6.6 Άλλες συνθήκες που εγγυώνται σύγκλιση κατά σημείο

Η σύγκλιση των Cesáro μέσων της $f$ στην ίδια την $f$ είναι εξασφαλισμένη απλά και μόνο από τη συνέχεια της $f$ από το Θεώρημα του Fejér (Θεώρημα 4.7). Το επόμενο θεώρημα μας συνδέει, υπό συνθήκες, τη σύγκλιση των μερικών αθροισμάτων της σειράς Fourier με τη σύγκλιση των Cesáro μέσων.

Θεώρημα 6.5 (Hardy)   Αν $f \in L^1({\mathbb{T}})$ και ${\left\vert{\widehat{f}(n)}\right\vert} = O(1/n)$ τότε οι ακολουθίες $S_N(f)(x)$ και $\sigma_N(f)(x)$ συγκλίνουν για τα ίδια $x$ και στο ίδιο όριο. Αν η $\sigma_N(f)(x)$ συγκλίνει ομοιόμορφα για $x \in E$ το ίδιο κάνει και η $S_N(f)(x)$ (εδώ $E \subseteq [0,2\pi)$ είναι ένα οποιοδήποτε μετρήσιμο σύνολο).

Απόδειξη.
Από το Θεώρημα 4.6 έχουμε ότι οποτεδήποτε $S_N(f)(x) \to \alpha$ τότε και $\sigma_N(f)(x) \to \alpha$ αφού η ακολουθία $\sigma_N(f)(x)$ αποτελείται από τους αριθμητικούς μέσους της ακολουθιας $S_N(f)(x)$. Άρα αρκεί να υποθέσουμε ότι $\sigma_N(f)(x) \to \alpha$ και να αποδείξουμε από αυτό ότι $S_N(f)(x) \to \alpha$.

Η συνθήκη ${\left\vert{\widehat{f}(n)}\right\vert} = O(1/n)$ συνεπάγεται ότι για κάθε $\epsilon>0$ υπάρχει $\lambda>1$ τ.ώ. να ισχύει

$$\limsup_{n\to\infty} \sum_{n \le {\left\vert{j}\right\vert} \le\lambda n} {\left\vert{\widehat{f}(j)}\right\vert} < \epsilon.$$ (6.6)

Άσκηση 6.8   Αποδείξτε τον προηγούμενο ισχυρισμό.

Υπόδειξη: Αρκεί να το δείξετε με $1/{\left\vert{j}\right\vert}$ στη θέση της ακολουθίας ${\left\vert{\widehat{f}(j)}\right\vert}$. Εκτιμήστε τώρα το άθροισμα με ολοκλήρωμα.

Σχήμα 6.1: Οι συντελεστές Fourier των πυρήνων του Fejér $K_{\lambda n}$ και $K_n/\lambda$

Σχήμα 6.2: Οι συντελεστές Fourier της $G_n(x)$

Ισχύει τώρα η ταυτότητα (υποθέστε για απλότητα ότι $\lambda n$ είναι ακέραιος; δεν αλλάζει τίποτε ουσιαστικό αν δεν είναι και περιπλέκεται πολύ το γράψιμο)

$$K_{\lambda n}(x) - \frac{1}{\lambda}K_n(x) = (1-\frac{1}{\lambda})D_n(x) + (1-\frac{1}{\lambda}) G_n(x)$$ (6.7)

όπου

$$G_n(x) = \sum_{n \le k \le \lambda n} \left(1-\frac{k-n}{(\lambda-1)n}\right) (e^{ikx}+e^{-ikx})$$

(οι συντελεστές Fourier της $G_n(x)$ φαίνονται στο Σχήμα 6.2). Η ταυτότητα (6.7) μπορεί πολύ εύκολα να αποδειχτεί με αναφορά στο Σχήμα 6.1 όπου φαίνονται οι συντελεστές Fourier των πυρήνων του Fejér που εμφανίζονται στο αριστερό μέλος.

Παίρνοντας συνέλιξη με την $f$ η ταυτότητα (6.7) μας δίνει την

$$S_n(f)(x) = \frac{\lambda}{\lambda-1}\sigma_{\lambda n}(f)(x) - \frac{1}{\lambda-1}\sigma_n(f)(x) - f*G_n(x).$$ (6.8)

Έχουμε

$$f*G_n(x) = \sum_{n \le {\left\vert{j}\right\vert} \le \lambda n} \widehat{f}(j) \widehat{G_n}(j) e^{ijx}$$

άρα, αφού ${\left\vert{\widehat{G_n}(j)}\right\vert} \le 1$,

$${\left\vert{f*G_n(x)}\right\vert} \le \sum_{n \le {\left\vert{j}\right\vert} \le \lambda n} {\left\vert{\widehat{f}(j)}\right\vert} \le \epsilon,$$

αρκεί το $n$ να είναι αρκετά μεγάλο. Αν τώρα υποθέσουμε ότι $\sigma_n(x)\to\alpha$ (και άρα και ότι $\sigma_{\lambda n}(x) \to \alpha$) προκύπτει από την (6.8) ότι $\limsup S_n(f)(x) \le \alpha + \epsilon$ και $\liminf S_n(f)(x) \ge \alpha-\epsilon$. Αφού το $\epsilon$ μπορεί να είναι οποιοσδήποτε θετικός αριθμός προκύπτει ότι

$$\lim S_n(f)(x) = \alpha.$$

Άσκηση 6.9   Συμπληρώστε την απόδειξη του Θεωρήματος 6.5. Βεβαιωθείτε ότι η προηγούμενη απόδειξη δίνει και την ομοιόμορφη σύγκλιση στο $E$ της $S_n(f)(x)$ αν υποθέσουμε την ομοιόμορφη σύγκλιση στο $E$ της $\sigma_n(f)(x)$.

Πόρισμα 6.2   Αν $f \in C^1({\mathbb{T}})$ τότε $S_N(f)(x) \to f(x)$ ομοιόμορφα.

Απόδειξη.
Ισχύει ${\left\vert{\widehat{f}(n)}\right\vert} \le \frac{{\left\Vert{f'}\right\Vert _{1}}}{{\left\vert{n}\right\vert}} = O(1/{\left\vert{n}\right\vert})$ λόγω της παραγωγισιμότητας της $f$ (αφού $\widehat{f}(n) = \widehat{f'}(n)/(in)$ και ${\left\vert{\widehat{f'}(n)}\right\vert}\le{\left\Vert{f'}\right\Vert _{1}}$) άρα από το Θεώρημα 6.5 η $S_N(f)$ συγκλίνει ομοιόμορφα στην $f$ αφού η $\sigma_N(f)$ συγκλίνει στην $f$ ομοιόμορφα.

Το Πόρισμα 6.2 είναι επίσης συνέπεια του αποτελέσματος του Προβλήματος 5.9: κάθε $C^1$ συνάρτηση έχει σειρά Fourier που είναι απολύτως συγκλίνουσα, άρα και ομοιόμορφα συγκλίνουσα.