Εξετάζεται το μηχανικό ανάλογο μιας μονοδιάστατης συσκευής τριβής [8], το οποίο παρουσιάζεται στο Σχήμα 6.1.

Θεωρείται ότι η συσκευή καταλαμβάνει μοναδιαίο μήκος και εμβαδό και ότι αποτελείται από ένα ελατήριο με ελατηριακή σταθερά $E$ και ένα στοιχείο ολίσθησης με σταθερά $\sigma_{Y}>0$. Έστω $\sigma$ είναι η εφαρμοζόμενη τάση (δύναμη) και $\varepsilon$ η συνολική παραμόρφωση (μεταβολή μήκους).

Η ιδεατή πλαστικότητα χαρακτηρίζεται από τη μη μεταβολή της ελαστικής περιοχής $\mathrm{int}(\mathbb{E}_{\sigma})$ οδηγώντας στην καμπύλη τάσεων-παραμορφώσεων του Σχήματος 6.3 [12]. Η καμπύλη τάσεων-παραμορφώσεων του Σχήματος 6.4 περιγράφει μία συμπεριφορά που ονομάζεται κρατυνόμενη πλαστικότητα, σύμφωνα με την οποία το εύρος της ελαστικής περιοχής δεν είναι σταθερό, αλλά εξαρτάται από το μέγεθος της πλαστικής ολίσθησης [12]. Στη συνέχεια περιγράφεται αυτή η συμπεριφορά.

Οι βασικές παραδοχές που αφορούν την ελαστική συμπεριφορά παραμένουν αμετάβλητες, υιοθετώντας τον διαχωρισμό των παραμορφώσεων,

$$\varepsilon=\varepsilon^{e}+\varepsilon^{p},$$

(6.20)

καθώς και τη σχέση τάσεων-παραμορφώσεων:

$$\sigma=E(\varepsilon-\varepsilon^{p}).$$

(6.21)

Επιπλέον, όμως, θεωρούμε ότι ισχύουν οι δύο παρακάτω παραδοχές [12]:

1. 1.

   Η κράτυνση είναι ισότροπη, δηλαδή θεωρείται ότι το κέντρο της ελαστικής περιοχής $\mathbb{E}_{\sigma}$ παραμένει σταθερό.

2. 2.

   Η κράτυνση είναι γραμμική όσον αφορά την πλαστική ροή, δηλαδή είναι γραμμική ως προς την πλαστική παραμόρφωση και ανεξάρτητη από το πρόσημό της.

Οι παραπάνω παραδοχές οδηγούν σε ένα κριτήριο διαρροής της μορφής:

$$f(\sigma,\alpha)=|\sigma|-\left[\sigma_{Y}+K\alpha\right]\leq 0,\quad\alpha\geq 0,$$

(6.22)

όπου η τάση διαρροής $\sigma_{Y}>0$ και ο συντελεστής $K\geq 0$ είναι γνωστοί, σταθεροί όροι. Ο συντελεστής $K$ αναφέρεται συχνά και ως μέτρο κράτυνσης. Η μεταβλητή $\alpha:[0,T]\rightarrow\Re$ είναι μια μη αρνητική μεταβλητή, εξαρτάται από το μέγεθος της πλαστικής ροής (ολίσθησης) και ονομάζεται εσωτερική μεταβλητή κράτυνσης. Σύμφωνα με τα παραπάνω, η απλούστερη εξίσωση που περιγράφει την εξέλιξη της εσωτερικής μεταβλητής $\alpha$ είναι:

$$\dot{\alpha}=|\dot{\varepsilon}^{p}|.$$

(6.23)

Το ελαστικό πεδίο ορίζεται πλέον ως:

$$\mathbb{E}_{\sigma}=\left\{(\sigma,\alpha)\in\Re\times\Re_{+}\;|\;f(\sigma,\alpha)\leq 0\right\}$$

(6.24)

και εξαρτάται από την εσωτερική μεταβλητή $\alpha$, όπως φαίνεται στο Σχήμα 6.5 [12].

Ο μη αναστρέψιμος μηχανισμός που χαρακτηρίζει την εξέλιξη της ολίσθησης του προσομοιώματος (πλαστική ροή) και που χαρακτηρίζεται από τον κανόνα ροής παραμένει αμετάβλητος. Συνεπώς, θεωρείται όπως προηγουμένως ότι

$$\dot{\varepsilon}^{p}=\dot{\lambda}\sign(\sigma)$$

(6.25)

όπου $\dot{\lambda}\geq 0$ είναι ο ρυθμός με τον οποίο λαμβάνει χώρα η ολίσθηση. Επομένως από τις (6.23) και (6.25) προκύπτει ότι η εξέλιξη της εσωτερικής μεταβλητής κράτυνσης μπορεί να οριστεί από τη σχέση:

$$\dot{\alpha}=\dot{\lambda}$$

(6.26)

που είναι γνωστή και ως νόμος της κράτυνσης. Η μη αναστρεψιμότητα της πλαστικής ροής περιγράφεται και από τις συμπληρωματικές συνθήκες αποφόρτισης/επαναφόρτισης Karush-Kuhn-Tucker, οι οποίες όμως τώρα διατυπώνονται ως:

$$\dot{\lambda}\geq 0,\quad f(\sigma,\alpha)\leq 0,\quad\dot{\lambda}f(\sigma,\alpha)=0,$$

(6.27)

όπου και πάλι η παράμετρος $\dot{\lambda}\geq 0$ καθορίζεται από την απαίτηση συνέπειας

$$\dot{\lambda}\dot{f}(\sigma,\alpha)=0.$$

(6.28)

Οι παραπάνω παρατηρήσεις συνοψίζονται στο Πλαίσιο 6.1.2.

Η θεωρία της μονοδιάστατης πλαστικότητας που εξετάστηκε στην Ενότητα 6.1.1 γενικεύεται στις τρεις διαστάσεις ως εξής [12]:

1. 1.

   Διαχωρισμός του τανυστή παραμορφώσεων. Αρχικά υποθέτουμε ότι ο τανυστής των παραμορφώσεων $\boldsymbol{\varepsilon}$ μπορεί να διαχωριστεί σε ένα ελαστικό και ένα πλαστικό μέρος τα οποία αναφέρονται ως $\boldsymbol{\varepsilon}^{e}$ και $\boldsymbol{\varepsilon}^{p}$, αντίστοιχα, σύμφωνα με τη σχέση:

   $$\boldsymbol{\varepsilon}=\boldsymbol{\varepsilon}^{e}+\boldsymbol{\varepsilon}^{p}$$

   (6.34)

   ή σε τανυστική μορφή:

   $$\varepsilon_{ij}=\varepsilon_{ij}^{e}+\varepsilon_{ij}^{p}$$

   (6.35)

   Εφόσον η παραμόρφωση $\boldsymbol{\varepsilon}$ θεωρείται ανεξάρτητη μεταβλητή και ο ρυθμός μεταβολής των πλαστικών παραμορφώσεων $\dot{\boldsymbol{\varepsilon}^{p}}$ ορίζεται μέσω του κανόνα ροής, η εξίσωση (6.34) μπορεί να θεωρηθεί και ως ο ορισμός των ελαστικών παραμορφώσεων. Θεωρείται δηλαδή ότι οι ελαστικές παραμορφώσεις ορίζονται από τη σχέση:

   $$\boldsymbol{\varepsilon}^{e}:=\boldsymbol{\varepsilon}-\boldsymbol{\varepsilon}^{p}$$

   (6.36)

2. 2.

   Ελαστική απόκριση. Ο τανυστής των τάσεων $\boldsymbol{\sigma}$ συνδέεται με τις ελαστικές παραμορφώσεις $\boldsymbol{\varepsilon}^{e}$ μέσω μιας συνάρτησης δυναμικού $\mathcal{W}$, όπου $\mathcal{W}:\mathcal{B}\times\mathcal{B}\rightarrow\Re$ σύμφωνα με την (υπερελαστική) σχέση

   $$\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{x},t)=\dfrac{\partial\mathcal{W}[\boldsymbol{x},\boldsymbol{\varepsilon}^{e}(x,t)]}{\partial\boldsymbol{\varepsilon}^{e}}.$$

   (6.37)

   Για τη γραμμική ελαστικότητα η συνάρτηση $\mathcal{W}$ δίνεται από τη δευτεροβάθμια εξίσωση $\mathcal{W}=\dfrac{1}{2}\boldsymbol{\varepsilon}^{e}:\mathbf{C}:\boldsymbol{\varepsilon}^{e}$, όπου $\mathbf{C}$ είναι ο τανυστής ελαστικότητας, ο οποίος θεωρείται σταθερός. Επομένως από τις σχέσεις (6.34) και (6.37) προκύπτει:

   $$\boldsymbol{\sigma}=\mathbf{C}:\left[\boldsymbol{\varepsilon}-\boldsymbol{\varepsilon}^{p}\right]$$

   (6.38)

   ή σε τανυστική μορφή:

   $$\sigma_{ij}=\mathbf{C}_{ijkl}\left(\varepsilon_{kl}-\varepsilon^{p}_{kl}\right)$$

   (6.39)

Το βασικό χαρακτηριστικό της πλαστικής ροής είναι η μη αναστρεψιμότητά της. Αυτή η ιδιότητα εξετάζεται στη συνέχεια ως μια απευθείας επέκταση των όσων αναφέρθηκαν στην Ενότητα 6.1.2.

1. 1.

   Ελαστική περιοχή και συνάρτηση διαρροής. Ορίζεται η συνάρτηση $f(\boldsymbol{\sigma},\boldsymbol{q}):\mathbb{S}\times\Re^{n_{q}}\rightarrow\Re$ η οποία ονομάζεται συνάρτηση διαρροής και η οποία περιορίζει τις επιτρεπτές εντατικές καταστάσεις $\left\{\boldsymbol{\sigma},\boldsymbol{q}\right\}\in\mathbb{S}\times\Re^{n_{q}}$ να ανήκουν στο σύνολο $\mathbb{E}_{\sigma}$, το οποίο ορίζεται ως:

   $$\mathbb{E}_{\sigma}:=\left\{(\boldsymbol{\sigma},\boldsymbol{q})\in\mathbb{S}\times\Re^{n_{q}}\mid f(\boldsymbol{\sigma},\boldsymbol{q})\leq 0\right\}.$$

   (6.40)

   Το εσωτερικό του συνόλου $\mathbb{E}_{\sigma}$, που συμβολίζεται ως $\interior(\mathbb{E}_{\sigma})$ και δίνεται από τη σχέση:

   $$\interior(\mathbb{E}_{\sigma}):=\left\{(\boldsymbol{\sigma},\boldsymbol{q})\in\mathbb{S}\times\Re^{n_{q}}\mid f(\boldsymbol{\sigma},\boldsymbol{q})<0\right\},$$

   (6.41)

   αναφέρεται ως ελαστική περιοχή. Το σύνορο του $\mathbb{E}_{\sigma}$, που συμβολίζεται ως $\partial\mathbb{E}_{\sigma}$ και δίνεται από τη σχέση:

   $$\partial\mathbb{E}_{\sigma}:=\left\{(\boldsymbol{\sigma},\boldsymbol{q})\in\mathbb{S}\times\Re^{n_{q}}\mid f(\boldsymbol{\sigma},\boldsymbol{q})=0\right\},$$

   (6.42)

   καλείται επιφάνεια διαρροής στον χώρο των τάσεων. Στις παραπάνω σχέσεις με $\boldsymbol{q}$ συμβολίζονται οι $n_{q}$ εσωτερικές μεταβλητές στον χώρο των τάσεων σε αντιστοιχία με τη μεταβλητή $\alpha$ της μονοδιάστατης πλαστικότητας. Όπως και στην περίπτωση της μονοδιάστατης πλαστικότητας, ισχύει ότι $\mathbb{E}_{\sigma}=\interior(\mathbb{E}_{\sigma})\cup\partial\mathbb{E}_{\sigma}$.

2. 2.

   Κανόνας ροής και νόμος κράτυνσης. Συνθήκες φόρτισης/αποφόρτισης. Η έννοια της μη αναστρεψιμότητας της πλαστικής ροής εισάγεται από τις εξισώσεις ρυθμού μεταβολής του τανυστή των τάσεων και των εσωτερικών μεταβλητών κράτυνσης $\left\{\boldsymbol{\sigma},\boldsymbol{q}\right\}$, οι οποίες ονομάζονται κανόνας ροής και νόμος κράτυνσης αντίστοιχα:

   $$\begin{array}[]{rcr}\dot{\boldsymbol{\varepsilon}}^{p}&=&\dot{\lambda}\boldsymbol{r}(\boldsymbol{\sigma},\boldsymbol{q}),\\ \dot{\boldsymbol{q}}&=&-\dot{\lambda}\boldsymbol{s}(\boldsymbol{\sigma},\boldsymbol{q}).\\ \end{array}$$

   (6.43)

   Οι συναρτήσεις $\boldsymbol{r}:\mathbb{S}\times\Re^{n_{q}}\rightarrow\mathbb{S}$ και $\boldsymbol{s}:\mathbb{S}\times\Re^{n_{q}}\rightarrow\Re$ είναι συναρτήσεις που εξαρτώνται από το υλικό και καθορίζουν τη διεύθυνση της πλαστικής ροής και τον νόμο της κράτυνσης. Η παράμετρος $\dot{\lambda}$ είναι μια μη αρνητική παράμετρος, που ονομάζεται παράμετρος συνέπειας και θεωρείται ότι πληροί τις επόμενες Karush-Kuhn-Tucker συμπληρωματικές συνθήκες:

   $$\begin{array}[]{rcl}\dot{\lambda}&\geq&0,\\ f(\boldsymbol{\sigma},\boldsymbol{q})&\leq&0,\\ &\text{και}&\\ \dot{\lambda}f(\boldsymbol{\sigma},\boldsymbol{q})&=&0.\\ \end{array}$$

   (6.44)

   Τέλος, συμπληρωματικά με τις συνθήκες (6.44), η παράμετρος $\dot{\lambda}\geq 0$ οφείλει να ικανοποιεί την απαίτηση συνέπειας

   $$\dot{\lambda}\dot{f}(\boldsymbol{\sigma},\boldsymbol{q})=0.$$

   (6.45)

Στην κλασική βιβλιογραφία, οι συνθήκες (6.44) και (6.45) αναφέρονται ως συνθήκες φόρτισης/αποφόρτισης και απαίτηση συνέπειας, αντίστοιχα. Όπως ήδη συζητήθηκε στην Ενότητα 6.1 και θα αναπτυχθεί περαιτέρω στη συνέχεια, οι σχέσεις αυτές περιγράφουν πλήρως τις έννοιες της πλαστικής φόρτισης και της ελαστικής αποφόρτισης.

Θεωρείται ότι μία από τις παρακάτω περιπτώσεις μπορεί να συμβεί [12]:

1. 1.

   Οι τάσεις βρίσκονται εντός της ελαστικής περιοχής, δηλαδή $\left\{\boldsymbol{\sigma},\boldsymbol{q}\right\}\in\interior(\mathbb{E}_{\sigma})$, και επομένως, σύμφωνα με την (6.41), ισχύει $f(\boldsymbol{\sigma},\boldsymbol{q})<0$. Από τις συνθήκες Karush-Kuhn-Tucker (6.44) συμπεραίνεται ότι:

   $$\dot{\lambda}f=0\quad\text{και}\quad f<0\quad\Rightarrow\quad\dot{\lambda}=0$$

   (6.46)

   και από τη σχέση (6.43) συνεπάγεται ότι $\dot{\boldsymbol{\varepsilon}}^{p}=\boldsymbol{0}$ και $\dot{\boldsymbol{q}}=0$. Επομένως, σύμφωνα με την εξίσωση (6.34) ισχύει $\dot{\boldsymbol{\varepsilon}}=\dot{\boldsymbol{\varepsilon}}^{e}$ και ο ρυθμός μεταβολής των παραμορφώσεων, όπως περιγράφεται από τη σχέση (6.38), οδηγεί στο συμπέρασμα ότι:

   $$\dot{\boldsymbol{\sigma}}=\mathbf{C}:\dot{\boldsymbol{\varepsilon}}=\mathbf{C}:\dot{\boldsymbol{\varepsilon}}^{e}.$$

   (6.47)

   Η συμπεριφορά που περιγράφεται από την εξίσωση (6.47) αναφέρεται και ως άμεσα ελαστική.

2. 2.

   Αν υποθέσουμε ότι $\left\{\boldsymbol{\sigma},\boldsymbol{q}\right\}\in\partial\mathbb{E}_{\sigma}$, σύμφωνα με την (6.42), συνεπάγεται ότι $f(\boldsymbol{\sigma},\boldsymbol{q})=0$ και οι συνθήκες (6.44) ικανοποιούνται αυτόματα. Αν το $\dot{\lambda}$ είναι θετικό ή μηδενικό, εξαρτάται από την απαίτηση συνέπειας (6.45). Πιο συγκεκριμένα, διακρίνονται δύο περιπτώσεις:

   • (α${}^{\prime}$)

     Αν ισχύει ότι $\dot{f}(\boldsymbol{\sigma},\boldsymbol{q})<0$, από τη συνθήκη (6.45) συνεπάγεται ότι:

     $$\dot{\lambda}\dot{f}=0\quad\text{και}\quad\dot{f}<0\quad\Rightarrow\quad\dot{\lambda}=0.$$

     (6.48)

     Επομένως, και σύμφωνα με τον κανόνα ροής (6.43), συνεπάγεται ότι $\dot{\boldsymbol{\varepsilon}}^{p}=\mathbf{0}$ και $\dot{\boldsymbol{q}}=0$. Εφόσον η (6.47) ισχύει και οι τάσεις $\left\{\boldsymbol{\sigma},\boldsymbol{q}\right\}$ βρίσκονται στο σύνορο της ελαστικής περιοχής $\partial\mathbb{E}_{\sigma}$, η απόκριση αυτή ονομάζεται αποφόρτιση από μια κατάσταση πλαστικοποίησης.

   • (β${}^{\prime}$)

     Αν θεωρηθεί ότι ισχύει $\dot{f}(\boldsymbol{\sigma},\boldsymbol{q})=0$ και $\dot{\lambda}>0$, τότε συνεπάγεται ότι $\dot{\boldsymbol{\varepsilon}}^{p}\neq\boldsymbol{0}$ και $\dot{\boldsymbol{q}}\neq 0$, μια κατάσταση που περιγράφεται ως πλαστική φόρτιση. Η κατάσταση κατά την οποία $\dot{\lambda}=0$ (και $\dot{f}=0$) ονομάζεται ουδέτερη φόρτιση.

Συνοψίζοντας τα παραπάνω συμπεράσματα, για κάθε επιτρεπτή εντατική κατάσταση $(\boldsymbol{\sigma},\boldsymbol{q})\in\mathbb{E}_{\sigma}$ ισχύει:

$$\left\{\begin{array}[]{lcl}f<0\Leftrightarrow(\boldsymbol{\sigma},\boldsymbol{q})\in\interior(\mathbb{E}_{\sigma})&\Rightarrow&\dot{\lambda}=0\;\text{(ελαστική φόρτιση)}\\ f=0\Leftrightarrow(\boldsymbol{\sigma},\boldsymbol{q})\in\partial\mathbb{E}_{\sigma}&\Rightarrow&\left\{\begin{array}[]{lccr}\dot{f}<0&\Rightarrow&\dot{\lambda}=0&\text{(ελαστική αποφόρτιση)}\\ \dot{f}=0&\text{και}&\dot{\lambda}=0&\text{(ουδέτερη φόρτιση)}\\ \dot{f}=0&\text{και}&\dot{\lambda}>0&\text{(πλαστική φόρτιση)}\\ \end{array}\right.\\ \end{array}\right.$$

(6.49)

Για την καλύτερη κατανόηση αλλά και για μελλοντικές αναφορές, οι βασικές καταστατικές εξισώσεις της τρισδιάστατης χρονικά μη εξαρτημένης πλαστικοποίησης συνοψίζονται στο Πλαίσιο 6.2.3.

Το συνεχές εφαπτομενικό ελαστοπλαστικό μέτρο μπορεί να προσδιοριστεί από την απαίτηση συνέπειας (6.45). Εφαρμόζοντας τον κανόνα αλυσίδας, προκύπτει ότι [12]:

$$\begin{array}[]{rcl}\dot{f}&=&\partial_{\boldsymbol{\sigma}}f:\dot{\boldsymbol{\sigma}}+\partial_{\boldsymbol{q}}f\>\dot{\boldsymbol{q}}\\ &=&\partial_{\boldsymbol{\sigma}}f:\mathbf{C}:\left[\dot{\boldsymbol{\varepsilon}}-\dot{\boldsymbol{\varepsilon}}^{p}\right]+\partial_{q}f\>\dot{\boldsymbol{q}}\\ &=&\partial_{\boldsymbol{\sigma}}f:\mathbf{C}:\dot{\boldsymbol{\varepsilon}}-\dot{\lambda}\left[\partial_{\boldsymbol{\sigma}}f:\mathbf{C}:\boldsymbol{r}+\partial_{\boldsymbol{q}}f\boldsymbol{s}\right]\leq 0.\\ \end{array}$$

(6.53)

Θεωρείται στη συνέχεια ότι ο νόμος κράτυνσης και το κριτήριο διαρροής ικανοποιούν την ακόλουθη ανισότητα:

$$\left[\partial_{\boldsymbol{\sigma}}f:\mathbf{C}:\boldsymbol{r}+\partial_{\boldsymbol{q}}f\boldsymbol{s}\right]>0$$

(6.54)

για όλες τις επιτρεπτές εντατικές καταστάσεις $\left\{\boldsymbol{\sigma},\boldsymbol{q}\right\}\in\mathbb{E}_{\sigma}$.

Σύμφωνα με τη παραπάνω παραδοχή και με την συνθήκη συνέπειας (6.45), συνεπάγεται ότι

$$\dot{f}=0\;\Rightarrow\;\dot{\lambda}=\dfrac{\langle\partial_{\boldsymbol{\sigma}}f:\mathbf{C}:\dot{\boldsymbol{\varepsilon}}^{p}\rangle}{\partial_{\boldsymbol{\sigma}}f:\mathbf{C}:\boldsymbol{r}+\partial_{\boldsymbol{q}}f\boldsymbol{s}}$$

(6.55)

όπου $\langle\bullet\rangle:=\left[\bullet+|\bullet|\right]/2$. Τέλος, σύμφωνα με τη σχέση τάσεων-παραμορφώσεων (6.38), τον κανόνα ροής και τον νόμο κράτυνσης (6.43), προκύπτει:

$$\dot{\boldsymbol{\sigma}}=\mathbf{C}:\left[\dot{\boldsymbol{\varepsilon}}-\dot{\boldsymbol{\varepsilon}}^{p}\right]=\mathbf{C}:\left[\dot{\boldsymbol{\varepsilon}}-\dot{\lambda}\boldsymbol{r}\right].$$

(6.56)

Αντικαθιστώντας την εξίσωση (6.55) στη σχέση (6.56), προκύπτει ο ρυθμός μεταβολής των τάσεων $\boldsymbol{\sigma}$ σε συνάρτηση του ρυθμού μεταβολής των συνολικών παραμορφώσεων $\boldsymbol{\varepsilon}$,

$$\dot{\boldsymbol{\sigma}}=\mathbf{C}^{ep}\dot{\boldsymbol{\varepsilon}},$$

(6.57)

όπου η έκφραση $\mathbf{C}^{ep}$ αναφέρεται στον τανυστή του εφαπτομενικού ελαστοπλαστικού μέτρου, ο οποίος δίνεται από την εξίσωση:

$$\mathbf{C}^{ep}=\left\{\begin{array}[]{ll}\mathbf{C}&\text{αν}\;\dot{\lambda}=0,\\ &\\ \mathbf{C}-\dfrac{\mathbf{C}:\boldsymbol{r}\otimes\mathbf{C}:\partial_{\boldsymbol{\sigma}}f}{\partial_{\boldsymbol{\sigma}}f:\boldsymbol{C}:\boldsymbol{r}+\partial_{\boldsymbol{\sigma}}f\boldsymbol{s}}&\text{αν}\;\dot{\lambda}>0.\\ \end{array}\right.$$

(6.58)

Όπως διακρίνεται στη σχέση (6.58), ο τανυστής $\mathbf{C}^{ep}$ στη γενική του μορφή είναι μη συμμετρικός για τυχαίο $\boldsymbol{r}(\boldsymbol{\sigma},q)$, εκτός από την περίπτωση κατά την οποία

$$\boldsymbol{r}(\boldsymbol{\sigma},\boldsymbol{q})=\partial_{\boldsymbol{\sigma}}f(\boldsymbol{\sigma},\boldsymbol{q})$$

(6.59)

που έχει ιδιαίτερη σημασία και καλείται συζευγμένος κανόνας ροής. Ομοίως και ο νόμος της κράτυνσης μπορεί να είναι συζευγμένος ή ασύζευκτος. Καλείται συζευγμένος όταν στον χώρο των τάσεων έχει τη μορφή:

$$\dot{\boldsymbol{q}}=-\dot{\lambda}\mathbf{D}\dfrac{\partial f}{\partial q},$$

(6.60)

και επομένως στον χώρο των παραμορφώσεων δίνεται ως:

$$\dot{\boldsymbol{\alpha}}=\dot{\lambda}\dfrac{\partial f}{\partial q},$$

(6.61)

όπου $\mathbf{D}$ το γενικευμένο μητρώο πλαστικότητας [12], που απεικονίζει τις εσωτερικές μεταβλητές κράτυνσης $\boldsymbol{q}$ στον χώρο των παραμορφώσεων, σύμφωνα με τη σχέση:

$$\boldsymbol{q}=-\mathbf{D}\boldsymbol{\alpha}.$$

(6.62)

Το κύριο ζητούμενο της θεωρίας πλαστικότητας για κριτήρια με πολλαπλές επιφάνειες διαρροής είναι ο χαρακτηρισμός της ελαστικής περιοχής. Θεωρείται ότι η ελαστική περιοχή $\mathrm{int}(\mathbb{E}_{\sigma})$ είναι το κυρτό υποσύνολο του $\mathbb{S}\times\Re^{n_{q}}$, που ορίζεται ως [14]:

$$\mathrm{int}(\mathbb{E}_{\sigma}):=\left\{(\boldsymbol{\sigma},\boldsymbol{q})\in\mathbb{S}\times\Re^{n_{q}}|f_{a}(\boldsymbol{\sigma},\boldsymbol{q})\leq 0,\quad\text{για κάθε}\quad a\in[1,2,\ldots,m]\right\},$$

(6.63)

όπου οι συναρτήσεις $f_{a}(\boldsymbol{\sigma},\boldsymbol{q})$ είναι $m\geq 1$ αλληλοτεμνόμενες (πιθανόν μη ομαλά) συναρτήσεις, όπως φαίνεται και στο Σχήμα 6.6 [14]. Αντίστοιχα, το σύνορο $\partial\mathbb{E}_{\sigma}$ ορίζεται ως:

$$\partial\mathbb{E}_{\sigma}:=\left\{(\boldsymbol{\sigma},\boldsymbol{q})\in\mathbb{S}\times\Re^{n_{q}}|f_{a}(\boldsymbol{\sigma},\boldsymbol{q})=0,\;\text{για κάθε}\;a\in[1,2,\ldots,m]\right\}.$$

(6.64)

Στη συνέχεια, το ενδιαφέρον επικεντρώνεται στην περίπτωση κατά την οποία οι $m\geq 1$ συναρτήσεις $f_{a}(\boldsymbol{\sigma},\boldsymbol{q})$ είναι ομαλές και ορίζουν ανεξάρτητους περιορισμούς για κάθε $(\boldsymbol{\sigma},\boldsymbol{q})\in\mathbb{E}_{\sigma}$. Σε αυτή την περίπτωση η μεταβολή του ρυθμού της πλαστικής παραμόρφωσης $\dot{\boldsymbol{\varepsilon}^{p}}$ καθορίζεται από τον κανόνα του Koiter:

$$\dot{\boldsymbol{\varepsilon}^{p}}=\sum\limits_{a=1}^{m}\dot{\lambda}^{a}\dfrac{\partial f_{a}(\boldsymbol{\sigma},\boldsymbol{q})}{\partial\boldsymbol{\sigma}}.$$

(6.65)

Στην παραπάνω εξίσωση οι παράμετροι $\dot{\lambda}^{a}$ είναι οι $m\geq 1$ παράμετροι συνέπειας, οι οποίες ικανοποιούν τις Karush-Kuhn-Tucker συμπληρωματικές συνθήκες, για $a=1,2,\ldots,m$,

$$\dot{\lambda}^{a}\geq 0,\quad f_{a}(\boldsymbol{\sigma},\boldsymbol{q})\leq 0,\quad\dot{\lambda}^{a}f_{a}(\boldsymbol{\sigma},\boldsymbol{q})\equiv 0,$$

(6.66)

ταυτόχρονα με την απαίτηση συνέπειας,

$$\dot{\lambda}^{a}\dot{f}_{a}(\boldsymbol{\sigma},\boldsymbol{q})\equiv 0.$$

(6.67)

Ομοίως, από τη γενίκευση των εξισώσεων που περιγράφουν τον ρυθμό μεταβολής των παραμέτρων κράτυνσης για την περίπτωση των πολλαπλών επιφανειών διαρροής προκύπτει ο νόμος κράτυνσης:

$$\dot{\boldsymbol{q}}=-\sum\limits_{\alpha=1}^{m}\dot{\lambda}^{\alpha}\boldsymbol{s}_{\alpha}(\boldsymbol{\sigma},\boldsymbol{q}),$$

(6.68)

ο οποίος στον χώρο των παραμορφώσεων και για την περίπτωση συζευγμένου νόμου δίνεται ως:

$$\dot{\boldsymbol{\alpha}}:=-\mathbf{D}^{-1}\dot{\boldsymbol{q}}=\sum\limits_{a=1}^{m}\dot{\lambda}^{\beta}f_{\beta}(\boldsymbol{\sigma},\boldsymbol{q}).$$

(6.69)

Στη συνέχεια διερευνώνται οι συνθήκες φόρτισης/αποφόρτισης για την περίπτωση των κριτηρίων που αποτελούνται από πολλαπλές επιφάνειες διαρροής. Έστω $m_{adm}$ ο αριθμός των περιορισμών (επιφανειών) που είναι ενεργοί σε ένα σημείο στον χώρο των τάσεων $(\boldsymbol{\sigma},\boldsymbol{q})\in\mathbb{E}_{\sigma}$ και $\mathbb{J}_{adm}$ το σύνολο των δεικτών $m_{adm}$ που αναφέρονται στους περιορισμούς, δηλαδή

$$\mathbb{J}_{adm}:=\{\beta\in\{\underbrace{1,2,\ldots,m}_{m_{adm}}\}|f_{\beta}(\boldsymbol{\sigma},\boldsymbol{q})=0\}.$$

(6.70)

Χρησιμοποιώντας τον κανόνα αλυσίδας, η παράγωγος των $f_{a}$ υπολογίζεται ως [14]:

	$\displaystyle\dot{f}$	$\displaystyle=\partial_{\boldsymbol{\sigma}}f_{\alpha}:\mathbf{C}:\dot{\boldsymbol{\varepsilon}}-\sum\limits_{\beta\in\mathbb{J}_{adm}}\dot{\lambda}^{\alpha}\left[\partial_{\boldsymbol{\sigma}}f_{\alpha}:\mathbf{C}:\partial_{\boldsymbol{\sigma}}f_{\beta}+\partial_{\boldsymbol{q}}f_{\alpha}\mathbf{D}\partial_{\boldsymbol{q}}f_{\beta}\right]$
		$\displaystyle=\partial_{\boldsymbol{\sigma}}f_{\alpha}:\mathbf{C}:\dot{\boldsymbol{\varepsilon}}-\sum\limits_{\beta\in\mathbb{J}_{adm}}\dot{\lambda}^{\alpha}g_{\alpha\beta}(\boldsymbol{\sigma},\boldsymbol{q}),$		(6.71)

όπου $g_{\alpha\beta}$:

$$g_{\alpha\beta}(\boldsymbol{\sigma},\boldsymbol{q}):=\left[\partial_{\boldsymbol{\sigma}}f_{\alpha}:\mathbf{C}:\partial_{\boldsymbol{\sigma}}f_{\beta}+\partial_{\boldsymbol{q}}f_{\alpha}\mathbf{D}\partial_{\boldsymbol{q}}f_{\beta}\right],$$

(6.72)

και για το οποίο υποθέτουμε ότι ισχύει:

$$\sum\limits_{\alpha\in\mathbb{J}_{adm}}\sum\limits_{\beta\in\mathbb{J}_{adm}}\xi^{\alpha}g_{\alpha\beta}\xi^{\beta}>0,$$

(6.73)

για κάθε $\xi^{\alpha}\in\Re$. Επομένως μπορεί εύκολα πλέον να αποδειχτεί ότι:

$$\text{αν}\;(\boldsymbol{\sigma},\boldsymbol{q})\in\partial\mathbb{E}_{\sigma}\;\text{και}\;\alpha\in\mathbb{J}_{adm},\;\text{τότε}\;\dot{f}_{\alpha}(\boldsymbol{\sigma},\boldsymbol{q})\leq 0.$$

(6.74)

Έχοντας υπόψη τις παραπάνω σχέσεις, από τις συνθήκες Karush-Kuhn-Tucker (6.66) και την απαίτηση συνέπειας (6.67) συνεπάγονται τα ακόλουθα για τις συνθήκες φόρτισης/αποφόρτισης [14]:

		$\displaystyle\text{Αν}\;\mathbb{J}_{adm}\equiv\emptyset,\;\text{τότε}\;\dot{\boldsymbol{\varepsilon}^{p}}=\mathbf{0}\;\text{και}\;\dot{\boldsymbol{q}}=\mathbf{0}.$
		$\displaystyle\text{Αν}\;\mathbb{J}_{adm}\neq\emptyset,\;\text{τότε}$
		$\displaystyle\quad\text{αν}\;\partial_{\boldsymbol{\sigma}}f_{\alpha}:\mathbf{C}:\dot{\boldsymbol{\varepsilon}^{p}}\leq 0,\text{για κάθε}\;\alpha\in\mathbb{J}_{adm}\Rightarrow\dot{\boldsymbol{\varepsilon}^{p}}=\mathbf{0}\;\text{και}\;\dot{\boldsymbol{q}}=\mathbf{0},$
		$\displaystyle\quad\text{αν}\;\partial_{\boldsymbol{\sigma}}f_{\alpha}:\mathbf{C}:\dot{\boldsymbol{\varepsilon}^{p}}>0,\text{για τουλάχιστον ένα}\;\alpha\in\mathbb{J}_{adm}\Rightarrow\dot{\boldsymbol{\varepsilon}^{p}}\neq\mathbf{0}\;\text{και}\;\dot{\boldsymbol{q}}\neq\mathbf{0}.$		(6.75)

Σημειώνεται ότι αν λαμβάνει χώρα πλαστική φόρτιση στο σημείο $(\boldsymbol{\sigma},\boldsymbol{q})\in\partial\mathbb{E}_{\sigma}$ και κάποιες επιφάνειες είναι ενεργές, τότε η συνθήκη $\partial_{\boldsymbol{\sigma}}f_{\alpha}:\mathbf{C}:\dot{\boldsymbol{\varepsilon}^{p}}>0$ δεν εγγυάται ότι η επιφάνεια αυτή θα είναι οριστικά ενεργή.

Έστω τώρα ότι η ιστορία του ρυθμού των παραμορφώσεων $\dot{\boldsymbol{\varepsilon}^{p}}$ είναι γνωστή τη χρονική στιγμή $t$. Τότε από τις συμπληρωματικές συνθήκες Karush-Kuhn-Tucker (6.66) και την απαίτηση συνέπειας (6.67) μπορεί να καθοριστεί αν ένας περιορισμός (επιφάνεια) είναι ενεργός. Πιο συγκεκριμένα, από τις παραπάνω συνθήκες προκύπτει ότι [14]:

1. 1.

   Αν $f_{\alpha}(\boldsymbol{\sigma},\boldsymbol{q})\leq 0$ και $\dot{f}_{\alpha}(\boldsymbol{\sigma},\boldsymbol{q})<0$, τότε $\dot{\lambda}^{\alpha}=0$.

2. 2.

   Αν $f_{\alpha}(\boldsymbol{\sigma},\boldsymbol{q})=0$ και $\dot{f}_{\alpha}(\boldsymbol{\sigma},\boldsymbol{q})<0$, τότε $\dot{\lambda}^{\alpha}\geq 0$.

Οι περιπτώσεις 1 και 2 αποτελούν την επαναδιατύπωση των συνθηκών φόρτισης/αποφόρτισης για την περίπτωση της πλαστικοποίησης κριτηρίων πολλαπλών επιφανειών. Αν τώρα θεωρηθεί ότι $m_{act}$ είναι ο αριθμός των ενεργών περιορισμών σε ένα σημείο $(\boldsymbol{\sigma},\boldsymbol{q})$ για το οποίο ισχύει η περίπτωση 2, τότε ορίζεται:

$$\mathbb{J}_{act}:=\left\{\beta\in\mathbb{J}_{adm}|\dot{f}_{\beta}(\boldsymbol{\sigma},\boldsymbol{q})=0\right\}.$$

(6.76)

Εφόσον η παράμετρος συνέπειας $\dot{\lambda}^{\alpha}$ είναι μη μηδενική μόνο για $\alpha\in\mathbb{J}_{act}$, και σύμφωνα με τη σχέση (6.71) συνεπάγεται ότι:

$$\dot{f}_{\alpha}(\boldsymbol{\sigma},\boldsymbol{q})=0\Rightarrow\sum\limits_{\beta\in\mathbb{J}_{act}}\dot{\lambda}^{\beta}g_{\alpha\beta}(\boldsymbol{\sigma},\boldsymbol{q})=\partial_{\boldsymbol{\sigma}}f_{\alpha}:\mathbf{C}:\dot{\boldsymbol{\varepsilon}^{p}},$$

(6.77)

για κάθε $\alpha\in\mathbb{J}_{act}$. Συνεπώς έτσι ορίζεται ένα σύστημα εξισώσεων $m_{act}\leq m_{adm}$ αγνώστων, στο οποίο οι συνθήκες $\dot{\lambda}^{\beta}=0$ (αν $\dot{f}_{\beta}(\boldsymbol{\sigma},\boldsymbol{q})\leq 0$) παρέχουν τις υπόλοιπες $m_{adm}-m_{act}$ εξισώσεις ώστε το σύστημα (6.77) να είναι ορισμένο. Συνοπτικά, επομένως ισχύει:

$$\left.\begin{array}[]{l}\dot{\lambda}^{\beta}=0\;\text{αν}\;\beta\not\in\mathbb{J}_{act},\\ \dot{\lambda}^{\alpha}=\sum\limits_{\beta\in\mathbb{J}_{act}}g^{\alpha\beta}(\boldsymbol{\sigma},\boldsymbol{q})[\partial_{\boldsymbol{\sigma}}f_{\alpha}:\mathbf{C}:\dot{\boldsymbol{\varepsilon}^{p}}],\;\text{αν}\;\alpha\in\mathbb{J}_{act}\end{array}\right\}$$

(6.78)

όπου $g^{\alpha\beta}(\boldsymbol{\sigma},\boldsymbol{q})=[g_{\alpha\beta}(\boldsymbol{\sigma},\boldsymbol{q})]^{-1}$, και η συνάρτηση $g_{\alpha\beta}(\boldsymbol{\sigma},\boldsymbol{q})$ όπως έχει οριστεί στην (6.72).

Για την καλύτερη κατανόηση αλλά και για μελλοντικές αναφορές, οι εξισώσεις που εξετάστηκαν στην παρούσα ενότητα συνοψίζονται στο Πλαίσιο 6.3.3.

Το συνεχές εφαπτομενικό ελαστοπλαστικό μέτρο $\mathbf{C}^{ep}$ προκύπτει αντικαθιστώντας την παράμετρο συνέπειας στην εξίσωση ρυθμού των τάσεων-παραμορφώσεων:

	$\displaystyle\dot{\boldsymbol{\sigma}}$	$\displaystyle=\mathbf{C}:\dot{\boldsymbol{\varepsilon}}$		(6.79)
	$\displaystyle\dot{\boldsymbol{\sigma}}$	$\displaystyle=\mathbf{C}:\left[\dot{\boldsymbol{\varepsilon}^{e}}-\dot{\boldsymbol{\varepsilon}^{p}}\right]$		(6.80)
	$\displaystyle\dot{\boldsymbol{\sigma}}$	$\displaystyle=\mathbf{C}:\left[\dot{\boldsymbol{\varepsilon}^{e}}-\sum\limits_{\alpha=1}^{m}\dot{\lambda}^{\alpha}\partial_{\boldsymbol{\sigma}}f_{\alpha}(\boldsymbol{\sigma},\boldsymbol{q})\right]$		(6.81)

την τιμή της παραμέτρου $\dot{\lambda}^{\alpha}$ όπως ορίζεται από τη σχέση (6.78). Για την περίπτωση του συζευγμένου κανόνα ροής, προκύπτει [14]:

$$\mathbf{C}^{ep}\left\{\begin{array}[]{l}\mathbf{C}-\sum\limits_{\alpha,\beta\in\mathbb{J}_{act}}g^{\alpha\beta}\left[\mathbf{C}:\partial_{\boldsymbol{\sigma}}f_{\alpha}\right]\otimes\left[\mathbf{C}:\partial_{\boldsymbol{\sigma}}f_{\beta}\right]\;\text{αν και μόνο αν}\;\mathbb{J}_{act}\neq\emptyset\\ \mathbf{C}\;\text{αν και μόνο αν}\;\mathbb{J}_{act}=\emptyset.\end{array}\right.$$

(6.82)