Κεφάλαιο 9Ομάδες συγκεκριμένης τάξης

Έστω $G$ μία ομάδα τάξης $p^2$, όπου $p$ είναι πρώτος φυσικός αριθμός. Από το Πόρισμα 5.1.14 γνωρίζουμε ότι η $G$ είναι αβελιανή και από τα Θεωρήματα 6.3.4 και 6.3.7 προκύπτει ότι οι μη ισόμορφες ομάδες τάξης $p^2$ είναι οι:

$${\mathbb{Z}}_{p^2}\text{ και }{\mathbb{Z}}_p\times {\mathbb{Z}}_p.$$

Προκειμένου να εξετάσουμε τις ομάδες τάξης $pq$, αρκεί να περιοριστούμε στην περίπτωση που $p$ και $q$ είναι διακεκριμένοι πρώτοι. Έστω, λοιπόν, $|G|=pq,$ όπου $p,q$ είναι διακεκριμένοι πρώτοι φυσικοί αριθμοί. Χωρίς περιορισμό της γενικότητας μπορούμε να υποθέσουμε ότι $p>q.$

Σύμφωνα με τα Θεωρήματα Sylow υπάρχει στοιχείο $\alpha \in G$ με $ord(\alpha )=q$ και στοιχείο $\beta \in G$ με $ord(\beta )=p.$
Η ομάδα $⟨\beta ⟩$ είναι μία Sylow p-υποομάδα και οι συζυγείς της είναι πλήθους $N_p=(1+kp)|q$ με $k\ge 0.$
Όμως $p>q$, άρα $k=0$ και υπάρχει μία μόνον υποομάδα της $G$ τάξης $p$. Από το Πόρισμα 5.3.9 προκύπτει ότι αυτή οφείλει να είναι κανονική, επομένως $⟨\beta ⟩⊴G.$ Όμοια υπάρχουν $1+\lambda q$ πλήθους συζυγείς υποομάδες της $⟨\alpha ⟩,$ για κάποιον $\lambda \in \mathbb{N}.$ Ακόμη $(1+\lambda q)|p.$ Επειδή ο $p$ είναι πρώτος διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:

1. i.

   $1+\lambda q=1$

2. ii.

   $1+\lambda q=p.$

i. Αν $1+\lambda q=1,$ τότε $\lambda =0$ και υπάρχει μοναδική Sylow p-υποομάδα της $G$ και επομένως $⟨\alpha ⟩⊴G.$ Τότε για τις κανονικές υποομάδες $⟨\alpha ⟩$ και $⟨\beta ⟩$ της $G$ ισχύει $⟨\alpha ⟩⟨\beta ⟩\le G$ (βλ. Πρόταση 3.2.10). Ακόμη $⟨\alpha ⟩\cap ⟨\beta ⟩=\{e\},$ αφού $|⟨\alpha ⟩|=q,|⟨\beta ⟩|=p,p\ne q$ και η $|⟨\alpha ⟩\cap ⟨\beta ⟩|$ διαιρεί το $p$ και το $q$. Επομένως

$$⟨\alpha ⟩⟨\beta ⟩\cong ⟨\alpha ⟩\times ⟨\beta ⟩$$

(βλ. Πρόταση 4.2.5), δηλ. $|⟨\alpha ⟩⟨\beta ⟩|=|G|,$ και συνεπώς

$$G=⟨\alpha ⟩⟨\beta ⟩\cong ⟨\alpha ⟩\times ⟨\beta ⟩=⟨(\alpha ,\beta )⟩,$$

αφού $(|\alpha |,|\beta |)=(p,q)=1,$ (βλ. Πρόταση 2.2.7). Συμπεραίνουμε, λοιπόν, ότι στην περίπτωση i) η ομάδα $G$ είναι κυκλική.

ii. Έστω, τώρα, ότι ισχύει $1+\lambda q=p,$ για $\lambda >0$ ισοδύναμα $p\equiv 1modq.$ Τότε η $⟨\alpha ⟩$ δεν είναι κανονική υποομάδα της $G$. Αφού $⟨\beta ⟩⊲G$, έπεται ότι ${\alpha }^{-1}\beta \alpha \in ⟨\beta ⟩.$ Επίσης $ord({\alpha }^{-1}\beta \alpha )=ord(\beta )=p$ (βλ. Πρόταση 2.2.4). Άρα

$${\alpha }^{-1}\beta \alpha ={\beta }^r,\text{ για }\mathrm{\hspace{0.33em}1}\le r\le p-1,$$

διότι όλα τα μη τετριμμένα στοιχεία της $⟨\beta ⟩$ έχουν τάξη $p$ (βλ. Πρόταση 2.2.5,i). Αν $r=1$, τότε ${\alpha }^{-1}\beta \alpha =\beta ,$ δηλ $\alpha \beta =\beta \alpha$ και η ομάδα $G$ είναι αβελιανή. Τότε, όπως προηγουμένως, συμπεραίνουμε ότι $G\cong ⟨\alpha ⟩\times ⟨\beta ⟩$ και η $G$ είναι κυκλική, δηλ. βρίσκουμε την περίπτωση i). Άρα οφείλουμε να εξετάσουμε τις περιπτώσεις που $r\ne 1,$ δηλ. $r\not\equiv 1modp.$

Είναι εύκολο ο αναγνώστης να αποδείξει επαγωγικά ως προς $k$ ότι

$${\alpha }^{-k}\beta {\alpha }^k={\beta }^{r^k},k\in \mathbb{N}.$$

Τότε για $k=q,$ έχουμε ότι

$$\beta ={\beta }^{r^q}\iff r^q\equiv 1modp$$

(βλ. Πρόταση 2.2.2 ii).

Καταλήγουμε έτσι στο επόμενο.

Ας ξενικήσουμε με τις αβελιανές ομάδες τάξης 8. Σύμφωνα με το Θεώρημα 6.3.7 οι αβελιανές ομάδες τάξης 8 είναι τρεις όσες οι προσθετικές αναλύσεις του 3:

$${\mathbb{Z}}_8,{\mathbb{Z}}_2\times {\mathbb{Z}}_2\times {\mathbb{Z}}_2,{\mathbb{Z}}_2\times {\mathbb{Z}}_4.$$

Στη συνέχεια υπολογίζουμε τις μη ισόμορφες μη αβελιανές ομάδες τάξης 8. Οι δυνατές τάξεις στοιχείων μίας ομάδας $G$ τάξης 8 είναι: 1,2,3 και 8. Αν υπάρχει στοιχείο τάξης 8 στην $G$, τότε αυτή είναι κυκλική, δηλ. αντιμεταθετική. Επίσης αν όλα τα στοιχεία $\alpha \ne e$ της $G$ έχουν τάξη 2, τότε η $G$ είναι αβελιανή. Άρα προκειμένου να βρούμε τις μη αβελιανές ομάδες τάξης 8, αρκεί να περιοριστούμε στην περίπτωση που υπάρχει στοιχείο τάξης 4. Έστω, λοιπόν, $\alpha \in G$ και $ord(\alpha )=4.$ Τότε $[G:⟨\alpha ⟩]=2$ και $⟨\alpha ⟩⊴G$ (βλ. Πρόταση 3.2.5). Ακόμη

$$G=⟨\alpha ⟩\text{⊍}⟨\alpha ⟩\beta \text{ και }G/⟨\alpha ⟩=\{⟨\alpha ⟩,⟨\alpha ⟩\beta \},$$

για κάποιο στοιχείο $\beta \notin ⟨\alpha ⟩$ (βλ. Πρόταση 3.1.4). Παρατηρούμε ότι, αφού η $G/⟨\alpha ⟩$ έχει τάξη δύο, τότε ${\beta }^2\in ⟨\alpha ⟩.$ Επειδή $⟨\alpha ⟩=\{e,\alpha ,{\alpha }^2,{\alpha }^3\}=⟨{\alpha }^3⟩$, έπεται ότι $ord({\beta }^2)=2$ ή 4. Αν $ord({\beta }^2)=4,$ δηλ. ${\beta }^2=\alpha$ ή ${\beta }^2={\alpha }^3$, τότε $ord(\beta )=8$ και $G=⟨\beta ⟩$. Αυτό αποκλείεται αφού η περίπτωση των αβελιανών ομάδων έχει αντιμετωπιστεί. Επομένως $ord({\beta }^2)=2$ και αφού ${\beta }^2\in ⟨\alpha ⟩$ έπεται ότι

$${\beta }^2=e\text{ ή }{\beta }^2={\alpha }^2.$$

9.2.1

Το γεγονός ότι $⟨\alpha ⟩⊴G$ μας οδηγεί στη σχέση ${\beta }^{-1}\alpha \beta \in ⟨\alpha ⟩$ και, επειδή $ord(\alpha )=ord({\beta }^{-1}\alpha \beta )$ (βλ. Πρόταση 2.2.4), έπεται ότι ${\beta }^{-1}\alpha \beta =\alpha$ ή ${\beta }^{-1}\alpha \beta ={\alpha }^3.$ Αν ${\beta }^{-1}\alpha \beta =\alpha$, τότε $\alpha \beta =\beta \alpha ,$ οπότε η $G$ είναι αβελιανή ομάδα. Έτσι η μόνη σχέση που αφορά τις μη αβελιανές ομάδες είναι η

$${\beta }^{-1}\alpha \beta ={\alpha }^3$$

9.2.2

Από τις σχέσεις 9.2.1 και 9.2.2 προκύπτουν οι δυνατές παραστάσεις των μη αβελιανών ομάδων τάξης 8:

1. i.

   $\alpha ,\beta |{\alpha }^4=e={\beta }^2,{\beta }^{-1}\alpha \beta ={\alpha }^3\cong D_{2\cdot 4}$ και

2. ii.

   $\alpha ,\beta |{\alpha }^4=e,{\alpha }^2={\beta }^2,{\beta }^{-1}\alpha \beta ={\alpha }^3\cong Q$ (βλ. εδάφιο 3.4).

Οι ισομορφισμοί αυτοί, όπως είδαμε, προκύπτουν ότι από τον τρόπο που πολλαπλασιάζονται τα στοιχεία των ομάδων. Έτσι δημιουργούμε τον πίνακα Cayley της $D_{2\cdot 4}$ και της $Q$.
Έτσι καταλήγουμε στο επόμενο συμπέρασμα.

Από το Θεώρημα 6.3.4 γνωρίζουμε ότι οι αβελιανές ομάδες τάξης 12 είναι οι:

$${\mathbb{Z}}_3\times {\mathbb{Z}}_4\cong {\mathbb{Z}}_{12},{\mathbb{Z}}_2\times {\mathbb{Z}}_2\times {\mathbb{Z}}_3\cong {\mathbb{Z}}_2\times {\mathbb{Z}}_6.$$

Θα ασχοληθούμε στη συνέχεια με τις μη αβελιανές ομάδες τάξης 12. Έστω $G$ μίας τέτοια ομάδα, Η μία 2-Sylow υποομάδα της $G$ και Κ μία 3-Sylow υποομάδα της $G$. Από το Παράδειγμα 5.3.12.2 γνωρίζουμε ότι ή $H⊲G$ ή $K⊲G$. Η περίπτωση και οι δύο ομάδες Η και Κ να είναι κανονικές μας οδηγούν σε αβελιανές ομάδες (βλ. Θεώρημα 4.2.3 και Πρόταση 4.1.3). Αν $H⊲G$, τότε

1. i.

   (βλ. Πρόταση 3.1.2)

2. ii.

   $H\cap K=\{e\}$ λόγω του Θεωρήματος Lagrange

3. iii.

   $|HK|=|G|$

άρα η $G=H⋊K$ (βλ. Ορισμός 7.2.3)
Όμοια αν $K⊲G$, τότε $G=K⋊H.$ Επομένως σε κάθε περίπτωση η $G$ είναι ημιευθύ γινόμενο υποομάδων της. Συγκεκριμένα της ${\mathbb{Z}}_2$ μέσω της Κ και της Κ μεσω της ${\mathbb{Z}}_2$ όπου $\mathrm{{\rm K}}\cong {\mathbb{Z}}_2\times {\mathbb{Z}}_2.$
Θα αποδείξουμε δύο χρήσιμες προτάσεις.

Απόδειξη Έστω με $|H|=12$, τότε $[S_4:H]=2$ και επομένως $H⊲S_4.$ Επειδή $|H|=2^2\cdot 3$ η ομάδα Η έχει στοιχείο τάξης 3 και στοιχείο τάξης 2. Από το Παράδειγμα 8.1.11.3 κάθε στοιχείο της $S_4$ τάξης 3 είναι 3-κύκλος και ακόμη αν η Η περιέχει έναν 3-κύκλο θα περιέχει, ως κανονική υποομάδα, όλα τα συζυγή του δηλ. όλους τους 3-κύκλους (βλ. Πρόταση 8.1.10), πλήθους 8. Συνεπώς η Η έχει τουλάχιστον 9 στοιχεία. Ανάλογα να η Η περιέχει ένα στοιχείο δύο με δομή $(\times \times )$, τότε θα περιέχει όλους τους 2-κύκλους που είναι πλήθους 6. Έτσι, όμως, η Η θα έχει τουλάχιστον 15 στοιχεία που είναι αδύνατον. Άρα η Η περιέχει ένα στοιχείο τάξης 2 με δομή $(\times \times )(\times \times )$ και βέβαια όλα τα στοιχεία της ίδιας δομής, που είναι πλήθους 3. Τότε η Η περιέχει 12 στοιχεία και ακριβώς όλες τις άρτιες μεταθέσεις της $S_4,$ επομένως $H=A_4.$ $\mathrm{■}$

Απόδειξη Έστω $G$ μία ομάδα τάξης 12 τέτοια ώστε $G\ncong A_4$ και $K=\{e,\alpha ,{\alpha }^2\}$ μία 3-Sylow υποομάδα της. Έστω $X=\{xK:x\in G\}$, αφού $[G:K]=4$, έπεται ότι $|X|=4$. Θεωρούμε τη δράση

$$G\times K\to X,(g,xK)\mapsto gxK$$

και την παράσταση στη $G$ με μετασχηματισμούς

$$\pi :G\to S_X\cong S_4$$

(βλ. άσκηση 5.1.8). Τότε

$$Ker\pi =\bigcap _{g\in G}gK{g}^{-1}\le K.$$

9.3.1

Άρα $|Ker\pi |=1$ ή 3. Αν $|Ker\pi |=1$, τότε η $\pi$ είναι μονομορφισμός και $G\hookrightarrow S_4$. Αυτό είναι αδύνατον από την υπόθεση για την $G$. Άρα $|Ker\pi |=3$ και συνεπώς $|Ker\pi |=K$, λόγω της 9.3.1. Τότε η $K$ ως πυρήνας ομομορφισμού είναι κανονική υποομάδα της $G$, δηλ. η $K$ είναι η μοναδική 3-Sylow υποομάδα της $G$ και συνεπώς τα $\alpha$ και ${\alpha }^2$ είναι τα μόνα στοιχεία της $G$ με τάξη 3. Έστω, τώρα, $C_G(\alpha )$ ο κεντροποιητής του $\alpha$ στην $G$, τότε $[G:C_G(\alpha )]$ είναι το πλήθος των συζυγών του $\alpha$ (βλ. Θεώρημα 5.1.12) που αναγκαστικά ανήκουν στην $K$ γιατί $K⊲G$. Άρα $[G:C_G(\alpha )]=1$ ή 2, αφού $|K|=3$, συνεπώς $|C_G(\alpha )|=12$ ή 6. Στην υποομάδα $C_G(\alpha )$, από τα Θεωρήματα του Sylow, υπάρχει στοιχείο, έστω $\beta$, τάξης 2 και ακόμα $\alpha \beta =\beta \alpha$. Από την Πρόταση 2.2.7 έπεται ότι $ord(\alpha \beta )=6$, άρα η $G$ έχει στοιχείο τάξης 6. $\mathrm{■}$

Από τη Απόδειξη της Πρότασης 9.3.2 προκύπτουν τα ακόλουθα.

Θα εξετάσουμε, τώρα, τις μη ισόμορφες με την $A_4$ ομάδες τάξης 12. Έστω $G$ μία τέτοια ομάδα. Τότε η $G$ έχει μία κανονική Sylow 3-υποομάδα Έστω ακόμη Η μία Sylow 2-υποομάδα της $G$. Η ομάδα Η δρα στην Κ ως εξής:

$$H\times K⟶K,(h,k)⟼hk{h}^{-1}$$

και ορίζεται ο ομομορφισμός ομάδων

$$\phi :H⟶Aut(K),h⟼{\phi }_h,$$

9.3.2

όπου ${\phi }_h(k)=hk{h}^{-1}.$ Όμως, η ομάδα $Aut(K)$ έχει δύο στοιχεία, αφού $|K|=3$, την ταυτότητα

$${\phi }_h:K\to K,k\mapsto k$$

και την απεικόνιση

$${\phi }_h^{\prime }:K\to K,k\mapsto k^2,$$

όπου $k\in K$, βλ. Πρόταση 2.3.5, ii) και Ασκήσεις 2.3.16 και 17. Αν ${\phi }_h(k)=k,k\in K$, τότε $hk{h}^{-1}=k,$ δηλ. $hk=kh$ και η $G$ είναι αναγκαστικά αβελιανή. Οπότε η μόνη δυνατή περίπτωση που μένει είναι η

$${\phi }_h(y)=y^2,$$

δηλ.

$$hy{h}^{-1}=y^2,e\ne h\in H.$$

9.3.3

Η ομάδα Η μπορεί να είναι κυκλική ή μη κυκλική. Εξετάζουμε την περίπτωση που η Η είναι κυκλική, δηλ.

9.3.4

τότε από τις σχέσεις (9.3.3) και (9.3.4) τα στοιχεία της $G$ ικανοποιούν τις σχέσεις

$$x^4=e,y^3=e,xy{x}^{-1}=y^2.$$

Είναι εύκολο να δούμε ότι η

είναι ομάδα και επομένως

9.3.5

είναι η ομάδα τάξης 12 που είναι ημιευθύ γινόμενο $K⋊H,$ για την κυκλική ομάδα Η.

Έστω, τώρα, ότι η Η είναι μη κυκλική, ομάδα τάξης 4, δηλ.

Τότε η συνάρτηση $\phi$ στη σχέση (9.3.2) έχει πυρήνα μία υποομάδα τάξης 2, αφού η $G$ είναι μία μη αβελιανή ομάδα και $|H|=4$, ενώ $|Aut(K)|=2.$ Έστω τότε ${\phi }_w(y)=y$, ενώ ${\phi }_z(y)=y^2.$ Άρα τα στοιχεία των ομάδων Η,Κ ικανοποιούν τις σχέσεις

$$z^2=w^2=e,zw=wz,wy{w}^{-1}=y,\text{ και }zy{z}^{-1}=y^2.$$

Οπότε $ord(wy)=6$ και $zx{z}^{-1}=zwy{z}^{-1}=w{y}^2=y^{2}w={(wy)}^{-1}.$ Άρα τα στοιχεία της $G$ ικανοποιούν τις σχέσεις

$${(wy)}^6=e,z^2=e.z(wy)z^{-1}={(wz)}^{-1}$$

θέτουμε $wz=\alpha$ και έχουμε τις σχέσεις

$${\alpha }^6=e,z^2=e,z\alpha z={\alpha }^{-1}.$$

Άρα η

οπότε η $G\cong D_{2\cdot 6}.$ Καταλήγουμε έτσι στο ακόλουθο.