5.1 Συνέπειες της ύπαρξης του εσωτερικού γινομένου στο χώρο $L^2({\mathbb{T}})$

Αν $f, g \in L^2({\mathbb{T}})$ το εσωτερικό τους γινόμενο είναι η ποσότητα

$${\langle f, g \rangle} = {\langle f, g \rangle}_{L^2({\mathbb{T}})} = \int f\overline{g}.$$ (5.1)

Η ανισότητα Cauchy-Schwarz (Θεώρημα 1.7)

$$\int{\left\vert{f}\right\vert}{\left\vert{g}\right\vert} \le \lef... ...ht\vert}^2 \right)^{1/2} \left( \int {\left\vert{g}\right\vert}^2 \right)^{1/2}$$ (5.2)

μας εγγυάται ότι ο ολοκληρωτέος στο δεξί μέλος της (5.1) είναι στο $L^1({\mathbb{T}})$ και άρα το ολοκλήρωμα που ορίζει το εσωτερικό γινόμενο υπάρχει.

Ορισμός 5.1   Οι συναρτήσεις $f, g \in L^2({\mathbb{T}})$ ονομάζονται μεταξύ τους κάθετες (ή ορθογώνιες) αν ${\langle f, g \rangle}=0$.

Μια ακολουθία $f_n \in L^2({\mathbb{T}})$ ονομάζεται ορθογώνιο σύστημα αν τα στοιχεία της είναι ανά δύο κάθετα. Λέγεται ορθοκανονικό σύστημα αν τα στοιχεία της έχουν επιπλέον νόρμα 1.

Το εσωτερικό γινόμενο είναι μια διγραμμική μορφή, είναι δηλ. γραμμικό ως προς το πρώτο και το δεύτερο μέλος χωριστά:

$${\langle \lambda f + \mu g, h \rangle} = \lambda{\langle f, h \rangle} + \mu{\langle g, h \rangle}, (\lambda, \mu \in {\mathbb{C}}, f, g, h \in L^2({\mathbb{T}}))$$

$${\langle h, \lambda f + \mu g \rangle} = \overline{\lambda}{\langle h, f \rangle} + \overline{\mu}{\langle h, g \rangle}, (\lambda, \mu \in {\mathbb{C}}, f, g, h \in L^2({\mathbb{T}}))$$

$${\langle f, g \rangle} = \overline{{\langle g, f \rangle}} (f, g \in L^2({\mathbb{T}})).$$

Άμεσα βλέπουμε ότι

$${\langle f, f \rangle} = {\left\Vert{f}\right\Vert}_2^2.$$

Αυτή η ιδιότητα μας επιτρέπει να κάνουμε πάρα πολλούς υπολογισμούς που αφορούν νόρμες συναρτήσεων (οι οποίες δεν είναι καθόλου απλές στη χρήση τους σε υπολογισμούς) περνώντας στα αντίστοιχα εσωτερικά γινόμενα.

Άσκηση 5.1   (Πυθαγόρειο Θεώρημα)
Αν $\phi_n$, $n=1,2,\ldots,N$, είναι ορθοκανονικό σύστημα και $a_n, b_n \in {\mathbb{C}}$ τότε

$${\left\langle \sum_{n=1}^N a_n \phi_n, \sum_{n=1}^N b_n \phi_n \right\rangle} = \sum_{n=1}^N a_n \overline{b_n}.$$

Ειδικότερα, παίρνοντας $a_n = b_n$, έχουμε

$${\left\Vert{\sum_{n=1}^N a_n \phi_n}\right\Vert}_2^2 = \sum_{n=1}^N {\left\vert{a_n}\right\vert}^2.$$

Άσκηση 5.2   Αποδείξτε την τριγωνική ανισότητα για την $L^2$ νόρμα:

$${\left\Vert{f+g}\right\Vert}_2 \le {\left\Vert{f}\right\Vert}_2 + {\left\Vert{g}\right\Vert}_2, (f, g \in L^2({\mathbb{T}})).$$

Υπόδειξη: Τετραγωνίστε και χρησιμοποιήστε την ανισότητα Cauchy-Schwarz.

Άσκηση 5.3   Αν $f, f_n \in L^2({\mathbb{T}})$ και ${\left\Vert{f_n-f}\right\Vert}_2\to 0$ δείξτε ότι ${\left\Vert{f_n}\right\Vert}_2 \to {\left\Vert{f}\right\Vert}_2$.

Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε την τριγωνική ανισότητα στη μορφή

$${\left\Vert{f_n}\right\Vert}_2 \le {\left\Vert{f_n-f}\right\Vert}... ...Vert}_2 \le {\left\Vert{f-f_n}\right\Vert}_2 + {\left\Vert{f_n}\right\Vert}_2.$$

Σχήμα 5.1: Το άθροισμα δύο διανυσμάτων $f$ και $g$ και η διαφορά τους ως οι διαγώνιοι ενός παραλληλογράμμου

Άσκηση 5.4   Δείξτε τον κανόνα του παραλληλογράμου: αν $f, g \in L^2({\mathbb{T}})$ τότε

$$2{\left\Vert{f}\right\Vert}_2^2 + 2{\left\Vert{g}\right\Vert}_2^2 = {\left\Vert{f+g}\right\Vert}_2^2 + {\left\Vert{f-g}\right\Vert}_2^2.$$

Τι λέει αυτή η ταυτότητα για τα μήκη των πλευρών και των διαγωνίων ενός παραλληλογράμου; (Δείτε το Σχήμα 5.1.)

Το εσωτερικό γινόμενο είναι συνεχές ως πρός τα δύο ορίσματά του στην τοπολογία της νόρμας $L^2$. Αυτό σημαίνει ότι αν ${\left\Vert{f_n-f}\right\Vert}_2\to 0$ και ${\left\Vert{g_n-g}\right\Vert}_2 \to 0$ τότε και

$${\langle f_n, g_n \rangle} \to {\langle f, g \rangle}.$$

Για να το δείξουμε αυτό παρατηρούμε ότι

$${\left\vert{{\langle f_n, g_n \rangle} - {\langle f, g \rangle}}\right\vert} = {\left\vert{{\langle f_n, g_n \rangle} - {\langle f_n, g \rangle} + {\langle f_n, g \rangle} - {\langle f, g \rangle}}\right\vert}$$

$$\le {\left\vert{{\langle f_n, g_n-g \rangle}}\right\vert} + {\left\vert{{\langle f_n-f, g \rangle}}\right\vert}$$

$$\le {\left\Vert{f_n}\right\Vert}_2{\left\Vert{g_n-g}\right\Vert}_2 + {\left\Vert{f_n-f}\right\Vert}_2{\left\Vert{g}\right\Vert}_2 \dagger$$

$$\to 0$$

($\dagger$: από Cauchy-Schwarz) από τις υποθέσεις μας και από το Πρόβλημα 5.3.

Ο γραμμικός χώρος $L^2({\mathbb{T}})$ με τη μετρική που ορίζεται από την $L^2$ νόρμα είναι πλήρης χώρος (αυτό δεν το αποδεικνύουμε εδώ). Συνέπεια της πληρότητας είναι το παρακάτω.

Λήμμα 5.1   Αν $\phi_n \in L^2({\mathbb{T}})$ είναι ορθοκανονικό σύστημα και $\sum_n {\left\vert{a_n}\right\vert}^2 < +\infty$ για κάποια ακολουθία μιγαδικών αριθμών $a_n$, τότε η σειρά

$$\sum_n a_n \phi_n$$

συγκλίνει στη νόρμα $L^2$. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει $f \in L^2({\mathbb{T}})$ τ.ώ. ${\left\Vert{f - \sum_{n=1}^N a_n \phi_n}\right\Vert}_2 \to 0$ για $N \to \infty$.

Απόδειξη.
Λόγω της πληρότητας αρκεί να δείξουμε ότι η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων

$$S_N=\sum_{n=1}^N a_n \phi_n$$

είναι Cauchy. Έστω $\epsilon>0$. Πρέπει να δείξουμε ότι υπάρχει ένας δείκτης $n_0$ ώστε αν $m>n\ge n_0$ τότε να ισχύει

$${\left\Vert{S_m-S_n}\right\Vert}_2 \le \epsilon.$$

Αλλά

$${\left\Vert{S_m-S_n}\right\Vert}_2^2 = {\left\Vert{\sum_{k=n+1}^m... ...rt{a_k}\right\vert}^2 \le \sum_{k=n+1}^\infty {\left\vert{a_k}\right\vert}^2.$$

Το δεξί μέλος στην παραπάνω ανισότητα είναι η «ουρά» της συγκλίνουσας σειράς $\sum_n {\left\vert{a_n}\right\vert}^2$, άρα πάει στο 0 για $n \to \infty$. Άρα μπορούμε να επιλέξουμε $n_0$ αρκετά μεγάλο ώστε για $n_0 \le n < m$ να ισχύει ${\left\Vert{S_m-S_n}\right\Vert}_2 \le \epsilon$.

Είναι εύκολο να δούμε με απλές πράξεις ότι οι εκθετικές συναρτήσεις

$$e_n(x) = e^{inx}, (n\in{\mathbb{Z}}),$$

είναι ένα ορθοκανονικό σύστημα (δείτε Άσκηση 2.10).

Παρατηρήστε επίσης ότι για $f \in L^2$ έχουμε

$${\langle f, e_n \rangle} = \widehat{f}(n)$$

και

$$S_N(f) = \sum_{k=-N}^N \widehat{f}(n) e_n.$$

Θεώρημα 5.1 (Ανισότητα Bessel)   Αν $f \in L^2({\mathbb{T}})$ και τα $\phi_k$, $k=1,2,\ldots,N$, αποτελούν ένα ορθοκανονικό σύστημα τότε, αν $g=\sum_{k=1}^N {\langle f, \phi_k \rangle} \phi_k$, ισχύει

$${\left\Vert{g}\right\Vert}_2^2 = \sum_{k=1}^N {\left\vert{{\langle f, \phi_k \rangle}}\right\vert}^2 \le {\left\Vert{f}\right\Vert}_2^2.$$ (5.3)

Απόδειξη.

$$\le {\left\Vert{f-g}\right\Vert}_2^2$$ 0

$$= {\langle f-g, f-g \rangle}$$

$$= {\left\Vert{f}\right\Vert}_2^2 - {\langle g, f \rangle} - {\langle f, g \rangle} + {\langle g, g \rangle}$$

$$= {\left\Vert{f}\right\Vert}_2^2 - \sum_{k=1}^N {\langle f, \phi_... ...k \rangle}+ \sum_{k=1}^N {\left\vert{{\langle f, \phi_k \rangle}}\right\vert}^2 \dagger$$

$$= {\left\Vert{f}\right\Vert}_2^2 - \sum_{k=1}^N {\langle f, \phi_... ...k \rangle} +\sum_{k=1}^N {\left\vert{{\langle f, \phi_k \rangle}}\right\vert}^2$$

$$= {\left\Vert{f}\right\Vert}_2^2 - \sum_{k=1}^N {\left\vert{{\langle f, \phi_k \rangle}}\right\vert}^2$$

($\dagger$: γραμμικότητα, Πρόβλημα 5.1). Αυτό συνεπάγεται

$$\sum_{k=1}^N {\left\vert{{\langle f, \phi_k \rangle}}\right\vert}^2 \le {\left\Vert{f}\right\Vert}_2^2.$$

Ορισμός 5.2   Ένα ορθογώνιο σύστημα $\phi_n \in L^2({\mathbb{T}})$ λέγεται πλήρες αν η μόνη συνάρτηση στο $L^2({\mathbb{T}})$ που είναι ορθογώνια σε όλες τις $\phi_n$ είναι η μηδενική.

Οι εκθετικές συναρτήσεις $e_n(x) = e^{inx}$, $n\in{\mathbb{Z}}$, αποτελούν πλήρες ορθοκανονικό σύστημα. Πράγματι, αν $f \in L^2$ είναι κάθετη σε κάθε $e_n$ αυτό σημαίνει ότι $\widehat{f}(n)$ είναι 0 για κάθε $n\in{\mathbb{Z}}$, και από το Θεώρημα Μοναδικότητας στο $L^1({\mathbb{T}})$ (Πόρισμα 4.6) προκύπτει $f=0$.

Άσκηση 5.5   Δείξτε ότι η ακολουθία συναρτήσεων $\phi_n \in L^2({\mathbb{T}})$ είναι ένα πλήρες ορθοκανονικό σύστημα αν και μόνο αν οι πεπερασμένοι γραμμικοί συνδυασμοί των $\phi_n$ είναι πυκνοί στο χώρο $L^2({\mathbb{T}})$.

Υπόδειξη: Για την κατεύθυνση «αν» (πυκνότητα γραμμικών συνδυασμών συνεπάγεται τη μη ύπαρξη μη μηδενικού διανύσματος ορθογώνιου ως προς όλα τα $\phi_k$) χρειάζεστε απλά τη συνέχεια του εσωτερικού γινομένου. Για την άλλη κατεύθυνση, υποθέστε ότι δεν ισχύει η πυκνότητα και χρησιμοποιήστε την ανισότητα του Bessel για να κατασκευάσετε μια μη μηδενική συνάρτηση ορθογώνια ως προς όλα τα $\phi_k$.

Άσκηση 5.6   Αν $\phi_n \in L^2({\mathbb{T}})$ είναι ένα πλήρες ορθοκανονικό σύστημα δείξτε ότι μια συνάρτηση $f \in L^2({\mathbb{T}})$ είναι πλήρως καθορισμένη αν γνωρίζουμε τις ποσότητες ${\langle f, \phi_n \rangle}$ για όλα τα $n$.

Άσκηση 5.7   Έστω $\phi_k$, $k=1,2,\ldots,N$, ένα ορθοκανονικό σύστημα και $f \in L^2({\mathbb{T}})$. Δείξτε ότι η ποσότητα

$${\left\Vert{f-\sum_{k=1}^N x_k \phi_k}\right\Vert}_2$$

ελαχιστοποιείται όταν $x_k = {\langle f, \phi_k \rangle}$ και μόνο γι' αυτή την τιμή.

Θεώρημα 5.2 (Parseval)   Αν $\phi_n$ είναι ένα πλήρες ορθοκανονικό σύστημα τότε για κάθε $f, g \in L^2({\mathbb{T}})$ έχουμε

$${\langle f, g \rangle} = \sum_n {\langle f, \phi_n \rangle} \over... ...ight\Vert}_2^2 = \sum_n {\left\vert{{\langle f, \phi_n \rangle}}\right\vert}^2.$$ (5.4)

Ειδικότερα, παίρνοντας στη θέση των $\phi_n$ τις εκθετικές συναρτήσεις $e_n$, $n\in{\mathbb{Z}}$, παίρνουμε

$${\langle f, g \rangle} = \sum_{n=-\infty}^\infty \widehat{f}(n) \... ...\Vert}_2^2 = \sum_{n=-\infty}^\infty {\left\vert{\widehat{f}(n)}\right\vert}^2.$$ (5.5)

Απόδειξη.
Από την ανισότητα του Bessel προκύπτει ότι οι συναρτήσεις

$$\widetilde{f} = \sum_n {\langle f, \phi_n \rangle} \phi_n, \ \widetilde{g} = \sum_n {\langle g, \phi_n \rangle} \phi_n,$$

είναι καλώς ορισμένες αφού οι σειρές που τις ορίζουν συγκλίνουν στο $L^2$. Από την πυκνότητα των πεπερασμένων γραμμικών συνδυασμών των $\phi_n$ (Πρόβλημα 5.5) προκύπτει ότι $f = \widetilde{f}, g = \widetilde{g}$, και το πρώτο κομμάτι της (5.4) προκύπτει από τη συνέχεια του εσωτερικού γινομένου. Οι ισότητες (5.5) είναι άμεση συνέπεια των (5.4).

Μπορεί κανείς να δει το Θεώρημα 5.2 ως μια ισομετρία

$$(f(x), x\in{\mathbb{T}}) \to (\widehat{f}(n), n \in {\mathbb{Z}}),$$

(που απεικονίζει δηλ. μια συνάρτηση $f$ στους συντελεστές Fourier της) ανάμεσα στο χώρο $L^2({\mathbb{T}})$ και το χώρο $\ell^2({\mathbb{Z}})$.

Ο χώρος $\ell^2({\mathbb{Z}})$ είναι ο γραμμικός χώρος όλων των ακολουθιών $a_n$, $n\in{\mathbb{Z}}$, για τις οποίες ισχύει

$${\left\Vert{a_n}\right\Vert}_2^2 = \sum_{n=-\infty}^\infty {\left\vert{a_n}\right\vert}^2 < +\infty.$$

Η ποσότητα ${\left\Vert{a_n}\right\Vert}_2$ που ορίζει η προηγούμενη εξίσωση αποτελεί μια νόρμα στο χώρο αυτό και ορίζει τη απόσταση $d(a, b) = {\left\Vert{a-b}\right\Vert}_2$ ανάμεσα στις ακολουθίες $a_n$ και $b_n$.

Δεν υπάρχει αντίστοιχο τέτοιο θεώρημα για χώρους $L^p$ με $p\neq 2$. Υπό μία έννοια ο χώρος $L^2$ είναι ο μόνος στον οποίο η νόρμα της συνάρτησης είναι τόσο προφανής αν κανείς γνωρίζει τους συντελεστές Fourier της συνάρτησης. Η ύπαρξη της ισότητας του Parseval είναι που κάνει την περίπτωση του $L^2({\mathbb{T}})$ τόσο πιο «εύκολη» από τους άλλους χώρους (μιλάμε για την ανάλυση Fourier πάντα αν και αυτό είναι μάλλον γενικότερη διαπίστωση).

Άσκηση 5.8   Αν $f \in C^1({\mathbb{T}})$ και $\int f = 0$ δείξτε ότι $\int{\left\vert{f}\right\vert}^2 \le \int {\left\vert{f'}\right\vert}^2$.

Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε την ισότητα του Parseval.

Άσκηση 5.9   Αν $f \in C^1({\mathbb{T}})$ δείξτε ότι $\sum_n{\left\vert{\widehat{f}(n)}\right\vert} < +\infty$.

Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε την ταυτότητα Parseval για να βρείτε, μέσω της ανισότητας Cauchy-Schwarz, ένα κατάλληλο άνω φράγμα για την ποσότητα $\sum{\left\vert{\widehat{f}(n)}\right\vert}$.