Έστω ένα σώμα $\Omega$ που ορίζεται από το κλειστό και φραγμένο σύνορό του $\Gamma$. Σε ένα τμήμα του συνόρου, που συμβολίζεται με $\Gamma_{u}$, είναι γνωστές οι μετακινήσεις $u$.

Θεωρείται ότι στο σώμα δρουν επιφανειακά φορτία $\boldsymbol{F_{t}}$, σημειακά φορτία $\boldsymbol{F_{p}}$ και μαζικά φορτία $\boldsymbol{F_{b}}$, όπως φαίνεται στο Σχήμα 1.1.

Έστω τώρα ένα τυχαίο επίπεδο $P$ που χωρίζει το σώμα $\Omega$ σε δύο τμήματα, $\Omega^{+}$ και $\Omega^{-}$. Θεωρώντας ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, η δύναμη $F$ που ασκείται στην περιοχή $\Delta A$ του επιπέδου $P$ μπορεί να οριστεί ως [2]:

$$\boldsymbol{F}=F_{x}\boldsymbol{i}+F_{y}\boldsymbol{j}+F_{z}\boldsymbol{k}$$

(1.1)

όπου $\boldsymbol{i}$, $\boldsymbol{j}$ και $\boldsymbol{k}$ τα μοναδιαία διανύσματα του συστήματος αναφοράς, όπως αυτά περιγράφονται στο Σχήμα 1.2).

Η δύναμη $F$ μπορεί επίσης να αναλυθεί ως προς ένα διάνυσμα $\boldsymbol{n}$ κάθετο στο επίπεδο $P$ και σε ένα διάνυσμα $\boldsymbol{s}$ παράλληλο ως προς αυτό, όπως φαίνεται στο Σχήμα 1.3. Σε αυτή την περίπτωση οι συνιστώσες $\boldsymbol{F_{n}}$ και $\boldsymbol{F_{s}}$ ονομάζονται ορθή και διατμητική δύναμη στην περιοχή $\Delta A$ αντίστοιχα.

Το διάνυσμα της τάσης σε ένα σημείο ορίζεται θεωρώντας ότι το $\Delta A$ γίνεται απειροστό,

$$\boldsymbol{\sigma}^{(\boldsymbol{n})}:=\lim_{\Delta A\rightarrow 0}\dfrac{\boldsymbol{F}}{\Delta A},$$

(1.2)

ή σε μορφή δεικτών

$$\sigma_{i}^{(\boldsymbol{n})}:=\lim_{\Delta A\rightarrow 0}\dfrac{F_{i}}{\Delta A}.$$

(1.3)

Αντίστοιχα, η ορθή τάση $\boldsymbol{\sigma}_{n}$ και η διατμητική τάση $\boldsymbol{\tau}$ ορίζονται αντίστοιχα ως:

	$\displaystyle\boldsymbol{\sigma}_{n}$	$\displaystyle=\lim_{\Delta A\rightarrow 0}\dfrac{\boldsymbol{F}_{n}}{\Delta A}$		(1.4)
		και
	$\displaystyle\boldsymbol{\tau}$	$\displaystyle=\lim_{\Delta A\rightarrow 0}\dfrac{\boldsymbol{F}_{s}}{\Delta A}.$		(1.5)

Σύμφωνα με τη σύμβαση προσήμου που ακολουθείται στην κλασική μηχανική, ως θετική ορθή τάση θεωρείται η εφελκυστική, ενώ η θετική διατμητική τάση έχει θετική φορά στο επίπεδο του οποίου το κάθετο διάνυσμα με κατεύθυνση προς τα έξω είναι επίσης θετικό, όπως αυτές δίνονται στο Σχήμα 1.4.

Στην κλασική γεωτεχνική μηχανική ακολουθείται συνήθως η αντίθετη σύμβαση προσήμου, όπως σημειώνεται στο Σχήμα 1.5. Έτσι, οι αρχικές τάσεις, οι οποίες είναι συνήθως θλιπτικές, ορίζονται ως θετικές.

Στο παρόν βιβλίο ακολουθείται η σύμβαση προσήμου της κλασικής μηχανικής για λόγους συμβατότητας με τη βιβλιογραφία και τις τυπικές εφαρμογές της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων.

Σύμφωνα με τη θεώρηση του Cauchy, οι τάσεις $\boldsymbol{\sigma}^{(\mathbf{n})}$ είναι ίδιες για όλες τις επιφάνειες που περνούν από το σημείο $P$ και έχουν το ίδιο κάθετο μοναδιαίο διάνυσμα $\boldsymbol{n}$ στο $P$, έχουν δηλαδή κοινή εφαπτομένη στο σημείο $P$. Πρακτικά αυτό σημαίνει ότι ο τανυστής των τάσεων είναι συνάρτηση μόνο του κάθετου μοναδιαίου διανύσματος $\boldsymbol{n}$ σε ένα σημείο.

Συνέπεια της παραπάνω θεώρησης αποτελεί το γνωστό και ως θεμελιώδες λήμμα του Cauchy, που αναφέρει ότι τα διανύσματα των τάσεων που δρουν στις αντίθετες πλευρές της ίδιας επιφάνειας είναι ίσα όσον αφορά το μέγεθος και αντίθετα όσον αφορά την κατεύθυνση.

Το θεμελιώδες λήμμα του Cauchy που εκφράζεται ως

$$\boldsymbol{\sigma}^{(\boldsymbol{n})}=-\boldsymbol{\sigma}^{(-\boldsymbol{n})}$$

(1.6)

μπορεί να θεωρηθεί και ως μια ισοδύναμη διατύπωση του Τρίτου Νόμου του Νεύτωνα που αναφέρεται στη δράση και την αντίδραση.

Το θεώρημα των τάσεων του Cauchy ορίζει τον τανυστή των τάσεων του Cauchy σε μια επιφάνεια κάθετη στο $\boldsymbol{n}$ ως:

$$\boldsymbol{\sigma}^{(\boldsymbol{n})}=\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{\sigma}$$

(1.7)

ή σε μορφή δεικτών

$$\sigma_{i}^{n}=\sigma_{ij}n_{j}.$$

(1.8)

Θεωρούμε τώρα ένα στοιχειώδες σώμα με επίπεδα κάθετα στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, όπως αυτό περιγράφεται στο Σχήμα 1.6. Τα διανύσματα τάσεων για κάθε επίπεδο ($\boldsymbol{\sigma}^{(\mathbf{e}_{1})}$, $\boldsymbol{\sigma}^{(\mathbf{e}_{2})}$, $\boldsymbol{\sigma}^{(\mathbf{e}_{3})}$) μπορούν να αναλυθούν σε μία ορθή και δύο διατμητικές τάσεις κατά τις διευθύνσεις των αξόνων του συστήματος συντεταγμένων. Στην περίπτωση ενός επιπέδου με κάθετο διάνυσμα στην κατεύθυνση του $x_{1}$ άξονα, η ορθή τάση ορίζεται ως $\sigma_{11}$ και οι δύο διατμητικές ως $\sigma_{12}$ και $\sigma_{13}$ αντίστοιχα.

Με βάση τα παραπάνω αποδεικνύεται εύκολα ότι:

	$\displaystyle\boldsymbol{\sigma}^{(\mathbf{e}_{1})}$	$\displaystyle=\sigma_{1}^{(\boldsymbol{e}_{1})}\boldsymbol{e}_{1}+\sigma_{2}^{(\boldsymbol{e}_{1})}\boldsymbol{e}_{2}+\sigma_{3}^{(\boldsymbol{e}_{1})}\boldsymbol{e}_{3}=\sigma_{11}\boldsymbol{e}_{1}+\sigma_{12}\boldsymbol{e}_{2}+\sigma_{13}\boldsymbol{e}_{3}$		(1.9)
	$\displaystyle\boldsymbol{\sigma}^{(\mathbf{e}_{2})}$	$\displaystyle=\sigma_{1}^{(\boldsymbol{e}_{2})}\boldsymbol{e}_{1}+\sigma_{2}^{(\boldsymbol{e}_{2})}\boldsymbol{e}_{2}+\sigma_{3}^{(\boldsymbol{e}_{2})}\boldsymbol{e}_{3}=\sigma_{21}\boldsymbol{e}_{1}+\sigma_{22}\boldsymbol{e}_{2}+\sigma_{23}\boldsymbol{e}_{3}$		(1.10)
	$\displaystyle\boldsymbol{\sigma}^{(\mathbf{e}_{3})}$	$\displaystyle=\sigma_{1}^{(\boldsymbol{e}_{3})}\boldsymbol{e}_{1}+\sigma_{2}^{(\boldsymbol{e}_{3})}\boldsymbol{e}_{2}+\sigma_{3}^{(\boldsymbol{e}_{3})}\boldsymbol{e}_{3}=\sigma_{31}\boldsymbol{e}_{1}+\sigma_{32}\boldsymbol{e}_{2}+\sigma_{33}\boldsymbol{e}_{3}$		(1.11)

ή αλλιώς

$$\boldsymbol{\sigma}^{(\boldsymbol{e}_{i})}=\sigma_{j}^{(\boldsymbol{e}_{i})}\boldsymbol{e}_{j}=\sigma_{ij}\boldsymbol{e}_{j}$$

(1.12)

Οι εννέα συνιστώσες $\sigma_{ij}$ των διανυσμάτων τάσεων αποτελούν τις συνιστώσες του τανυστή τάσεων του Cauchy, με τον οποίο περιγράφεται πλήρως η εντατική κατάσταση σε ένα σημείο ως:

$$\boldsymbol{\sigma}=\sigma_{ij}=\left[\begin{matrix}\boldsymbol{\sigma}^{(\mathbf{e}_{1})}\\ \boldsymbol{\sigma}^{(\mathbf{e}_{1})}\\ \boldsymbol{\sigma}^{(\mathbf{e}_{1})}\\ \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}\sigma_{11}&\sigma_{12}&\sigma_{13}\\ \sigma_{21}&\sigma_{22}&\sigma_{23}\\ \sigma_{31}&\sigma_{32}&\sigma_{33}\\ \end{matrix}\right]$$

(1.13)

ή ισοδύναμα στο σύστημα $x$-$y$-$z$

$$\boldsymbol{\sigma}=\sigma_{ij}=\left[\begin{matrix}\boldsymbol{\sigma}^{(\mathbf{e}_{1})}\\ \boldsymbol{\sigma}^{(\mathbf{e}_{1})}\\ \boldsymbol{\sigma}^{(\mathbf{e}_{1})}\\ \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}\sigma_{xx}&\sigma_{xy}&\sigma_{xz}\\ \sigma_{yx}&\sigma_{yy}&\sigma_{yz}\\ \sigma_{zx}&\sigma_{zy}&\sigma_{zz}\\ \end{matrix}\right]$$

(1.14)

όπου $\sigma_{11}$ ($\sigma_{xx}$), $\sigma_{22}$ ($\sigma_{yy}$) και $\sigma_{33}$ ($\sigma_{zz}$) οι ορθές τάσεις και $\sigma_{12}$ ($\sigma_{xy}$), $\sigma_{13}$ ($\sigma_{xz}$), $\sigma_{21}$ ($\sigma_{yx}$), $\sigma_{23}$ ($\sigma_{yz}$), $\sigma_{31}$ ($\sigma_{zx}$) και $\sigma_{32}$ ($\sigma_{zy}$) οι διατμητικές τάσεις αντίστοιχα.

Λαμβάνοντας υπόψη τη συμμετρία του τανυστή των τάσεων, μπορούμε να τον απεικονίσουμε ως διάνυσμα της μορφής

$$\boldsymbol{\sigma}=\begin{bmatrix}\sigma_{1}&\sigma_{2}&\sigma_{3}&\sigma_{4}&\sigma_{5}&\sigma_{6}\end{bmatrix}^{T}\equiv\begin{bmatrix}\sigma_{11}&\sigma_{22}&\sigma_{33}&\sigma_{23}&\sigma_{13}&\sigma_{12}\end{bmatrix}^{T}$$

(1.15)

η οποία ονομάζεται σύμβαση Voigt. Πιο συνηθισμένη είναι η ακόλουθη διατύπωση:

$$\boldsymbol{\sigma}=\begin{bmatrix}\sigma_{1}&\sigma_{2}&\sigma_{3}&\sigma_{4}&\sigma_{5}&\sigma_{6}\end{bmatrix}^{T}\equiv\begin{bmatrix}\sigma_{11}&\sigma_{22}&\sigma_{33}&\sigma_{12}&\sigma_{21}&\sigma_{31}\end{bmatrix}^{T}$$

(1.16)

η οποία και θα χρησιμοποιηθεί στη συνέχεια.

Για την περίπτωση δύο διαστάσεων ισχύει

$$\boldsymbol{\sigma}=\left[\begin{array}[]{cc}\sigma_{xx}&\tau_{xy}\\ \tau_{yx}&\sigma_{yy}\\ \end{array}\right]$$

(1.17)

ενώ τέλος για την περίπτωση ενός προβλήματος μιας διάστασης γράφουμε απλά

$$\sigma=\sigma_{xx}.$$

(1.18)

Ο μετασχηματισμός του τανυστή των τάσεων ακολουθεί τους κανόνες μετασχηματισμού των τανυστών δευτέρου βαθμού. Επομένως για τον μετασχηματισμό από ένα σύστημα συντεταγμένων $x_{i}$ σε ένα σύστημα $x_{i}^{\prime}$, οι συνιστώσες $\sigma_{ij}$ του αρχικού συστήματος μετασχηματίζονται στις συνιστώσες $\sigma^{\prime}_{ij}$ του τελικού συστήματος σύμφωνα με την ακόλουθη σχέση:

$$\sigma^{\prime}_{ij}=a_{im}a_{jn}\sigma_{mn}$$

(1.19)

ή σε μητρωική μορφή:

$$\boldsymbol{\sigma}^{\prime}=\mathbf{A}\boldsymbol{\sigma}\mathbf{A}^{T},$$

(1.20)

όπου $\mathbf{A}$ είναι ένα μητρώο μετασχηματισμού με συνιστώσες $a_{ij}$.

Αναλυτικά, η παραπάνω σχέση δίνεται ως:

$$\left[{\begin{matrix}\sigma^{\prime}_{11}&\sigma^{\prime}_{12}&\sigma^{\prime}_{13}\\ \sigma^{\prime}_{21}&\sigma^{\prime}_{22}&\sigma^{\prime}_{23}\\ \sigma^{\prime}_{31}&\sigma^{\prime}_{32}&\sigma^{\prime}_{33}\\ \end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\\ \end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}\sigma_{11}&\sigma_{12}&\sigma_{13}\\ \sigma_{21}&\sigma_{22}&\sigma_{23}\\ \sigma_{31}&\sigma_{32}&\sigma_{33}\\ \end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}a_{11}&a_{21}&a_{31}\\ a_{12}&a_{22}&a_{32}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33}\\ \end{matrix}}\right].$$

(1.21)

Κύριες τάσεις ονομάζονται οι ορθές τάσεις οι οποίες δρουν σε επίπεδα στα οποία οι αντίστοιχες διατμητικές τάσεις είναι μηδενικές. Οι τιμές των κυρίων τάσεων είναι ανεξάρτητες του συστήματος συντεταγμένων αναφοράς, οι διευθύνσεις τους όμως εξαρτώνται από αυτό. Σε δισδιάστατα προβλήματα, οι κύριες τάσεις αποτελούν τη συνολικά ελάχιστη και τη μέγιστη κατά μέγεθος τάση που δρουν σε κάθε επίπεδο.

Στη γενική περίπτωση οι κύριες τάσεις προκύπτουν από την επίλυση του ιδιοπροβλήματος [9]:

$$\left|\sigma_{ij}-\lambda\delta_{ij}\right|=\begin{vmatrix}\sigma_{11}-\lambda&\sigma_{12}&\sigma_{13}\\ \sigma_{21}&\sigma_{22}-\lambda&\sigma_{23}\\ \sigma_{31}&\sigma_{32}&\sigma_{33}-\lambda\\ \end{vmatrix}=0$$

(1.22)

Από την παραπάνω ορίζουσα προκύπτει η χαρακτηριστική εξίσωση:

$$\left|\sigma_{ij}-\lambda\delta_{ij}\right|=-\lambda^{3}+I_{1}\lambda^{2}-I_{2}\lambda+I_{3}=0$$

(1.23)

όπου:

	$\displaystyle I_{1}$	$\displaystyle=\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33}$		(1.24)
		$\displaystyle=\sigma_{kk}$		(1.25)
		$\displaystyle=\text{tr}(\boldsymbol{\sigma})$		(1.26)
	$\displaystyle I_{2}$	$\displaystyle=\begin{vmatrix}\sigma_{22}&\sigma_{23}\\ \sigma_{32}&\sigma_{33}\\ \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}\sigma_{11}&\sigma_{13}\\ \sigma_{31}&\sigma_{33}\\ \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}\sigma_{11}&\sigma_{12}\\ \sigma_{21}&\sigma_{22}\\ \end{vmatrix}$		(1.27)
		$\displaystyle=\sigma_{11}\sigma_{22}+\sigma_{22}\sigma_{33}+\sigma_{11}\sigma_{33}-\sigma_{12}^{2}-\sigma_{23}^{2}-\sigma_{31}^{2}$		(1.28)
		$\displaystyle=\dfrac{1}{2}\left(\sigma_{ii}\sigma_{jj}-\sigma_{ij}\sigma_{ji}\right)$		(1.29)
		$\displaystyle=\dfrac{1}{2}\left[\text{tr}(\boldsymbol{\sigma})^{2}-\text{tr}(\boldsymbol{\sigma}^{2})\right]$		(1.30)
	$\displaystyle I_{3}$	$\displaystyle=\det(\sigma_{ij})$		(1.31)
		$\displaystyle=\det(\boldsymbol{\sigma})$		(1.32)
		$\displaystyle=\sigma_{11}\sigma_{22}\sigma_{33}+2\sigma_{12}\sigma_{23}\sigma_{31}-\sigma_{12}^{2}\sigma_{33}-\sigma_{23}^{2}\sigma_{11}-\sigma_{31}^{2}\sigma_{22}$		(1.33)

Επειδή ο τανυστής των τάσεων είναι συμμετρικός, η χαρακτηριστική εξίσωση έχει τρεις πραγματικές λύσεις $\lambda_{i}$. Οι κύριες τάσεις ορίζονται ως:

	$\displaystyle\sigma_{1}$	$\displaystyle=\max\left(\lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3}\right),$		(1.35)
	$\displaystyle\sigma_{3}$	$\displaystyle=\min\left(\lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3}\right)$		(1.36)
		και
	$\displaystyle\sigma_{2}$	$\displaystyle=I_{1}-\sigma_{1}-\sigma_{3}$		(1.37)

Από την αναλυτική επίλυση του προβλήματος προκύπτει για τη γενική, τρισδιάστατη περίπτωση:

	$\displaystyle\sigma_{1}$	$\displaystyle=\dfrac{I_{1}}{3}+\dfrac{2}{3}\left(\sqrt{I^{2}_{1}-3I_{2}}\right)\cos\phi$		(1.38)
	$\displaystyle\sigma_{2}$	$\displaystyle=\dfrac{I_{1}}{3}+\dfrac{2}{3}\left(\sqrt{I^{2}_{1}-3I_{2}}\right)\cos\left(\phi+\dfrac{2\pi}{3}\right)$		(1.39)
	$\displaystyle\sigma_{3}$	$\displaystyle=\dfrac{I_{1}}{3}+\dfrac{2}{3}\left(\sqrt{I^{2}_{1}-3I_{2}}\right)\cos\left(\phi+\dfrac{4\pi}{3}\right)$		(1.40)

όπου

$$\phi=\cfrac{1}{3}\cos^{-1}\left(\frac{2I_{1}^{3}-9I_{1}I_{2}+27I_{3}}{2(I_{1}^{2}-3I_{2})^{3/2}}\right)$$

(1.41)

Αντίστοιχα για την περίπτωση δισδιάστατου προβλήματος, προκύπτει:

	$\displaystyle\sigma_{1}$	$\displaystyle=\frac{\sigma_{11}+\sigma_{22}}{2}+\sqrt{\left(\frac{\sigma_{11}-\sigma_{22}}{2}\right)^{2}+\sigma_{12}^{2}}$		(1.42)
	$\displaystyle\sigma_{2}$	$\displaystyle=\frac{\sigma_{11}+\sigma_{22}}{2}-\sqrt{\left(\frac{\sigma_{11}-\sigma_{22}}{2}\right)^{2}+\sigma_{12}^{2}}$		(1.43)

Η χαρακτηριστική εξίσωση για τον εκτροπικό τανυστή των τάσεων αντίστοιχα είναι:

$$\left|s_{ij}-\lambda\delta_{ij}\right|=\lambda^{3}-J_{1}\lambda^{2}-J_{2}\lambda-J_{3}=0$$

(1.44)

όπου $J_{1}$, $J_{2}$ και $J_{3}$ είναι η πρώτη, η δεύτερη και η τρίτη αναλλοίωτη αντίστοιχα.

	$\displaystyle J_{1}$	$\displaystyle=s_{kk}=0,$		(1.45)
	$\displaystyle J_{2}$	$\displaystyle=\textstyle{\dfrac{1}{2}}s_{ij}s_{ji}$		(1.46)
		$\displaystyle=\dfrac{1}{2}\text{tr}(\boldsymbol{s}^{2})$		(1.47)
		$\displaystyle=\dfrac{1}{2}(s_{1}^{2}+s_{2}^{2}+s_{3}^{2})$		(1.48)
		$\displaystyle=\dfrac{1}{6}\left[(\sigma_{11}-\sigma_{22})^{2}+(\sigma_{22}-\sigma_{33})^{2}+(\sigma_{33}-\sigma_{11})^{2}\right]+\sigma_{12}^{2}+\sigma_{23}^{2}+\sigma_{31}^{2}$		(1.49)
		$\displaystyle=\dfrac{1}{6}\left[(\sigma_{1}-\sigma_{2})^{2}+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^{2}+(\sigma_{3}-\sigma_{1})^{2}\right]$		(1.50)
		$\displaystyle=\dfrac{1}{3}I_{1}^{2}-I_{2}$		(1.51)
		$\displaystyle=\dfrac{1}{2}\left[\text{tr}(\boldsymbol{\sigma}^{2})-\frac{1}{3}\text{tr}(\boldsymbol{\sigma})^{2}\right],$		(1.52)
	$\displaystyle J_{3}$	$\displaystyle=\det(s_{ij})$		(1.53)
		$\displaystyle=\dfrac{1}{3}s_{ij}s_{jk}s_{ki}$		(1.54)
		$\displaystyle=\dfrac{1}{3}\text{tr}(\boldsymbol{s}^{3})$		(1.55)
		$\displaystyle=s_{1}s_{2}s_{3}$		(1.56)
		$\displaystyle=\dfrac{2}{27}I_{1}^{3}-\dfrac{1}{3}I_{1}I_{2}+I_{3}$		(1.57)
		$\displaystyle=\dfrac{1}{3}\left[\text{tr}(\boldsymbol{\sigma}^{3})-\text{tr}(\boldsymbol{\sigma}^{2})\text{tr}(\boldsymbol{\sigma})+\dfrac{2}{9}\text{tr}(\boldsymbol{\sigma})^{3}\right].$		(1.58)

Ο κύκλος του Mohr, όπως ονομάστηκε προς τιμήν του Christian Otto Mohr, αποτελεί μια δισδιάστατη γραφική απεικόνιση του μετασχηματισμού του τανυστή των τάσεων του Cauchy [5] (βλ. π.χ. τον κύκλο του Mohr για μια τρισδιάστατη εντατική κατάσταση στο Σχήμα 1.7).

Από την ισορροπία των δυνάμεων, η ορθή τάση $\sigma_{\mathrm{n}}$ και η αντίστοιχη διατμητική $\tau_{\mathrm{n}}$ προκύπτουν ως:

	$\displaystyle\sigma_{n}$	$\displaystyle=\dfrac{1}{2}(\sigma_{x}+\sigma_{y})+\dfrac{1}{2}(\sigma_{x}-\sigma_{y})\cos 2\theta+\tau_{xy}\sin 2\theta$		(1.59)
	$\displaystyle\tau_{n}$	$\displaystyle=-\frac{1}{2}(\sigma_{x}-\sigma_{y})\sin 2\theta+\tau_{xy}\cos 2\theta$		(1.60)

Στη γενική του μορφή ο Νόμος του Hooke [10] δίνεται ως:

$$\sigma_{ij}=C_{ijkl}\varepsilon_{kl}$$

(1.75)

όπου $\sigma_{ij}$ και $\varepsilon_{kl}$ είναι τανυστές δεύτερης τάξης και $C_{ijkl}$ ένας τανυστής τέταρτης τάξης.

Λόγω της συμμετρίας του τανυστή των τάσεων του Cauchy,

$$\sigma_{ij}=\sigma_{ji}$$

(1.76)

μπορεί να αποδειχτεί ότι:

$$C_{ijkl}=C_{jikl}.$$

(1.77)

Παρομοίως, λόγω της συμμετρίας του τανυστή των ανηγμένων παραμορφώσεων,

$$\varepsilon_{kl}=\varepsilon_{lk}$$

(1.78)

ισχύει:

$$C_{ijkl}=C_{ijlk}.$$

(1.79)

Επομένως ο αριθμός των σταθερών που περιγράφουν των τανυστή $C_{ijkl}$ μειώνεται από 81 σε 36. Σε μητρωική μορφή (σύμβαση Voigt) ο Νόμος του Hooke πλέον μπορεί να γραφτεί ως:

$$\mathbf{C}=\left[\begin{array}[]{cccccc}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\ C_{21}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\ C_{31}&C_{32}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\ C_{41}&C_{42}&C_{43}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\ C_{51}&C_{52}&C_{53}&C_{54}&C_{55}&C_{56}\\ C_{61}&C_{62}&C_{63}&C_{64}&C_{65}&C_{66}\end{array}\right]$$

(1.80)

Αν τώρα θεωρήσουμε ένα υπερελαστικό υλικό, τότε οι τάσεις θεωρούνται ότι προκύπτουν από μια συνάρτηση δυναμικού $\mathcal{W}$ ως εξής:

$$\sigma_{ij}=\dfrac{\partial\mathcal{W}}{\partial\varepsilon_{ij}}$$

(1.81)

Η παραπάνω εξίσωση οδηγεί στον ακόλουθο ορισμό για τον τανυστή ελαστικότητας:

$$C_{ijkl}=\dfrac{\partial^{2}\mathcal{W}}{\partial\epsilon_{ij}\partial\varepsilon_{kl}}.$$

(1.82)

Επειδή δεν έχει σημασία η σειρά των παραγωγίσεων, προκύπτει επιπλέον ότι ισχύει:

$$C_{ijkl}=C_{lkij}.$$

(1.83)

Επομένως ο αριθμός των σταθερών που περιγράφουν τον τανυστή $C_{ijkl}$ μειώνεται από 36 σε 21. Σε μητρωική μορφή μπορούμε τώρα να γράψουμε:

$$\mathbf{C}=\left[\begin{array}[]{cccccc}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\ C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\ C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\ C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\ C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\ C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{array}\right]$$

(1.84)

Ο μετασχηματισμός του τανυστή $C_{ijkl}$ ακολουθεί τους κανόνες μετασχηματισμού των τανυστών τετάρτης τάξης [1]. Πιο συγκεκριμένα, ορίζεται το μητρώο μετασχηματισμού $\mathbf{T}$ ως:

$$\mathbf{T}:=\left[\begin{array}[]{ccc|ccc}r_{11}^{2}&r_{12}^{2}&r_{13}^{2}&2r_{12}r_{13}&2r_{13}r_{11}&2r_{11}r_{12}\\ r_{21}^{2}&r_{22}^{2}&r_{23}^{2}&2r_{22}r_{23}&2r_{23}r_{21}&2r_{21}r_{22}\\ r_{31}^{2}&r_{32}^{2}&r_{33}^{2}&2r_{32}r_{33}&2r_{33}r_{31}&2r_{31}r_{32}\\ \hline r_{21}r_{31}&r_{22}r_{32}&r_{23}r_{33}&r_{22}r_{33}+r_{23}r_{32}&r_{23}r_{31}+r_{21}r_{33}&r_{21}r_{32}+r_{22}r_{31}\\ r_{31}r_{11}&r_{32}r_{12}&r_{33}r_{13}&r_{32}r_{13}+r_{33}r_{12}&r_{33}r_{11}+r_{31}r_{13}&r_{31}r_{12}+r_{32}r_{11}\\ r_{11}r_{21}&r_{12}r_{22}&r_{13}r_{23}&r_{12}r_{23}+r_{13}r_{22}&r_{13}r_{21}+r_{11}r_{23}&r_{11}r_{22}+r_{12}r_{21}\end{array}\right]$$

(1.85)

Στο παραπάνω πίνακα $\mathbf{T}$, το $r_{ij}$ συμβολίζει το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ του αρχικού $i-$ συστήματος συντεταγμένων και του τελικού $j-$ συστήματος συντεταγμένων.

$$r_{ij}=\cos(\bar{x}_{i},x_{j})$$

(1.86)

Σημειώνεται ότι, λόγω της ορθοκανονικότητας των συνημίτονων κατεύθυνσης, ισχύει:

$$r_{ij}r_{ik}=\delta_{jk}$$

(1.87)

όπου το $\delta_{ij}$ ονομάζεται και δέλτα του Kronecker.

Βάσει των παραπάνω θα οριστούν στη συνέχεια τα εγκαρσίως ισότροπα και τα ορθότροπα ελαστικά υλικά, που εμφανίζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον στη γεωτεχνική μηχανική.

Μια πρώτη ειδική περίπτωση ενός ανισότροπου υλικού είναι αυτή κατά την οποία το υλικό περιέχει ένα επίπεδο ισοτροπίας, όπως συχνά παρατηρείται στην περίπτωση ιζηματογενών πετρωμάτων. Κάθε στρώση έχει περίπου τις ίδιες ελαστικές ιδιότητες εντός του επιπέδου της αλλά οι ιδιότητες του υλικού διαφοροποιούνται με το βάθος. Το επίπεδο κάθε στρώσης αποτελεί το επίπεδο ισοτροπίας και ο κάθετος σε αυτό άξονας τον αντίστοιχο άξονα συμμετρίας [3]. Άλλες περιπτώσεις εγκαρσίως ισότροπων ελαστικών υλικών δίνονται στο Σχήμα 1.9.

Αυτή η παραδοχή έχει ως αποτέλεσμα να μπορούμε να περιστρέψουμε το στερεό σώμα γύρω από έναν άξονα συμμετρίας, ο οποίος ορίζεται ως ο κάθετος άξονας στο ισότροπο επίπεδο, χωρίς να μεταβάλλεται η ελαστική συμπεριφορά του υλικού.

Στη συνέχεια περιγράφεται η διαδικασία εύρεσης του ελαστικού μητρώου για τα εγκαρσίως ισότροπα ελαστικά υλικά, θεωρώντας ότι ο άξονας $\boldsymbol{e}_{3}$ (βλ. Σχήμα 1.10) είναι ο άξονας συμμετρίας, δηλαδή κάθετος στο επίπεδο ισοτροπίας του υλικού.