Περιεχόμενα - Εισαγωγή στη Θεωρία Ομάδων 3 Ομάδα πηλίκο - Θεωρήματα ισομορφίας 5 Δράση ομάδας

Κεφάλαιο 4Ευθέα γινόμενα ομάδων

Στο Παράδειγμα 1.1.2.11 ορίσαμε το ευθύ εξωτερικό γινόμενο $G_{1}\times G_{2}\times\dots\times G_{n}$ των ομάδων $G_{i},\;1\leq i\leq n.$ Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε λεπτομερέστερα με τα ευθέα γινόμενα ομάδων και θα ορίσουμε επίσης το ευθύ εσωτερικό γινόμενο ομάδων.

4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόμενο ομάδων

Ας θεωρήσουμε δύο ομάδες $G_{1},G_{2}$ και το ευθύ εξωτερικό γινόμενο $G_{1}\times G_{2}$ αυτών. Όπως είδαμε στο Παράδειγμα 1.1.2.11 η $G_{1}\times G_{2}$ είναι ομάδα. Είναι φανερό ότι οι ομάδες $G_{1},G_{2}$ δεν είναι υποομάδες της $G_{1}\times G_{2}$ , αφού δεν είναι υποσύνολά της. Όμως, οι ομάδες $G_{1},G_{2}$ εμφυτεύονται στην $G_{1}\times G_{2}$ , όπως αμέσως θα δούμε. Θεωρούμε τις συναρτήσεις

i_{1}:\;G_{1}\to G_{1}\times G_{2},\;\;\;g_{1}\mapsto(g_{1},e_{2}),

4.1.1

i_{2}:\;G_{2}\to G_{1}\times G_{2},\;\;\;g_{2}\mapsto(e_{1},g_{2}),

4.1.2

όπου με $e_{i}\;\in\;G_{i},\;i=1,2$ , συμβολίζουμε το ουδέτερο στοιχείο της ομάδας $G_{i}$ . Ο αναγνώστης καλείται να αποδείξει ότι οι συναρτήσεις $i_{1},i_{2}$ είναι μονομορφισμοί ομάδων. Επομένως

G_{i}\hookrightarrow G_{1}\times G_{2},\;i=1,2.

Ακόμη ο αναγνώστης καλείται να αποδείξει ότι οι συναρτήσεις

\pi_{i}:\;G_{1}\times G_{2}\to G_{i},\;\;(g_{1},g_{2})\mapsto g_{i},\;i=1,2

4.1.3

είναι επιμορφισμοί ομάδων. Η $\pi_{i}$ λέγεται προβολή (projection) της $G_{1}\times G_{2}$ στην ομάδα $G_{i},\;i=1,2$ . Η επόμενη πρόταση συνδέει τις ομάδες που αναφέρθηκαν παραπάνω με την ομάδα $G_{1}\times G_{2}$ .

Πρόταση 4.1.1

Έστω $G_{1},G_{2}$ δύο ομάδες. Τότε:

i.

$G_{1}\times\{e_{2}\}\unlhd G_{1}\times G_{2}$ και $\{e_{1}\}\times G_{2}\unlhd G_{1}\times G_{2}.$
ii.

$G_{1}\times\{e_{2}\}\cap\{e_{1}\}\times G_{2}=\{(e_{1},e_{2})\}$ ,
iii.

$(e_{1},g_{2})(g_{1},e_{2})=(g_{1},e_{2})(e_{1},g_{2}),$ για $g_{i}\;\in\;G_{i},1\leq i\leq 2,$ και
$(G_{1}\times\{e_{2}\})(\{e_{1}\}\times G_{2})=G_{1}\times G_{2}$ .
iv.

$Ker\pi_{1}=\{e_{1}\}\times G_{2}$ και $Ker\pi_{2}=G_{1}\times\{e_{2}\}$ .
v.

$|G_{1}\times G_{2}|=|G_{1}||G_{2}|$ . Ιδιαίτερα αν μία από τις ομάδες είναι άπειρη, τότε $|G_{1}\times G_{2}|=\infty.$
vi.

$Z(G_{1}\times G_{2})=Z(G_{1})\times Z(G_{2}).$

Απόδειξη:

i.

Έστω $(x_{1},x_{2})\;\in\;G_{1}\times G_{2}$ και $g_{1}\;\in\;G_{1},$ τότε

$(x_{1},x_{2})(g_{1},e_{2})(x_{1},x_{2})^{-1}=(x_{1},x_{2})(g_{1},e_{2})(x_{1}^% {-1},x_{2}^{-1})=$

$(x_{1}g_{1}x_{1}^{-1},x_{2}e_{2}x_{2}^{-1})=(x_{1}g_{1}x_{1}^{-1},e_{2})\;\in% \;G_{1}\times\{e_{2}\}.$

Άρα

$G_{1}\times\{e_{2}\}\unlhd G_{1}\times G_{2}.$

Όμοια αποδεικνύεται ότι

$\{e_{1}\}\times G_{2}\unlhd G_{1}\times G_{2}.$
ii.

Έστω

$(g_{1},g_{2})\;\in\;\;\left(G_{1}\times\{e_{2}\}\right)\cap\left(\{e_{1}\}% \times G_{2}\right).$

τότε

$(g_{1},g_{2})\;\in\;G_{1}\times\{e_{2}\}\Rightarrow g_{2}=e_{2}$

και

$(g_{1},g_{2})\;\in\;\{e_{1}\}\times G_{2}\Rightarrow g_{1}=e_{1}.$

Οι σχέσεις αυτές αποδεικνύουν το ii).
iii.

Το πρώτο σκέλος είναι φανερό, επίσης είναι φανερό ότι

$\left(G_{1}\times\{e_{2}\}\right)\left(\{e_{1}\}\times G_{2}\right)\subseteq G% _{1}\times G_{2}$

ως γινόμενο υποομάδων της $G_{1}\times G_{2}.$ Έστω τώρα

$(g_{1},g_{2})\;\in\;G_{1}\times G_{2}\Rightarrow(g_{1},g_{2})=(g_{1},e_{2})(e_% {1},g_{2})\;\in\;\left(G_{1}\times\{e_{2}\}\right)\left(\{e_{1}\}\times G_{2}\right)$

Άρα

$G_{1}\times G_{2}\subseteq\left(G_{1}\times\{e_{2}\}\right)\left(\{e_{1}\}% \times G_{2}\right).$

Επομένως

$G_{1}\times G_{2}=\left(G_{1}\times\{e_{2}\}\right)\left(\{e_{1}\}\times G_{2}% \right).$
iv.

$Ker\pi_{1}=\{(g_{1},g_{2})\;\in\;G_{1}\times G_{2}:g_{1}=e_{1}\}=\{e_{1}\}% \times G_{2}$ και όμοια αποδεικνύεται το δεύτερο σκέλος.
v.

Προκύπτει αμέσως από τις ιδιότητες του καρτεσιανού γινομένου.
vi.

Έστω $(x,y)\;\in\;Z(G_{1}\times G_{2})$ , για $x\;\in\;G_{1}$ και $y\;\in\;G_{2},$ και $(g_{1},g_{2})$ τυχαίο στοιχείο της $G_{1}\times G_{2}.$ Τότε από τον ορισμό του κέντρου ομάδας έχουμε

$(x,y)(g_{1},g_{2})=(g_{1},g_{2})(x,y)\Leftrightarrow$

$(xg_{1},yg_{2})=(g_{1}x,g_{2}y)\Leftrightarrow$

$xg_{1}=g_{1}x\text{ και }yg_{2}=g_{2}y\Leftrightarrow$

$x\;\in\;Z(G_{1})\text{ και }y\;\in\;Z(G_{2}).$

Άρα

$(x,y)\;\in\;Z(G_{1}\times G_{2})\Leftrightarrow x\;\in\;Z(G_{1})\text{ και }y% \;\in\;Z(G_{2})$

δηλ.

$Z(G_{1}\times G_{2})=Z(G_{1})\times Z(G_{2}).\;\blacksquare$

Παραδείγματα 4.1.2

1. Θεωρούμε τις προσθετικές ομάδες $\mathbb{R}$ και $\mathbb{C}.$ Το $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ είναι επίσης μία προσθετική ομάδα. Θα αποδείξουμε ότι

\mathbb{C}\cong\mathbb{R}\times\mathbb{R}

ως προσθετικές ομάδες. Πράγματι, θεωρούμε την αντιστοιχία

f:\mathbb{C}\to\mathbb{R}\times\mathbb{R},\;\alpha+\beta i\mapsto(\alpha,\beta).

Από τον ορισμό του συνόλου $\mathbb{C}$ έχουμε ότι, για $\alpha,\alpha^{\prime},\beta,\beta^{\prime}\;\in\;\mathbb{R},$

\alpha+\beta i=\alpha^{\prime}=\beta^{\prime}i\Leftrightarrow\alpha=\alpha^{% \prime}\text{ και }\beta=\beta^{\prime}\Leftrightarrow(\alpha,\beta)=(\alpha^{% \prime},\beta^{\prime}).

Άρα η $f$ είναι αμφιμονότιμη συνάρτηση. Ακόμη η $f$ είναι επί, αφού αν $(\alpha,\beta)\;\in\;\mathbb{R}\times\mathbb{R},$ τότε υπάρχει το στοιχείο $\alpha+\beta i\;\in\;\mathbb{C}$ έτσι ώστε $f(\alpha+\beta i)=(\alpha,\beta)$ . Τέλος η $f$ διατηρεί την πρόσθεση, αφού για $\alpha,\alpha^{\prime},\beta,\beta^{\prime}\;\in\;\mathbb{R},$

f\big[(\alpha+\beta i)+(\alpha^{\prime}+\beta^{\prime}i)\big]=f(\alpha+\alpha^% {\prime}+(\beta+\beta^{\prime})i)=

(\alpha+\alpha^{\prime},\beta+\beta^{\prime})=(\alpha,\beta)+(\alpha^{\prime},% \beta^{\prime})=f(\alpha+\beta i)+f(\alpha^{\prime}+\beta^{\prime}i).

Αποδείχθηκε επομένως ότι η $f$ είναι ισομορφισμός προσθετικών ομάδων.

2. Έστω $\mathbb{R}_{A}=\{|\alpha|:\alpha\;\in\;\mathbb{R}\}$ και $\mathbb{R}^{*}_{A}:=\mathbb{R}_{A}\backslash\{0\}.$ Είναι εύκολο να διαπιστώσουμε ότι η $\mathbb{R}^{*}_{A}$ είναι μία πολλαπλασιαστική ομάδα με πράξη τον συνήθη πολλαπλασιασμό των πραγματικών αριθμών. Θεωρούμε την πολλαπλασιαστική ομάδα $\mathbb{R^{*}}.$ Τότε η αντιστοιχία

f:\mathbb{R}^{*}\to\mathbb{R}^{*}_{A}\times\{1,-1\},\;\;\alpha\mapsto\big(|% \alpha|,\text{ πρόσημο του }\alpha\big)

είναι ισομορφισμός πολλαπλασιατικών ομάδων. Ο αναγνώστης καλείται να δώσει τις λεπτομέρειες των αποδείξεων.

3. Θα αποδείξουμε ότι ακόμη και αν οι Κ,Η είναι ισόμορφες ομάδες και $G=K\times H,$ τότε υπάρχουν κανονικές υποομάδες της $G$ που δεν είναι χαρακτηριστικές (βλ. άσκηση 3.2.17).

Απόδειξη: Έστω $f:K\to H$ ένας ισομορφισμός της Κ επί της Η και $G=K\times H$ . Είναι εύκολο να δούμε ότι η

F:K\times H\to K\times H,\;\;\;(k,h)\mapsto(f^{-1}(h),f^{-1}(k))

είναι συνάρτηση. Αν $(k_{1},h_{1}),(k_{2},h_{2})\;\in\;K\times H,$ τότε

F\big[(k_{1},h_{1})(k_{2},h_{2})\big]=F\left(k_{1}k_{2},h_{1}h_{2}\right)=\Big% (f^{-1}(h_{1}h_{2}),f^{-1}(k_{1}k_{2})\Big)=

\Big(f^{-1}(h_{1})f^{-1}(h_{2}),f^{-1}(k_{1})f^{-1}(k_{2})\Big)=

\left(f^{-1}(h_{1}),f^{-1}(k_{1})\right)\left(f^{-1}(h_{2}),f^{-1}(k_{2})% \right)=F(k_{1},h_{1})F(k_{2},h_{2}),

δηλ. η $F$ είναι ομομορφισμός ομάδων. Η $F$ είναι επί. Πράγματι, έστω $(k_{1},h_{1})\;\in\;K\times H$ με $k_{1}\;\in\;K$ και $h_{1}\;\in\;H$ . Τότε υπάρχει $h^{\prime}\;\in\;H$ ώστε $f^{-1}(h^{\prime})=k_{1}$ γιατί η $f^{-1}$ είναι επί συνάρτηση ως ισομορφισμός. Επίσης υπάρχει $k^{\prime}\;\in\;K$ ώστε $f^{-1}(k^{\prime})=h_{1},$ γιατί η $f$ είναι επί συνάρτηση. Άρα

F(k^{\prime},h^{\prime})=\Big(f^{-1}(h^{\prime}),f^{-1}(k^{\prime})=(k_{1},h_{% 1})\Big)

δηλ. η $F$ είναι επί συνάρτηση. Τέλος

KerF=\Big\{(k,h)\;\in\;K\times H:\Big(f^{-1}(h),f^{-1}(k)\Big)=(e_{K},e_{H})% \Big\},

όπου $e_{K}$ (αντίστοιχα $e_{H}$ ) είναι το ουδέτερο στοιχείο της Κ (αντίστοιχα της Η). Όμως, η $f$ είναι ισομορφισμός, άρα $KerF=\{(e_{K},e_{H})\}$ . Αποδείχθηκε ότι η $F$ είναι αυτομορφισμός της $K\times H$ . Παρατηρούμε ότι

F\Big(K\times\{e_{H}\}\Big)=f^{-1}\{e_{H}\}\times f^{-1}(K)=\{e_{K}\}\times H,

δηλ. ενώ $K\times\{e_{H}\}\unlhd K\times H$ (βλ. Πρόταση 4.1.1(i)) ισχύει ότι $F\left(K\times\{e_{H}\}\right)\subseteq K\times\{e_{H}\}.$ Επομένως η $K\times\{e_{H}\}$ δεν είναι χαρακτηριστική ομάδα της $G$ .

4. Ας θεωρήσουμε την ομάδα $\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}.$ Είναι μία προσθετική ομάδα τεσσάρων στοιχείων και

\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}=\Big\{(\overline{0},\overline{0}),(% \overline{1},\overline{0}),(\overline{0},\overline{1}),(\overline{1},\overline% {1})\Big\}.

Παρατηρούμε ότι κάθε στοιχείο της $\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}$ έχει τάξη 2. Επομένως η $\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}$ δεν είναι κυκλική. Αυτό σημαίνει από την ταξινόμηση των ομάδων τάξης 4, ότι είναι ισόμορφη με την ομάδα του Klein (βλ. Παράδειγμα 3.1.13.1).

Με αφορμή αυτό το παράδειγμα είναι φυσικό να αναρωτηθούμε: Αν το ευθύ εξωτερικό γινόμενο (ή άθροισμα) δύο κυκλικών ομάδων είναι κυκλική ομάδα. Βέβαια αυτό δεν συμβαίνει πάντα, αφού η ομάδα $\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}$ δεν είναι κυκλική. Την απάντηση δίνει η επόμενη πρόταση.

Πρόταση 4.1.3

Το ευθύ εξωτερικό γινόμενο $\langle\alpha\rangle\times\langle\beta\rangle$ των κυκλικών ομάδων $\langle\alpha\;|\;\alpha^{n}=e\rangle$ και $\langle\beta\;|\;\beta^{m}=e\rangle,$ όπου $n>1$ και $m>1$ είναι φυσικοί αριθμοί, είναι κυκλική ομάδα αν και μόνο αν $(n,m)=1.$

Απόδειξη: Θεωρούμε τις κυκλικές ομάδες $\langle\alpha\rangle$ και $\langle\beta\rangle$ , όπως στην Πρόταση 4.1.3. Από το v) της Πρότασης 4.1.1 προκύπτει ότι η ομάδα

\langle\alpha\rangle\times\langle\beta\rangle=\Big\{(\alpha^{k},\beta^{\lambda% }):0\leq k\leq n-1,\;0\leq\lambda\leq m-1\Big\}

έχει τάξη $n m$ . Θα αποδείξουμε, αρχικά, ότι

ord(\alpha,\beta)=nm\Leftrightarrow(n,m)=1.

4.1.4

Έστω, λοιπόν, $ord(\alpha,\beta)=nm.$ Αν $(n,m)=t\neq 1$ , τότε οι $n/t$ και $m/t$ είναι φυσικοί αριθμοί και

(\alpha,\beta)^{nm/t}=\Big((\alpha^{n})^{m/t},(b^{m})^{n/t}\Big)=(e,e),

4.1.5

όπου με $e$ συμβολίζουμε τόσο το ουδέτερο στοιχείο της $\langle\alpha\rangle$ , όσο και της $\langle\beta\rangle$ . Η σχέση, όμως, (4.1.5) είνα αδύνατη λόγω του ορισμού της τάξης στοιχείου και του γεγονότος ότι $\frac{nm}{t}\lneqq nm.$ Άρα αναγκαστικά $t=1$ και $(n,m)=1$ .
Αντίστροφα, έστω ότι $(n,m)=1$ και $ord(\alpha,\beta)=s.$ Τότε

(\alpha,\beta)^{s}=(e,e)\;\Rightarrow\;(\alpha^{s},\beta^{s})=(e,e)\;% \Rightarrow\;\alpha^{s}=e\;\text{ και }\;\beta^{s}=e\;\Rightarrow

n|s\;\text{ και }\;m|s\;\Rightarrow\;nm|s,\;\text{ αφού }\;(n,m)=1.

4.1.6

Ακόμη παρατηρούμε ότι

(\alpha,\beta)^{nm}=(\alpha^{nm},\beta^{nm})=\Big((\alpha^{n})^{m},(\beta^{m})% ^{n}\Big)=(e,e)\;\Rightarrow\;s|nm.

4.1.7

Από τις σχέσεις (4.1.6) και (4.1.7) προκύπτει ότι

ord(\alpha,\beta)=nm.

Έτσι ολοκληρώθηκε η απόδειξη της σχέσης (4.1.4). Από την ισχύ της σχέσης (4.1.4) προκύπτει ότι

\langle(\alpha,\beta)\rangle=\{(\alpha^{k},\beta^{\lambda}):\;0\leq k\leq n-1,% 0\leq\lambda\leq m-1\}.

Άρα $\langle(\alpha,\beta)\rangle=\langle\alpha\rangle\times\langle\beta\rangle,$ δηλ. η $\langle\alpha\rangle\times\langle\beta\rangle$ είναι κυκλική. Ας παρατηρήσουμε στο σημείο αυτό ότι η σχέση (4.1.4) προκύπτει και από την Πρόταση 2.2.7, αφού παρατηρούμε ότι

(\alpha,\beta)=(\alpha,e)(e,\beta)=(e,\beta)(\alpha,e)

και

ord(\alpha,e)=ord(\alpha),\;ord(e,\beta)=ord(\beta).\blacksquare

Πρόταση 4.1.4

Έστω $n>1$ και $m>1$ φυσικοί αριθμοί. Η προσθετική ομάδα $\mathbb{Z}_{n}\times\mathbb{Z}_{m}$ είναι κυκλική αν και μόνο αν $(n,m)=1.$ Σε αυτήν την περίπτωση

\mathbb{Z}_{n}\times\mathbb{Z}_{m}\cong\mathbb{Z}_{n\cdot m}.

Απόδειξη: Όταν $(n,m)=1$ , η ομάδα $\mathbb{Z}_{n}\times\mathbb{Z}_{m}$ είναι κυκλική τάξης $n m,$ άρα $\mathbb{Z}_{n}\times\mathbb{Z}_{m}\cong\mathbb{Z}_{n\cdot m}.\blacksquare$

Θεωρούμε, τώρα, το ευθύ εξωτερικό γινόμενο $G:=G_{1}\times G_{2}\times\dots\times G_{n}$ , των ομάδων $G_{i},\;1\leq i\leq n,$ για ένα φυσικό αριθμό $n\geq 2.$ Η επόμενη πρόταση γενικεύει την Πρόταση 4.1.1.

Πρόταση 4.1.5

Έστω $n\geq 2$ ένας φυσικός αριθμός, $G_{i}.\;1\leq i\leq n,$ ομάδες και $G:=G_{1}\times G_{2}\times\dots\times G_{n}$ το ευθύ εξωτερικό γινόμενο αυτών των ομάδων. Συμβολίζουμε με $e_{i}$ το ουδέτερο στοιχείο της ομάδας $G_{i}.\;1\leq i\leq n.$ Τότε:

i.

$G_{i}\cong\{e_{i}\}\times\dots\times\{e_{i-1}\}\times G_{i}\times\{e_{i}+1\}% \times\dots\times\{e_{n}\}\unlhd G,\;1\leq i\leq n.$
ii.

$G\big/\Big(\{e_{i}\}\times\dots\times\{e_{i-1}\}\times G_{i}\times\{e_{i}+1\}% \times\dots\times\{e_{n}\}\Big)\cong G_{1}\times G_{2}\times\dots\times G_{i-1% }\times\{e_{i}\}\times G_{i+1}\times\dots\times G_{n},\;1\leq i\leq n.$
iii.

Οι συναρτήσεις

$\pi_{i}:G\to G_{i},\;\;(g_{1},g_{2},\dots,g_{n})\mapsto g_{i}$

είναι επιμορφισμοί ομάδων με

$Ker\pi_{i}=G_{1}\times G_{2}\times\dots\times G_{i-1}\times\{e_{i}\}\times G_{% i+1}\times\dots\times G_{n},\text{ για }\;1\leq i\leq n.$
iv.

$Z(G)=Z(G_{1})\times Z(G_{2})\times\dots\times Z(G_{n}).$

Η απόδειξη αφήνεται για τον αναγνώστη. $\blacksquare$

Θα γενικεύσουμε αμέσως το ευθύ εξωτερικό γινόμενο πεπερασμένου πλήθους ομάδων για μία οικογένεια ομάδων.

Ορισμός 4.1.6

Έστω $G_{i},\;i\;\in\;I_{i},$ μία οικογένεια ομάδων. Το ευθύ εξωτερικό γινόμενο των ομάδων $G_{i},\;i\;\in\;I_{i}$ είναι το σύνολο

\coprod_{i\;\in\;I}G_{i}:=\{(\dots,g_{i},\dots):g_{i}\;\in\;G_{i},\;i\;\in\;I_% {i}\},

όπου κάθε στοιχείο στη θέση $i$ είναι στοιχείο της ομάδας $G_{i},\;i\;\in\;I_{i},$ με πράξη

(\dots,g_{i},\dots)(\dots,g^{\prime}_{i},\dots)=(\dots,g_{i}g^{\prime}_{i},% \dots).

Ο αναγνώστης καλείται να αποδείξει ότι πράγματι η $\coprod_{i\;\in\;I_{i}}G_{i}$ είναι ομάδα με την αναφερόμενη πράξη.

Παραδείγματα 4.1.7

1. Έστω $G=\mathbb{Z}_{p}\times\mathbb{Z}_{p}\times\dots\times\mathbb{Z}_{p}\times\dots$ το ευθύ εξωτερικό γινόμενο ομάδων. Κάθε μη μηδενικό στοιχείο της $G$ έχει τάξη $p$ . Το ίδιο συμβαίνει για την ομάδα $\mathbb{Z}_{p}\times\dots\times\mathbb{Z}_{p}$ με πεπερασμένου πλήθους παράγοντες.

2. Στη ομάδα $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}_{p}$ υπάρχουν στοιχεία άπειρης τάξης, όπως τα $(s,\overline{\alpha})$ για $o\neq s\;\in\;\mathbb{Z}$ και $\overline{\alpha}\;\in\;\mathbb{Z}_{p},$ και στοιχεία πεπερασμένης τάξης, όπως τα $(0,\overline{\alpha})$ για $\overline{\alpha}\;\in\;\mathbb{Z}_{p}.$

3. Η προσθετική ομάδα ενός $\mathbb{Z}_{p}$ -διανυσματικού χώρου διάστασης $n<\infty$ όπου το $\mathbb{Z}_{p}$ θεωρείται ως σώμα είναι ισόμορφη με την ομάδα $\mathbb{Z}_{p}\times\dots\times\mathbb{Z}_{p}$ με $n$ πλήθους παράγοντες.

Ασκήσεις

1. Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις των σχέσεων (4.1.1) και (4.1.2) είναι μονομορφισμοί ομάδων, ενώ οι συναρτήσεις της (4.1.3) είναι επιμορφισμοί ομάδων.
2. Να αποδείξετε ότι για τις προσθετικές ομάδες $\mathbb{C}$ και $\mathbb{R}$ ισχύει $\mathbb{C}/\mathbb{R}\cong\mathbb{R},$ βλ. Παράδειγμα 4.1.2.1.
3. Να αποδείξετε ότι η αντιστοιχία $f$ στο Παράδειγμα 4.1.2.2 είναι ισομορφισμός ομάδων.
4. Να αποδείξετε ότι για τις πολλαπλασιαστικές ομάδες $\mathbb{R}^{*},\mathbb{R}^{*}_{A},\{1,-1\}$ του Παραδείγματος 4.1.2.2 ισχύει ότι

\mathbb{R}^{*}/\mathbb{R}^{*}_{A}\cong\{1,-1\}.

Επίσης

\mathbb{Q}^{*}/\mathbb{Q}^{*}_{A}\cong\mathbb{R}^{*}/\mathbb{R}^{*}_{A},

όπου η $\mathbb{Q}^{*}_{A}$ ορίζεται ανάλογα με την $\mathbb{R}^{*}_{A}.$
5. Έστω $G_{1},G_{2}$ δύο ομάδες και $H_{i}\unlhd G_{i},\;i=1,2.$ Να αποδείξετε ότι

(G_{1}\times G_{2})/(H_{1},H_{2})\cong(G_{1}/H_{1})\times(G_{2}/H_{2}).

6. Έστω $H=\{(\alpha,\alpha):\alpha\;\in\;\mathbb{Z}\}.$ Να αποδείξετε ότι $H\unlhd\mathbb{Z}\times\mathbb{Z},$ όπου με $\mathbb{Z}$ θεωρούμε την προσθετική ομάδα των ακεραίων. Είναι η $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ κυκλική; Είναι η ομάδα Η κυκλική υποομάδα της $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ ;
7. Να αποδείξετε ότι αν $(g_{1},\dots,g_{n})\;\in\;G_{1}\times\dots\times G_{n},$ όπου $G_{i},\;1\leq i\leq n,$ είναι αυθαίρετες ομάδες, τότε $ord(g_{1},\dots,g_{n})<\infty$ αν και μόνον αν $ord(g_{i})<\infty,\;1\leq i\leq n.$
8. Να αποδείξετε την Πρόταση 4.1.5.

4.2 Ευθέα εσωτερικά γινόμενα ομάδων

Στο εδάφιο αυτό θα ασχοληθούμε με το πρόβλημα της ανάλυσης μίας ομάδας σε γινόμενο υποομάδων της. Από την αριθμητική γνωρίζουμε ότι είναι ευκολότερο να πολλαπλασιάζουμε ακέραιους αριθμούς από το να αναλύσουμε έναν ακέραιο αριθμό σε γίνομενο παραγόντων. Έτσι συμβαίνει και με τις ομάδες. Θα διαπιστώσουμε ότι η ανάλυση ομάδων σε ευθύ γινόμενο υποομάδων της είναι πολύ πιο δύσκολο πρόβλημα από το να υπολογίζουμε το ευθύ εξωτερικό γινόμενο υποομάδων της, όπως αυτό έγινε στο εδάφιο 4.1. Ας ξεκινήσουμε με τον βασικό ορισμό.

Ορισμός 4.2.1

Έστω $G$ μία ομάδα και Η,Κ δύο υποοομάδες της. Η ομάδα $G$ λέμε ότι είναι το ευθύ εσωτερικό γινόμενο (direct internal product) των υποομάδων της Η και Κ και συμβολίζουμε $G=H\odot K$ αν

i.

κάθε στοιχείο $g\;\in\;G$ έχει μοναδική ανάλυση σε γινόμενο $g=hk,\;h\;\in\;H,\;k\;\in\;K.$
ii.

Τα στοιχεία της ομάδας Η αντιμεταθέτονται με τα στοιχεία της ομάδας Κ.

Αν η ομάδα $G$ είναι προσθετική τότε συμβολίζουμε την ομάδα $G$ ως ευθύ εσωτερικό άθροισμα των Η και Κ με $G=H\oplus K.$

Παραδείγματα 4.2.2

1. Ας θεωρήσουμε δύο ομάδες Η και Κ και την ομάδα $G=H\times K.$ Όπως είδαμε στην Πρόταση 4.1.1 iii. τα στοιχεία της $H\times\{e\}$ αντιμεταθέτονται με τα στοιχεία της $\{e\}\times K.$ Ακόμη κάθε στοιχείο $(h,k)\;\in\;G$ αναλύεται σε γινόμενο

(h,k)=(h,e)(e,k)

ενός στοιχείου $(h,e)\;\in\;H\times\{e\}$ και ενός στοιχείου $\{e\}\times K$ και συτή η ανάλυση είναι μοναδική, όπως εύκολα διαπιστώνεται. Συμπεραίνουμε επομένως ότι

G=\big(H\times\{e\}\big)\odot\big(\{e\}\times K\big).

2. Έστω $V$ ένας Κ-διανυσματικός χώρος και έστω ότι αναλύεται σε ευθύ άθροισμα $V=V_{1}\oplus V_{2}$ δύο υποχώρων του $V_{1},V_{2}$ . Είναι φανερό τότε ότι η προσθετική αβελιανή ομάδα $V$ είναι το ευθύ εσωτερικό άθροισμα των υποομάδων της $V_{1}$ και $V_{2}$ .

Υπάρχουν επομένως τα ευθέα εσωτερικά γινόμενα (ή αθροίσματα) ομάδων. Από τον Ορισμό 4.2.1 δεν προκύπτει ότι αυτόματα μία ομάδα είναι το ευθύ εσωτερικό γινόμενο δύο υποομάδων της, αν εξαιρέσουμε βέβαια την τετριμμένη περίπτωση που $G=\{e\}\odot G.$ Το επόμενο κριτήριο καθιστά ευκολότερο τον τρόπο εύρεσης ευθέων παραγόντων μίας ομάδας, αν βέβαια υπάρχουν.

Θεώρημα 4.2.3

Μία ομάδα $G$ είναι το ευθύ εσωτερικό γινόμενο των υποομάδων Η και Κ αν και μόνον αν

α)

$G=HK$ ,
β)

$H\unlhd G$ και $K\unlhd G$ ,
γ)

$H\cap K=\{e\}.$

Απόδειξη: Έστω ότι $G=H\odot K$ για δύο υποομάδες Η και Κ της ομάδας $G$ . Από τον Ορισμό 4.2.1 προκύπτει ότι

hk=kh,\;\text{ για όλα τα }h\;\in\;H\text{ και }k\;\in\;K.

Από τη σχέση αυτή προκύπτει ότι $HK=KH$ και επομένως το γινόμενο $HK\leq G$ (βλ Πρόταση 3.1.2). Όμως από το i) του Ορισμού 4.2.1 έπεται ότι κάθε στοιχείο $g\;\in\;G$ ανήκει στο γινόμενο $H K$ , δηλ. $G\subseteq HK,$ και συνεπώς $G=HK.$ Έτσι αποδείχθηκε το α) του Θεωρήματος. Για να αποδείξουμε το β), αρκεί να αποδείξουμε ότι

ghg^{-1}\;\in\;H\text{ και }gkg^{-1}\;\in\;K,

για όλα τα $g\;\in\;G,h\;\in\;H$ και $k\;\in\;K$ . Έστω, λοιπόν, $g\;\in\;G,h\;\in\;H$ και $k\;\in\;K.$ Από το i) του Ορισμού 4.2.1 έπεται ότι υπάρχουν $h_{1}\;\in\;H$ και $k_{1}\;\in\;K$ ώστε $g=h_{1}k_{1}.$ Όμως από το ii) του Ορισμού 4.2.1 προκύπτει ότι

ghg^{-1}=h_{1}k_{1}hk_{1}^{-1}h_{1}^{-1}=h_{1}hh_{1}^{-1}k_{1}k_{1}^{-1}=h_{1}% hh_{1}^{-1}\;\in\;H,

για όλα τα $g\;\in\;G.$ Άρα $H\unlhd G.$ Όμοια $K\unlhd G$ και αποδείχθηκε το β). Μένει να αποδείξουμε το γ). ’Εστω $x\;\in\;H\cap K.$ Το $x$ ως στοιχείο της $G$ έχει τις αναλύσεις $x=ex=xe$ σε γινόμενο ενός στοιχείου της Η και ενός στοιχείου της Κ. Όμως σύμφωνα με το i) του Ορισμού 4.2.1 η ανάλυση αυτή είναι μοναδική, άρα $x=e.$ Επομένως $H\cap K=\{e\}$ και αποδείχθηκε και το γ).
Αντίστροφα, τώρα, υποθέτουμε ότι ισχύουν τα α), β) και γ) του Θεωρήματος και θα αποδείξουμε τις απαιτήσεις i) και ii) του Ορισμού 4.2.1. Από το α) έπεται ότι για τυχαίο $g\;\in\;G$ υπάρχουν δύο στοιχεία $h\;\in\;H$ και $k\;\in\;K$ ώστε $g=hk.$ Ας υποθέσουμε ότι η ανάλυση αυτή του $g$ δεν είναι μοναδική, δηλ. υπάρχουν τα στοιχεία $h_{1}\;\in\;H$ και $k_{1}\;\in\;K$ έτσι ώστε $g=h_{1}k_{1}.$ Τότε, όμως,

hk=h_{1}k_{1}\;\Rightarrow\;h_{1}^{-1}h=k_{1}k^{-1}\;\in\;H\cap K=\{e\},

λόγω του γ). Άρα $h=h_{1}$ και $k=k_{1},$ δηλ. η ανάλυση του τυχαίου στοιχείου $g\;\in\;G$ σε γινόμενο ενός στοιχείου της Η και ενός στοιχείου της Κ είναι μοναδική και αποδείχθηκε το i). Για να αποδείξουμε το ii) θεωρούμε το στοιχείο $x=hkh^{-1}k^{-1}$ , για δύο τυχαία στοιχεία $h\;\in\;H$ και $k\;\in\;K.$ Παρατηρούμε ότι

x=\big(hkh^{-1}\big)k^{-1}\;\in\;K,

γιατί αφού $K\unlhd G$ έπεται ότι $hkh^{-1}\;\in\;K.$ Επίσης όμοια, αφού $H\unlhd G,$

x=h\big(kh^{-1}k^{-1}\big)\;\in\;H.

Άρα $x\;\in\;K\cap H=\{e\},$ λόγω του γ) και συνεπώς $hk=kh$ , για κάθε $h\;\in\;H$ και $k\;\in\;K,$ γεγονός που αποδεικνύει το ii). Έτσι αποδείχθηκε το Θεώρημα. $\blacksquare$

Παραδείγματα 4.2.4

1. Ας θεωρήσουμε την ομάδα $S_{3}$ και τις υποομάδες της $\big\langle(12)\big\rangle$ και $\big\langle(123)\big\rangle.$ Παρατηρούμε ότι

i.

$S=\big\langle(12)\big\rangle\big\langle(123)\big\rangle$ ,
ii.

$\big\langle(12)\big\rangle\cap\big\langle(123)\big\rangle=\{e\}.$

Όμως η $S_{3}$ δεν είναι το ευθύ εσωτερικό γινόμενο των υποομάδων της $\big\langle(12)\big\rangle$ και $\big\langle(123)\big\rangle,$ αφού $\big\langle(12)\big\rangle\ntriangleleft S_{3}$ , βλ. Παράδειγμα 3.2.7.1, δηλαδή δεν ορίζεται το ευθύ εσωτερικό γινομενο των υποομάδων $\big\langle(12)\big\rangle$ και $\big\langle(123)\big\rangle$ της $S_{3}.$

2. Θεωρούμε την ομάδα του Klein $K=\langle\alpha,\beta\;|\;\alpha^{2}=e=\beta^{2}=(\alpha\beta)^{2}\rangle=\{e,% \alpha,\beta,\alpha\beta\},$ (βλ. Παράδειγμα 3.1.13.1). Παρατηρούμε ότι $\langle\alpha\rangle\lhd K,\;\langle\beta\rangle\lhd K,$ αφού η Κ είναι αβελιανή και $\langle\alpha\rangle\cap\langle\beta\rangle=\{e\}.$ Ακόμη $K=\langle\alpha\rangle\langle\beta\rangle.$ Επομένως $K=\langle\alpha\rangle\odot\langle\beta\rangle.$

Όπως προκύπτει από τους Ορισμούς 4.1.1 και 4.2.1 μία ουσιώδης διαφορά του εξωτερικού και του εσωτερικού γινομένου δύο ομάδων είναι ότι το εξωτερικό δεν περιέχει τους παράγοντές του, ενώ το εσωτερικό γινόμενο δύο ομάδων, αν αυτό υπάρχει, περιέχει τους παράγοντές του. Παρά τις διαφορές τους θα συγκρίνουμε αλγεβρικά τα δύο αυτά γινόμενα με το επόμενο συμπέρασμα.

Πρόταση 4.2.5

Έστω $G$ μία ομάδα και Η,Κ υποομάδες της $G$ τέτοιες ώστε να ισχύει $G=H\odot K.$ Τότε

H\times K\cong H\odot K.

Απόδειξη: Η αντιστοιχία

f:H\times K\to H\odot K,\;\;\;(h,k)\mapsto hk,

όπου $h\;\in\;H$ και $k\;\in\;K,$ είναι ισομορφισμός ομάδων. Οι λεπτομέρειες αφήνονται για τον αναγνώστη. $\blacksquare$

Παραδείγματα 4.2.6

1. Θα αποδείξουμε ότι

\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{5}\cong\mathbb{Z}_{15}=\langle\overline{5}% \rangle\oplus\langle\overline{3}\rangle.

Από την Πρόταση 4.1.3 η $\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{5}$ είναι κυκλική ομάδα ως ευθύ εξωτερικό άθροισμα των κυκλικών ομάδων $\mathbb{Z}_{3}$ και $\mathbb{Z}_{5}$ με τάξη αντίστοιχα 3 και 5 και $(3,5)=1.$ Άρα η $\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{5}$ είναι κυκλική τάξης 15 (Πρόταση 4.1.1,v)) και συνεπώς ισόμορφη με την ομάδα $\mathbb{Z}_{15}$ (Θεώρημα 2.3.11). Από την Πρόταση 4.2.5 η ομάδα $\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{5}$ είναι ισόμορφη με το ευθύ εσωτερικό άθροισμα δύο υποομάδων της $\mathbb{Z}_{15}$ τάξης αντίστοιχα 3 και 5, αν βέβαια υπάρχουν τέτοιες υποομάδες. Όμως $3|15$ και αφού η $\mathbb{Z}_{15}$ είναι κυκλική υπάρχει μοναδική υποομάδα της $\mathbb{Z}_{15}$ τάξης 3 είναι αυτή που παράγεται από το στοιχείο $\overline{5}$ . Πράγματι $ord(\overline{5})=\frac{15}{(5,15)}=\frac{15}{5}=3.$ Όμοια η ομάδα $\langle\overline{3}\rangle$ είναι η μοναδική υποομάδα της $\mathbb{Z}_{15}$ τάξης 5 (βλ. Πρόταση 2.2.5 και Θεώρημα 3.1.12). Οι υποομάδες $\langle\overline{5}\rangle$ και $\langle\overline{3}\rangle$ της $\mathbb{Z}_{15}$ ικανοποιούν τις απαιτήσεις του Θεωρήματος 4.2.3, άρα

\mathbb{Z}_{15}=\langle\overline{5}\rangle\oplus\langle\overline{3}\rangle.

Θα γενικεύσουμε, τώρα, την έννοια του ευθέως εσωτερικού γινομένου καταρχήν για πεπερασμένου πλήθους προσθετέους.

Ορισμός 4.2.7

Μία ομάδα $G$ είναι το ευθύ εσωτερικό γινόμενο των υποομάδων της $G_{i},\;1\leq i\leq n,$ όπου $n\geq 2$ είναι φυσικός αριθμός και συμβολίζεται $G=G_{1}\odot\dots\odot G_{n},$ αν ισχύουν τα επόμενα:

i.

κάθε στοιχείο $g\;\in\;G$ έχει μοναδική ανάλυση σε γινόμενο $g=g_{1}g_{2}\dots g_{n},$ για $g_{i}\;\in\;G_{i},\;1\leq i\leq n.$
ii.

τα στοιχεία της υποομάδας $G_{i}$ αντιμεταθέτονται με τα στοιχεία της υποομάδας $G_{j}$ για $1\leq i,j\leq n$ και $i\neq j$ .

Παρατηρούμε ότι ο ορισμός αυτός είναι ανάλογος του ορισμού του ευθέος εσωτερικού αθροίσματος υποχώρων ενός διανυσματικού χώρου. Ακολουθεί ένα κριτήριο αντίστοιχο του Θεωρήματος 4.2.3.

Θεώρημα 4.2.8

Έστω $n\geq 2$ ένας φυσικός αριθμός. Μία ομάδα $G$ είναι το ευθύ εσωτερικό γινόμενο των υποομάδων της $G_{i},\;1\leq i\leq n$ , αν και μόνον αν ισχύουν τα επόμενα:

α)

$G=G_{1}G_{2}\dots G_{n},$
β)

$G_{i}\unlhd G,\;1\leq i\leq n,$
γ)

$G_{i}\cap(G_{1}\dots G_{i-1}G_{i+1}\dots G_{n})=\{e\}.$

Η απόδειξη είναι ανάλογη με αυτήν του Θεωρήματος 4.2.3 και αφήνεται ως άσκηση για τον αναγνώστη. $\blacksquare$

Παραδείγματα 4.2.9

1. Θεωρούμε την προσθετική ομάδα $M_{3}(\mathbb{Q})$ και τις υποομάδες της

G_{1}=\Bigg\{\begin{bmatrix}\alpha_{11}&0&0\\ \alpha_{21}&0&0\\ \alpha_{31}&0&0\end{bmatrix}:\alpha_{i1}\;\in\;\mathbb{Q},\;1\leq i\leq 3\Bigg\},

G_{2}=\Bigg\{\begin{bmatrix}0&\alpha_{12}&0\\ 0&\alpha_{22}&0\\ 0&\alpha_{32}&0\end{bmatrix}:\alpha_{i2}\;\in\;\mathbb{Q},\;1\leq i\leq 3\Bigg\}

και

G_{3}=\Bigg\{\begin{bmatrix}0&0&\alpha_{13}\\ 0&0&\alpha_{23}\\ 0&0&\alpha_{33}\end{bmatrix}:\alpha_{i3}\;\in\;\mathbb{Q},\;1\leq i\leq 3\Bigg\}.

(Να αποδείξετε ότι $G_{i}\leq M_{3}(\mathbb{Q}),1\leq i\leq 3$ ).

Παρατηρούμε ότι κάθε στοιχείο $(\alpha_{ij})\;\in\;M_{3}(\mathbb{Q})$ αναλύεται ως

(\alpha_{ij})=\begin{bmatrix}\alpha_{11}&0&0\\ \alpha_{21}&0&0\\ \alpha_{31}&0&0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0&\alpha_{12}&0\\ 0&\alpha_{22}&0\\ 0&\alpha_{32}&0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0&0&\alpha_{13}\\ 0&0&\alpha_{23}\\ 0&0&\alpha_{33}\end{bmatrix},

δηλ. άθροισμα στοιχείων των $G_{i},\;1\leq i\leq 3.$ Η ανάλυση είναι μοναδική, όπως προκύπτει αμέσως από την ισότητα πινάκων. Έτσι ισχύει το i) του Ορισμού 4.2.1 για την $M_{3}(\mathbb{Q})$ και τις $G_{1},G_{2},G_{3}.$ Το ii) του Ορισμού 4.2.1 είναι φανερό γιατί η $M_{3}(\mathbb{Q})$ είναι αβελιανή. Άρα

M_{3}(\mathbb{Q})=G_{1}\oplus G_{2}\oplus G_{3}.

2. Έστω $G$ μία πεπερασμένη ομάδα με την ιδιότητα $ord(g)=2$ , για κάθε $e\neq g\;\in\;G.$ Γνωρίζουμε ότι η $G$ είναι αβελιανή, βλ. Παράδειγμα 1.3.3.1, και αυτό συμβαίνει ανεξάρτητα από το αν η $G$ είναι πεπερασμένη. Με την παραπάνω αυτή ιδιότητα θα δείξουμε ότι

G=G_{1}\odot G_{2}\odot\dots\odot G_{n},

όπου $n\geq 1$ και $n\;\in\;\mathbb{N}$ και $G_{i}$ είναι μία κυκλική ομάδα τάξης 2, $1\leq i\leq n.$ Έστω $e\neq g_{1}\;\in\;G.$ Η ομάδα $G_{1}=\langle g_{1}\rangle$ είναι κυκλική τάξης 2. Αν δεν υπάρχει άλλο στοιχείο της $G$ , τότε έχουμε το αποτέλεσμα που θέλουμε. Αν $G_{1}\lneqq G,$ έστω $g_{2}\;\in\;G$ και $g_{2}\notin G_{1},$ τότε $e\neq g_{2}$ και η $G_{2}:=\langle g_{2}\rangle$ είναι μία κυκλική υποομάδα της $G$ τάξης 2. Ακόμη, $G_{1}\cap G_{2}=\{e\}.$ Φυσικά, $G_{1},G_{2}\unlhd G,$ γιατί η $G$ είναι αβελιανή. Άρα ορίζεται το $G_{1}\odot G_{2}$ . Αν δεν υπάρχει άλλο στοιχείο της $G$ , τότε $G=G_{1}\odot G_{2}$ και έχει ολοκληρωθεί η απόδειξη. Αν υπάρχει $g_{3}\;\in\;G$ και $g_{3}\notin G_{1}\odot G_{2}$ τότε για τις ομάδες $G_{1}\odot G_{2}$ και $G_{3}:=\langle g_{3}\rangle$ ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος 4.2.3. Άρα ορίζεται το ευθύ εσωτερικό γινόμενο των $\big(G\odot G_{3}\big)\odot G_{3}.$ Συνεχίζουμε με τον ίδιο τρόπο μέχρις ότου εξαντληθούν τα στοιχεία της $G$ και οδηγούμαστε στο συμπέρασμα που θέλουμε.

Μπορούμε να συγκρίνουμε τα γινόμενα

G_{1}\times G_{2}\times\dots\times G_{n}\;\text{ και }\;G=G_{1}\odot G_{2}% \odot\dots\odot G_{n},

όπου $G_{i}<G,\;1\leq i\leq n,$ εφόσον βέβαια ορίζεται το δεύτερο γινόμενο, όπως αυτό έγινε για δύο παράγοντες στην Πρόταση 4.2.5.

Πρόταση 4.2.10

Έστω $G$ μία ομάδα και $G_{i}<G,i=1,2,\dots,n$ έτσι ώστε $G=G_{1}\odot\dots\odot G_{n},$ για έναν φυσικό αριθμό $n\geq 1.$ Τότε η συνάρτηση

G_{1}\times G_{2}\times\dots\times G_{n}\;\to\;G_{1}\odot G_{2}\odot\dots\odot G% _{n},

(g_{1},g_{2},\dots,g_{n})\mapsto g_{1}g_{2}\dots g_{n}

είναι ισομορφισμός ομάδων.

Θα γενικεύσουμε τώρα τον Ορισμό 4.2.7 για μία οικογένεια υποομάδων μίας ομάδας.

Ορισμός 4.2.11

Έστω Ι ένα μη κενό σύνολο. Μία ομάδα $G$ είναι το ευθύ εσωτερικό γινόμενο των υποομάδων της $G_{i},\;i\;\in\;I$ και συμβολίζουμε

G=\prod_{i\;\in\;I}G_{i},

αν ισχύουν τα επόμενα:

i.

κάθε στοιχείο $g$ έχει μοναδική ανάλυση σε γινόμενο

$g=\prod_{i\;\in\;I}g_{i},$

για $g_{i}\;\in\;G_{i},\;i\;\in\;I$ , όπου $g_{i}=e$ για όλα σχεδόν τα $i\;\in\;I$ (δηλ. για πεπερασμένο μόνο πλήθος δεικτών $i$ , συμβαίνει $g_{i}\neq e.$ )
ii.

Τα στοιχεία της $G_{i}$ αντιμεταθέτονται με τα στοιχεία της $G_{j}$ , για $i\neq j$ και $i,j\;\in\;I.$

Θεωρούμε την αντιστοιχία

f:\prod_{i\;\in\;I}G_{i}\to\coprod_{i\;\in\;I}G_{i},

\prod_{i\;\in\;I}g_{i}=g_{k_{1}}\dots g_{k_{t}}\mapsto(\dots,e,g_{k_{1}},e,% \dots,e,g_{k_{2}},e,\dots,e,\dots,e,g_{k_{t}},e,\dots),

όπου τα στοιχεία $g_{k_{i}}\neq e,\;1\leq i\leq t,$ είναι ένας μονομορφισμός ομάδων. Η συνάρτηση $f$ δεν είναι επί, αφού στην ομάδα δεν ορίζεται το γινόμενο άπειρου πλήθους στοιχείων. Επομένως

\prod_{i\;\in\;I}G_{i}\hookrightarrow\coprod_{i\;\in\;I}G_{i}.

Το Θεώρημα 4.2.8 γενικεύεται για ευθύ εσωτερικό γινόμενο μίας οικογένειας υποομάδων, δίνοντας το ακόλουθο κριτήριο.

Θεώρημα 4.2.12

Έστω Ι ένα μη κενό σύνολο. Μία ομάδα $G$ είναι το ευθύ εσωτερικό γινόμενο των υποομάδων της $G_{i},\;i\;\in\;I$ , δηλ.

G=\prod_{i\;\in\;I}G_{i},

αν και μόνον αν ισχύουν τα επόμενα:

α)

κάθε στοιχείο της $g$ είναι γινόμενο στοιχείων $g_{i},\;i\;\in\;I$ , όπου όλα σχεδόν τα $g_{i}=e$ .
β)

$G_{i}\unlhd G,\;i\;\in\;I.$
γ)

$G_{i}\cap\langle\cup_{\begin{subarray}{c}j\neq i\\ j\;\in\;J\end{subarray}}G_{j}\rangle=\{e\}.$

Αφήνουμε την απόδειξη αυτού του Θεωρήματος ως άσκηση.

Παρατήρηση 4.2.13

Θεωρούμε πάλι την ομάδα του Klein Κ, όπως το προηγούμενο παράδειγμα. Είναι εύκολο από την ανάλυση

K\cong\langle\alpha\rangle\times\langle\beta\rangle,

4.2.1

που αποδείξαμε στο προηγούμενο παράδειγμα, έχουμε ακόμη τις

K\cong\langle\alpha\rangle\odot\langle\alpha\beta\rangle

4.2.2

και

K\cong\langle\beta\rangle\odot\langle\alpha\beta\rangle.

4.2.3

Βεβαίως παρατηρούμε ότι

\langle\beta\rangle\cong\langle\alpha\beta\rangle\text{ και }\langle\alpha% \rangle\cong\langle\alpha\beta\rangle,

4.2.4

αφού όλες είναι κυκλικές ομάδες τάξης 2. Το ενδιαφέρον, όμως, είναι ότι στις αναλύσεις των σχέσεων (4.2.1) και (4.2.2) οι δεύτεροι παράγοντες δεν είναι ίσοι και το ίδιο παρατηρούμε για τις σχέσεις (4.2.2) και (4.2.3). Έτσι μπορούμε να ισχυριστούμε ότι αν

G=H\odot K\text{ και }G=H\cdot L\;\nRightarrow\;K=L.

4.2.5

Με άλλα λόγια η ανάλυση του ευθέως εσωτερικού γινομένου σε γινόμενο υποομάδων δεν είναι μοναδική με την έννοια της ισότητας των παραγόντων Κ και $L$ στη σχέση (4.2.5). Στο συγκεκριμένο παράδειγμα της ομάδας του Klein έχουμε τους ισομορφισμούς που δίνονται στη σχέση (4.2.4). Ισχύει κάτι τέτοιο γενικότερα; Δυστυχώς αυτό δεν συμβαίνει, δηλ. είναι δυνατόν για μία ομάδα $G$ να ισχύει

G=H\odot K\text{ και }G=M\odot N,

αλλά

H\ncong M\text{ και }K\ncong N.

Όμως με αυτό το θέμα δεν θα ασχοληθούμε στο βιβλίο αυτό.

Ασκήσεις

1. Να εξετάσετε αν οι ομάδες $D_{2\cdot 4}$ και $Q$ είναι ευθύ εσωτερικό γινόμενο δύο υποομάδων τους.
2. Να γίνουν οι λεπτομέρειες της απόδειξης της Πρότασης 4.2.5.
3. Να αποδείξετε το Θεώρημα 4.2.8.
4. Να εξετάσετε αν η $\left(M_{n}(\mathbb{Q}),+\right)$ αναλύεται σε ευθύ εξωτερικό άθροισμα μη τετριμμένων υποομάδων της.
5. Να δώσετε μία απόδειξη για το Θεώρημα 4.2.8.
6. Να γίνουν οι λεπτομέρειες της απόδειξης της Πρότασης 4.2.10 και της 4.2.12.