6.8 Η ανισότητα Bernstein.

Θεώρημα 6.13   Αν $P(x) = \sum_{k=-N}^N \widehat{P}(k) e^{ikx}$ είναι ένα τριγωνομετρικό πολυώνυμο βαθμού $\le N$ τότε ισχύει

$${\left\Vert{P'}\right\Vert _\infty} \le N {\left\Vert{P}\right\Vert _\infty}.$$ (6.17)

Άσκηση 6.14   Δείξτε ότι υπάρχει τριγωνομετρικό πολυώνυμο $P(x)$, βαθμού $N$, για το οποίο η (6.17) ισχύει ως ισότητα.

Απόδειξη.
Θα αποδείξουμε πρώτα την ασθενέστερη ανισότητα

$${\left\Vert{P'}\right\Vert _\infty} \le 2N {\left\Vert{P}\right\Vert _\infty}.$$ (6.18)

Έπειτα θα δείξουμε πώς τροποποιείται η απόδειξη ώστε να δείξουμε την ανισότητα (6.17).

Ας είναι $F(x) \in L^1({\mathbb{T}})$ τ.ώ. να ισχύει

$$\widehat{F}(k) = k, \gamma\iota\alpha {\left\vert{k}\right\vert}\le N.$$ (6.19)

Τότε $P'(x) = i P*F(x)$ αφού τα δυο μέλη της ισότητας αυτής έχουν ίδιους συντελεστές Fourier (θυμηθείτε ότι $\widehat{P'}(k) = ik \widehat{P}(k)$, $k\in{\mathbb{Z}}$, και ότι οι συντελεστές Fourier της συνέλιξης $a*b$ είναι οι $\widehat{a}(k)\widehat{b}(k)$). Άρα έχουμε

$${\left\Vert{P'}\right\Vert _\infty} \le {\left\Vert{P}\right\Vert _\infty}{\left\Vert{F}\right\Vert _{1}}.$$ (6.20)

Αρκεί λοιπόν να βρούμε μια συνάρτηση $F$ που να ικανοποιεί την (6.19) και να έχει όσο γίνεται πιο μικρή $L^1$ νόρμα.

Σχήμα 6.4: Οι συντελεστές Fourier της $F(x)$

Μια καλή επιλογή είναι η συνάρτηση $F$ της οποίας οι συντελεστές Fourier φαίνονται στο Σχήμα 6.4.

Η συνάρτηση αυτή μπορεί να γραφεί ως

$$F(x) = N K_{N-1}(x)e^{iNx} - N K_{N-1}(x)e^{-iNx},$$

(δείτε και το Σχήμα 4.6) και άρα ${\left\Vert{F}\right\Vert _{1}} \le 2N$ από την τριγωνική ανισότητα και το γεγονός ότι ο πυρήνας του Fejér $K_M(x)$ έχει ${\left\Vert{K_M}\right\Vert _{1}}=\int K_M = 1$ για κάθε φυσικό αριθμό $M$. Χρησιμοποιώντας λοιπόν αυτή τη συνάρτηση στην (6.20) έχουμε αποδείξει την (6.18).

Για να αποδειξουμε την (6.17) θα χρειαστεί να βρούμε μια άλλη συνάρτηση $F(x)$ η οποία να ικανοποιεί την (6.19) και να έχει $L^1$ νόρμα οσοδήποτε κοντά στο $N$ (αντί για $2N$ που έχουμε ήδη καταφέρει).

Έστω λοιπόν $\epsilon>0$. Ορίζουμε μια νέα συνάρτηση $G(x)$ τ.ώ. να ισχύει $P' = iG*P$ όπως πριν (αυτό ισοδυναμεί με το ότι $\widehat{G}(n)=n$ για ${\left\vert{n}\right\vert}\le N$) και τέτοια ώστε

$${\left\Vert{G}\right\Vert _{1}} \le (1+\epsilon) N.$$ (6.21)

Αφού ${\left\Vert{P'}\right\Vert _\infty} \le {\left\Vert{G}\right\Vert _{1}} {\left\Vert{P}\right\Vert _\infty}$ και $\epsilon>0$ μπορεί να είναι οσοδήποτε μικρό προκύπτει η (6.17). Μια συνάρτηση $G$ για την οποία ισχύουν τα παραπάνω είναι η

$$G(x) = N K_{N-1}(x) (K_M(4Nx) e^{iNx} - K_M(4Nx) e^{-iNx})$$

$$= N K_{N-1}(x)\left((2i\sin{Nx})K_M(4Nx)\right),$$

όπου $M>N$ είναι αρκετά μεγάλο (ανάλογα με το πόσο μικρό είναι το $\epsilon$). Αρκεί να δείξουμε ότι ότι ${\left\Vert{K_{N-1}(x) K_M(4Nx)\sin{Nx}}\right\Vert _{1}}$ γίνεται οσοδήποτε κοντά στο 1/2 όταν το $M$ γίνεται αρκετά μεγάλο. Αυτό είναι το αντικείμενο του Προβλήματος 6.16 με το οποίο συμπληρώνεται η απόδειξη της (6.17).

Σχήμα 6.5: Οι συντελεστές Fourier της $K_M(4Nx)$ είναι αυτοί της $K_M(x)$ «ανοιγμένοι» κατά $4N$

Άσκηση 6.15   Σχεδιάστε το γράφημα της $\widehat{G}(n)$, $n\in{\mathbb{Z}}$. Αυτό είναι πολύ σημαντικό για να καταλάβετε γιατί η $G(x)$ έχει $\widehat{G}(n)=n$ για ${\left\vert{n}\right\vert}\le N$.

Υπόδειξη: Σχεδιάστε πρώτα τους συντελεστές Fourier της συνάρτησης $K_{N-1}(x) K_M(4Nx)e^{iNx}$, χρησιμοποιώντας το Σχήμα 6.5 και τα Προβλήματα 2.20 και 2.21.

Άσκηση 6.16   Αποδείξτε ότι

$$\limsup_{M\to\infty} {\left\Vert{K_{N-1}(x) K_M(4Nx) \sin{Nx}}\right\Vert _{1}} \le 1/2.$$

Υπόδειξη: Συμπληρώστε τις λεπτομέρειες στα παρακάτω.

(α) Η μάζα του πυρήνα $K_M(x)$ «συγκεντρώνεται» κοντά στο 0 (δείτε Ορισμό 4.1 του τι σημαίνει «καλός πυρήνας», ιδιότητα 3) άρα η μάζα του $K_M(4Nx)$ συγκεντρώνεται στα σημεία $x = (\ell/4N)2\pi$, $\ell=0, 1, \ldots, 4N-1$. Πρακτικά αυτό σημαίνει ότι για ένα ολοκλήρωμα της μορφής

$$\int K_M(4Nx) \phi(x) dx,$$

όπου $\phi(x) \in C({\mathbb{T}})$, σημασία έχουν, για μεγάλες τιμές του $M$, μόνο οι τιμές της $\phi(x)$ στα σημεία $(\ell/4N)2\pi$, $\ell=0, 1, \ldots, 4N-1$.

(β) Για $x \in [0,2\pi]$ «κοντά» σε ένα σημείο της μορφής $(\ell/4N)2\pi$ το ${\left\vert{\sin Nx}\right\vert}$ είναι κοντά στο 0 ή στο $1$. (Αν $\ell = 0$ ή $2 \bmod 4$ τότε είναι κοντά στο 0 και είναι κοντά στο $1$ αν $\ell = 1$ ή $3 \bmod 4$.) Άρα, λόγω της παρατήρησης στο (α), το ολοκλήρωμα

$${\left\Vert{K_{N-1}(x) K_M(4Nx) \sin{Nx}}\right\Vert _{1}} = \int K_{N-1}(x) K_M(4Nx) {\left\vert{\sin{Nx}}\right\vert} dx$$

προσεγγίζεται από το

$$\int K_{N-1}(x) K_M(4Nx) \sin^2{Nx} dx.$$ (6.22)

(γ) Χρησιμοποιούμε την ταυτότητα $\sin^2\theta = \frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos{2\theta}$ και γράφουμε το προηγούμενο ολοκλήρωμα ως

$$\frac{1}{2}\int K_{N-1}(x) K_M(4Nx) dx - \frac{1}{2} \int K_{N-1}(x) K_M(4Nx) \cos{2Nx} dx.$$ (6.23)

Όλοι οι συντελεστές Fourier των συναρτήσεων $K_{N-1}(x)$.$K_M(4Nx)$ και $\cos{2Nx}$ είναι μη αρνητικοί, άρα (δείτε το Πρόβλημα 2.20) το δεύτερο ολοκλήρωμα στην (6.23) είναι μη αρνητικό αφού είναι ο μηδενικός συντελεστής Fourier της συνάρτησης. Το πρώτο ολοκλήρωμα στην (6.23) ισούται με 1 αφού εύκολα βλέπουμε ότι ο μηδενικός συντελεστής Fourier της $K_{N-1}(x) K_M(4Nx)$ ισούται με $1$ (και πάλι αναφερθείτε στο Πρόβλημα 2.20 και στο Σχήμα 6.5). Άρα το (6.22) είναι $\le 1/2$.