Κεφάλαιο 2Υποομάδες και ομομορφισμοί ομάδων

Μεταξύ των παραδειγμάτων των ομάδων που αναφέραμε στην προηγούμενη παράγραφο ήταν και οι $(\mathbb{Z},+)$, $\mathrm{(}\mathbb{Q}\mathrm{,}+\mathrm{)}$, $(ℝ,+)$, $(ℂ,+)$. Παρατηρούμε ότι $\mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset ℝ\subset ℂ$ και ότι αν η πρόσθεση στο $ℂ$ περιοριστεί στα στοιχεία του $ℝ$ δίνει την πρόσθεση στο $ℝ$ κ.ο.κ. Η παρατήρηση αυτή δίνει την αφορμή για τον ορισμό της υποομάδας.

Είναι φανερό ότι $\{e\}\le G$ και $G\le G$. Η $\{e\}$ λέγεται τετριμμένη (trivial) υποομάδα της $G$. Κάθε υποομάδα $H$ της $G$ τέτοια ώστε λέγεται γνήσια (proper) υποομάδα της $G$. Με τον συμβολισμό εννοούμε ότι η $H$ είναι γνήσια υποομάδα της $G$.

Απόδειξη: Σε κάθε ομάδα $G$ το ουδέτερο στοιχείο της είναι το μόνο που ικανοποιεί την εξίσωση $x^2=x$. Εφόσον η πράξη της $H$ συμπίπτει με την πράξη της $G$ έπεται ότι το ουδέτερο στοιχείο της $H$ που ικανοποιεί την εξίσωση $x^2=x,$ και στην ομάδα $H$ και στην ομάδα $G$, συμπίπτει με το ουδέτερο στοιχείο της $G$.

Εξαιτίας της σύμπτωσης των ουδέτερων στοιχείων της $H$ και της $G$ προκύπτει ότι το $h^{-1}$ είναι το ίδιο είτε θεωρήσουμε το $h$ ως στοιχείο της $H$ είτε το θεωρήσουμε ως στοιχείο της $G$. $\mathrm{■}$

Πριν προχωρήσουμε σε παραδείγματα υποομάδων αποδεικνύουμε ένα κριτήριο για να είναι υποομάδα ένα υποσύνολο μίας ομάδας. Είναι φανερό ότι ένα υποσύνολο της $G$ που δεν περιέχει το ουδέτερο στοιχείο της $G$ δεν μπορεί να είναι υποομάδα της $G$.

Απόδειξη: Από τον ορισμό της ομάδας είναι φανερό ότι αν $H\le G$, τότε ισχύει η συνθήκη του Θεωρήματος.

Ας υποθέσουμε, τώρα, ότι ισχύει η σχέση (2.1.1) για το μη κενό υποσύνολο $H$ της $G$. Έστω $\alpha \in H$, τότε από τη σχέση (2.1.1) έπεται ότι $\alpha {\alpha }^{-1}\in H$, δηλαδή $e\in H$, όπου $e$ είναι το ουδέτερο στοιχείο της $G$. Πάλι από τη σχέση (2.1.1), αφού τα $e,\alpha \in H$, προκύπτει ότι $e{\alpha }^{-1}\in H$, δηλαδή ${\alpha }^{-1}\in H$. Τώρα θα αποδείξουμε ότι η πράξη της ομάδας $G$ ορίζεται στο σύνολο $H$. Έστω $\alpha ,\beta \in H$, τότε το ${\beta }^{-1}\in H$, όπως είδαμε. Άρα από τη σχέση (2.1.1) έχουμε ότι $\alpha {({\beta }^{-1})}^{-1}\in H$, δηλαδή $\alpha \beta \in H$, για όλα τα στοιχεία $\alpha ,\beta \in H$. Με άλλα λόγια η πράξη της $G$ ορίζεται στο σύνολο $H$. Μένει τώρα να δείξουμε ότι η πράξη στο $H$ είναι προσεταιριστική. Αυτό, όμως, συμβαίνει γιατί η πράξη αυτή είναι προσεταιριστική στην $G$, άρα και στο $H$. Αποδείξαμε, επομένως, ότι το $H$ είναι υποομάδα της $G$. $\mathrm{■}$

Το παραπάνω κριτήριο εφαρμοζόμενο μας επιτρέπει να συμπεράνουμε αν ένα υποσύνολο μίας ομάδας είναι υποομάδα της με πράξεις σαφώς λιγότερες από αυτές που απαιτούνται αν είχαμε να ελέγξουμε όλα τα αξιώματα του ορισμού της ομάδας.

Ιδιαίτερα αν το σύνολο $H\subseteq G$ είναι πεπερασμένο, τότε οι απαιτούμενες πράξεις για τον έλεγχο αν το $H$ αποτελεί υποομάδα της $G$ είναι ακόμη λιγότερες. Αυτό διαβεβαιώνει το επόμενο θεώρημα.

Απόδειξη: Αν $H\le G$, τότε ο ισχυρισμός του Θεωρήματος είναι φανερός.

Έστω $H$ ένα πεπερασμένο υποσύνολο της ομάδας $G$ στο οποίο ορίζεται η πράξη της $G$, δηλαδή

$$\alpha \beta \in H,\text{ για όλα τα }\alpha ,\beta \in H$$

(2.1)

Η πράξη στο $H$ είναι προσεταιριστική γιατί αυτό συμβαίνει στην $G$. Επίσης για τον ίδιο λόγο επιτρέπεται η απλοποίηση αριστερά και δεξιά στο $H$. Άρα ικανοποιούνται οι απαιτήσεις του Θεωρήματος 1.2.7 για να είναι το $H$ ομάδα, δηλαδή υποομάδα της $G$. $\mathrm{■}$

Έστω $\sigma ,\tau \in S_n$, παρατηρούμε ότι

Έτσι φαίνεται αμέσως ότι αν οι μεταθέσεις $\sigma$, $\tau$ είναι και οι δύο άρτιες ή και οι δύο περιττές, τότε η μετάθεση $\sigma \tau$ είναι άρτια, ενώ αν η μία είναι άρτια και η άλλη περιττή, τότε η σύνθεσή τους είναι περιττή μετάθεση. Ας θεωρήσουμε, τώρα, το σύνολο $A_n$ όλων των άρτιων μεταθέσεων του $S_n$. Αν $\sigma ,\tau \in A_n$, τότε, όπως είδαμε, $\sigma \tau \in A_n$. Άρα σύμφωνα με το Θεώρημα 2.1.4 το $A_n$ είναι υποομάδα της $S_n$.

$10.$ Το παράδειγμα που ακολουθεί γενικεύει τα Παραδείγματα $3$ και $4$ των σελίδων 1.1.4 και 1.1.4 αντίστοιχα.

Έστω $X$ ένας μετρικός χώρος (metric space) με μετρική $d:X\times X\to ℝ$, δηλαδή ένα σύνολο $X$ για το οποίο ορίζεται μία συνάρτηση $d:X\times X\to ℝ$ που ικανοποιεί τις ιδιότητες:

1. $i.$

   $d(x,y)=0$, για $x,y\in X$, $\iff$ $x=y$,

2. $ii.$

   $d(x,y)+d(y,z)\ge d(x,z)$,για $x,y,z\in X$.

Μία αμφιμονότιμη και επί συνάρτηση $\phi :X\to X$ λέμε ότι διατηρεί τη δομή του μετρικού χώρου $X$ αν

$$d(\phi (x),\phi (y))=d(x,y),$$

(2.16)

για $x,y\in X$. Μία τέτοια συνάρτηση λέγεται ισομετρία (isometry) του $X$. Π.χ. η διατήρηση των αποστάσεων σημείων στο επίπεδο είναι μία ισομετρία του επιπέδου. Συμβολίζουμε με $Isom(X)$ το σύνολο των ισομετριών του $X$. Είναι φανερό ότι

$$Isom(X)\subseteq S_X$$

(2.17)

(βλέπε Παράδειγμα 1.1.2.6). Θα αποδείξουμε ότι

$$Isom(X)\leqq S_X.$$

(2.18)

Έστω $\phi ,f\in Isom\left(X\right)$, τότε, για όλα τα $x,y\in X$, ισχύει

$$\begin{array}{c}\hfill d(\phi \circ f^{-1}(x),\phi \circ f^{-1}(y))=d(\phi (f^{-1}(x)),\phi (f^{-1}(y)))=\hfill \\ \\ \hfill =d(f^{-1}(x),f^{-1}(y))=d(f(f^{-1}(x)),f(f^{-1}(y)))=\hfill \\ \\ \hfill =d(f\circ f^{-1}(x),f\circ f^{-1}(y))=d(x,y).\hfill \end{array}$$

(2.19)

Άρα η $\phi \circ f\in Isom\left(X\right)$, για όλα τα $\phi ,f\in Isom\left(X\right)$, και σύμφωνα με το Θεώρημα 2.1.4 αποδείξαμε ότι

$$Isom(X)\leqq S_X.$$

(2.20)

Για τις ισομετρίες παραπέμπουμε τον αναγνώστη στο [ΘΧΒ] και στο [Στ]. Στη συνέχεια αναφέρουμε τρεις ισομετρίες του ευκλείδειου χώρου ([Art], ch.5) ${ℝ}^2$, δηλαδή του $ℝ$-διανυσματικού χώρου ${ℝ}^2$ εφοδιασμένου με ένα εσωτερικό γινόμενο.

Α. Μετατόπιση (Translation) Μία συνάρτηση $\phi :{ℝ}^2\to {ℝ}^2$ λέγεται μετατόπιση, αν απεικονίζει το τυχαίο στοιχείο $x\in {ℝ}^2$ στο σημείο $\phi (x)$ που βρίσκεται σε σταθερή απόσταση από το $x$ και σε σταθερή κατεύθυνση. Η αναλυτική έκφραση μιάς μετατόπισης είναι

$${ℝ}^2\to {ℝ}^2,x\mapsto x+\alpha ,$$

(2.21)

όπου $\alpha$ είναι ένα σταθερό στοιχείο του ${ℝ}^2$ και θα τη συμβολίζουμε με ${\tau }_{\alpha }$. Συμβολίζουμε με

$$Trans({ℝ}^2)=\{{\tau }_{\alpha }:\alpha \in {ℝ}^2\}$$

(2.22)

το σύνολο όλων των μετατοπίσεων του Ευκλείδειου χώρου ${ℝ}^2$. Είναι φανερό ότι $Trans({ℝ}^2)\subseteq S_{{ℝ}^2}$. Θα αποδείξουμε ότι

$$Trans({ℝ}^2)\leqq S_{{ℝ}^2}.$$

(2.23)

Πράγματι; έστω $\alpha ,\beta \in {ℝ}^2$, τότε, για κάθε $x\in {ℝ}^2$, έχουμε

$${\tau }_{\alpha }{\tau }_{\beta }^{-1}(x)={\tau }_{\alpha }(x-\beta )=x-\beta +\alpha ={\tau }_{\alpha -\beta }(x).$$

(2.24)

Άρα

$${\tau }_{\alpha }{\tau }_{\beta }^{-1}\in Trans\left({ℝ}^2\right),\text{ για όλα τα }\alpha ,\beta \in {ℝ}^2,$$

(2.25)

δηλαδή

$$Trans({ℝ}^2)\leqq S_{{ℝ}^2}.$$

(2.26)

Ακόμη παρατηρούμε ότι, για όλα τα $\alpha ,\beta ,x\in {ℝ}^2$, ισχύει

$${\tau }_{\alpha }\circ {\tau }_{\beta }(x)={\tau }_{\alpha }(x+\beta )=(x+\beta )+\alpha =(x+\alpha )+\beta ={\tau }_{\beta }\circ {\tau }_{\alpha }(x),$$

(2.27)

δηλαδή ${\tau }_{\alpha }\circ {\tau }_{\beta }={\tau }_{\beta }\circ {\tau }_{\alpha }$, για όλα τα $\alpha ,\beta \in {ℝ}^2$.

Συμπέρασμα: H $Trans({ℝ}^2)$ είναι μία αβελιανή υποομάδα της $S_{{ℝ}^2}$.

Β. Κατοπτρισμός (Reflection) Μία συνάρτηση $\phi :{ℝ}^2\to {ℝ}^2$ λέγεται κατοπτρισμός, αν υπάρχει μία ευθεία γραμμή $l$ του ${ℝ}^2$ τέτοια ώστε η $\phi$ να απεικονίζει το τυχαίο σημείο του ${ℝ}^2$ στην καθρεφτκή του εικόνα ως προς την ευθεία $l$. Αν επιλέξουμε ως $l$ τον άξονα $OX$, τότε η αναλυτική έκφραση της $\phi$ είναι η

$$\phi :{ℝ}^2\to {ℝ}^2,(x,y)\mapsto (x,-y)$$

(2.28)

για $x,y\in ℝ$. Παρατηρούμε ότι ${\phi }^2=1_{{ℝ}^2}$ και εύκολα διαπιστώνουμε ότι $\phi \in S_{{ℝ}^2}$.

Γ. Στροφή (Rotation) Έστω $s$ ένα σταθερό σημείο του $S_{{ℝ}^2}$. Η στροφή του $S_{{ℝ}^2}$ με κέντρο το $s$ κατά γωνία $\alpha$ και φορά αντίστροφη των δεικτών του ρολογιού συμβολίζεται με ${\rho }_{\alpha }$. Η αναλυτική έκφραση της ${\rho }_{\alpha }$, αν τα στοιχεία δοθούν σε πολικές συντεταγμένες, είναι

$${\rho }_{\alpha }:{ℝ}^2\to {ℝ}^2,r{e}^{i\vartheta }\mapsto r{e}^{i(\vartheta +\alpha )}.$$

(2.29)

Είναι φανερό ότι ${\rho }_{\alpha }\in S_{{ℝ}^2}$, $\forall \alpha \in ℝ$. Παρατηρούμε ότι κάθε στροφή με κέντρο το $s$ εκφράζεται μοναδικά με τη μορφή ${\rho }_{\alpha }$, όπου $0\le \alpha \le 2\pi$, γιατί $e^{i\alpha }=1$ αν και μόνον αν το $\alpha$ είναι ακέραιο πολλαπλασίο του $2\pi$. Συμβολίζουμε με

$$Rot({ℝ}^2,s):=\{{\rho }_{\alpha }:0\le \alpha \le 2\pi \}.$$

(2.30)

Αν ${\rho }_{\alpha }$, ${\rho }_{\beta }$ είναι δύο τυχαία στοιχεία του $Rot({ℝ}^2,s)$, τότε

$${\rho }_{\beta }^{-1}:{ℝ}^2\to {ℝ}^2,r{e}^{i\vartheta }\mapsto r{e}^{i(2\pi +\vartheta -\beta )}.$$

(2.31)

Έτσι

$${\rho }_{\alpha }{\rho }_{\beta }^{-1}={\rho }_{\alpha }{\rho }_{2\pi -\beta }={\rho }_{\alpha +2\pi -\beta }\in Rot({ℝ}^2,s).$$

(2.32)

Επομένως από το Θεώρημα 2.1.4 προκύπτει ότι

(2.33)

Χωρίς απόδειξη αναφέρουμε το επόμενο θεώρημα (βλ. [Στ], [Art])

$11.$ Έστω $X$ ένας μετρικός χώρος (βλέπε Παράδειγμα $\mathrm{}$ 2.1.5.10) και $Y$ μετρικός υποχώρος του $X$ (δηλαδή διανυσματικός υποχώρος του $X$ με την ίδια μετρική). Σχηματίζουμε το σύνολο

$$S_X(Y):=\{\phi \in Isom\left(X\right):\phi \left(Y\right)=Y\}.$$

(2.37)

Είναι εύκολο να αποδείξει ο αναγνώστης ότι

$$S_X(Y)\leqq Isom(X).$$

(2.38)

Η ομάδα $S_X(Y)$ λέγεται ομάδα συμμετρίας (symmetry group) του $Y$ σχετικά με τον μετρικό χώρο $X$.

$12.$ Η Διεδρική ομάδα (Dyhedral group) $D_{2n}$. Η διεδρική ομάδα, που αμέσως θα ορίσουμε, είναι μία ειδική περίπτωση του προηγούμενου παραδείγματος, δηλαδή μία ομάδα συμμετρίας. Θεωρούμε ένα κανονικό πολύγωνο $P$ στον Ευκλείδειο χώρο ${ℝ}^2$ με $n$ πλευρές, όπου $n\ge 3$ και την ομάδα συμμετρίας $S_{{ℝ}^2}(P)$, η οποία είναι υποομάδα της $Isom({ℝ}^2)$. Συμβολίζουμε

$$D_{2n}:=S_{{ℝ}^2}(P)$$

(2.39)

Θα υπολογίσουμε την $D_{2n}$ σύμφωνα με το Θεώρημα 2.1.7. Η ομάδα συμμετρίας $D_{2n}$ του $P$ σχετικά με τον Ευκλείδειο χώρο ${ℝ}^2$ αποτελείται από τις ισομετρίες $\phi$ του ${ℝ}^2$ που έχουν την ιδιότητα $\phi (P)=P$. Έτσι, σύμφωνα με το Θεώρημα 2.1.7, το σύνολο $D_{2n}$ είναι το $\mathrm{{\rm H}}\cup \mathrm{{\rm H}}\epsilon$, όπου $H$ είναι το σύνολο των στροφών $\rho$ του ${ℝ}^2$ που έχουν την ιδιότητα $\rho (P)=P$ και $\epsilon$ ένας κατοπτρισμός του ${ℝ}^2$ για τον οποίο $\epsilon (P)=P$. Είναι φανερό ότι καμμία μεταφορά (εκτός της ταυτοτικής) δεν ικανοποιεί τη σχέση ${\tau }_{\alpha }(P)=P$. Τα στοιχεία του $H$ είναι ακριβώς οι στροφές ως προς το κέντρο του πολυγώνου $P$ κατά γωνία $\frac{2\pi }{n}k$, $0\le k\le n-1$. Ένας κατοπτρισμός $\epsilon$ ορίζεται ως προς τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο του $P$ και από μία κορυφή του $P$, αν το $n$ είναι περιττός, ή από το κέντρο και το μέσον μίας πλευράς, αν ο $n$ είναι άρτιος. Ας συμβολίσουμε με $\rho$ τη στροφή του $P$ ως προς το κέντρο του κατά γωνία $\frac{2\pi }{n}$, τότε το

$$H=\{e,\rho ,{\rho }^2,\mathrm{\dots },{\rho }^{n-1}\}$$

(2.40)

και

$$D_{2n}=\{e,\rho ,{\rho }^2,\mathrm{\dots },{\rho }^{n-1},\epsilon ,\rho \epsilon ,\mathrm{\dots },{\rho }^{n-1}\epsilon \}$$

(2.41)

Όπως είδαμε από το προηγούμενο παράδειγμα το $D_{2n}$ αποτελεί ομάδα με πράξη τη σύνθεση συναρτήσεων με τάξη $2n$. Η ομάδα $D_{2n}$ λέγεται διεδρική ομάδα τάξης $2n$.

Μπορούμε εύκολα να αποδείξουμε ότι

(2.42)

εφαρμόζοντας το Θεώρημα 2.1.7 (αυτό έχει ήδη γίνει στο Παράδειγμα $10$ για τη γενικότερη περίπτωση).

Παρατηρούμε ότι το Παράδειγμα 1.1.4.3 είναι η $D_{2\cdot 3}$ και το Παράδειγμα 1.1.4.4 είναι η $D_{2\cdot 4}$.

Ας επανέλθουμε στη $D_{2n}$. Από τον ορισμό των κατοπτρισμών διαπιστώνουμε ότι τα στοιχεία του συνόλου

$$H\epsilon =\{\epsilon ,\rho \epsilon ,\mathrm{\dots },{\rho }^{n-1}\epsilon \}$$

(2.43)

είναι κατοπτρισμοί ως προς διαφορετικούς άξονες. Αυτό σημαίνει (γεωμετρικά) ότι

$${({\rho }^k\epsilon )}^2=e,\mathrm{\hspace{0.25em}\hspace{0.25em}\hspace{0.25em}0}\le k\le n-1,$$

(2.44)

άρα, ${\epsilon }^2=e\Rightarrow \epsilon ={\epsilon }^{-1}$ και

$$\begin{array}{c}\hfill {({\rho }^k\epsilon )}^2=e\Rightarrow {\rho }^k\epsilon {\rho }^k\epsilon =e\Rightarrow {\rho }^k\epsilon {\rho }^k={\epsilon }^{-1}\Rightarrow \hfill \\ \\ \hfill \Rightarrow {\rho }^k\epsilon {\rho }^k=\epsilon \Rightarrow {\rho }^k\epsilon =\epsilon {\rho }^{-k}\Rightarrow {\rho }^k\epsilon =\epsilon {\rho }^{n-k}.\hfill \end{array}$$

(2.45)

Επομένως τα στοιχεία της $D_{2n}$ ικανοποιούν τις σχέσεις

$${\rho }^n=e,{\epsilon }^2=e,{\rho }^k\epsilon =\epsilon {\rho }^{n-k},\text{ για }0\le k\le n-1$$

(2.1.2)

Ακόμη είναι φανερό ότι η ομάδα $D_{2n}$ δεν είναι αβελιανή, ενώ οι υποομάδες της

$$\{e,\rho ,{\rho }^2,\mathrm{\dots },{\rho }^{n-1}\}\text{ και }\{e,\epsilon \}$$

(2.47)

είναι αβελιανές.

Μετά τον ορισμό της υποομάδας είναι φυσικό να αναρωτηθούμε αν μπορούμε να δημιουργήσουμε νέες υποομάδες από δοσμένες υποομάδες. Π.χ. η ένωση ή η τομή υποομάδων είναι υποομάδες της αρχικής ομάδας; Οι επόμενες προτάσεις απαντούν στον παραπάνω προβληματισμό.

Απόδειξη: Έστω ${\bigcap }_{i\in I}{H}_i\leqq G$. Είναι φανερό ότι το $H$ είναι ένα μη κενό υποσύνολο της $G$. Έστω $\alpha ,\beta \in H$, τότε $\alpha ,\beta \in H_i$ για όλα τα $i\in I$. Άρα σύμφωνα με το Θεώρημα 2.1.3 ισχύει ότι $\alpha {\beta }^{-1}\in H_i$ για όλα τα $i\in I$. Επομένως $\alpha {\beta }^{-1}\in H$, δηλαδή $H\leqq G$. $\mathrm{■}$

Απόδειξη: Είναι φανερό ότι για τις υποομάδες $H$ και $K$ της $G$ αν ισχύει μία από τις σχέσεις $H\subseteq K$ ή $K\subseteq H$, τότε $H\cup K\le G$. Ας υποθέσουμε αντίστροφα, ότι $H\cup K\le G$. Σύμφωνα με το Θεώρημα 2.1.3 αν $\alpha ,\beta \in H\cup K$, τότε $\alpha {\beta }^{-1}\in H\cup K$. Ας θεωρήσουμε $\alpha \in H$ και $\beta \in K$, τότε $\alpha {\beta }^{-1}\in H$ ή $\alpha {\beta }^{-1}\in K$. Αν $\alpha {\beta }^{-1}=h\in H$ $\Rightarrow$ ${\beta }^{-1}={\alpha }^{-1}h\in H$ $\Rightarrow$ $\beta =h^{-1}\alpha \in H$, δηλαδή το τυχαίο στοιχείο $\beta$ της $K$ ανήκει στο $H$. Άρα $K\subseteq H$. Αν $\alpha {\beta }^{-1}=\kappa \in K$, τότε $\alpha =\kappa \beta \in K$, για το τυχαίο $\alpha \in H$. Άρα $H\subseteq K$. Επομένως $H\subseteq K$ ή $K\subseteq H$. $\mathrm{■}$

Γενικότερα ισχύει η επόμενη Πρόταση.

Η απόδειξη αφήνεται για τον αναγνώστη.

Παρατηρούμε $(\mathbb{Z},+)=⟨1⟩=⟨-1⟩$, αφού $\mathbb{Z}=\{\kappa \cdot (-1):\kappa \in \mathbb{Z}\}$, δηλαδή το παράγον στοιχείο δεν ορίζεται μοναδικά για μία κυκλική ομάδα.

Από τα παραδείγματα των κυκλικών ομάδων που αναφέραμε στο Εδάφιο 2.1 είδαμε ότι υπάρχουν πεπερασμένες κυκλικές ομάδες, όπως η $⟨1,i,-1,-i⟩$, όπου $i\in ℂ$ και $i^2=-1$, και υπάρχουν άπειρες κυκλικές ομάδες, όπως η $(\mathbb{Z},+)=⟨1⟩$.

Εδώ θα εξετάσουμε λεπτομερέστερα τις κυκλικές ομάδες.

Ας θεωρήσουμε μία ομάδα $G$ και $g\in G$. Έστω

$$H=⟨g⟩=\{g^k|k\in \mathbb{Z}\},$$

(2.71)

η υποομάδα της $G$ που παράγεται από το στοιχείο της $g$. Ας υποθέσουμε ότι η $H$ έχει πεπερασμένη τάξη, δηλαδή . Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ακέραιες δυνάμεις του $g$ δεν είναι διακεκριμένες. Επομένως υπάρχουν τουλάχιστον δύο ακέραιοι $\kappa$, $\lambda$ τέτοιοι ώστε $\kappa \ne \lambda$ και

$$g^{\kappa }=g^{\lambda }\iff g^{\kappa -\lambda }=e.$$

(2.72)

Αν $\kappa >\lambda ,$ τότε $\kappa -\lambda \in \mathbb{N}$. Αν , τότε από τη σχέση $g^{\kappa }=g^{\lambda }\iff g^{\lambda -\kappa }=e$ και $\lambda -\kappa >0$, δηλαδή $\lambda -\kappa \in \mathbb{N}$. Συμπαιρένουμε, έτσι, ότι σε κάθε περίπτωση υπάρχει φυσικός αριθμός, έστω $s$ ($\kappa -\lambda$ ή $\lambda -\kappa$), ώστε $g^s=e$. Θεωρούμε το σύνολο

$$\mathrm{{\rm A}}=\{\nu \in \mathbb{N}\backslash \left\{0\right\}|g^{\nu }=e\}.$$

(2.73)

Το $A$ είναι μη κενό υποσύνολο του συνόλου των φυσικών αριθμών, επομένως έχει ένα ελάχιστο στοιχείο, έστω $n$. Έτσι, $n$ είναι ο ελάχιστος διάφορος του μηδενός φυσικός αριθμός ώστε $g^n=e$. Θα υπολογίσουμε, τώρα, με τη βοήθεια του $n$ όλες τις διακεκριμένες δυνάμεις του $g$, δηλαδή όλα τα στοιχεία της κυκλικής ομάδας $H$. Έστω $g^{\kappa }$ ένα τυχαίο στοιχείο της $H$, από τον αλγόριθμο του Ευκλείδη προκύπτει ότι υπάρχουν μοναδικοί φυσικοί αριθμοί $\pi$ και $\upsilon$, ωστε $\kappa =\pi n+\upsilon$, με $0\le \upsilon \le n-1$. Επομένως

$$g^{\kappa }=g^{\pi n+\upsilon }={(g^n)}^{\pi }{g}^{\upsilon }=e^{\pi }{g}^{\upsilon }=g^{\upsilon },\mathrm{\hspace{0.25em}\hspace{0.25em}0}\le \upsilon \le n-1.$$

(2.74)

Άρα οι δυνατές διακεκριμένες δυνάμεις του $g$ είναι οι

$$g^0=e,g,g^2,\mathrm{\dots },g^{n-1},$$

(2.75)

δηλαδή

$$H=⟨g⟩=\{e,g,\mathrm{\dots },g^{n-1}\}.$$

(2.76)

Ακόμη από τα παραπάνω παρατηρούμε ότι

$$g^{\kappa }=e\iff \kappa =tn,\text{ για κάποιο }t\in \mathbb{Z},\iff \kappa \equiv \mathrm{\hspace{0.25em}0}modn$$

(2.77)

και

$$g^{\kappa }=g^{\lambda }\iff g^{\kappa -\lambda }=e\iff \kappa -\lambda \equiv \mathrm{\hspace{0.25em}0}modn\iff \kappa \equiv \lambda modn.$$

(2.78)

Αν, τώρα, η υποομάδα $H=⟨g⟩$ έχει άπειρο πλήθος στοιχείων, τότε όλες οι ακέραιες δυνάμεις του $g$ είναι διακεκριμένες, δηλαδή

$$H=\{\mathrm{\dots },g^{-\kappa },\mathrm{\dots },g^{-1},e,g,\mathrm{\dots },g^{\kappa },\mathrm{\dots }\}.$$

(2.79)

Πράγματι, αν υπάρχουν ακέραιοι $\kappa ,\lambda$ ώστε $g^{\kappa }=g^{\lambda }$, τότε, όπως παραπάνω, θα οδηγούμασταν στο συμπέρασμα ότι τα στοιχεία της $H$ θα ήταν πεπερασμένου πλήθους. Επομένως, αν $|H|=\mathrm{\infty }$, τότε, για ακεραίους $\kappa$, $\lambda$,

$$g^{\kappa }=g^{\lambda }\iff \kappa =\lambda .$$

(2.80)

Από τα παραπάνω φαίνεται η ανάγκη του επόμενου ορισμού.

Από όσα προηγήθηκαν του ορισμού 2.2.2 αποδείχθηκε η επόμενη πρόταση