Η απόκλιση της συνάρτησης δυναμικού $\phi$ είναι ένα διάνυσμα $\boldsymbol{g}=\nabla\phi$, το οποίο, για την περίπτωση της δισδιάστατης ροής που εξετάζεται, δίνεται αναλυτικά ως:

$$\left[\begin{array}[]{c}g_{x}\\ g_{y}\\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}[]{c}\dfrac{\partial\phi}{\partial x}\\ \dfrac{\partial\phi}{\partial y}\\ \end{array}\right].$$

(2.15)

Το διάνυσμα της ροής $\boldsymbol{q}$ δίνεται από τον καταστατικό νόμο

$$\boldsymbol{q}=-k\boldsymbol{g}=-k\nabla\phi,$$

(2.16)

ή αναλυτικά

$$\left[\begin{array}[]{c}q_{x}\\ q_{y}\\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}[]{c}-k\dfrac{\partial\phi}{\partial x}\\ -k\dfrac{\partial\phi}{\partial y}\\ \end{array}\right],$$

(2.17)

ο οποίος αποτελεί έκφραση του νόμου του Darcy για ένα ισότροπο μέσο.

Η ροή ως προς μία κατεύθυνση $d$ που ορίζεται από το μοναδιαίο διάνυσμα $\boldsymbol{d}$ δίνεται ως:

$$q_{d}=\boldsymbol{q}\cdot\boldsymbol{d}=\boldsymbol{q}^{T}\boldsymbol{d}=q_{x}d_{x}+q_{y}d_{y}$$

(2.18)

Η ροή $q_{d}$ είναι ένα βαθμωτό μέγεθος και χαρακτηρίζει τη μεταφορά του ρευστού προς τη δεδομένη κατεύθυνση.

Στην ειδική περίπτωση που το διάνυσμα $\boldsymbol{d}$ είναι το κάθετο διάνυσμα $\boldsymbol{n}$ στο σύνορο $\Gamma_{q}$, τότε γράφεται:

$$q_{n}=\boldsymbol{q}\cdot\boldsymbol{n}=\boldsymbol{q}^{T}\boldsymbol{n}=q_{x}n_{x}+q_{y}n_{y}$$

(2.19)

Τέλος, η εξίσωση ισορροπίας, όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, δίνεται ως:

$$\dfrac{\partial q_{x}}{\partial x}+\dfrac{\partial q_{y}}{\partial y}+s=0,$$

(2.20)

ή

$$\nabla\cdot q+s=0.$$

(2.21)

Οι εξισώσεις (2.15), (2.16) και (2.21), που ονομάζονται και κινηματική εξίσωση, καταστατική εξίσωση και εξίσωση ισορροπίας αντίστοιχα, αποτελούν τις εξισώσεις πεδίου του προβλήματος Poisson.

Οι τυπικές συνοριακές συνθήκες για το πρόβλημα Poisson ανήκουν σε μία από τις επόμενες κατηγορίες:

1. 1.

   Η τιμή της συνάρτησης του δυναμικού $\phi$ είναι γνωστή και ίση με $\hat{\phi}$ σε ένα τμήμα $\Gamma_{\phi}$ του συνόρου $\Gamma$, δηλαδή

   $$\phi=\hat{\phi}\quad\text{στο}\quad\Gamma_{\phi}.$$

   (2.22)

2. 2.

   Η ροή $q_{n}$ κάθετα στο υπόλοιπο τμήμα του συνόρου $\Gamma$, που συμβολίζεται με $\Gamma_{q}$, είναι γνωστή, είναι δηλαδή γνωστό το διάνυσμα:

   $$q_{n}=\boldsymbol{q}\cdot\boldsymbol{n}=-k\dfrac{\partial\phi}{\partial n}=\hat{q}\quad\text{στο}\quad\Gamma_{q}.$$

   (2.23)

Η κινηματική εξίσωση (2.15), η καταστατική εξίσωση (2.16), η εξίσωση ισορροπίας (2.21) και οι συνοριακές συνθήκες (2.22) και (2.23) αποτελούν τις εξισώσεις που περιγράφουν το μαθηματικό προσομοίωμα του φυσικού προβλήματος. Το συγκεκριμένο πρόβλημα, όπως διατυπώνεται μέσω του μαθηματικού του προσομοιώματος, ανήκει σε μια κατηγορία προβλημάτων που ονομάζονται προβλήματα συνοριακών τιμών.

Συνοψίζοντας τα παραπάνω, θεωρείται χρήσιμο να διατυπωθούν οι εξισώσεις του προβλήματος με διαφορετικούς συμβολισμούς, όπως συχνά συναντώνται στη βιβλιογραφία [3].

1. 1.

   Σε μορφή πινάκων/διανυσμάτων:

   $$\boxed@math{\begin{array}[]{lcr}\text{Κινηματική εξίσωση:}&\nabla\phi=\boldsymbol{g}&\text{στο }V,\\ \text{Καταστατικός νόμος:}&-k\boldsymbol{g}=\boldsymbol{q}&\text{στο }V,\\ \text{Εξίσωση ισορροπίας:}&\nabla\cdot\boldsymbol{q}+s=0&\text{στο }V,\\ \text{Συνοριακές συνθήκες:}&\phi=\hat{\phi}&\text{στο }S_{\phi},\\ \text{Συνοριακές συνθήκες:}&\boldsymbol{q}\cdot\boldsymbol{n}=\hat{q}&\text{στο }S_{q}.\\ \end{array}}$$

   (2.24)

   Ή ισοδύναμα:

   $$\boxed@math{\begin{array}[]{lcr}\text{Κινηματική εξίσωση:}&\boldsymbol{grad}\,\phi=\boldsymbol{g}&\text{στο }V,\\ \text{Καταστατικός νόμος:}&-k\boldsymbol{g}=\boldsymbol{q}&\text{στο }V,\\ \text{Εξίσωση ισορροπίας:}&\boldsymbol{div}\,\boldsymbol{q}+s=0&\text{στο }V,\\ \text{Συνοριακές συνθήκες:}&\phi=\hat{\phi}&\text{στο }S_{\phi},\\ \text{Συνοριακές συνθήκες:}&\boldsymbol{q}\cdot\boldsymbol{n}=\hat{q}&\text{στο }S_{q}.\\ \end{array}}$$

   (2.25)

2. 2.

   Σε μορφή δεικτών:

   $$\boxed@math{\begin{array}[]{lcr}\text{Κινηματική εξίσωση:}&\phi_{,i}=g_{i}&\text{στο }V,\\ \text{Καταστατικός νόμος:}&-kg_{i}=q_{i}&\text{στο }V,\\ \text{Εξίσωση ισορροπίας:}&q_{i,i}+s=0&\text{στο }V,\\ \text{Συνοριακές συνθήκες:}&\phi=\hat{\phi}&\text{στο }S_{\phi},\\ \text{Συνοριακές συνθήκες:}&q_{i}n_{i}=\hat{q}&\text{στο }S_{q}.\\ \end{array}}$$

   (2.26)

3. 3.

   Και τέλος σε πλήρη μορφή:

   $$\boxed@math{\begin{array}[]{lcr}\text{Κινηματική εξίσωση:}&\dfrac{\partial\phi}{\partial x}=g_{x},\,\dfrac{\partial\phi}{\partial y}=g_{y},&\text{στο }V,\\ \text{Καταστατικός νόμος:}&-kg_{x}=q_{x},\,-kg_{y}=q_{y}&\text{στο }V,\\ \text{Εξίσωση ισορροπίας:}&\dfrac{\partial q_{x}}{\partial x}+\dfrac{\partial q_{x}}{\partial x}+s=0&\text{στο }V,\\ \text{Συνοριακές συνθήκες:}&\phi=\hat{\phi}&\text{στο }S_{\phi},\\ \text{Συνοριακές συνθήκες:}&q_{x}n_{x}+q_{y}n_{y}=\hat{q}&\text{στο }S_{q}.\\ \end{array}}$$

   (2.27)

Αρχικά ας εξετάσουμε τις προσεγγίσεις των συναρτήσεων στο πλαίσιο της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων. Έστω $f$ η συνάρτηση (συνεχής γραμμή) του Σχήματος 2.3 η οποία είναι συνεχής στο διάστημα $[0,1]$. Αν είναι γνωστές οι τιμές της συνάρτησης στα σημεία $x_{1}\ldots x_{5}$ που ισαπέχουν μεταξύ τους, τότε μπορούμε να προσεγγίσουμε την αρχική συνάρτηση $f$ με την $f^{h}$ (διακεκομμένη γραμμή). Η προσεγγιστική συνάρτηση $f^{h}$ εμφανίζει τα ακόλουθα χαρακτηριστικά:

1. 1.

   Είναι γραμμική κατά τμήματα.

2. 2.

   Οι τιμές της προσεγγιστικής συνάρτησης $f^{h}$ ταυτίζονται με τις τιμές της άγνωστης συνεχούς συνάρτησης $f$ στα σημεία $x_{1}\ldots x_{5}$.

3. 3.

   Εντός των επιμέρους τμημάτων που ορίζονται από τα σημεία $x_{1}\ldots x_{5}$ η $f^{h}$ αποτελεί μία γραμμική προσέγγιση της άγνωστης συνάρτησης $f$.

Αν τώρα η $f^{h}$ περιοριστεί σε ένα μόνο τμήμα, έστω $e$, τότε μπορούμε να ορίσουμε την αντίστοιχη γραμμική συνάρτηση $f^{e}$ ως:

$$f^{e}=ax+b$$

(2.41)

Τα $a$ και $b$ μπορεί να είναι διαφορετικά σε καθένα από τα πέντε τμήματα στα οποία υποδιαιρείται το διάστημα $[0,1]$ αλλά είναι σταθερά εντός των αντίστοιχων τμημάτων.

Στο Σχήμα 2.3 θεωρήσαμε 6 σημεία $x_{0}\ldots x_{5}$ τα οποία ισαπέχουν μεταξύ τους και ορίζουν τα αντίστοιχα 5 ίσα τμήματα. Γνωρίζουμε ότι στα άκρα του διαστήματος ($x_{0}=0$ και $x_{5}=1$) ισχύει ότι $f(x)=0$ ενώ στα ενδιάμεσα σημεία $f(x)\neq 0$.

Ορίζουμε τώρα τέσσερις συναρτήσεις $N_{i}$, $i=1\ldots 4$ για τα ενδιάμεσα σημεία ($x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, $x_{4}$), τα οποία στη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων αποκαλούνται κόμβοι. Αντίστοιχα, τα τμήματα μεταξύ των σημείων $i$ και $i+1$ θα τα ονομάζουμε στη συνέχεια στοιχεία, όπως αναφέρθηκε και προηγουμένως.

Ένα χαρακτηριστικό των συναρτήσεων που θέλουμε να έχουν οι συναρτήσεις $N_{i}$ που ορίζουμε περιγράφεται από την ακόλουθη εξίσωση:

$$N_{i}(x_{j})=\delta_{ij}$$

(2.42)

όπου $\delta_{ij}$ το Δέλτα του Kronecker, για το οποίο ισχύει:

$$\delta_{ij}=\left\{\begin{array}[]{cc}1&\text{αν}\;i=j\\ 0&\text{αλλιώς.}\\ \end{array}\right.$$

(2.43)

Θέλουμε δηλαδή για τις συναρτήσεις $N_{i}$ να είναι ίσες με τη μονάδα μόνο στον αντίστοιχο κόμβο $i$ που αναφέρονται και μηδέν σε όλους τους υπόλοιπους. Π.χ. για τη συνάρτηση $N_{3}$ που αντιστοιχεί στον κόμβο $x_{3}$ θέλουμε να ισχύει:

$$N_{3}=\left\{\begin{array}[]{cc}1&\text{αν}\;x=x_{3}\\ 0&\text{αλλιώς.}\\ \end{array}\right.$$

(2.44)

Από τα παραπάνω προκύπτει και ένα άλλο κύριο χαρακτηριστικό της γραμμικής συνάρτησης $N_{i}$, ότι δηλαδή η $N_{i}$ είναι μη μηδενική μόνο στα τμήματα $i$ και $i+1$, στα τμήματα δηλαδή που έχουν κοινό τον κόμβο $i$.

Οι συναρτήσεις $N_{i}$, όπως περιγράφηκαν παραπάνω, δίνονται στο Σχήμα 2.4.

Τώρα που έχουν οριστεί οι συναρτήσεις $N_{i}$, ας δοκιμάσουμε να προσεγγίσουμε την αρχική συνάρτηση $f$. Παρατηρώντας το Σχήμα 2.4, διακρίνουμε ότι σε κάθε τμήμα στοιχείο αντιστοιχούν δύο συναρτήσεις $N$. Πιο συγκεκριμένα, για το στοιχείο $i$ ($Ε_{i}$ στο Σχήμα 2.4), έχουμε τις συναρτήσεις $N_{i}$ και $N_{i-1}$. Οι δύο αυτές συναρτήσεις μπορούν να παραστήσουν κάθε γραμμική συνάρτηση εντός του στοιχείου $i$.

Η γραμμική προσέγγιση μπορεί να γραφτεί ως ο γραμμικός συνδυασμός των συναρτήσεων $N_{i}$ ως εξής:

$$f^{h}(x)=\sum_{i=0}^{5}f_{i}N_{i}(x)$$

(2.45)

Για τα σημεία $x_{i}$, προκύπτει από την παραπάνω σχέση:

$$f^{h}(x_{i})=\sum_{j=0}^{5}f_{j}N_{j}(x_{i})$$

(2.46)

Εισάγοντας τις (2.42) και (2.43) προκύπτει:

$$f^{h}(x_{i})=\sum_{j=0}^{5}f_{j}\delta_{ij}=f_{j}$$

(2.47)

Από την παραπάνω εξίσωση συμπεραίνεται ότι η τιμή της προσεγγιστικής συνάρτησης $f^{h}$ στους κόμβους με συντεταγμένες $x_{i}$, όπου $i=0,\ldots,5$, ισούται με την τιμή του συντελεστή $f_{i}$ (σημειώνεται ότι $f_{0}=0$ και $f_{5}=0$).

Αν γνωρίζουμε τις τιμές των συντελεστών $f_{i}$ στους κόμβους $x_{i}$, τότε μπορούμε να προσεγγίσουμε με την $f^{h}$ την $f$.

Επιστρέφουμε τώρα στην ασθενή διατύπωση του προβλήματος (2.40), δηλαδή,

$$G(w,\phi)=-\int_{\Omega}\nabla wk\nabla\phi d\Omega+\int_{\Gamma_{q}}w\hat{q}d\Omega-\int_{\Omega}wsd\Omega=0.$$

(2.48)

Σύμφωνα με τα όσα αναφέρθηκαν στην προηγούμενη ενότητα, χωρίζουμε την περιοχή του προβλήματος $\Omega$ σε υποπεριοχές (στοιχεία) ως:

$$\Omega\approx\Omega^{h}=\sum_{e=1}^{n_{el}}\Omega_{e}$$

(2.49)

όπου $\Omega^{h}$ είναι η περιοχή στην οποία αναζητούμε την προσεγγιστική λύση της συνάρτησης του δυναμικού $\phi$ την οποία υποδιαιρούμε σε έναν αριθμό $n_{el}$ πεπερασμένων στοιχείων. $\Omega_{e}$ είναι η επιμέρους περιοχή που καταλαμβάνει το στοιχείο $e$.

Τα ολοκληρώματα επί των στοιχείων μπορούν να αθροιστούν, επομένως μπορούμε να γράψουμε:

$$\int_{\Omega}(\bullet)d\Omega\approx\int_{\Omega^{h}}(\bullet)d\Omega=\sum_{e=1}^{n_{el}}\int_{\Omega_{e}}(\bullet)d\Omega_{e}$$

(2.50)

Η ασθενής μορφή του προβλήματος μπορεί να επαναδιατυπωθεί προσεγγιστικά τώρα ως:

$$G(\boldsymbol{w},\phi)\approx G^{h}=-\sum_{e=1}^{n_{el}}\int_{\Omega_{e}}\nabla\boldsymbol{w}k\nabla\phi d\Omega_{e}+\sum_{e=1}^{n_{el}}\int_{\Gamma_{eq}}\boldsymbol{w}\hat{q}d\Gamma_{eq}-\sum_{e=1}^{n_{el}}\int_{\Omega_{e}}\boldsymbol{w}sd\Omega_{e}=0.$$

(2.51)

Για να είναι σωστά ορισμένο το παραπάνω πρόβλημα, τα ολοκληρώματα $\int_{\Gamma_{eq}}\boldsymbol{w}\hat{q}d\Gamma_{eq}$ μεταξύ δύο γειτονικών στοιχείων θα πρέπει να αλληλοακυρώνονται. Αυτό συμβαίνει όταν οι συναρτήσεις $\phi$ και $\boldsymbol{w}$ είναι συνεχείς στην εξεταζόμενη περιοχή $\Omega$.

Στο σημείο αυτό σημειώνεται ότι δεν τίθεται κάποιος περιορισμός για τις παραγώγους των $\phi$ και $\boldsymbol{w}$, οι οποίες μπορεί να είναι και ασυνεχείς στο $\Omega$. Οι συναρτήσεις που είναι συνεχείς σε ένα διάστημα αλλά έχουν ασυνεχείς παραγώγους ονομάζονται $C^{0}$ συναρτήσεις.

Τώρα θεωρούμε τις συναρτήσεις $N_{i}$ με τις οποίες προσπαθούμε να προσεγγίσουμε την άγνωστη συνάρτηση δυναμικού $\phi$. Σύμφωνα με τα όσα προαναφέρθηκαν:

$$\phi\approx\phi^{h}=\sum_{e=1}^{n_{el}}N_{i}\phi_{i}=\boldsymbol{N}\bar{\boldsymbol{\phi}}$$

(2.52)

Αντικαθιστώντας στην παραπάνω σχέση, προκύπτει:

	$\displaystyle G(\boldsymbol{w},\phi)\approx G^{h}$	$\displaystyle=-\sum_{e=1}^{n_{el}}\int_{\Omega_{e}}\nabla\boldsymbol{w}k\underline{\nabla\phi}d\Omega_{e}+\sum_{e=1}^{n_{el}}\int_{\Gamma_{eq}}\boldsymbol{w}\hat{q}d\Gamma_{eq}-\sum_{e=1}^{n_{el}}\int_{\Omega_{e}}\boldsymbol{w}sd\Omega_{e}=0$		(2.53)
		$\displaystyle=-\sum_{e=1}^{n_{el}}\int_{\Omega_{e}}\nabla\boldsymbol{w}k\underline{\nabla\boldsymbol{N}\bar{\boldsymbol{\phi}}}d\Omega_{e}+\sum_{e=1}^{n_{el}}\int_{\Gamma_{eq}}\boldsymbol{w}\hat{q}d\Gamma_{eq}-\sum_{e=1}^{n_{el}}\int_{\Omega_{e}}\boldsymbol{w}sd\Omega_{e}=0.$		(2.54)

Και εφόσον οι τιμές $\bar{\boldsymbol{\phi}}$ είναι σταθερές, η παραπάνω σχέση γράφεται ως:

$$G^{h}=-\sum_{e=1}^{n_{el}}\int_{\Omega_{e}}\nabla\boldsymbol{w}k\nabla\boldsymbol{N}d\Omega_{e}\bar{\boldsymbol{\phi}}+\sum_{e=1}^{n_{el}}\int_{\Gamma_{eq}}\boldsymbol{w}\hat{q}d\Gamma_{eq}-\sum_{e=1}^{n_{el}}\int_{\Omega_{e}}\boldsymbol{w}sd\Omega_{e}=0.$$

(2.55)

Έστω η περιοχή $\Omega$ του Σχήματος 2.6 με σύνορο $\Gamma$, το οποίο αποτελείται από το $\Gamma_{u}$, στο οποίο είναι γνωστές οι μετακινήσεις, και το $\Gamma_{\sigma}$, στο οποίο είναι γνωστές οι τάσεις, με $\Gamma=\Gamma_{u}\cup\Gamma_{\sigma}$.

Από τη θεωρία της δισδιάστατης ελαστικότητας γνωρίζουμε ότι ισχύουν οι εξής τρεις ομάδες εξισώσεων πεδίου:

1. 1.

   Εξισώσεις ισορροπίας.

   	$\displaystyle\dfrac{\partial\sigma_{x}}{\partial x}+\dfrac{\partial\tau_{xy}}{\partial y}+\bar{p}_{x}$	$\displaystyle=$	$\displaystyle 0,$		(2.90)
   	$\displaystyle\dfrac{\partial\tau_{xy}}{\partial x}+\dfrac{\partial\sigma_{y}}{\partial y}+\bar{p}_{y}$	$\displaystyle=$	$\displaystyle 0,$		(2.91)

   όπου $\bar{p}_{x}$, $\bar{p}_{y}$ είναι οι μαζικές δυνάμεις (π.χ. το βάρος) ανά μονάδα όγκου. Σε μητρωική μορφή, η παραπάνω εξίσωση γράφεται:

   	$\displaystyle\left[\begin{array}[]{ccc}\dfrac{\partial}{\partial x}&0&\dfrac{\partial}{\partial y}\\ 0&\dfrac{\partial}{\partial y}&\dfrac{\partial}{\partial x}\\ \end{array}\right]\left\{\begin{array}[]{c}\sigma_{x}\\ \sigma_{y}\\ \tau_{xy}\\ \end{array}\right\}+\left\{\begin{array}[]{c}\bar{p}_{x}\\ \bar{p}_{y}\\ \end{array}\right\}$	$\displaystyle=$	$\displaystyle 0,$		(2.92)
   	$\displaystyle\mathbf{L}^{T}\boldsymbol{\sigma}+\boldsymbol{\bar{p}}$	$\displaystyle=$	$\displaystyle 0.$		(2.93)

2. 2.

   Ο καταστατικός νόμος (σχέσεις τάσεων-παραμορφώσεων).

   	$\displaystyle\left\{\begin{array}[]{c}\sigma_{x}\\ \sigma_{y}\\ \tau_{xy}\\ \end{array}\right\}$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\mathbf{C}\left\{\begin{array}[]{c}\varepsilon_{x}\\ \varepsilon_{x}\\ \gamma_{xy}\\ \end{array}\right\},$		(2.94)
   	$\displaystyle\boldsymbol{\sigma}$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\mathbf{C}\boldsymbol{\varepsilon}$		(2.95)

   όπου $\mathbf{C}$ το μητρώο υλικού, διαφορετικό για τις περιπτώσεις επίπεδης έντασης, επίπεδης παραμόρφωσης και αξονοσυμμετρίας.

3. 3.

   Οι κινηματικές εξισώσεις (σχέσεις παραμορφώσεων-μετακινήσεων).

   	$\displaystyle\varepsilon_{x}$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\dfrac{\partial u_{x}}{\partial x},$		(2.96)
   	$\displaystyle\varepsilon_{y}$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\dfrac{\partial u_{y}}{\partial y},$		(2.97)
   	$\displaystyle\varepsilon_{xy}$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial u_{y}}{\partial x}+\dfrac{\partial u_{x}}{\partial y}\right).$		(2.98)

   Σε μητρωική μορφή, οι παραπάνω εξισώσεις γράφονται:

   	$\displaystyle\left\{\begin{array}[]{c}\varepsilon_{x}\\ \varepsilon_{y}\\ \gamma_{xy}\\ \end{array}\right\}=\left\{\begin{array}[]{c}\varepsilon_{x}\\ \varepsilon_{y}\\ 2\varepsilon_{xy}\\ \end{array}\right\}$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\left[\begin{array}[]{cc}\dfrac{\partial}{\partial x}&0\\ 0&\dfrac{\partial}{\partial y}\\ \dfrac{\partial}{\partial y}&\dfrac{\partial}{\partial x}\\ \end{array}\right]\left\{\begin{array}[]{c}u_{x}\\ u_{y}\\ \end{array}\right\},$		(2.99)
   	$\displaystyle\boldsymbol{\varepsilon}$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\mathbf{L}\boldsymbol{u}$		(2.100)

Οι εξισώσεις (2.93), (2.95) και (2.100) μαζί με τις συνοριακές συνθήκες στο $\Gamma_{\sigma}$,

$$\boldsymbol{\sigma}^{T}\hat{\boldsymbol{n}}=\bar{\boldsymbol{P}},\quad\hat{\boldsymbol{n}}\text{ διάνυσμα κάθετο στο σύνορο},$$

(2.101)

και στο $\Gamma_{u}$,

$$\boldsymbol{u}=\bar{\boldsymbol{u}},$$

(2.102)

αποτελούν το γνωστό πρόβλημα συνοριακών τιμών, το οποίο αντίστοιχα σε μητρωική μορφή μπορεί να διατυπωθεί ως εξής:

$$\left.\begin{array}[]{c}\mathbf{L}^{T}\boldsymbol{\sigma}+\boldsymbol{\bar{p}}=0\\ \boldsymbol{\sigma}=\mathbf{C}\boldsymbol{\varepsilon}\\ \boldsymbol{\varepsilon}=\mathbf{L}\boldsymbol{u}\\ \end{array}\right\}\;\text{στο}\;\Omega\quad\quad\left.\begin{array}[]{c}\boldsymbol{\sigma}^{T}\boldsymbol{n}=\bar{\boldsymbol{P}},\quad\text{στο}\;\Gamma_{\sigma}\\ \boldsymbol{u}=\bar{\boldsymbol{u}}\quad\text{στο}\;\Gamma_{u}\\ \end{array}\right.$$

(2.103)

Η δυναμική ενέργεια $\Pi(\boldsymbol{\varepsilon},\boldsymbol{u})$ δίνεται ως η διαφορά της εσωτερικής ενέργειας $\Pi^{int}$ μείον το έργο των εξωτερικών δυνάμεων που δρουν στο σώμα $\Pi^{ext}$.

$$\Pi=\Pi^{int}-\Pi^{ext}$$

(2.104)

Όπου:

	$\displaystyle\Pi^{int}$	$\displaystyle=\int_{\Omega}\dfrac{1}{2}\boldsymbol{\sigma}^{T}\boldsymbol{\varepsilon}d\Omega=\int_{\Omega}\dfrac{1}{2}\boldsymbol{\varepsilon}^{T}\mathbf{C}\boldsymbol{\varepsilon}d\Omega$		(2.105)
	$\displaystyle\Pi^{ext}$	$\displaystyle=\int_{\Omega}\boldsymbol{u}^{T}\bar{\boldsymbol{p}}d\Omega+\int_{\Gamma_{\sigma}}\boldsymbol{u}^{T}\bar{\boldsymbol{P}}d\Gamma_{\sigma}$		(2.106)

Σύμφωνα με την αρχή της ελάχιστης δυναμικής ενέργειας, η δυναμική ενέργεια $\Pi$ θα πρέπει να είναι η ελάχιστη (εφόσον το μητρώο $\mathbf{C}$ είναι θετικά ορισμένο). Το ελάχιστο βρίσκεται εκεί που το διαφορικό της (2.104) ισούται με το μηδέν, δηλαδή:

$$\delta\Pi=\delta\Pi^{int}-\delta\Pi^{ext}=0$$

(2.107)

Διαφορίζοντας επομένως τις (2.105) και (2.106) ως προς $\boldsymbol{u}$, προκύπτει:

$$\int_{\Omega}\delta\boldsymbol{\varepsilon}^{T}\mathbf{C}\boldsymbol{\varepsilon}d\Omega-\int_{\Omega}\delta\boldsymbol{u}^{T}\bar{\boldsymbol{p}}d\Omega-\int_{\Gamma_{\sigma}}\delta\boldsymbol{u}^{T}\bar{\boldsymbol{P}}d\Gamma_{\sigma}=0$$

(2.108)

που είναι γνωστή και ως η αρχή των δυνατών έργων.

Εύκολα αποδεικνύεται ότι η (2.108) είναι ισοδύναμη της (2.60).