3.6 Μέγεθος συντελεστών Fourier και ομαλότητα της συνάρτησης

Μπορούμε τώρα να δείξουμε ένα ακόμη Θεώρημα το οποίο συνδέει την ομαλότητα μιας συνάρτησης με το μέγεθος των συντελεστών Fourier της. Το πρώτο τέτοιο θεώρημα που είδαμε είναι το Θέωρημα 3.1.

Θεώρημα 3.3   Αν $ f \in C^1({\mathbb{T}})$ τότε για κάθε $ n\in{\mathbb{Z}}$

$\displaystyle \widehat{f'}(n) = in \widehat{f}(n).$ (3.9)





Απόδειξη.
Η μέθοδος είναι και πάλι η ολοκλήρωση κατά μέρη. Για $ n \neq 0$ έχουμε

$\displaystyle \widehat{f}(n)$ $\displaystyle = {\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}}f(x) \left(\frac{e^{-inx}}{-in}\right)'  dx$    
  $\displaystyle = \left.f(x)\frac{e^{-inx}}{-in}\right\vert _0^{2\pi} + \frac{1}{in}{\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}}f'(x) e^{-inx} dx$    
  $\displaystyle = \frac{1}{in} \widehat{f'}(n)$    

αφού ο πρώτος προσθετέος μηδενίζεται λόγω της περιοδικότητας της συνάρτησης. Επίσης $ \widehat{f'}(0) = {\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}}f'(x) dx = f(2\pi)-f(0) = 0$ και πάλι λόγω της περιοδικότητας.



Άσκηση 3.19   Η απαίτηση στο Θεώρημα 3.3 να είναι συνεχής η παράγωγος της $ f$ είναι ισχυρότερη απ' ό,τι πραγματικά χρειάζεται. Υποθέστε ότι $ f(x) = \int_0^x g(t) dt$, για $ x \in [0,2\pi]$, για μια συνάρτηση $ g \in L^1({\mathbb{T}})$ με $ \int g = 0$ (ώστε να είναι η $ f$ περιοδική) και δείξτε ότι

$\displaystyle \widehat{g}(n) = i\cdot n \cdot \widehat{f}(n).$

Υπόδειξη: Αντί για ολοκλήρωση κατά μέρη χρησιμοποιήστε το θεώρημα του Fubini (δείτε 1.4).

Μπορούμε να εκφράσουμε το Θεώρημα 3.3 και με τη βοήθεια των κατάλληλων γραμμικών τελεστών:

$\displaystyle (Df)(x) = f'(x)
$

και

$\displaystyle (Ma)_n = in a_n,
$

όπου ο διαφορικός τελεστής $ D$ είναι από το χώρο $ C^1({\mathbb{T}})$ στο χώρο $ C({\mathbb{T}})$ και ο πολλαπλασιαστής $ M$ είναι από το χώρο των διπλών (δηλ. $ n\in{\mathbb{Z}}$) ακολουθιών στόν εαυτό του. Το Θεώρημα 3.3 παίρνει πολύ απλά τη μορφή

$\displaystyle {\mathcal F}D = M{\mathcal F}.
$

Πόρισμα 3.1   Αν $ f \in C^j({\mathbb{T}})$ τότε

$\displaystyle \displaystyle \widehat{f}(n) = O\left(\frac{1}{n^j}\right)   \gamma\iota\alpha  {\left\vert{n}\right\vert}\to\infty.
$





Απόδειξη.
Αν $ f \in C^j({\mathbb{T}})$ τότε έχουμε από επαναλαμβανόμενη χρήση του Θεωρήματος 3.3

$\displaystyle \widehat{f^{(j)}}(n) = (in) \widehat{f^{(j-1)}}(n) = (in)^2 \widehat{f^{(j-2)}}(n) = \cdots = (in)^j \widehat{f}(n),
$

άρα έχουμε για $ n \neq 0$ ότι

$\displaystyle \widehat{f}(n) = \frac{1}{i^jn^j} \widehat{f^{(j)}}(n),
$

και χρησιμοποιώντας το προφανές φράγμα

$\displaystyle {\left\vert{\widehat{f^{(j)}}(n)}\right\vert} \le {\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}}{\left\vert{f^{(j)}}\right\vert}$

παίρνουμε

$\displaystyle {\left\vert{\widehat{f}(n)}\right\vert} \le \frac{{\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}}{\left\vert{f^{(j)}}\right\vert}}{n^j}.
$

Το ότι το ολοκλήρωμα που εμφανίζεται στον αριθμητή είναι πεπερασμένο είναι συνέπεια της συνέχειας της $ j$-τάξης παραγώγου $ f^{(j)}$.



Άρα, αν $ f \in C^2({\mathbb{T}})$ έχουμε $ \widehat{f}(n) = O(n^{-2})$ το οποίο συνεπάγεται

$\displaystyle \sum_{n=-\infty}^\infty {\left\vert{\widehat{f}(n)}\right\vert} < +\infty.
$

Έχουμε λοιπόν, ως συνέπεια του Πορίσματος 3.1 και του Θεωρήματος 3.2 το ακόλουθο.

Πόρισμα 3.2   Αν $ f \in C^2({\mathbb{T}})$ τότε η σειρά Fourier της $ f$ συγκλίνει απόλυτα και ομοιόμορφα σε μια συνεχή συνάρτηση που έχει τους ίδιους συντελεστές Fourier με την $ f$.

Mihalis Kolountzakis 2015-11-28