4.3 Συνέλιξη στον κύκλο

Αν $f,g$ είναι $2\pi$-περιοδικές συναρτήσεις η συνέλιξή τους ορίζεται διαφορετικά από τον τύπο (4.5) ο οποίος δε θα έκανε νόημα σε αυτή την περίπτωση μια και οι $2\pi$-περιοδικές συναρτήσεις δεν είναι ολοκληρώσιμες πάνω σε ολόκληρο το ${\mathbb{R}}$ (εκτός από τη μηδενική συνάρτηση). Ορίζουμε λοιπόν

$$f*g(x) = {\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}}f(y)g(x-y) dy.$$ (4.6)

Τι συνθήκες πρέπει να βάλουμε για τις $f$ και $g$ ώστε να κάνει νόημα το ολοκλήρωμα; Η εύκολη λύση κι εδώ είναι να απαιτήσουμε να είναι κι οι δύο συνεχείς, αλλά αυτό είναι περιοριστικό. Μια λύση κι εδώ είναι να ζητάμε η μια από αυτές να είναι ολοκληρώσιμη και η άλλη φραγμένη (άρα και ολοκληρώσιμη αφού μιλάμε για φραγμένο διάστημα ολοκλήρωσης).

Όπως και στην περίπτωση συνέλιξης συναρτήσεων ορισμένων πάνω σε όλο το ${\mathbb{R}}$ κι εδώ ορίζουμε τη συνέλιξη δύο οποιωνδήποτε συναρτήσεων στο $L^1({\mathbb{T}})$ φτάνει να είμαστε διατεθειμένοι να αποδεχτούμε ότι η συνάρτησή μας ορίζεται απλά σχεδόν παντού, όχι παντού.

Θεώρημα 4.3   Για τη συνέλιξη $f*g$ δύο συναρτήσεων $f, g \in L^1({\mathbb{T}})$ ισχύουν τα ακόλουθα.

1. Η συνέλιξη $f*g(x)$ ορίζεται σχεδόν για κάθε $x \in {\mathbb{R}}$ και έχουμε

   $${\left\Vert{f*g}\right\Vert _{1}} \le {\left\Vert{f}\right\Vert _{1}} {\left\Vert{g}\right\Vert _{1}}.$$ (4.7)

   
   

2. Αν επιπλέον $g \in L^\infty({\mathbb{T}})$ τότε η συνέλιξη $f*g(x)$ ορίζεται για κάθε $x \in {\mathbb{R}}$, είναι ουσιωδώς φραγμένη ολοκληρώσιμη συνάρτηση και ισχύει

   $${\left\Vert{f*g}\right\Vert _\infty} \le {\left\Vert{f}\right\Vert _{1}} \cdot {\left\Vert{g}\right\Vert _\infty}.$$ (4.8)

   
   
   Επίσης η συνάρτηση $f*g$ είναι ομοιόμορφα συνεχής στο ${\mathbb{R}}$.

3. (Αντιμεταθετικότητα)Ισχύει $f*g(x) = g*f(x)$ σχεδόν για κάθε $x \in {\mathbb{R}}$ και η συνάρτηση $f*g$ είναι επίσης $2\pi$-περιοδική αν την ορίσουμε κατάλληλα σε ένα σύνολο μέτρου 0.

4. (Γραμμικότητα)Η συνέλιξη είναι γραμμική και ως προς τα δύο ορίσματά της. Ισχύει δηλαδή, αν $\lambda, \mu \in {\mathbb{C}}$
   $$f*(\lambda g + \mu h) = \lambda f*g + \mu f*h,$$
   και ομοίως για γραμμικό συνδυασμό ως προς το πρώτο όρισμα, οποτεδήποτε ορίζεται καλώς το δεξί μέλος.

5. (Προσεταιριστικότητα)Αν $f, g, h \in L^1({\mathbb{T}})$ τότε
   $$(f*g)*h = f*(g*h).$$

Απόδειξη.

Απόδειξη του 4.3.1. Όπως στο Θεώρημα 4.2.

Απόδειξη του 4.3.2.

$${\left\vert{f*g(x)}\right\vert} = {\left\vert{{\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}}f(y)g(x-y) dy}\right\vert}$$

$$\le {\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}}{\left\vert{f(y)}\right\vert}{\left\vert{g(x-y)}\right\vert} dy$$

$$\le {\left\Vert{g}\right\Vert _\infty} {\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}}{\left\vert{f(y)}\right\vert} dy$$

$$= {\left\Vert{g}\right\Vert _\infty}{\left\Vert{f}\right\Vert _{1}}.$$

Για να δείξουμε τη συνέχεια της $f$ παρατηρούμε ότι

$${\left\vert{f*g(x+h)-f*g(x)}\right\vert} = {\left\vert{ (\tau_h f... ...{\left\Vert{\tau_h f - f}\right\Vert _{1}} {\left\Vert{g}\right\Vert _\infty}.$$

Τέλος θυμόμαστε ότι ο τελεστής $\tau_h$ της μεταφοράς κατά $h$ είναι συνεχής σε όλους τους χώρους $L^p$, και άρα η ποσότητα ${\left\Vert{\tau_h f - f}\right\Vert _{1}}$ μπορεί να γίνει όσο μικρή θέλουμε αρκεί το $h$ να είναι αρκετά μικρό. Εφ' όσον δεν υπάρχει εξάρτηση από το $x$ η συνέχεια είναι ομοιόμορφη στο ${\mathbb{R}}$.

Απόδειξη του 4.3.3. Για την αντιμεταθετικότητα κάνουμε την αλλαγή μεταβλητής $u = x-y$ στο ολοκλήρωμα (4.6) και χρησιμοποιούμε το γεγονός ότι αν μια συνάρτηση είναι $2\pi$-περιοδική τότε το ολοκλήρωμά της πάνω σε κάθε διάστημα μήκους $2\pi$ είναι το ίδιο. Η $2\pi$-περιοδικότητα της $f*g$ είναι άμεση συνέπεια της περιοδικότητας της $g$ (και ισχύει και στην περίπτωση της συνέλιξης στην ευθεία όταν η $f$ είναι ολοκληρώσιμη στο ${\mathbb{R}}$ και η $g$ είναι $2\pi$-περιοδική).

Απόδειξη του 4.3.4. Αφήνεται ως άσκηση για τον αναγνώστη.

Απόδειξη του 4.3.5.

$$(f*g)*h(x) = {\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}}f*g(y) h(x-y) dy$$

$$= {\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}}{\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}}f(t) g(y-t) dt h(x-y) dy$$

$$= {\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}}f(t) {\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}}g(y-t) h(x-y) dy dt \dagger$$

$$= {\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}}f(t) {\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}}g(u) h(x-t-u) du dt \ddagger$$

$$= {\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}}f(t) g*h(x-t) dt$$

$$= f*(g*h)(x)$$

($\dagger$: εναλλαγή σειράς ολοκλήρωσης, $\ddagger$: αλλαγή μεταβλητής $u=y-t$). Για να αιτιολογήσουμε την εναλλαγή σειράς ολοκλήρωσης παραπάνω αρκεί να δείξουμε (θ. Fubini) ότι το πολλαπλό ολοκλήρωμα

$${\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}}{\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}}{\left\... ...vert} {\left\vert{g(y-t)}\right\vert} dt {\left\vert{h(x-y)}\right\vert} dy$$

είναι πεπερασμένο. Αυτό είναι συνέπεια διπλής εφαρμογής της ανισότητας (4.7).

Δίνουμε ακόμη χωρίς απόδειξη την παρακάτω πολύ χρήσιμη ανισότητα.

Θεώρημα 4.4 (Ανισότητα Young)   Αν $p, q, r \in [1, +\infty]$ ικανοποιούν τη σχέση

$$\frac{1}{r}+1 = \frac{1}{p}+\frac{1}{q}$$

τότε ισχύει

$${\left\Vert{f*g}\right\Vert}_r \le {\left\Vert{f}\right\Vert}_p {\left\Vert{g}\right\Vert}_q.$$ (4.9)

Παρατήρηση 4.1   Σε ένα θεώρημα όπως το Θεώρημα 4.4 που για κάποια συνάρτηση δίνεται ότι κάποια νόρμα της είναι πεπερασμένη (η $r$-νόρμα της $f*g$ στην περίπτωση της ανισότητας Young) συνέπεια του Θεωρήματος (που συχνά δε δηλώνεται ρητά) είναι ότι η συνάρτηση αυτή ανήκει στον αντίστοιχο χώρο (στην περίπτωση της ανισότητα Young έπεται λοιπόν ότι η $f*g$ ανήκει στο χώρο $L^r({\mathbb{T}})$ όταν $f \in L^p({\mathbb{T}})$ και $g \in L^q({\mathbb{T}})$.

Παρατηρήστε ότι οι περιπτώσεις 1 και 2 του Θεωρήματος 4.3 είναι ειδικές περιπτώσεις της ανισότητας του Young για $p=q=r=1$ και $p=1, q=\infty, r=\infty$.

Αξίζει επίσης να σημειώσουμε το εξής πόρισμα της ανισότητας του Young για $r=p$.$q=1$.

Πόρισμα 4.4   Αν $1\le p \le \infty$ και $f \in L^p({\mathbb{T}})$, $g \in L^1({\mathbb{T}})$ τότε ισχύει

$${\left\Vert{f*g}\right\Vert}_p \le {\left\Vert{f}\right\Vert}_p {\left\Vert{g}\right\Vert}_1.$$ (4.10)

Η ισχυρή σχέση που έχει η έννοια της συνέλιξης με την Ανάλυση Fourier οφείλεται στην επόμενη πολύ σημαντική πρόταση η οποία μας λέει ότι η πράξη της συνέλιξης στο πεδίο του «χρόνου» μεταφράζεται σε κατά σημείο πολλαπλασιασμό στο πεδίο «Fourier» ή στο πεδίο συχνοτήτων.

Θεώρημα 4.5   Αν $f, g \in L^1({\mathbb{T}})$ τότε

$$\widehat{f*g}(n) = \widehat{f}(n) \cdot \widehat{g}(n)$$ (4.11)

Απόδειξη.
Έχουμε

$$\widehat{f*g}(n) = {\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}}f*g(x) e^{-inx} dx$$

$$= {\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}}{\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}}f(y) g(x-y) dy e^{-inx} dx$$

$$= {\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}}f(y) e^{-iny} {\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}}g(x-y) e^{-in(x-y)} dx dy \dagger$$

$$= {\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}}f(y) e^{-iny} dy {\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}}g(t)e^{-int} dt \ddagger$$

$$= \widehat{f}(n) \widehat{g}(n)$$

($\dagger$: αλλαγή σειράς ολοκλήρωσης, $\ddagger$: αλλαγή μεταβλητής $t=x-y$). Η αλλαγή σειράς ολοκλήρωσης αιτιολογείται από το θ. Fubini αφού το αντίστοιχο ολοκλήρωμα όπου οι συναρτήσεις έχουν αντικατασταθεί από το μέτρο τους συγκλίνει.

Άσκηση 4.2   Αν $f \in L^1({\mathbb{T}})$, $g \in C^1({\mathbb{T}})$ δείξτε ότι $f*g \in C^1({\mathbb{T}})$ και ότι

$$(f*g)' = f*g'.$$ (4.12)

Υπόδειξη: Εκφράστε τη διαφορά $f*g'(x_0) - \frac{1}{h}(f*g(x_0+h)-f*g(x_0))$ σαν ένα ολοκλήρωμα και χρησιμοποιήστε το Θεώρημα Κυριαρχημένης Σύγκλισης για να δείξετε ότι πάει στο 0 για $h\to 0$.

Άσκηση 4.3   Δείξτε ότι αν $f$ είναι τριγωνομετρικό πολυώνυμο και $g \in L^1({\mathbb{T}})$ τότε η συνέλιξη $f*g$ είναι τριγωνομετρικό πολυώνυμο βαθμού $\le \deg{f}$.