6.5 Αρχή τοπικότητας

Θεώρημα 6.3   Έστω $f \in L^1({\mathbb{T}})$ και $\theta_0 \in [0,2\pi)$ τ.ώ. υπάρχει η παράγωγος $f'(\theta_0)$. Τότε τα μερικά αθροίσματα της σειράς Fourier της $f$ συγκλίνουν στην $f$ στο $\theta_0$

$$S_N(f)(\theta_0) \to f(\theta_0), \gamma\iota\alpha N\to\infty.$$

Απόδειξη.
Ορίζουμε

$$F(t) = \begin{cases}\frac{f(\theta_0-t)-f(\theta_0)}{t} & (0 < {\left\vert{t}\right\vert} <\pi)\\ -f'(\theta_0) & (t=0). \end{cases}$$

Η συνάρτηση $F$ είναι φραγμένη κοντά στο 0 και ολοκληρώσιμη στο χωρίο ${\left\vert{t}\right\vert}>\delta$, για κάθε θετικό $\delta$, άρα $F\in L^1({\mathbb{T}})$. Έχουμε επίσης

$$S_N(f)(\theta_0) -f(\theta_0) = f*D_N(\theta_0) - f(\theta_0)$$

$$= \int (f(\theta_0-t)-f(\theta_0)) D_N(t) dt \alpha\varphi o \upsilon \int D_N = 1$$

$$= \int F(t) \cdot t\cdot D_N(t) dt.$$

Αλλά

$$t D_N(t) = \frac{t}{\sin\frac{t}{2}} \sin\left(N+\frac{1}{2}\right)t$$

$$= \frac{t}{\sin\frac{t}{2}} \left(\sin Nt \cos\frac{t}{2} + \cos Nt \sin\frac{t}{2}\right)$$

($\dagger$: από την (4.14)). Άρα

$$S_N(f)(\theta_0) -f(\theta_0) = \int \left(F(t)\frac{t}{\sin (t/2)}\cos(t/2)\right) \sin Nt dt + \int\left(F(t) t \right) \cos Nt dt,$$

και καθένα από τα δύο αυτά ολοκληρώματα είναι της μορφής $\int g(t) \sin Nt dt$ ή $\int g(t) \cos Nt dt$ με $g \in L^1({\mathbb{T}})$, άρα συγκλίνει στο 0 από το Λήμμα Riemann-Lebesgue (Θεώρημα 6.6).

Παρατήρηση 6.1   Με την ίδια απόδειξη του Θεωρήματος 6.3 έχουμε το ίδιο αποτέλεσμα αν αντί για παραγωγισιμότητα της $f$ στο $\theta_0$ υποθέσουμε απλά ότι ισχύει στο $\theta_0$ μια συνθήκη Lipschitz: υπάρχει δηλ. $\delta>0$ τ.ώ.

$${\left\vert{f(\theta)-f(\theta_0)}\right\vert} \le M {\left\vert{\theta-\theta_0}\right\vert},$$ (6.4)

για κάθε $\theta \in (\theta_0-\delta, \theta_0+\delta)$.

Άσκηση 6.7   Αποδείξτε ότι αν $f'(\theta_0)$ υπάρχει τότε ισχύει η (6.4) για κάποια $M, \delta>0$.

Πόρισμα 6.1 (Αρχή τοπικότητας)   Αν $f, g \in L^1({\mathbb{T}})$ και οι $f,g$ ταυτίζονται σε ένα ανοιχτό διάστημα $I$ τότε για κάθε $\theta_0 \in I$ ισχύει η ισοδυναμία

$$\lim_{N\to\infty}S_N(f)(\theta_0) = f(\theta_0) \Longleftrightarrow \lim_{N\to\infty}S_N(g)(\theta_0) = g(\theta_0).$$ (6.5)

Δεν εξαρτάται δηλ. η σύγκλιση της $S_N(f)(x)$ παρά μόνο από τις τιμές της $f$ σε μια οσοδήποτε μικρή γειτονιά του $x$.

Απόδειξη.
Η $f-g$ είναι ολοκληρώσιμη και ταυτοτικά 0 στο $I$, άρα και παραγωγίσιμη στο $\theta_0 \in I$. Από το Θεώρημα 6.3 προκύπτει ότι $S_N(f-g)(\theta_0) \to 0$ και η ισοδυναμία (6.5) προκύπτει από την ισότητα $S_N(f)(\theta_0) = S_N(g)(\theta_0) + S_N(f-g)(\theta_0)$.

Αν μια $L^1$ συνάρτηση $f$ ικανοποιεί την (6.4) τότε, και μόνο τότε, η συνάρτηση $\frac{1}{t}(f(\theta_0-t)-f(\theta_0))$ είναι φραγμένη σε μια περιοχή του μηδενός. Το επόμενο αποτέλεσμα μας λέει ότι ουσιαστικά αρκεί η ολοκληρωσιμότητα αυτής της συνάρτησης, που είναι βέβαια μια γενικότερη ιδιότητα.

Θεώρημα 6.4 (Το κριτήριο του Dini)   Αν $f \in L^1({\mathbb{T}})$ και $\int {\left\vert{ \frac{1}{t}(f(\theta_0+t)-f(\theta_0)) }\right\vert} dt < +\infty$ τότε $S_N(f)(\theta_0)\to f(\theta_0)$.

Απόδειξη.
Μπορούμε χωρίς βλάβη της γενικότητας να προσθέσουμε μια σταθερά στην $f$, την $-f(\theta_0)$, και να μεταφέρουμε το $\theta_0$ στο 0, ώστε η συνθήκη μας να γίνει $\int{\left\vert{\frac{f(t)}{t}}\right\vert} dt<+\infty$.$f(0)=0$, και θέλουμε να αποδείξουμε ότι $S_N(f)(0)\to 0$.

Έχουμε

$$S_N(f)(0) = \int f(t)D_N(t) dt$$

$$= \int \frac{f(t)}{\sin(t/2)} \sin(N+\frac{1}{2})t dt \dagger$$

$$= \int g(t) \sin(N+\frac{1}{2})t dt \ddagger$$

$$= \int g(t) (\sin(t/2) \cos Nt + \cos(t/2) \sin Nt) dt$$

$$= \int f(t)\cos Nt dt + \int [g(t)\cos(t/2)] \sin Nt dt$$

($\dagger$: από την (4.14), $\ddagger$: όπου θέσαμε $g(t)=f(t)/\sin(t/2) \in L^1({\mathbb{T}})$ από την υπόθεσή μας), και από το Λήμμα Riemann-Lebesgue (Θεώρημα 6.6) έχουμε ότι και τα δύο ολοκληρώματα τείνουν στο 0.