1.3 Οι χώροι $L^p(A)$

Μέχρι στιγμής έχουμε δει τον χώρο $L^1(A)$, όπου $A \subseteq {\mathbb{R}}^d$ έχει $m(A)>0$, που απαρτίζεται από όλες τις συναρτήσεις $f:A\to{\mathbb{C}}$ που είναι ολοκληρώσιμες, ισχύει δηλ. για αυτές $\int_A{\left\vert{f}\right\vert}< +\infty$. Αν τώρα $p \in [1,\infty)$ ορίζουμε το χώρο $L^p(A)$ να απαρτίζεται από όλες τις συναρτήσεις $f:A\to{\mathbb{C}}$ για τις οποίες $\int_A {\left\vert{f}\right\vert}^p < +\infty$. Η $L^p$ νόρμα της $f \in L^p(A)$ είναι η ποσότητα

$${\left\Vert{f}\right\Vert}_p = \left( \int_A {\left\vert{f}\right\vert}^p \right)^{1/p},$$

για την οποία εύκολα βλέπουμε ότι ισχύει

$${\left\Vert{\lambda f}\right\Vert}_p = {\left\vert{\lambda}\right\vert}\cdot{\left\Vert{f}\right\Vert}_p, (\lambda \in {\mathbb{C}}).$$

Θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε τη ποσότητα

$$d(f, g) = {\left\Vert{f-g}\right\Vert}_p$$

για να ορίσουμε μια έννοια απόστασης (μετρική) ανάμεσα στις συναρτήσεις του $L^p(A)$.

Απαραίτητο λοιπόν είναι να ισχύει η «τριγωνική ανισότητα»

$$d(f,g) \le d(f, h) + d(h, g), \forall f, g, h \in L^p(A).$$

Αυτό είναι το περιεχόμενο του επόμενου θεωρήματος το οποίο επίσης μας λέει ότι ο χώρος $L^p(A)$ είναι γραμμικός χώρος και άρα έχει νόημα να μιλάμε για την $L^p$ νόρμα του αθροίσματος ή διαφοράς δύο $L^p$ συναρτήσεων.

Θεώρημα 1.5   (Ανισότητα Minkowski) Αν $1 \le p < +\infty$ και $f, g \in L^p(A)$ τότε ισχύει $f+g \in L^p(A)$ και

$${\left\Vert{f+g}\right\Vert}_p \le {\left\Vert{f}\right\Vert}_p + {\left\Vert{g}\right\Vert}_p.$$ (1.11)

Τέλος, για να μπορεί να παίξει η ποσότητα ${\left\Vert{f-g}\right\Vert}_p$ το ρόλο της απόστασης ανάμεσα στις $f, g \in L^p(A)$ πρέπει οπωσδήποτε να ισχύει και η συνεπαγωγή

$${\left\Vert{f-g}\right\Vert}_p = 0 \Rightarrow f=g.$$

Όμως αυτό δε μπορεί να ισχύσει μια και μπορούμε να παραλλάξουμε μια τυχούσα συνάρτηση $f \in L^p(A)$ σε ένα σύνολο μέτρου μηδέν, π.χ. μπορούμε να αλλάξουμε τη συνάρτηση σε ένα σημείο, χωρίς να αλλάξουμε καθόλου όλες τις ολοκληρωτικές ποσότητες που εξαρτώνται από την $f$. Πιο συγκεκριμένα, αν $\widetilde{f}$ είναι ίδια με την $f$ εκτός από ένα σημείο τότε οι δύο συναρτήσεις δεν είναι ίδιες, αφού οι τιμές τους διαφέρουν σε κάποια $x$, αλλά $\int_A{\left\vert{f-g}\right\vert}^p=0$.

Η μόνη μας διέξοδος εδώ είναι να αγνοήσουμε τις επουσιώδεις διαφορές ανάμεσα σε δύο συναρτήσεις, θεωρούμε δηλ. δύο συναρτήσεις $f$ και $g$ ίδιες αν διαφέρουν οι τιμές τους μόνο σε ένα σύνολο από $x$ που έχουν μέτρο 0. Λέμε τότε ότι οι δύο συναρτήσεις είναι ίσες «σχεδόν παντού» (συντομογραφία: σ.π. ή a.e. στα Αγγλικά για το almost everywhere).

Αν θα θέλαμε να είμαστε λίγο πιο αυστηροί θα ορίζαμε μια σχέση ισοδυναμίας ανάμεσα σε συναρτήσεις, όπου δύο συναρτήσεις θεωρούνται ισοδύναμες αν υπάρχει σύνολο $E$, με $m(E)=0$, τ.ώ. για $x \notin E$ έχουμε $f(x) = g(x)$. Τα στοιχεία του χώρου $L^p(A)$ είναι κλάσεις ισοδυναμίας αυτής της σχέσης ισοδυναμίας που μόλις ορίσαμε.

Άσκηση 1.26   Αποδείξτε ότι η σχέση που μόλις ορίσαμε είναι όντως μια σχέση ισοδυναμίας ανάμεσα σε συναρτήσεις.

Άσκηση 1.27   Αποδείξτε ότι αυτή μας η σύμβαση είναι αρκετή: αν $f$ και $g$ διαφέρουν στις τιμές τους για $x \in E$, με $m(E)>0$, τότε ${\left\Vert{f-g}\right\Vert}_p > 0$, για κάθε $p \in [1,\infty)$.

Υπόδειξη: Εξετάστε τα σύνολα $E_n = {\left\{{x: {\left\vert{f(x)-g(x)}\right\vert}> 1/n}\right\}}$ και δείξτε ότι κάποιο από αυτά πρέπει να έχει θετικό μέτρο.

Πρέπει εδώ να αναφέρουμε ότι το Θεώρημα 1.5 είναι συνέπεια της πολύ σημαντικής ανισότητας του Hölder.

Θεώρημα 1.6   (Ανισότητα Hölder) Αν $1 < p, q < +\infty$ και $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ (τέτοιοι αριθμοί $p$ και $q$ ονομάζονται «συζυγείς εκθέτες») τότε, αν $f \in L^p(A)$ και $f \in L^q(A)$, η συνάρτηση $f\overline{g}\in L^1(A)$ και ισχύει

$${\left\vert{\int_A f\overline{g}}\right\vert} \le {\left\Vert{f}\right\Vert}_p {\left\Vert{g}\right\Vert}_q.$$ (1.12)

Ειδική περίπτωση ($p=q=2$) της ανισότητας Hölder είναι η πάρα πολύ σημαντική ανισότητα Cauchy-Schwarz.

Θεώρημα 1.7 (Ανισότητα Cauchy-Schwarz)   Αν $f, g \in L^2(A)$ τότε $f\overline{g}\in L^1(A)$ και

$${\left\vert{\int_A f\overline{g}}\right\vert} \le {\left\Vert{f}\right\Vert}_2 {\left\Vert{g}\right\Vert}_2.$$

Άσκηση 1.28 (Ανισότητα Young)  
Αν $a, b \ge 0$.$p, q >0$ και $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ δείξτε την ανισότητα

$$ab \le \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q},$$ (1.13)

με ισότητα μόνο αν $a^p = b^q$.

Υπόδειξη: Αποδείξτε κάτι γενικότερο. Αν $f:[0,c]\to[0,+\infty)$ είναι μια γνησίως αύξουσα συνάρτηση (και άρα υπάρχει η αντίστροφη $f^{-1}$ η οποία είναι επίσης γνησίως αύξουσα και ορισμένη στο $[0, f(c)]$) τότε για κάθε $a, b \ge 0$ ισχύει

$$ab \le \int_0^a f(x) dx + \int_0^b f^{-1}(x) dx,$$

με ισότητα μόνο για $b=f(a)$. Εμπνευστείτε από το γράφημα μιας τέτοιας $f$.

Άσκηση 1.29 (Απόδειξη της ανισότητας Hölder.)  
Δείξτε πρώτα ότι αρκεί να αποδείξετε την ανισότητα (1.12) στην περίπτωση που οι $f,g$ είναι κανονικοποιημένες, όταν ισχύει δηλ. ${\left\Vert{f}\right\Vert}_p = {\left\Vert{g}\right\Vert}_q = 1$. Έπειτα εφαρμόστε την ανισότητα Young (1.13) στους αριθμούς ${\left\vert{f(x)}\right\vert}$ και ${\left\vert{g(x)}\right\vert}$ και αποδείξτε έτσι την (1.12).

Άσκηση 1.30 (Απόδειξη της ανισότητας Minkowski.)  
Αποδείξτε την (1.11) χρησιμοποιώντας την (1.12). Αρχίστε με την ανισότητα

$${\left\Vert{f+g}\right\Vert}_p^p \le \int {\left\vert{f}\right\ve... ...ert}^{p-1} + \int {\left\vert{g}\right\vert}{\left\vert{f+g}\right\vert}^{p-1}$$

και εφαρμόστε κατάλληλα την (1.12).

Για να ορίσουμε και τον χώρο $L^\infty(A)$ χρειαζόμαστε την έννοια του ουσιώδους supremum μιας συνάρτησης, το οποίο είναι, κατά κάποιο τρόπο, το supremum της συνάρτησης που όμως δεν επηρεάζεται από επουσιώδεις αλλαγές στη συνάρτηση. Για να ορίσουμε λοιπόν το ${\rm ess sup} f$, όπου $f$ μια συνάρτηση ορισμένη στο $A$, ορίζουμε κατ' αρχήν το σύνολο

$$U_f = {\left\{{M\in{\mathbb{R}}: m{\left\{{x\in A: f(x)>M}\right\}}=0 }\right\}}.$$

Αυτό είναι το σύνολο όλων του ουσιωδών άνω φραγμάτων της $f$, των αριθμών δηλ. $M$ που η $f$ τους ξεπερνά μόνο σε ένα υποσύνολο του πεδίου ορισμού της που έχει μέτρο 0. Τέλος ορίζουμε

$${\rm ess sup} f = \inf U_f$$

να είναι το «ελάχιστο» τέτοιο άνω φράγμα.

Ο χώρος $L^\infty(A)$ (με $m(A)>0$) είναι ο χώρος όλων των συναρτήσεων $f:A\to{\mathbb{C}}$ για τις οποίες ${\rm ess sup} {\left\vert{f}\right\vert} < +\infty$. Ορίζουμε τέλος την sup-νόρμα ή άπειρο-νόρμα της $f$

$${\left\Vert{f}\right\Vert _\infty} = {\rm ess sup} {\left\vert{f}\right\vert}.$$

Όπως και στους άλλους χωρους $L^p(A)$ κι εδώ δεν ξεχωρίζουμε μεταξύ τους δύο συναρτήσεις που διαφέρουν μόνο σε ένα σύνολο σημείων του $A$ που έχει μέτρο 0.

Άσκηση 1.31   Αν $f,g:A\to{\mathbb{C}}$ διαφέρουν μόνο σε ένα σύνολο $E\subseteq A$ με $m(E)=0$ δείξτε ότι ${\rm ess sup} f = {\rm ess sup} g$, και συνεπώς η άπειρο-νόρμα των συναρτήσεων στο $L^\infty(A)$ είναι καλώς ορισμένη ακόμη κι αν γνωρίζουμε τη συνάρτηση μόνο σχεδόν παντού.

Άσκηση 1.32   Αν τα $p=1$ και $q=\infty$ θεωρηθούν συζυγείς εκθέτες δείξτε ότι η ανισότητα Hölder ισχύει όπως είναι γραμμένη στο Θεώρημα 1.6.

Δείξτε επίσης ότι η τριγωνική ανισότητα (Θεώρημα 1.5) ισχύει και για $p=\infty$.

Άσκηση 1.33   Αν $0<m(A)<+\infty$ και $1 \le p_1 < p_2 \le \infty$ δείξτε ότι $L^{p_2}(A) \subseteq L^{p_1}(A)$. Δείξτε επίσης ότι ${\left\Vert{f}\right\Vert}_{p_1} \le {\left\Vert{f}\right\Vert}_{p_2}$ αν επιπλέον $m(A)=1$.

Υπόδειξη: $\int_A {\left\vert{f}\right\vert}^{p_1} = \int_A {\left\vert{f}\right\vert}^{p_1}\cdot 1$. Εφαρμόστε την ανισότητα Hölder με εκθέτες $p_2/p_1$ και το συζυγή του.

Άσκηση 1.34   Αν $f \in L^p(A)$, με $1 \le p < +\infty$, δείξτε ότι για $\lambda>0$ ισχύει

$$m{\left\{{x\in A: {\left\vert{f(x)}\right\vert}\ge \lambda}\right\}} \le \frac{{\left\Vert{f}\right\Vert}_p^p}{\lambda^p}.$$

Υπόδειξη: $\int_A {\left\vert{f}\right\vert}^p \ge \int_{{\left\{{{\left\vert{f}\right\ve... ...p \ge \int_{{\left\{{{\left\vert{f}\right\vert}\ge \lambda}\right\}}} \lambda^p$.

Γιατί έχουμε επιλέξει αυτή την ονομασία για το χώρο $L^\infty$, ένα όνομα του ίδιου τύπου με τους χώρους $L^p$, με $p<+\infty$, που όμως είναι χώροι που ορίζονται εντελώς διαφορετικά, με ένα ολοκλήρωμα δηλαδή; Οι χώροι $L^p$ είναι όντως σε πολλά πράγματα αρκετά διαφορετικοί από τον $L^\infty$ και ακόμη κι όταν συμπεριφέρονται παρόμοια η απόδειξη γι' αυτό είναι διαφορετική στην περίπτωση του πεπερασμένου $p$ απ' ό,τι στην περίπτωση του $L^\infty$. Αυτό είναι φυσιολογικό μια και ορίζονται πολύ διαφορετικά. Η απάντηση στο ερώτημα της ονομασίας έγκειται στο Πρόβλημα 1.33 και στο Πρόβλημα 1.35 που ακολουθεί.

Άσκηση 1.35   Αν $m(A)=1$ και $f \in L^\infty(A)$ δείξτε ότι $\lim_{p\to\infty}{\left\Vert{f}\right\Vert}_p = {\left\Vert{f}\right\Vert _\infty}$.

Υπόδειξη: Έστω $\epsilon>0$ και

$$E = {\left\{{x\in A: {\left\vert{f(x)}\right\vert} \ge (1-\epsilon){\left\Vert{f}\right\Vert _\infty}}\right\}}.$$

Τότε $m(E)>0$ (αλλιώς το ${\rm ess sup} {\left\vert{f}\right\vert}$ θα ήταν μικρότερο) και ${\left\Vert{f}\right\Vert}_p \ge (\int_E{\left\vert{f}\right\vert}^p)^{1/p}$.

Από την ανισότητα Minkowski προκύπτει ότι οι χώροι $L^p(A)$ είναι διανυσματικοί χώροι και οι αντίστοιχες νόρμες τούς καθιστούν παράλληλα και μετρικούς χώρους. Είναι πολύ σημαντικό ότι αυτοί είναι πλήρεις χώροι (χώροι Banach). Ό,τι και να είναι το σύνολο $A \subseteq {\mathbb{R}}^d$ (με θετικό μέτρο) αν $f$ είναι μια συνεχής συνάρτηση στο $A$ που έχει συμπαγή φορέα (υπάρχει δηλ. πεπερασμένος αριθμός $R>0$ τέτοιος ώστε η $f$ μηδενίζεται εκτός του διαστήματος $(-R, R)^d$) τότε $f \in L^p(A)$ για κάθε $p \in [1, +\infty]$. Το ακόλουθο θεώρημα πυκνότητας είναι πάρα πολύ σημαντικό για τις εφαρμογές.

Θεώρημα 1.8 (Πυκνότητα των συνεχών συναρτήσεων)   Αν $A \subseteq {\mathbb{R}}^d$ με $0<m(A)$ τότε οι χώροι $L^p(A)$ είναι πλήρεις μετρικοί χώροι για $1\le p \le \infty$.

Για $1 \le p < +\infty$ ο γραμμικός υπόχωρος των συνεχών συναρτήσεων με φραγμένο φορέα είναι πυκνός στο χώρο $L^p(A)$. Δηλαδή, για κάθε $f \in L^p(A)$ και για κάθε $\epsilon>0$ υπάρχει συνεχής $g:A\to{\mathbb{C}}$ με φραγμένο φορέα τ.ώ.

$${\left\Vert{f-g}\right\Vert}_p \le \epsilon.$$

Άσκηση 1.36   Αποδείξτε ότι ο γραμμικός χώρος των κατά τμήματα σταθερών συναρτήσεων (συναρτήσεων που είναι δηλ. πεπερασμένοι γραμμικοί συνδυασμοί χαρακτηριστικών συναρτήσεων φραγμένων διαστημάτων) είναι πυκνός στον χώρο $L^p({\mathbb{R}})$ για $1 \le p < +\infty$.

Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε την πυκνότητα των συνεχών συναρτήσεων με φραγμένο φορέα (Θεώρημα 1.8) καθώς και το ότι κάθε συνεχής συνάρτηση σε φραγμένο κλειστό διάστημα είναι και ομοιόμορφα συνεχής.

Άσκηση 1.37   Δείξτε ότι αν $1 \le p < +\infty$ και $f \in L^p({\mathbb{R}}^d)$ τότε

$${\left\Vert{f(\cdot) - f(\cdot - h)}\right\Vert}_p \to 0 \gamma\iota\alpha h \to 0.$$

Υπόδειξη: Δείξτε το πρώτα αν $f$ είναι συνεχής συνάρτηση με φραγμένο φορέα και έπειτα χρησιμοποιήστε το Θεώρημα 1.8.

Άσκηση 1.38   (Λήμμα Riemann-Lebesgue) Αν $f \in L^1({\mathbb{R}})$ ορίζουμε τη συνάρτηση (μετασχηματισμός Fourier της $f$)

$$\widehat{f}(\xi) = \int f(x) e^{-i\xi x} dx.$$ (1.14)

Παρατηρήστε ότι το ολοκλήρωμα υπάρχει επειδή $f \in L^1({\mathbb{R}})$ και μάλιστα ${\left\Vert{\widehat{f}}\right\Vert _\infty} \le {\left\Vert{f}\right\Vert _{1}}$. Δείξτε ότι $\lim_{{\left\vert{\xi}\right\vert}\to\infty} \widehat{f}(\xi) = 0$.

Υπόδειξη: Δείξτε το πρώτα με απ' ευθείας υπολογισμό στην περίπτωση που $f=\chi_{[a,b]}$, για $-\infty < a< b < +\infty$. Χρησιμοποιήστε το γεγονός ότι ο μετασχηματισμός Fourier είναι γραμμική πράξη για να το αποδείξετε για κατά τμήματα σταθερές συναρτήσεις με φραγμένο φορέα. Έπειτα χρησιμοποιήστε το Πρόβλημα 1.36.

Με ελάχιστες διαφορές αποδεικνύεται το ίδιο θεώρημα και στο ${\mathbb{R}}^d$. Σε αυτή την περίπτωση το $\xi x$ στον εκθέτη του εκθετικού ερμηνεύεται ως το εσωτερικό γινόμενο των $\xi, x \in {\mathbb{R}}^d$.

Άσκηση 1.39   Αν $f \in L^1({\mathbb{R}})$ δείξτε ότι ο μετασχηματισμός Fourier της $f$ (ορίστηκε στο Πρόβλημα 1.38) είναι ομοιόμορφα συνεχής συνάρτηση στο ${\mathbb{R}}$.

Υπόδειξη: ${\left\vert{\widehat{f}(\xi+h)-\widehat{f}(\xi)}\right\vert} \le \int {\left\v... ...dx = \int {\left\vert{f(x)}\right\vert} {\left\vert{e^{-ihx}-1}\right\vert} dx$. Για $h\to 0$ ο 2ος παράγοντας στο ολοκλήρωμα συγκλίνει στο 0 για κάθε $x \in {\mathbb{R}}$. Χρησιμοποιήστε το Θεώρημα Κυριαρχημένης Σύγκλισης 1.3 για να δείξετε ότι το ολοκλήρωμα πάει στο 0. Η ομοιομορφία ως προς $\xi \in {\mathbb{R}}$ προκύπτει απ' το ότι το φράγμα (που πάει στο 0) δεν εξαρτάται από το $\xi$.

Ισχύουν κι εδώ οι παρατηρήσεις του Προβλήματος 1.38 όσον αφορά τη, σχεδόν αυτόματη, γενίκευση στο ${\mathbb{R}}^d$.