Περιεχόμενα - Εισαγωγή στη Θεωρία Ομάδων 6 Πεπερασμένα παραγόμενες αβελιανές ομάδες 8 Η ομάδα

S_{n}

Κεφάλαιο 7Σειρές Ομάδων

Συχνά στα μαθηματικά προκειμένου να μελετήσουμε ένα μαθηματικό αντικείμενο το αναλύουμε σε απλούστερα συστατικά του. Οι ακέραιοι αριθμοί για παράδειγμα αναλύονται σε γινόμενο πρώτων ακέραιων αριθμών. Ένα πολυώνυμο αναλύεται σε γινόμενο ανάγωγων πολυωνύμων. Στο κεφάλαιο 6 είδαμε ότι η ανάλυση μίας πεπερασμένα παραγόμενης αβελιανής ομάδας σε ευθύ άθροισμα κυκλικών ομάδων, έδωσε πλήρες φως στη μελέτη τους. Δυστυχώς πολύ λίγες ομάδες αναλύονται σε γινόμενο υποομάδων τους και βέβαια είναι ζητούμενο πώς μία τυχαία ομάδα μπορεί να αναλυθεί σε γινόμενο υποομάδων τους ή ιδιαίτερων υποομάδων τους με επιθυμητές ιδιότητες.

Στο κεφάλαιο αυτό θα μας απασχολήσουν οι σειρές υποομάδων της ομάδας που μελετούμε, οι οποίες θα μας οδηγήσουν σε ενδιαφέρουσες ιδιότητές της.

Λέμε ότι οι υποομάδες $G_{0},G_{1},G_{2},\dots$ μίας ομάδας $G$ αποτελούν μία σειρά (series) της $G$ αν

G=G_{0}\geq G_{1}\geq G_{2}\geq\dots\geq G_{n}\geq\dots

Θα αναζητήσουμε ιδιότητες στις υποομάδες $G_{i}$ ώστε να οδηγηθούμε σε σειρά ή σειρές της $G$ που να χαρακτηρίζονται για τη μοναδικότητά τους. Φυσικά ο στόχος της μελέτης των σειρών μίας ομάδας είναι να μπορέσουμε να «κτίσουμε» την ομάδα $G$ με δομικά στοιχεία τις υποομάδες της και θεωρίες που δημιουργούνται από τις σειρές της.

7.1 Σειρές σύνθεσης

Έστω $G$ μία ομάδα. Κανονική σειρά (normal series) της $G$ λέγεται μία σειρά υποομάδων της $G$ τέτοιων ώστε

G=G_{0}\rhd G_{1}\rhd\dots\rhd G_{r}=\{e\}.

7.1.1

Ο φυσικός αριθμός $r$ λέγεται μήκος (lengh) της σειράς, οι υποομάδες $G_{i},\;1\leq i\leq r,$ λέγονται όροι (members) της σειράς, ενώ οι ομάδες $G_{i}/G_{i+1},\;0\leq i\leq r-1,$ λέγονται παράγοντες (factors) της σειράς.
Σε όλο αυτό το κεφάλαιο θα ασχοληθούμε με κανονικές σειρές ομάδων. Ας παρατηρήσουμε ότι στη σειρά (7.1.1) απαιτούμε οι διαδοχικοί όροι να είναι διάφοροι μεταξύ τους. Κάθε ομάδα $G\neq\{e\}$ έχει τουλάχιστον μία κανονική σειρά την ακόλουθη $G=G_{0}\unrhd G_{1}=\{e\}$ . Υπάρχουν ομάδες που έχουν κανονικές σειρές μήκους 1. Αυτό θα συμβαίνει για μία ομάδα $G$ που δεν έχει καμία κανονική υποομάδα εκτός της $\{e\}$ και του εαυτού της, δηλ. η $G$ είναι απλή. Έτσι όσο μεγαλύτερο μήκος έχει μία κανονική σειρά της ομάδας $G$ τόσο αυτή (απέχει) από το να είναι απλή.

Παράδειγμα 7.1.1

Έστω $G=\langle g\rangle$ μία κυκλική ομάδα τάξης 30. Τότε μπορούμε να δημιουργήσουμε τις επόμενες κανονικές σειρές

i.

$G=\langle g\rangle\rhd\{e\}$
ii.

$G=\langle g\rangle\rhd\langle g^{10}\rangle\rhd\{e\}$
iii.

$G=\langle g\rangle\rhd\langle g^{5}\rangle\rhd\langle g^{10}\rangle\rhd\{e\}$
iv.

$G=\langle g\rangle\rhd\langle g^{2}\rangle\rhd\langle g^{6}\rangle\rhd\{e\}$
v.

$G=\langle g\rangle\rhd\langle g^{3}\rangle\rhd\langle g^{6}\rangle\rhd\{e\}$ .

Παρατηρούμε ότι για την ομάδα $G$ βρίσκουμε πολλές κανονικές με διαφορετικά μήκη και διαφορετικούς όρους και παράγοντες από σειρά σε σειρά. Η σειρά ii) έχει τους όρους της σειράς i) και έναν παραπάνω, ενώ η σειρά iii) περιέχει έναν όρο παραπάνω από τη σειρά ii). Οι σειρές iii), iv) και v) έχουν το ίδιο μήκος. Ας υπολογίσουμε τους παράγοντες αυτών των κανονικών σειρών. Οι παράγοντες της κανονικής σειράς iii) είναι οι:

G/\langle g^{5}\rangle\cong\mathbb{Z}_{5},

αφού

ord(g^{5})=\frac{30}{(5,30)}=6\;\text{ και }\;\big|G/\langle g^{5}\rangle\big|% =5,

\langle g^{5}\rangle\big/\langle g^{10}\rangle\cong\mathbb{Z}_{2}\;\text{ και % }\;\langle g^{10}\rangle\big/\{e\}\cong\mathbb{Z}_{3}.

Όμοια μπορούμε να υπολογίσουμε ότι οι παράγοντες της κανονικής σειράς iv) είναι οι:

\mathbb{Z}_{2},\;\mathbb{Z}_{3},\;\mathbb{Z}_{5},

ενώ της σειράς v) είναι οι:

\mathbb{Z}_{3},\;\mathbb{Z}_{2},\;\mathbb{Z}_{5}.

Με άλλα λόγια βρίσκουμε τους ίδιους παράγοντες με διαφορετική σειρά. Αυτές οι παρατηρήσεις δικαιολογούν καταρχήν τον επόμενο ορισμό.

Ορισμός 7.1.2

Έστω $G$ μία ομάδα με μία κανονική σειρά της όπως στη σχέση (7.1.1). Αν

G=H_{0}\rhd H_{1}\rhd\dots\rhd H_{r+s}=\{e\}

7.1.2

είναι μία κανονική σειρά της $G$ που προκύπτει από τη σειρά (7.1.1) με παρεμβολή νέων όρων μεταξύ διαδοχικών όρων της, τότε λέγεται λεπτότερη της (7.1.1).

Έτσι στο Παράδειγμα 7.1.1 η κανονική σειρά iii) είναι λεπτότερη της ii) και η ii) είναι λεπτότερη της i). Ακόμη παρατηρούμε ότι οι κανονικές σειρές iii), iv), v) δεν είναι συγκρίσιμες ως προς τον όρο (λεπτότερη). Αυτό βέβαια προκύπτει από το ίδιο μήκος που συμβαίνει να έχουν, αλλά και από το γεγονός ότι όλοι οι όροι της μίας δεν είναι όροι της άλλης.

Δημιουργείται αμέσως το ερώτημα πότε μπορούμε να παρεμβάλλουμε έναν νέο όρο μεταξύ δύο διαδοχικών όρων μίας σειράς; Για την απάντηση του ερωτήματος ας θεωρήσουμε μία ομάδα $G$ και $H\lhd G$ . Θα εξετάσουμε πότε υπάρχει $K\lhd G$ τέτοια ώστε $H\lhd K\lhd G.$ Από τις σχέσεις $K\lhd G$ και $H\lhd K\lhd G$ προκύπτει ότι υπάρχουν οι ομάδες $K/H,\;G/H,\;G/K$ και από Τρίτο Θεώρημα Ισομορφίας έπεται ότι

\big(G/H\big)\Big/\big(K/H\big)\cong G/K.

Με άλλα λόγια ικανή και αναγκαία συνθήκη για να υπάρχει η Η με τις παραπάνω ιδιότητες είναι να υπάρχει η κανονική υποομάδα $H/K$ της $G/K.$ Καταλήγουμε έτσι στο συμπέρασμα.

Πρόταση 7.1.3

Έστω $G$ μία ομάδα και $H\lhd G.$ Υπάρχει $K\lhd G$ ώστε $H\lhd K\lhd G$ αν και μόνον αν η $G/H$ δεν είναι απλή ομάδα. Ισοδύναμα η Η δεν είναι μέγιστη κανονική υποομάδα της $G$ .

Έτσι η κανονική σειρά (7.1.1) δεν μπορεί να γίνει λεπτότερη αν και μόνον αν κάθε παράγοντάς της $G_{i}/G_{i+1},\;0\leq i\leq r-1,$ είναι απλή ομάδα.
Παρατηρούμε έτσι ότι οι σειρές iii., iv. και v. στο Παράδειγμα 7.1.1 δεν μπορούν να γίνουν λεπτότερες αφού οι εμφανιζόμενοι παράγοντες $\mathbb{Z}_{2},\;\mathbb{Z}_{3}$ και $\mathbb{Z}_{5}$ είναι απλές ομάδες ως κυκλικές με τάξη πρώτο αριθμό.
Ας δούμε μερικά παραδείγματα μέγιστων κανονικών υποομάδων:

i.

Κάθε $H<G$ με $[G:H]=2$ (βλ. Πρόταση 3.2.5)
ii.

$A_{3}\lhd S_{3}$ .
iii.

Η υποομάδα $p\mathbb{Z}$ της $\mathbb{Z}$ , όπου $p$ είναι πρώτος φυσικός αριθμός.

Η επόμενη πρόταση δίνει μία πληροφορία για τις μέγιστες κανονικές υποομάδες μίας ομάδας.

Πρόταση 7.1.4

Έστω $G$ μία ομάδα και Κ, Η δύο διακεκριμένες μέγιστες κανονικές υποομάδες της. Τότε η $K\cap H$ είναι μέγιστη κανονική υποομάδα της Κ και της Η.

Απόδειξη Από το Δεύτερο Θεώρημα Ισομορφίας προκύπτει ότι

H\big/(H\cap K)\cong(HK)\big/K\;\;\text{ και }\;\;K\big/(H\cap K)\cong(HK)\big% /H.

7.1.3

Από τη σχέση $H\unlhd HK\unlhd G,$ το γεγονός ότι η Η είναι μέγιστη κανονική υποομάδα της $G$ και τη σχέση $H\neq K$ , έπεται ότι $HK=G$ . Έτσι οι σχέσεις (8.1.3) γίνονται

H\big/(H\cap K)\cong G\big/K\;\;\text{ και }\;\;K\big/(H\cap K)\cong G\big/H

και αφού οι Η και Κ είναι μέγιστες κανονικές υποομάδες της $G$ οι ισομορφίες αυτές οδηγούν στο συμπέρασμα ότι η $H\cap K$ είναι η μέγιστη κανονική υποομάδα και της Η και της Κ. $\blacksquare$

Από τα παραπάνω ο επόμενος ορισμός είναι δικαιολογημένος.

Ορισμός 7.1.5

Η κανονική σειρά (7.1.1) για μία ομάδα $G$ γίνεται σειρά σύνθεσης (composition series) αν κάθε παράγοντάς της $G_{i}/G_{i+1},\;0\leq i\leq r-1,$ είναι απλή ομάδα.

Στο σημείο αυτό ας παρατηρήσουμε ότι οι όροι $G_{i},\;2\leq i\leq r-1,$ για την κανονική σειρά (7.1.1) δεν είναι απαραίτητο να είναι κανονικές υποομάδες της $G$ (βλ. Συμπέρασμα 3.2.8 στο Παράδειγμα 3.2.7.2). Φυσικά αυτό συμβαίνει αν η ομάδα $G$ είναι αβελιανή.

Παραδείγματα 7.1.6

Οι επόμενες είναι σειρές σύνθεσης.

i.

$S_{3}\rhd A_{3}\rhd\{e\}$
ii.

$D_{2\cdot 4}\rhd\langle\alpha\rangle\rhd\langle\alpha^{2}\rangle\rhd\{e\}$
iii.

$D_{2\cdot 4}\rhd\langle\alpha^{2},\beta\rangle\rhd\langle\alpha^{2}\rangle\rhd% \{e\}$
iv.

$D_{2\cdot 4}\rhd\langle\alpha^{2},\beta\rangle\rhd\langle\beta\rangle\rhd\{e\}$ (βλ. Ορισμός 3.1.15)
v.

$\mathbb{Z}_{12}\rhd\langle\overline{2}\rangle\rhd\langle\overline{4}\rangle% \rhd\{\overline{0}\}$
vi.

$\mathbb{Z}_{12}\rhd\langle\overline{3}\rangle\rhd\langle\overline{6}\rangle% \rhd\{\overline{0}\}.$

Από τα παραπάνω παραδείγματα είναι φανερό ότι μία ομάδα έχει περισσότερες από μία σειρές σύνθεσης, οι οποίες είναι οι κανονικές μέγιστου μήκους, όπως είδαμε. Επομένως, το ερώτημα που οφείλουμε να αντιμετωπίσουμε είναι: ποιά σχέση έχουν οι σειρές σύνθεσης μίας ομάδας;

Ξεκινούμε τη μελέτη μας αυτή με έναν ορισμό.

Ορισμός 7.1.7

Δύο κανονικές σειρές μίας ομάδας $G$ λέγονται ισοδύναμες (equivalent) αν έχουν το ίδιο μήκος και τους ίδιους παράγοντες με προσέγγιση ισομορφίας.

Από τα Παραδείγματα 7.1.5 παρατηρούμε ότι οι σειρές σύνθεσης της ομάδας $D_{2\cdot 4}$ που εμφανίζονται στα ii), iii) και iv) είναι ισοδύναμες αφού έχουν το ίδιο μήκος και οι παράγοντες είναι οι: $\mathbb{Z}_{2},\;\mathbb{Z}_{2},\;\mathbb{Z}_{2}.$
Στα Παραδείγματα 7.1.5, v) και vi) οι σειρές σύνθεσης της $\mathbb{Z}_{12}$ είναι επίσης ισοδύναμες με μήκος τρία και παράγοντες: $\mathbb{Z}_{2},\;\mathbb{Z}_{2},\;\mathbb{Z}_{3}.$
Είναι εύκολο να διαπιστώσει ο αναγνώστης ότι η ισοδυναμία μεταξύ των κανονικών σειρών μίας ομάδας είναι σχέση ισοδυναμίας. Το επόμενο θεώρημα θα οδηγήσει στη μοναδικότητα της σειράς σύνθεσης, όταν βέβαια αυτή υπάρχει, με προσέγγιση ισομορφίας.

Θεώρημα 7.1.8 (Schreier)

Δύο κανονικές σειρές μίας ομάδας $G$ έχουν λεπτότερες κανονικές σειρές που είναι ισοδύναμες.

Απόδειξη Ας υποθέσουμε ότι η ομάδα $G$ έχει τις κανονικές σειρές:

G=A_{0}\rhd A_{1}\rhd\dots\rhd A_{m}=\{e\}

7.1.4

και

G=B_{0}\rhd B_{1}\rhd\dots\rhd B_{n}=\{e\}

7.1.5

Μεταξύ δύο διαδοχικών όρων $A_{i},A_{i+1}$ της σειράς (8.1.4) μπορούμε να παρεμβάλλουμε νέους όρους που προκύπτουν από τις ομάδες $A_{i}$ και $A_{i+1}$ και των όρων της σειράς (8.1.5) ως εξής:

A_{i}=\Gamma_{i0}\rhd\Gamma_{i1}\rhd\dots\rhd\Gamma_{ik}=A_{i+1},

7.1.6

όπου $\Gamma_{ij}=\big(A_{i}\cap B_{j}\big)A_{i+1}.$ Όμοια μπορούμε να παρεμβάλλουμε νέους όρους μεταξύ των όρων $B_{j}$ και $B_{j+1}$ ως εξής:

B_{j}=\Delta_{j0}\unrhd\Delta_{j1}\unrhd\dots\unrhd\Delta_{j\nu}=B_{j+1},

7.1.7

όπου $\Delta_{ji}=\big(B_{j}\cap A_{i}\big)B_{j+1}.$ Επειδή οι σειρές (8.1.4) και (8.1.5) είναι κανονικές έπεται ότι οι σειρές (8.1.6) και (8.1.7) είναι πράγματι κανονικές, αλλά δεν μπορούμε να αποκλείσουμε την ισότητα μεταξύ κάποιων διαδοχικών όρων. Θα αποδείξουμε ότι

\Gamma_{ij}/\Gamma_{i,j+1}\cong\Delta_{ji}/\Delta_{j,i+1}.

7.1.8

Από την απόδειξη της σχέσης (8.1.8) προκύπτει ότι οι κανονικές σειρές που προκύπτουν από τις σειρές (8.1.4) και (8.1.5) με την παρεμβολή των νέων όρων και χωρίς την επανάληψη ίσων όρων είναι ισοδύναμες.

Αποδεικνύουμε τον ισομορφισμό της σχέσης (8.1.8). Από το Δεύτερο Θεώρημα Ισομορφίας προκύπτει ότι

$\begin{array}[]{ll}\Gamma_{ij}/\Gamma_{i,j+1}&=\big(A_{i}\cap B_{i}\big)A_{i+1% }\Big/\big(A_{i}\cap B_{j+1}\big)A_{i+1}\cong\\ &\cong\big(A_{i}\cap B_{j}\big)\Big/\big(A_{i}\cap B_{j+1}\big)\big(A_{i}\cap B% _{j}\cap A_{i+1}\big)=\\ &=\big(A_{i}\cap B_{j}\big)\Big/\big(A_{i}\cap B_{j+1}\big)\big(A_{i+1}\cap B_% {j}\big)\end{array}$

και

$\begin{array}[]{ll}\Delta_{ji}/\Delta_{j,i+1}&=\big(B_{j}\cap A_{j}\big)B_{j+1% }\Big/\big(B_{j}\cap A_{i+1}\big)B_{j+1}\cong\\ &\cong\big(B_{j}\cap A_{i}\big)\Big/\big(B_{j}\cap A_{i+1}\big)\big(B_{j}\cap A% _{i}\cap B_{j+1}\big)=\\ &=\big(B_{j}\cap A_{i}\big)\Big/\big(B_{j}\cap A_{i+1}\big)\big(B_{j+1}\cap A_% {i}\big).\end{array}$

Από την ισότητα των τελευταίων μελών των παραπάνω σχέσεων προκύπτει ο ισομορφισμός της σχέσης (8.1.8). $\blacksquare$

Τώρα μπορούμε να οδηγηθούμε στη μοναδικότητα των σειρών σύνθεσης, φυσικά όταν υπάρχουν.

Θεώρημα 7.1.9 (Jordan - Hölder)

Δύο οποιεσδήποτε σειρές σύνθεσης μίας ομάδας $G$ είναι ισοδύναμες.

Απόδειξη Οι σειρές σύνθεσης μίας ομάδας έχουν το μέγιστο δυνατό μήκος, δηλ. δεν μπορούν να παρεμβληθούν νέοι όροι μεταξύ διαδοχικών όρων τους. Άρα σύμφωνα με το Θεώρημα του Schreier είναι ισοδύναμες. $\blacksquare$

Στα προηγούμενα παραδείγματα είδαμε ότι υπάρχουν ομάδες που έχουν σειρές σύνθεσης, όπως η $D_{2\cdot 4}$ , η $Q$ και η $\mathbb{Z}_{12}.$ Το επόμενο θεώρημα ενοποιεί αυτά τα παραδείγματα.

Θεώρημα 7.1.10

Κάθε πεπερασμένη ομάδα έχει σειρά σύνθεσης.

Απόδειξη Έστω $G$ μία πεπερασμένη ομάδα. Θα αποδείξουμε το Θεώρημα επαγωγικά ως προς την τάξη της $G$ . Για $|G|=1,$ το θεώρημα ισχύει. Υποθέτουμε ότι κάθε ομάδα με τάξη αυστηρά μικρότερη της $G$ έχει σειρά σύνθεσης και θα αποδείξουμε το θεώρημα για την τάξη της $G$ . Αν η $G$ είναι απλή ομάδα τότε η $G$ έχει τη σειρά σύνθεσης $G\rhd\{e\}.$ Ας υποθέσουμε ότι η $G$ δεν είναι απλή, δηλαδή έχει μία κανονική υποομάδα Η, με $\{e\}\lhd H\lhd G.$ Τότε οι ομάδες Η και $G/H$ έχουν τάξη αυστηρά μικρότερη της $G$ και από την υπόθεση της μαθηματικής επαγωγής έχουν σειρά σύνθεσης. Έστω

H=H_{0}\rhd H_{1}\rhd\dots\rhd H_{r}=\{e\}

και

G/H=G_{0}/H\rhd G_{1}/H\rhd\dots\rhd G_{s}/H=\{H\}

σειρές σύνθεσης των Η και $G/H$ αντίστοιχα. Τότε μπορούμε να δημιουργήσουμε την κανονική σειρά

G=G_{0}\rhd G_{1}\rhd\dots\rhd G_{s}=H=H_{0}\rhd H_{1}\rhd\dots H_{r}=\{e\}.

7.1.9

Παρατηρούμε ότι

G_{i}/G_{i+1}\cong\big(G_{i}/H\big)\Big/\big(G_{i+1}/H\big),\;0\leq i\leq s-1

λόγω του Τρίτου Θεωρήματος Ισομορφίας, άρα οι ομάδες αυτές είναι απλές. Έτσι από την (8.1.9) προκύπτει ότι η σειρά

G=G_{0}\rhd G_{1}\rhd\dots\rhd G_{s-1}\rhd H\rhd H_{1}\rhd\dots H_{r}=\{e\}

είναι σειρά σύνθεσης της $G$ και αποδείχθηκε το θεώρημα. $\square$

Ως συνέπεια του Θεωρήματος 7.1.10 προκύπτει μία άλλη απόδειξη του Θεμελιώδους Θεωρήματος της Αριθμητικής.

Θεώρημα 7.1.11 (Θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής)

Κάθε φυσικός αριθμός $n>1$ αναλύεται σε γινόμενο πρώτων αριθμών μοναδικά με προσέγγιση αντιμετάθεσης των παραγόντων.

Απόδειξη Έστω $n>1$ ένας φυσικός αιρθμός και $G$ μία κυκλική ομάδα τάξης $n$ . Σύμφωνα με το Θεώρημα 7.1.10 η $G$ έχει μία σειρά σύνθεσης, έστω την

G=G_{0}\rhd G_{1}\rhd G_{2}\rhd\dots\rhd G_{r}=\{e\}.

Τότε η ομάδα $G_{i}/G_{i+1},\;0\leq i\leq r-1,$ είναι απλή αβελιανή ομάδα (γιατί η $G$ είναι αβελιανή). Όμως, οι μόνες απλές αβελιανές ομάδες είναι οι κυκλικές ομάδες τάξης πρώτου αριθμού (βλ. Παράδειγμα 5.3.12.6). Άρα $\big|G_{i}/G_{i+1}\big|=p_{i+1},\;1\leq i\leq r-1.$ Όμως

|G|=|G_{0}/G_{1}|\dots|G_{r-1}/G_{r}|=p_{1}p_{2}\dots p_{r},

όπως προκύπτει από το Θεώρημα Lagrange (άσκηση 7.1.4), επομένως $n=p_{1}p_{2}\dots p_{r}.$ Η μοναδικότητα της ανάλυσης του $n$ σε γινόμενο πρώτων παραγόντων προκύπτει από τη μοναδικότητα της σειράς σύνθεσης με προσέγγιση ισοδυναμίας. $\blacksquare$

Ας δούμε τώρα την περίπτωση μίας ομάδας που δεν έχει σειρά σύνθεσης.

Πρόταση 7.1.12

Μία αντιμεταθετική ομάδα άπειρης τάξης δεν μπορεί να έχει σειρά σύνθεσης.

Απόδειξη Έστω $G$ μία άπειρη αβελιανή ομάδα και ας υποθέσουμε ότι έχει μία σειρά σύνθεσης, έστω τη σειρά

G=G_{0}\rhd G_{1}\rhd\dots\rhd G_{r}=\{e\}.

Τότε οι ομάδες $G_{0}/G_{1},\dots,G_{r-1}/G_{r}$ είναι απλές αβελιανές ομάδες, άρα κυκλικές τάξης πρώτου αριθμού. Με το επιχείρημα του Θεωρήματος 7.1.11 προκύπτει ότι $|G|=|G_{0}/G_{1}|\dots|G_{r-1}/G_{r}|<\infty,$ άτοπο γιατί $|G|=\infty.$ Επομένως η $G$ δεν μπορεί να έχει σειρά σύνθεσης. $\blacksquare$

Ασκήσεις

1. Να υπολογίσετε όλες τις σειρές σύνθεσης των ομάδων $D_{2\cdot 4}$ και $Q .$
2. Έστω $G$ μία ομάδα και $H\leq G$ . Να αποδείξετε ότι από μία κανονική σειρά της $G$ μπορείτε να λάβετε μία κανονική σειρά της Η. (Υποδ. Να πάρετε την τομή κάθε όρου της σειράς της $G$ με την Η.)
3. Μία ομάδα λέγεται πολυκυκλική (polycyclic) αν έχει μία κανονική σειρά με παράγοντες κυκλικές ομάδες. Να εξετάσετε ποιές από τις ομάδες $D_{2\cdot 4},\;Q,\;\mathbb{Z}_{12},$ $C_{p^{n}}$ είναι πολυκυκλικές.
4. Έστω $G$ μία πεπερασμένη ομάδα και $H_{1},H_{2},\dots,H_{r}$ είναι οι παράγοντες μίας σειράς σύνθεσης της $G$ . Να αποδείξετε ότι

|G|=|H_{1}||H_{2}|\dots|H_{r}|.

5. Να αποδείξετε ότι κάθε πεπερασμένη $p$ -ομάδα έχει σειρά σύνθεσης με παράγοντες κυκλικές ομάδες τάξης $p$ , όπου $p$ είνα πρώτος φυσικός αριθμός.

7.2 Επεκτάσεις ομάδων

Στόχος αυτού του εδαφίου είναι να εξετάσουμε τι μπορούμε να αποκομίσουμε από τη θεωρία των κανονικών σειρών και ιδιαίτερα από τις σειρές σύνθεσης μίας ομάδας για τη μελέτη της ίδιας της $G$ ή την ταξινόμηση των πεπερασμένων ομάδων.

Έστω $G$ μία ομάδα και $N\lhd G$ . Όπως γνωρίζουμε τότε ορίζεται η ομάδα $G/N$ και η δομή της προκύπτει από αυτήν των $G$ και Ν. Το αντίστροφο αυτού του προβλήματος συνιστά το λεγόμενο πρόβλημα επέκτασης ομάδας (group extension problem), δηλ. αν δοθούν δύο ομάδες Ν και Η μπορούμε να βρούμε μία ομάδα $G$ με την ιδιότητα $G/N\cong H$ ; Και ακόμη περισσότερο μπορούμε να προσδιορίσουμε όλες τις ομάδες $G$ με αυτήν την ιδιότητα; Η ομάδα $G$ με την ιδιότητα $G/N\cong H$ για δύο δοσμένες ομάδες Ν και Η λέγεται επέκταση της Ν μέσω της Η.

Η έννοια της σειράς σύνθεσης καθώς και το Θεώρημα των Jordan - Hölder δίνει μία προσέγγιση επίλυσης του προβλήματος επέκτασης ομάδας.

Ας υποθέσουμε ότι η σειρά στη σχέση 7.1.1 είναι μία σειρά σύνθεσης της ομάδας $G$ μήκους $r$ και με παράγοντες τις ομάδες: $H_{1}\cong G_{0}/G_{1},\;H_{2}\cong G_{1}/G_{2},\dots,H_{r}\cong G_{r-1}/G_{r}.$ Όπως είδαμε στο προηγούμενο εδάφιο οι ομάδες $H_{1},H_{2},\dots,H_{r}$ ορίζονται μοναδικά για τη $G$ και ο φυσικός $r$ είναι μία αναλλοίωτη ποσότητα για τη $G$ (βλ. Θεώρημα 7.1.9). Παρατηρούμε ότι $H_{r}\cong G_{r-1}$ και $H_{r-1}\cong G_{r-2}/G_{r-1}$ δηλ. η $G_{r-2}$ είναι επέκταση της $G_{r-1}$ μέσω της $H_{r-1}$ . Όμοια από τον ισομορφισμό $H_{r-2}\cong G_{r-3}/G_{r-2}$ η ομάδα $G_{r-3}$ είναι επέκταση της $G_{r-2}$ μέσω της $H_{r-2}$ . Συνεχίζοντας έτσι μετά από συνολικά $r$ πλήθους βήματα βρίσκουμε την $G$ ως επέκταση της $G_{1}$ μέσω της $H_{1}$ . Επομένως αν γνωρίζουμε την επίλυση του προβλήματος επέκτασης ομάδας και όλες τις απλές ομάδες θα μπορούσαμε να οδηγηθούμε στην ταξινόμηση εκείνων των ομάδων που έχουν σειρά σύνθεσης.

Για τις πεπερασμένες ομάδες, που όπως γνωρίζουμε έχουν σειρές σύνθεσης (Θεώρημα 7.1.10) τα πράγματα φαίνονται πιο ελπιδοφόρα μετά την ταξινόμηση των απλών πεπερασμένων ομάδων. Η πλήρης απόδειξη αυτής της ταξινόμησης δόθηκε το 2004 μετά από μία γιγαντιαία προσπάθεια ερευνητών που αποτυπώθηκε σε πάνω από 10000 σελίδες ερευνητικών περιοδικών από περίπου 100 ερευνητές που παρουσίασαν πολλές εκατοντάδες άρθρα, άλλα και που απαιτήθηκαν για την ολοκλήρωσή τους πολλές χιλιάδες ώρες εργασίας ηλεκτρονικών υπολογιστών. Πρωτοπόρος της Θεωρίας των απλών πεπερασμένων ομάδων θεωρείται ο Richard Brauer που ξεκίνησε τη μελέτη των απλών πεπερασμένων ομάδων στο τέλος της δεκαετίας 1940 - 1950 και ήταν ο πρώτος που διαπίστωσε τη θεμελιώδη σχέση μεταξύ της δομής της ομάδας και του κεντροποιητή στοιχείου της ομάδας με τάξη 2. Μεγάλη ώθηση στο πρόγραμμα αυτό έδωσαν το 1952 οι W.Feit και J.Thompson όταν απόδειξαν ότι κάθε μη αβελιανή πεπερασμένη απλή ομάδα έχει τάξη άρτιο αριθμό. Ένα ενδιαφέρον άρθρο για την πορεία αυτού του προγράμματος είναι το άρθρο του M. Aschbacher, The Stasus of the Classification of the Finite Simple Groups, Notices of the AMS 51(7), pp.736-740. Επίσης βλ. Wikipedia, the free encyclopedia http://en.m.wikipedia.org ’wiki’ classification of finite simple groups.

Το πρόβλημα, όμως, της επέκτασης ομάδας είναι ακόμη πιο δύσκολο, έτσι βρισκόμαστε πολύ μακριά από τη ταξινόμηση των πεπερασμένων ομάδων, πολύ περισσότερο των άπειρων. Όμως, το πρόβλημα της επέκτασης ομάδας και η επίλυσή του οδήγησαν στη δημιουργία του κλάδου της Ομολογικής Άλγεβρας.
Ας εξετάσουμε λεπτομερέστερα την έννοια της επέκτασης ομάδας. Έστω $G$ μία ομάδα και $N\unlhd G$ έτσι ώστε $G/N\cong H$ , για μία ομάδα Η. Τότε υπάρχει ένας επιμορφισμός ομάδων $f:G\to H$ με πυρήνα την ομάδα Ν, όπως προκύπτει από το Πρώτο Θεώρημα Ισομορφίας ομάδων. Αν $g:N\to G,\;n\mapsto n$ είναι η εμφύτευση της Ν στη $G$ , τότε μπορούμε να σχηματίσουμε την ακολουθία ομομορφισμών ομάδων

\{e\}\overset{\varepsilon}{\longrightarrow}N\overset{g}{\longrightarrow}G% \overset{f}{\longrightarrow}H\overset{t}{\longrightarrow}\{e\}

7.2.1

όπου η πρώτη απεικόνιση απεικονίζει το $e$ στον εαυτό του και η τελευταία απεικονίζει καάθε στοιχείο της Η στο $e$ . Παρατηρούμε ότι στην ακολουθία (8.2.1) η εικόνα κάθε ομομορφισμού ισούται με τον πυρήνα του αμέσως επόμενου ομομορφισμού. Έτσι

Im\varepsilon=Kerg=\{e\},\;\;Img=N=Kerf,\;\;Imf=H=Kert.

Από τα παραπάνω είναι ακαγκαίος ο επόμενος ορισμός.

Ορισμός 7.2.1

Βραχεία ακριβής ακολουθία (short exact sequence) ομομορφισμών ομάδων είναι μία ακολουθία

\{e\}\overset{f_{1}}{\longrightarrow}N\overset{f_{2}}{\longrightarrow}G% \overset{f_{3}}{\longrightarrow}H\overset{f_{4}}{\longrightarrow}\{e\},

όπου οι $N, G, H$ είναι ομάδες και οι $f_{i},\;i=1,2,3,4,$ είναι ομομορφισμοί ομάδων με την ιδιότητα

Imf_{i}=Kerf_{i+1},\;i=1,2,3,4.

Από τον Ορισμό 7.2.1 προκύπτει ότι ο ομομορφισμός $f_{2}$ είναι μονομορφισμός ομάδων, αφού $Kerf_{1}=\{e\}.$ Ακόμη ο $f_{3}$ είναι επιμορφισμός ομάδων, αφού $Imf_{3}=Kerf_{4}=H.$ Επομένως από το Πρώτο Θεώρημα Ισομορφίας Ομάδων προκύπτει ότι $G/f_{2}(N)\cong Q.$

Παραδείγματα 7.2.2

1 Έστω Κ, Η δύο ομάδες, τότε η $K\times H$ είναι επέκταση της Κ μέσω της Η, αφού η ακολουθία

\{e\}\longrightarrow K\overset{f}{\longrightarrow}K\times H\overset{g}{% \longrightarrow}H\longrightarrow\{e\},

όπου $f(k)=(k,e)$ και $g(k,h)=h,$ για $k\;\in\;K$ και $h\;\in\;H,$ είναι μία βραχεία ακριβής ακολουθία. Επίσης η $K\times H$ είναι επέκταση της Η μεσω της Κ, όπως προκύπτει αν στην παραπάνω ακολουθία στη θέση της ομάδας Κ θέσουμε την ομάδα Η και στη θέση της Η την Κ.

2 Η $S_{3}$ είναι επέκταση της $\langle(123)\rangle$ μέσω της $\langle(12)\rangle$ . Πράγματι, η $\langle(123)\rangle\lhd S_{3}$ και $S_{3}/\langle(123)\rangle\cong\langle(12)\rangle$ . Ακόμη $\langle(123)\rangle\cong\mathbb{Z}_{3}$ και $\langle(12)\rangle\cong\mathbb{Z}_{2}.$ Άρα έχουμε την βραχεία ακριβή ακολουθία

0\longrightarrow\mathbb{Z}_{3}\longrightarrow S_{3}\longrightarrow\mathbb{Z}_{% 2}\longrightarrow 0,

δηλ. η $S_{3}$ είναι επέκταση της $\mathbb{Z}_{3}$ μέσω της $\mathbb{Z}_{2}$ .

3 Θεωρούμε την κυκλική ομάδα $\mathbb{Z}_{6}$ παρατηρούμε ότι $\langle\overline{2}\rangle\unlhd\mathbb{Z}_{6},\;\;\mathbb{Z}_{6}/\langle% \overline{2}\rangle\cong\mathbb{Z}_{2},$ όπου $\overline{2}\;\in\;\mathbb{Z}_{6},$ και $\langle\overline{2}\rangle\;\in\;\mathbb{Z}_{3}.$ Άρα προκύπτει η βραχεία ακριβής ακολουθία

\overline{0}\longrightarrow\langle\overline{2}\rangle\overset{f}{% \longrightarrow}\mathbb{Z}_{6}\overset{g}{\longrightarrow}\mathbb{Z}_{6}/% \langle\overline{2}\rangle\longrightarrow 0

όπου $\langle\overline{2}\rangle\overset{f}{\hookrightarrow}\mathbb{Z}_{6}$ και $g(\bar{\alpha})=\bar{\alpha}+\langle\bar{2}\rangle$ . Επομένως, έχουμε την βραχεία ακριβή ακολουθία

0\longrightarrow\mathbb{Z}_{3}\longrightarrow\mathbb{Z}_{6}\longrightarrow% \mathbb{Z}_{2}\longrightarrow 0

Συγκρίνοντας αυτήν την ακριβή ακολουθία με τη βραχεία ακριβή ακολουθία του πρώτου παραδείγματος, παρατηρούμε ότι η επέκταση ομάδας της $\mathbb{Z}_{3}$ μέσω της $\mathbb{Z}_{2}$ δεν ορίζεται μοναδικά, αφού $S_{3}\not\cong\mathbb{Z}_{6}$ .

4 Από τον Ορισμό 7.2.1 της επέκτασης ομάδας και τον ισομορφισμό $G/N\cong H$ προκύπτει ότι όλες οι επεκτάσεις της $N$ μέσω της $H$ είναι ομάδες που έχουν την ίδια τάξη.

Ορισμός 7.2.3

Μία ομάδα $G$ είναι το ημιευθύ γινόμενο (semidirect product) των υποομάδων της $N$ και $K$ αν

i.

$G=NK$
ii.

$N\lhd G$
iii.

$N\cap K=\{e\}$

και συμβολίζεται $G=N\rtimes K$ .

Από τον Ορισμό 7.2.2 και το δεύτερο Θεώρημα Ισομορφίας προκύπτει ότι

G/N\cong NK/N\cong K/K\cap N\cong K

Έτσι, για την $G=N\rtimes K$ προκύπτει η βραχεία ακριβής ακολουθία

\{e\}\longrightarrow N\longrightarrow G\longrightarrow K\longrightarrow\{e\}.

Παραδείγματα 7.2.4

1 Η $S_{n}$ είναι το ημιευθύ γινόμενο των υποομάδων της $A_{n}$ και $(12)$ .

2 Η διεδρική ομάδα $D_{2n}$ είναι το ημιευθύ γινόμενο των υποομάδων της $\langle\rho\rangle$ και $\langle\text{ε}\rangle$ (βλ. Ορισμός 3.1.15).

3 Οι ομάδες $S_{3}$ και $\mathbb{Z}_{6}$ είναι ισόμορφες με το ημιευθύ γινόμενο μίας κυκλικής ομάδας τάξης 3 και μίας ομάδας τάξης 2. Πράγματι,

\langle(123)\rangle\lhd S_{3},\text{ }\langle(123)\rangle\cap\langle(12)% \rangle=\{e\},

S_{3}=\langle(123)\rangle\langle(12)\rangle

Άρα,

S_{3}=\langle(123)\rangle\rtimes\langle(12)\rangle,\text{ δηλαδή}

S_{3}\cong\mathbb{Z}_{3}\rtimes\mathbb{Z}_{2}.

Επομένως, το ημιευθύ γινόμενο δεν ορίζεται μοναδικά από τους παράγοντές του, όπως συμβαίνει με το ευθύ γινόμενο.

Παρατηρούμε ότι ο ορισμός του ημιευθέως γινομένου είναι γενικότερος αυτού του ευθέως γινομένου. Ακόμη, κάθε ομάδα που περιέχει μία κανονική υποομάδα μπορεί να παρασταθεί ως επέκταση κάποιων υποομάδων τους. Έτσι, οι μόνες ομάδες που δεν μπορούν να θεωρηθούν επεκτάσεις άλλων ομάδων είναι οι απλές ομάδες.
Στη συνέχεια δίνουμε έναν ορισμό που συνδέει την έννοια της βραχείας ακριβούς ακολουθίας και την έννοια του ημιευθέως γινομένου.

Ορισμός 7.2.5

Μία βραχεία ακριβής ακολουθία ομομορφισμών ομάδων

\{e\}\longrightarrow N\overset{g}{\longrightarrow}G\overset{f}{% \rightleftarrows}H\longrightarrow 0

λέγεται διασπώμενη (split) αν υπάρχει ομομορφισμός ομάδων $h:H\rightarrow G$ τέτοιος ώστε $fh=1_{H}$ .

Θεώρημα 7.2.6

Έστω

\{e\}\longrightarrow N\overset{g}{\longrightarrow}G\overset{f}{\underset{h}{% \rightleftarrows}}H\longrightarrow 0

(7.1)

μία διασπώμενη βραχεία ακριβής ακολουθία ομομορφισμών ομάδων, δηλαδή $fh=1_{H}$ . Τότε, η $G$ είναι το ημιευθύ γινόμενο των υποομάδων $g(N)$ και $h(H)$ .

Απόδειξη Αφού $g(N)=Kerf$ έπεται ότι $g(N)\lhd G$ . Επομένως το γινόμενο των υποομάδων $g(N)$ και $h(H)$ είναι επίσης υποομάδα της $G$ . Μένει να δείξουμε ότι

G=g(N)h(H)\text{ και }g(N)\cap h(H)=\{e\})

7.2.2

Έστω $K=g(N)h(H)$ . Είναι φανερό ότι $K\leq G$ . Ακόμη έχουμε $f(K)=fg(N)fh(H)$ και αφού $fh=1_{H}$ και $fg(N)=\{e\}$ , έπεται ότι

f(K)=H

(7.2)

Όμως, $H=f(G)$ . Άρα $f(K)=f(G)$ . Αυτό σημαίνει ότι αν $\alpha$ είναι τυχόν στοιχείο της $G$ , τότε υπάρχει $x\;\in\;K$ ώστε

f(\alpha)=f(x)\Rightarrow f(\alpha x^{-1})=e\Rightarrow\alpha x^{-1}\;\in\;% Kerf=g(N)\Rightarrow

\alpha\;\in\;g(N)x\Rightarrow G\subseteq g(N)K=K

Επομένως $G=H$ , δηλαδή $G=g(N)h(H)$ . Έστω, τώρα, $\alpha\;\in\;g(N)\cap h(H)$ . Τότε, υπάρχουν στοιχεία $n\;\in\;N$ και $y\;\in\;H$ ώστε $\alpha=g(n)$ και $\alpha=h(y)$ . Από τη σχέση $\alpha=g(n)$ έπεται ότι $f(\alpha)=fg(n)$ , δηλαδή $f(\alpha)=e$ . Άρα $e=f(\alpha)=fh(y)=y\Rightarrow y=e$ . Επομένως, $\alpha=h(y)=e$ , δηλαδή $g(N)\cap h(H)=\{e\}$ . Συνεπώς αποδείχθηκαν οι σχέσεις 7.2.2 και αποδείχθηκε το Θεώρημα. $\;\blacksquare$

Θα κατασκευάσουμε τώρα μία διασπώμενη ακριβή ακολουθία ομάδων, όπως αυτή του Θεωρήματος 7.2.6. Αν η ομάδα $G$ είναι το ημιευθύ γινόμενο των υποομάδων της $N, H$ με $N\unlhd G$ , δηλ. $G=N\rtimes H$ , τότε $G=NH$ , άρα κάθε στοιχείο της $G$ γράφεται ως $n h$ για $n\;\in\;N$ και $h\;\in\;H$ . Έστω $n_{1}h_{1},n_{2}h_{2}\;\in\;G$ με $n_{i}\;\in\;N$ και $h_{i}\;\in\;H$ για $i=1,2$ . Παρατηρούμε ότι

n_{1}h_{1}n_{2}h_{2}=n_{1}(h_{1}n_{2}h_{1}^{-1})h_{1}h_{2}

και $(h_{1}n_{2}h_{1}^{-1})\;\in\;N$ , αφού $N\unlhd G$ . Η συνάρτηση

\phi:H\rightarrow Aut(N),\;\;h\mapsto\phi_{h}

όπου η $\phi_{h}:N\rightarrow N$ ορίζεται από τη σχέση $\phi_{h}(n)=hnh^{-1}.$

Είναι φανερό ότι η συνάρτηση $\phi$ είναι ομομορφισμός ομάδων και η συνάρτηση $\phi_{h}$ είναι εσωτερικός αυτομορφισμός της $N$ .

Θα κατασκευάσουμε, τώρα, ένα ημιευθύ γινόμενο με αφορμή την παραπάνω παρατήρηση. Θεωρούμε δύο ομάδες $N$ και $H$ και έναν ομομορφισμό $\phi:H\rightarrow Aut(N)$ και συμβολίζουμε με $\phi_{h}:=\phi(h).$ Στο σύνολο $N\times H$ ορίζουμε την πράξη

(n_{1},h_{1})(n_{2},h_{2})=(n_{1}\phi_{h_{1}}(n_{2}),h_{1}h_{2}).

7.2.3

Συμβολίζουμε με $N\rtimes_{\phi}H$ το καρτεσιανό γινόμενο $N\times H$ εφοδιασμένο με την πράξη 7.2.3.

Θεώρημα 7.2.7

Έστω $N$ και $H$ δύο ομάδες και $G=N\rtimes_{\phi}H$ , όπου $\phi:N\rightarrow Aut(H)$ είναι ένας ομομορφισμός. Τότε

1.

Η αλγερική δομή $G$ είναι ομάδα.
2.

$\{e\}\times H\leq G\;,\;\;N\times\{e\}\lhd G.$
3.

Η ομάδα $G$ είναι μία διασπώμενη επέκταση της $N$ μέσω της $H$ .
4.

$(e,h)(n,e)(e,h^{-1})=\phi_{h}(n)$ , για $h\;\in\;H\;n\;\in\;N$ .

Απόδειξη

1. To $(e,e)$ είναι ουδέτερο στοιχείο της $G$ . Παρατηρούμε ότι

(\phi_{h^{-1}}(n^{-1}),h^{-1})(n,h)=(e,e)=(n,h)(\phi_{h^{-1}}(n^{-1}),h^{-1}),

άρα υπάρχει το αντίστροφο κάθε στοιχείου της $G$ . Ο έλεγχος για την προσεταιριστικότητα της πράξης αφήνεται ως άσκηση στον αναγνώστη.
2. Είναι φανερό ότι $N<G$ και $H<G$ . Έστω, τώρα, η συνάρτηση

f:N\rtimes_{\phi}H\rightarrow H\;,\;\;f(n,h)=h.

Παρατηρούμε ότι

f[(n_{1},h_{1})(n_{2},h_{2})]=f(n_{1}\phi_{h_{1}}(n_{2}),h_{1}h_{2})=h_{1}h_{2% }=f(n_{1}h_{1})f(n_{2}h_{2}),

δηλ. η συνάρτηση $f$ είναι ομομορφισμός ομάδων. Ακόμη βλέπουμε ότι $Kerf=N\times\{e\}$ , άρα $N\times\{e\}\lhd G$ .
3. Θεωρούμε τη συνάρτηση $g:H\rightarrow G\;\,\;\;g(h)=(e,h)$ . Είναι φανερό ότι η $g$ είναι ένας ομομορφισμός και $f\circ g=1_{H}$ . Άρα η ακολουθία

\{e\}\longrightarrow N\overset{i}{\longrightarrow}N\rtimes_{\phi}H\overset{f}{% \underset{g}{\rightleftarrows}}H\longrightarrow\{e\},

(7.3)

όπου $i:N\rightarrow N\rtimes_{\phi}H\;,\;\;n\mapsto(n,e)$ , είναι μία διασπώμενη βραχεία ακριβής ακολουθία.
4. Παρατηρούμε ότι

(e,h)(n,e)(e,h)^{-1}=(e,h)(n,e)(e,h^{-1})=(\phi_{h}(n),h)(e,h^{-1})=(\phi_{h}(% n),e),

όπου $h\;\in\;H$ και $n\;\in\;N$ . $\blacksquare$

Από το Θεώρημα 7.2.7 προκύπτει ότι ταυτίζοντας την ομάδα $N\times\{e\}$ με την ομάδα $N$ , τότε η ομάδα $N\rtimes_{\phi}H$ είναι ημιευθύ γινόμενο των ομάδων $N$ και $Η$ , όπου ο $\phi$ είναι ο αναφερόμενος εσωτερικός αυτομορφισμός. Άρα κάθε ημιευθύ γινόμενο περιγράφεται όπως στο Θεώρημα 7.2.7.

Ασκήσεις

1. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ακριβώς δύο επεκτάσεις της ομάδας $\mathbb{Z}_{3}$ μέσω της ομάδας $\mathbb{Z}_{2}$ .
2. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ακριβώς μία αβελιανή ομάδα επέκταση της ομάδας $\mathbb{Z}_{n}$ μέσω της ομάδας $\mathbb{Z}_{m}$ , όπου $(n,m)=1$ .
3. Να αποδείξετε ότι η ομάδα $\mathbb{Z}_{p^{n}}$ , όπου $p$ είναι ένας πρώτος φυσικός αριθμός και $n$ ένας φυσικός αριθμός δεν είναι ημιευθύ γινόμενο γνησίων υποομάδων της.
4. Να αποδείφετε ότι αν μία ομάδα $G$ είναι το ημιευθύ γινόμενο των υποομάδων της $N$ και $H$ , δηλαδή $G=N\rtimes H$ και $N\lhd G$ , τότε υπάρχει διασπώμενη βραχεία ακριβής ακολουθία

\{e\}\longrightarrow N\longrightarrow G\longrightarrow H\longrightarrow\{e\}.

5. Να αποδείξετε ότι στις μη αβελιανές ομάδες τάξης 8, η μία είναι διασπώμενη επέκταση και η άλλη είναι μη διασπώμενη επέκταση υποομάδων της. Να παρατηρήσετε ότι στις επεκτάσεις αυτές, ενώ η κανονική υποομάδα $N$ και η ομάδα $G/N$ είναι ίδιες και στις δύο περιπτώσεις, οι επεκτάσεις τους δεν είναι ισόμορφες.

7.3 Επιλύσιμες ομάδες

Στο εδάφιο αυτό θα εξετάσουμε τις επιλύσιμες ομάδες οι οποίες παίζουν σημαντικό ρόλο στη θεωρία Galois για την επίλυση των αλγεβρικών εξισώσεων.

Ορισμός 7.3.1

Μία ομάδα $G$ λέγεται επιλύσιμη (solvable) αν έχει μία κανονική σειρά

\{e\}=G_{0}\lhd G_{1}\lhd...\lhd G_{r}=G

τέτοια ώστε οι παράγοντες $G_{i}/G_{i-1}$ για $1\leq i\leq r$ , να είναι αβελιανές ομάδες. Μία τέτοια σειρά λέγεται επιλύσιμη σειρά (solvable series).

Παραδείγματα 7.3.2

1 Κάθε αβελιανή ομάδα είναι επιλύσιμη βλ. Ορισμό 3.2.17 και σχόλια μετά από αυτόν. Άρα υπάρχουν επιλύσιμες ομάδες άπειρης τάξης.

2 Η κανονική σειρά της $S_{4}$

\{e\}\lhd\langle(12)(34)\rangle\lhd K\lhd A_{4}\lhd S_{4}

όπου $K=\{e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}$ είναι επιλύσιμη. Γιατί $\sigma K\sigma^{-1}=K,$ για κάθε $\sigma\;\in\;S_{4},$ δηλ. $K\unlhd S_{4}$ και τότε $K\unlhd A_{4}.$ Αργότερα με την Πρόταση 8.1.10 προκύπτει αμέσως ότι $K\unlhd S_{4}$ , χωρίς πράξεις. Άρα η $S_{4}$ είναι επιλύσιμη.

Τό επόμενο θεώρημα συνδέει τις επιλύσιμες ομάδες με τις σειρές σύνθεσης.

Θεώρημα 7.3.3

Μία πεπερασμένη ομάδα είναι επιλύσιμη αν και μόνον αν έχει μία κανονική σειρά με παράγοντες κυκλικές ομάδες τάξης πρώτου αριθμού.

Απόδειξη Έστω $G$ μία πεπερασμένη ομάδα. Αν η $G$ είναι επιλύσιμη, τότε έχει μία επιλύσιμη σειρά

\{e\}=G_{0}\lhd G_{1}\lhd...\lhd G_{r}=G

7.3.1

της οποίας όλοι οι παράγοντες $G_{i}/G_{i-1}$ , $1\leq i\leq r$ είναι αβελιανές ομάδες. Όμως, αφού η $G$ είναι πεπερασμένη, κάθε παράγοντας της σειράς (7.3.1) είναι πεπερασμένη αβελιανή ομάδα και επομένως έχει μία σειρά σύνθεσης (βλ. Θεώρημα 7.1.10). Έστω ότι για ένα συγκεκριμένο $i\;\in\;\{1,...,r\}$ η ομάδα $G_{i}/G_{i-1}$ έχει τη σειρά σύνθεσης

\{e\}=G_{i-1}/G_{i-1}\lhd H_{1}/G_{i-1}\lhd...\lhd H_{k}/G_{i-1}=G_{i}/G_{i-1}.

7.3.2

Τότε, αφού οι μόνες απλές αβελιανές ομάδες είναι οι κυκλικές τάξης πρώτου αριθμού, έπεται ότι

(H_{v}/G_{i-1})/(H_{v-1}/G_{i-1})=P_{v},

7.3.3

όπου $P_{v}$ είναι ένας πρώτος φυσικός αριθμός, $1\leq v\leq k$ . Από τη σχέση (7.3.3) και το Τρίτο Θεώρημα Ισομορφίας προκύπτει ότι $H_{v-1}\lhd H_{v}$ και

|H_{v}/H_{v-1}|=P_{v}\text{ , }1\leq v\leq k.

Καταλήγουμε έτσι ότι από τις κανονικές σειρές (7.3.1) και (7.3.2) προκύπτει η κανονική σειρά

\{e\}=G_{0}\lhd G_{1}\lhd...\lhd G_{i-1}\lhd H_{1}\lhd...\lhd H_{k}\lhd G_{i+1% }\lhd...\lhd G_{r}=G.

7.3.4

Επαναλαμβάνοντας για κάθε $i\;\in\;\{1,...,r\}$ τη διαδικασία που ακολουθήσαμε για τον $i$ και τη σειρά (7.3.4), λαμβάνουμε για την ομάδα $G$ μία σειρά σύνθεσης με παράγοντες ομάδες τάξης πρώτου αριθμού. Το αντίστροφο είναι φανερό. $\blacksquare$

Στη συνέχεια θα εξετάσουμε μερικές ιδιότητες των επιλύσιμων ομάδων.

Θεώρημα 7.3.4

Κάθε υποομάδα επιλύσιμης ομάδας είναι επιλύσιμη.

Απόδειξη Έστω $G$ μία επιλύσιμη ομάδα. Τότε σύμφωνα με τον Ορισμό 7.3.1 η $G$ έχει μία επιλύσιμη σειρά, δηλαδή μία κανονική σειρά

\{e\}=G_{0}\lhd G_{1}\lhd...\lhd G_{r}=G

με παράγοντες $G_{i}/G_{i-1}$ , $1\leq i\leq r$ , αβελιανές ομάδες. Έστω $H\leq G$ , σχηματίζουμε τη σειρά

\{e\}=G_{0}\cap H\leq G_{1}\cap H\leq...\leq G_{r}\cap H=H

7.3.5

της υποομάδας $H$ . Από την Πρόταση 3.2.11 προκύπτει ότι η σειρά (7.3.5), αν εξαιρέσουμε τους επαναλαμβανόμενους όρους, είναι κανονική. Από το Δεύτερο Θεώρημα Ισομορφίας προκύπτει ότι

\frac{G_{i}\cap H}{G_{i-1}\cap H}=\frac{G_{i}\cap H}{G_{i-1}\cap(G_{i}\cap H)}% \cong\frac{G_{i-1}(G_{i}\cap H)}{G_{i-1}}<\frac{G_{i}}{G_{i-1}},

$1\leq i\leq r$ . Η ομάδα, όμως, $G_{i}/G_{i-1}$ , $1\leq i\leq r$ , είναι αβελιανή, άρα και κάθε υποομάδα της είναι αβελιανή. Επομένως η $(G_{i}\cap H)/(G_{i-1}\cap H)$ είναι αβελιανή, για $1\leq i\leq r$ , και συνεπώς η $H$ έχει μία επιλύσιμη σειρά, δηλαδή είναι επιλύσιμη. $\blacksquare$

Θεώρημα 7.3.5

Έστω $G$ μία ομάδα και $H\unlhd G$ . Αν οι ομάδες $H$ και $G/H$ είναι επιλύσιμες, τότε η $G$ είναι επιλύσιμη.

Απόδειξη Αφού η $H$ είναι επιλύσιμη, τότε έχει μία επιλύσιμη σειρά

\{e\}=H_{0}\lhd H_{1}\lhd...\lhd H_{r}=H.

7.3.6

Όμοια, η $G/H$ έχει μία επιλύσιμη σειρά

\{e\}=H/H\lhd G_{1}/H\lhd...\lhd G_{s-1}/H\lhd G_{s}/H=G/H.

7.3.7

Όμως,

(G_{i}/H)/(G_{i-1}/H)\cong G_{i}/G_{i-1}\text{ , }1\leq i\leq s.

Άρα η ομάδα $G_{i}/G_{i-1}$ είναι αβελιανή ομάδα, για $1\leq i\leq s$ . Από τις κανονικές σειρές (7.3.6) και (7.3.7) δημιουργούμε τη σειρά

\{e\}=H_{0}\lhd H_{1}\lhd...\lhd H_{r}=H=G_{0}\lhd G_{1}\lhd...\lhd G_{s-1}% \lhd G_{s}=G,

η οποία είναι επιλύσιμη αν εξαιρέσουμε τους επαναλαμβανόμενους όρους. $\blacksquare$

Πρόταση 7.3.6

Έστω $H$ και $K$ δύο επιλύσιμες ομάδες. Τότε η $H\times K$ είναι επιλύσιμη ομάδα.

Απόδειξη Θέτουμε $G=H\times K$ και παρατηρούμε ότι

H\cong H\times\{e\}\lhd G\text{ και }G/(H\times\{e\})\cong K.

Άρα σύμφωνα με το Θεώρημα 7.3.5 η $G$ είναι επιλύσιμη. $\blacksquare$

Πρόταση 7.3.7

Κάθε πεπερασμένη $p$ -ομάδα είναι επιλύσιμη, όπου $p$ είναι ένας πρώτος φυσικός αριθμός.

Απόδειξη Έστω $G$ μία πεπερασμένη $p$ -ομάδα. Τότε $|G|=p^{r}$ για κάποιον $r\;\in\;\mathbb{N}$ , όπου $p$ είναι ένας πρώτος φυσικός αριθμός (βλ Πρόταση 5.3.11). Αν η $G$ είναι αβελιανή, τότε είναι επιλύσιμη (βλ. Παράδειγμα 7.3.2.1). Υποθέτουμε ότι η $G$ δεν είναι αβελιανή, οπότε $Z(G)\neq G$ . Θα αποδείξουμε την πρόταση επαγωγικά ως προς τον εκθέτη $r$ . Φυσικά για $|r|=0$ η Πρόταση είναι φανερή. Έστω ότι η πρόταση ισχύει για κάθε $p$ -ομάδα με τάξη μικρότερη της $G$ . Σύμφωνα με το Θεώρημα 5.1.9 και την Πρόταση 3.2.13, η ομάδα $G/Z(G)$ έχει τάξη αυστηρά μικρότερη της $G$ , οπότε είναι επιλύσιμη από την υπόθεση της μαθηματικής επαγωγής και η $Z(G)$ είναι επιλύσιμη ως αβελιανή. Επομένως από το Θεώρημα 7.3.5 προκύπτει ότι η $G$ είναι επιλύσιμη. $\blacksquare$

Ασκήσεις

1. Να αποδείξετε ότι κάθε λεπτότερη σειρά μίας επιλύσιμης σειράς είναι επίσης επιλύσιμη.
2. Να αποδείξετε ότι μία επιλύσιμη ομάδα, η οποία έχει σειρά σύνθεσης, είναι πεπερασμένη.
3. Να αποδείξετε ότι η διεδρική ομάδα $D_{2n}$ είναι επιλύσιμη.
4. Να αποδείξετε ότι μία ομάδα τάξης $p^{2}q$ , όπου $p, q$ είναι διακεκριμένοι πρώτοι φυσικοί αριθμοί, είναι επιλύσιμη.

7.4 Η Ομάδα μεταθετών και επιλύσιμες ομάδες

Στο εδάφιο αυτό θα εξετάσουμε την ομάδα μεταθετών μίας ομάδας, η οποία είναι εξίσου ενδιαφέρουσα με το κέντρο μίας ομάδας. Σκοπός μας είναι να αποδείξουμε ένα κριτήριο ώστε μία ομάδα να είναι επιλύσιμη.

Ορισμός 7.4.1

Μεταθέτης (commutator) ενός διατεταγμένου ζεύγους $(\alpha,\beta)$ στοιχείων μίας ομάδας $G$ λέγεται το στοιχείο $\alpha^{-1}\beta^{-1}\alpha\beta$ και συμβολίζεται $[\alpha,\beta]$ .

Παραδείγματα 7.4.2

[(123),(12)]=(123)^{-1}(12)(123)(12)=(123).

[(12),(13)]=(12)(13)(12)(13)=(1).

2 Αν $\alpha\beta=\beta\alpha$ για δύο στοιχεία $\alpha,\beta$ μίας ομάδας $G$ , τότε $[\alpha,\beta]=e$ .

3 Έστω $G$ μία ομάδα και $\alpha,\beta,\gamma\;\in\;G$ . Τότε,

[\alpha,\beta]^{-1}=[\beta,\alpha]\text{ και }\gamma[\alpha,\beta]\gamma^{-1}=% [\gamma\alpha\gamma^{-1},\gamma\beta\gamma^{-1}]

Πράγματι,

[\alpha,\beta]^{-1}=\beta^{-1}\alpha^{-1}\beta\alpha=[\beta,\alpha].

Ακόμη,

\gamma[\alpha,\beta]\gamma^{-1}=\gamma\alpha^{-1}\beta^{-1}\alpha\beta\gamma^{% -1}

και

[\gamma\alpha\gamma^{-1},\gamma\beta\gamma^{-1}]=\gamma\alpha^{-1}\gamma^{-1}% \gamma\beta^{-1}\gamma^{-1}\gamma\alpha\gamma^{-1}\gamma\beta\gamma^{-1}=% \gamma\alpha^{-1}\beta^{-1}\alpha\beta\gamma^{-1}.

Ορισμός 7.4.3

Η ομάδα μεταθετών (commutator group) μίας ομάδας $G$ είναι η υποομάδα της $G$ η οποία παράγεται από όλους τους μεταθέτες της $G$ και συμβολίζεται με $G^{\prime}$ ή $G^{\langle 1\rangle}.$

Παραδείγματα 7.4.4

1 $S^{\prime}_{3}=\langle(123)\rangle$ . Πράγματι, η $S_{3}$ έχει μόνο έξι στοιχεία έτσι μπορούμε να υπολογίσουμε όλους τους μεταθέτες της $S_{3}$ και βρίσκουμε ότι είναι τα στοιχεία $\{e\},(123),(132)$ . Άρα

S_{3}^{\prime}=\langle\{e\},(123),(132)\rangle=\langle(123)\rangle.

Έτσι βλέπουμε ότι η $S_{3}^{\prime}$ αποτελείται ακριβώς από τους μεταθέτες της $S_{3}$ . Αυτό, όμως, δεν συμβαίνει πάντα. Ακόμη, το σύνολο των μεταθετών μίας ομάδας δεν αποτελεί πάντα υποομάδα της.

2 Αν $G$ είναι μία αβελιανή ομάδα τότε $G^{\prime}=\{e\}$ . Έτσι μπορούμε να πούμε ότι η ομάδα $G^{\prime}$ (μετράει) πόσο απέχει η $G$ από το να είναι αβελιανή.

3 Δημιουργώντας τον πίνακα Cayley της ομάδας $A_{5}$ των άρτιων μεταθέσεων της $S_{5}$ , μπορούμε, με υπολογισμούς στα στοιχεία της $A_{5}$ , να δούμε ότι $A_{5}^{\prime}=A_{5}$

Πρόταση 7.4.5

Έστω $G$ μία ομάδα. Η ομάδα $G^{\prime}$ είναι το σύνολο όλων των πεπερασμένων γινομένων μεταθετών της $G$ , δηλαδή

G^{\prime}=\{[\alpha_{1},\beta_{1}]\cdots[\alpha_{n},\beta_{n}]:\alpha_{i},% \beta_{i}\;\in\;G\text{ , }1\leq i\leq n\text{ , }n\;\in\;\mathbb{N}\}.

Απόδειξη Έστω $A$ το σύνολο όλων των πεπερασμένων γινομένων μεταθετών της $G$ . Επειδή $[\alpha,\beta]^{-1}=[\beta,\alpha]$ , για $\alpha,\beta\;\in\;G$ (βλ Παραδείγματα 7.4.2.3), έπεται ότι το σύνολο $A$ είναι το σύνολο όλων των πεπερασμένων γινομένων μεταθετών της $G$ και αντιστρόφων τους, δηλαδή η υποομάδα της $G$ που παράγεται από όλους τους μεταθέτες της $G$ . Επομένως, $A=G^{\prime}$ . $\blacksquare$

Συνεχίζουμε με μερικές βασικές ιδιότητες της $G^{\prime}$ για μία ομάδα $G$ .

Θεώρημα 7.4.6

Έστω $G$ μία ομάδα και $H\unlhd G$ . Η ομάδα $G/H$ είναι αβελιανή αν και μόνον αν $G^{\prime}\leq H$ .

Απόδειξη Ας υποθέσουμε ότι $H\unlhd G$ . Παρατηρούμε ότι η $G/H$ είναι αβελιανή αν και μόνον αν ισχύει

\alpha\beta H=\alpha H\beta H=\beta H\alpha H=\beta\alpha H\Leftrightarrow% \alpha^{-1}\beta^{-1}\alpha\beta H=H

\Leftrightarrow[\alpha,\beta]\;\in\;H\text{ , για κάθε }\alpha,\beta\;\in\;G\Leftrightarrow

<[\alpha,\beta]:\alpha,\beta\;\in\;G>\;\leq H\Leftrightarrow G^{\prime}\leq H.

Επομένως η $G/H$ είναι αβελιανή αν και μόνον αν $G^{\prime}\leq H$ . $\blacksquare$

Από το Θεώρημα 7.4.6 προκύπτει η επόμενη αξιόλογη ιδιότητα της ομάδας μεταθετών $G^{\prime}$ .

Θεώρημα 7.4.7

Έστω $G$ μία ομάδα. Η $G^{\prime}\unlhd G$ και η ομάδα $G/G^{\prime}$ είναι αβελιανή.

Απόδειξη Θα αποδείξουμε ότι $G^{\prime}\unlhd G$ . Τότε το δεύτερο σκέλος θα προκύπτει από το προηγούμενο θεώρημα. Έστω $\alpha\;\in\;G^{\prime}$ . Από την Πρόταση 7.4.5 το $\alpha$ είναι ένα πεπερασμένο γινόμενο μεταθετών της $G$ , δηλαδή

\alpha=[\alpha_{1},\beta_{1}]\cdots[\alpha_{n},\beta_{n}],

όπου $\alpha_{i},\beta_{i}\;\in\;G$ , $1\leq i\leq n$ . Τότε, για κάθε $g\;\in\;G$ , από το Παράδειγμα 7.4.2.3 προκύπτει ότι

g\alpha g^{-1}=g[\alpha_{1},\beta_{1}]\cdots[\alpha_{n},\beta_{n}]g^{-1}=g[% \alpha_{1},\beta_{1}]g^{-1}g\cdots g^{-1}g[\alpha_{n},\beta_{n}]g^{-1}=

[g\alpha_{1}g^{-1},g\beta_{1}g^{-1}]\cdots[\gamma\alpha_{n}g^{-1},g\beta_{n}g^% {-1}]

ανήκει στην ομάδα $G^{\prime}$ . Άρα $G^{\prime}\unlhd G$ . $\blacksquare$

Άμεση συνέπεια του Θεωρήματος 7.4.6 είναι η επόμενη πρόταση.

Πρόταση 7.4.8

Έστω $G$ μία ομάδα. Η ομάδα $G^{\prime}$ μεταθετών της $G$ είναι η τομή όλων των κανονικών υποομάδων $H$ της $G$ που έχουν την ιδιότητα: η ομάδα $G/H$ να είναι αβελιανή.

Παραδείγματα 7.4.9

1 Όλες οι υποομάδες της $Q_{8}$ είναι κανονικές, βλ. Παράδειγμα 3.2.7. Ακόμη, $\{e\}\neq H\unlhd Q$ τότε $Q/H$ είναι αβελιανή, αφού οι δυνατές τάξεις των ομάδων $Q/H$ είναι 2 ή 4. Άρα $Q^{\prime}=\langle-1\rangle$ , ως τομή των υποομάδων $\langle i\rangle$ , $\langle j\rangle$ και $\langle i-j\rangle$ της $Q$ .

2 Έστω $G$ μία ομάδα και $H\unlhd G$ . Θα απόδείξουμε ότι $H^{\prime}\unlhd G$ , δηλαδή $gxg^{-1}\;\in\;H^{\prime}$ , για κάθε $x\;\in\;H^{\prime}$ . Πράγματι, αν $x\;\in\;H^{\prime}$ , τότε $x=[\alpha_{1},\beta_{1}]\cdots[\alpha_{n},\beta_{n}]$ , για κάποια $\alpha_{i},\beta_{i}\;\in\;H$ , $1\leq i\leq n$ και για κάποιον φυσικό αριθμό $n$ . Άρα

gxg^{-1}=[g\alpha_{1}g^{-1},g\beta_{1}g^{-1}]\cdots[g\alpha_{n}g^{-1},g\beta_{% n}g^{-1}].

Όμως, $g\alpha_{i}g^{-1},g\beta_{i}g^{-1}\;\in\;H$ , αφού $H\unlhd G$ . Επομένως $gxg^{-1}\;\in\;H^{\prime}$ .

Έστω $G$ μία ομαδα. Η $G^{\prime}$ είναι μία (κανονική) υποομάδα της $G$ , επομένως μπορούμε να ορίσουμε την $(G^{\prime})^{\prime}$ την οποία συμβολίζουμε ως $G^{(2)}$ . Όμοια ορίζονται οι υποομάδες $G^{(3)},G^{(4)},...,G^{(n)},...$ της $G$ , για οποιονδήποτε φυσικό αριθμό $n$ . ’Ετσι δημιουργείται η κανονική σειρά της $G$ :

G\rhd G^{(1)}\rhd G^{(2)}\rhd...\rhd G^{(n)}\rhd...

7.4.1

Η κανονική σειρά (7.4.1) λέγεται παράγωγος (derivative) σειρά της ομάδας $G$ . Είναι φανερό ότι αν για κάποιον φυσικό αριθμό $s$ συμβεί $G^{(s)}=G^{(s+1)}$ , τότε $G^{(k)}=G^{(s)}$ , για κάθε $k\geq s$ .

Παραδείγματα 7.4.10

1 Ας υπολογίσουμε την παράγωγο σειρά της $S_{3}$ . Η μόνη κανονική υποομάδα της $S_{3}$ είναι η $A_{3}=<(123)>$ και $S_{3}/A_{3}\cong\mathbb{Z}_{2}$ . Άρα $A_{3}=S_{3}^{\prime}$ σύμφωνα με την Πρόταση 7.4.8. Βέβαια η $<(e)>\lhd S_{3}$ , όμως η $S_{3}/\{e\}$ δεν είναι αβελιανή, αφού η $S_{3}$ δεν είναι αβελιανή. Ακόμη $A_{3}^{\prime}={1}$ , αφού η $A_{3}$ είναι αβελιανή ομάδα. Έτσι η παράγωγος σειρά της $S_{3}$ είναι η:

S_{3}\rhd S_{3}^{\prime}=A_{3}\rhd S_{3}^{(2)}=A_{3}^{\prime}=\{1\}.

Στη συνέχεια με τις ομάδες $G^{(s)}$ μίας ομάδας $G$ , θα βρούμε μία ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε μία ομάδα να είναι επιλύσιμη.

Θεώρημα 7.4.11

Μία ομάδα $G$ είναι επιλύσιμη αν και μόνον αν υπάρχει φυσικός αριθμός $k$ , τέτοιος ώστε $G^{(k)}=\{e\}$ . Με άλλα λόγια αν η παράγωγος σειρά (7.4.1) της $G$ τερματίζεται, δηλαδή

G\rhd G^{(1)}\rhd...\rhd G^{(k-1)}\rhd G^{(k)}=\{e\}.

Απόδειξη Υποθέτουμε ότι η $G$ είναι επιλύσιμη. Τότε, έχει μία κανονική σειρά

G=H_{r}\rhd H_{r-1}\rhd...\rhd H_{0}=\{e\}

με παράγοντες αβελιανές ομάδες. Αφού η ομάδα πηλίκο $H_{r}/H_{r-1}$ είναι αβελιανή ομάδα, τότε $H_{r-1}\supset G^{(1)}$ , βλ. Θεώρημα 7.4.6. Όμοια από την αντιμεταθετικότητα της $H_{r-1}/H_{r-2}$ προκύπτει ότι

H_{r-2}\supseteq H^{\prime}_{r-1}\supseteq(G^{\prime})^{\prime}=G^{(2)}.

Συνέχίζοντας με αυτόν τον τρόπο οδηγούμαστε στη σχέση $H_{0}\supset G^{(}r)$ , δηλαδή $G^{(r)}=\{e\}$ . Αντίστροφα τώρα, αν $G^{(k)}=\{e\}$ , για κάποιον φυσικό αριθμό $k$ , τότε μπορούμε να σχηματίσουμε την κανονική σειρά

G\rhd G^{(1)}\rhd G^{(2)}\rhd...\rhd G^{(k-1)}\rhd G^{(k)}=\{e\},

η οποία είναι μία επιλύσιμη σειρά, αφού $G^{i.}/G{(i+1)}$ , $0\leq i\leq k-1$ , είναι αβελιανή ομάδα, βλ. Θεώρημα 7.4.7. $\blacksquare$

Θεώρημα 7.4.12

Η ομομορφική εικόνα μίας επιλύσιμης ομάδας είναι επιλύσιμη.

Απόδειξη Έστω $G$ μία επιλύσιμη ομάδα και $f:G\rightarrow H$ ένας ομομορφισμός ομάδων. Παρατηρούμε ότι αν $\alpha,\beta\;\in\;G$ , τότε

f([\alpha,\beta])=f(\alpha^{-1}\beta^{-1}\alpha\beta)=f(\alpha^{-1})f(\beta^{-% 1})f(\alpha)f(\beta)=[f(\alpha),f(\beta)].

Άρα $f(G^{\prime})\subseteq(f(G))^{\prime}$ . Όμοια αποδεικνύεται ότι $(f(G))^{\prime}\subseteq f(G^{\prime})$ Επομένως,

f(G^{\prime})=(f(G))^{\prime}:=f(G)^{\prime}

και ανάλογα $f(G)^{(k)}=f(G^{(k)})$ για κάθε $k\;\in\;\mathbb{N}$ . Αφού η $G$ είναι επιλύσιμη, από το Θεώρημα 7.4.11 έπεται υπάρχει ένας φυσικός αριθμός $k$ ώστε $G^{(k)}=\{e\}$ . Άρα

f(G)^{(k)}=f(G^{(k)})=f(\{e\})=\{e\},

δηλαδή η $f(G)$ είναι επιλύσιμη. $\blacksquare$

Παρατήρηση 7.4.13

Θα αναφέρουμε μερικά στοιχεία που δικαιολογούν την ονομασία των επιλύσιμων ομάδων. Έστω $K$ ένα σώμα, υπόσωμα του $\mathbb{C}$ , π.χ. $K=\mathbb{Q}$ , και $f(x)$ ένα πολυώνυμο με συντελεστές από το το $K$ , δηλάδη $f(x)\;\in\;K[x]$ . Από το Θεμελειώδες Θεώρημα της Άλγεβρας, το $f(x)$ αναλύεται σε γινόμενο γραμμικών παραγόντων στο $\mathbb{C}[x]$ , δηλαδή όλες οι ρίζες του $f(x)$ ανήκουν στο $\mathbb{C}$ . Έστω

f(x)=(x-\alpha_{1})(x-\alpha_{2})\cdots(x-\alpha_{n})

Σχηματίζουμε το πιο μικρό σώμα $L$ που περιέχει το $K$ και τις ρίζες του $f(x)$ . Το $L$ λέγεται σώμα αναλύσεως (splitting field) του $f(x)$ . Το $f(x)$ λέγεται επιλύσιμο με ριζικά (solvable by radicals) αν υπάρχει μία ακολουθία σωμάτων

K=K_{0}\subseteq K_{1}\subseteq...\subseteq K_{v}\text{ και }L\subset K_{v}

τέτοια ώστε

K_{1}=K_{0}(\sqrt[n_{1}]{\beta_{1}}),K_{2}=K_{1}(\sqrt[n_{2}]{\beta_{2}}),...,% K_{v}=K_{v-1}(\sqrt[n_{v}]{\beta_{v}}),

για κάποιους φυσικούς αριθμούς $n_{1},...,n_{v}$ και στοιχεία

\beta_{1}\;\in\;K_{0},\;\beta_{2}\;\in\;K_{1},...,\;\beta_{v}\;\in\;K_{v-1}.

(7.4)

Όταν ένα πολυώνυμο είναι επιλύσιμο με ριζικά, τότε μπορούμε να περιγράψουμε τις ρίζες του με τύπους που δίνονται με εξαγωγή ριζικών, πρόσθεση και διαίρεση των συντελεστών του $f(x)$ . Π.χ. όταν to $f(x)$ είναι δευτέρου βαθμού, τότε έχουμε τους τύπους που δίνουν τις ρίζες του $f(x)$ σε συνάρτηση με τους συντελεστές του $f(x)$ . Ο τρόπος περιγραφής των ριζών ενός πολυωνύμου βαθμού $n$ με ανάλογους τύπους, απασχόλησε τους μαθηματικούς για χιλιετίες. Ο Evatiste Galois(1811-1832) σε ηλικία 20 ετών απέδειξε το επόμενο θεώρημα (βλ. [Λ1], [D-F], [Fra]) η απόδειξη του οποίου ξεφεύγει από τον σκοπό μας.

Θεώρημα (Galois) 7.4.14

Το $f(x)\;\in\;K[x]$ με $K$ υπόσωμα του $\mathbb{C}$ είναι επιλύσιμο με ριζικά αν και μόνον αν η ομάδα $G:=Aut_{K}(L)$ , δηλαδή η ομάδα Galois του $f(x)$ , είναι επιλύσιμη.

Η ονομασία της επιλύσιμης ομάδας προκύπτει από τον ρόλο της στη θεωρία της επιλυσιμότητας των πολυωνύμων. Για τον συμβολισμό $Aut_{K}(L),$ βλ. Παράρτημα Γ’ και άσκηση 6.

Ασκήσεις

1. ’Εστω $G$ μία ομάδα και $\alpha,\beta,\gamma\;\in\;G$ . Να αποδείξετε τις σχέσεις:

i.

$[\alpha\beta,\gamma]=\beta^{-1}[\alpha,\gamma]\beta[\beta,\gamma]$
ii.

$[\alpha^{-1},\beta]=\alpha[\beta,\alpha]\alpha^{-1}$

2. Να αποδείξετε ότι $S_{n}^{\prime}=A_{n}$ , για κάθε $n\;\in\;\mathbb{N}\setminus\{0\}$ .
3. Να αποδείξετε ότι η ομάδα μεταθετών του ευθέως εσωτερικού γινονένου ομάδων είναι το ευθύ εσωτερικό γινόμενο των μεταθετών παραγόντων. Ισχύει το συμπέρασμα αυτό για το ευθύ εξωτερικό γινόμενο ομάδων;
4. Να βρείτε την παράγωγο σειρά της $S_{4}$ .
5. Να αποδείξετε ότι η επέκταση μίας επιλύσιμης ομάδας μέσω επιλύσιμης ομάδας είναι επίσης επιλύσιμη.
6. Να αποδείξετε ότι $Aut_{K}(L)\leq Aut(L).$