Περιεχόμενα - Εισαγωγή στη Θεωρία Ομάδων 7 Σειρές Ομάδων 9 Ομάδες συγκεκριμένης τάξης

Κεφάλαιο 8Η ομάδα $S_{n}$

Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε την ομάδα μεταθέσεων ή συμμετρική ομάδα $S_{n}$ εφαρμόζοντας τη θεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούμενα κεφάλαια. Η σημαντικότητα της $S_{n}$ εμφανίστηκε στην επιλυσιμότητα των πολυωνυμικών εξισώσεων και στη θεωρία Galois, όπου έπαιξε πρωταρχικό ρόλο. Γι’ αυτό το λόγο οι μαθηματικοί μέχρι το τέλος του 19ου αιώνα μελετούσαν κυρίως την ομάδα $S_{n}$ . Το Θεώρημα του Cayley που αποδεικνύει ότι κάθε πεπερασμένη ομάδα εμφυτεύεται στην ομάδα $S_{n}$ οδηγεί στο συμπέρασμα ότι αρκεί να μελετηθεί η $S_{n}$ για να γνωρίζουμε κάθε πεπερασμένη ομάδα. Η πολυπλοκότητα, όμως, της $S_{n}$ αποθάρρυνε αυτήν την άποψη με αποτέλεσμα να δημιουργηθεί και να αναπτυχθεί η αφηρημένη θεωρία ομάδων, που περιλαμβάνει την ομάδα $S_{n}$ ως μία περίπτωση ομάδας.

Ήδη είδαμε την ομάδα $S_{X}$ ως ομάδα συμμετρίας ενός συνόλου Χ. Η $S_{n}$ και η $S_{X}$ δίνουν σημαντικές πληροφορίες στη μελέτη του φαινομένου τησ συμμετρίας. Η ομάδα συμμετρίας του τριγώνου είναι η $S_{3}\cong D_{2\cdot 3}$ και η ομάδα συμμετρίας του τετραγώνου η $D_{2\cdot 4}\hookrightarrow S_{4}$ . Ακόμη η ομάδα συμμετρίας του κύκλου είναι άπειρη. Έτσι μπορούμε να πούμε ότι όσο πιό συμμετρικό είναι ένα αντικείμενο, τόσο μεγαλύτερη ομάδα συμμετρίας έχει. Ένα ((ακόνιστο)) σχήμα έχει ομάδα συμμετρίας την τετριμμένη.

Στο κεφάλαιο αυτό ασχολούμαστε με την $S_{X}$ για $X=\{1,2,\dots,n\}$ . Στόχος μας είναι να αποδείξουμε ότι η $S_{n}$ δεν είναι επιλύσιμη για $n\geq 5$ και η $A_{n}$ είναι απλή για $n\geq 5.$

8.1 Βασικές ιδιότητες της $S_{n}$

Ορίσαμε την ομάδα $S_{n}$ στο Παράδειγμα 1.1.2.7 και στο Παραδειγμα 2.1.5.9 ορίσαμε τις άρτιες και περιττές μεταθέσεις. Στην άσκηση 7.2 του εδαφίου 3.1 είδαμε ότι $[S_{n}:A_{n}]=2,$ έτσι από την Πρόταση 3.2.5 η $Α_{n}$ είναι κανονική υποομάδα της $S_{n}$ και

S_{n}/A_{n}\cong\mathbb{Z}_{2}.

8.1.1

Άρα η $A_{n}$ είναι μία μέγιστη κανονική υποομάδα της $S_{n}$ (βλ. Πρόταση 7.1.3). Επίσης μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι η συνάρτηση

S_{n}\longrightarrow\{1,-1\},\;\;\sigma\longmapsto\begin{cases}1\text{ , αν η % $\sigma$ είναι άρτια }\\ -1\text{ , αν η $\sigma$ είναι περιττή }\end{cases}

είναι επιμορφισμός δακτυλίων με πυρήνα την $A_{n}$ . Έτσι από το Πρώτο Θεώρημα Ισομορφίας οδηγούμαστε πάλι στον ισομορφισμό (8.1.1).

Θα εξετάσουμε στη συνέχεια μερικές ιδιότητες των στοιχείων της $S_{n}$ .

Ορισμός 8.1.1

Έστω $\{\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{s}\}\subseteq\{1,2,\dots,n\}$ . Ορίζουμε την κυκλική (cyclic) μετάθεση ή κύκλο (cycle) των στοιχείων $\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{s}$ και συμβολίζουμε $(\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{s})$ ως τη μετάθεση που αφήνει τα στοιχεία του συνόλου $\{1,2,\dots,n\}$ που δεν ανήκουν στο σύνολο $\{\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{s}\}$ σταθερά και $\alpha_{1}\mapsto\alpha_{2},\;\alpha_{2}\mapsto\alpha_{3},\dots,\alpha_{s-1}% \mapsto\alpha_{s},\;\alpha_{s}\mapsto\alpha_{1}.$ Ο φυσικός αριθμός $s$ λέγεται μήκος (length) του κύκλου $(\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{s})$ . Ακόμη λέμε ότι ο κύκλος $(\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{s})$ είναι ένας s-κύκλος. Για παράδειγμα ο 4-κύκλος $(1234)=\bigg(\begin{array}[]{cccc}1&2&3&4\\ 2&3&4&1\end{array}\bigg)$ . Επίσης η μετάθεση

\bigg(\begin{array}[]{ccccc}1&2&3&4&5\\ 1&2&4&5&3\end{array}\bigg)=(345)=\bigg(\begin{array}[]{cccccc}1&2&3&4&5&6\\ 1&2&4&5&3&6\end{array}\bigg).

Πρόταση 8.1.2

Η τάξη μίας κυκλικής μετάθεσης ισούται με το μήκος της.

Απόδειξη Από τον Ορισμό 8.1.1 προκύπτει ότι ο κύκλος $\sigma=(\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{s})$ περιγράφεται από τις εξισώσεις

\sigma(\alpha_{k})=\alpha_{t},\;\;t\equiv(k+1)mods,\;\;1\leq k\leq s

και η μετάθεση $\sigma^{m}$ περιγράφεται από τις εξισώσεις

\sigma^{m}(\alpha_{k})=\alpha_{t},\;\;t\equiv(k+m)mods,\;\;1\leq k\leq s,

για κάποιον φυσικό αριθμό $m$ . (Βέβαια η μετάθεση $\sigma^{m},$ για $m>1$ , δεν είναι πάντα κυκλική μετάθεση.) Άρα $\sigma^{s}(\alpha_{k})=\alpha_{k},\;\;1\leq k\leq s,$ δηλ. $ord\sigma=s.$ $\blacksquare$

Ορισμός 8.1.3

Δύο μεταθέσεις $\sigma,\tau\;\in\;S_{n}$ λέγονται ξένες μεταξύ τους (disjoint) αν κάθε αντικείμενο από τα $\{1,2,...,n\}$ που δεν μένει σταθερό από τη μία μετάθεση μένει σταθερό από την άλλη, δηλ. αν $\sigma(x)\neq x$ , τότε $\tau(x)=x$ και αν $\tau(y)\neq y$ , τότε $\sigma(y)=y$ .

Για παράδειγμα η μετάθεση $\sigma=(12)(467)$ είναι γινόμενο των μεταθέσεων $(12)$ και $(467)$ που είναι ξένες μεταξύ τους. Έτσι η $\sigma=\bigg(\begin{array}[]{ccccccc}1&2&3&4&5&6&7\\ 2&1&3&6&5&7&4\end{array}\bigg).$

Πρόταση 8.1.4

Έστω $\sigma=(\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{s})$ και $\tau=(\beta_{1},\beta_{2},\dots,\beta_{t})$ δύο κύκλοι ξένοι μεταξύ τους. Τότε $\{\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{s}\}\cap\{\beta_{1},\beta_{2},\dots,% \beta_{t}\}=\varnothing$ και $\sigma\tau=\tau\sigma.$

Η απόδειξη αφήνεται ως άσκηση για τον αναγνώστη. $\blacksquare$

Για τη μετάθεση $\sigma=\bigg(\begin{array}[]{cccccccc}1&2&3&4&5&6&7&8\\ 2&1&3&5&6&4&8&7\end{array}\bigg)$ παρατηρούμε ότι

\sigma=(12)(3)(456)(78)=(12)(456)(78)

δηλ. η $\sigma$ αναλύεται σε γινόμενο μεταθέσεων ξένων μεταξύ τους ανά δύο. Με το επόμενο θεώρημα αποδεικνύουμε ότι κάθε στοιχείο της $S_{n}$ έχει αυτήν την ιδιότητα.

Θεώρημα 8.1.5

Κάθε μετάθεση της $S_{n}$ αναλύεται σε γινόμενο μεταθέσεων ξένων μεταξύ τους ανά δύο. Η ανάλυση αυτή είναι μοναδική και ανεξάρτητη της θέσης των παραγόντων.

Απόδειξη Έστω $\sigma\;\in\;S_{n}.$ Είναι εύκολο να δούμε ότι η συνάρτηση

\langle\sigma\rangle\times\{1,2,\dots,n\}\longrightarrow\{1,2,\dots,n\},\;\;(% \sigma^{k},\alpha)\longmapsto\sigma^{k}(\alpha)

είναι μία δράση της ομάδας $\langle\sigma\rangle$ στο σύνολο $\{1,2,\dots,n\}$ . Έστω $[\alpha]$ η τροχιά του $\alpha\;\in\;\{1,2,\dots,n\}$ , δηλ.

[\alpha]=\{\sigma^{k}(\alpha):0\leq k\leq ord(\sigma)\}.

Το σύνολο $[\alpha]$ είναι πεπερασμένο ως υποσύνολο του $\{1,2,\dots,n\}$ , άρα υπάρχουν φυσικοί αριθμοί $s, t$ τέτοιοι ώστε $\sigma^{s}(\alpha)=\sigma^{t}(\alpha).$ Αν το $s>t$ τότε

\sigma^{s}(\alpha)=\sigma^{t}(\alpha)\Rightarrow\;\sigma^{s\cdot t}(\alpha)=\alpha.

Έστω $m\neq 0$ ο ελάχιστος φυσικός αριθμός με την ιδιότητα $\sigma^{m}(\alpha)=\alpha$ . Τότε η $\sigma$ περιέχει στην ανάλυσή της την κυκλική μετάθεση $(\alpha\sigma(\alpha)\dots\sigma^{m-1}(\alpha)).$ Θεωρούμε, αν υπάρχει, ένα στοιχείο $\beta\;\in\;\{1,2,\dots,n\}$ και $\beta\notin\{\alpha,\sigma(\alpha),\dots,$ $\sigma^{m-1}(\alpha)\}$ . Όμοια για το β, όπως για το α, υπάρχει ένας ελάχιστος αριθμός $v\neq 0$ τέτοιος ώστε $\sigma^{v}(\beta)=\beta.$ Τότε η τροχιά του β είναι η $[\beta]=\{\beta,\sigma(\beta),\dots,\sigma^{v-1}(\beta)\}$ και τα σύνολα $[\alpha],[\beta]$ είναι ξένα μεταξύ τους, δηλ. $[\alpha]\cap[\beta]=\varnothing,$ αφού οι τροχιές είναι κλάσεις ισοδυναμίες. Αν υπάρχει στοιχείο του συνόλου $\{1,2,\dots,n\}$ που δεν ανήκει στο σύνολο $[\alpha]\cup[\beta]$ συνεχίζουμε με τον ίδιο τρόπο μέχρις ότου εξαντληθούν τα στοιχεία του συνόλου $\{1,2,\dots,n\}$ . Ακόμη αν ένα στοιχείο έχει μήκος τροχιάς ίσο με 1, oπότε μένει σταθερό από τη μετάθεση $\sigma$ , το παραλείπουμε. Έτσι η μετάθεση $\sigma$ αναλύεται σε γινόμενο κυκλικών μεταθέσεων ξένων μεταξύ τους ανά δύο που αντιμεταθέτονται (βλ. Πρόταση 8.1.4). Η μοναδικοτητα της ανάλυσης προκύπτει από το γεγονός ότι οι παράγοντες της ανάλυσης του $\sigma$ προέρχονται από τροχιές που είναι κλάσεις ισοδυναμίας.

Παραδείγματα 8.1.6

1. Για τη μετάθεση $\sigma=\bigg(\begin{array}[]{cccccccc}1&2&3&4&5&6&7&8\\ 3&2&4&5&1&7&6&8\end{array}\bigg)$ έχουμε τις τροχιές: $[1]=\{1,\sigma(1)=3,\sigma^{2}(1)=\sigma(3)=4,\sigma^{3}(1)=5\}$ , αφού $\sigma^{4}(1)=1,\;[2]=\{2\},\;[\sigma]=\{6,7\},\;[8]=8.$ Άρα η $\sigma=(1345)(67)$ .

2. Έστω $\sigma=(\alpha_{1}\alpha_{2}\dots\alpha_{k})(\alpha_{1}\alpha_{k+1}).$ Παρατηρούμε ότι $[\alpha_{1}]=\{\alpha_{1},\;\sigma(\alpha_{1})=\alpha_{k+1},\;\sigma^{2}(% \alpha_{1})=\sigma(\alpha_{k+1})=\alpha_{2},\;\sigma^{3}(\alpha_{1})=\alpha_{3% },\dots,\sigma^{k}(\alpha_{1})=\alpha_{k}\}$ , αφου $\sigma^{k+1}(\alpha_{1})=\sigma(\alpha_{k})=\alpha_{1}$ . Άρα η $\sigma$ είναι ο κύκλος $(\alpha_{1}\alpha_{k+1},\alpha_{2}\alpha_{3}\dots\alpha_{k})$ .

Στη συνέχεια θα δούμε μία ακόμη ανάλυση μίας μετάθεσης σε γινόμενο αντιμεταθέσεων (transportation), δηλ. μεταθέσεων μήκους δύο.

Πρόταση 8.1.7

i. Κάθε στοιχείο $\sigma\;\in\;S_{n}$ αναλύεται σε γινόμενο αντιμεταθέσεων.
ii. Ένα στοιχείο $\sigma\;\in\;S_{n}$ είναι άρτια μετάθεση αν και μόνον αν είναι γινόμενο άρτιου πλήθους αντιμεταθέσεων και περιττή μετάθεση αν και μόνον αν είναι γινόμενο περιττού πλήθους αντιμεταθέσεων.

Απόδειξη i. Από το Θεώρημα 8.1.5 έπεται ότι είναι αρκετό να αποδείξουμε την πρόταση για κυκλικές μεταθέσεις. Αν, λοιπόν, $\sigma=(\alpha_{1}\alpha_{2}\dots\alpha_{s}),$ τότε

(\alpha_{1}\alpha_{s})(\alpha_{1}\alpha_{s-1})\dots(\alpha_{1}\alpha_{2})=\sigma,

όπως διαπιστώνουμε κάνοντας τις πράξεις στο αριστερό μέρος της σχέσης αυτής.
ii. Από τον ορισμό των άρτιων και περιττών μεταθέσεων είναι φανερό ότι μία αντιμετάθεση είναι περιττή μετάθεση. Θεωρούμε τη συνάρτηση

f:S_{n}\longrightarrow\{-1,1\},\;\;\sigma\longmapsto\begin{cases}\;\;1\text{ ,% αν η $\sigma$ είναι άρτια }\\ -1\text{ , αν η $\sigma$ είναι περιττή. }\end{cases}

η $f$ είναι επιμορφισμός ομάδων με πυρήνα την $A_{n}$ . Άρα, αν $\sigma=\sigma_{1}\sigma_{2}\dots\sigma_{t}$ είναι η ανάλυση της $\sigma$ σε γινόμενο αντιμεταθέσεων, τότε $f(\sigma)=f(\sigma_{1})\dots f(\sigma_{t})=(-1)^{t}.$ Άρα η $\sigma$ είναι άρτια αν και μόνον αν ο $t$ είναι άρτιος και περιττή αν και μόνον αν ο $t$ είναι περιττός. $\blacksquare$

Πρόταση 8.1.8

i. Ένας s-κύκλος είναι άρτια μετάθεση αν ο $s$ είναι περιττός και περιττή μετάθεση αν ο $s$ είναι άρτιος.
ii. Έστω $\sigma\;\in\;S$ και $\sigma=\sigma_{1}\sigma_{2}\dots\sigma_{m}$ η ανάλυσή της σε γινόμενο κυκλικών μεταθέσεων ξένων μεταξύ τους ανά δύο. Αν η $\sigma_{i}$ είναι ένας $s_{i}$ -κύκλος, για $1\leq i\leq m,$ τότε η $\sigma$ είναι άρτια μετάθεση αν ο $\sum_{i=1}^{m}(s_{i}-1)$ είναι άρτιος αριθμός και περιττή αν $\sum_{i=1}^{m}(s_{i}-1)$ είναι περιττός.

Απόδειξη i. Από την απόδειξη της Πρότασης 8.1.7,i. προκύπτει ότι ο $s$ -κύκλος αναλύεται σε $s-1$ πλήθους αντιμεταθέσεων. Άρα είναι άρτια μετάθεση, όταν $s-1$ είναι άρτιος και περιττή αν ο $s-1$ είναι περιττός.
ii. Προκύπτει από το i. και το Θεώρημα 8.1.5. $\blacksquare$

Παρατηρήσεις 8.1.9

i. H ανάλυση μίας μετάθεσης σε γινόμενο αντιμεταθέσεων όπως αυτή αναφέρεται στην Πρόταση 8.1.7,i. δεν είναι μοναδική. Αυτό φαίνεται από το παράδειγμα:

(13)(12)=(123)=(23)(13)=(13)(42)(12)(14)

και γενικότερα από το

(\alpha\beta)=(\alpha\beta)(\gamma)=(\beta\gamma)(\alpha\beta)(\alpha\gamma).

ii. Το γινόμενο δύο αντιμεταθέσεων δεν είναι αντιμεταθετική πράξη. Πράγματι,

(123)=(13)(12)\neq(12)(13)=(132).

iii. Από την Πρόταση 8.1.8, όμως, προκύπτει ότι το πλήθος των αντιμεταθέσεων που αναλύεται μία μετάθεση δεν είναι μεν σταθερό, αλλά είναι ή άρτιος ή περιττός αριθμός.

Θα ταξινομήσουμε, τώρα, τα συζυγή στοιχεία μίας μετάθεσης $\sigma$ ανάλογα με την ανάλυσή της σε γινόμενο κυκλικών μεταθέσεων ξένων μεταξύ τους ανά δύο.

Πρόταση 8.1.10

Δύο στοιχεία $\sigma,\tau\;\in\;S_{n}$ είναι συζυγή αν και μόνον αν έχουν την ίδια ανάλυση σε γινόμενο κυκλικών μεταθέσεων ξένων μεταξύ τους ανά δύο.

Απόδειξη Ας υποθέσουμε ότι το στοιχείο $\sigma\;\in\;S$ έχει την ακόλουθη ανάλυση σε γινόμενο κυκλικών μεταθέσεων ξένων μεταξύ τους ανά δύο

\sigma=(\alpha_{11}\alpha_{12}...\alpha_{1s_{1}})(\alpha_{21}\alpha_{22}...% \alpha_{2s_{2}})...(\alpha_{t1}\alpha_{t2}...\alpha_{ts_{t}}),

όπου $t,s_{1},...,s_{t}$ είναι μη μηδενικοί φυσικοί αριθμοί και $s_{1}+s_{2}+...+s_{t}=n$ . Έστω ότι $\tau=\bigg(\begin{array}[]{cccccccccc}\alpha_{11}&...&\alpha_{1s_{1}}&\alpha_{% 21}&...&\alpha_{2s_{2}}&...&\alpha_{t1}&...&\alpha_{ts_{t}}\\ \beta_{11}&...&\beta{1s_{1}}&\beta_{21}&...&\beta_{2s_{2}}&...&\beta_{t1}&...&% \beta_{ts_{t}}\end{array}\bigg)$ ένα τυχαίο στοιχείο της $S_{n}$ . Τότε εύκολα υπολογίζουμε ότι

\tau\sigma\tau^{-1}=(\beta_{11}\beta_{12}...\beta_{1s_{1}})(\beta_{21}\beta_{2% 2}...\beta_{2s_{2}})...(\beta_{t1}\beta_{t2}...\beta_{ts_{t}}),

δηλαδή, κάθε συζυγές του $\sigma$ έχει την ίδια δομή σε ανάλυση κυκλικών μεταθέσεων ξένων μεταξύ τους ανά δύο. Αντίστροφα, ας υποθέσουμε ότι δύο στοιχεία $\sigma,\tau\;\in\;S_{n}$ έχουν την ίδια δομή σε γινόμενο κυκλικών μεταθέσεων ξένων μεταξύ τους ανά δύο. Έστω

\sigma=(\alpha_{11}...\alpha_{1s_{1}})(\alpha_{21}...\alpha_{2s_{2}})...(% \alpha_{t1}...\alpha_{ts_{t}})

και

\tau=(\beta_{11}...\beta_{1s_{1}})(\beta_{11}...\beta_{1s_{1}})...(\beta_{11}.% ..\beta_{1s_{1}})

αυτές οι αναλύσεις. Ορίζουμε τη μετάθεση

u:=\bigg(\begin{array}[]{cccccccccc}\alpha_{11}&...&\alpha_{1s_{1}}&\alpha_{21% }&...&\alpha_{2s_{2}}&...&\alpha_{t1}&...&\alpha_{ts_{t}}\\ \beta_{11}&...&\beta{1s_{1}}&\beta_{21}&...&\beta_{2s_{2}}&...&\beta_{t1}&...&% \beta_{ts_{t}}\end{array}\bigg)

και εύκολα υπολογίζουμε ότι $u\sigma u^{-1}=\tau$ . Άρα οι $\sigma,\tau$ είναι συζυγείς.

Παραδείγματα 8.1.11

1. Έστω $\sigma=(231)(45)(6)$ και $\tau=(462)(31)(5)$ δύο στοιχεία της $S_{n}$ με την ίδια δομή σε γινόμενο κυκλικών μεταθέσεων ξένων μεταξύ τους ανά δύο. Τότε $\tau=u\sigma u^{-1}$ , όπου $u=\bigg(\begin{array}[]{cccccc}2&3&1&4&5&6\\ 4&6&2&3&1&5\end{array}\bigg)=\bigg(\begin{array}[]{cccccc}1&2&3&4&5&6\\ 2&4&6&3&1&5\end{array}\bigg).$

2. Ας υπολογίσουμε τις κλάσεις συζυγών στοιχείων της $S_{3}$ . Από την Πρόταση 8.1.10 προκύπτει ότι οι δυνατές αναλύσεις των στοιχείων της $S_{3}$ σε γινόμενο κύκλων ξένων μεταξύ τους ανά δύο, ακολουθούν τις δομές:

(\times)(\times)(\times),(\times)(\times\times),(\times\times\times)

δηλαδή είναι όσες οι δυνατές προσθετικές αναλύσεις του 3, δηλ.

1+1+1,\;\;\;1+2,\;\;\;3.

(8.1)

Άρα έχουμε:

i.

Την κλάση που περιέχει όλους τους κύκλους μήκους 1, δηλαδή αποτελείται μόνον από το ουδέτερο στοιχείο της $S_{3}$ .
ii.

Την κλάση που περιέχει όλα τα στοιχεία που αναλύονται σε γινόμενο ενός κύκλου μήκους 1 και ενός κύκλου μήκους 2, δηλαδή περιέχει όλους τους κύκλους μήκους 2. Άρα περιέχει τα στοιχεία: $(12),(13),(23)$ .
iii.

Την κλάση που περιέχει όλους τους 3-κύκλους, δηλαδή τα στοιχεία: $(123),(132)$ .

3. Υπολογισμός των κλάσεων συζυγών στοιχείων της $S_{4}$ .
Οι προσθετικές αναλύσεις του 4 είναι :

1+1+1+1,\;\;1+1+2,\;\;1+3,\;\;2+2,\;\;4

Επομένως υπάρχουν πέντε κλάσεις συζυγών στοιχείων με δομή αντίστοιχα τη:

(\times)(\times)(\times)(\times),\;\;(\times)(\times)(\times\times),\;\;(% \times)(\times\times\times),\;\;(\times\times)(\times\times),\;\;(\times\times% \times\times),

δηλ. η πρώτη κλάση αποτελείται από το μοναδιαίο στοιχείο της $S_{4}$ , η δεύτερη από όλους τους 2-κύκλους, η τρίτη από όλους τους 3-κύκλους, η τέταρτη από όλα τα γινόμενα δύο 2-κύκλων και η πέμπτη από όλους τους 4-κύκλους.

Θα υπολογίσουμε τώρα το πλήθος των στοιχείων κάθε μίας από τις τέσσερις τελευταίες κλάσεις παρέχοντας ένα γενικό κανόνα.
Το πλήθος των $s$ -κύκλων της $S_{n}$ , για $1<s\leq n$ , είναι ίσο με

\frac{1}{s}n(n-1)\cdots(n-s+1).

(8.2)

Πράγματι, έστω $\sigma=(\alpha_{1}\alpha_{2}...\alpha_{s})$ ένας $s$ -κύκλος. Τα $\alpha_{i}$ είναι διακεκριμένα και το $\alpha_{1}$ μπορεί να λάβει $n$ τιμές, το $\alpha_{2}\;\;n-1$ τιμές, … και το $\alpha_{s}\;\;n-s+1$ τιμές. Επομένως, το πλήθος αυτών των παραστάσεων $(\alpha_{1}\alpha_{2}\dots\alpha_{s})$ είναι

n(n-1)(n-2)\cdots(n-s+1).

Όμως όλοι οι $s$ -κύκλοι που προκύπτουν από τον $\sigma$ με κυκλική μετάθεση των $\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{s}$ είναι ίσοι, δηλ.

(\alpha_{1}\alpha_{2}\dots\alpha_{s})=(\alpha_{2}\alpha_{3}\dots\alpha_{s}% \alpha_{1})=(\alpha_{s}\alpha_{1}\alpha_{2}\dots\alpha_{s-1}).

Επομένως οι διακεκριμένοι $s$ -κύκλοι της $S_{n}$ είναι

\frac{1}{s}n(n-1)(n-2)\cdots(n-s+1).\;\blacksquare

Επίσης μπορούμε να αποδείξουμε ότι:

Το πλήθος των στοιχείων της $S_{n}$ που έχουν τη δομή δύο κύκλων μήκους $s$ είναι

\frac{1}{2}\frac{1}{s^{2}}n(n-1)\cdots(n-s+1)\cdot(n-s)(n-s+1)\cdots(n-2s+1).

Πράγματι, έστω $\sigma=(\alpha_{1}\alpha_{2}\dots\alpha_{s})(\beta_{1}\beta_{2}\dots\beta_{s})$ ένα τέτοιο στοιχείο της $S_{n}$ . Το $\dfrac{1}{2}$ στον παραπάνω τύπο δικαιολογείται γιατί οι παράγοντες του $\sigma$ αντιμεταθέτονται. Ο παράγοντας $\frac{1}{s^{2}}$ δικαιολογείται όπως στον προηγούμενο τύπο το $\dfrac{1}{s}$ , αλλά τώρα για κάθε παράγοντα. Ας παρατηρήσουμε ακόμη, ότι οι δυνατές επιλογές για το στοιχείο $\beta_{1}$ είναι $n-s$ , αφού έχουμε ήδη επιλέξει τα στοιχεία $\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{s}.$ Όμοια για το $\beta_{2}$ είναι $n-s-1$ κ.ο.κ. $\blacksquare$

Έτσι το πλήθος των στοιχείων της $S_{4}$ με δομή $(\times\times)$ είναι $\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 3=6$ , το πλήθος των στοιχείων με δομή $(\times\times\times)$ είναι $\frac{1}{3}\cdot 4\cdot 3\cdot 2=8$ , το πλήθος των στοιχείων με δομή $(\times\times\times\times)$ είναι $\frac{1}{2}\frac{1}{4}(4\cdot 3)(2\cdot 1)=3$ . Παρατηρούμε ακόμη ότι τα στοιχεία με δομή $(\times\times)$ είναι περιττές μεταθέσεις ως αντιμεταθέσεις, τα στοιχεία $(\times\times\times)$ είναι άρτιες μεταθέσεις, τα στοιχεία $(\times\times\times\times)$ είναι περιττές μεταθέσεις, βλ. Πρόταση 8.1.8. $i$ , και τα στοιχεία $(\times\times)(\times\times)$ είναι άρτιες μεταθέσεις ως γινόμενο περιττών, ή βλ. ακόμη Πρόταση 8.1.8. $i i$ .
Ας υπολογίσουμε τώρα την τάξη των στοιχείων της $S_{4}$ . Από την Πρόταση 2.2.4. $ii)$ προκύπτει ότι τα συζυγή στοιχεία μίας ομάδας έχουν της ίδια τάξη. Έτσι όλοι οι 2-κύκλοι έχουν τάξη 2, βλ. Πρόταση 8.1.2. Όμοια κάθε 3-κύκλος έχει τάξη 3 και κάθε 4-κύκλος έχει τάξη 4. Κάθε στοιχείο της μορφής $(\times\times)(\times\times)$ έχει τάξη 2 γιατί οι παράγοντες αντιμεταθέτονται και $[(\alpha\beta)(\gamma\delta)]^{2}=(\alpha\beta)^{2}(\gamma\delta)^{2}=1.$ Έτσι καταλήγουμε στον ακόλουθο πίνακα για τα στοιχεία της $S_{4}$ .

\begin{array}[]{cccc}\text{Ανάλυση σε κύκλους}&\text{πλήθος στοιχείων }S_{4}&% \text{τάξη στοιχείων}&\text{είδος στοιχείου}\\ (\times)&1&1&\text{άρτια}\\ (\times\times)&6&2&\text{περιττή}\\ (\times\times\times)&8&3&\text{άρτια}\\ (\times\times\times\times)&6&4&\text{περιττή}\\ (\times\times)(\times\times)&3&2&\text{άρτια}\end{array}

Από τον προηγούμενο πίνακα μπορούμε να βρούμε επίσης τα στοιχεία της $A_{4}$ .

\begin{array}[]{cccc}\text{Ανάλυση σε κυκλους}&\text{πλήθος στοιχείων }A_{4}&% \text{τάξη στοιχείων}&\text{είδος στοιχείου}\\ (\times)&1&1&\text{άρτια}\\ (\times\times\times)&8&3&\text{άρτια}\\ (\times\times)(\times\times)&3&2&\text{άρτια}\end{array}

Ασκήσεις

1. Να αναλυθούν οι παρακάτω μεταθέσεις σε γινόμενο κυκλικών μεταθέσεων ξένων μεταξύ τους ανά δύο.

i.

$\bigg(\begin{array}[]{cccccccc}1&2&3&4&5&6&7&8\\ 2&6&1&8&5&3&4&7\end{array}\bigg)$ ,
ii.

$\bigg(\begin{array}[]{cccccc}\alpha&\beta&\gamma&\delta&\epsilon&\zeta\\ \gamma&\epsilon&\delta&\zeta&\beta&\alpha\end{array}\bigg)$ ,
iii.

$(\alpha_{1}\alpha_{2}\dots\alpha_{k}y\beta_{1}\beta_{1}\dots\beta_{s})(\alpha_% {k}\alpha_{k-1}\dots\alpha_{2}\alpha_{1}xy\gamma_{1}\gamma_{2}\dots\gamma_{t})$ ,
iv.

$(\alpha_{1}\alpha_{2}\dots\alpha_{k}xyz\beta_{1}\beta_{1}\dots\beta_{s})$ .

2. Έστω $p$ ένας πρώτος φυσικός αριθμός. Να αποδείξετε ότι τα μόνο στοιχεία της $S_{n}$ με τάξη $p$ είναι τα γινόμενα $p$ -κύκλων ξένων μεταξύ τους ανά δύο. (Υποδ): Να παρατηρήσετε ότι αν το $\sigma\;\in\;S_{n}$ έχει την ανάλυση $\sigma=\sigma_{1}\dots\sigma_{s}$ σε γινόμενο κυκλικών μεταθέσεων ξένων μεταξύ τους ανά δύο τότε $1=\sigma^{p}=\sigma_{1}^{p}\dots\sigma_{s}^{p}\Rightarrow\sigma_{1}^{p}=\dots=% \sigma_{s}^{p}=1$ .
3. Αν ένα στοιχείο $\sigma\;\in\;S_{n}$ αναλύεται σε γινόμενο $s$ πλήθους κύκλων, ξένων μεταξύ τους ανά δύο, μήκους $t_{1},t_{2},\dots,t_{s}$ αντίστοιχα, με $t_{1}+t_{2}+\dots+t_{s}=n$ , να αποδείξετε ότι $ord(\sigma)=\text{ΕΚΠ}(t_{1},t_{2},\dots,t_{s})$ .
4. Δίνεται ένας $n$ -κύκλος $\sigma\;\in\;S_{n}$ και ένας φυσικός αριθμός $m|n$ . Να αποδείξετε ότι το στοιχείο $\sigma^{m}$ είναι γινόμενο $m$ κυκλικών μεταθέσεων, ξένων μεταξύ τους ανά δύο.
5. Να εξετάσετε ποια από τις επόμενες μεταθέσεις είναι άρτια και ποια περιττή:

i.

$(123456)$
ii.

$(2345)$
iii.

$(123)(45)$
iv.

$\bigg(\begin{array}[]{cccccc}1&2&3&4&5&6\\ 2&4&6&1&3&5\end{array}\bigg)$

6. Έστω $\tau=(12)$ και $\sigma=(12\dots n)$ στοιχεία της $S_{n}$ . Να υπολογίσετε τα στοιχεία $\sigma^{-k}\tau\sigma^{k}$ , για $k=1,2,\dots,n-1$ .
7. Να αποδείξετε ότι η $A_{4}$ έχει μοναδική υποομάδα τάξης 4 την ομάδα του Klein $\{e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}.$ Ακόμη να αποδείξετε ότι $Z(A_{4})=\{e\}$ .
8. Να γίνουν οι πίνακες της $S_{5}$ και της $A_{5}$ , οι αντίστοιχοι των $S_{4}$ και $A_{4}$ στο Παράδειγμα 8.1.11.3

8.2 Επιλυσιμότητα της $S_{n}$

Ξεκινούμε αυτό το εδάφιο με τον υπολογισμό συνόλου παραγόντων στοιχείων της $S_{n}$ και της $A_{n}$ .

Πρόταση 8.2.1

i.

$S_{n}=\langle\{(\alpha\beta):1\leq\alpha,\beta\leq n\rangle\}$ .
ii.

$S_{n}=\langle(12),(13),\dots,(1n)\rangle$ .
iii.

$S_{n}=\langle(12),(12\dots n)\rangle$ .

Απόδειξη

i.

Είναι φανερό, αφού κάθε στοιχείο της $S_{n}$ αναλύεται σε γινόμενο αντιμεταθέσεων (βλ. Πρόταση 8.1.7).
ii.

Παρατηρούμε ότι

$(1\alpha)(1\beta)(1\alpha)=(\alpha\beta)\;\;,\;\;1\leq\alpha,\beta\leq n.$ 8.2.1

Έστω

$G=\langle(12),(13),\dots,(1n)\rangle.$

Είναι φανερό ότι $G\leq S_{n}$ . Ακόμη κάθε στοιχείο $(\alpha\beta)\;\in\;G$ , $1\leq\alpha,\beta\leq n$ , λόγω της σχέσης (9.2.1). Άρα $S_{n}\leq G$ και συνεπώς $S_{n}=G$ , δηλ. αποδείχθηκε το $i i$ .
iii.

Θέτουμε $\tau=(12)$ , $\sigma=(12\dots n)$ και $H=\langle\tau,\sigma\rangle.$ Είναι φανερό ότι $H\leq S_{n}$ . Θα αποδείξουμε ότι $S_{n}\leq H$ . Αρκεί να αποδείξουμε ότι η $H$ περιέχει όλες τις αντιμεταθέσεις $(12),(13),\dots,(1n)$ , οπότε από το $ii)$ θα προκύψει ότι $S_{n}\leq H$ . Εκτελώντας τις πράξεις βλέπουμε ότι

$\sigma^{-1}\tau\sigma=(1n),\;\;\sigma^{-2}\tau\sigma^{2}=\sigma^{-1}(1n)\sigma% =(n-1,n),\dots\sigma^{1-n}\tau\sigma^{n-1}=(23),$ 8.2.2

δηλ. η Η περιέχει τα στοιχεία

$(1n),(n-1,n),\dots,(23).$

Ακόμη, η $H$ περιέχει το στοιχείο $(1\alpha)$ , $1\leq\alpha\leq n$ . Πράγματι,

$(\alpha-1,\alpha)(\alpha-2,\alpha-1)\cdots(34)(23)(12)(23)(34)\cdot(\alpha-1,% \alpha)=(1\alpha),$ 8.2.3

για $2\leq\alpha\leq n$ . Άρα, από τις σχέσεις (9.2.2) και (9.2.3) έπεται ότι

$(1\alpha)\;\in\;H,\;\;1\leq\alpha\leq n,$ (8.3)

οπότε $S_{n}\leq H$ και αποδείχθηκε η $i i i$ ). $\blacksquare$

Πρόταση 8.2.2

i.

Κάθε στοιχείο της $A_{n}$ είναι γινόμενο (πεπερασμένου πλήθους) 3-κύκλων.
ii.

$A_{n}=\langle\{(\alpha\beta\gamma):\alpha,\beta,\gamma\;\in\;\{1,2,\dots,n\}\rangle$ .
iii.

$A_{n}=\langle(123),(124),\dots,(12n)\rangle$ .

Απόδειξη

i.

Κάθε 3-κύκλος $(\alpha\beta\gamma)$ , με $1\leq\alpha,\beta,\gamma\leq n$ , είναι άρτια μετάθεση, άρα ανήκει στην $A_{n}$ . Όμως, κάθε άρτια μετάθεση είναι γινόμενο άρτιου πλήθους αντιμεταθέσεων και αρκεί να περιοριστούμε στις αντιμεταθέσεις $(12),(13),\dots,(1n)$ , λόγω της Πρότασης 9.2.1. $ii)$ . Αλλά $(1\alpha)(1\beta)=(1\alpha\beta)$ , όπως διαπιστώνουμε με πράξεις. Άρα κάθε άρτια μετάθεση είναι γινόμενο 3-κύκλων και αποδείχτηκε το $i)$ .
ii.

Προκύπτει από το $i)$ .
iii.

Αφού $(1\alpha)(1\beta)=(1\alpha\beta)$ , έπεται ότι

$A_{n}=\langle(1\alpha\beta):2\leq\alpha,\beta\leq n\rangle.$

Ακόμη παρατηρούμε ότι

$(1\alpha\beta)=(12\beta)^{-1}(12i)(12j).$

Επομένως

$A_{n}=\langle(123),(124),\dots,(12n)\rangle\;\;\blacksquare$

Με την επόμενη πρόταση, η $A_{4}$ είναι ένα παράδειγμα ομάδας για την οποία δεν ισχύει το αντίστροφο του Θεωρήματος του Lagrange (Θεώρημα 3.1.9).

Πρόταση 8.2.3

Η ομάδα $A_{4}$ δεν περιέχει υποομάδα τάξης 6.

Απόδειξη Ας υποθέσουμε ότι η $A_{4}$ έχει μία υποομάδα $H$ τάξης 6. Τότε $[A_{4}:H]=2$ , άρα $H\lhd A_{4}$ (βλ. Πρόταση 3.2.5). Αυτό σημαίνει ότι η $H$ περιέχει τα συζυγή στοιχεία κάθε στοιχείου της, δηλ. $\alpha h\alpha^{-1}\;\in\;H,\;\forall\alpha\;\in\;A_{4}$ . Στην $A_{4}$ υπάρχουν 8 το πλήθος 3-κύκλοι και η ομάδα $Η$ έχει 6 στοιχεία. Άρα θα υπάρχει τουλάχιστον ένας 3-κύκλος, έστω $g,$ στην υποομάδα $H$ . Τότε η $H$ περιέχει όλα τα συζυγή στοιχεία του $g$ στην $A_{4}$ . Ας υπολογίσουμε τα συζυγή του $g$ στην $A_{4}$ . Γνωρίζουμε ότι τα συζυγή του $g$ στην ομάδα $S_{4}$ είναι όλοι οι 3-κύκλοι (βλ. Πρόταση 8.1.10), δηλ. 8 στοιχεία. Άρα, βλ. Θεώρημα 5.1.8,

[S_{4}:C_{S_{4}}(g)]=8\Rightarrow|C_{S_{4}}(g)|=\frac{24}{8}=3.

Με άλλα λόγια υπάρχουν 3 στοιχεία στην ομάδα $S_{4}$ που αντιμεταθέτονται με το $g$ . Όμως, τα στοιχεία $1,g,g^{2}$ αντιμεταθέτονται με το $g$ , άρα

|C_{S_{4}}(g)=\{(1),γ,γ^{2}\}<Α_{4}.

Επομένως

|C_{S_{4}}(g)=|C_{A_{4}}(g)

και συνεπώς

[A_{4}:|C_{A_{4}}(g)]=\frac{12}{3}=4.

Υπάρχουν επομένως 4 συζυγή του $g$ στην $A_{4}$ και αυτά τα συζυγή ανήκουν στην υποομάδα $H$ , αφού $H\lhd A_{4}$ . Αν η $H$ περιείχε και άλλον 3-κύκλο, τότε θα περιείχε και τα συζυγή του στην $A_{4}$ , δηλ. 4 ακόμη στοιχεία, οπότε η τάξη της $H$ θα ξεπερνούσε το 6, όμως αυτό είναι αδύνατον. Από τα Θεωρήματα του Sylow η $H$ περιέχει ένα στοιχείο, έστω $h$ , τάξης 2. Το $h$ ως άρτια μετάθεση τάξης 2 είναι τύπου $(\times\times)(\times\times)$ (βλ. πίνακα της $A_{4}$ στο Παράδειγμα 8.1.11.3). Έτσι η $H$ περιέχει τουλάχιστον τα εξής 6 στοιχεία: το (1), τέσσερις 3-κύκλους και το $h$ .
Θα αποδείξουμε ότι μπορούμε να βρούμε κι άλλο στοιχείο που πρέπει να ανήκει στην $H$ διάφορο των παραπάνω έξι στοιχείων και αυτό βέβαια θα οδηγήσει σε άτοπο. Τα συζυγή του $h$ στην $A_{4}$ οφείλουν να ανήκουν στην $H$ , αφού $H\lhd A_{4}$ , δηλ. $\alpha h\alpha^{-1}\;\in\;H$ , για κάθε $\alpha\;\in\;A_{4}$ . Αν, λοιπόν, λάβουμε ως $\alpha$ τον 3-κύκλο (123) και ως $h$ το (12)(34), τότε $\alpha h\alpha^{-1}=(31)(24)\neq h$ . Άρα $(31)(24)\;\in\;H$ και η $H$ περιέχει περισσότερα από έξι στοιχεία, που είναι άτοπο. Καταλήξαμε σε άτοπο γιατί υποθέσαμε ότι υπάρχει υποομάδα της $A_{4}$ τάξης 6. Άρα η $A_{4}$ δεν έχει υποομάδα τάξης 6, ενώ $6\big||A_{4}|$ . $\blacksquare$

Εξετάζουμε, τώρα, την επιλυσιμότητα της $S_{n}$ .

Θεώρημα 8.2.4

Η $S_{n}$ δεν είναι επιλύσιμη για $n\geq 5$ .

Απόδειξη Έστω $n\geq 5$ και $N$ μία κανονική υποομάδα της $S_{n}$ η οποία περιέχει κάθε 3-κύκλο της $S_{n}$ . Θα αποδείξουμε ότι τότε κάθε 3-κύκλος της $S_{n}$ θα ανήκει και στην υποομάδα $Ν^{(1)}$ , την ομάδα μεταθετών της $N$ . Πράγματι, αν $\alpha=(123)$ και $\beta=(345)$ , τότε, αφού $\alpha,\beta\;\in\;N$ , έπεται ότι $[\alpha,\beta]=(253)\;\in\;N^{(1)}.$ Όμως, $N^{(1)}\unlhd S_{n}$ , βλ. Παράδειγμα 7.4.9.2, άρα $\sigma(253)\sigma^{-1}\;\in\;N^{(1)}$ , για κάθε $\sigma\;\in\;S_{n}$ . Μπορούμε να επιλέξουμε το $\sigma$ ώστε $\sigma(2)=\alpha_{1},\;\;\sigma(5)=\alpha_{2}$ και $\sigma(3)=\alpha_{3}$ , όπου τα $\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$ είναι αυθαίρετα στοιχεία του συνόλου $\{1,2,\dots,n\}$ , δηλ. το στοιχείο $(\alpha_{1}\alpha_{2}\alpha_{3})$ να είναι ένας τυχαίος 3-κύκλος της $S_{n}$ , βλ. Πρόταση 8.1.10. Αυτό σημαίνει ότι η $N^{(1)}$ περιέχει όλους τους 3-κύκλους της $S_{n}$ .
Αν, τώρα, θεωρήσουμε ως $N$ την ίδια την ομάδα $S_{n}$ , τότε συμπεραίνουμε ότι η $S_{n}^{(1)}$ περιέχει όλους τους 3-κύκλους της $S_{n}$ . Όμοια η $S_{n}^{(2)}$ περιέχει όλους τους 3-κύκλους της $S_{n}$ κ.ο.κ. η $S_{n}^{(k)}$ περιέχει όλους τους 3-κύκλους της $S_{n}$ , για κάθε $k\;\in\;\mathbb{N}$ . Επομένως $S_{n}^{(k)}\neq(1)$ , για κάθε $k\;\in\;\mathbb{N}$ , και σύμφωνα με το Θεώρημα 7.4.11 η $S_{n}$ δεν είναι επιλύσιμη. (Τα $\alpha,\beta$ τα επιλέξαμε έτσι ώστε σαφώς το $n\geq 5$ .) $\blacksquare$

Από το Παράδειγμα 7.3.2.2 και το Θεώρημα 8.2.4 προκύπτει το επόμενο Πόρισμα.

Πόρισμα 8.2.5

Η $S_{n}$ είναι επιλύσιμη αν και μόνον αν $n\leq 4$ .

Ερχόμαστε τώρα στον δεύτερο στόχο αυτού του εδαφίου να εξετάσουμε την απλότητα της $A_{n}$ .

Θεώρημα 8.2.6

Η ομάδα $A_{n}$ , για $n\geq 5$ , είναι απλή.

Απόδειξη Ας υποθέσουμε ότι για $n\geq 5$ η $A_{n}$ περιέχει μία κανονική υποομάδα $H\neq\{e\}$ . Θα αποδείξουμε αρχικά ότι, τότε η $H$ περιέχει έναν τουλάχιστον 3-κύκλο. Έστω $\sigma\neq e$ ένα τοιχείο της $H$ που αφήνει σταθερό το μέγιστο πλήθος μεταξύ των στοιχείων $\{1,2,\dots,n\}$ . Αν το $\sigma$ δεν είναι 3-κύκλος, τότε θα έχει μία από τις ακόλουθες αναλύσεις σε γινόμενο κυκλικών μεταθέσεων, ξένων μεταξύ τους ανά δύο:

i.

$\sigma=(123\cdots)(\cdots)\cdots$
ii.

$\sigma=(12)(34)\cdots$

Αν το $\sigma$ έχει την ανάλυση $i)$ , τότε το $\sigma$ εκτός από τα στοιχεία 1,2,3 μεταθέτει τουλάχιστον δύο ακόμη, έστω τα 4 και 5. Αυτό συμβαίνει γιατί αν το $\sigma$ μεταθέτει ακριβώς 4 στοιχεία από τα $\{1,2,\cdots,n\}$ θα μπορούσε να ήταν ένας 4-κύκλος και τότε θα ήταν περιττή μετάθεση, οπότε $\sigma\notin A_{n}$ . Έστω $\tau=(345)$ και $u=\tau\sigma\tau^{-1}$ . Από το Θεώρημα 8.1.5 έπεται ότι αν η $\sigma$ έχει την ανάλυση $i)$ , τότε

u=(124\cdots)\cdots,

ενώ αν έχει την ανάλυση $ii)$ , τότε

u=(12)(45)\cdots.

Είναι φανερό ότι το αντικείμενο $s>5$ που μένει σταθερό από τη μετάθεση $\sigma$ , τότε μένει σταθερό και από το $u$ . Επομένως το $s$ μένει σταθερό από το $\sigma^{-1}u$ . Ακόμη παρατηρούμε ότι $\sigma^{-1}u(1)=1$ , αν το $\sigma$ έχει την ανάλυση $i)$ και το αν το $\sigma$ έχει την ανάλυση $ii)$ , τότε $\sigma^{-1}u(1)=1$ και $\sigma^{-1}u(2)=2$ . Έτσι σε κάθε περίπτωση το στοιχείο $\sigma^{-1}u$ αφήνει περισσότερα σταθερά αντικείμενα από τα $1,2,\dots,n$ από όσα αφήνει η $\sigma$ . Αυτό έρχεται σε αντίφαση με την υπόθεση για το $\sigma$ , δεδομένου ότι $\sigma^{-1}u\;\in\;H$ . Άρα η μετάθεση $\sigma$ είναι ένας 3-κύκλος. Τέλος, θα αποδείξουμε ότι η $H$ θα περιέχει κάθε 3-κύκλο. Πράγματι, αν $\sigma=(\alpha\beta\gamma)$ ,για $\alpha,\beta,\gamma\;\in\;\{1,2,\dots,n\}$ , τότε για έναν άλλο 3-κύκλο $(\alpha\beta\delta)$ ισχύει

(\alpha\beta\delta)=(\alpha\beta)(\gamma\delta)(\alpha\beta\gamma)^{2}(\gamma% \delta)(\alpha\beta)=(\alpha\beta)(\gamma\delta)(\alpha\beta\gamma)^{2}\big((% \alpha\beta)(\gamma\delta)\big)^{-1}

και $(\alpha\beta)(\gamma\delta)\;\in\;A_{n}$ , δηλ. ο $(\alpha\beta\delta)\;\in\;H$ ως συζυγές του $(\alpha\beta\gamma)^{2}\;\in\;H$ , αφού $H\unlhd A_{n}$ . Επομένως η $H$ περιέχει κάθε 3-κύκλο και συνεπώς κάθε στοιχείο της $A_{n}$ , βλ Πρόταση 8.2.2. (Ας παρατηρήσουμε ότι η $H\unlhd A_{n}$ και δεν είναι απαραίτητο $H\unlhd S_{n}$ .) Άρα $H=S_{n}.$ $\blacksquare$

Από το Παράδειγμα 7.3.2.2 και το Θεώρημα 8.2.6 προκύπτει το ακόλουθο πόρισμα.

Πόρισμα 8.2.7

Η ομάδα $A_{n}$ είναι απλή αν και μόνον αν $n\geq 5$ .

Άσκηση Να αποδείξετε ότι από το Θεώρημα 8.2.6 προκύπτει το Θεώρημα 8.2.4.

Κεφάλαιο 8Η ομάδα Sn

8.1 Βασικές ιδιότητες της Sn