6.7 Ρυθμός μείωσης των συντελεστών Fourier

Το πρώτο και βασικότερο αποτέλεσμα που αφορά τους συντελεστές Fourier μιας $L^1$ συνάρτησης είναι το ακόλουθο:

Θεώρημα 6.6 (Λήμμα Riemann-Lebesgue)   Αν $f \in L^1({\mathbb{T}})$ τότε $\lim_{{\left\vert{k}\right\vert}\to\infty} \widehat{f}(k) = 0$.

Μια απόδειξη αυτού έχουμε περιγράψει στο Πρόβλημα 1.38. Με αυτά που έχουμε μάθει μέχρι τώρα μια άλλη απόδειξη προκύπτει για τους παρακάτω λόγους: (α) σίγουρα ισχύει για τριγωνομετρικά πολυώνυμα (η ακολουθία των συντελεστών Fourier τους όχι μόνο συγκλίνει στο 0 αλλά είναι και τελικά ίση με μηδέν) (β) τα τριγωνομετρικά πολυώνυμα είναι πυκνά στο χώρο $L^1({\mathbb{T}})$ (Πρόβλημα 4.10) και (γ) οι συντελεστές Fourier μιας συνάρτησης φράσσονται από την $L^1$ νόρμα της συνάρτησης. (Αυτή η απόδειξη είναι κάπως διαφορετική από αυτή που δίνεται στο Κεφάλαιο 1 όπου δε χρησιμοποιείται το θεώρημα του Fejér ούτε τριγωνομετρικά πολυώνυμα αλλά μόνο η πυκνότητα των συνεχών συναρτήσεων στο $L^1$.)

Γενικά όσο πιο «ομαλή» είναι μια συνάρτηση (όσο πιο «συνεχής», όσο πιο παραγωγίσιμη, κλπ) τόσο πιο γρήγορα φθίνουν οι συντελεστές Fourier της. Τα αποτελέσματα που θα δούμε παρακάτω κάνουν την παραπάνω γενική αρχή πιο συγκεκριμένη.

Θεώρημα 6.7 (Συντελεστές $C^k$ συναρτήσεων)   Αν $f \in C^k({\mathbb{T}})$ τότε ${\left\vert{\widehat{f}(n)}\right\vert} = o(1/{\left\vert{n}\right\vert}^k)$.

Απόδειξη.
Αυτό αποτελεί βελτίωση του Θεωρήματος 3.1 που λέει ότι ${\left\vert{\widehat{f}(n)}\right\vert} = O(1/{\left\vert{n}\right\vert}^k)$. Η βελτίωση οφείλεται σε χρήση του Λήμματος Riemann-Lebesgue (Θεώρημα 6.6). Αφού έχουμε από το Θεώρημα 3.1 για $n \neq 0$

$$\widehat{f}(n) = \frac{\widehat{f^{(k)}}(n)}{(in)^k}$$

και $f^{(k)} \in L^1({\mathbb{T}})$ (αφού είναι συνεχής) έπεται ότι $\lim_{{\left\vert{n}\right\vert}\to\infty}\widehat{f^{(k)}(n)} = 0$ που συνεπάγεται το ζητούμενο.

Το Πρόβλημα 5.9 αποτελεί επίσης μια έκφραση της αρχής «ομαλότητα συνεπάγεται μείωση των συντελεστών Fourier»: αν $f \in C^1({\mathbb{T}})$ τότε ισχύει

$$\sum_{n=-\infty}^\infty {\left\vert{\widehat{f}(n)}\right\vert} < +\infty.$$

Το να είναι μια συνάρτηση $f \in C({\mathbb{T}})$ Lipschitz, το να υπάρχει δηλ. πεπερασμένος αριθμός $M>0$ ώστε να ισχύει

$${\left\vert{f(x)-f(y)}\right\vert} \le M {\left\vert{x-y}\right\vert}, \forall x, y,$$ (6.9)

είναι μια συνθήκη ασθενέστερη από το να είναι η συνάρτηση παραγωγίσιμη (π.χ. η $f(x)={\left\vert{x}\right\vert}$ είναι Lipschitz με σταθερά $M=1$ αλλά δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0).

Θεώρημα 6.8 (Συντελεστές Lipschitz συναρτήσεων)   Αν η $f \in C({\mathbb{T}})$ είναι Lipschitz τότε ${\left\vert{\widehat{f}(n)}\right\vert} = O(1/{\left\vert{n}\right\vert})$.

Απόδειξη.
Παρατηρούμε πρώτα ότι $\int f(x+(\pi/n)) e^{-inx} dx = -\int f(x) e^{-inx} dx = -\widehat{f}(n)$. Έχουμε λοιπόν

$${\left\vert{\widehat{f}(n)}\right\vert} = {\left\vert{ \frac{1}{4\pi}\int (f(x)-f(x+(\pi/n)))e^{-inx} dx }\right\vert}$$

$$\le \frac{1}{4\pi}\int M (\pi/{\left\vert{n}\right\vert}) dx \dagger$$

$$\le \frac{\pi M}{2{\left\vert{n}\right\vert}}$$

($\dagger$: από την ιδιότητα Lipschitz).

Αν $\alpha \in (0,1]$ λέμε ότι μια συνάρτηση $f \in C({\mathbb{T}})$ είναι Lipschitz-$\alpha$ αν υπάρχει πεπερασμένη σταθερά $M>0$ τ.ώ. να ισχύει

$${\left\vert{f(x)-f(y)}\right\vert} \le M {\left\vert{x-y}\right\vert}^{\alpha}, \forall x, y.$$ (6.10)

Άσκηση 6.10 (α)   Αν $0<\alpha < \beta\le 1$ και μια συνάρτηση $f$ είναι Lipschitz-$\beta$ τότε είναι και Lipschitz-$\alpha$. Για κάθε τέτοιο ζεύγος αριθμών $\alpha$ και $\beta$ δείξτε ότι υπάρχει συνάρτηση $g$ που είναι Lipschitz-$\alpha$ αλλά όχι Lipschitz-$\beta$.

(β) Αν μια συνάρτηση $f \in C({\mathbb{T}})$ ικανοποιεί την (6.10) για κάποιο $\alpha>1$ δείξτε ότι η συνάρτηση είναι αναγκαστικά σταθερή (και άρα δεν έχει ιδιαίτερη χρησιμότητα να μιλάμε για συναρτήσεις που είναι Lipschitz-$\alpha$ με $\alpha>1$).

Υπόδειξη: Για το (β) δείξτε ότι η παράγωγος της $f$ είναι παντού ίση με 0.

Θεώρημα 6.9 (Συντελεστές Lipschitz-$\alpha$ συναρτήσεων)   Αν η $f \in C({\mathbb{T}})$ είναι Lipschitz-$\alpha$ (για κάποιο $\alpha \in (0,1]$) τότε ${\left\vert{\widehat{f}(n)}\right\vert} = O(1/{\left\vert{n}\right\vert}^{\alpha})$.

Άσκηση 6.11   Αποδείξτε το Θεώρημα 6.9.

Υπόδειξη: Τροποποιήσετε ελάχιστα την απόδειξη του 6.8.

Στο επόμενο θεώρημα η μείωση των συντελεστών Fourier είναι αποτέλεσμα της μονοτονίας της συνάρτησης (η οποία πρέπει συνεπώς να θεωρείται κάποιο είδος ομαλότητας).

Θεώρημα 6.10 (Συντελεστές μονοτόνων συναρτήσεων)   Αν η $f$ είναι μονότονη στο διάστημα $(-\pi, \pi)$ τότε ${\left\vert{\widehat{f}(n)}\right\vert} = O(1/{\left\vert{n}\right\vert})$. Πιο συγκεκριμένα, αν $B = \lim_{x\to \pi-} f(x)$ και $A = \lim_{x\to (-\pi)+} f(x)$ είναι τα πλευρικά όρια στα άκρα (πάντα υπάρχουν λόγω μονοτονίας) τότε

$${\left\vert{\widehat{f}(n)}\right\vert} \le \frac{{\left\vert{B-A}\right\vert}}{\pi {\left\vert{n}\right\vert}}.$$ (6.11)

Απόδειξη.
Το δείχνουμε πρώτα όταν η συνάρτηση $f$ είναι κλιμακωτή και αύξουσα (ή φθίνουσα; αυτό δεν έχει καμιά σημασία οπότε περιοριζόμαστε από δω και πέρα σε αύξουσες). Αν η συνάρτηση είναι της μορφής

$$f(t) = \sum_{k=0}^{N-1} c_k \chi_{[x_k, x_{k+1})}(t)$$

όπου $-\pi = x_0 < x_1 < \cdots < x_{N-1} < x_N = \pi$ και $c_k \le c_{k+1}$, τότε μπορούμε να γράψουμε και

$$f(x) = c_0 + (c_1-c_0) \chi_{[x_1,\pi]}(x) + (c_2-c_1)\chi_{[x_2,\pi]}(x) + \cdots + (c_{N-1}-c_{N-2})\chi_{[x_{N-1},\pi]}(x).$$ (6.12)

Για τη χαρακτηριστική ενός διαστήματος έχουμε μετά από πολύ εύκολο υπολογισμό

$$\widehat{\chi_{[a,b]}}(n) = \frac{i}{2\pi n}(e^{-ibn}-e^{-ian})$$

και άρα

$${\left\vert{\widehat{\chi_{[a,b]}}(n)}\right\vert} \le \frac{1}{\pi {\left\vert{n}\right\vert}}.$$ (6.13)

Από την (6.12) και την (6.13) και το ότι οι ποσότητες $c_{j+1}-c_j$ είναι μη αρνητικές προκύπτει ότι

$${\left\vert{\widehat{f}(n)}\right\vert} \le \frac{c_{N-1}-c_0}{\pi{\left\vert{n}\right\vert}}$$ (6.14)

για $n \neq 0$, που αποδεικνύει το ζητούμενο για μονότονες κλιμακωτές συναρτήσεις αφού $A = c_0, B=c_{N-1}$.

Για να δείξουμε το ζητούμενο για οποιαδήποτε $f \in L^1({\mathbb{T}})$ που είναι αύξουσα στο $(-\pi, \pi)$ χρειαζόμαστε το ακόλουθο αποτέλεσμα προσέγγισης.

Άσκηση 6.12   Αν $f \in L^1({\mathbb{T}})$ είναι αύξουσα στο $(-\pi, \pi)$ και τα $A, B$ είναι όπως στην εκφώνηση του Θεωρήματος 6.10 τότε, για κάθε $\epsilon>0$ υπάρχει αύξουσα κλιμακωτή συνάρτηση $g(x)$ τέτοια ώστε ${\left\Vert{f-g}\right\Vert _{1}}\le \epsilon$ και επιπλέον $A \le \lim_{x\to (-\pi)+} g(x)$ και $B \ge \lim_{x\to\pi -}g(x)$.

Υπόδειξη: Για κάθε φυσικό $N$ ορίζουμε τη διαμέριση $x_0=-\pi < x_1 < \cdots < x_{N-1} < x_N=\pi$ με

$$x_j = \inf{\left\{{x \in (-\pi,\pi): f(x)\ge A+\frac{j}{N}(B-A)}\right\}}, j=1, 2, \ldots, N-1.$$

Η αύξουσα κλιμακωτή συνάρτηση $g(x)$ ορίζεται να παίρνει τιμή $A+\frac{j}{N}(B-A)$ στο διάστημα $[x_j, x_{j+1})$ για $j=0,1,\ldots,N-1$. Δείξτε τις ζητούμενες ιδιότητες για αυτή τη συνάρτηση $g(x)$ αν το $N$ είναι αρκετά μεγάλο. Παρατηρήστε ότι δε χρειαζόμαστε κανένα θεώρημα πυκνότητας στον $L^1({\mathbb{T}})$ (π.χ. δε χρειαζόμαστε το ότι οι συνεχείς συναρτήσεις είναι πυκνές ή ότι οι κλιμακωτές συναρτήσεις είναι πυκνές).

Με δεδομένο το αποτέλεσμα του Προβλήματος 6.12 η απόδειξη του Θεωρήματος 6.10 συμπληρώνεται ως εξής. Αν η $f$ είναι όπως στην εκφώνηση του Θεωρήματος και η $g$ όπως στο Πρόβλημα 6.12 τότε

$$\widehat{f}(n) = \widehat{g}(n) + \widehat{f-g}(n)$$

και ${\left\vert{\widehat{f-g}(n)}\right\vert} \le {\left\Vert{f-g}\right\Vert _{1}} \le \epsilon$ ενώ για την $g$ έχουμε από το πρώτο μέρος της απόδειξης ότι ${\left\vert{\widehat{g}(n)}\right\vert} \le {\left\vert{B-A}\right\vert}/(\pi{\left\vert{n}\right\vert})$. Αφού το $\epsilon>0$ είναι οτιδήποτε προκύπτει το ζητούμενο.

Έχουμε δει, σε διάφορες μορφές της, την αρχή ότι η ομαλότητα της συνάρτησης συνεπάγεται ένα ρυθμό μείωσης των συντελεστών Fourier. Φυσιολογικά γεννιέται το ερώτημα αν υπάρχει όριο στο πόσο αργά μπορεί μια ακολουθία συντελεστών Fourier να συγκλίνει στο 0, όπως προβλέπει το Λήμμα Riemann-Lebesgue (Θεώρημα 6.6). Συνέπεια του επόμενου Θεωρήματος 6.11 και του Προβλήματος 6.13 είναι ότι δεν υπάρχει τέτοιο όριο και ότι υπάρχουν $L^1$ συναρτήσεις των οποίων οι συντελεστές Fourier συγκλίνουν στο 0 όσο αργά θέλουμε.

Θεώρημα 6.11   Αν $a_{-n}=a_n$, $n\in{\mathbb{Z}}$.$a_n\ge 0$, $\lim_{{\left\vert{n}\right\vert}\to\infty} a_n = 0$ και η ακολουθία $a_n$.$n\ge 0$ είναι κυρτή, ισχύει δηλ.

$$a_n \le \frac{1}{2}(a_{n-1}+a_{n+1}), (n\ge 1),$$ (6.15)

τότε υπάρχει $f \in L^1({\mathbb{T}})$ (μάλιστα ισχύει $f\ge 0$) τ.ώ. $\widehat{f}(n)=a_n$ για κάθε $n\in{\mathbb{Z}}$.

Απόδειξη.

Σχήμα 6.3: Πώς γράφουμε μια κυρτή ακολουθία σαν άθροισμα «τριγώνων»

Παρατηρούμε κατ' αρχήν ότι οι συντελεστές Fourier ενός πυρήνα του Fejér $K_N$ είναι μια άρτια κυρτή ακολουθία, όπως και η $a_n$. Έπειτα δείχνουμε ότι η ακολουθία $a_n$ μπορεί να γραφεί σαν άθροισμα

$$a_n = d_1 \widehat{K_1}(n) + d_2 \widehat{K_2}(n) + d_3 \widehat{K_3}(n) + \cdots$$

όπου $d_j\ge 0$, για $j\ge 1$ και $\sum_{j=1}^\infty d_j = a_0$.

Ο ευκολότερος τρόπος είναι να δει κανείς ότι ισχύει κάτι τέτοιο είναι να παρατηρήσει (δείτε Σχήμα 6.3) ότι μια κυρτή πολυγωνική γραμμή (όπως αυτή που ορίζουν τα σημεία $(j, a_j)$.$j\ge 0$) μπορεί να γραφεί σαν άθροισμα από τρίγωνα όπως φαίνεται στο Σχήμα. Οι αριστερές πλευρές των τριγώνων είναι πάνω στον άξονα των $y$ και έχουν μήκος $d_j$ και οι πλευρές τους προκύπτουν αν προεκτείνουμε τις πλευρές $(j-1, a_{j-1})$-$(j, a_j)$ της πολυγωνικής γραμμής προς τα αριστερά μέχρι να τμήσουν τον άξονα των $y$.

Αν τώρα θέσουμε

$$f(x) = d_1 K_1(x) + d_2 K_2(x) + d_3 K_3(x) + \cdots$$

παίρνουμε μια μη αρνητική συνάρτηση στο $L^1$ (αφού ${\left\Vert{K_N}\right\Vert _{1}}=1$ και $\sum_{j=1}^\infty d_j = a_0 < +\infty$) της οποίας οι συντελεστές είναι οι $a_n$.

Άσκηση 6.13   Έστω $b_n\ge 0$.$n\ge 0$, μια φθίνουσα ακολουθία που συγκλίνει στο 0. Δείξτε ότι υπάρχει κυρτή (ικανοποιεί δηλ. την (6.15)) ακολουθία $a_n$.$n\ge 0$, τ.ώ. $\lim_{n\to\infty}a_n = 0$ και

$$a_n \ge b_n, (n\ge 0).$$

Υπόδειξη: Το να είναι η ακολουθία $a_n$.$n\ge 0$, κυρτή ισοδυναμεί με το να είναι η μη αρνητική ακολουθία

$$\Delta a_n = a_{n-1}-a_n, n\ge1,$$

φθίνουσα. Έστω

$$D = {\left\{{\Delta b_k: k=1,2,\ldots, \& \Delta b_k>0}\right\}}.$$

(Εξαιρούμε δηλ. από την ακολουθία $\Delta b_n$ τους μηδενικούς της όρους.) Αποδείξτε ότι το σύνολο αυτό μπορεί να ταξινομηθεί σε φθίνουσα σειρά και έστω $d_n$.$n\ge 1$, το σύνολο $D$ σε φθίνουσα σειρά. Ορίστε τώρα την ακολουθία $a_n$ ως εξής:

$$a_0=b_0, a_k=a_{k-1}-d_k (k\ge 1)$$

και δείξτε ότι έχει τις ιδιότητες που ζητάμε.

Αντίθετα με την περίπτωση του Θεωρήματος 6.11 όπου η ακολουθία $a_n$ είναι άρτια, αν μια συνάρτηση έχει περιττή ακολουθία συντελεστών Fourier τότε αυτοί υπόκεινται σε κάποια ελάχιστη ταχύτητα σύγκλισης στο 0.

Θεώρημα 6.12   Αν $f \in L^1({\mathbb{T}})$ και $\widehat{f}(-n)=-\widehat{f}(n) \ge 0$ για $n\ge 0$, τότε

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{\widehat{f}(n)}{n} < +\infty.$$ (6.16)

Απόδειξη.
Αφού $\widehat{f}(0) = \int f = 0$ έπεται ότι η συνάρτηση

$$F(t) = \int_0^t f(s) ds$$

είναι συνεχής (από την ολοκληρωσιμότητα της $f$; δείτε το Κεφάλαιο 1) και $2\pi$-περιοδική. Από το Πρόβλημα 3.19 έχουμε

$$\widehat{F}(n) = \frac{1}{in} \widehat{f}(n), (n\neq 0).$$

Το Θεώρημα του Fejér (Θεώρημα 4.7) για τη συνεχή συνάρτηση $iF$ μας λέει ότι $\sigma_N(iF)(0) \to iF(0) = 0$. Αλλά

$$\sigma_N(iF)(0) = i\widehat{F}(0) + 2 \sum_{n=1}^N \left(1-\frac{n}{N+1}\right)\frac{\widehat{f}(n)}{n}$$

$$\to i\widehat{F}(0) + 2 \sum_{n=1}^\infty \frac{\widehat{f}(n)}{n},$$

άρα

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{\widehat{f}(n)}{n} = -i\int F.$$

Το επόμενο εύκολο πόρισμα του Θεωρήματος 6.12 είναι το πρώτο αποτέλεσμα που συναντάμε από το οποίο φαίνεται ότι υπάρχουν ακολουθίες που συγκλίνουν στο 0 και οι οποίες δεν είναι ακολουθίες συντελεστών Fourier κάποιας $L^1$ συνάρτησης. Πάρτε για παράδειγμα $a_n = \frac{1}{\log n}$ στο Πόρισμα 6.3.

Πόρισμα 6.3   Αν $a_n\ge 0$ και $\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n} = \infty$ τότε η σειρά $\sum_{n=1}^\infty a_n \sin{nt}$ δεν είναι σειρά Fourier κάποιας $L^1$ συνάρτησης.