και ο $Α$ δεν είναι αντιστρέψιμος. Για το ii) παρατηρούμε ότι αν $\Gamma_{i}=b\Gamma_{j}$ , τότε ο πίνακας $Ε_{i-b\cdot j}A$ έχει μηδενική την $i$ γραμμή και επομένως $\det Α=\det Ε_{i-b\cdot j}A=0$ . ∎

Όπως είδαμε στο Θεώρημα 2.2.10, το γινόμενο $Α Β$ των τετραγωνικών πινάκων $A$ και $B$ είναι αντιστρέψιμο αν και μόνο αν κάθε ένας από τους πίνακες $Α$ , $Β$ είναι αντιστρέψιμος. Αυτό, σε συνδυασμό με την σχέση 2.3.4.1 μας δίνει την επόμενη πρόταση.

Πρόταση 2.3.10.

Έστω $Α,Β\in\mathcal{M}_{n}(\Bbbk)$ . Τότε ισχύει ότι

\det(AB)=\det A\cdot\det B.

Είμαστε τώρα σε θέση να αποδείξουμε το επόμενο πόρισμα.

Πόρισμα 2.3.11.

Έστω $Α\in\mathcal{M}_{n}(\Bbbk)$ . Αν $\det A\neq 0$ , τότε

\det(A^{-1})=\frac{1}{\det A}\;.

Απόδειξη.

Αφού $\det A\neq 0$ , έπεται ότι υπάρχει ο αντίστροφος $A^{-1}$ του $Α$ . Αφού $AA^{-1}=I_{n}$ , από την Πρόταση 2.3.10 έχουμε ότι

\;\;\;\;\;\;\;\;\det(AA^{-1})=\det I_{n}\Rightarrow\det A\cdot\det(A^{-1})=1% \Rightarrow\det(A^{-1})=\frac{1}{\det A}\ .

∎

Στη συνέχεια θα υπολογίσουμε την ορίζουσα του $A^{T}$ . Καταρχήν παρατηρούμε ότι

(E_{i+a\cdot j})^{T}=E_{j+a\cdot i}\ ,

δηλαδή ο ανάστροφος ενός στοιχειώδη πίνακα αυτού τύπου 1 είναι και πάλι στοιχειώδης πίνακας τύπου 1. Ομοίως

(E_{i\leftrightarrow j})^{T}=E_{i\leftrightarrow j}\textrm{ kai }(E_{b\cdot i}% )^{T}=E_{b\cdot i}\ .

Έτσι, προκύπτει η εξής πρόταση.

Πρόταση 2.3.12.

\det(E_{i+a\cdot j})^{T}=1,\ \det(E_{i\leftrightarrow j})^{T}=-1,\ \det(E_{b% \cdot i})^{T}=b\ .

Σύμφωνα με την Πρόταση 2.2.12, o $Β$ είναι αντιστρέψιμος πίνακας αν και μόνο αν ο $Β^{Τ}$ είναι αντιστρέψιμος. Προκύπτει, λοιπόν, το επόμενο συμπέρασμα.

Πρόταση 2.3.13.

Έστω $Α\in\mathcal{M}_{n}(\Bbbk)$ . Τότε

\det(Α^{Τ})=\det A.

Απόδειξη.

Έχουμε δει ότι $E_{1}\cdots E_{s}\;Α=R$ , όπου $R$ η ελαττωμένη κλιμακωτή μορφή του $Α$ και $Ε_{1},\ldots,E_{s}$ στοιχειώδεις πίνακες, βλ. Πρόταση 2.2.8. Είδαμε επίσης ότι o $Ε_{i}^{-1}$ είναι στοιχειώδης πίνακας, για $i=1,\ldots,s$ . Άρα

Α=Ε^{\prime}_{s}\cdots E^{\prime}_{1}\ R\text{ όπου }\;E^{\prime}_{i}=(E_{i})^% {-1},\,\textrm{ για }\ i=1,\ldots,s\;.\

Από την Πρόταση 2.3.10, έπεται ότι

\det A=\det E^{\prime}_{s}\cdots\;\det E^{\prime}_{1}\det R\ .

Υπολογίζοντας τον ανάστροφο του $Α$ βλέπουμε ότι

Α^{Τ}=R^{T}(E^{\prime}_{1})^{T}\cdots(E^{\prime}_{s})^{T}\

και από την Πρόταση 2.3.10, έπεται ότι

\det A^{T}=\det R^{Τ}\det(E^{\prime}_{1})^{Τ}\cdots\;\det(E^{\prime}_{s})^{T}\;.

(2.3.13.1)

Παρατηρούμε ότι $\det E^{\prime}_{i}=\det(E^{\prime}_{i})^{T}$ . Έτσι, όταν ο $Α$ είναι αντιστρέψιμος, τότε ο $R=I_{n}$ και

\det A=\det E^{\prime}_{1}\cdots\;\det E^{\prime}_{s}\cdot 1=\det A^{T}\ .

Όταν ο $Α$ δεν είναι αντιστρέψιμος, τότε η τελευταία γραμμή του $R$ είναι μηδενική και $\det R=0$ . Ο πίνακας $R^{Τ}$ δεν είναι αντιστρέψιμος, αφού ο $R^{T}$ έχει μία μηδενική στήλη και $\operatorname{rank}(R^{T})<n$ . Επομένως $\det R^{T}=0$ . Άρα από τη Σχέση (2.3.13.1) προκύπτει ότι $\det A^{T}=0$ και συνεπώς

\det A=\det A^{T}=0.

∎

Παρατηρούμε ότι οι στοιχειώδεις πράξεις γραμμών του $Α^{Τ}$ είναι στοιχειώδεις πράξεις στηλών του $Α$ . Συνεπώς, η ορίζουσα $\det Α$ μπορεί να υπολογισθεί με την ανάπτυξη των στοιχείων του $Α$ ως προς οποιαδήποτε γραμμή ή στήλη. Αποδείξαμε, λοιπόν, την παρακάτω πρόταση.

Πρόταση 2.3.14.

Έστω $A=(\alpha_{ij})\in\mathcal{M}_{n}(\Bbbk)$ . Τότε

\det A=(-1)^{1+i}\alpha_{1i}\;\det A_{1i}+(-1)^{2+i}\alpha_{2i}\;\det A_{2i}+% \cdots+(-1)^{n+i}\alpha_{ni}\;\det A_{ni}\;,

και

\det A=(-1)^{i+1}\alpha_{i1}\;\det A_{i1}+(-1)^{i+2}\alpha_{i2}\;\det A_{i2}+% \cdots+(-1)^{i+n}\alpha_{in}\;\det A_{in}\;.

Στα επόμενα παραδείγματα θα εφαρμόσουμε την Πρόταση 2.3.14.

Παραδείγματα 2.3.15.

1.

Έστω ο πίνακας

$\;\;\;\;\;Α=\left[\begin{array}[]{rrr}1&2&5\\ 4&2&5\\ 3&1&2\end{array}\right]\begin{array}[]{c}\end{array}\ .$
Αφαιρώντας τη δεύτερη γραμμή από την πρώτη, προκύπτει ο πίνακας

$A_{1}=\left[\begin{array}[]{rrr}1&2&5\\ 3&0&0\\ 3&1&2\end{array}\right]$
και $\det Α_{1}=\det A$ . Αναπτύσσοντας την ορίζουσα του $Α_{1}$ κατά τα στοιχεία της δεύτερης γραμμής, έχουμε ότι

$\det A=\det A_{1}=-3\;\det\left[\begin{array}[]{rr}2&5\\ 1&2\end{array}\right]=3.$
Έτσι κάποιες φορές, ο υπολογισμός της ορίζουσας γίνεται πιο αποτελεσματικά με συνδυασμό στοιχειωδών πράξεων και της Πρότασης 2.3.14.
2.

Έστω ο πίνακας

$Α=\begin{bmatrix}1&0&1&2\cr 0&1&3&4\cr 0&0&5&6\cr 0&0&7&8\end{bmatrix}.$
Θα υπολογίσουμε την ορίζουσα του $A$ αναπτύσσοντας κατά τα στοιχεία της πρώτης στήλης του $Α$ . Προκύπτει ότι $\det A=\det A_{11}$ . Έτσι

$\det A=\det\begin{bmatrix}1&3&4\cr 0&5&6\cr 0&7&8\end{bmatrix}.$
Αναπτύσσοντας και πάλι κατά τα στοιχεία της πρώτης στήλης του νέου πίνακα βρίσκουμε ότι

$\det A=\det\begin{bmatrix}5&6\cr 7&8\end{bmatrix}=-2\ .$
Ο πίνακας $Α$ είναι πίνακας με στοιχεία πίνακες:

$Α=\begin{bmatrix}1&0\;\;\vline&1&2\cr 0&1\;\;\vline&3&4\cr\hline 0&0\;\;\vline% &5&6\cr 0&0\;\;\vline&7&8\end{bmatrix}\,.$
Ένας τέτοιος πίνακας λέγεται μπλοκ (block) πινάκων. Εύκολα βρίσκει κανείς ότι η ορίζουσα του $Α$ είναι ίση με το γινόμενο των οριζουσών των δύο διαγώνιων υποπινάκων του $Α$ .
3.

Θα υπολογίσουμε την ορίζουσα του μπλοκ πινάκων

$Α=\left[\begin{array}[]{cc}Β&C\\ {\bf 0}&D\end{array}\right],$
όπου $A\in\mathcal{M}_{n}(\Bbbk)$ , $B\in\mathcal{M}_{r}(\Bbbk)$ , $D\in\mathcal{M}_{n-r}(\Bbbk)$ και $C\in\mathcal{M}_{r\times(n-r)}(\Bbbk)$ . Αφού

$A=\left[\begin{array}[]{cc}I_{r}&{\bf 0}\\ {\bf 0}&D\end{array}\right]\left[\begin{array}[]{cc}B&C\\ {\bf 0}&I_{n-r}\end{array}\right],$
θα υπολογίσουμε πρώτα τις ορίζουσες των

$\left[\begin{array}[]{cc}I_{r}&{\bf 0}\\ {\bf 0}&D\end{array}\right],\ \ \left[\begin{array}[]{cc}B&C\\ {\bf 0}&I_{n-r}\end{array}\right].$

Για τον πρώτο πίνακα, χρησιμοποιώντας την μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής για το $n$ και την ανάπτυξη της ορίζουσας κατά τα στοιχεία της πρώτης στήλης, προκύπτει ότι

$\det\left[\begin{array}[]{cc}I_{r}&{\bf 0}\\ {\bf 0}&D\end{array}\right]=\det D\;.$
Για τον δεύτερο πίνακα, χρησιμοποιώντας την μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής για το $n$ και την ανάπτυξη της ορίζουσας κατά τα στοιχεία της τελευταίας γραμμής, προκύπτει ότι

$\det\left[\begin{array}[]{cc}B&C\\ {\bf 0}&I_{n-r}\end{array}\right]=\det B\;.$
Επομένως αποδείξαμε το εξής συμπέρασμα.

Έστω ότι $A\in\mathcal{M}_{n}(\Bbbk)$ και ότι υπάρχουν τετραγωνικοί πίνακες $B\in\mathcal{M}_{r}(\Bbbk)$ , $D\in\mathcal{M}_{n-r}(\Bbbk)$ και $C\in\mathcal{M}_{r\times(n-r)}(\Bbbk)$ τέτοιοι ώστε

$Α=\left[\begin{array}[]{cc}Β&C\\ {\bf 0}&D\end{array}\right],\ \textrm{ t'ote }\det A=\det B\cdot\det D\;.$
4.

Έστω $Α$ ένας κάτω τριγωνικός πίνακας. Αφού $Α^{Τ}$ είναι άνω τριγωνικός πίνακας, σύμφωνα με την Πρόταση 2.3.13 και το Παράδειγμα 2.3.3.6, έπεται ότι

$\det A=a_{11}\cdots a_{nn}.$

Έστω $A=(\alpha_{ij})\in\mathcal{M}_{n}(\Bbbk)$ . Ο πίνακας που στη θέση $(i,j)$ έχει το στοιχείο $(-1)^{i+j}\det A_{ji}$ , λέγεται προσαρτημένος (adjoint) πίνακας του $Α$ και συμβολίζεται με $\operatorname{adj}(A)$ . Έτσι,

\operatorname{adj}(A)=\left(a^{\prime}_{ij}\right)^{Τ}\textrm{ όπου }a^{\prime% }_{ij}=(-1)^{i+j}\det A_{ij}.

Παράδειγμα 2.3.16.

Έστω $Α$ ο πίνακας του Παραδείγματος 2.3.15. Τότε

\begin{array}[]{rrr}\det A_{11}=\left|\begin{array}[]{rr}2&5\\ 1&2\end{array}\right|,&\det A_{21}=\left|\begin{array}[]{rr}2&5\\ 1&2\end{array}\right|,&\det A_{31}=\left|\begin{array}[]{rr}2&5\\ 2&5\end{array}\right|,\\ \\ \det A_{12}=\left|\begin{array}[]{rr}4&5\\ 3&2\end{array}\right|,&\det A_{22}=\left|\begin{array}[]{rr}1&5\\ 3&2\end{array}\right|,&\det A_{32}=\left|\begin{array}[]{rr}1&5\\ 4&5\end{array}\right|,\\ \\ \det A_{13}=\left|\begin{array}[]{rr}4&2\\ 3&1\end{array}\right|,&\det A_{23}=\left|\begin{array}[]{rr}1&2\\ 3&1\end{array}\right|,&\det A_{33}=\left|\begin{array}[]{rr}1&2\\ 4&2\end{array}\right|.\end{array}

Έτσι, ο πίνακας $\operatorname{adj}(A)$ προκύπτει από τις προηγούμενες ορίζουσες με εναλλασσόμενα πρόσημα και είναι ο πίνακας

\operatorname{adj}(A)=\begin{bmatrix}-1&1&0\cr 7&-13&15\cr-2&5&-6\end{bmatrix}.

Χρησιμοποιώντας την Πρόταση 2.3.14, μπορεί να δείξει κανείς ότι ισχύουν οι εξής δύο τύποι:

Πρόταση 2.3.17.

Έστω $A=(\alpha_{ij})$ ένας $n\times n$ -πίνακας. Τότε

i)

$\operatorname{adj}(A)\cdot Α=\det A\cdot I_{n}$ .
ii)

Αν $\det A\neq 0$ , $\;$ τότε $\;\;A^{-1}=\displaystyle\frac{1}{\det A}\;\operatorname{adj}(A)$ .

Παραδείγματα 2.3.18.

1.

Θα υπολογίσουμε τον αντίστροφο του πίνακα $Α$ του Παραδείγματος 2.3.15. Όπως είδαμε $\det A=3$ . Επομένως

$Α^{-1}=\frac{1}{3}\begin{bmatrix}-1&\;\ 1&\;\ 0\cr\;\ 7&-13&\;\ 15\cr-2&\;\ 5&% -6\end{bmatrix}.$
2.

Έστω ότι $Α\in\mathcal{M}_{3}({\mathbb{C}})$ και ότι $\det A=5$ . Θα υπολογίσουμε την ορίζουσα του $\operatorname{adj}(A)$ . Αφού $\det A\neq 0$ , o $Α$ είναι αντιστρέψιμος πίνακας και

$\operatorname{adj}(A)\;Α=\det A\;I_{n}\Rightarrow\operatorname{adj}(A)=(\det A% )A^{-1}\ .$
Επομένως $\det\operatorname{adj}(A)=5^{3}\det(A^{-1})$ , βλ. Παραδείγματα 2.3.5. Αφού $\det(A^{-1})=1/5$ , έπεται ότι $\det\operatorname{adj}(A)=25$ .

Έστω $Α\in\mathcal{M}_{n}(\Bbbk)$ αντιστρέψιμος πίνακας και έστω το γραμμικό σύστημα $AX=B$ όπου $Β\in\mathcal{M}_{n\times 1}(\Bbbk)$ . Πολλαπλασιάζουμε με $Α^{-1}$ και τις δύο πλευρές της ισότητας $AX=B$ . Έτσι,

X=A^{-1}B=\frac{1}{\det A}\operatorname{adj}(A)\;B.

Από το γινόμενο αυτό προκύπτει ότι

x_{i}=\frac{(-1)^{1+i}\det A_{1i}\cdot\beta_{1}+\cdots+(-1)^{n+i}\det A_{ni}% \cdot\beta_{n}}{\det A}\;,\;\;\;1\leq i\leq n\;.

(2.3.18.1)

Έστω λοιπόν $A(i,B)$ ο πίνακας που προκύπτει από τον $Α$ αν αντικαταστήσουμε την $i$ στήλη του πίνακα $A$ με τον πίνακα $Β$ . Αναπτύσσοντας την $\det A(i,B)$ κατά τα στοιχεία της $i$ στήλης και συγκρίνοντας με την Έκφραση (2.3.18.1), προκύπτει ότι

x_{i}=\frac{\det A(i,B)}{\det A}\;,\;\;\;\;\;1\leq i\leq n.

(2.3.18.2)

Καταλήγουμε έτσι στο εξής συμπέρασμα:

Πρόταση 2.3.19 ((Μέθοδος του Cramer)).

Το σύστημα

AX=Β

n

εξισώσεων με

n

αγνώστους, όπου

Α

είναι αντιστρέψιμος πίνακας, έχει μοναδική λύση

(x_{1},\ldots,x_{n})

, όπου

x_{i}=\frac{\det A(i,B)}{\det A}\;,\;\;\;\;\;1\leq i\leq n.

H μέθοδος του Cramer είναι ιδιαίτερα χρήσιμη, όταν μας ενδιαφέρει μόνο μία τιμή $x_{i}$ , $1\leq i\leq n$ , των αγνώστων του συστήματος $AX=Β$ .

Παράδειγμα 2.3.20.

Έστω οι πίνακες

A=\begin{bmatrix}1&2&5\cr 4&2&5\cr 3&1&2\end{bmatrix},\;B=\begin{bmatrix}0\cr 0% \cr 1\end{bmatrix}.

Στο Παράδειγμα 2.3.15 είδαμε ότι $\det(A)=3$ και άρα το σύστημα $AX=B$ έχει μοναδική λύση. Θα υπολογίσουμε το $x_{3}$ . Έχουμε ότι

Α(3,Β)=\begin{bmatrix}1&2&0\cr 4&2&0\cr 3&1&1\end{bmatrix}\ .

Υπολογίζουμε την $\det(A(3,B))$ με την ανάπτυξη της ορίζουσας κατά την τρίτη στήλη και βλέπουμε ότι

\det A(3,B)=1\cdot\det\begin{bmatrix}1&2\cr 4&2\end{bmatrix}=-6\ .

Άρα

x_{3}=\frac{\det Α(3,Β)}{\det Α}=-\frac{6}{3}=-2.

Ασκήσεις Ενότητας 2.3

1.

Να υπολογιστούν οι εξής ορίζουσες:

$a_{1}=\left|\begin{array}[]{cc}3+2i&1+i\\ 1-i&0\end{array}\right|,\;\;\;a_{2}=\left|\begin{array}[]{ccc}3&i&2\\ -3+i&3&i\\ 7&2i&5\end{array}\right|,$
$a_{3}=\left|\begin{array}[]{cccc}1&3&2&0\\ 3&0&3&5\\ 5&1&2&7\\ 2&6&4&3\end{array}\right|,\;\;\;\;a_{4}=\left|\begin{array}[]{rcccc}4&2&7&0&1% \\ -2&2&3&0&1\\ -4&7&5&3&6\\ 0&0&2&0&0\\ 3&4&2&0&3\end{array}\right|\;.$

Λύση
2.

Να υπολογίσετε τις επόμενες ορίζουσες, χρησιμοποιώντας τον τύπο του Παραδείγματος 2.3.15.3:

$\left|\begin{array}[]{cccccc}2&1&1&4&7&8\\ 3&2&7&9&8&6\\ 0&0&3&2&1&7\\ 0&0&0&1&0&0\\ 0&0&0&5&2&0\\ 0&0&0&4&7&1\end{array}\right|\;,\;\;\;\;\left|\begin{array}[]{cccc}1&7&2&8\\ 3&9&4&2\\ 0&5&0&2\\ 0&2&0&1\end{array}\right|\;.$

Λύση
3.

Έστω $A\in\mathcal{M}_{n}({\mathbb{C}})$ και $\overline{A}=(\overline{a_{ij}})$ ο συζυγής πίνακας του $Α$ , όπου $\overline{a_{ij}}$ είναι ο συζυγής μιγαδικός αριθμός του $a_{ij}$ . Να αποδείξετε ότι $\det\overline{A}=\overline{\det A}$ .

Λύση
4.

Έστω $A\in\mathcal{M}_{5}({\mathbb{C}})$ και ότι $\det A=i$ . Να βρείτε $\det 2A$ και $\det(\operatorname{adj}(A))$ .

Λύση
5.

Να αποδείξετε ότι η ορίζουσα ενός αντισυμμετρικού πίνακα του $\mathcal{M}_{n}(K)$ , όπου $n$ περιττός, είναι ίση με μηδέν.

Λύση
6.

Ο πίνακας του Vandermonde, συμβολίζεται με $V$ και είναι ο πίνακας

$V=\begin{bmatrix}1&a_{1}&a_{1}^{2}&\cdots&a_{1}^{n-1}\cr 1&a_{2}&a_{2}^{2}&% \cdots&a_{2}^{n-1}\cr\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\cr 1&a_{n}&a_{n}^{2}&\cdots&% a_{n}^{n-1}\end{bmatrix}\ .$
Να αποδείξετε ότι

$\det V=\prod_{1\leq i<j\leq n}(a_{j}-a_{i}).$

Λύση
7.

Να λυθούν με τη μέθοδο του Cramer τα εξής συστήματα:

$\begin{array}[]{lrcrcrcl}{\rm i)}&2x_{1}&-&x_{2}&+&3x_{3}&=&3\\ &x_{1}&-&2x_{2}&+&4x_{3}&=&0\\ &3x_{1}&+&x_{2}&-&2x_{3}&=&1\;.\end{array}$

$\begin{array}[]{lrcrcrcrcl}{\rm ii)}&2x_{1}&&&&&+&x_{4}&=&3\\ &-\;x_{1}&+&3x_{2}&+&x_{3}&-&5x_{4}&=&0\\ &4x_{1}&+&x_{2}&+&2x_{3}&-&x_{4}&=&0\\ &&&2x_{2}&-&x_{3}&&&=&9\;.\end{array}$

Λύση

2.4 Εφαρμογές Κεφαλαίου 2

Σε αυτήν την ενότητα, θα συζητήσουμε διάφορες εφαρμογές της θεωρίας των πινάκων, όπως την αναπτύξαμε σε αυτό το κεφάλαιο.

Γινόμενο Πινάκων και Συνολικό Κόστος

Έστω ότι μία βιοτεχνία παράγει $n$ είδη. Η παραγωγή της βιοτεχνίας ανά ημέρα περιγράφεται από έναν $1\times ν$ πίνακα, $Α=(a_{j})$ , όπου $a_{j}$ είναι η ποσότητα του είδους $j$ που παράγεται. Αν το κόστος παραγωγής του είδους $j$ είναι $b_{j}$ , τότε μπορούμε να αποθηκεύσουμε αυτήν την πληροφορία σε έναν $1\times ν$ πίνακα $B=(b_{j})$ . Το γινόμενο $AB^{Τ}$ δίνει το συνολικό κόστος ανά ημέρα.

Γραφήματα και Δυνάμεις Πινάκων

Έστω $Α=(a_{ij})$ ο τετραγωνικός $n\times n$ πίνακας γειτνίασης ενός απλού κατευθυνόμενου γραφήματος με $n$ κορυφές, βλ. Παράδειγμα 2.1.5. Θα ερμηνεύσουμε τη σημασία του πίνακα $A^{m}$ , όπου $m\in{\mathbb{N}}$ . Πρώτα θα μελετήσουμε τι συμβαίνει, όταν $m=2$ . Έστω ότι $A^{2}=(g_{ij})$ . Τότε

g_{ij}=a_{i1}a_{1j}+a_{i2}a_{2j}+\cdots+a_{im}a_{mj}=\sum^{m}_{\kappa=1}a_{i% \kappa}a_{\kappa j}.

Παρατηρούμε ότι αν $a_{ik}a_{kj}\neq 0$ , για $1\leq k\leq n$ , τότε $a_{ik}=1$ και $a_{kj}=1$ , δηλ. $a_{ik}a_{kj}=1$ . Επομένως υπάρχει ένα βέλος από την κορυφή $i$ στην κορυφή $κ$ ( $α_{ικ}=1$ ) και ένα βέλος από την κορυφή $κ$ στην κορυφή $j$ ( $α_{κj}=1$ ). Συνεπώς, υπάρχει μία διαδρομή από την κορυφή $i$ στην κορυφή $j$ με 2 βήματα:

i\mapsto k\mapsto j\;.

Δηλαδή, η τιμή $g_{ij}$ στον πίνακα $Α^{2}=(g_{ij})$ μετρά τον αριθμό των διαδρομών από την κορυφή $i$ στην κορυφή $j$ με 2 βήματα. Γενικότερα, με χρήση της μεθόδου της μαθηματικής επαγωγής μπορεί να αποδειχθεί ότι το στοιχείο $g_{ij}$ του πίνακα $Α^{m}=(g_{ij})$ μετρά τον αριθμό των διαδρομών από την κορυφή $i$ στην κορυφή $j$ με $m$ βήματα.

Παράδειγμα 2.4.1.

Έστω το γράφημα του Παραδείγματος 2.1.5 με πίνακα γειτνίασης τον $Α$ , όπου:

A=\begin{bmatrix}0&1&0&1\cr 0&0&0&1\cr 1&1&0&0\cr 0&0&1&0\end{bmatrix}\;.

Τότε

Α^{2}=\begin{bmatrix}0&0&1&1\cr 0&0&1&0\cr 0&1&0&2\cr 1&1&0&0\end{bmatrix},% \quad A^{3}=\begin{bmatrix}1&1&1&0\cr 1&1&0&0\cr 0&0&2&1\cr 0&1&0&2\end{% bmatrix}\;.

Το στοιχείο στη θέση $(1,3)$ του $Α^{2}$ έχει την τιμή $1$ . Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ακριβώς ένας τρόπος για να βρεθεί κανείς από τη κορυφή 1 στη κορυφή 3 του γραφήματος ακολουθώντας μία διαδρομή με δύο βήματα. Πράγματι η μόνη διαδρομή που έχει αυτήν την ιδιότητα είναι

1\rightarrow 4\rightarrow 3\ .

Αντίστοιχα εξετάζοντας το στοιχείο στη θέση $(4,4)$ του $A^{3}$ βλέπουμε ότι υπάρχουν 2 διαδρομές των 3 βημάτων που θα μας οδηγήσουν από την κορυφή 4 στη κορυφή 4. Ο αναγνώστης παροτρύνεται να τις προσδιορίσει.

Γραφήματα και Γραμμικά Συστήματα

Έστω $Α=(a_{ij})$ ο $m\times n$ πίνακας πρόσπτωσης ενός απλού κατευθυνόμενου γραφήματος με $n$ κορυφές και $m$ ακμές. Αν σε κάθε κορυφή προσδιορίσουμε μία τιμή $x_{i}$ και πολλαπλασιάσουμε τον $A$ με τον πίνακα $X=\begin{bmatrix}x_{1}&\cdots&x_{n}\end{bmatrix}^{T}$ , τότε το γινόμενο $A X$ περιγράφει τη διαφορά στις προσλαμβάνουσες τιμές για κάθε ακμή.

Έτσι, αν $A$ είναι o πίνακας πρόσπτωσης του Παράδειγματος 2.1.6 και οι κορυφές του γραφήματος είναι πόλεις σε υψόμετρο $100$ , $0$ , $200$ και $50$ μέτρα αντίστοιχα, τότε το γινόμενο

\left[\begin{array}[]{rrrr}-1&1&0&0\cr-1&0&0&1\cr 0&-1&0&1\cr 1&0&-1&0\cr 0&1&% -1&0\cr 0&0&1&-1\end{array}\right].\begin{bmatrix}100\cr 0\cr 200\cr 50\end{% bmatrix}=\left[\begin{array}[]{r}-100\cr-50\cr 50\cr-100\cr-200\cr 150\end{% array}\right]

δείχνει την υψομετρική διαφορά για κάθε μία από τις έξι απευθείας διαδρομές (δηλ. τις ακμές).

Για το ίδιο παράδειγμα παρατηρούμε ότι an ξεκινήσουμε από την κορυφή 1 και ακολουθήσουμε τη διαδρομή που καθορίζεται από τις ακμές $1,3,6,4$ , τότε θα επισκεφτούμε με τη σειρά τις κορυφές 2, 4, 3 και θα καταλήξουμε στην κορυφή 1. Δηλαδή θα έχουμε ολοκληρώσει μία κυκλική διαδρομή. Προσθέτοντας τις αντίστοιχες γραμμές του $A$ βλέπουμε ότι

\Gamma_{1}+\Gamma_{3}+\Gamma_{6}+\Gamma_{4}={\bf 0}\;.

Πράγματι σε αυτήν τη διαδρομή επισκεφτήκαμε κάθε κορυφή μία φορά ξεκινώντας (από αυτήν) και μία φορά καταλήγοντας (σε αυτήν). Ac παρακολουθήσουμε τη διαδρομή μας με τον ανάστροφο του $A$ , τον $A^{T}$ . Παρατηρούμε ότι

A^{T}=\left[\begin{array}[]{rrrrrr}-1&-1&0&1&0&0\cr 1&0&-1&0&1&0\cr 0&0&0&-1&-% 1&1\cr 0&1&1&0&0&-1\end{array}\right]

και ότι ως αναμενόμενο, το άθροισμα των στηλών $1,3,6,4$ του $A^{T}$ είναι η μηδενική στήλη. Επομένως, μόλις βρήκαμε ότι $(1,0,1,1,0,1)$ είναι λύση του γραμμικού συστήματος $A^{T}X={\bf 0}$ . Βασισμένοι στα προηγούμενα σημειώνουμε την εξής παρατήρηση.

Αν $A$ είναι o πίνακας πρόσπτωσης ενός γραφήματος, τότε οι λύσεις του γραμμικού συστήματος $A^{T}X={\bf 0}$ προσδιορίζουν τις κυκλικές διαδρομές του γραφήματος.

Στην Άσκηση 2.4.2 ζητείται από τον αναγνώστη να βρεί τις λύσεις του $A^{T}X={\bf 0}$ και να προσδιορίσει τις αντίστοιχες κυκλικές διαδρομές. Παραπέμπουμε στην Ενότητα 3.5 του συγγράμματος [5] για περισσότερες λεπτομέρειες επί του θέματος.

Δυνάμεις Πινάκων και Πληθυσμιακά Μοντέλα

Απλά πληθυσμιακά μοντέλα μπορούν να περιγραφούν με τετραγωνικούς πίνακες. Αν $Α$ είναι ένας πίνακας που αντιστοιχεί σε ένα τέτοιο μοντέλο στην αρχική κατάσταση, τότε $Α^{ν}$ περιγράφει την πληθυσμιακή κατάσταση μετά από χρόνο $n$ . Για τέτοια μοντέλα είναι σημαντική η πρόβλεψη του $A^{μ}$ για μεγάλα $μ$ . Για παράδειγμα έστω ότι

Α=\begin{bmatrix}0.7&0.2\cr-0.6&1.4\end{bmatrix}

είναι o πίνακας που περιγράφει ένα ιδιαίτερα απλό πληθυσμιακό μοντέλο ενός κλειστού συστήματος γατών και ποντικών. Τι εννοούμε με αυτό: έστω ότι $\gamma_{k}$ είναι ο πληθυσμός των γατών σε χρόνο $k$ ενώ $p_{k}$ είναι ο πληθυσμός των ποντικών σε χρόνο $k$ . Σύμφωνα με τις πληροφορίες που έχουν καταγραφεί στον πίνακα $Α$ , σε χρόνο $k+1$ οι αντίστοιχοι πληθυσμοί είναι

\gamma_{k+1}=0.7\gamma_{k}+0.2p_{k},\;\;p_{k+1}=-0.6\gamma_{k}+1.4p_{k}\ .

Δηλαδή το μοντέλο περιγράφεται από την εξίσωση πινάκων

\begin{bmatrix}\gamma_{k+1}\cr p_{k+1}\end{bmatrix}=A\begin{bmatrix}\gamma_{k}% \cr p_{k}\end{bmatrix}\ .

Έστω λοιπόν ότι είναι γνωστός ο πληθυσμός στον χρόνο $0$ . Ποιός θα είναι ο πληθυσμός των γατών και ποντικών μετά από 10 ή 20 χρόνια; Παρατηρούμε ότι

\begin{bmatrix}\gamma_{1}\cr p_{1}\end{bmatrix}=A\begin{bmatrix}\gamma_{0}\cr p% _{0}\end{bmatrix},\;\;\begin{bmatrix}\gamma_{2}\cr p_{2}\end{bmatrix}=A\begin{% bmatrix}\gamma_{1}\cr p_{1}\end{bmatrix}=A^{2}\begin{bmatrix}\gamma_{0}\cr p_{% 0}\end{bmatrix}

και γενικότερα

\begin{bmatrix}\gamma_{k}\cr p_{k}\end{bmatrix}=A^{k}\begin{bmatrix}\gamma_{0}% \cr p_{0}\end{bmatrix}\ .

H δυνατότητα λοιπόν να μελετήσουμε το $A^{μ}$ για μεγάλα $μ$ μας επιτρέπει να μελετήσουμε το μέλλον. Στα επόμενα κεφάλαια θα δούμε ότι αν $Α\in\mathcal{Μ}_{n}(\Bbbk)$ , τότε o $Α$ ικανοποιεί μία εξίσωση πινάκων, που ονομάζεται χαρακτηριστική εξίσωση του $Α$ . Αυτό επιτρέπει τον υπολογισμό της δύναμης $A^{m}$ για $m\geq n$ ως συνδυασμούς μικρότερων δυνάμεων. Θα δούμε επίσης ότι ένας άλλος τρόπος για να μελετήσουμε τις δυνάμεις $A^{μ}$ προκύπτει από τη μελέτη των ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων του $Α$ .

Πολυωνυμικές Καμπύλες ΙΙ

Έστω $n$ σημεία $(x_{1},y_{1}),\ldots,(x_{n},y_{n})$ , στο ${\mathbb{R}}^{2}$ . Γενικεύοντας όσα είδαμε στην Ενότητα 1.5, θα δείξουμε ότι αν $x_{i}\neq x_{j}$ , για $1\leq i<j\leq ν$ , τότε από αυτά τα $n$ σημεία του ${\mathbb{R}}^{2}$ περνά ακριβώς μία πολυωνυμική καμπύλη βαθμού $n-1$ . Θέλουμε, λοιπόν, να βρούμε τους συντελεστές $a_{0},\ldots,a_{n-1}\in{\mathbb{R}}$ , ενός πολυωνύμου $f(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n-1}x^{n-1}$ , έτσι ώστε $f(x_{i})=y_{i}$ . Ισοδύναμα θέλουμε να λύσουμε το εξής γραμμικό σύστημα με $n$ εξισώσεις και $n$ αγνώστους:

\begin{array}[]{rrcrlr}a_{0}&+x_{1}a_{1}&+\cdots&+x_{1}^{n-1}a_{n-1}&=&y_{1}\\ \vdots&&&\vdots&&\vdots\\ a_{0}&x_{n}a_{1}&+\cdots&+x_{n}^{n-1}a_{n-1}&=&y_{n}\end{array}\begin{array}[]% {l}\\ \\ .\end{array}

(2.4.1.1)

Παρατηρούμε ότι ο πίνακας των συντελεστών του συστήματος αυτού είναι ο πίνακας $V$ του Vandermode, βλ. Άσκηση 2.3.6. Το σύστημα που επιθυμούμε να επιλύσουμε είναι το σύστημα

VX=B,

όπου

V=\begin{bmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&\cdots&x_{1}^{n-1}\cr 1&x_{2}&x_{2}^{2}&% \cdots&x_{2}^{n-1}\cr\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\cr 1&x_{n}&x_{n}^{2}&\cdots&% x_{n}^{n-1}\end{bmatrix},\quad X=\begin{bmatrix}a_{0}\cr a_{1}\cr\vdots\cr% \alpha_{n-1}\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}y_{1}\cr y_{2}\cr\vdots\cr y_% {n}\end{bmatrix}.

Αφού

\det V=\prod_{1\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i})\;,

σύμφωνα με την υπόθεση, προκύπτει ότι $\det V\neq 0$ . Επομένως το σύστημα 2.4.1.1 έχει μοναδική λύση.

LU Ανάλυση Πινάκων

Για την αποτελεσματική εύρεση λύσεων ενός γραμμικού συστήματος, έχουν αναπτυχθεί διάφορες υπολογιστικές μέθοδοι. Σε αυτό το εδάφιο συζητούμε την LU-ανάλυση (LU-decomposition) ενός πίνακα $A$ σε γινόμενο $Α=LU$ , όπου $L$ είναι κάτω τριγωνικός πίνακας και $U$ είναι άνω τριγωνικός πίνακας. Θα εφαρμόσουμε την LU-ανάλυση του $Α$ , όταν o $A$ είναι ο πίνακας των συντελεστών ενός συστήματος $ΑX=Β$ . Θα ξεκινήσουμε με ένα απλό παράδειγμα.

Παράδειγμα 2.4.2.

O πίνακας $Α$ των συντελεστών του συστήματος

\begin{array}[]{ccc}\ 3x_{1}-6x_{2}&=&0\\ -2x_{1}+5x_{2}&=&1\end{array}

έχει την εξής LU-ανάλυση:

\begin{bmatrix}3&-6\cr-2&5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3&0\cr-2&1\end{bmatrix}% \begin{bmatrix}1&-2\cr 0&\ \;1\end{bmatrix}\;.

Έστω ότι $L$ και $U$ είναι o κάτω και άνω τριγωνικός πίνακας της προηγούμενης ανάλυσης του $A$ . Στη συνέχεια:

•

λύνουμε το σύστημα $LY=B$ , και κατόπιν
•

λύνουμε το σύστημα $UX=C$ , όπου $C$ αντιστοιχεί στη λύση του συστήματος $LY=B$ .¹¹An $(c_{1},c_{2})$ είναι h λύση του συστήματος $LY=B$ , τότε $C=\begin{bmatrix}c_{1}\cr c_{2}\end{bmatrix}$ .

Είναι φανερό ότι οι λύσεις του $UX=C$ είναι λύσεις του αρχικού συστήματος, $AX=B$ . Πράγματι,

AX=L(UC)=LC=B.

Αφού οι πίνακες $L$ και $U$ είναι τριγωνικοί, τα αντίστοιχα συστήματα λύνονται με απλή αντικατάσταση. Το σύστημα $LY=B$ είναι το σύστημα :

\begin{array}[]{cccc}\ 3y_{1}&&=&0\\ -2y_{1}&+y_{2}&=&1\end{array}

και έχει μοναδική λύση την $(0,1)$ . Αντίστοιχα το σύστημα $UX=C$

\begin{array}[]{cccc}\ x_{1}&-2x_{2}&=&0\\ &\ \;x_{2}&=&1\end{array}

έχει μοναδική λύση την $(2,1)$ . Επομένως το σύστημα $AX=B$ έχει μοναδική λύση την $(2,1)$ .

Πότε έχει ένας πίνακας $Α$ μία LU-ανάλυση; Έστω ότι μία ακολουθία από $s$ στοιχειώδεις πράξεις γραμμών, τύπου 1 και 3 (βλ. Ορισμό 1.2.1) μετατρέπει τον πίνακα $A$ σε άνω τριγωνικό πίνακα $U$ . Αν $Ε_{1},\ldots,E_{s}$ είναι οι αντίστοιχοι στοιχειώδεις πίνακες, τότε

E_{s}\cdots E_{1}A=U\;

και o πίνακας

L=(E_{s}\cdots E_{1})^{-1}=E_{1}^{-1}\cdots E_{s}^{-1}

είναι κάτω τριγωνικός. Επομένως $Α=LU$ είναι μία LU-ανάλυση.

Παράδειγμα 2.4.3.

Έστω

Α=\begin{bmatrix}\ \;3&\ \;9&3\cr-3&-8&0\cr\ \;4&\ \;9&2\end{bmatrix}.

Οι στοιχειώδεις πράξεις γραμμών

•

$\Gamma_{1}\rightarrow 1/3\Gamma_{1}$ ,
•

$\Gamma_{2}\rightarrow\Gamma_{2}+3\Gamma_{1}$ ,
•

$\Gamma_{3}\rightarrow\Gamma_{3}-4\Gamma_{1}$ ,
•

$\Gamma_{3}\rightarrow\Gamma_{3}+3\Gamma_{2}$ ,

μετατρέπουν τον $Α$ στον

U=\begin{bmatrix}1&3&1\cr 0&1&3\cr 0&0&7\end{bmatrix}.

O πίνακας $L$ προκύπτει ως το γινόμενο τεσσάρων στοιχειωδών πινάκων

L=E_{3\cdot 1}E_{2-3\cdot 1}E_{3+4\cdot 1}E_{3-3\cdot 2}.

Επομένως

L=\begin{bmatrix}\ \;3&\ \;0&0\cr-3&\ \;1&0\cr\ \;4&-3&1\end{bmatrix}

και η LU-ανάλυση του $A$ είναι:

\begin{bmatrix}\ \;3&\ \;9&3\cr-3&-8&0\cr\ \;4&\ \;9&2\end{bmatrix}=\begin{% bmatrix}\ \;3&\ \;0&0\cr-3&\ \;1&0\cr\ \;4&-3&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&3% &1\cr 0&1&3\cr 0&0&7\end{bmatrix}\;.

Όταν λοιπόν ο $Α$ έχει μία LU-ανάλυση, τότε ο αλγόριθμος για την επίλυση του συστήματος $AX=B$ έχει ως εξής:

Αλγόριθμος 2.4.1 Επίλυση του συστήματος

ΑX=B

με χρήση της LU-ανάλυσης του

Α

Είσοδος: Ένα σύστημα

ΑX=B

και μία LU-ανάλυσης του

Α

Έξοδος: Οι λύσεις του συστήματος

ΑX=B

Βήμα 1 Λύνουμε το σύστημα

LY=B

με απλή αντικατάσταση.

Βήμα 2 Λύνουμε το σύστημα

UX=Y

, όπου

Y

είναι οι λύσεις του προηγούμενου συστήματος, με απλή αντικατάσταση. Οι λύσεις είναι λύσεις του αρχικού συστήματος.

Αν και οι πίνακες $L$ , $U$ μίας LU-ανάλυσης του $Α$ δεν είναι μοναδικοί, είναι φανερό ότι ο πίνακας $A$ είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν οι πίνακες $L$ , $U$ είναι αντιστρέψιμοι. Για περισσότερες λεπτομέρειες για την LU-ανάλυση του $Α$ παραπέμπουμε στην Ενότητα 9.9 του συγγράμματος [1].

Το Μοντέλο του Leontief για ένα Κλειστό Οικονομικό Σύστημα

Στο μοντέλο του Leontief, ένα (κλειστό) οικονομικό σύστημα αποτελείται από $n$ οντότητες που υποδηλώνουμε ως οντότητα $1,2,\ldots,n$ . Σε καθορισμένα χρονικά διαστήματα, κάθε οντότητα παράγει κάποιο προϊόν ή υπηρεσία που χρησιμοποιείται πλήρως με έναν προκαθορισμένο τρόπο από τις $n$ οντότητες συνολικά. Το πρόβλημα που τίθεται είναι o προσδιορισμός της τιμής του κάθε προϊόντος έτσι ώστε το συνολικό κόστος να ισούται τα συνολικά έσοδα και το οικονομικό σύστημα να βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας.

Έστω ότι $p_{i}$ είναι η τιμή που χρεώνει η $i$ οντότητα για το προϊόν της, ενώ $e_{ij}$ είναι το ποσοστό του $j$ προϊόντος που αγοράζει αυτή η οντότητα. Αφού όλα τα προϊόντα χρησιμοποιούνται πλήρως, ισχύει ότι:

e_{i1}+\cdots+e_{in}=1,\textrm{ gia }i=1,\ldots,n\;.

Θα συστηματοποιήσουμε τα προηγούμενα χρησιμοποιώντας τη γλώσσα των πινάκων. Έστω

E=\begin{bmatrix}e_{11}&\cdots&e_{1n}\cr\vdots&&\vdots\cr e_{n1}&\cdots&e_{nn}% \end{bmatrix},\ \ P=\begin{bmatrix}p_{1}\cr\vdots\cr p_{n}\end{bmatrix}\;.

O πίνακας $E$ λέγεται πίνακας εισόδου-εξόδου (input-output). O πίνακας $P$ λέγεται πίνακας τιμών (value matrix). To ζητούμενο για την επιθυμητή ισορροπία του συστήματος είναι να βρεθεί πίνακας τιμών $P$ , τέτοιος ώστε να ικανοποιείται η σχέση:

EP=P\ \Longrightarrow(E-I_{n})P={\bf 0}\;.

(2.4.3.1)

Πρέπει, λοιπόν, να λύσουμε ένα γραμμικό σύστημα $n$ εξισώσεων με $n$ αγνώστους. Χωρίς απόδειξη αναφέρουμε το εξής θεώρημα.

Θεώρημα 2.4.4.

Σε ένα κλειστό μοντέλο $n$ οντότητων με πίνακα εισόδου-εξόδου $E$ όπου $e_{ij}>0$ , για $1\leq i,j\leq n$ , υπάρχει ένας πίνακας τιμών $P=(p_{i})\neq\bf 0$ , για τον οποίον $E\;P=P$ και $p_{i}\geq 0$ , για $i=1,\ldots,n$ . Όλοι οι πίνακες $Q$ με την ιδιότητα $EQ=Q$ είναι πολλαπλάσια του $P$ .

Στο επόμενο παράδειγμα, μελετούμε τη συμπεριφορά ενός κλειστού οικονομικού συστήματος, βάσει των όσων είδαμε προηγουμένως.

Παράδειγμα 2.4.5.

Τρεις επαγγελματίες, ένας ηλεκτρολόγος (1), ένας υδραυλικός (2) και ένας ξυλουργός (3), συμφωνούν να κάνουν επιδιορθώσεις o ένας στο σπίτι του άλλου για 10 ακριβώς μέρες o καθένας, σύμφωνα με το εξής πρόγραμμα.

•

O (1) θα δουλέψει 7 μέρες στον (1), 1 μέρα στον (2) και 2 μέρες στον (3).
•

O (2) θα δουλέψει 3 μέρες στον (1), 4 μέρες στον (2) και 3 μέρες στον (3).
•

O (3) θα δουλέψει 2 μέρες στον (1), 4 μέρες στον (2) και 4 μέρες στον (3).

Ποιό πρέπει να είναι το μεροκάματο των (1), (2), (3), έτσι ώστε να μην χρειαστεί να διακινηθούν χρήματα στο τέλος;

O πίνακας εισόδου-εξόδου του συστήματος είναι o

E=\begin{bmatrix}0.7&0.1&0.2\cr 0.3&0.4&0.3\cr 0.2&0.4&0.4\end{bmatrix}\;.

Θα βρούμε τη λύση του ομογενούς συστήματος $(I_{3}-E)X={\bf 0}$ . H ελαττωμένη κλιμακωτή μορφή του $I_{3}-E$ είναι o πίνακας

\begin{bmatrix}1&0&-1\cr 0&1&-1\cr 0&0&0\end{bmatrix}.

Επομένως οι λύσεις του συστήματος $(I_{3}-E)X={\bf 0}$ αποτελούν το σύνολο $\{t(1,1,1):t\in{\mathbb{R}}\}$ . Επομένως οι τρεις επαγγελματίες συμφωνούν να χρεώσουν το ίδιο μεροκάματο, έτσι ώστε στο τέλος να να μην χρειαστεί να διακινηθούν χρήματα.

Παραπέμπουμε τον αναγνώστη στην Ενότητα 11.9 του συγγράμματος [1] για περισσότερες λεπτομέρειες επί του θέματος. O οικονομολόγος Leontief έλαβε το 1973 το βραβείο Nobel στην Οικονομία για την ανάπτυξη της μεθόδου εισόδου-εξόδου και τις εφαρμογές της σε σημαντικά οικονομικά προβλήματα.

Ασκήσεις Ενότητας 2.4

1.

Να βρείτε το γράφημα που αντιστοιχεί στον πίνακα

$\begin{bmatrix}0&1&1&1\cr 1&0&1&1\cr 1&1&0&1\cr 1&1&1&0\end{bmatrix}\;.$
Στη συνέχεια να βρείτε τα γινόμενα $A^{2}$ και $Α^{3}$ και να εξηγήσετε τι σημαίνουν οι απαντήσεις σας ως προς το προηγούμενο γράφημα.
2.

Για το γράφημα και τον πίνακα πρόσπτωσης του Παραδείγματος 2.1.6, να βρείτε τις λύσεις του $A^{T}X={\bf 0}$ και να προσδιορίσετε τις αντίστοιχες κυκλικές διαδρομές.

Λύση
3.

Να βρεθεί o μεγιστοβάθμιος συντελεστής της πολυωνυμικής καμπύλης βαθμού 3 που διέρχεται από τα σημεία $(-1,0)$ , $(0,0$ , $(1,1)$ , $(2,0)$ .

Λύση
4.

Να αποδείξετε ότι από $n$ σημεία με διαφορετικές $n$ συντεταγμένες, διέρχονται άπειρες καμπύλες βαθμού $n$ .

Λύση
5.

Να χρησιμοποιήσετε την LU-ανάλυση του $Α$ για να λύσετε το σύστημα $AX=B$ , όπου $Α$ o πίνακας του Παραδείγματος 2.4.3 και $B=\begin{bmatrix}1&2&3\end{bmatrix}^{T}$ .

Λύση
6.

Na βρείτε τον πίνακα τιμών για να έρθει σε ισορροπία το κλειστό σύστημα με πίνακα εισόδου-εξόδου τον πίνακα

$\begin{bmatrix}0.2&0.4&0.4\cr 0.1&0.5&0.4\cr 0.6&0.1&0.3\end{bmatrix}\;.$
H συνήθης χρέωση είναι περίπου €60.

Λύση

2.5 Σύντομα Ιστορικά Στοιχεία

Στοιχεία της θεωρίας των πινάκων υπήρχαν αποσπασματικά στα έργα των δυτικών μαθηματικών από την εποχή της Αναγέννησης. O Leibniz (1646-1716) το 1693 είχε ανακαλύψει την έννοια της ορίζουσας για την επίλυση γραμμικών εξισώσεων. O Gauss (1777-1855) το 1801 παρόλο που den χρησιμοποίησε την ορολογία των πινάκων, εξέθεσε τον κανόνα για το γινόμενο $2\times 2$ και $3\times 3$ πινάκων. O πρώτος, όμως, μαθηματικός που αναγνώρισε πλήρως τη σημασία της άλγεβρας των πινάκων και που ενοποίησε τα διάφορα κομμάτια της θεωρίας των πινάκων σε έναν ενιαίο ξεχωριστό μαθηματικό τομέα ήταν ο Άγγλος A. Cayley, (1821-1895). Παρόλο που ο Caylay έβγαζε τα προς το ζειν ασκώντας δικηγορία, το πραγματικό του πάθος ήταν τα μαθηματικά. Το 1858 ο Caylay δημοσίευσε το σύγγραμμα «Μνημόνια στην Θεωρία των Πινάκων», (Memoir on the Theory of Matrices). Ο όρος «matrix» τον οποίο ο Caylay χρησιμοποίησε και που από τότε έχει επικρατήσει στη μαθηματική ορολογία οφείλεται στον φίλο του, επίσης Άγγλο μαθηματικό και δικηγόρο, τον J. Sylvester, (1814-1897), που τον πρωτο-χρησιμοποίησε το 1850. O Caylay εισήγαγε τον συμβολισμό $|Α|$ για την ορίζουσα του πίνακα $Α$ , όρισε την πρόσθεση πινάκων, τον πολλαπλασιασμό των πινάκων, τον σκαλιανό πολλαπλασιασμό και την έννοια του αντιστρόφου πίνακα. Βέβαια, νωρίτερα, στο έργο του Γάλλου μαθηματικού Cauchy (1789-1857) συναντούμε ήδη την έννοια της ορίζουσας καθώς και την πολλαπλασιαστική της ιδιότητα. Ο Cauchy εισήγαγε τον όρο «array» το 1826 που χρησιμοποιείται παράλληλα με τον όρο matrix. Στα Ελληνικά ο όρος matrix μεταφράζεται από πολλούς και ως «μητρώο». To έργο του Γερμανού μαθηματικού Jacobi (1804-1851) το 1841 έστρεψε τη γενική προσοχή στις ορίζουσες και σε εφαρμογές τους. Οφείλουμε επίσης να αναφέρουμε τον Γερμανό μαθηματικό F. G. Frobenius (1849-1917) o οποίος δούλευε με τις αλγεβρικές δομές των πινάκων, χωρίς όμως να έχει γνώση του έργου του Caylay. Ανάμεσα σε άλλα σημαντικά αποτελέσματα, ο Frobenius όρισε πρώτος την έννοια της βαθμίδας ενός πίνακα το 1878. Όταν τελικά διάβασε το έργο του Caylay το 1896, ο Frobenius υιοθέτησε την ορολογία του Caylay και τίμησε το έργο του τελευταίου δίνοντας το όνομά του Caylay σε ένα από τα σημαντικότερα θεωρήματα της Γραμμικής Άλγεβρας, το Θεώρημα των Caylay-Hamilton που θα μελετήσουμε στο κεφάλαιο 5. Για περισσότερα ιστορικά στοιχεία παραπέμπουμε στο σύγγραμμα [3].

Βιβλιογραφία

1.

H. Anton, C. Rorres, Elementary Linear Algebra, Applications Version, John Wiley and Sons, 1994.
2.

Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη, Χ. Χαραλάμπους, Β. Βαβατσούλας, Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα, Θεσσαλονίκη 2006.
3.

V. Katz, Ιστορία των Μαθηματικών , Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, 2013
4.

K. Nicholoson, Elementary Linear Algebra, McGraw-Hill, 2001.
5.

Th. Shiffrin and M. R.Adams, Linear Algebra, a Geometric Approach, W. H. Freeman and Company, 2002