4.6 Μέσοι όροι αριθμητικής ακολουθίας

Για να παρακάμψουμε τα πολλά εμπόδια που υπάρχουν στη σύγκλιση των μερικών αθροισμάτων της σειράς Fourier μελετάμε τους μέσους όρους τους.

Θεώρημα 4.6   Έστω $a_n \in {\mathbb{C}}$, $n=1,2,\ldots$, και

$$\sigma_n = \frac{1}{n}(a_1+a_2+\cdots+a_n).$$

Αν $a_n \to a \in {\mathbb{C}}$ τότε και $\sigma_n \to a$. Αν όμως $\sigma_n$ συγκλίνει δεν έπεται ότι και η $a_n$ συγκλίνει.

Απόδειξη.
Εύκολα βλέπει κανείς ότι μπορεί να υποθέσει $a=0$. Έστω $\epsilon>0$ και $n_0$ τ.ώ. αν $n\ge n_0$ να ισχύει ${\left\vert{a_n}\right\vert}<\epsilon$. Γράφουμε

$$\sigma_n = \frac{a_1+\cdots+a_{n_0}}{n} + \frac{a_{n_0+1}+\cdots+a_n}{n}$$

$$= \frac{a_1+\cdots+a_{n_0}}{n} + \frac{n-n_0}{n} \frac{a_{n_0+1}+\cdots+a_n}{n-n_0}$$

$$=I+II.$$

Η ποσότητα $I$ παραπάνω τείνει στο 0 (ο αριθμητής είναι σταθερός) για $n \to \infty$ ενώ για την ποσότητα $II$ έχουμε

$${\left\vert{II}\right\vert} \le {\left\vert{\frac{a_{n_0+1}+\cdots+a_n}{n-n_0}}\right\vert}.$$

Όμως η ποσότητα στην απόλυτο τιμή στο δεξί μέλος είναι ο μέσος όρος των αριθμών $a_{n_0+1},\ldots,a_n$ που όλοι βρίσκονται μέσα στον δίσκο ${\left\{{{\left\vert{z}\right\vert}\le\epsilon}\right\}}$. Επειδή το χωρίο αυτό είναι κυρτό και ο μέσος όρος τους θα είναι μέσα στο δίσκο αυτό, άρα ${\left\vert{II}\right\vert}\le\epsilon$. Έχουμε λοιπόν δείξει ότι $\limsup_{n\to\infty}{\left\vert{\sigma_n}\right\vert} \le \epsilon$, κι αφού το $\epsilon$ είναι οτιδήποτε έχουμε δείξει $\lim_{n\to\infty} \sigma_n = 0$.

Για να δούμε ότι η σύγκλιση της ακολουθίας $\sigma_n$ δε συνεπάγεται τη σύγκλιση της $a_n$ αρκεί να κοιτάξουμε το παράδειγμα της ακολουθίας $0, 1, 0, 1, 0, 1, \ldots$ για την οποία οι μέσοι όροι συγκλίνουν στο $1/2$ ενώ η ίδια η ακολουθία δε συγκλίνει.

Άσκηση 4.8   Κατασκευάστε μια ακολουθία $a_n\ge 0$ που οι μέσοι όροι της συγκλίνουν στο 0 αλλά η ίδια η ακολουθία να έχει το $\infty$ ως $\limsup$ της.