4.10 Εφαρμογή: Μια συνεχής συνάρτηση, πουθενά παραγωγίσιμη

Είναι πολύ εύκολο να φτιάξει κανείς μια συνάρτηση που δεν είναι πουθενά παραγωγίσιμη: η χαρακτηριστική συνάρτηση των ρητών $\chi_{\mathbb{Q}}$ είναι μια τέτοια συνάρτηση. Όμως η συνάρτηση αυτή δεν είναι πουθενά παραγωγίσιμη για ένα κάπως τετριμμένο (όχι ενδιαφέροντα δηλ.) λόγο: δεν είναι πουθενά συνεχής, αφού το άνω όριο σε κάθε σημείο είναι 1 και το κάτω είναι 0. Είναι πολύ πιο ενδιαφέρον να έχουμε παντού συνέχεια της συνάρτησης και πουθενά παραγωγισιμότητα, και σε αυτή την παράγραφο θα δούμε ένα παράδειγμα, που λίγο-πολύ οφείλεται στον Weierstrass, τέτοιας συνάρτησης χρησιμοποιώντας τεχνικές της αρμονικής ανάλυσης.

Θεώρημα 4.11   Έστω $0<\alpha<1$. Τότε η σειρά

$$f(x) = \sum_{n=0}^\infty 2^{-\alpha n} e^{i2^n x}$$ (4.27)

συγκλίνει απόλυτα και ομοιόμορφα σε μια συνάρτηση $f \in C({\mathbb{T}})$ που δεν είναι πουθενά παραγωγίσιμη.

Η ομοιόμορφη σύγκλιση της σειράς είναι φανερή αφού $\sum_{n=0}^\infty 2^{-\alpha n}<+\infty$ αφού $\alpha>0$. Πριν αποδείξουμε τη μη παραγωγισιμότητα ας δοκιμάσουμε να παραγωγίσουμε τη σειρά όρο προς όρο. Προκύπτει η σειρά

$$\sum_{n=0}^\infty i 2^{(1-\alpha)n} e^{i2^n x}.$$ (4.28)

Παρατηρήστε ότι, λόγω της υπόθεσης $\alpha<1$, οι συντελεστές των συναρτήσεων $e^{i2^n x}$ πάνε στο άπειρο, άρα η σειρά (4.28) δε συγκλίνει για κανένα $x \in {\mathbb{R}}$. Αυτός ο υπολογισμός δεν αποδεικνύει φυσικά το θεώρημα (αφού θα μπορούσε να υπάρχει η παράγωγος αλλά να μην είναι ίδια με την (4.28)) αλλά αποτελεί μια ισχυρή ένδειξη ότι το Θεώρημα 4.11 είναι σωστό.

Ορίζουμε πρώτα το λεγόμενο πυρήνα του de la Vallée Poussin ο οποίος ορίζεται μέσω του πυρήνα του Fejér ως εξής:

$$V_N(x) = 2K_{2N}(x) - K_N(x).$$ (4.29)

Οι συντελεστές Fourier του $V_N(x)$ φαίνονται στο Σχήμα 4.8. Εύκολα αποδεικνύεται ότι $\widehat{V_N}(k)=1$ για ${\left\vert{k}\right\vert}\le N$, $\widehat{V_N}(k)=0$ για ${\left\vert{k}\right\vert}\ge2N$ και ότι η $\widehat{V_N}(k)$ πέφτει γραμμικά ως προς $k$ για ${\left\vert{k}\right\vert}=N, N+1, \ldots, 2N$.

Σχήμα 4.8: Οι συντελεστές Fourier του πυρήνα του de la Vallée Poussin $V_N(x)$ για $N=6$

Άσκηση 4.19   Δείξτε ότι ${\left\Vert{V_N}\right\Vert _{1}} \le 3$.

Άσκηση 4.20   Τελείως ανάλογα με τα μερικά αθροίσματα μιας σειράς Fourier $S_N(f)(x) = f*D_N(x)$ και τους Cesáro μέσους της σειράς $\sigma_N(f)(x) = f*K_N(x)$ ορίζονται και οι de la Vallée Poussin μέσοι

$$\tau_N(f)(x) = f*V_N(x) = 2\sigma_{2N}(f)(x)-\sigma_N(f)(x).$$ (4.30)

Δείξτε ότι και για τους de la Vallée Poussin μέσους ισχύει το θεώρημα του Fejér: αν $f \in C({\mathbb{T}})$ τότε $\tau_N(f)(x) \to f(x)$ ομοιόμορφα.

Το ότι οι συντελεστές Fourier της $V_N$ είναι ίσοι με 1 μέχρι το $N$ και φθίνουν γραμμικά μέχρι το $2N$ κάνει τους de la Vallée Poussin μέσους $\tau_N(f)(x)$ να μοιάζουν αφενός με τα μερικά αθροίσματα $S_N(f)(x)$ αλλά να έχουν και κάποιες από τις καλές ιδιότητες των Cesáro μέσων $\sigma_N(f)(x)$.

Άσκηση 4.21   Έστω $f \in C({\mathbb{T}})$ τέτοια ώστε $\widehat{f}(n) = 0$ αν ο ακέραιος $n$ δεν είναι της μορφής $\pm 3^k$ ( $k \in {\mathbb{N}}$). Δείξτε ότι για μια τέτοια $f$ η ακολουθία $S_N(f)(x)$ συγκλίνει ομοιόμορφα στην $f$.

Υπόδειξη: Εκφράστε το $S_N(f)(x)$ ως ένα μέσο de la Vallée Poussin της $f$ και χρησιμοποιήστε το Πρόβλημα 4.20.

Λήμμα 4.1   Αν $g \in C({\mathbb{T}})$ είναι παραγωγίσιμη στο $x_0$ τότε

$$\sigma_N(g)'(x_0) =O(\log N), \tau_N(g)'(x_0) = O(\log N), \gamma\iota\alpha N\to\infty.$$ (4.31)

Απόδειξη.
Παραγωγίζοντας την ταυτότητα $\tau_N(g) = 2\sigma_{2N}(g)-\sigma_N(g)$ βλέπουμε ότι αρκεί να δείξουμε την πρώτη από τις δύο εκτιμήσεις.

Εφαρμόζοντας το Πρόβλημα 4.2 βλέπουμε ότι

$$\sigma_N(g)'(x_0) = (K_N*g)'(x_0) = K_N'*g(x_0) = \int K_N'(t) g(x_0-t) dt.$$

Αφού $\int K_N' = 0$ έχουμε επίσης

$$\sigma_N(g)'(x_0) = \int K_N'(t) \left[ g(x_0-t) - g(x_0) \right] dt.$$

Η παραγωγισιμότητα στο $x_0$ μας δίνει ότι υπάρχει πεπερασμένη σταθερά $C>0$ τ.ώ.

$${\left\vert{g((x_0-t) - g(x_0)}\right\vert} \le C{\left\vert{t}\right\vert}, (t\in{\mathbb{R}}),$$

και συνεπώς

$${\left\vert{\sigma_N(g)'(x_0)}\right\vert} \le C \int {\left\vert{K_N'(t)}\right\vert} {\left\vert{t}\right\vert} dt.$$ (4.32)

Χρησιμοποιώντας τον τύπο (4.23), που μετά από παραγώγιση μας δίνει

$$K_N'(t) = \frac{\sin\frac{Nt}{2} \cos\frac{NT}{2}}{\sin^2(t/2)} - \frac{1}{N}\frac{\cos\frac{t}{2} \sin^2 \frac{Nt}{2}}{\sin^3(t/2)},$$ (4.33)

καθώς και το γεγονός ότι το $K_N$ είναι τριγωνομετρικό πολυώνυμο βαθμού $N$ με συντελεστές φραγμένους από 1, παίρνουμε την ανισότητα

$${\left\vert{K_N'(t)}\right\vert} \le A \min{\left\{{N^2, \frac{1}{t^2}}\right\}},$$ (4.34)

για ${\left\vert{t}\right\vert}\le\pi$ και για κάποια πεπερασμένη σταθερά $A$.

Άσκηση 4.22   Αποδείξτε με όλη τη λεπτομέρεια την ανισότητα (4.34) και βρείτε μια τιμή για τη σταθερά $A$ ώστε η ανισότητα αυτή να ισχύει για κάθε αρκετά μεγάλο $N$.

Από την (4.32) και την (4.34) παίρνουμε

$${\left\vert{\sigma_N(g)'(x_0)}\right\vert} \le C \int_{{\left\vert{t}\right\vert}\ge(1/N)} {\left\vert{K_N'(... ...\vert}\le(1/N)} {\left\vert{K_N'(t)}\right\vert} {\left\vert{t}\right\vert} dt$$

$$\le CA \int_{{\left\vert{t}\right\vert}\ge(1/N)} \frac{1}{{\left\vert{t}\right\vert}} dt + CAN \int_{{\left\vert{t}\right\vert}\le(1/N)} dt$$

$$=O(\log N),$$

το οποίο συμπληρώνει την απόδειξη του Λήμματος.

Άσκηση 4.23   Αποδείξτε ότι $\tau_{2^{n}}(f)(x)-\tau_{2^{n-1}}(f)(x) = 2^{-\alpha n}e^{i2^n x}$ για κάθε $x$ και άρα, παραγωγίζοντας,

$${\left\vert{ \tau_{2^{n}}(f)'(x)-\tau_{2^{n-1}}(f)'(x) }\right\vert} = 2^{(1-\alpha)n}.$$ (4.35)

Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε το Σχήμα 4.8.

Ας υποθέσουμε τώρα ότι το $f'(x_0)$ υπάρχει, για τη συνάρτηση (4.27). Χρησιμοποιώντας το Πρόβλημα 4.23 παίρνουμε αντίφαση ανάμεσα στην (4.35) και στο συμπέρασμα του Λήμματος 4.1, για $g=f$ και $N=2^n, 2^{n-1}$, αφού με βάση το Λήμμα 4.1 η ποσότητα (4.35) είναι $O(\log N)$ ενώ από το Πρόβλημα 4.23 είναι ίση με $N^{1-\alpha}$, που δεν είναι $O(\log N)$. Η απόδειξη του Θεωρήματος 4.11 είναι πλήρης.