Περιεχόμενα - Εισαγωγή στη Θεωρία Ομάδων 4 Ευθέα γινόμενα ομάδων 6 Πεπερασμένα παραγόμενες αβελιανές ομάδες

Κεφάλαιο 5Δράση ομάδας

Από τον ορισμό της ομάδας συμμετρίας, $S(X),$ ενός συνόλου Χ και ιδιαίτερα όταν το Χ είναι ένα γεωμετρικό σχήμα στον διδιάστατο ή τριδιάστατο χώρο διαπιστώνουμε ότι η ομάδα $S(X)$ «δρα» κατά κάποιον τρόπο στο σύνολο Χ. Κάθε στοιχείο $g\;\in\;S(X)$ έχει την ιδιότητα $g(X)=X$ , ενώ $g(x)\;\in\;X$ , για $x\;\in\;X,$ χωρίς απαραίτητα $g(x)=x.$ Ένα απλούστερο αλλά συχνότερο φαινόμενο «δράση» είναι αυτή της ομάδας $S_{n}$ στο σύνολο των $n$ αντικειμένων $\{1,2,\dots,n\}$ .

Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζουμε με αυστηρά μαθηματικό τρόπο το φαινόμενο της δράσης ομάδας σε σύνολο. Μία από τις εφαρμογές της δράσης είναι η μελέτη της δράσης ομάδας στον εαυτό της με πολύ ενδιαφέροντα συμπεράσματα για την ίδια την ομάδα, όπως είναι τα θεωρήματα του Sylow.

Η δράση ομάδας σε σύνολο είναι από τα θέματα της Άλγεβρας με τις περισσότερες εφαρμογές τόσο στα Μαθηματικά όσο και σε άλλες επιστήμες όπως η Φυσική, η Χημεία, κ.λ.π.

5.1 Ορισμοί - Βασικές έννοιες

Ορισμός 5.1.1

Έστω $(G,\cdot)$ μία ομάδα και Α ένα μη κενό σύνολο. Η ομάδα $G$ δρα (act) στο σύνολο Α, αν υπάρχει συνάρτηση

*:G\times A\longrightarrow A,\;\;\;(g,\alpha)\longmapsto g*\alpha

5.1.1

με τις ιδιότητες:

\begin{array}[]{l}i.\;g_{1}*(g_{2}*\alpha)=(g_{1}g_{2})*\alpha,\;\;g_{1},g_{2}% \;\in\;G,\;\alpha\;\in\;A\\ \\ ii.\;e*\alpha=\alpha,\;\;\alpha\;\in\;A,\end{array}

(5.1)

όπου $e$ είναι το ουδέτερο στοιχείο της ομάδας $G$ .

Παρατήρηση

Στον Ορισμό 5.1.1 ορίστηκε η από αριστερά δράση της ομάδας $G$ στο σύνολο Α. Ανάλογα μπορούμε να ορίσουμε και την από δεξιά δράση ως μία συνάρτηση

\diamond:A\times G\longrightarrow A,\;\;\;(\alpha,g)\longmapsto\alpha\diamond g

(5.2)

με τις ιδιότητες:

\begin{array}[]{l}i.\;(\alpha\diamond g_{1})\diamond g_{2}=\alpha\diamond(g_{1% }g_{2}),\\ \\ ii.\;\alpha\diamond e=\alpha,\end{array}

(5.3)

για $g_{1},g_{2}\;\in\;G,\;\alpha\;\in\;A$ και $e$ το ουδέτερο στοιχείο της ομάδας $G$ .

Όμως, αν $*$ είναι μία από αριστερά δράση της $G$ σύνολο Α, όπως στον Ορισμό 5.1.1, μπορούμε να ορίσουμε μία από δεξια δράση της $G$ στο Α ως εξής: ορίζουμε τη συνάτηση

\diamond:A\times G\longrightarrow A,\;\;\alpha\diamond g=g^{-1}*\alpha,

(5.4)

τότε

(\alpha\diamond g_{1})\diamond g_{2}=(g_{1}^{-1}*\alpha)\diamond g_{2}=g_{2}^{% -1}*(g_{1}^{-1}*\alpha)=(g_{2}^{-1}g_{1}^{-1})*\alpha=(g_{1}g_{2})^{-1}*\alpha% =\alpha\diamond(g_{1}g_{2})

(5.5)

και

\alpha\diamond e=e^{-1}*\alpha=e*\alpha=\alpha,

(5.6)

για $g_{1},g_{2}\;\in\;G$ και $\alpha\;\in\;A.$

Βέβαια και από μία από δεξιά δράση οδηγούμαστε ανάλογα σε μία από αριστερά δράση. Δεν υπάρχει επομένως λόγος διάκρισης στην ανάπτυξη της θεωρίας από αριστερά δράση και από δεξιά δράση ομάδας. Στο εξής όταν λέμε δράση ομάδας σε σύνολο εννοούμε και συμβολίζουμε μία από αριστερά δράση.

Παραδείγματα 5.1.2

1. Έστω Α ένα μη κενό σύνολο και $G$ μία τυχούσα υποομάδα της ομάδας μετασχηματισμών $S_{A}$ του συνόλου Α. Η $G$ δρα στο σύνολο Α. Πράγματι, η αντιστοιχία

G\times A\longrightarrow A,\;\;(g,\alpha)\longmapsto g(\alpha)

(5.7)

είναι φανερά μία συνάρτηση που ικανοποιεί τα i. και ii. του Ορισμού 5.1.1.

2. Η ομάδα $S_{n}$ δρα στο σύνολο $\{1,2,\dots,n\}$ με την

S_{n}\times\{1,2,\dots,n\}\longrightarrow\{1,2,\dots,n\},\;\;(\sigma,i)% \longmapsto\sigma(i).

(5.8)

Αυτό διαπιστώνεται όπως στο προηγούμενο παράδειγμα.

3. Έστω $V\neq(0)$ ένας $\mathbb{R}-$ διανυσματικός χώρος. Θεωρούμε την πολλαπλασιαστική ομάδα $(\mathbb{R^{*}},\cdot)$ του σώματος των πραγματικών αριθμών και τη συνάρτηση

\mathbb{R^{*}}\times V\longrightarrow V,\;\;(r,v)\longmapsto rv.

(5.9)

Είναι φανερό από τις ιδιότητες του $\mathbb{R}-$ διανυσματικού χώρου ότι:

\begin{array}[]{ccc}i.\;(r_{1}r_{2})v=r_{1}(r_{2}v)&\text{ και }&ii.\;1v=v,% \end{array}

(5.10)

για $r_{1}.r_{2}\;\in\;\mathbb{R^{*}}$ και $v\;\in\;V$ . Άρα η $\mathbb{R^{*}}$ δρα στον $V$ . Ας θεωρήσουμε τώρα την προσθετική ομάδα $(\mathbb{R},+)$ . Είναι λογικό να αναρωτηθούμε αν η $(\mathbb{R},+)$ δρα στον $V$ με τη συνάρτηση

*:\mathbb{R}\times V\longrightarrow V,\;\;(r,v)\longmapsto r*v:=rv

5.1.2

Παρατηρούμε ότι αν η $(\mathbb{R},+)$ δρα στον $V$ με αυτόν τον τρόπο, τότε, για $r_{1},r_{2}\;\in\;\mathbb{R}$ και $v\;\in\;V$ , θα ισχύει

(r_{1}+r_{2})*v=r_{1}*(r_{2}*v)\Rightarrow(r_{1}+r_{2})v=r_{1}(r_{2}v)% \Rightarrow(r_{1}+r_{2})v=(r_{1}r_{2})v\Rightarrow

(5.11)

(r_{1}+r_{2}-r_{1}r_{2})v=0.

(5.12)

Άρα, από τις ιδιότητες του $\mathbb{R}-$ διανυσματικού χώρου έπεται ότι

r_{1}+r_{2}=r_{1}r_{2}\Rightarrow r_{2}=r_{1}(r_{2}-1)\Rightarrow r_{1}=r_{2}(% r_{2}-1)^{-1},

(5.13)

αν $r_{2}-1\neq 0.$ Είναι φανερό ότι η τελευταία αυτή σχέση δεν ισχύει για όλα τα $r_{1},r_{2}\;\in\;\mathbb{R}.$ Από την άλλη μεριά, επειδή το 0 είναι το ουδέτερο στοιχείο της $(\mathbb{R},+)$ η σχέση ii) του Ορισμού 5.1.1 γίνεται $0*v=v,$ δηλ. $0v=v$ , για όλα τα $v\;\in\;V,$ η οποία δεν ισχύει. Έτσι, αφού για τη συνάρτηση (5.1.2) μία από τις δύο ιδιότητες i) ή ii) του Ορισμού 5.1.1 δεν ισχύει, έπεται ότι η $(\mathbb{R},+)$ δε δρα με αυτόν τον τρόπο στον $V$ .

Το επόμενο θεώρημα αποδεικνύει ότι η ύπαρξη δράσης ομάδας $G$ σε ένα σύνολο $A\neq\O{}$ ισοδυναμεί με την ύπαρξη ενός ομομορφισμού $G\to S_{A}.$ Ετσι όλα τα φαινόμενα δράσης που συναντούμε στο φυσικό κόσμο γύρω μας μαθηματικοποιούνται με την θεωρία ομάδων.

Θεώρημα 5.1.3

Έστω $G$ μία ομάδα και Α ένα μη κενό σύνολο. Αν

*:G\times A\longrightarrow A,\;\;\;(g,\alpha)\longmapsto g*\alpha

5.1.3

είναι μία δράση της $G$ στο Α, τότε η αντιστοιχία

f:G\longrightarrow S_{A},\;\;g\longmapsto f_{g}\text{ με }f_{g}(\alpha)=g*% \alpha,\;\;\alpha\;\in\;A,

5.1.4

όπου $S_{A}$ είναι η ομάδα μετασχηματισμών του συνόλου Α, είναι ένας ομομορφισμός ομάδων. Αντίστροφα, αν

\phi:G\longrightarrow S_{A},\;\;g\longmapsto\phi_{g}

5.1.5

είναι ένας ομομορφισμός ομάδων, τότε ορίζεται η δράση

*:G\times A\longrightarrow A,\;\;(g,\alpha)\longmapsto g*\alpha:=\phi(g)(% \alpha).

5.1.6

Απόδειξη Θεωρούμε ότι δίνεται η δράση (5.1.3). Θα αποδείξουμε ότι η $f$ που ορίζεται στη σχέση (5.1.4) είναι ομομορφισμός ομάδων. Αποδεικνύουμε καταρχήν ότι η $f_{G}\;\in\;S_{A}$ , για κάθε $g\;\in\;G.$ Έστω $\alpha_{1},\alpha_{2}\;\in\;A$ , τότε

\alpha_{1}=\alpha_{2}\Rightarrow g*\alpha_{1}=g*\alpha_{2}\Rightarrow f_{g}(% \alpha_{1})=f_{g}(\alpha_{2}),

(5.14)

αφού η $*$ είναι συνάρτηση, άρα η $f_{g}$ είναι συνάρτηση. Έστω, για $\alpha_{1},\alpha_{2}\;\in\;A$ και $g\;\in\;G,$ ότι ισχύει

f_{g}(\alpha_{1})=f_{g}(\alpha_{2})\Rightarrow g*\alpha_{1}=g*\alpha_{2}% \Rightarrow g^{-1}*(g*\alpha_{1})=g^{-1}*(g*\alpha_{2})\Rightarrow\alpha_{1}=% \alpha_{2}.

(5.15)

Άρα η $f_{g}$ είναι αμφιμονότιμη συνάρτηση. Ακόμη, αν $\alpha\;\in\;A$ , τότε υπάρχει το $\alpha^{-1}*\alpha\;\in\;A,$ ώστε $f_{g}(g^{-1}*\alpha)=g*(g^{-1}*\alpha)=\alpha.$ Επομένως η $f_{g}$ είναι επί συνάρτηση και συμπεραίνουμε ότι $f_{g}\;\in\;S_{A}.$ Θα αποδείξουμε, τώρα, ότι η $f$ , όπως δίνεται από τη σχέση (5.1.3), είναι ομομορφισμός ομάδων. Η $f$ είναι συνάρτηση γιατί αν $g_{1},g_{2}\;\in\;G$ και $\alpha\;\in\;A,$ τότε

g_{1}=g_{2}\Rightarrow g_{1}*\alpha=g_{2}*\alpha\Rightarrow f_{g_{1}}(\alpha)=% f_{g_{2}}(\alpha)\Rightarrow f_{g_{1}}=f_{g_{2}},

(5.16)

δηλ. η $f$ είναι συνάτηση. Έστω πάλι $g_{1},g_{2}\;\in\;G$ , τότε για κάθε $\alpha\;\in\;A,$ ισχύει

\begin{array}[]{l}f(g_{1}g_{2})(\alpha)=f_{g_{1}g_{2}}(\alpha)=(g_{1}g_{2})*% \alpha=g_{1}*(g_{2}*\alpha)=\\ \\ =f_{g_{1}}(g_{2}*\alpha)=f_{g_{1}}(f_{g_{2}}(\alpha))=f_{g_{1}}f_{g_{2}}(% \alpha)=\big[f(g_{1})f(g_{2})\big](\alpha)\end{array}

(5.17)

Άρα

f(g_{1}g_{2})=f(g_{1})f(g_{2}),

(5.18)

δηλ. η $f$ είναι ομομορφισμός ομάδων.

Αντίστροφα, τώρα, έστω ότι δίνεται ο ομομρφισμός ομάδων (5.1.5). Θα αποδείξουμε ότι η απεικόνιση, όπως δίνεται από τη σχέση (5.1.6), είναι δράση. Είναι φανερό ότι η $*$ είναι συνάρτηση. Μένει να αποδείξουμε ότι ισχύουν τα i) και ii) του Ορισμού 5.1.1. Έστω $\alpha\;\in\;A$ και $g_{1},g_{2}\;\in\;G$ , τότε

\begin{array}[]{l}g_{1}*(g_{2}*\alpha)=\phi(g_{1})(g_{2}*\alpha)=\phi(g_{1})% \big[\phi(g_{2})(\alpha)\big]=\\ \\ =\big(\phi(g_{1})\phi(g_{2}\big)(\alpha)=\phi(g_{1}g_{2})(\alpha)=(g_{1}g_{2})% *\alpha.\end{array}

(5.19)

Άρα ισχύει το i) του Ορισμού 5.1.1. Για το ii),

e*\alpha=\phi(e)\alpha=\alpha,

(5.20)

για κάθε $\alpha\;\in\;A,$ όπου $e$ είναι το ουδέτερο στοιχείο της $G$ . Άρα πράγματι η σχέση (5.1.5) δίνει μία δράση της $G$ στο σύνολο Α. $\blacksquare$

Ορισμός 5.1.4

Η συνάρτηση $f$ , όπως δίνεται από τη σχέση (5.1.4) του Θεωρήματος 5.1.3, λέγεται παράσταση της $G$ με μετασχηματισμούς. presentation of G with transformations

Ο παραπάνω ορισμός χρησιμοποιείται ανεξάρτητα αν το σύνολο Α είναι πεπερασμένο ή όχι. Ιδιαίτερα, όμως, όταν $|A|<\infty$ χρησιμοποιείται ο όρος παράσταση της $G$ με μεταθέσεις (presentation of G with permutations).

Παραδείγματα 5.1.5

1. Έστω $G$ μία ομάδα. Εύκολα μπορούμε να αποδείξουμε ότι η αντιστοιχία

G\times G\longrightarrow G,\;\;(g,\alpha)\longmapsto g\alpha

(5.21)

είναι μία δράση της ομάδας $G$ στον εαυτό της.

2. Η αντιστοιχία

G\times G\longrightarrow G,\;\;(g,\alpha)\longmapsto g\alpha g^{-1},

(5.22)

για μία ομάδα $G$ , είναι δράση της $G$ στον εαυτό της, όπως προκύπτει από τον ορισμό της ομάδας.

3. Έστω $G$ μία ομάδα και $H\leq G$ . Τότε η

H\times G\longrightarrow G,\;\;(h,g)\longmapsto fg

(5.23)

είναι δράση της ομάδας Η στην ομάδα $G$ . Οι πράξεις επαλήθευσης παραλείπονται και αφήνονται για τον αναγνώστη.

Στη συνέχεια θα δούμε ότι με τη βοήθεια μίας δράσης, όπως στη σχέση (5.1.1), ορίζεται μία σχέση ισοδυναμίας στο σύνολο Α. Όπως έχουμε διαπιστώσει οι σχέσεις ισοδυναμίας προσφέρουν σημαντικές κατασκευές στη θεωρία ομάδων. Έστω μία δράση, όπως στη σχέση (5.1.1). Ορίζουμε μία σχέση στο σύνολο Α ως εξής:

\alpha,\beta\;\in\;A,\;\alpha\sim\beta\Leftrightarrow\beta=g*\alpha,

5.1.7

για κάποιο $g\;\in\;G.$ Η $\sim$ είναι μία σχέση ισοδυναμίας στο Α. Πράγματι, $\alpha\sim\alpha$ , αφού $e*\alpha=\alpha,$ για κάθε $\alpha\;\in\;A,$ δηλ. η $\sim$ είναι ανακλαστική. Αν $\alpha,\beta\;\in\;A$ και $\alpha\sim\beta\Rightarrow\exists g\;\in\;G:\beta=g*\alpha\Rightarrow g^{-1}*% \beta=\alpha\Rightarrow\beta\sim\alpha,$ δηλ. η $\sim$ είναι συμμετρική. Τέλος η $\sim$ είναι μεταβατική, γιατί αν $\alpha,\beta,\gamma\;\in\;A$ και $\alpha\sim\beta,\;\beta\sim\gamma\Rightarrow\exists g_{1},g_{1}\;\in\;G:\beta=% g_{1}*\alpha$ και $\gamma=g_{2}*\beta\Rightarrow\gamma=g_{2}*(g_{1}*\alpha)\Rightarrow\gamma=(g_{% 1}g_{2})*\alpha\Rightarrow\alpha\sim\gamma.$ Επομένως η $\sim$ είναι σχέση ισοδυναμίας στο Α. Ας υπολογίσουμε τις κλάσεις ισοδυναμίας της σχέσης (5.1.7). Έστω $\alpha\;\in\;A,$ τότε

\overline{\alpha}=\{\beta\;\in\;A:\beta\sim\alpha\}=\{g*\alpha:g\;\in\;G\}.

5.1.8

Η κλάση $\overline{\alpha},$ για $\alpha\;\in\;A$ , ως προς τη σχέση ισοδυναμίας (5.1.7) λέγεται τροχιά (orbit) του $\alpha\;\in\;A$ και το $|\overline{\alpha}|$ λέγεται μήκος (lengh) της τροχιάς $\overline{\alpha}$ . Από τη θεωρία των σχέσεων ισοδυναμίας, προκύπτει ότι

A=\bigcupdot_{\alpha\;\in\;X}\overline{\alpha},

5.1.9

όπου Χ είναι ένα πλήρες σύστημα αντιπροσώπων των κλάσεων στο Α. Ιδιαίτερα αν υπάρχει μία μόνον τροχιά, δηλ. $|X|=1$ και συνεπώς $|\overline{\alpha}|=|A|$ για κάθε $\alpha\;\in\;A,$ τότε η δράση λέγεται μεταβατική (transitive).

Παραδείγματα 5.1.6

1. Θεωρούμε το Παραδειγμα 5.1.2.1. Βλέπουμε ότι αν $\alpha\;\in\;G,$ τότε,

\overline{\alpha}=\{g\alpha:g\;\in\;G\}=G.

(5.24)

(βλ. Πρόταση 1.2.5 ii.), δηλ. υπάρχει μία μόνον τροχιά.

2. Ας θεωρήσουμε τη δράση του Παραδείγματος 5.1.5.3. Η τροχιά του στοιχείου $\alpha\;\in\;G$ είναι το

\overline{\alpha}=\{h\alpha:h\;\in\;H\}=H\alpha,

(5.25)

δηλ. είναι η δεξιά κλάση της υποομάδας Η στης $G$ με αντιπρόσωπο το $\alpha$ . Ακόμη

G=\bigcupdot_{\alpha\;\in\;X}\overline{\alpha}=\bigcupdot_{\alpha\;\in\;X}H\alpha,

(5.26)

(βλ. σχέση (5.1.9) ), δηλ. ξαναβρίσκουμε το Θεώρημα του Lagrange.

3. Ας θεωρούσουμε τη δράση της ομάδας $\mathbb{R}^{*}$ στον $\mathbb{R}-$ διανυσματικό χώρο $V=\mathbb{R}^{2},$ όπως στο Παράδειγμα 5.1.2.3. Τότε

\overline{\alpha\beta}=\{(r\alpha,r\beta):r\;\in\;\mathbb{R}^{*}\}.

(5.27)

4. Ας θεωρήσουμε την ομάδα $G$ των στροφών του επιπεδου $\mathbb{R}^{2}$ ως προς την αρχή των αξόνων $(0,0)$ και τη δράση $G\times\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2},\;\;(\rho,(\alpha,\beta))\mapsto\rho(% \alpha,\beta)$ . Παρατηρούμε ότι η τροχιά του σημείου

\overline{(0,0)}=\{(0,0)\},

(5.28)

ενώ αν $(\alpha,\beta)\;\in\;\mathbb{R}^{2},$ τότε $\overline{(\alpha,\beta)}$ είναι η περιφέρεια κύκλου με κέντρο το $(0,0)$ που διέρχεται από το σημείο $(\alpha,\beta)$ . Ακόμη βλέπουμε ότι το σύνολο $\mathbb{R}^{2}$ είναι ένωση όλων των περιφερειών ομόκεντρων κύκλων με κέντρο το $(0,0)$ .

5. Η ομάδα $S_{n}$ δρα μεταβατικά στο σύνολο $\{1,2,\dots,n\}$ . Πράγματι; αν $i\;\in\;\{1,2,\dots,n\}$ τότε η μετάθεση $(1,i)$ απεικονίζει το $i$ στο 1, η $(2,i)$ απεικονίζει το $i$ στο 2 κ.ο.κ. η $(n,i)$ απεικονίζει το $i$ στο $n$ . Άρα $\overline{i}=\{1,2,\dots,n\},$ για κάθε $i\;\in\;\{1,2,\dots,n\}.$ Συνεπώς η δράση αυτή είναι μεταβατική.

Προκειμένου να εκτιμήσουμε το μέγεθος του συνόλου Χ στη σχέση (5.1.9) είναι φυσικό να αναρωτηθούμε, υπάρχει στοιχείο $\alpha\;\in\;A$ τέτοιο ώστε $g*\alpha=\alpha$ , για κάποια στοιχεία $g\;\in\;G$ ; Για να απαντήσουμε στο ερώτημα αυτό ας εξετάσουμε το σύνολο

G_{\alpha}=\{g\;\in\;G:g*\alpha=\alpha\},

(5.29)

δηλ. το σύνολο των στοιχείων της ομάδας $G$ που αφήνουν σταθερό το συγκεκριμένο στοιχείο $\alpha\;\in\;A.$ Θα αποδείξουμε ότι $G_{\alpha}\leq G$ και για το σκοπό αυτό θα χρησιμοποιήσουμε το κριτήριο της υποομάδας. Έστω $g_{1},g_{2}\;\in\;G_{\alpha}$ , τότε $g_{1}*\alpha=\alpha$ και $g_{2}*\alpha=\alpha.$ Από τη σχέση

g_{2}*\alpha=\alpha\Rightarrow g_{2}^{-1}*(g_{2}*\alpha)=g_{2}^{-1}*\alpha% \Rightarrow\alpha=g_{2}^{-1}*\alpha,

(5.30)

δηλ.

g_{2}^{-1}\;\in\;G_{\alpha}.

(5.31)

Επομένως

(g_{1}g_{2}^{-1})*\alpha=g_{1}*(g_{2}^{-1}*\alpha)=g_{1}*\alpha=\alpha.

(5.32)

Άρα, αν $g_{1},g_{2}\;\in\;G_{\alpha},$ τότε

g_{1}g_{2}^{-1}\;\in\;G_{\alpha},\text{ δηλ. }G_{\alpha}\leq G.

(5.33)

Έτσι οδηγούμαστε στον επόμενο ορισμό.

Ορισμός 5.1.7

Έστω ότι δίνεται η δράση (5.1.1) και $\alpha\;\in\;A.$ Η υποοομάδα

G_{\alpha}=\{g\;\in\;G:g*\alpha=\alpha\}\leq G

(5.34)

λέγεται ομάδα ευστάθειας (stability group) του στοιχείου $\alpha\;\in\;A.$

Είμαστε έτοιμοι να υπολογίσουμε το σύνολο Χ της σχέσης (5.1.9) καθώς και το μήκος $|\overline{\alpha}|$ της τροχιάς του $\alpha$ .

Θεώρημα 5.1.8

Έστω ότι δίνεται η δράση της σχέσης (5.1.1). Η τροχιά ενός στοιχείου $\alpha\;\in\;A$ έχει την ίδια ισχύ με το σύνολο των αριστερών κλάσεων της ομάδας ευστάθειας $G_{\alpha}$ στην ομάδα $G$ .

Απόδειξη Θεωρούμε τη δράση (5.1.1) και έστω $g_{1},g_{2},\;\in\;G$ και $\alpha\;\in\;A.$ Τότε

g_{1}*\alpha=g_{2}*\alpha\Leftrightarrow\alpha=(g^{-1}_{1}g_{2})*\alpha% \Leftrightarrow g^{-1}_{1}g_{2}\;\in\;G_{\alpha}\Leftrightarrow g_{2}\;\in\;g_% {1}G_{\alpha}.

(5.35)

Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει μία αμφιμονότιμη συνάρτηση

\phi:\overline{\alpha}\longrightarrow G/G_{\alpha},\;\;g*\alpha\longmapsto gG_% {\alpha}.

(5.36)

Η συνάρτηση $\phi$ είναι φανερό ότι είναι επί. Άρα

|\overline{\alpha}|=|G/G_{\alpha}|.\blacksquare

(5.37)

Πόρισμα 5.1.9

Έστω $G$ μία πεπερασμένη ομάδα και $*:G\times A\to A$ η δράση της σχέσης (5.1.1).

i.

Το μήκος της τροχιάς του στοιχείου $\alpha\;\in\;A$ διαιρεί την τάξη της $G$ .
ii.

Αν υπάρχουν πεπερασμένου πλήθους τροχιές, δηλ.

$A=\bigcupdot_{i=1}^{s}\overline{\alpha_{i}},\;\text{ τότε }\;|A|=\sum_{i=1}^{s% }\big[G:G_{\alpha_{i}}\big]$ (5.38)

για κάποιο $s\;\in\;\mathbb{N}.$

Τέλος αναφέρουμε μία ακόμη ιδιότητα της δράσης ομάδας.

Πρόταση 5.1.10

Έστω $G$ μία ομάδα και η δράση της σχέσης (5.1.1). Αν τα στοιχεία $\alpha,\beta\;\in\;A$ ανήκουν στην ίδια τροχιά, τότε έχουν συζυγείς ομάδες ευστάθειας, δηλ.

\overline{\alpha}=\overline{\beta}\Rightarrow G_{\beta}=gG_{\alpha}g^{-1},% \text{ για κάποιο }g\;\in\;G.

(5.39)

Απόδειξη Παρατηρούμε ότι από τον ορισμό της ομάδας ευστάθειας $G_{\beta}*\beta=\beta$ και $G_{\alpha}*\alpha=\alpha$ . Επομένως, αν $\overline{\alpha}=\overline{\beta},$ τότε υπάρχει $g\;\in\;G$ τέτοιο ώστε $\beta=g*\alpha.$ Άρα

\begin{split}\displaystyle G_{\beta}*\beta=\beta\Rightarrow G_{\beta}*(g*% \alpha)=g*\alpha\Rightarrow(g^{-1}G_{\beta}g)*\alpha=\alpha\Rightarrow\\ \displaystyle\Rightarrow g^{-1}G_{\beta}g\subseteq G_{\alpha}\Leftrightarrow G% _{\beta}\subseteq gG_{\alpha}g^{-1}\end{split}

5.1.10

Επίσης

\begin{split}\displaystyle G_{\alpha}*\alpha=\alpha\Rightarrow G_{\alpha}*(g^{% -1}*\beta)=g^{-1}*\beta\Rightarrow\\ \displaystyle\Rightarrow(gG_{\alpha}g^{-1})*\beta=\beta\Rightarrow gG_{\alpha}% g^{-1}\subseteq G_{\beta}\end{split}

5.1.11

Από τις σχέσεις (5.1.10) και (5.1.11) έπεται ότι

G_{\beta}=gG_{\alpha}g^{-1},

(5.40)

για κάποιο $g\;\in\;G.$ Άρα οι ομάδες $G_{\alpha}$ και $G_{\beta}$ είναι συζυγείς. $\blacksquare$

Παραδείγματα 5.1.11

1. Θεωρούμε τη δράση του Παραδείγματος 5.1.5.1. Παρατηρούμε ότι $G_{\alpha}=\{e\},\forall\alpha\;\in\;G.$

2. Για τη δράση του Παραδείγματος 5.1.5.2, παρατηρούμε ότι για $\alpha\;\in\;G$ ,

\overline{\alpha}=\{g\alpha g^{-1}:g\;\in\;G\},

(5.41)

δηλ. είναι το σύνολο των συζυγών στοιχείων του α στην ομάδα $G$ . Ακόμη

G_{\alpha}=\{g\;\in\;G:g\alpha g^{-1}=\alpha\}=\{g\;\in\;G:g\alpha=\alpha g\}\leq G

(5.42)

και

|\overline{\alpha}|=\big[G:G_{\alpha}\big].

(5.43)

Ιδιαίτερα η ομάδα $G_{\alpha}$ λέγεται κεντροποιητής (centralizer) του στοιχείου $\alpha\;\in\;G$ και συμβολίζεται $C_{G}(\alpha),$ δηλ.

C_{G}(\alpha)=\{g\;\in\;G:g\alpha=\alpha g\}.

(5.44)

Έτσι οι παραπάνω παρατηρήσεις οδηγούν στο ακόλουθο.

Θεώρημα 5.1.12

Το σύνολο των συζυγών στοιχείων ενός στοιχείου μίας ομάδας $G$ έχει την ίδια ισχύ με το σύνολο πηλίκο $G/C_{G}(\alpha)$ .

3. Θεωρούμε πάλι τη δράση του προηγούμενου Παραδείγματος, δηλ.

G\times G\longrightarrow G,\;\;\;(g,\alpha)\longmapsto g\alpha g^{-1}.

(5.45)

Θα περιγράψουμε λεπτομερέστερα το πλήθος των στοιχείων της ομάδας $G$ με τη βοήθεια αυτής της δράσης. Παρατηρούμε ότι αν $\alpha\;\in\;Z(G),$ τότε $\overline{\alpha}=\{\alpha\}.$ Έτσι, από τη σχέση (5.1.9) συμπεραίνουμε ότι

G=\bigcupdot_{\alpha\;\in\;X}\overline{\alpha}=Z(G)\bigcupdot(\bigcupdot_{% \alpha\;\in\;\Psi}\overline{\alpha}),

(5.46)

όπου Χ είναι ένα πλήρες σύστημα αντιπροσώπων των τροχιών στη $G$ και $\Psi=\{x\;\in\;X:x\notin Z(G)\}.$ Έτσι αν η ομάδα $G$ είναι πεπερασμένη εξ αιτίας του Θεωρήματος 5.1.12 καταλήγουμε στη σχέση

|G|=|Z(G)|+\sum_{x\;\in\;\Psi}\big[G:C_{G}(x)\big]

5.1.12

Η σχέση (5.1.12) λέγεται εξίσωση κλάσεων (class equation) της $G$ . Θα αποδείξουμε αμέσως δύο πολύ ενδιαφέροντα συμπεράσματα για μία ομάδα $G$ ως εφαρμογή της σχέσης (5.1.12).

Θεώρημα 5.1.13

Κάθε ομάδα με τάξη δύναμη πρώτου αριθμού έχει μη τετριμμένο κέντρο.

Απόδειξη Έστω $G$ μία ομάδα με $|G|=p^{n},$ όπου $p$ είναι ένας πρώτος φυσικός αριθμός και $n\;\in\;\mathbb{N}\setminus\{0\}.$ Αν η ομάδα $G$ είναι αβελιανή, τότε

G=Z(G)\neq\{e\}.

(5.47)

Ας υποθέσουμε ότι η $G$ δεν είναι αβελιανή. Από το Θεώρημα του Lagrange γνωρίζουμε ότι

[G:C_{G}(x)]\big||G|,

(5.48)

για κάθε $x\;\in\;G.$ Αυτό σημαίνει ότι

[G:C_{G}(x)]=p^{n(x)},

(5.49)

για κάποιον φυσικό αριθμό $n(x)$ που εξαρτάται από το στοιχείο $x$ . Έτσι από την εξίσωση κλάσεων της $G$ , σχέση (5.1.12), συμπεραίνουμε ότι

p^{n}=|Z(G)|+\sum_{x\;\in\;\Psi}p^{n(x)},

5.1.13

όπου το Ψ ορίζεται όπως στη σχέση (5.1.12). Ας παρατηρήσουμε ότι

n(x)=0\Leftrightarrow\big[G:C_{G}(x)\big]=1\Leftrightarrow G=C_{G}(x)% \Leftrightarrow x\;\in\;Z(G).

(5.50)

Επομένως, για κάθε $x\;\in\;\Psi,$ έχουμε ότι $n(x)>1.$ Τώρα από τη σχέση (5.1.13) ο πρώτος $p$ διαιρεί την $|G|$ καθώς και το $\sum_{x\;\in\;\Psi}p^{n(x)}$ , συνεπώς ο $p$ διαιρεί την τάξη της υποομάδας $Z(G)$ της $G$ . Γεγονός που σημαίνει ότι το κέντρο της $G$ είναι μη τετριμμένο. $\blacksquare$

Πόρισμα 5.1.14

Κάθε ομάδα τάξης $p^{2}$ , όπου $p$ είναι ένας πρώτος φυσικός αριθμός, είναι αβελιανή.

Απόδειξη Έστω $G$ μία ομάδα με $|G|=p^{2}$ και $Z(G)$ το κέντρο της. Γνωρίζουμε ότι $Z(G)\unlhd G$ , βλ. Πρόταση 3.2.13, και ότι $Z(G)\neq\{e\}$ , βλ. Θεώρημα 5.1.13. Άρα η ομάδα $G/Z(G)$ έχει τάξη 1 ή $p$ . Αν $\big|G:Z(G)\big|=1$ , τότε $G=Z(G)$ και επομένως η $G$ είναι αβελιανή. Αν $\big|G/Z(G)\big|=p,$ τότε η ομάδα $G/Z(G)$ είναι κυκλική (βλ. Πρόταση 3.1.11). Τώρα από το Θεώρημα 3.2.18 προκύπτει ότι η $G$ είναι αβελιανή. Άρα σε κάθε περίπτωση μία ομάδα τάξης $p^{2}$ είναι αβελιανή. $\blacksquare$

Το επόμενο θεώρημα είναι γενίκευση της Πρότασης 3.2.5 και προκύπτει από τη θεωρία δράσης ομάδας.

Θεώρημα 5.1.15

Έστω $G$ μία πεπερασμένη ομάδα και $p$ ο ελάχιστος πρώτος φυσικός αριθμός που διαιρεί την τάξη της $G$ . Αν $H\leq G$ με $[G:H]=p,$ τότε $H\unlhd G.$

Απόδειξη Έστω $H\leq G$ με $[G:H]=p$ , όπως στο Θεώρημα. Θεωρούμε την δράση

G\times G/H\longrightarrow G/H,\;\;(g,\alpha H)\longmapsto g\alpha H

(5.51)

και την παράσταση $f:G\to S_{G/H}$ της $G$ με μεταθέσεις που αντιστοιχεί σε αυτήν την δράση. Είναι φανερό ότι $S_{G/H}\cong S_{p}$ , αφού δεν μας ενδιαφέρει η φύση των αντικειμένων. Έστω $K:=Kerf,$ τότε από το πρώτο θεώρημα ισομορφίας έπεται ότι

G/K\hookrightarrow S_{p},

(5.52)

και από Θεώρημα του Lagrange έχουμε ότι

|G/K|\big|p!,

5.1.14

αφού $|S_{p}|=p!.$ Είναι φανερό ότι $K\leq H\leq G$ και από την άσκηση 3.1.13 προκύπτει ότι

[G:K]=[G:H][H:K].

5.1.15

Από τις σχέσεις (5.1.14) και (5.1.15) συμπεραίνουμε ότι

[G:H][H:K]\big|p!,

(5.53)

δηλ.

[H:K]\big|(p-1)!

(5.54)

αφού $[G:H]=p.$ Αν $q$ είναι ένας πρώτος που διαιρεί τον $[H:K]$ , τότε ο $q\big||G|$ και $q\big|(p-1)!$ όμως αυτό είναι αδύνατον από τον ορισμό το $p$ . Άρα $[H:K]=1$ , δηλ. $H=K$ και $H\unlhd G$ ως πυρήνας ομομορφισμού της $G$ και αποδείχθηκε το θεώρημα. $\blacksquare$

Παράδειγμα 5.1.16

Έστω

G=\Bigg\{\begin{bmatrix}1&\alpha&\beta\\ 0&0&\gamma\\ 0&0&1\end{bmatrix}:\alpha,\beta,\gamma\;\in\;\mathbb{Z}_{p}\Bigg\}\subseteq GL% _{3}(\mathbb{Z}_{3}).

(5.55)

Είναι εύκολο να δούμε ότι $G\leq GL_{3}(\mathbb{Z}_{p}),$ εφαρμόζοντας το κριτήριο της υποομάδας. Ακόμη η αντιστοιχία

G\longrightarrow\mathbb{Z}_{p}\times\mathbb{Z}_{p}\times\mathbb{Z}_{p},\;\;\;% \begin{bmatrix}1&\alpha&\beta\\ 0&0&\gamma\\ 0&0&1\end{bmatrix}\longmapsto(\alpha,\beta,\gamma)

(5.56)

είναι αμφιμονότιμη και επί. Άρα $|G|=p^{3}.$ Με απλές πράξεις διαπιστώνουμε ότι η $G$ είναι μη αντιμεταθετική, άρα $Z(G)\neq G.$ Ακόμη, λόγω του Θεωρήματος 5.1.13, ισχύει ότι $Z(G)\neq\{e\}.$ Άρα οι δυνατές τιμές για την $|Z(G)|$ είναι $p$ ή $p^{2}$ . Αν

|Z(G)|=p^{2}\Rightarrow\big|G/Z(G)\big|=p,

(5.57)

δηλ. η $G/Z(G)$ θα ήταν κυκλική ομάδα και επομένως η $G$ θα ήταν αβελιανή, που είναι άτοπο. Άρα $Z(G)\neq p^{2}$ και επομένως $|Z(G)|=p.$ Εύκολα διαπιστώνουμε ότι υποομάδα

H=\Bigg\{\begin{bmatrix}1&0&\beta\\ 0&0&0\\ 0&0&1\end{bmatrix}:\beta\;\in\;\mathbb{Z}_{p}\Bigg\}\leq Z(G)

(5.58)

και $|H|=p=|Z(G)|.$ Συνεπώς $H=Z(G).$

Αν θεωρήσουμε πάλι μία δράση

*:G\times A\longrightarrow A,\;\;(g,\alpha)\longmapsto g*\alpha,

(5.59)

όπως στη σχέση 5.1.1. Από τη δράση αυτή μπορούμε να ορίσουμε μία νέα δράση της ομάδας $G$ στο δυναμοσύνολο $\mathbb{P}(A)$ του συνόλου Α ως εξής:

*^{\prime}:G\times\mathbb{P}(A),\longrightarrow\mathbb{P}(A),\;\;(g,X)% \longmapsto g*X,

(5.60)

όπου $X\subseteq A$ και $g*X:=\{g*x:x\;\in\;X\}$ . Ο αναγνώστης εύκολα διαπιστώνει ότι η $*^{\prime}$ είναι πράγματι δράση, εφαρμόζονας τον Ορισμό (5.1.1). Θα δούμε αμέσως μία ενδιαφέρουσα εφαρμογή αυτής της δράσης.
Ας ξεκινήσουμε από τη δράση

G\times G\longrightarrow G,\;\;(g,\alpha)\longmapsto g\alpha g^{-1}

(5.61)

όπως στο Παράδειγμα 5.1.5.2. Από αυτήν τη δράση οδηγούμαστε στη δράση

G\times\mathbb{P}(G)\longrightarrow\mathbb{P}(G),\;\;(gH)\longmapsto gHg^{-1}

5.1.16

της ομάδας $G$ στο δυναμοσύνολο του συνόλου $G$ . Το σύνολο $gHg^{-1}$ ορίζεται ανεξάρτητα αν το Η είναι υποομάδα της $G$ ή όχι. Για $H\subseteq G$ και $g$ τυχαίο στοιχείο της $G$ , το σύνολο $gHg^{-1}$ λέγεται υποσύνολο συζυγές (conjugate subset) του Η, βέβαια το ενδιαφέρον μας επικεντρώνεται στην περίπτωση που $H\leq G.$ Η ομάδα ευστάθειας $G_{H}$ του Η είναι η

G_{H}=\{g\;\in\;G:gHg^{-1}=H\}\leq G.

(5.62)

Η $G_{H}$ λέγεται σε αυτή την περίπτωση κανονικοποιητής (normalizator) του συνόλου Η και συμβολίζεται $N_{G}(H).$ Αν $H\leq G,$ από τον ορισμό της $N_{G}(H)$ ισχύει ότι

H\unlhd N_{G}(H)\leq G,

(5.63)

δηλ. η $N_{G}(H)$ είναι η μέγιστη υποομάδα της $G$ στην οποία η Η είναι κανονική υποομάδα. Βέβαια η Η δεν είναι απαραίτητα κανονική υποομάδα της $G$ , όμως, διαπιστώνουμε αμέσως ότι:

H\unlhd G\Leftrightarrow N_{G}(H)=G.

(5.64)

Μπορούμε να πούμε ότι ο κανονικοποιητής $N_{G}(H)$ της Η (μετράει) κατά κάποιον τρόπο πόσο απέχει η Η από το να είναι κανονική. Έτσι η Η (απέχει) πολύ από το να είναι κανονική αν $H=N_{G}(H).$
Ας δούμε τώρα την τροχιά $\overline{H}$ της Η ως προς τη δράση της σχέσης (5.1.16). Αν, λοιπόν, $H\leq G,$ τότε

\overline{H}=\{gHg^{-1}:g\;\in\;G\},

(5.65)

δηλ. η τροχιά $\overline{H}$ αποτελείται από τις διακεκριμένες συζυγείς υποομάδες της Η. Ας συγκεντρώσουμε τις παραπάνω παρατηρήσεις στο ακόλουθο συμπέρασμα.

Θεώρημα 5.1.17

Έστω $G$ μία ομάδα και Η ένα μη κενό υποσύνολο της $G$ . Τότε ο κανονικοποιητής $N_{G}(H)$ του Η στην $G$ είναι υποομάδα της $G$ . Επιπλέον το σύνολο των συζυγών υποσυνόλων του Η έχει την ισχύ του συνόλου $G/N_{G}(H)$ των αριστερών (ή δεξιών) κλάσεων της $N_{G}(H)$ στην $G$ . Ιδιαίτερα, αν $H\leq G,$ τότε

H\unlhd N_{G}(H)\leq G

(5.66)

και η $N_{G}(H)$ είναι η μέγιστη υποομάδα της $G$ με την ιδιότητα αυτή.

Ασκήσεις

1. Έστω ότι η ομάδα $G$ δρα τετριμμένα στο σύνολο $A\neq\varnothing,$ δηλ. $g\ast\alpha=\alpha,\;\forall g\;\in\;G.$ Να αποδείξετε ότι $\overline{\alpha}=\{\alpha\},\forall\alpha\;\in\;A.$ Πότε η δράση αυτή είναι μεταβατική;
2. Να υπολογίσετε τις τροχιές της δράσης της ομάδας $G:=\langle(12),(34)\rangle<S_{4}$ στο σύνολο $\{1,2,3,4\}$ η οποία δίνεται όπως στο Παράδειγμα 5.1.5.2.
3. Να αποδείξετε ότι η διεδρική ομάδα $D_{2\cdot 4}$ δρα μεταβατικά στο σύνολο $\{1,2,3,4\}$ των κορυφών ενός τετραγώνου. Να υπολογίσετε την ομάδα αυστάθειας μίας κορυφής του τετραγώνου.
4. Έστω ότι η ομάδα $G$ δρα στο σύνολο $A\neq\varnothing.$ Να αποδείξετε ότι όλα τα στοιχεία της τροχιάς έχουν την ίδια ομάδα ευστάθειας $G_{\alpha}$ , για κάποιο στοιχείο $\alpha$ της τροχιάς, αν και μόνον αν $G_{\alpha}\unlhd G.$
5. Έστω $\mathbb{Z}[x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}]$ το σύνολο των πολυωνύμων τεσσάρων ανεξάρτητων μεταβλητών με ακέραιους συντελεστές. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση

S_{4}\times\mathbb{Z}[x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}]\longrightarrow\mathbb{Z}[x_{1},% x_{2},x_{3},x_{4}],

(5.67)

\big(\sigma,f(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\big)=f(x_{\sigma(1)},x_{\sigma(2)},x_{% \sigma(3)},x_{\sigma(4)})

(5.68)

είναι δράση. Να υπολογίσετε την ομάδα ευστάθειας των πολυωνύμων $x_{1}+x_{2},\;(x_{1}+x_{2})(x_{3}+x_{4}),$ και $x_{1}x_{2}+x_{3}x_{4}.$
6. Έστω

\ast:G\times A\longrightarrow A,\;\;(g,\alpha)\longmapsto g\ast\alpha

(5.69)

μία δράση της ομάδας $G$ στο σύνολο $A\neq\varnothing$ και $f:G\rightarrow S_{A}$ η παράσταση της $G$ με μετασχηματισμούς που αντιστοιχεί στη δράση $\ast$ . Να αποδείξετε ότι

Kerf=\bigcap_{\alpha\;\in\;A}G_{\alpha}.

(5.70)

Ιδιαίτερα αν η δράση $\ast$ είναι μεταβατική, να αποδείξετε ότι

Kerf=\bigcap_{g\;\in\;G}gG_{\alpha}g^{-1}.

(5.71)

7. Έστω $G$ μία ομάδα και $H\leq G.$ Θεωρούμε τη δράση

G\times G/H\longrightarrow G/H,\;\;(g,\alpha H)\mapsto g\alpha H

(5.72)

και

f:G\longrightarrow S_{G/H}

(5.73)

στην παράσταση της $G$ με μετασχηματισμούς. Να αποδείξετε ότι:

i.

Η $G$ δρα μεταβατικά στο σύνολο $G/H.$
ii.

Η ομάδα ευστάθειας της Η είναι η ίδια η Η.
iii.

Η ομάδα $Kerf=\bigcap_{g\;\in\;G}gHg^{-1}$ είναι η μέγιστη κανονική υποομάδα της $G$ που περιέχει την ομάδα Η.

8. Έστω $G$ μία ομάδα η οποία δρα στα μη κενά σύνολα $X, Y$ ως εξής:

\ast:G\times X\longrightarrow X,\;\;(g,x)\mapsto g\ast x

(5.74)

και

\circledast:G\times Y\longrightarrow Y,\;\;(g,y)\mapsto g\circledast y.

(5.75)

Να αποδείξετε ότι η

G\times(X\times Y)\longrightarrow(X\times Y),\;\;(g,(xy))\mapsto(g\ast x,g% \circledast y)

(5.76)

είναι δράση. Ακόμη να αποδείξετε ότι

G_{(x,y)}=G_{x}\cap G_{y}.

(5.77)

5.2 Τύπος του Burnside και εφαρμογές στη δράση

Στο εδάφιο αυτό θα δούμε μερικές εφαρμογές της έννοιας της δράσης. Ξεκινούμε με το επόμενο θεώρημα που δίνει το πλήθος των τροχιών μίας δράσης.

Θεώρημα (Τύπος του Burnside) 5.2.1

Έστω

\ast:G\times A\longrightarrow A,\;\;(g,\alpha)\mapsto g\ast\alpha

(5.78)

μία δράση της πεπερασμένης ομάδας $G$ στο μη κενό σύνολο Α και

\Gamma_{g}=\{\alpha\;\in\;A:g\ast\alpha=\alpha\}\subseteq A.

(5.79)

Τότε:

i.

Το πλήθος τ των τροχιών της δράσης ισούται με

$\tau=\frac{1}{|G|}\sum_{g\;\in\;G}|\Gamma_{g}|.$ (5.80)
ii.

Αν τα στοιχεία $g_{1},g_{2}\;\in\;G$ είναι συζυγή, τότε

$|\Gamma_{g_{1}}|=|\Gamma_{g_{2}}|.$ (5.81)
iii.

Έστω $C_{1},C_{2},\dots,C_{s}$ οι κλάσεις συζυγών στοιχείων της $G$ με $g_{i}$ έναν αντιπρόσωπο της $C_{i}$ και $|C_{i}|=k_{i},\;1\leq i\leq s.$ Τότε

$\tau=\frac{1}{|G|}\big(k_{1}|\Gamma_{g_{1}}|+\dots+k_{s}|\Gamma_{g_{s}}|\big).$ (5.82)

Απόδειξη i.Θεωρούμε το σύνολο

B=\{(g,\alpha)\;\in\;G\times A:g\ast\alpha=\alpha\}.

(5.83)

Για τη απόδειξη του Θεωρήματος θα μετρήσουμε με δύο διαφορετικούς τρόπους το πλήθος των στοιχείων του συνόλου Β. Παρατηρούμε ότι

B=\bigcupdot_{g\;\in\;G}\{(g,\alpha):g\ast\alpha=\alpha\}\text{ και }B=% \bigcupdot_{\alpha\;\in\;A}\{(g,\alpha):g\ast\alpha=\alpha\}.

Όμως

\Big|\{(g,\alpha):g\;\in\;G,g\ast\alpha=\alpha\}\Big|=|G_{\alpha}|\text{ και }% \Big|\{(g,\alpha):\alpha\;\in\;A,g\ast\alpha=\alpha\}\Big|=|\Gamma_{g}|.

Επομένως,

|B|=\sum_{\alpha\;\in\;A}|G_{\alpha}|

5.2.1

και

|B|=\sum_{g\;\in\;G}|\Gamma_{g}|

5.2.2

όπου $G_{\alpha}$ είναι η ομάδα ευστάθειας του $\alpha\;\in\;A.$ Έστω

A=\bigcupdot^{\tau}_{i=1}A_{i},

(5.84)

όπου $A_{i}.\;1\leq i\leq\tau,$ είναι οι τροχιές της δράσης. Μπορούμε, τότε, να γράψουμε τη σχέση (5.2.2) ως εξής

|B|=\sum_{\alpha\;\in\;A}|G_{\alpha}|=\sum_{i=1}^{\tau}\Big(\sum_{\alpha\;\in% \;A_{i}}|G_{\alpha}|\Big)=\sum_{i=1}^{\tau}|A_{i}||G_{\alpha}|

5.2.3

γιατί τα στοιχεία της ίδιας τροχιάς έχουν συζυγείς ομάδες ευστάθειας (βλ. Πρόταση 5.1.10) και επομένως το ίδιο πλήθος στοιχείων. Άρα από τη σχέση (5.2.3) και το Θεώρημα (4.1.5) έχουμε

|B|=\sum_{\alpha\;\in\;A}|G_{\alpha}|=\sum_{i=1}^{\tau}|\overline{\alpha}||G_{% \alpha}|=\tau[G:G_{\alpha}]|G_{\alpha}|=\tau|G|,

δηλ.

|B|=\tau|G|.

5.2.4

Από τις σχέσεις (5.2.1) και (5.2.4) προκύπτει ότι

\tau|G|=\sum_{g\;\in\;G}|\Gamma_{g}|,

δηλ.

\tau=\frac{1}{|G|}\sum_{g\;\in\;G}|\Gamma_{g}|,

που αποδεικνύει το i).
ii. Έστω ότι τα στοιχεία $g_{1},g_{2}\;\in\;G$ είναι συζυγή και $g_{2}=xg_{1}x^{-1},$ για κάποιο $x\;\in\;G.$ Αν $\alpha\;\in\;\Gamma_{g_{1}},$ τότε

g_{1}\ast\alpha=\alpha

και

g_{2}\ast(x\ast\alpha)=xg_{1}x^{-1}\ast(x\ast\alpha)=(xg_{1})\ast\alpha=x\ast(% g_{1}\ast\alpha)=x\ast\alpha.

Άρα αν $\alpha\;\in\;\Gamma_{g_{1}},$ τότε $x\ast\alpha\;\in\;\Gamma_{g_{2}}.$ Θεωρούμε, τώρα, την αντιστοιχία

f:\Gamma_{g_{1}}\longrightarrow\Gamma_{g_{2}},\;\;\alpha\mapsto x\ast\alpha.

Είναι εύκολο να δούμε ότι η $f$ είναι αμφιμονότιμη συνάρτηση. Θα αποδείξουμε ότι είναι και επί συνάρτηση με αποτέλεσμα $|\Gamma_{g_{1}}|=|\Gamma_{g_{2}}|$ που αποδεικνύει το ii). Έστω, λοιπόν, ότι

\alpha\;\in\;\Gamma_{g_{2}}\Rightarrow g_{2}\ast\alpha=\alpha\Rightarrow(xg_{1% }x^{-1})\ast\alpha=\alpha\Rightarrow

(xg_{1})\ast(x^{-1}\ast\alpha)=\alpha\Rightarrow g_{1}\ast(x^{-1}\ast\alpha)=x% ^{-1}\ast\alpha.

Άρα αν $\alpha\;\in\;\Gamma_{g_{2}},$ τότε $x^{-1}\ast\alpha\;\in\;\Gamma_{g_{1}}$ και

f(x^{-1}\ast\alpha)=x\ast(x^{-1}\ast\alpha)=\alpha,

δηλ. για το $\alpha\;\in\;\Gamma_{g_{2}}$ υπάρχει το $x^{-1}\ast\alpha\;\in\;\Gamma_{g_{1}}$ έτσι ώστε $f(x^{-1}\ast\alpha)=\alpha^{2}.$ Επομένως η $f$ είναι επί συνάρτηση.
iii. Από τα i) και ii) του Θεωρήματος προκύπτει ότι

\tau\frac{1}{|G|}\sum_{g\;\in\;G}|\Gamma_{g}|=\frac{1}{|G|}\Big(k_{1}|\Gamma_{% g_{1}}|+\dots+k_{s}|\Gamma_{g_{s}}|\Big)

όπου $g_{i}$ είναι ένας αντίπρόσωπος της κλάσης $C_{i},\;1\leq i\leq s,$ γεγονός που αποδεικνύει το iii). $\blacksquare$

Παραδείγματα 5.2.2

1. Έστω $D$ ένα κανονικό δωδεκάεδρο, δηλ. ένα στερεό με 12 πλευρές και κάθε πλευρά του είναι κανονικό πεντάγωνο. Θα υπολογίσουμε την ομάδα $G$ των στροφών του $D$ , δηλ. των μετασχηματισμών του συνόλου $D$ που είναι στροφές ως προς ένα σημείο. Θεωρούμε το σύνολο Π όλων των πλευρών του $D$ και τη δράση

G\times\Pi\longrightarrow\Pi,\;\;(g,\pi)\mapsto g(\pi).

5.2.5

Η ομάδα ευστάθειας $G_{\pi}$ της πλευράς $\pi\;\in\;\Pi$ αποτελείται από τα στοιχεία $g\;\in\;G$ με την ιδιότητα $g(\pi)=\pi,$ δηλ. από τις στροφές που αφήνουν σταθερό το κανονικό πεντάγωνο Π. Από τη μελέτη μας για την ομάδα συμμετρίας του κανονικού $n$ -γώνου, συμπεραίνουμε ότι η ομάδα $G_{\pi}$ αποτελείται ακριβώς από τις στροφές της π ως προς το κέντρο της κατά γωνίες $\frac{2\pi}{5}k,\;0\leq k\leq 4.$ Άρα $|G_{\pi}|=5.$
Η δράση (5.3.5) είναι μεταβατική, αφού η $G$ είναι ομάδα στροφών, επομένως μία μόνο τροχιά μήκους $|\pi|=12.$ Επομένως

[G:G_{\pi}]=|\pi|=12

και

|G|=|G_{\pi}|[G:G_{\pi}].

Επομένως $|G|=12\cdot 5=60.$

Ας δούμε, τώρα, ένα δεύτερο τρόπο εύρεσης της τάξης της $G$ . Η ομάδα $G$ δρα μεταβατικά στο σύνολο, έστω Α, των ακμών του $D$ . Βέβαια $|A|=20$ . Η ομάδα ευστάθειας $G_{\alpha}$ μίας ακμής $\alpha$ είναι ακριβώς οι στροφές ως προς την ακμή $\alpha$ κατά γωνία $\frac{3\pi}{5}k,\;0\leq k\leq 2.$ Άρα $|G_{\alpha}|=3$ και $|G|=|G_{\alpha}|[G:G_{\alpha}],$ όμως $[G:G_{\alpha}]=|A|=20$ άρα $|G|=3\cdot 20=60.$

2. Ένας δίσκος χωρίζεται σε $p$ ίσους κυκλικούς τομείς, όπου $p$ είναι ένας πρώτος φυσικός αριθμός. Κάθε κυκλικός τομέας χρωματίζεται με $n$ πλήθους χρώματα. Δύο χρωματισμοί του δίσκου θεωρούνται ίδιοι αν ο ένας προκύπτει από τον άλλο μετά από μία στροφή του δίσκου ως προς το κέντρο του. Θα εξετάσουμε πόσοι διαφορετικοί χρωματισμοί υπάρχουν.
Α’ τρόπος Έστω Α το σύνολο όλων των δυνατών χρωματισμών του δίσκου, όπως αναφέρονται παραπάνω. Εφόσον $n$ πλήθους χρώματα θα τοποθετηθούν σε $p$ πλήθους κυκλικούς τομείς, υπάρχουν $n^{p}$ τέτοιοι χρωματισμοί, δηλ. $|A|=n^{p}$ . Θεωρούμε, τώρα, την ομάδα των στροφών του δίσκου ως προς το κέντρο κατά γωνία $\frac{2\pi}{p}k,\;0\leq k\leq p-1.$ Ας τη συμβολίσουμε με $C_{p}$ , δηλ.

C_{p}=\{p^{i}:0\leq i\leq p-1\}=\langle p\rangle,

όπου με $p$ συμβολίζουμε τη στροφή ως προς το κέντρο κατά γωνία $\frac{2\pi}{p}.$ Η $C_{p}$ είναι μία κυκλική ομάδα τάξης $p$ . Η ομάδα $C_{p}$ δρα στο σύνολο Α ως εξής:

C_{p}\times A\longrightarrow A,\;\;(p,\alpha)\mapsto p(\alpha).

Έστω $\overline{\alpha}$ η τροχιά ενός στοιχείου $\alpha\;\in\;A.$ Γνωρίζουμε ότι $|\overline{\alpha}|\Big||C_{p}|,$ (βλ. Πόρισμα 5.1.9i.), δηλ. $|\overline{\alpha}|\Big|p.$ Έτσι το μήκος της τροχιάς ενός στοιχείου $\alpha\;\in\;A$ είναι 1 ή $p$ . Τροχιά μήκους 1 έχει προφανώς κάθε χρωματισμό του δίσκου με ένα μόνον χρώμα. Καθώς υπάρχουν $n$ πλήθους χρώματα, έπεται ότι υπάρχουν $n$ πλήθους τροχιές πλήθους 1. Έτσι όλες οι άλλες τροχιές έχουν μήκος $p$ . Τα στοιχεία που έχουν τροχιά μήκους $p$ είναι πλήθους $n^{p}-n,$ άρα οι διαφορετικές τροχιές μήκους $p$ είναι πλήθους $\frac{n^{p}-n}{p}.$ Τόσοι είναι ακριβώς οι διαφορετικοί χρωματισμοί του δίσκου.
Ας παρατηρήσουμε στο σημείο αυτό ότι ο αριθμός $\frac{n^{p}-n}{p}$ είναι φυσικός αριθμός, αφού αναφέρεται σε πλήθος καταστάσεων. Άρα $p|(n^{p}-n)$ για κάθε φυσικό αριθμό $n$ . Με άλλα λόγια αποδείξαμε με ένα ακόμη τρόπο το επόμενο.

Θεώρημα (Fermat) 5.2.3

Έστω $p$ ένας πρώτος φυσικός αριθμός και $n$ ένας τυχαίος φυσικός αριθμός. Τότε

p|(n^{p}-n).

Για περισσότερες και πολύ ενδιαφέρουσες εφαρμογές του Θεωρήματος του Burnside στα γραφήμματα και στη Χημεία μπορεί ο ενδιαφερόμενος να συνδεθεί με το: http://elocus.lib.uoc.gr/dlib/b/9/1/metadata-dlib-1443600937-923050-26263.tkl

5.3 Θεωρήματα του Sylow

Το κίνητρο για την ανάπτυξη αυτού του εδαφίου είναι το ερώτημα αν ισχύει το αντίστροφο του Θεωρήματος του Lagrange, δηλ. αν ένας φυσικός αριθμός $m$ διαιρεί την τάξη μίας πεπερασμένης ομάδας $G$ , υπάρχει υποομάδα της $G$ με τάξη $m$ ; Ως παράδειγμα προς την καταφατική απάντηση έχουμε τις πεπερασμένες κυκλικές ομάδες, βλ. Θεώρημα 3.1.12. Όμως, δεν υπάρχει υποομάδα της ομάδας $A_{4}$ , των άρτιων μεταθέσεων των τεσσάρων αντικειμένων, τάξης 6. Την απόδειξη αυτού του γεγονότος θα την δούμε στο Κεφάλαιο 8. Έτσι συμπεραίνουμε ότι δεν ισχύει το αντίστροφο του Θεωρήματος του Lagrange. Συνεπώς πρέπει να αναζητήσουμε μία θεωρία που να απαντά σε ερωτήματα εύρεσης ή ύπαρξης υποομάδων με κάποια ιδιαίτερα χαρακτηριστικά τα οποία είναι αναμενόμενο να εξαρτώνται από την τάξη της ομάδας. Σημαντική συνεισφορά στην έρευνα αυτή είναι τα συμπεράσματα του L.Sylow (1832-1918).

Τα βασικά σχετικά συμπεράσματα του Sylow αναφέρονται συχνά στη βιβλιογραφία ως (τα τρία Θεωρήματα του Sylow).

Σε όλο το εδάφιο αυτό θα ακολουθίσουμε τον ακόλουθο συμβολισμό. Έστω $G$ μία πεπερασμένη ομάδα

|G|=n=\prod_{i=1}^{t}p_{i}^{s_{i}},

5.3.1

σύμφωνα με το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής, όπου $p_{1},p_{2},\dots,p_{t}$ είναι οι διακεκριμένοι φυσικοί αριθμοί που διαιρούν τον $n$ . Ακόμη η σχέση (5.3.1) μπορεί να γραφτεί ως

|G|=n=p^{s}m,

5.3.2

όπου $p\nmid m,$ δηλαδή $s>0$ είναι η μεγαλύτερη δύναμη του $p$ που διαιρεί τον $n$ και $p=\{p_{1},p_{2},\dots,p_{t}\}$ . Ξεκινάμε με τον επόμενο ορισμό.

Ορισμός 5.3.1

Έστω $G$ μία πεπερασμένη ομάδα τάξης $n<\infty.$ Μία υποομάδα Ρ της $G$ λέγεται Sylow p-υποομάδα της $G$ , αν έχει τάξη $p^{s}$ με τον συμβολισμό της σχέσης (5.3.2).

Θεώρημα (1o Θεώρημα του Sylow) 5.3.2

Υπάρχει πάντα Sylow p-υποομάδα της $G$ με $|G|=mp^{s}.$

Θεώρημα (2o Θεώρημα του Sylow) 5.3.3

Όλες οι Sylow p-υποομάδες της πεπερασμένης ομάδας $G$ είναι συζυγείς.

Θεώρημα (3o Θεώρημα του Sylow) 5.3.4

Το πλήθος $N(p^{s})$ των Sylow p-υποομάδων της πεπερασμένης ομάδας $G$ είναι φυσικός αριθμός ισοδύναμος του $1modp,$ ο οποίος διαιρεί την τάξη της $G$ .

Ας δούμε μερικά παραδείγματα πριν από τις αποδείξεις αυτών των θεωρημάτων.

Παραδείγματα 5.3.5

1. Έστω $G$ μία ομάδα τάξης $120=2^{3}\cdot 3\cdot 5.$ Τότε οι Sylow 2-υποομάδες της $G$ έχουν τάξη $2^{3}$ , οι Sylow 3-υποομάδες έχουν τάξη 3 και οι Sylow 5-υποομάδες έχουν τάξη 5.

2. Έστω $<g:g^{n}=e>$ μία κυκλική ομάδα. Από το Θεώρημα 3.1.12 για κάθε $k|n$ υπάρχει ακριβώς μία υποομάδα τάξης $k$ . Έτσι υπάρχει ακριβώς μία Sylow p-υποομάδα, για κάθε πρώτο φυσικό αριθμό $p$ τέτοιον ώστε $p|n.$

3. Θεωρούμε την ομάδα $S_{3}$ από τον πίνακα υποομάδων της (βλ. Παράδειγμα 3.1.13.2 και Παράδειγμα 3.2.7.1) υπάρχει μία ακριβώς υποομάδα τάξης 3, δηλ. Sylow 3-υποομάδα. Επίσης υπάρχουν τρεις υποομάδες τάξης 2, δηλ. Sylow 2-υποομάδες και $N(2)=3\;|\;6.$

4. Η ομάδα $D_{2\cdot 4}$ έχει τάξη $2^{3}$ . Μία Sylow 2-υποομάδα της $D_{2\cdot 4}$ έχει τάξη $2^{3},$ άρα είναι η ίδια η $D_{2\cdot 4}$ . Υπάρχουν τρεις υποομάδες της $D_{2\cdot 4}$ με τάξη $2^{2}$ , οι οποίες είναι κανονικές (βλ. Παράδειγμα 3.1.13.3 και Παράδειγμα 3.2.7.2). Επίσης υπάρχουν πέντε υποομάδες τάξης 2. δηλ. $N(2)=5\equiv 1mod2.$
5. Η τετραδική ομάδα $Q_{8}$ (βλ. Παράδειγμα 3.1.13.4) έχει $N(2^{2})=3$ και $N(2)=1.$

Στη βιβλιογραφία αναφέρονται διάφορες αποδείξεις των Θεωρημάτων του Sylow (βλ. [D-F],[Rot],[Art]). Εδώ αναφέρουμε μία από τις συντομότερες αποδείξεις η οποία στηρίζεται σε ένα μεταγενέστερο και γενικότερο συμπέρασμα του H.Wielandt (1959).

Θεώρημα (Wielandt) 5.3.6

Έστω $G$ μία πεπερασμένη ομάδα τάξης $n$ , όπως στη σχέση (5.3.2). Υπάρχουν υποομάδες της $G$ με τάξη $p^{r},\;1\leq r\leq s.$ Αν $N(p^{r})$ συμβολίζει το πλήθος των υποομάδων της $G$ με τάξη $p^{r}$ , τότε

N(p^{r})\equiv 1modp.

(5.85)

Απόδειξη Για την απόδειξη του θεωρήματος θα χρησιμοποιήσουμε τη θεωρία δράσης ομάδας σε σύνολο. Έστω $G$ μία ομάδα όπως στο θεώρημα και έστω

A:=\{H:H\subset G,|H|=p^{r}\},

(5.86)

το σύνολο όλων των υποσυνόλων της $G$ με $p^{r}$ στοιχεία. Θεωρούμε τη δράση της $G$ στο Α που δίνεται από τη σχέση

*:G\times A\longrightarrow A,\;\;(g,H)\longmapsto gH.

(5.87)

Είναι φανερό ότι η $*$ είναι δράση. Τότε

A=\bigcupdot_{H\;\in\;X}\overline{H},

5.3.3

όπου $\overline{H}=\{gh:g\;\in\;G\}$ είναι η τροχιά του $H\;\in\;A$ και Χ ένα πλήρες σύστημα αντιπροσώπων των τροχιών. Ακόμη, έστω

G_{H}=\{g\;\in\;G:gH=H\}\leq G

(5.88)

η ομάδα ευστάθειας του Η. Γνωρίζουμε ότι

|\overline{H}|=\big[G:G_{H}\big]

(5.89)

(βλ. Θεώρημα 5.1.8) και είναι φανερό ότι,

G_{H}H=H\Rightarrow H=\bigcupdot_{i=1}^{v}G_{H}g_{i},

5.3.4

για κάποια στοιχεία $g_{i}\;\in\;H,\;1\leq i\leq v,$ δηλ. γράφουμε το σύνολο Η ως ένωση δεξιών κλάσεων της $G_{H}$ στην $G$ . Επομένως

p^{r}=|H|=v|G_{H}|\Rightarrow|G_{H}|=p^{r_{H}}\leq p^{r},

(5.90)

για κάποιον εκθέτη $r_{H}$ που εξαρτάται από το Η και $r_{H}\leq r$ . Παρατηρούμε τότε ότι

|\overline{H}|=\big[G:G_{H}\big]=\frac{|G|}{|G_{H}|}=\frac{mp^{s}}{p^{r_{H}}}=% p^{r-r_{H}}t,

5.3.5

όπου $t$ είναι ένας φυσικός όχι απαραίτητα πρώτος του $p$ . Από τη σχέση (5.3.5) έπεται ότι

|G_{H}|=p^{r}\Leftrightarrow|\overline{H}|=t.

5.3.6

Επίσης από τη σχέση (5.3.5) έπεται ότι αν

|G_{H}|<p^{r}\Rightarrow|\overline{H}|\equiv 0modpt.

5.3.7

Από τον ορισμό, τώρα, του συνόλου Α και τις σχέσεις (5.3.6) και (5.3.7) προκύπτει ότι

\begin{pmatrix}|G|\\ p^{r}\end{pmatrix}=|A|=\sum_{H\;\in\;X}|\overline{H}|\equiv\sum_{H\;\in\;X,\;|% \overline{H}|=t}|\overline{H}|modpt.

5.3.8

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μία τροχιά $\overline{H}$ μήκους $t$ . Τότε από τις σχέσεις (5.3.4) και (5.3.5) θα έχουμε, για κάποιο $g\;\in\;G$ ,

H=G_{H}g\Rightarrow g^{-1}H=g^{-1}(G_{H})g.

(5.91)

Το $g^{-1}(G_{H})g$ είναι μία συζυγής υποομάδα της $G_{H}$ η οποία προφανώς έχει $p^{r}$ στοιχεία. Έτσι από μία τροχιά μήκους $t$ , αν φυσικά υπάρχει, οδηγηθήκαμε σε μία υποομάδα τάξης $p^{r}$ . Αλλά και αντίστροφα κάθε υποομάδα $L\leq G$ με $p^{r}$ στοιχεία έχει μία τροχιά

\overline{L}=\{gL:g\;\in\;G\}

(5.92)

μήκους

\big[G:L\big]=\frac{|G|}{p^{r}}=t.

(5.93)

Έστω

\Psi=\{H\leq G:|H|=p^{r}\}

(5.94)

και $\Phi$ το σύνολο των τροχιών μήκους $t$ . Η αντιστοιχία

f:\Psi\longrightarrow\Phi,\;\;H\longmapsto\overline{H}\{gH:g\;\in\;G\}

(5.95)

είναι αμφιμονότιμη και επί. Πράγματι; αν $H_{1},H_{2}\;\in\;\Psi$ και $H_{1}=H_{2}$ είναι φανερό ότι $\overline{H_{1}}=\overline{H_{2}}$ , δηλ. η $f$ είναι συνάρτηση. Έστω $\overline{H_{1}},\overline{H_{2}}\;\in\;\Phi$ και

\overline{H_{1}}=\overline{H_{2}}\Rightarrow H_{1}\;\in\;\overline{H_{2}}% \Rightarrow H_{1}=\alpha H_{2},\text{ για κάποιο }\alpha\;\in\;G\Rightarrow

(5.96)

\Rightarrow e=\alpha h_{2},\text{ για κάποιο }h_{2}\;\in\;H\Rightarrow\alpha=h% _{2}^{-1}\;\in\;H_{2}.

(5.97)

Επομένως από τη σχέση

H_{1}=\alpha H_{2}\Rightarrow H_{1}=h_{2}^{-1}H_{2}\Rightarrow H_{1}=H_{2},

(5.98)

δηλ. η $f$ είναι αμφιμονότιμη συνάρτηση. Είδαμε ήδη, ότι από μία τροχιά μήκους $t$ ορίζεται μία υποομάδα τάξης $p^{r}.$ Άρα η $f$ είναι αμφιμονότιμη και επί. Επομένως υπάρχουν τόσες τροχιές μήκους $t$ όσες και οι υποομάδες της $G$ τάξης $p^{r}$ , έτσι η σχέση (5.3.8) γίνεται

\begin{pmatrix}|G|\\ p^{r}\end{pmatrix}\equiv tN(p^{r})modpt.

5.3.9

Η ισοδυναμία (5.3.9) ισχύει για κάθε πεπερασμένη ομάδα $G$ , άρα θα ισχύει και για την περίπτωση που η $G$ είναι κυκλική ομάδα. Τότε, όμως, ο αριθμός $N(p^{r})$ είναι ίσος με 1 (βλ. Θεώρημα 3.1.12), έτσι η σχέση (5.3.9) γίνεται

\begin{pmatrix}|G|\\ p^{r}\end{pmatrix}\equiv t\cdot 1modpt

5.3.10

για την περίπτωση της κυκλικής ομάδας. Τα αριστερά μέλη των σχέσεων (5.3.9) και (5.3.10) είναι ίσα, άρα και τα δεξιά. Συνεπώς

tN(p^{r})\equiv tmodpt\Rightarrow N(p^{r})\equiv 1modp.

5.3.11

Αφού ο αριθμός $N(p^{r})$ είναι ισοδύναμος του $1modp,$ έπεται ότι είναι διάφορος του μηδενός. Επομένως υπάρχουν υποομάδες τάξης $p^{r},\;0\leq r\leq s,$ και $N(p^{r})\equiv 1modp.$ $\blacksquare$

Θα αποδείξουμε τώρα τα Θεωρήματα του Sylow.

Το πρώτο Θεώρημα του Sylow προκύπτει άμεσα από το Θεώρημα 5.3.6.

Θα αποδείξουμε τώρα το Δεύτερο Θεώρημα Sylow.
Απόδειξη Έστω Ρ μία $p-Sylow$ υποοομάδα της ομάδας $G$ με $|G|=n,$ όπως στη σχέση (5.3.2) και $Q$ μία υποομάδα της $G$ με τάξη δύναμη του $p$ , έστω $|Q|=p^{k}$ με $k\leq s.$ Η ύπαρξη των υποομάδων $P$ και $Q$ προκύπτει από το Θεώρημα (5.3.6) . Θεωρούμε το σύνολο πηλίκον

Q/P=\{g_{i}P:g_{i}\;\in\;X\},

(5.99)

όπου Χ είναι ένα πλήρες σύνολο των αριστερών κλάσεων της $P$ στην ομάδα $G$ , φυσικά $|X|<\infty$ . Επίσης θεωρούμε τη δράση της $Q$ στο σύνολo $G/P$ , η οποία ορίζεται από τη σχέση

Q\times G/P\longrightarrow G/P,\;\;q\longmapsto qg_{i}P.

(5.100)

Έστω $\overline{g_{i}P}$ η τροχιά του στοιχείου $g_{i}P\;\in\;G/P,\;g_{i}\;\in\;X.$ Το μήκος κάθε τροχιάς διαιρεί την τάξη της $Q$ (βλ. Πόρισμα 5.1.6 i.), επομένως $|\overline{g_{i}P}|=p^{\lambda_{i}}$ , για κάποιο $\lambda_{i}\;\in\;\mathbb{N}.$ Παρατηρούμε ότι

|G/P|=\frac{|G|}{|P|}=\frac{mp^{s}}{p^{s}}=m

(5.101)

και από το Πόρισμα 5.1.6 ii., έχουμε ότι

m=|G/P|=\sum_{i\;\in\;X}p^{\lambda_{i}}.

5.3.12

Αν $\lambda_{i}\geq 1,$ για κάθε $i\;\in\;X$ , τότε το $p$ θα διαιρούσε το δεξιό μέλος της σχέσης (5.3.12), άρα και το αριστερό. Όμως, $p\nmid m$ (βλ. σχέση (5.3.2) ). Συνεπώς υπάρχει κάποιο $g_{i}\;\in\;X$ τέτοιο ώστε $\lambda_{j}=0$ , δηλ. η τροχιά $\overline{g_{i}P}$ έχει μήκος 1. Αυτό σημαίνει ότι

Qg_{j}P=g_{j}P\Rightarrow Qg_{j}Pg_{j}^{-1}=g_{j}Pg_{j}^{-1}\Rightarrow Q% \subseteq g_{j}Pg_{j}^{-1}\Rightarrow Q\leq g_{j}Pg_{j}^{-1}.

5.3.13

Συμπεραίνουμε, λοιπόν, ότι η $Q$ είναι υποομάδα μίας συζυγούς υποομάδας της $P$ . Αν, τώρα, θεωρήσουμε ότι η ίδια η $Q$ είναι επίσης μία Sylow p-υποομάδα της $G$ , τότε $|Q|=p^{s}$ και από τη σχέση (5.3.13) προκύπτει ότι

Q=g_{j}Pg_{j}^{-1}.

(5.102)

Άρα κάθε Sylow p-υποομάδα της $G$ είναι συζυγής με μία εξ αυτών, της $P$ , δηλ. όλες οι Sylow p-υποομάδες της $G$ είναι συζυγείς. $\blacksquare$

Απόδειξη του 3ου Θεωρήματος του Sylow Από το Θεώρημα 5.3.6 προκύπτει ότι $N(p^{s})\equiv 1modp.$ Όμως, όλες οι Sylow p-υποομάδες της $G$ είναι συζυγείς σύμφωνα με το δεύτερο θεώρημα του Sylow, δηλ. οι Sylow p-υποομάδες της $G$ είναι οι

\{gPg^{-1}:g\;\in\;G\},

(5.103)

όπου $P$ είναι μία Sylow p-υποομάδα. Τώρα, από το Θεώρημα 5.1.11, προκύπτει ότι το πλήθος των Sylow p-υποομάδων της $G$ ισούται με $\big[G:N_{G}(P)\big],$ δηλ. διαιρεί την $|G|$ . $\blacksquare$

Από την απόδειξη του 2ου Θεωρήματος του Sylow προκύπτει το επόμενο συμπέρασμα.

Πόρισμα 5.3.7

Έστω $G$ μία πεπερασμένη ομάδα και $p$ πρώτος φυσικός αροθμός τέτοιος ώστε $p\big||G|.$ Τότε κάθε υποομάδα της $G$ με τάξη δύναμη του $p$ περιέχεται σε μία Sylow p-υποοομάδα της $G$ .

Πόρισμα 5.3.8

Έστω $G$ μία πεπερασμένη ομάδα με τάξη $n$ , όπως στη σχέση (5.3.2). Τότε το πλήθος $N(p^{s})$ όλων των Sylow p-υποομάδων της $G$ διαιρεί τον $m$ .

Απόδειξη Το συμπέρασμα προκύπτει από τις σχέσεις

\begin{array}[]{ccc}N(p^{s})\equiv 1modp&\text{ και }&N(p^{s})=\big[G:N_{G}(P)% \big],\end{array}

(5.104)

όπου $P$ είναι μία Sylow p-υποομάδα της $G$ (βλ. Θεώρημα 5.1.17 ). $\blacksquare$

Πόρισμα 5.3.9

Έστω $G$ μία πεπερασμένη ομάδα με τάξη $n$ . Έστω $p$ είναι πρώτος φυσικός αριθμός τέτοιος ώστε $p|n.$ Μία Sylow p-υποομάδα της $G$ είναι κανονική αν και μόνον αν είναι μοναδική Sylow p-υποομάδα.

Απόδειξη Έστω $P$ μία Sylow p-υποομάδα της πεπερασμένης ομάδας $G$ . Αν $P\unlhd G$ , τότε η Ρ ταυτίζεται με τις συζυγείς της υποομάδες. Έτσι από το Θεώρημα 5.3.3 η Ρ είναι μοναδική.
Αντίστροφα αν η Ρ είναι μοναδική Sylow p-υποομάδα της $G$ , τότε ταυτίζεται με τις συζυγείς της και συνεπώς είναι κανονική. $\blacksquare$

Ο επόμενος ορισμός είναι χρήσιμος.

Ορισμός 5.3.10

Έστω $p$ ένας πρώτος φυσικός αριθμός. Μία ομάδα $G$ λέγεται $p-$ -ομάδα αν κάθε στοιχείο της έχει τάξη δύναμη του $p$ .

Παραδείγματα p-υποομάδων, για έναν πρώτο φυσικό αριθμό $p$ , είναι τα ακόλουθα:

i.

Κάθε κυκλική ομάδα τάξης $p$ .
ii.

Κάθε ομάδα τάξης $p^{s}$ , για έναν ακέραιο αριθμό $s\geq 0.$
iii.

Η ομάδα $C_{p}\times C_{p}\times\dots\times C_{p}\times\dots$ όπου $C_{p}$ είναι μία κυκλική ομάδα τάξης $p$ .

Τα Θεωρήματα του Sylow μας δίνουν έναν χαρακτηρισμό για τις πεπερασμένες p-ομάδες, όπως αναφέρεται στην επόμενη πρόταση.

Πρόταση 5.3.11

Έστω $p$ ένας πρώτος φυσικός αριθμός και $G$ μία πεπερασμένη ομάδα. Η $G$ είναι $p$ -ομάδα αν και μόνον αν η τάξη της είναι δύναμη του $p$ .

Απόδειξη Έστω $G$ μία ομάδα με $|G|=n\textless\infty$ και έστω ότι η $G$ είναι μία $p$ -ομάδα για κάποιον πωτο αριθμό $p$ . Επειδή η τάξη κάθε στοιχείου της $G$ διαιρεί τον $n$ έπεται από το Ορισμό 4.3.10 και το Θεώρημα 5.3.6 ότι $p|n$ . Ας υποθέσουμε τώρα ότι η τάξη της $G$ δεν είναι δύναμη του $p$ , αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον πρώτος αριθμός, έστω $q$ , τέτοιος ώστε $q|n$ . Από το Θεώρημα του Wielandt υπάρχει υποομάδα της $G$ τάξης $q$ , άρα υπάρχει στοιχείο της $G$ τάξης $q$ . Αυτό, όμως, είναι αδύνατον αφού η $G$ είναι μία $p$ -ομάδα. Άρα, ο μόνος πρώτος που διαιρεί τον $|G|=n$ είναι ο $p$ και επομένως, $n=p^{s}$ για κάποιον φυσικό αριθμό $s$ . Αντίστροφα, έστω ότι $|G|=p^{s}$ για κάποιον φυσικό αριθμό $s$ . Τότε, για κάθε $a\;\in\;G$ , $ord(a)|p^{s}$ και επομένως η $ord(a)$ είναι δύναμη του $p$ , δηλαδή η $G$ είναι μία $p$ -ομάδα. $\blacksquare$

Τα Θεωρήματα του Sylow καθώς και το Θεώρημα (5.3.6) μας επιτρέπουν να διαπιστώσουμε αν μία ομάδα είναι απλή, καθώς και να έχουμε πληροφορίες για τις κανονικές υποομάδες, αν υπάρχουν, ή τη δομή των υποομάδων μίας ομάδας. Ακολουθούν σχετικά παραδείγματα.

Παραδείγματα 5.3.12

1. Υπάρχει απλή ομάδα τάξης 40;
Απάντηση: Επειδή $40=2^{3}\cdot 5$ , από το Θεώρημα (5.3.2) υπάρχουν Sylow 2-υποομάδες και Sylow 5-υποομάδες. Από το Θεώρημα (5.3.4) ισχύει ότι $N(5)=1+5k$ και $N(5)|2^{3}$ . Οι σχέσεις αυτές ισχύουν μόνον για $k=0$ , άρα $N(5)=1$ . Επομένως, υπάρχει μοναδική Sylow 5-υποομάδα και αυτή είναι κανονική (Πόρισμα 5.3.9) για κάθε ομάδα τάξης 40. Άρα δεν υπάρχει απλή ομάδα τάξης 40.

2. Θα αποδείξουμε ότι μία ομάδα τάξης 12 έχει μία κανονική υποομάδα τάξης 3 ή 4. Από το συμπέρασμα αυτό προκύπτει ότι δεν υπάρχει απλή ομάδα τάξης 12.
Απόδειξη Έστω $G$ μία ομάδα τάξης 12. Επειδή $12=2^{2}\cdot 3$ υπάρχουν Sylow 2-υποομάδες τάξης 4 και Sylow 3-υποομάδες τάξης 3. Ακόμη $N(3)=(1+3k)|4\Rightarrow k=0$ οπότε $N(3)=1$ ή $k=1$ οπότε $N(3)=4$ . Άλλες δυνατές περιπτώσεις για τον αριθμό $N(3)$ δεν υπάρχουν. Αν $N(3)=1$ , τότε υπάρχει μοναδική Sylow 3-υποομάδα και επομένως (Πρόταση 5.3.9) αυτή θα είναι κανονική. Στην περίπτωση αυτή η ομάδα $G$ δεν είναι απλή. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε την άλλη δυνατή τιμή για τον $N(3)$ , δηλαδή $N(3)=4$ . Τότε, υπάρχουν τέσσερεις ομάδες τάξης 3, έστω οι $H_{i}$ , $i=1,2,3,4$ . Επειδή ο 3 είναι πρώτος αριθμός έπεται ότι κάθε μία από τις ομάδες $H_{i}$ , $1\leq i\leq 4$ , είναι κυκλικές. Έστω ότι

H_{i}=\textless\alpha_{i}\;|\;\alpha_{i}^{3}=e\textgreater

(5.105)

Η ομάδα $H_{i}$ παράγεται ακόμη από το στοιχείο $\alpha_{i}^{2}$ , αφού $(2,3)=1$ (βλ. Πρόταση 2.2.5 i.). Αυτό σημαίνει ότι $H_{i}\cap H_{j}=\{e\}$ , για $1\leq i,j\leq 4$ και $i\neq j$ , γιατί αν υπήρχε $e\neq x\;\in\;H_{i}\cap H_{j}$ , τότε $|\textless x\textgreater|=3$ και $H_{i}=\textless x\textgreater=H_{j}$ που είναι αδύνατο. Επομένως, οι $H_{i}$ , $1\leq i\leq 4$ , έχουν ανά δύο τομή το $\{e\}$ , δηλαδή

\{e,\alpha_{1},\alpha_{1}^{2},\alpha_{2},\alpha_{2}^{2},\alpha_{3},\alpha_{3}^% {2},\alpha_{4},\alpha_{4}^{2}\}\subset G.

(5.106)

Συνεπώς το σύνολο $G$ περιέχει ακόμα τρία στοιχεία, έστω τα $\alpha,\beta,\gamma$ . Όμως, υπάρχει τουλάχιστον μία Sylow 2-υποομάδα της $G$ , έστω η $K$ . Τα στοιχεία της $Κ$ έχουν τάξη έναν αριθμό που διαιρεί το $|K|=4$ , άρα κανένα δεν ανήκει σε μία από τις ομάδες $H_{i}$ , $1\leq i\leq 4$ . Αυτό σημαίνει ότι τα στοιχεία $\{e,\alpha,\beta,\gamma\}$ αναγκαστικά αποτελούν μία υποομάδα τάξης 4 και επειδή δεν υπάρχουν άλλα στοιχεία της $G$ με τάξη 1,2 ή 4, έπεται ότι η $K$ είναι η μοναδική Sylow 2-υποομάδα της $G$ και συνεπώς $K\unlhd G$ . Συμπεραίνουμε, έτσι, ότι κάθε ομάδα τάξης 12 έχει μία κανονική υποομάδα τάξης 3 ή μία κανονική υποομάδα τάξης 4.

3. Δίνεται μία ομάδα τάξης $p q$ , όπου $p, q$ είναι πρώτοι φυσικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε $p\neq q$ και $q\not\equiv 1modp$ . Θα αποδείξουμε ότι η ομάδα αυτή έχει μία κανονική υποομάδα τάξης $p$ και επομένως δεν είναι απλή. Έστω $G$ μία ομάδα με τάξη $p q$ , όπως παραπάνω. Τότε $N(p)=1+kp$ , για κάποιον $k\;\in\;\mathbb{N}$ και $N(p)|q$ . Όμως, $q\not\equiv 1modp$ , άρα $N(p)=1$ . Επομένως, η $G$ έχει μοναδική Sylow p-υποομάδα, η οποία αναγκαστικά είναι κανονική.

4. Θα αποδείξουμε ότι μία κανονική $p$ -υποομάδα μίας πεπερασμένης ομάδας $G$ περιέχεται σε κάθε Sylow p-υποομάδα της $G$ . Πράγματι, έστω $H$ μία κανονική $p$ -υποομάδα της πεπερασμένης ομάδας $G$ . Από την Πρόταση 5.3.7 έπεται ότι η $H$ περιέχεται σε μία Sylow p-υποομάδα της $G$ , έστω την $S$ . Τότε, για ένα τυχαίο $\alpha\;\in\;G$ ,

\alpha H\alpha^{-1}\leq\alpha S\alpha^{-1}\Rightarrow H\leq\alpha S\alpha^{-1}.

(5.107)

Άρα, η $H$ περιέχεται σε κάθε συζυγή υποομάδα της $S$ , δηλαδή σε κάθε Sylow p-υποομάδα της $G$ (βλ. Θεώρημα 5.3.3).

5. Θα αποδείξουμε ότι μία ομάδα τάξης $2p$ , όπου $p\geq 2$ είναι ένας πρώτος φυσικός αριθμός, έχει μία κανονική υποομάδα με τάξη $p$ . Πράγματι, έστω $G$ μία ομάδα με τάξη $2p$ , όπου $p\geq 2$ είναι πρώτος και $H$ μία Sylow p-υποομάδα της $G$ . Τότε

N(p)=1+kp\text{ και }N(p)|2,

(5.108)

για κάποιον φυσικό αριθμό $k$ (βλ. Θεώρημα 5.3.4 και Πρόταση 5.3.8). Άρα $N(p)=1$ και $H\unlhd G$ . Ας παρατηρήσουμε ότι για $p=2$ το συμπέρασμα ισχύει γιατί κάθε ομάδα τάξης 4 είναι αβελιανή. Τότε, όμως, δεν εφαρμόζεται η επιχειρηματολογία των Θεωρημάτων του Sylow.

6. Έστω $G$ μία ομάδα με τάξη $p^{n}$ , όπου $p$ είναι ένας πρώτος φυσικός αριθμός. Αν η $G$ έχει μία ακριβώς υποομάδα τάξης $p^{s}$ , $1\leq s\leq n-1$ , θα αποδείξουμε ότι η $G$ είναι κυκλική. Πράγματι, έστω $H$ η μοναδική υποομάδα της $G$ με τάξη $p^{n-1}$ και $\alpha\;\in\;G\;\backslash H$ . Είναι φανερό ότι $ord(\alpha)=p^{t}$ , με $2\leq t\leq n$ . Αν $ord(\alpha)=p^{t}$ , με $2\leq t\leq n-1$ , τότε $|\textless\alpha\textgreater|=p^{t}$ . Επομένως, η $\textless\alpha\textgreater$ είναι η μοναδική υποομάδα τάξης $p^{t}$ . Όμως, κάθε υποομάδα της $H$ έχει τάξη $p^{t}$ , με $1\leq t\leq n-1$ , και είναι μοναδική με αυτήν την τάξη γιατί είναι και υποομάδα της $G$ . Αυτό, όμως, είναι άτοπο λόγω της επιλογής του $\alpha$ . Άρα, $ord(\alpha)=p^{n}$ , δηλ. $|\langle\alpha\rangle|=|G|$ και $\langle\alpha\rangle\leq G$ . Επομένως $G=\langle\alpha\rangle$ , δηλ. η $G$ είναι κυκλική.

7. Αποδεικνύουμε ότι οι μόνες απλές αβελιανές ομάδες είναι οι κυκλικές ομάδες τάξης πρώτου αριθμού $p$ . Πράγματι, έστω $G$ μία αβελιανή ομάδα. Αν η $G$ δεν είναι κυκλική τότε παράγεται από δύο τουλάχιστον στοιχεία, έστω $\alpha,\beta$ ώστε $\beta\notin\;<\alpha>$ . Επομένως, η $G$ έχει τουλάχιστον δύο κανονικές υποομάδες τις $<\alpha>,\;<\beta>$ με τις ιδιότητες:

0\underset{\neq}{\lhd}\;<\alpha>\;\underset{\neq}{\lhd}\;G\text{ και }0% \underset{\neq}{\lhd}\;<\beta>\;\underset{\neq}{\lhd}\;G

και συνεπώς η $G$ δεν είναι απλή.
Έστω ότι η $G$ είναι κυκλική και $G=<g>.$ Αν $ord(g)=\infty,$ τότε

\{e\}\underset{\neq}{\lhd}\;<g^{k}>\;\underset{\neq}{\lhd}\;G,\text{ για }k% \neq 0,1,-1

(βλ. Πρόταση 2.2.5,ii) και η $G$ δεν μπορεί να είναι απλή.

Τέλος αν $G=<g>$ και $ord(g)=n<\infty$ τότε για κάθε $s|n$ και $s\neq 1,n$

\{e\}\underset{\neq}{\lhd}\;<g^{n/s}>\;\underset{\neq}{\lhd}\;G

(βλ. Θεώρημα 3.1.12). Επομένως η $G$ είναι απλή αν και μόνον αν το $n$ είναι πρώτος φυσικός αριθμός.

Συμπερασματικά μία αβελιανή ομάδα είναι απλή αν και μόνον αν είναι τάξης πρώτου φυσικού αριθμού και συνεπώς κυκλική (βλ. Πρόταση 3.1.11).

Ασκήσεις

1. Να υπολογίσετε τις τάξεις των Sylow υποομάδων μίας ομάδας τάξης 1064800.
2. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν απλές ομάδες τάξης 28 ή 56 ή 196 ή 200.
3. Να αποδείξετε ότι μία ομάδα τάξης 42 έχει κανονική Sylow 7-υποομάδα.
4. Δίνεται μία απλή ομάδα τάξης 60. Να βρείτε το πλήθος των υποομάδων της με τάξη 5 και να αποδείξετε ότι υπάρχουν ακριβώς 24 στοιχεία της με τάξη 5.
5. Έστω $G$ μία πεπερασμένη ομάδα και $H\unlhd G$ με $[G:H]=t$ . Αν $(t,p)=1$ , όπου $p$ είναι ένας πρώτος φυσικός αριθμός, να αποδείξετε ότι η $H$ περιέχει καθε Sylow p-υποομάδα της $G$ .
6. Έστω $G$ μία πεπερασμένη ομάδα και $H$ μία κανονική Sylow p-υποομάδα της $G$ . Αν $K$ είναι μία $p$ -υποομάδα της $G$ , να αποδείξετε ότι $K\subseteq H$ .
7. Έστω $G$ μία πεπερασμένη ομάδα με την ιδιότητα: για κάθε πρώτο φυσικό αριθμό $p$ που διαιρεί την $|G|$ , κάθε Sylow p-υποομάδα της $G$ είναι κανονική. Να αποδείξετε ότι η $G$ είναι το ευθύ γινόμενο των Sylow υποομάδων της.