Οι αριθμητικές μέθοδοι αποτελούν ένα από τα πιο σημαντικά εργαλεία προσομοίωσης και ανάλυσης προβλημάτων της μηχανικής γενικά, αλλά και της γεωτεχνικής μηχανικής ειδικότερα. Η ραγδαία ανάπτυξη των ηλεκτρονικών υπολογιστών τα τελευταία χρόνια σε συνδυασμό με την αντίστοιχη πρόοδο που παρατηρείται στην περιοχή της υπολογιστικής μηχανικής έχουν καταστήσει ουσιαστικά τη χρήση των αριθμητικών μεθόδων και κυρίως της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων ως αποκλειστική επιλογή κατά την επίλυση προβλημάτων, όπως π.χ. αυτά των θεμελιώσεων, των εκσκαφών, των αντιστηρίξεων και της διάνοιξης σηράγγων σε αστικό ή μη περιβάλλον.
Για τον σκοπό αυτό κρίνεται απαραίτητη η κατανόηση της θεωρίας της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων και της εφαρμογής της σε προβλήματα γεωτεχνικής μηχανικής.
Το παρόν σύγγραμμα επιχειρεί να εισαγάγει τον αναγνώστη στη διαδικασία της προσομοίωσης του φυσικού προβλήματος ως μια διαδικασία σύνθεσης στοιχείων και τεχνικών της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων. Διαρθρώνεται σε τρεις βασικούς άξονες:
Την παρουσίαση του θεωρητικού υπόβαθρου αλλά και στοιχείων προγραμματισμού της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων.
Την κατανόηση των ιδιαιτεροτήτων που παρουσιάζουν τα γεωτεχνικά προβλήματα κατά την ανάλυση/προσομοίωση με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων.
Την εφαρμογή της μεθόδου, ως μια συνθετική διαδικασία, σε προβλήματα γεωτεχνικής μηχανικής.
Το βιβλίο απευθύνεται σε προπτυχιακούς και μεταπτυχιακούς φοιτητές και ερευνητές στο πεδίο της γεωτεχνικής μηχανικής και γενικότερα σε μηχανικούς που ασχολούνται με γεωτεχνικά προβλήματα.
Η συγγραφή του βιβλίου στηρίχτηκε πρωτίστως στις σημειώσεις του μαθήματος «Αριθμητικές Μέθοδοι στη Γεωτεχνική Μηχανική» και την υπερ-εικοσαετή εμπειρία από τη διδασκαλία του υπόψη μαθήματος.
Ο πρώτος συγγραφέας του παρόντος συγγράμματος (Καθ. Θεόδωρος Χατζηγώγος) διδάσκει άνω των είκοσι ετών ως κύριος διδάσκων το μάθημα «Αριθμητικές Μέθοδοι στη Γεωτεχνική Μηχανική» στο Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών της Πολυτεχνικής Σχολής του ΑΠΘ. Το υπόψη μάθημα αποτελεί μια από τις υποχρεωτικές επιλογές για τους φοιτητές του τμήματος που ακολουθούν τον Τομέα Γεωτεχνικής Μηχανικής.
Για τη διδασκαλία του μαθήματος εκδίδονται σε κάθε ακαδημαϊκό έτος διδακτικές σημειώσεις από την Υπηρεσία Εκδόσεων του ΑΠΘ. Οι σημειώσεις ενημερώνονται διαρκώς βασιζόμενες στην προηγούμενη διδακτική εμπειρία αλλά και προσαρμόζονται συνεχώς στις αυξανόμενες απαιτήσεις των νέων μηχανικών για την κατανόηση και εφαρμογή των αριθμητικών μεθόδων σε προβλήματα γεωτεχνικής μηχανικής. Η επιμέλεια των διδακτικών σημειώσεων γίνεται από τον Κύριο Συγγραφέα ενώ από το 2004 και μέχρι σήμερα έχει ενεργό ρόλο στη συγγραφή τους και ο συν-συγγραφέας της παρούσας πρότασης, Δρ. Φώτιος Καραουλάνης.
Σημαντικό ρόλο κατά τη διδασκαλία του μαθήματος διαδραματίζουν η κατανόηση, η χρήση και η εξοικείωση των φοιτητών με λογισμικά αριθμητικής ανάλυσης προβλημάτων γεωτεχνικής μηχανικής. Για τον σκοπό αυτό έχουν αναπτυχθεί από τον συν-συγγραφέα της παρούσας πρότασης προγράμματα ανοικτού κώδικα, στο πλαίσιο του Έργου ΕΠΕΑΕΚ ΙΙ: «Αναμόρφωση προγράμματος προπτυχιακών σπουδών Τμήματος Πολιτικών Μηχανικών» και των αντίστοιχων δράσεων «Ανάπτυξη λογισμικού επίλυσης εργαστηριακών-σεμιναριακών ασκήσεων που διεξάγονται στα πλαίσια μαθημάτων κορμού και επιλογής» και «Πολυμεσικές Εκπαιδευτικές Εφαρμογές».
Το σύνολο του προαναφερθέντος εκπαιδευτικού υλικού (διδακτικές σημειώσεις και εκπαιδευτικό λογισμικό) φιλοξενείται τα τελευταία χρόνια στην πλατφόρμα blackboard που συντηρεί το ΑΠΘ.
Η συγγραφή του παρόντος βιβλίου έγινε στο πλαίσιο της δράσης «Ελληνικά Ακαδημαϊκά Ηλεκτρονικά Συγγράμματα και Βοηθήματα». Με τη δράση αυτή έγινε δυνατή η συγκέντρωση, επεξεργασία και επέκταση του προϋπάρχοντος υλικού με στόχο τη δημιουργία ενός ηλεκτρονικού βιβλίου, το οποίο θα αξιοποιηθεί στο μάθημα των Αριθμητικών Μεθόδων στη Γεωτεχνική Μηχανική.
Το παρόν βιβλίο αποτελείται από επτά κεφάλαια.
Στο Κεφάλαιο 1 παρουσιάζεται και εξετάζεται το πλαίσιο στο οποίο ορίζεται το πρόβλημα της συνοριακής τιμής στη γραμμική ελαστικότητα. Αρχικά παρουσιάζεται ο τανυστής των τάσεων (Ενότητα 1.1): Η έννοια της τάσης (Ενότητα 1.1.1), ο τανυστικός χαρακτήρας της τάσης (Ενότητα 1.1.2), οι μετασχηματισμοί των τάσεων (Ενότητα 1.1.3), οι κύριες τάσεις (Ενότητα 1.1.4), o εκτροπικός τανυστής των τάσεων (Ενότητα 1.1.5) και ο κύκλος του Mohr (Ενότητα 1.1.6). Ακολουθεί η παρουσίαση του τανυστή των παραμορφώσεων, όπου περιγράφονται η έννοια της παραμόρφωσης, η γεωμετρική ερμηνεία της παραμόρφωσης και οι συνθήκες συμβιβαστού (Ενότητα 1.2). Στη συνέχεια δίνονται οι σχέσεις τάσεων-παραμορφώσεων (Ενότητα 1.3): Εξετάζεται η γενική περίπτωση του Νόμου του Hooke (Ενότητα 1.3.1), ο μετασχηματισμός του τανυστή της ελαστικότητας (Ενότητα 1.3.2) και οι ιδιαίτερες περιπτώσεις ελαστικής ανισοτροπίας που αφορούν εγκαρσίως ισότροπα ελαστικά υλικά (Ενότητα 1.3.3) και ορθότροπα ελαστικά υλικά (Ενότητα 1.3.4). Τέλος παρουσιάζονται τα ισότροπα ελαστικά υλικά (Ενότητα 1.3.5). Οι περιπτώσεις της επίπεδης συμμετρίας (Ενότητα 1.4) και της αξονοσυμμετρίας (Ενότητα 1.5) εξετάζονται στη συνέχεια. Ειδικά για την περίπτωση της αξονοσυμμετρίας δίνεται το σύστημα συντεταγμένων (Ενότητα 1.5.1), οι μετακινήσεις, οι παραμορφώσεις και τάσεις (Ενότητα 1.5.2), οι κινηματικές εξισώσεις (Ενότητα 1.5.3), οι καταστατικές εξισώσεις (Ενότητα 1.5.4) και οι εξισώσεις ισορροπίας (Ενότητα 1.5.5). Στο τέλος του κεφαλαίου παρατίθεται η σχετική βιβλιογραφία (Ενότητα 1.6).
Στο Κεφάλαιο 2 παρουσιάζεται η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων. Η προσέγγιση που προκρίνεται για την περιγραφή της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων στο παρόν βιβλίο είναι αυτή των σταθμισμένων καταλοίπων. Τα βασικά βήματα της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων με τη μέθοδο των σταθμισμένων καταλοίπων είναι:
Ορισμός της ισχυρής μορφής του προβλήματος.
Ορισμός της ασθενούς μορφής του προβλήματος.
Επιλογή προσεγγιστικών συναρτήσεων για τις άγνωστες εξισώσεις.
Επίλυση του συστήματος.
Το παρόν κεφάλαιο επομένως διαρθρώνεται με τρόπο που να αντιστοιχεί στα παραπάνω βήματα. Αρχικά ορίζεται το πρόβλημα με τη βοήθεια της κλασικής εξίσωσης Poisson (Ενότητα 2.1). Πιο συγκεκριμένα, εξετάζεται το πρόβλημα ροής που περιγράφεται από την εξίσωση Poisson και δίνονται οι εξισώσεις πεδίου (Ενότητα 2.1.1) και οι συνοριακές συνθήκες (Ενότητα 2.1.2). Η σύνοψη των εξισώσεων σε διάφορες μορφές που συναντώνται στη βιβλιογραφία παρουσιάζονται στην Ενότητα 2.1.3. Στη συνέχεια εξετάζεται η ασθενής διατύπωση του προβλήματος και συγκρίνεται με την αντίστοιχη ισχυρή μορφή (Ενότητα 2.2). Ακολουθεί η προσέγγιση της άγνωστης συνάρτησης που αποτελεί τη λύση των εξισώσεων του προβλήματος (Ενότητα 2.3). Εξηγείται η έννοια της προσεγγιστικής συνάρτησης στη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων (Ενότητα 2.3.1), οι συναρτήσεις βάσης (Ενότητα 2.3.2) και πώς τα παραπάνω εφαρμόζονται στην ασθενή διατύπωση του προβλήματος (Ενότητα 2.3.3). Στη συνέχεια εξετάζεται η αντικατάσταση της συνάρτησης βάρους και επαναδιατυπώνεται η ασθενής μορφή του προβλήματος (Ενότητα 2.4). Ακολουθεί η σύγκριση της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων με την εξίσου διαδεδομένη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών (Ενότητα 2.5), όπου επισημαίνονται οι κύριες διαφορές τους. Τέλος δίνεται η εφαρμογή της μεθόδου στις εξισώσεις της ελαστοστατικής (Ενότητα 2.6), όπου εξετάζεται συνοπτικά το πρόβλημα της δισδιάστατης ελαστικότητας (Ενότητα 2.6.1). Για λόγους πληρότητας διατυπώνονται οι χαρακτηριστικές εξισώσεις και με την αρχή των δυνατών έργων (Ενότητα 2.6.2). Στο τέλος του κεφαλαίου παρατίθεται η σχετική βιβλιογραφία (Ενότητα 2.7).
Στο Κεφάλαιο 3 μορφώνονται τυπικά πεπερασμένα στοιχεία που χρησιμοποιούνται ευρέως στη γεωτεχνική μηχανική. Αρχικά εξετάζονται τα γραμμικά στοιχεία, όπως το στοιχείο ράβδου (Ενότητα 3.1) και το στοιχείο δοκού (Ενότητα 3.2). Για το στοιχείο ράβδου (Ενότητα 3.1), δίνεται καταρχήν η διατύπωσή του σε όρους δυσκαμψίας (Ενότητα 3.1.1). Στη συνέχεια επαναδιατυπώνονται οι εξισώσεις του στοιχείου με τη χρήση συναρτήσεων μορφής (Ενότητα 3.1.2). Πιο συγκεκριμένα, δίνονται οι συναρτήσεις μορφής (Ενότητα 3.1.2), το μητρώο παραμόρφωσης (Ενότητα 3.1.2), το μητρώο ελαστικότητας (Ενότητα 3.1.2) και το μητρώο δυσκαμψίας στο τοπικό σύστημα συντεταγμένων (Ενότητα 3.1.2). Στη συνέχεια εξετάζεται ο μετασχηματισμός του μητρώου δυσκαμψίας και δίνεται το καθολικό μητρώο δυσκαμψίας (Ενότητα 3.1.3). Τέλος συζητείται η χρήση του στοιχείου σε προβλήματα γεωτεχνικής μηχανικής (Ενότητα 3.1.4). Για το στοιχείο δοκού (Ενότητα 3.2), δίνονται αντίστοιχα οι συναρτήσεις σχήματος (Ενότητα 3.2.1), οι σχέσεις παραμορφώσεων-μετακινήσεων (Ενότητα 3.2.2) και το μητρώο δυσκαμψίας (Ενότητα 3.2.3). Τέλος συζητείται η χρήση του στοιχείου σε προβλήματα γεωτεχνικής μηχανικής (Ενότητα 3.2.4). Στη συνέχεια παρουσιάζεται ένα πιο εξειδικευμένο στοιχείο δοκού, που αφορά ένα στοιχείο δοκού που εδράζεται επί του εδάφους (Ενότητα 3.3). Δίνεται το μητρώο δυσκαμψίας του στοιχείου (Ενότητα 3.3.1), ενώ παρουσιάζεται και ο προγραμματισμός του (Ενότητα 3.3.2). Ακολουθεί η παρουσίαση των επίπεδων στοιχείων, ξεκινώντας από το τριγωνικό στοιχείο τριών κόμβων σταθερής παραμόρφωσης (Ενότητα 3.4). Δίνονται το μητρώο συναρτήσεων μορφής (Ενότητα 3.4.1), το μητρώο συναρτήσεων παραμορφώσεων-μετακινήσεων (Ενότητα 3.4.2), το μητρώο ελαστικότητας (Ενότητα 3.4.3) και τέλος το μητρώο δυσκαμψίας (Ενότητα 3.4.4). Στη συνέχεια αναπτύσσεται η ισοπαραμετρική αναπαράσταση και δίνονται οι μέθοδοι αριθμητικής ολοκλήρωσης (Ενότητα 3.5). Πιο συγκεκριμένα, παρουσιάζεται η ισοπαραμετρική θεώρηση (Ενότητα 3.5.1), δίνεται η περιγραφή της γεωμετρίας (Ενότητα 3.5.1) και περιγράφεται το φυσικό σύστημα συντεταγμένων (Ενότητα 3.5.1). Τέλος αναπτύσσεται η αριθμητική ολοκλήρωση (Ενότητα 3.5.1). Από τα ισοπαραμετρικά επίπεδα στοιχεία εξετάζονται το τετράκομβο τετράπλευρο στοιχείο (Ενότητα 3.6) και το αντίστοιχο στοιχείο διεπιφάνειας (Ενότητα 3.7) σε συνθήκες επίπεδης παραμόρφωσης. Για το τετράκομβο στοιχείο (Ενότητα 3.6) δίνονται το μητρώο συναρτήσεων μορφής (Ενότητα 3.6.1), το μητρώο συναρτήσεων παραμορφώσεων-μετακινήσεων (Ενότητα 3.6.2), το μητρώο ελαστικότητας (Ενότητα 3.6.3) και τέλος το μητρώο δυσκαμψίας (Ενότητα 3.6.4), όπως προκύπτει από την αριθμητική ολοκλήρωση (Ενότητα 3.6.5). Για το στοιχείο διεπιφάνειας (Ενότητα 3.7) δίνονται ομοίως το μητρώο συναρτήσεων μορφής (Ενότητα 3.7.1), το μητρώο ελαστικότητας (Ενότητα 3.7.2), το μητρώο συναρτήσεων παραμορφώσεων-μετακινήσεων (Ενότητα 3.7.3) και τέλος το μητρώο δυσκαμψίας (Ενότητα 3.7.4). Τέλος παρουσιάζονται οι εξισώσεις του εξάπλευρου, οκτάκομβου τριγραμμικού τρισδιάστατου στοιχείου (Ενότητα 3.8). Στο τέλος του κεφαλαίου παρατίθεται η σχετική βιβλιογραφία (Ενότητα 3.9).
Στο Κεφάλαιο 4 περιγράφεται η διαδικασία με την οποία γίνεται η μεταφορά από το τοπικό στο συνολικό μητρώο δυσκαμψίας, η μόρφωση και η επίλυση του συστήματος εξισώσεων και η επεξεργασία των αποτελεσμάτων. Πιο συγκεκριμένα, στην Ενότητα 4.1 εξετάζεται η αντιστοίχιση των βαθμών ελευθερίας από το τοπικό στο συνολικό μητρώο δυσκαμψίας. Στη συνέχεια εξετάζονται αλγόριθμοι επαναρίθμησης των βαθμών ελευθερίας και αναδιάταξης του συνολικού μητρώου δυσκαμψίας με σκοπό τη μείωση των απαιτήσεων σε αποθηκευτικό χώρο στη μνήμη του υπολογιστή (Ενότητα 4.2) και εξετάζεται σε συντομία η αντίστροφη μέθοδος Cuthill-Mckee (Ενότητα 4.2.1). Ακολουθεί η παρουσίαση των μεθόδων αποθήκευσης των συντελεστών του συνολικού μητρώου δυσκαμψίας (Ενότητα 4.3): Η αποθήκευση του μητρώου σε πλήρη μορφή (Ενότητα 4.3.1), σε συμμετρική μορφή (Ενότητα 4.3.2), σε ταινιωτή μορφή ή μορφή λωρίδας (Ενότητα 4.3.3), σε μορφή προφίλ ή κορυφογραμμής (Ενότητα 4.3.4) και σε αραιή μορφή (Ενότητα 4.3.5). Στη συνέχεια δίνονται τρόποι επίλυσης του συστήματος εξισώσεων, τόσο άμεσοι όσο και επαναληπτικοί (Ενότητα 4.4). Παρουσιάζονται η μέθοδος απαλοιφής Gauss (Ενότητα 4.4.1), η μέθοδος Cholesky (Ενότητα 4.4.2) και η μέθοδος της συζυγούς διανυσματικής κλίσης (Ενότητα 4.4.3). Ακολουθεί η επεξεργασία και τρόποι απεικόνισης των αποτελεσμάτων (Ενότητα 4.5), όπως αυτή πραγματοποιείται είτε στους κόμβους των στοιχείων (Ενότητα 4.5.1) είτε στα σημεία ολοκλήρωσης (Ενότητα 4.5.2). Στο τέλος του κεφαλαίου παρατίθεται η σχετική βιβλιογραφία (Ενότητα 4.6).
Στο Κεφάλαιο 5 παρουσιάζονται οι περιπτώσεις συνοριακών συνθηκών οι οποίες συναντώνται σε προβλήματα γεωτεχνικής μηχανικής. Αρχικά εξετάζονται οι βασικές και φυσικές συνοριακές συνθήκες (Ενότητα 5.1) και αναλύονται ιδιαίτερα οι βασικές συνοριακές συνθήκες (Ενότητα 5.1.1). Στη συνέχεια παρουσιάζονται τα φορτία που εφαρμόζονται στο σύνορο του προσομοιώματος (Ενότητα 5.2) και δίνονται ο υπολογισμός φορτίων ανά κόμβο (Ενότητα 5.2.1) και ο υπολογισμός φορτίων ανά στοιχείο (Ενότητα 5.2.2). Τέλος δίνεται και ο ενεργειακά συνεπής υπολογισμός των φορτίων (Ενότητα 5.2.3). Ακολουθεί η παρουσίαση των φορτίων που εμφανίζονται σε προβλήματα που χαρακτηρίζονται από την αφαίρεση ή την προσθήκη εδαφικού υλικού (Ενότητα 5.3) και τέλος των φορτίων που οφείλονται στην παρουσία μαζικών δυνάμεων (Ενότητα 5.4). Στο τέλος του κεφαλαίου παρατίθεται η σχετική βιβλιογραφία (Ενότητα 5.5).
Στο Κεφάλαιο 6 εξετάζεται η κλασική θεωρία της πλαστικότητας, παρουσιάζονται στοιχεία της μη γραμμικής ανάλυσης και εξετάζονται μη γραμμικοί καταστατικοί νόμοι που βρίσκουν ευρεία εφαρμογή σε προβλήματα γεωτεχνικής μηχανικής. Αρχικά εξετάζεται η περίπτωση της μονοδιάστατης πλαστικότητας (Ενότητα 6.1). Παρουσιάζεται η περίπτωση της ιδεατής μονοδιάστατης πλαστικότητας (Ενότητα 6.1.1), όπου παρουσιάζονται οι καταστατικές εξισώσεις (Ενότητα 6.1.1), ορίζεται η παραμένουσα παραμόρφωση (Ενότητα 6.1.1) και δίνονται οι συνθήκες αποφόρτισης/επαναφόρτισης (Ενότητα 6.1.1). Στη συνέχεια παρουσιάζεται η επέκταση στην κρατυνόμενη πλαστικότητα (Ενότητα 6.1.2), όπου συμπληρωματικά ορίζεται και το συνεχές εφαπτομενικό ελαστοπλαστικό μέτρο (Ενότητα 6.1.2). Ακολουθεί η επέκταση στην τρισδιάστατη πλαστικότητα (Ενότητα 6.2), όπου παρουσιάζονται οι καταστατικές εξισώσεις (Ενότητα 6.2.1), ορίζεται η μη αναστρέψιμη πλαστική απόκριση (Ενότητα 6.2.2), δίνεται η ερμηνεία των συμπληρωματικών συνθηκών Karush-Kuhn-Tucker (Ενότητα 6.2.3) και τέλος παρουσιάζεται το συνεχές εφαπτομενικό ελαστοπλαστικό μέτρο (Ενότητα 6.2.4). Η τρισδιάστατη πλαστικότητα που εξετάστηκε μέχρι στιγμής αφορά κριτήρια διαρροής που περιγράφονται από μία και μοναδική επιφάνεια διαρροής. Στην Ενότητα 6.3 εξετάζεται η περίπτωση της πλαστικότητας που περιγράφεται από κριτήρια διαρροής που χαρακτηρίζονται από πολλαπλές επιφάνειες διαρροής. Δίνονται αρχικά οι καταστατικές εξισώσεις για αυτή την οικογένεια των κριτηρίων (Ενότητα 6.3.1) και περιγράφονται οι συνθήκες φόρτισης/αποφόρτισης (Ενότητα 6.3.2). Στη συνέχεια ορίζεται η απαίτηση συνέπειας (Ενότητα 6.3.3) και τέλος δίνεται το συνεχές εφαπτομενικό ελαστοπλαστικό μέτρο (Ενότητα 6.3.4). Ακολουθεί η επισκόπηση και η επαναδιατύπωση της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων στο πλαίσιο πλέον της μη γραμμικής ανάλυσης (Ενότητα 6.4). Δίνεται η ασθενής διατύπωση του προβλήματος συνοριακών τιμών (Ενότητα 6.4.1), ορίζεται η χωρική διακριτοποίηση και επαναδιατυπώνεται η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων (Ενότητα 6.4.2). Πιο συγκεκριμένα, διατυπώνονται οι εξισώσεις σε βηματική μορφή (Ενότητα 6.4.3) και δίνονται μέθοδοι επίλυσης του (μη γραμμικού) προβλήματος (Ενότητα 6.5). Αυτές αφορούν τη μέθοδο Newton-Raphson (Ενότητα 6.5.1) και τον γενικό κανόνα του μέσου σημείου (Ενότητα 6.5.2). Στη συνέχεια εξετάζεται πλέον η αριθμητική επίλυση του προβλήματος, αρχικά για την περίπτωση της μονοδιάστατης πλαστικότητας (Ενότητα 6.6). Παρουσιάζεται ο αλγόριθμος επιστροφής των τάσεων return-mapping (Ενότητα 6.6.1) και, πιο συγκεκριμένα, ορίζεται η δοκιμαστική (trial) ελαστική εντατική κατάσταση (Ενότητα 6.6.1), ελέγχεται η συνθήκη διαρροής (Ενότητα 6.6.1), διατυπώνεται ο αλγόριθμος επιστροφής (Ενότητα 6.6.1) και παρουσιάζεται το αλγοριθμικό (συνεπές) εφαπτομενικό μέτρο (Ενότητα 6.6.2). Ακολουθεί η αριθμητική επίλυση του προβλήματος της πλαστικότητας πολλών διαστάσεων που αφορά όμως μία επιφάνεια διαρροής (Ενότητα 6.7). Παρουσιάζεται ομοίως ο αλγόριθμος επιστροφής των τάσεων return-mapping (Ενότητα 6.7.1) και, πιο συγκεκριμένα, ορίζεται η δοκιμαστική (trial) ελαστική εντατική κατάσταση (Ενότητα 6.7.1), ελέγχεται η συνθήκη διαρροής (Ενότητα 6.7.1), διατυπώνεται ο αλγόριθμος επιστροφής (Ενότητα 6.7.1) και παρουσιάζεται το αλγοριθμικό (συνεπές) εφαπτομενικό μέτρο (Ενότητα 6.7.2). Τέλος παρουσιάζεται η αριθμητική επίλυση του προβλήματος της πλαστικότητας πολλών διαστάσεων που αφορά κριτήρια πολλαπλών επιφανειών (Ενότητα 6.8). Παρουσιάζεται και για αυτή την περίπτωση ο αλγόριθμος επιστροφής των τάσεων return-mapping (Ενότητα 6.8.1) και, πιο συγκεκριμένα, ορίζεται πάλι η δοκιμαστική (trial) ελαστική εντατική κατάσταση (Ενότητα 6.8.1), ελέγχεται η συνθήκη διαρροής (Ενότητα 6.8.1), διατυπώνεται ο αλγόριθμος επιστροφής (Ενότητα 6.8.1), προσδιορίζονται οι ενεργές επιφάνειες (Ενότητα 6.8.2) και παρουσιάζεται το αλγοριθμικό (συνεπές) εφαπτομενικό μέτρο (Ενότητα 6.8.3). Στη συνέχεια εξετάζεται η εφαρμογή των παραπάνω σε τυπικά κριτήρια διαρροής της γεωτεχνικής μηχανικής. Παρουσιάζεται αρχικά η γραφική απεικόνιση των κριτηρίων διαρροής γενικά (Ενότητα 6.9) και στη συνέχεια εξετάζεται το κριτήριο διαρροής Tresca (Ενότητα 6.10). Στην Ενότητα 6.10.1 δίνεται η πλήρης περιγραφή του κριτηρίου, ενώ η εφαρμογή των μεθόδων της αριθμητικής ανάλυσης που αναπτύχθηκαν προηγουμένως δίνεται στην Ενότητα 6.10.2. Ακολουθεί η παρουσίαση του κριτηρίου διαρροής Mohr-Coulomb (Ενότητα 6.11). Η περιγραφή του κριτηρίου δίνεται στην Ενότητα 6.11.1, ενώ η αριθμητική επίλυσή του την Ενότητα 6.11.2. Στο τέλος του κεφαλαίου παρατίθεται η σχετική βιβλιογραφία (Ενότητα 6.12).
Τέλος, στο Κεφάλαιο 7 παρουσιάζεται η διαδικασία της προσομοίωσης του φυσικού προβλήματος ως σύνθεση των εννοιών που αναπτύχθηκαν στα προηγούμενα κεφάλαια και εξετάζονται χαρακτηριστικά προβλήματα της γεωτεχνικής μηχανικής. Πιο συγκεκριμένα, στην Ενότητα 7.1 εξετάζεται το πρόβλημα μίας πεδιλοδοκού επί ελαστικού εδάφους, στην Ενότητα 7.2 παρουσιάζεται η περίπτωση ενός μεμονωμένου πασσάλου υπό οριζόντια φόρτιση, ενώ στην Ενότητα 7.3 προσομοιώνεται το πρόβλημα ενός επιμήκους πεδίλου επί ελαστικού εδάφους. Τα τρία αυτά προβλήματα επιλύονται θεωρώντας ελαστικά γραμμικό υλικό, ενώ το λογισμικό για την επίλυσή τους έχει αναπτυχθεί και είναι διαθέσιμο από το Εργαστήριο Εδαφομηχανικής, Θεμελιώσεων και Τεχνικής Σεισμολογίας του ΑΠΘ. Στη συνέχεια εξετάζονται δύο πιο περίπλοκα προβλήματα γεωτεχνικής μηχανικής, στα οποία γίνεται επιπλέον η θεώρηση της μη γραμμικής συμπεριφοράς των εδαφικών υλικών. Το πρώτο πρόβλημα αφορά την περίπτωση της φέρουσας ικανότητας ενός θεμελίου (Ενότητα 7.4), θεωρώντας είτε αστράγγιστες (Ενότητα 7.4.1) είτε στραγγιζόμενες συνθήκες φόρτισης (Ενότητα 7.4.2). Το δεύτερο πρόβλημα που παρουσιάζεται αφορά την αστοχία μίας ανυποστήρικτης εκσκαφής (Ενότητα 7.5). Τα παραπάνω προβλήματα έχουν προσομοιωθεί με το λογισμικό nemesis, που επίσης αναπτύχθηκε στο Εργαστήριο Εδαφομηχανικής, Θεμελιώσεων και Τεχνικής Σεισμολογίας του ΑΠΘ. Τέλος, παρουσιάζεται στην Ενότητα 7.6 η προσομοίωση τυπικών εργαστηριακών δοκιμών στο πλαίσιο της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων. Παρόμοιες διαδικασίες κρίνονται απαραίτητες κατά την αξιολόγηση των δυνατοτήτων λογισμικών πεπερασμένων στοιχείων, όταν πρόκειται να χρησιμοποιηθούν σε προβλήματα γεωτεχνικής μηχανικής. Στο παρόν σύγγραμμα εξετάζεται η προσομοίωση της δοκιμής ανεμπόδιστης θλίψης/εφελκυσμού (Ενότητα 7.6.1) και της δοκιμής απλής διάτμησης (Ενότητα 7.6.2). Τα παραπάνω προβλήματα έχουν προσομοιωθεί επίσης με το λογισμικό nemesis που αναφέρθηκε προηγουμένως. Στο τέλος του κεφαλαίου παρατίθεται η σχετική βιβλιογραφία (Ενότητα 7.7).
Ιδιαίτερη μνεία οφείλουμε στον κ. Στέφανο Τσότσο, Ομότιμο Καθηγητή του Τμήματος Πολιτικών Μηχανικών του ΑΠΘ, ο οποίος, με την ιδιότητα του «Κριτικού Αναγνώστη», διατύπωσε κρίσιμες παρατηρήσεις και υποδείξεις για πολλά επιμέρους θέματα αλλά και για τη συνολική δομή του βιβλίου.
Σε κάθε περίπτωση, οι συγγραφείς αναλαμβάνουν πλήρη την ευθύνη για το παρόν σύγγραμμα και για τυχόν σφάλματα και αβλεψίες που παραμένουν.