H θεμελίωση με πεδιλοδοκούς αποτελεί ίσως την πλέον συνηθισμένη λύση επιφανειακής θεμελίωσης. Οι πεδιλοδοκοί συνδέουν δύο ή και περισσότερα ευθυγραμμισμένα υποστυλώματα, έτσι ώστε η θεμελίωσή τους να γίνεται κοινή [1].

Στο παράδειγμα που εξετάζεται στη συνέχεια δίνεται πεδιλοδοκός μήκους $L$=10.0m στην οποία καταλήγουν τρία κατακόρυφα υποστυλώματα, όπως φαίνεται στο Σχήμα 7.1. Τα δύο υποστυλώματα καταλήγουν σε απόσταση 1.0m από τα άκρα της πεδιλοδοκού μεταφέροντας κατακόρυφο φορτίο $P_{1}$ = $P_{3}$ = 1000kN, και ροπή $M_{1}$ = $M_{3}$ = 1500kNm αντίστοιχα και ένα στο μέσο της που μεταφέρει μόνο κατακόρυφο φορτίο $P_{2}$ =2000kN. Το βάθος θεμελίωσης βρίσκεται στα 2.0m. Η πεδιλοδοκός είναι τυπικής τραπεζοειδούς διατομής, με διαστάσεις $b=2.0$m, $b_{0}=0.50$m, $h_{1}=0.50$m, $h_{2}=0.50$m και $h_{3}=0.50$m (βλέπε Σχήμα 7.2). Το μέτρο ελαστικότητας του υλικού της πεδιλοδοκού είναι $E=2.1\cdot 10^{7}$kN/m${}^{2}$ και το ειδικό του βάρος 25kN/m${}^{3}$. Τέλος, όσον αφορά το έδαφος, η τιμή της ελατηριακής του σταθεράς θεωρείται σταθερή και ίση με $K_{s}$ =10000kN/m${}^{3}$, ενώ το ειδικό βάρος του εδάφους είναι ίσο με 20kN/m${}^{3}$ . Συγκεντρωτικά τα δεδομένα παρατίθενται στον Πίνακα 7.1.

Για την προσομοίωση του προβλήματος, η πεδιλοδοκός ανάγεται σε γραμμική δοκό επί ελαστικού φορέα και χωρίζεται σε 40 στοιχεία μήκους 0.25m (βλ. Σχήμα 7.3).

Τα αποτελέσματα της επίλυσης δίνονται στο Σχήμα 7.4.

Η θεμελίωση με πασσάλους αποτελεί τον συνηθέστερο τρόπο βαθιάς θεμελιώσεως. Ως πάσσαλοι θεωρούνται τα μεμονωμένα εκείνα στοιχεία με σχετικά μικρή διάμετρο $B$ (0.30m έως και κατ’ εξαίρεση 3.00m) και αρκετά υψηλό λόγο $L/B$ όπου $L$ το μήκος τους, που μεταφέρουν τα φορτία της ανωδομής στα βαθύτερα στρώματα του εδάφους.

Στο παράδειγμα που εξετάζεται δίνεται πάσσαλος διαμέτρου 0.5m και μήκους 20.0m, ο οποίος φορτίζεται με οριζόντιο φορτίο στην κεφαλή ίσο με $P=200$kN, όπως φαίνεται και στο Σχήμα 7.5.

Ο πάσσαλος έχει κατασκευαστεί σε έδαφος για το οποίο δίνονται οι τιμές για την ελατηριακή σταθερά ως:

Συγκεντρωτικά τα δεδομένα παρατίθενται στον Πίνακα 7.2.

Για την προσομοίωση του προβλήματος, ο πάσσαλος ανάγεται σε γραμμική δοκό επί ελαστικού φορέα και χωρίζεται σε 20 στοιχεία μήκους 1.00m, όπως φαίνεται στο Σχήμα 7.6.

Τα αποτελέσματα της επίλυσης δίνονται στα Σχήματα 7.7 και 7.8.

Στη συνέχεια εξετάζεται ένα επίμηκες θεμέλιο με πλάτος 6.0m στην επιφάνεια ενός εδαφικού υλικού που θεωρείται γραμμικά ελαστικό και χαρακτηρίζεται από μέτρο ελαστικότητας $E=20000$kN/m${}^{2}$, ειδικό βάρος $\gamma=20$kN/m${}^{3}$ και λόγο Poisson $\nu=0.3$ (βλ. Σχήμα 7.9.) Το θεμέλιο, που θεωρείται εύκαμπτο, μεταφέρει στο έδαφος κατανεμημένο φορτίο ίσο με $P=666.67$kN/m${}^{2}$. Κατά την προσομοίωση του φορέα εξετάζονται η περιοχή επιρροής, η συμμετρία, η διακριτοποίηση, οι συνοριακές συνθήκες και το ιδίο βάρος.

Θεωρούμε ότι λόγω του θεμελίου επηρεάζεται μία περιοχή πλάτους $24.0\times 9.0\textrm{m}^{2}$. Η περιοχή που λαμβάνεται υπόψη προτείνεται να είναι της τάξης των $12B\times 3B$ ή και μεγαλύτερη, όπου $B$ το πλάτος του θεμελίου. Λόγω του εκπαιδευτικού χαρακτήρα του συγκεκριμένου παραδείγματος, η περιοχή αυτή λαμβάνεται μικρότερη.

Λόγω της συμμετρίας της κατασκευής αλλά και της φόρτισης, θα μελετηθεί μόνο η μισή από την περιοχή που προαναφέρθηκε.

Η περιοχή μελέτης χωρίζεται με τη βοήθεια τετραγωνικού δικτύου πεπερασμένων στοιχείων, που περιγράφεται από 20 κόμβους και 12 τετράκομβα στοιχεία επίπεδης παραμόρφωσης και μοναδιαίου πλάτους. Σε κάθε κόμβο θεωρούνται δύο βαθμοί ελευθερίας (β.ε.), ένας για την οριζόντια και ένας για την κατακόρυφη μετακίνηση (βλ. Σχήμα 7.10).

Όπως αναφέρθηκε και προηγουμένως, λόγω του εκπαιδευτικού χαρακτήρα του συγκεκριμένου παραδείγματος, η διακριτοποίηση είναι αρκετά αραιή. Στην πράξη προτιμάται πυκνότερη διακριτοποίηση, ιδίως στις περιοχές όπου αναμένονται μεγάλες διαφοροποιήσεις στα πεδία τάσεων, παραμορφώσεων και μετακινήσεων, όπως αναμένεται να συμβεί στην άκρη του θεμελίου για το συγκεκριμένο παράδειγμα.

Σε βάθος 9.0m, εκεί δηλαδή όπου θεωρούμε ότι πρακτικά σταματά η επιρροή του θεμελίου, παγιώνονται και οι δύο βαθμοί ελευθερίας, δηλαδή στους αντίστοιχους κόμβους θα τοποθετηθούν αρθρώσεις. Αντίστοιχα, στα κατακόρυφα όρια της περιοχής, επιλέγονται κυλίσεις ως στηρίξεις στους αντίστοιχους κόμβους, γιατί εκεί η κατακόρυφη μετακίνηση αναμένεται να είναι μη μηδενική.

Οι συνοριακές συνθήκες δίνονται στους γενικούς βαθμούς ελευθερίας. Οι τοπικοί βαθμοί ελευθερίας συνδέονται με τους γενικούς μέσω των σχέσεων (βλ. και Σχήμα 7.10):

• $2n-1$ για τον βαθμό ελευθερίας κατά τη διεύθυνση $x$ και

• $2n$ για τον βαθμό ελευθερίας κατά τη διεύθυνση $y$

όπου $n$ ο αντίστοιχος κόμβος.

Το ιδίο βάρος υπολογίζεται από το ειδικό βάρος του υλικού της θεμελίωσης. Τα φορτία μετατρέπονται από επιφανειακά σε επικόµβια. Έτσι, για την περιοχή που μελετούμε και για μοναδιαίο πλάτος, έχουμε:

σε κάθε κόμβο. Αυτό το φορτίο θα πρέπει να εφαρμοστεί στον αντίστοιχο βαθμό ελευθερίας.

Η προσομοίωση του προβλήματος σύμφωνα με τα παραπάνω δίνεται στο Σχήμα 7.11.

Για το προσομοίωμα του Σχήματος 7.11, ένα τυπικό αρχείο εισόδου για ένα πρόγραμμα πεπερασμένων στοιχείων δίνεται στη συνέχεια.

Η παραπάνω δομή του αρχείου εισόδου αφορά το εκπαιδευτικό λογισμικό FEM.EDU του εργαστηρίου. Πιο συγκεκριμένα, στο υπόψη αρχείο δίνονται:

• •

  Στην πρώτη γραμμή nn, ne, nd, nl, nm, at, th όπου:

  • nn

    Ο αριθμός των κόμβων.

  • ne

    Ο αριθμός των στοιχείων.

  • nd

    Ο αριθμός των προκαθορισμένων μετακινήσεων.

  • nl

    Ο αριθμός των φορτίων.

  • nm

    Ο αριθμός των υλικών.

  • at

    Ο τύπος του προβλήματος. Παίρνει τιμές:

    • 1

      για την περίπτωση της επίπεδης έντασης.

    • 2

      για την περίπτωση της επίπεδης παραμόρφωσης.

    • 3

      για την περίπτωση της αξονοσυµµετρίας.

  • th

    Το πάχος του προβλήματος (για την περίπτωση της αξονοσυµµετρίας αφορά τη γωνία μετρημένη σε rad).

• •

  Στις επόμενες nn γραμμές οι συντεταγμένες $x$ και $y$ του κάθε κόμβου.

• •

  Στις επόμενες ne γραμμές οι κόμβοι που αποτελούν το στοιχείο και το υλικό του στοιχείου.

• •

  Στις επόμενες nd γραμμές οι βαθμοί ελευθερίας με προκαθορισμένη μετακίνηση και η τιμή της μετακίνησης.

• •

  Στις επόμενες nl γραμμές οι βαθμοί ελευθερίας με προκαθορισμένο φορτίο και η τιμή του φορτίου.

• •

  Τέλος, στις επόμενες nm γραμμές τα υλικά και οι παράμετροί τους.

Στο Σχήμα 7.12 δίνονται χαρακτηριστικά αποτελέσματα της επίλυσης του συγκεκριμένου παραδείγματος.

Η φέρουσα ικανότητα ενός θεμελίου αποτελεί ένα από τα θεμελιώδη προβλήματα της γεωτεχνικής μηχανικής και συναντάται τόσο στη σχετική βιβλιογραφία όσο και στις αντίστοιχες κανονιστικές διατάξεις. Χαρακτηριστικά αναφέρονται οι εργασίες των Prandtl [17], Hencky [10], Terzaghi & Peck [22], Meyerhof [15], Hansen [9] και Vesic [24] αλλά και οι κανονισμοί DIN 4017 [7] και ο Ευρωκώδικας 7 [6].

Στη συνέχεια εξετάζονται οι περιπτώσεις φόρτισης υπό αστράγγιστες και υπό πλήρως στραγγιζόμενες συνθήκες και οι λύσεις συγκρίνονται με τις αντίστοιχες θεωρητικές λύσεις ή με τις αντίστοιχες κανονιστικές διατάξεις.

Σύμφωνα με τη θεωρία του Coulomb (βλ. π.χ. [3]), μία εδαφική μάζα πίσω από έναν κατακόρυφο τοίχο αντιστήριξης βρίσκεται σε κατάσταση οριακής ισορροπίας και τείνει να ολισθήσει κατά μήκος ενός επιπέδου κεκλιμένου ως προς το οριζόντιο κατά γωνία $\theta=\dfrac{\phi}{2}+\dfrac{\pi}{4}$, όπου $\phi$ η γωνία τριβής (βλ. Σχήμα 7.18).

Αν θεωρηθεί ότι $P=0$, εύκολα προκύπτει από μεθόδους οριακής ισορροπίας το κρίσιμο βάθος $H_{cr}$, που ορίζεται ως εκείνο το βάθος για το οποίο η εκσκαφή μπορεί να παραμείνει ανυποστήρικτη. Στην περίπτωση πλήρους κορεσμένου εδάφους, το κρίσιμο βάθος ισούται με:

Για την προσομοίωση του προβλήματος επιλέγεται περιοχή $10\times 10\mathrm{m}^{2}$ ενώ το ημιπλάτος της εκσκαφής θεωρείται ίσο με $1.0\mathrm{m}$ (Σχήμα 7.19). Η περιοχή διακριτοποιείται σε ένα δίκτυο $200\times 200$ τυπικών τετράκομβων τετράπλευρων πεπερασμένων στοιχείων.

Η επίλυση αφορά ένα έδαφος με χαρακτηριστικά που δίνονται στον Πίνακα 7.5, από τα οποία σύμφωνα με την (7.17) προκύπτει κρίσιμο ύψος ίσο με $H_{cr}=4.0\mathrm{m}$. Κατά την επίλυση υπολογίζονται αρχικά οι γεωστατικές τάσεις θεωρώντας συντελεστή ωθήσεων σε ηρεμία $K_{0}=\dfrac{\sigma_{x}}{\sigma_{y}}=1-\sin(\phi)$. Στη συνέχεια αυξάνεται διαρκώς το βάθος της εκσκαφής αφαιρώντας διαδοχικά σε κάθε βήμα μία στρώση ύψους $0.05\mathrm{m}$ μέχρι τη δημιουργία πλαστικού μηχανισμού αστοχίας.

Η απομείωση του εύρους της ζώνης του συνολικού μητρώου του προβλήματος πραγματοποιείται με την εφαρμογή του αλγορίθμου των Cuthill & McKee, ενώ για την επίλυση του μη γραμμικού προβλήματος χρησιμοποιείται η μέθοδος των Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno (BFGS), η οποία επιταχύνεται με τον αλγόριθμο line search. Τέλος, η επίλυση του γραμμικού συστήματος εξισώσεων γίνεται με τη βοήθεια της βιβλιοθήκης LAPACK και η σύγκλιση θεωρείται ότι επιτυγχάνεται όταν οι τιμές της απόλυτης, της σχετικής και της ενεργειακής νόρμας είναι αντίστοιχα μικρότερες από $10^{-3}$, $10^{-6}$ και $10^{-6}$.

Ο μηχανισμός αστοχίας σχηματίζεται τελικά για βάθος εκσκαφής $Η=4.0\mathrm{m}$, σε πλήρη συμφωνία με τη θεωρία. Οι οριζόντιες, κατακόρυφες και συνολικές μετακινήσεις δίνονται στο Σχήμα 7.20.

Τέλος εξετάζεται η προσομοίωση μιας σειράς αριθμητικών δοκιμών που περιγράφουν χαρακτηριστικές καταστάσεις φόρτισης. Παρόμοιες προσομοιώσεις θεωρούνται εξαιρετικά χρήσιμες κατά τον έλεγχο και την αξιολόγηση των καταστατικών μοντέλων που παρέχονται από εμπορικά προγράμματα αριθμητικής ανάλυσης.

Για τις ανάγκες των δοκιμών που ακολουθούν εισάγονται τα δύο αριθμητικά προσομοιώματα που φαίνονται στα επόμενα σχήματα (Σχήμα 7.21 και Σχήμα 7.22). Το πρώτο προσομοίωμα (Σχήμα 7.21) αφορά τριαξονική φόρτιση υπό συνθήκες αξονοσυμμετρίας, ενώ με το δεύτερο (Σχήμα 7.22) προσομοιώνεται η δοκιμή απλής διάτμησης σε συνθήκες επίπεδης παραμόρφωσης. Και στις δύο περιπτώσεις το προσομοίωμα πεπερασμένων στοιχείων αποτελείται τελικά από ένα μοναδικό τυπικό τετράπλευρο, τετράκομβο στοιχείο αξονοσυμμετρίας ή επίπεδης παραμόρφωσης αντίστοιχα. Επιπροσθέτως, επιβάλλεται με τη μέθοδο της ποινής στην τελευταία περίπτωση ίδια οριζόντια και κατακόρυφη μετακίνηση στους ελεύθερους κόμβους.

Ο έλεγχος της βηματικής φόρτισης εξαρτάται από τη φύση του εκάστοτε προβλήματος και πραγματοποιείται είτε ελέγχοντας το φορτίο είτε ελέγχοντας τις μετακινήσεις. Σε όλες τις αριθμητικές δοκιμές θεωρείται ότι το υλικό είναι ισότροπο και αβαρές. Για την επίλυση του μη γραμμικού προβλήματος χρησιμοποιείται η τροποποιημένη μέθοδος Newton-Raphson και η σύγκλιση θεωρείται ότι επιτυγχάνεται όταν οι τιμές της απόλυτης, της σχετικής και της ενεργειακής νόρμας είναι αντίστοιχα μικρότερες από $10^{-4}$, $10^{-6}$ και $10^{-6}$.

Στα αποτελέσματα των αριθμητικών δοκιμών που παρατίθενται στη συνέχεια, ακολουθείται η σύμβαση προσήμου της εδαφομηχανικής, σύμφωνα με την οποία θετικές τάσεις θεωρούνται οι θλιπτικές.