Κεφάλαιο 6Πεπερασμένα παραγόμενες αβελιανές ομάδες

Το θεώρημα που ακολουθεί δίνει την ταξινόμηση των πεπερασμένα παραγόμενων αβελιανών ομάδων και από αυτό προκύπτει ότι περιγράφονται από τις κυκλικές ομάδες, όπως στα παραδείγματα που αναφέραμε παραπάνω.

Απόδειξη Έστω $G=⟨{\alpha }_1,{\alpha }_2,\mathrm{\dots },{\alpha }_n⟩$ μία πεπερασμένα παραγόμενη αβελιανή ομάδα. Θα αποδείξουμε το θεώρημα με εφαρμογή της μαθηματικής επαγωγής ως προς το πλήθος των παραγόντων στοιχείων της ομάδας. Αν η ομάδα $G$ παράγεται από ένα μόνον στοιχείο, δηλαδή $n=1$, τότε είναι κυκλική και το θεώρημα ισχύει.
Ας υποθέσουμε ότι το θεώρημα ισχύει για όλες τις αβελιανές ομάδες που παράγονται από $n-1$ πλήθους στοιχεία. Θα αποδείξουμε το θεώρημα για τον φυσικό αριθμό $n$. Ας υποθέσουμε ότι για την αβελιανή ομάδα $G=⟨{\alpha }_1,{\alpha }_2,\mathrm{\dots },{\alpha }_n⟩$ από κάθε γραμμικό συνδυασμό

$${\lambda }_1{\alpha }_1+\mathrm{\dots }+{\lambda }_n{\alpha }_n=0,{\lambda }_i\in \mathbb{Z},\mathrm{\hspace{0.33em}1}\le i\le n,$$

συνεπάγεται ότι ${\lambda }_i{\alpha }_i=0,$ για $1\le i\le n.$ Τότε από τον Ορισμό 4.2.7 προκύπτει ότι

$$G=⟨{\alpha }_1⟩\oplus ⟨{\alpha }_2⟩\oplus \mathrm{\dots }\oplus ⟨{\alpha }_n⟩,$$

δηλ. η $G$ είναι ευθύ άθροισμα $n$ πλήθους κυκλικών ομάδων. Μένει, επομένως, να εξετάσουμε την περίπτωση που για κάθε παράγον σύνολο, έστω ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\mathrm{\dots },{\alpha }_n,$ της $G$ υπάρχουν ακέραιοι αριθμοί ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\mathrm{\dots },{\lambda }_n$ τέτοιοι ώστε ${\lambda }_1{\alpha }_1+{\lambda }_2{\alpha }_2+\mathrm{\dots }+{\lambda }_n{\alpha }_n=0$, χωρίς να ισχύει ότι ${\lambda }_i{\alpha }_i=0,\mathrm{\hspace{0.33em}1}\le i\le n.$ Όπως αναφέραμε προηγουμένως τα στοιχεία της $G$ είναι γραμμικοί συνδυασμοί με ακέραιους συντελεστές των διάφορων παραγόντων στοιχείων της $G$ . Μεταξύ αυτών των γραμμικών συνδυασμών υπάρχει ένας θετικός ακέραιος αριθμός που εμφανίζεται ως συντελεστής κάποιου παράγοντος στοιχείου της $G$. Έστω $k_1$ ο θετικός αυτός ακέραιος. Για κάποιο, λοιπόν, παράγον σύνολο ${\beta }_1,{\beta }_2,\mathrm{\dots },{\beta }_n$ της $G$ ισχύει

$$k_1{\beta }_1+k_2{\beta }_2+\mathrm{\dots }+k_n{\beta }_n=0,\text{ χωρίς όλα τα }{k}_i{\beta }_i\text{ να είναι μηδέν }$$

6.1.1

Θα αποδείξουμε ότι αν $r_1{\beta }_1+r_2{\beta }_2+\mathrm{\dots }+r_n{\beta }_n=0$ είναι ένας άλλος τέτοιος γραμμικός συνδυασμός στην $G$ με ακέραιους συντελεστές, τότε $k_1|r_1$. Έστω ότι $r_1=\pi k_1+\upsilon ,$ με $\pi ,\upsilon \in \mathbb{Z}$ και Πολλαπλασιάζουμε τη σχέση (6.1.1) επί $\pi$ και την αφαιρούμε από την $r_1{\beta }_1+r_2{\beta }_2+\mathrm{\dots }+r_n{\beta }_n=0.$ Έτσι έχουμε

$$\upsilon {\beta }_1+(r_2-\pi k_2){\beta }_2+\mathrm{\dots }+(r_n-\pi k_n){\beta }_n=0.$$

Αν $\upsilon {\beta }_1\ne 0,$ τότε καταλήγουμε σε άτοπο λόγω της επιλογής του $k_1.$ Άρα

6.1.2

Από τη σχέση $\upsilon {\beta }_1=0$, έπεται ότι το $\upsilon$ είναι πολλαπλάσιο της τάξης του ${\beta }_1$. Ενώ από την επιλογή του $k_1$, έπεται ότι $k_1\le ord({\beta }_1).$ Άρα το $\upsilon$ δεν μπορεί να λάβει τις τιμές Επομένως, από τη σχέση (6.1.2) έπεται ότι $\upsilon =0$ και συνεπώς $k_1|r_1.$
Στη συνέχεια θα αποδείξουμε ότι στη σχέση (6.1.1)

$$k_1|k_i,\mathrm{\hspace{0.33em}2}\le i\le n.$$

Έστω $k_2={\pi }_2{k}_1+{\upsilon }_2,$ για ${\pi }_2,{\upsilon }_2\in \mathbb{Z}$ και Παρατηρούμε ότι, αφού τα ${\beta }_1,{\beta }_2,\mathrm{\dots },{\beta }_n$ παράγουν την ομάδα $G$, το ίδιο συμβαίνει και με τα στοιχεία ${\beta }_1^{\prime }={\beta }_1+{\pi }_2{\beta }_2,{\beta }_2,\mathrm{\dots },{\beta }_n.$ Αντικαθιστούμε στη σχέση (6.1.1) το $k_1{\beta }_1$ με το $k_1{\beta }_1^{\prime }-k_1{\pi }_2{\beta }_2$ και προκύπτει η σχέση

$$k_1{\beta }_1^{\prime }+{\upsilon }_2{\beta }_2+k_3{\beta }_3+\mathrm{\dots }+k_n{\beta }_n=0.$$

Με τον τρόπο που αποδείξαμε παραπάνω ότι $\upsilon =0,$ μπορούμε επίσης να αποδείξουμε ότι ${\upsilon }_2=0.$ Άρα $k_1|k_2.$ Μπορούμε, λοιπόν, να γράψουμε ότι $k_i={\pi }_i{k}_1,$ $2\le i\le n,$ για κατάλληλους ακεραίους αριθμούς ${\pi }_i.$
Θέτουμε, τώρα,

$${\beta }_1^{*}={\beta }_1+{\pi }_2{\beta }_2+\mathrm{\dots }+{\pi }_n{\beta }_n.$$

6.1.3

Παρατηρούμε ότι τα στοιχεία ${\beta }_1^{*},{\beta }_2,\mathrm{\dots },{\beta }_n$ επίσης παράγουν την $G$. Η σχέση (6.1.1) λόγω της (6.1.3) οδηγεί στην $k_1{\beta }_1^{*}=0.$
Θα αποδείξουμε, τώρα, ότι αν για κάποιους ακέραιους αριθμούς ${\mu }_1,{\mu }_2,\mathrm{\dots },{\mu }_n$ ισχύει

$$\mu {\beta }_1^{*}+{\mu }_2{\beta }_2+\mathrm{\dots }+{\mu }_n{\beta }_n=0,$$

6.1.4

τότε ${\mu }_1{\beta }_1^{*}=0.$ Πράγματι, αν αντικαταστήσουμε το ${\beta }_1^{*}$ από τη σχέση (6.1.3) στη σχέση (6.1.4) βρίσκουμε ένα γραμμικό συνδυασμό των ${\beta }_1,{\beta }_2,\mathrm{\dots },{\beta }_n$ με ακέραιους συντελεστές στον οποίο ο συντελεστής του ${\beta }_1$ είναι ίσος με ${\mu }_1.$ Όπως, όμως, αποδείξαμε παραπάνω τότε θα ισχύει ότι $k_1|{\mu }_1.$ Έτσι από τη σχέση $k_1{\beta }_1^{*}=0$ έπεται η σχέση ${\mu }_1{\beta }_1^{*}=0.$ Αν, λοιπόν, θεωρήσουμε ότι η $G$ παράγεται από το σύνολο ${\beta }_1^{*},{\beta }_2,\mathrm{\dots },{\beta }_n,$ τότε το άθροισμα $G=⟨{\beta }_1^{*}⟩+⟨{\beta }_2,\mathrm{\dots },{\beta }_n⟩$ είναι ευθύ, αφού από τη σχέση

$$\mu {\beta }_1^{*}+{\mu }_2{\beta }_2+\mathrm{\dots }+{\mu }_n{\beta }_n=0\Rightarrow \mu {\beta }_1^{*}=0\text{ και }{\mu }_2{\beta }_2+\mathrm{\dots }+{\mu }_n{\beta }_n=0.$$

Άρα

$$G=⟨{\beta }_1^{*}⟩\oplus ⟨{\beta }_2,\mathrm{\dots },{\beta }_n⟩.$$

Από την υπόθεση της μαθηματικής επαγωγής η ομάδα $⟨{\beta }_2,\mathrm{\dots },{\beta }_n⟩$, αφού απαράγεται από $n-1$ πλήθους στοιχεία είναι ευθύ άθροισμα κυκλικών ομάδων και το θεώρημα αποδείχθηκε. $\mathrm{■}$

Επειδή οι κυκλικές ομάδες είναι γνωστές με προσέγγιση ισομορφίας (βλ. Θεώρημα 2.3.11) από το Θεώρημα (6.1.1) προκύπτει η επόμενη πρόταση.

Στο εδάφιο αυτό θα ταξινομήσουμε τις πεπερασμένες αβελιανές ομάδες. Η ταξινόμηση θα ολοκληρωθεί μετά από δύο βήματα. Πρώτα θα αναλύσουμε την ομάδα σε ευθύ άθροισμα πεπερασμένου πλήθους αβελιανών $p$-υποομάδων της, για κάθε πρώτο φυσικό αριθμό $p$ που διαιρεί την τάξη της ομάδας. Το δεύτερο βήμα θα είναι η ταξινόμηση των πεπερασμένων $p$-ομάδων για έναν πρώτο φυσικό αριθμό $p$. Έτσι θα προκύψουν όλες οι μη ισόμορφες αβελιανές ομάδες τάξης $n$, για ένα φυσικό αριθμό $n$.

Η πρώτη πρόταση που θα αποδείξουμε είναι μία ειδική περίπτωση της άσκησης 6.3.3.

Απόδειξη Έστω $\alpha ,\beta \in G_p,ord\left(\alpha \right)=p^{\kappa }$ και $ord(\beta )=p^{\lambda },$ για $\kappa ,\lambda \in \mathbb{Z}$. Τότε

$$p^{\kappa +\lambda }(\alpha +\beta )=p^{\lambda }(p^{\kappa }\alpha )+p^{\kappa }(p^{\lambda }\beta )=0.$$

Άρα $ord(\alpha +\beta )|p^{\kappa +\lambda },$ δηλ $\alpha +\beta \in G_p,$ σύμφωνα με την Πρόταση 2.2.2 ii. και συνεπώς η $G_p\le G$ (βλ. Θεώρημα 2.1.4). Από τον Ορισμό 5.3.10 προκύπτει το ζητούμενο. $\mathrm{■}$

Από την Πρόταση 5.3.11 η τάξη της ομάδας $G_p$ της παραπάνω Πρότασης είναι δύναμη του $p$ και μάλιστα η μεγαλύτερη δύναμη του $p$ που διαιρεί την τάξη της $G$. Επομένως η $G_p$ είναι μία Sylow p-υποομάδα της $G$.

Απόδειξη Για την απόδειξη θα χρησιμοποιήσουμε το Θεώρημα 4.2.8.

1. i.

   Θα αποδείξουμε ότι κάθε στοιχείο $\alpha \in G$ έχει την μορφή

   $$\alpha ={\alpha }_1+{\alpha }_2+\mathrm{\dots }+{\alpha }_t,{\alpha }_i\in G_{p_i},\mathrm{\hspace{0.33em}1}\le i\le t.$$

   6.2.1

   Έστω $m:=ord(\alpha ).$ Αν κάποιος $p\in \{p_1,p_2,\mathrm{\dots },p_t\}$ διαιρεί τον $m$, τότε το στοιχείο $\frac{m}{p}\alpha$ έχει τάξη $p$ (βλ. Πρόταση 2.2.5). Αφού $m=ord(\alpha )|n$ έπεται ότι

   $$m=q_1^{r_1}{q}_2^{r_2}\mathrm{\cdots }{q}_{\lambda }^{r_{\lambda }}\text{ για κάποιο }\{q_1,q_2,\mathrm{\dots },q_{\lambda }\}\subseteq \{p_1,p_2,\mathrm{\dots },p_t\}$$

   και κατάλληλους θετικούς ακέραιους $r_1,r_2,\mathrm{\dots },r_{\lambda },\lambda .$ Από τον Ευκλείδειο αλγόριθμο προκύπτει ότι υπάρχουν ακέραιοι αριθμοί ${\beta }_1,{\beta }_2,\mathrm{\dots },{\beta }_{\lambda }$ ώστε

   $${\beta }_1\frac{m}{q_1^{r_1}}+{\beta }_2\frac{m}{q_2^{r_2}}+\mathrm{\dots }+{\beta }_{\lambda }\frac{m}{q_{\lambda }^{r_{\lambda }}}=1,$$

   6.2.2

   αφού οι φυσικοί αριθμοί $m/q_1^{r_1},\mathrm{\dots },m/q_{\lambda }^{r_{\lambda }}$ είναι πρώτοι μεταξύ τους ανά δύο. Από τη σχέση (6.2.2) προκύπτει ότι

   $$\alpha ={\beta }_1\frac{m}{q_1^{r_1}}\alpha +\mathrm{\dots }+{\beta }_{\lambda }\frac{m}{q_{\lambda }^{r_{\lambda }}}\alpha ,$$

   αν θέσουμε

   $${\alpha }_i:={\beta }_i\frac{m}{q_i^{r_i}}\alpha ,\mathrm{\hspace{0.33em}1}\le i\le \lambda ,$$

   τότε βλέπουμε ότι

   $$\alpha ={\alpha }_1+{\alpha }_2+\mathrm{\dots }+{\alpha }_{\lambda }\text{ και }{\alpha }_i\in G_{q_i},\mathrm{\hspace{0.33em}1}\le i\le \lambda .$$

   Άρα το τυχαίο στοιχείο $\alpha \in G$ εκφράζεται ως άθροισμα στοιχείων των ομάδων $G_{p_i}$, όπως στη σχέση (6.2.1).

2. ii.

   Οι ομάδες $G_{p_i}⊴G,\mathrm{\hspace{0.33em}1}\le i\le t.$ Πράγματι, αυτό συμβαίνει γιατί η $G$ είναι αβελιανή ομάδα.

3. iii.

   Θα αποδείξουμε ότι

   $$G_{p_i}\cap \left(G_{p_1}+\mathrm{\dots }+G_{p_{i-1}}+G_{p_{i+1}}+\mathrm{\dots }+G_{p_t}\right)=(0),\mathrm{\hspace{0.33em}1}\le i\le t.$$

   6.2.3

   Πράγματι, στην ομάδα $G_{p_1}+\mathrm{\dots }+G_{p_{i-1}}+G_{p_{i+1}}+\mathrm{\dots }+G_{p_t}$ το μόνο στοιχείο τάξης δύναμης του $p_i$ είναι το 0, έτσι, εφόσον κάθε στοιχείο της $G_{p_i}$ έχει τάξη δύναμη του $p_i$, έπεται ότι η τομή της σχέσης (6.2.3) ισούται με το μηδενικό στοιχείο της $G$.

Από τα i),ii) και iii) προκύπτει το θεώρημα. $\mathrm{■}$

Από τη ανάλυση της ομάδας $G$ όπως αναφέρεται στο Θεώρημα 6.2.2 βλέπουμε ότι προκειμένου να προχωρήσουμε στην ταξινόμηση των πεπερασμένων αβελιανών ομάδων αρκεί να περιοριστούμε στις πεπερασμένες αβελιανές $p$-ομάδες, δηλ. στις αβελιανές ομάδες με τάξη δύναμη ενός πρώτου αριθμού $p$. Αυτό θα γίνει στο επόμενο εδάφιο.

Έστω $G$ μία αβελιανή ομάδα τάξης $p^n$ για έναν πρώτο φυσικό αριθμό $p$. Από το Θεώρημα 6.1.1 γνωρίζουμε ότι η $G$ αναλύεται σε ευθύ άθροισμα κυκλικών ομάδων. Έτσι έχει νόημα ο επόμενος ορισμός.

Από τον Ορισμό 6.3.1 προκύπτει ότι, τότε $n=s_1+s_2+\mathrm{\dots }+s_t,$ δηλ. ο τύπος της αβελιανής ομάδας $G$ αντιστοιχεί σε μία προσθετική ανάλυση του φυσικού αριθμού $n$. Θα αποδείξουμε ότι ο τύπος της αβελιανής $p$-ομάδας $G$ ορίζεται μοναδικά για την ομάδα $G$. Πριν από αυτό είναι χρήσιμη η επόμενη πρόταση.

Απόδειξη Εύκολα ο αναγνώστης μπορεί να αποδείξει ότι το σύνολο $pG$ είναι υποομάδα της $G$. Από την υπόθεση

$$G\cong G_1\times G_2\times \mathrm{\dots }\times G_t,$$

όπου $G_i=⟨{\alpha }_i⟩$ με $ord{\alpha }_i=p^{s_i},\mathrm{\hspace{0.33em}1}\le i\le t.$ Παρατηρούμε ότι

$$p{G}_i=⟨p{\alpha }_i⟩\text{ και }ord(p{\alpha }_i)=p^{s_i-1},\mathrm{\hspace{0.33em}1}\le i\le t.$$

Άρα

$$pG\cong ⟨p{\alpha }_1⟩\times \mathrm{\dots }⟨p{\alpha }_t⟩$$

και ο τύπος της είναι

$$(p^{s_1-1},p^{s_2-1},\mathrm{\dots },p^{s_t-1}).\mathrm{■}$$

Το επόμενο θεώρημα αποδεικνύει ότι ο τύπος μίας πεπερασμένης αβελιανής ομάδας είναι μία αναλλοίωτός της.

Απόδειξη Έστω $G$ μία πεπερασμένη αβελιανή ομάδα και $|G|=p^n.$ Από το Θεώρημα 6.1.1 προκύπτει ότι η $G$ είναι ευθύ άθροισμα κυκλικών ομάδων και εφόσον η $G$ είναι $p$-ομάδα έπεται ότι οι προσθετέοι της είναι επίσης $p$-ομάδες. Ερχόμαστε, τώρα, στο δεύτερο σκέλος του Θεωρήματος. Θα αποδείξουμε επαγωγικά ως προς την τάξη της $G$ την μοναδικότητα του τύπου της. Για την περίπτωση που η $G$ είναι τετριμμένη το συμπέρασμα προκύπτει άμεσα. Έστω ότι η μοναδικότητα του τύπου ισχύει για $p$-ομάδες με τάξη μικρότερη της $G$ και θα την αποδείξουμε για την ομάδα $G$.
Ας υποθέσουμε ότι η $G$ έχει δύο τύπους και ας τους παραστήσουμε με τον ακόλουθο τρόπο για την καλύτερη παρακολούθηση της απόδειξης:

$$(\underset{t-\nu }{\underbrace{p,p,\mathrm{\dots },p}},p^{{\lambda }_1},p^{{\lambda }_2},\mathrm{\dots },p^{{\lambda }_{\nu }})\text{ και }(\underset{\sigma -\tau }{\underbrace{p,p,\mathrm{\dots },p}},p^{{\kappa }_1},p^{{\kappa }_2},\mathrm{\dots },p^{{\kappa }_{\tau }})$$

6.3.1

$$\text{και }t-\nu +{\lambda }_1+{\lambda }_2+\mathrm{\dots }+{\lambda }_{\nu }=n=\sigma -\tau +{\kappa }_1+{\kappa }_2+\mathrm{\dots }+{\kappa }_{\tau }.$$

6.3.2

Θεωρούμε τώρα την $pG\le G.$ Η $pG$ έχει τάξη αυστηρά μικρότερη της $G$ και σύμφωνα με την Πρόταση 6.3.2 οι αντίστοιχοι τύποι της είναι οι

$$(p^{{\lambda }_1-1},p^{{\lambda }_2-1},\mathrm{\dots },p^{{\lambda }_{\nu }-1})\text{ και }(p^{{\kappa }_1-1},p^{{\kappa }_2-1},\mathrm{\dots },p^{{\kappa }_{\tau }-1}).$$

Για τους τύπους αυτούς ισχύει ότι

$$1\le {\lambda }_1-1\le \mathrm{\dots }\le {\lambda }_{\nu }-1,\mathrm{\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}1}\le {\kappa }_1-1\le \mathrm{\dots }\le {\kappa }_{\tau }-1$$

και βέβαια ταυτίζονται από την υπόθεση της μαθηματικής επαγωγής. Επομένως

$$\nu =\tau \text{ και }{\lambda }_1={\kappa }_1,\mathrm{\dots },{\lambda }_{\nu }={\kappa }_{\nu }.$$

6.3.4

Επίσης από τις σχέσεις (6.3.2) και (6.3.4) ισχύει ότι

$$t-\nu =\sigma -\nu \Rightarrow t=\sigma .$$

Άρα οι δύο τύποι της $G$ που αναφέρονται στις σχέσεις (6.3.1) είναι ίσοι, γεγονός που αποδεικνύει τη μοναδικότητα του τύπου της $G$ και αποδεικνύει το Θεώρημα. $\mathrm{■}$

Ο τύπος της αβελιανής ομάδας τάξης $p^n$ για έναν πρώτο αριθμό $p$ και ένα θετικό ακέραιο $n$ καθώς και η σπουδαιότητα αυτής της έννοιας για τον χαρακτηρισμό των ομάδων, όπως αυτή προκύπτει από το Θεώρημα 6.3.4, μας οδηγεί στην ανάγκη του επόμενου ορισμού.

Στο επόμενο θεώρημα προσδιορίζεται το πλήθος των μη ισόμορφων αβελιανών ομάδων τάξης $p^n$ για έναν πρώτο φυσικό αριθμό $p$ σε σχέση με τις δυνατές διαμερίσεις του φυσικού αριθμού $n$.

Απόδειξη Ας συμβολίσουμε με

$$A:=\{[G]:G\text{ αβελιανή ομάδα τάξης }{p}^n\},$$

δηλαδή το σύνολο των κλάσεων των ισόμορφων αβελιανών ομάδων τάξης $p^n$ και με Β το σύνολο των διαμερίσεων του φυσικού αριθμού $n$. Θεωρούμε την αντιστοιχία

$$f:A\to B,[G]\mapsto (s_1,s_2,\mathrm{\dots },s_t),$$

όπου $G\cong {\mathbb{Z}}_{p^{s_1}}\times {\mathbb{Z}}_{p^{s_2}}\times \mathrm{\dots }\times {\mathbb{Z}}_{p^{s_t}}$ Ο αναγνώστης καλείται να αποδείξει ότι η $f$ είναι αμφιμονότιμη και επί συνάρτηση. $\mathrm{■}$

Στο εδάφιο αυτό θα συνδυάσουμε τα συμπεράσματα των προηγουμένων δύο εδαφίων για να οδηγηθούμε στην ταξινόμηση των πεπερασμένων αβελιανών ομάδων.

Θα ξεκινήσουμε με ένα παράδειγμα. Να υπολογίσουμε όλες τις μη ισόμορφες ομάδες τάξης 36. Παρατηρούμε ότι $36=2^2{3}^2.$ Σύμφωνα με το Θεώρημα 6.2.2 κάθε τέτοια ομάδα αναλύεται σε ευθύ άθροισμα

$$G_2\oplus G_3,$$

όπου $G_2$ είναι η μοναδική Sylow 2-υποομάδα της τάξης $2^2$ και ανάλογα ορίζεται η $G_3$ με τάξη $3^2.$ Οι μη ισόμορφες αβελιανές ομάδες τάξης $2^2$ είναι οι διαμερίσεις του 2, οι οποίες είναι: $(1,1)$ και 2. Οι ομάδες αυτές είναι οι:

$${\mathbb{Z}}_2\times {\mathbb{Z}}_2\text{ και }{\mathbb{Z}}_{2^2}.$$

Όμοια οι μη ισόμορφες αβελιανές ομάδες τάξης $3^2$ είναι οι

$${\mathbb{Z}}_3\times {\mathbb{Z}}_3\text{ και }{\mathbb{Z}}_{3^2}.$$

Επομένως οι μη ισόμορφες αβελιανές ομάδες τάξης 36 είναι οι:

1. i.

   ${\mathbb{Z}}_2\times {\mathbb{Z}}_2\times {\mathbb{Z}}_3\times {\mathbb{Z}}_3$

2. ii.

   ${\mathbb{Z}}_2\times {\mathbb{Z}}_2\times {\mathbb{Z}}_{3^2}$

3. ii.

   ${\mathbb{Z}}_{2^2}\times {\mathbb{Z}}_3\times {\mathbb{Z}}_3$

4. iv.

   ${\mathbb{Z}}_{2^2}\times {\mathbb{Z}}_{3^2}$

Παρατηρούμε ακόμη ότι

1. i.

   ${\mathbb{Z}}_2\times {\mathbb{Z}}_2\times {\mathbb{Z}}_3\times {\mathbb{Z}}_3\cong {\mathbb{Z}}_2\times {\mathbb{Z}}_3\times {\mathbb{Z}}_2\times {\mathbb{Z}}_3\cong {\mathbb{Z}}_6\times {\mathbb{Z}}_6$, γιατί $(2,3)=1$, και επομένως η ομάδα ${\mathbb{Z}}_2\times {\mathbb{Z}}_3$ είναι κυκλική.
   Όμοια

2. ii.

   ${\mathbb{Z}}_2\times {\mathbb{Z}}_2\times {\mathbb{Z}}_{3^2}\cong {\mathbb{Z}}_2\times {\mathbb{Z}}_{2\cdot 3^2},$

3. iii.

   ${\mathbb{Z}}_{2^2}\times {\mathbb{Z}}_3\times {\mathbb{Z}}_3\cong {\mathbb{Z}}_3\times {\mathbb{Z}}_{2^2\cdot 3}$ και

4. iv.

   ${\mathbb{Z}}_{2^2}\times {\mathbb{Z}}_{3^2}\cong {\mathbb{Z}}_{36}.$

Βλέπουμε, λοιπόν, ότι οι προσθετέοι για κάθε μία από τις ισόμορφες αβελιανές ομάδες τάξης 36 μπορούν να επιλεγούν έτσι ώστε η τάξη του ενός προσθετέου να διαιρεί την τάξη του επόμενου. Παρατηρούμε ότι οι τάξεις των προσθετέων για τις ομάδες i. έως iv., δηλαδή οι:

$$(6,6),(2,2\cdot 3^2),(3,2^2\cdot 3),(36)$$

ώστε

$$6|6,\mathrm{\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}2}|2\cdot 3^2,\mathrm{\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}3}|2^2\cdot 3,\mathrm{\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}36}$$

ορίζονται μοναδικά.
Έτσι μπορούμε να οδηγηθούμε στο επόμενο θεώρημα εφαρμόζοντας και το Θεώρημα 6.1.1.

Απόδειξη Σύμφωνα με το Θεώρημα 6.1.1 (βλ. επίσης Πρόταση 6.1.2) ισχύει ότι

$$G=A\oplus \mathrm{\Pi },$$

όπου $A\cong {\mathbb{Z}}^s$ είναι το άπειρο μέρος της $G$ και είναι μία ελεύθερη αβελιανή ομάδα με πεπερασμένη βαθμίδα, έστω $s\ge 0,$ και Π είναι το πεπερασμένο μέρος της $G$, έστω τάξης Ας υποθέσουμε ότι

$$n=\prod _{i=1}^t{p}_i^{s_i}$$

είναι η ανάλυση του $n$ σε γινόμενο διακεκριμένων πρώτων $p_1,p_2,\mathrm{\dots },p_{\tau }.$ Τότε

$$\mathrm{\Pi }=G_{p_1}\oplus \mathrm{\dots }\oplus G_{p_{\tau }},$$

όπου $G_{p_i}$ είναι η Sylow $p_i$-υποομάδα της Π (βλ. Θεώρημα 6.2.2). Κάθε ομάδα $G_{p_i},\mathrm{\hspace{0.33em}1}\le i\le r,$ αναλύεται σε ευθύ άθροισμα κυκλικών ομάδων με μοναδικό τρόπο σύμφωνα με τον τύπο της (βλ. Θεώρημα 6.3.4). Τώρα μπορούμε να εφαρμόσουμε την τεχνική που είδαμε στο παράδειγμα της αρχής του εδαφίου αυτού και οδηγούμαστε στην απόδειξη του Θεωρήματος. Ας παρατηρήσουμε μόνον ότι αν μας δοθούν πεπερασμένου πλήθους δυνάμεις πρώτων αριθμών, μπορούμε να διατάξουμε γινόμενα αυτών ώστε ο πρώτος εξ αυτών να διαιρεί τον δεύτερο, ο δεύτερος τον τρίτο κ.ο.κ. $\mathrm{■}$

Ας δούμε τώρα μία ενδιαφέρουσα εφαρμογή του Θεωρήματος 6.4.1, που είναι το περιεχόμενο της επόμενης πρότασης.

Απόδειξη Έστω $F$ ένα πεπερασμένο σώμα με $|F|=p^n,$ όπου $p$ είναι ένας πρώτος αριθμός για $n\ge 1$ φυσικός αριθμός (βλ. Παράρτημα Γ1). Η πολλαπλασιαστική ομάδα $F^{*}$ του σώματος $F$ έχει $p^n-1$ στοιχεία και βέβαια είναι αβελιανή. Επομένως, σύμφωνα με το Θεώρημα 6.4.1 αναλύεται κατά τους αναλλοίωτους παράγοντές της σε ευθύ γινόμενο κυκλικών ομάδων

$$F^{*}\cong ⟨{\alpha }_1⟩\times ⟨{\alpha }_2⟩\times \mathrm{\dots }\times ⟨{\alpha }_s⟩,$$

για κάποιον φυσικό αριθμό $s$ και ${\alpha }_i\in F^{*},\mathrm{\hspace{0.33em}1}\le i\le s,$ ώστε

$$|⟨{\alpha }_i⟩|=ord({\alpha }_i),\mathrm{\hspace{0.33em}1}\le i\le s$$

και

$$ord({\alpha }_i)|ord({\alpha }_{i+1}),\mathrm{\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}1}\le i\le s-1,$$

δηλ. οι αναλλοίωτοι παράγοντες της $F^{*}$ είναι οι $ord({\alpha }_i),1\le i\le s.$ Αυτό, όμως, σημαίνει ότι η τάξη κάθε στοιχείου του $F^{*}$ διαιρεί την τάξη του στοιχείου ${\alpha }_s.$ Έστω $ord({\alpha }_s)=r.$ Αφού $ord(\alpha )|r$, για κάθε στοιχείο $\alpha \in F^{*},$ έπεται ότι ${\alpha }^r=1.$ Άρα κάθε στοιχείο του $F^{*}$ είναι ρίζα του πολυωνύμου $x^r-1\in F\left[x\right]$ και επειδή το $x^r-1$ έχει το πολύ $r$ ρίζες στο $F$, προκύπτει ότι $p-1\le r.$ Όμως, ο $r$ ως τάξη ενός στοιχείου της ομάδας $F^{*}$ (του στοιχείου ${\alpha }_s$) πρέπει να διαιρεί την τάξη της $F^{*}$, δηλ. $r|(p-1)$ και συνεπώς $r\le p-1.$ Επομένως $r=p-1.$ Συμπεραίνουμε, λοιπόν, ότι υπάρχει ένα στοιχείο ${\alpha }_s\in F^{*}$ με $ord({\alpha }_s)=|F^{*}|.$ Επομένως, η $F^{*}$ είναι κυκλική ομάδα και $F^{*}=⟨{\alpha }_s⟩.$ $\mathrm{■}$