4.8 Απόδειξη του θεωρήματος του Fejér

Σε αναλογία με τη σχέση $S_N(f)(x) = f*D_N(x)$ για τα μερικά αθροίσματα μπορούμε να γράψουμε $\sigma_N(f)(x) = f*K_N(x)$, όπου $K_N$ είναι ο πυρήνας του Fejér

$$K_N(x) = \sum_{k=-N}^{N} \left(1-\frac{{\left\vert{k}\right\vert}}{N+1}\right) e^{ikx}.$$ (4.22)

Αυτή η σχέση προκύπτει άμεσα από τη σχέση 4.20 και το γεγονός ότι οι συντελεστές Fourier μιας συνέλιξης είναι το γινόμενο των συντελεστών Fourier των δύο συνελικτικών παραγόντων (Θεώρημα 4.5).

Άσκηση 4.11   Δείξτε ότι

$$K_N(x) = \frac{1}{N}\frac{\sin^2 \frac{Nx}{2}}{\sin^2 \frac{x}{2}}.$$ (4.23)

Σχήμα 4.5: Ο πυρήνας του Fejér για $N=10$

Σχήμα 4.6: Οι συντελεστές Fourier του πυρήνα του Fejér $K_N(x)$ για $N=10$

Είναι πολύ σημαντικό ότι, όπως φαίνεται από την (4.23), ο πυρήνας του Fejér είναι μη αρνητική συνάρτηση, της οποίας το ολοκλήρωμα είναι

$${\left\Vert{K_N}\right\Vert _{1}} = \int K_N = \widehat{K_N}(0) = 1.$$

Ο πυρήνας του Fejér είναι ειδική περίπτωση αυτο που ονομάζουμε καλό πυρήνα.

Ορισμός 4.1   Μια ακολουθία συναρτήσεων $k_n \in L^1({\mathbb{T}}), n \in {\mathbb{N}}$, ονομάζεται καλός πυρήνας αν

1. $\int k_n = 1$ για κάθε $n\in{\mathbb{N}}$,
2. Υπάρχει πεπερασμένη σταθερά $M$ τ.ώ. ${\left\Vert{k_n}\right\Vert _{1}} \le M$, για $n\in{\mathbb{N}}$, και
3. Για κάθε $\epsilon>0$ ισχύει
   $$\int_{{\left\vert{x}\right\vert}>\epsilon} {\left\vert{k_n(x)}\ri... ...i}^{-\epsilon}+\int_{\epsilon}^{\pi}\right){\left\vert{k_n}\right\vert} \to 0.$$

Έχουμε ήδη δει ότι ο πυρήνας του Fejér ικανοποιεί τις δύο πρώτες ιδιότητες. Για να δείξουμε και την ιδιότητα 4.1.3 παρατηρούμε ότι ο τύπος (4.23) συνεπάγεται την ανισότητα

$$K_N(x) \le \frac{1}{N \sin^2(x/2)}.$$

Άσκηση 4.12   Συμπληρώστε την απόδειξη ότι ο πυρήνας $K_N(x)$ ικανοποιεί την 4.1.3.

Το Θεώρημα του Fejér έπεται τώρα από το ακόλουθο γενικότερο αποτέλεσμα.

Θεώρημα 4.8   Αν $k_n$ είναι ένας καλός πυρήνας και $f \in C({\mathbb{T}})$ τότε $f*k_n \to f$ ομοιόμορφα.

Απόδειξη.
Πρέπει να δείξουμε ότι ${\left\vert{f*k_n(x)-f(x)}\right\vert} \to 0$ ομοιόμορφα ως προς $x$.

Έστω $\epsilon>0$. Από την ομοιόμορφη συνέχεια της $f$ έπεται ότι υπάρχει $\delta>0$ τ.ώ. αν ${\left\vert{y}\right\vert}\le\delta$ τότε να ισχύει

$${\left\vert{f(x-y)-f(x)}\right\vert} \le \epsilon.$$ (4.24)

Γράφουμε

$${\left\vert{f*k_n(x)-f(x)}\right\vert} = {\left\vert{\int f(x-y) k_n(y) dy - \int f(x) k_n(y) dy}\right\vert} \alpha\varphi o \upsilon \int k_n=1$$

$$\le \int {\left\vert{f(x-y)-f(x)}\right\vert} k_n(y) dy \dagger$$

$$= \int_{{\left\vert{y}\right\vert}\le\delta} + \int_{{\left\vert{y}\right\vert}>\delta}$$

$$= I + II$$

($\dagger$: τριγωνική ανισότητα). Από την (4.24) έχουμε

$$I = \int_{{\left\vert{y}\right\vert}\le\delta} {\left\vert{f(x-y)-f(x)}\right\vert} k_n(y) dy$$

$$\le \epsilon \int_{{\left\vert{y}\right\vert}\le\delta} k_n(y) dy$$

$$\le \epsilon \int k_n$$

$$= \epsilon.$$

Χρησιμοποιούμε τώρα την ιδιότητα 4.1.3 που ισχύει για την $k_n$ και παίρνουμε

$$II = \int_{{\left\vert{y}\right\vert}>\delta} {\left\vert{f(x-y)-f(x)}\right\vert} k_n(y) dy$$

$$\le \int_{{\left\vert{y}\right\vert}>\delta} {\left\vert{f(x-y)}\... ...nt_{{\left\vert{y}\right\vert}>\delta} {\left\vert{f(x)}\right\vert} k_n(y) dy$$

$$\le 2 {\left\Vert{f}\right\Vert _\infty} \int_{{\left\vert{y}\right\vert}>\delta} k_n(y) dy$$

$$\to 0.$$

Έπεται ότι για $n$ αρκετά μεγάλο έχουμε $I+II \le 2\epsilon$.

Πόρισμα 4.8 (Fejér στους $L^p$)   Αν $1 \le p < +\infty$ και $f \in L^p({\mathbb{T}})$ τότε ${\left\Vert{\sigma_n(f)-f}\right\Vert}_p \to 0$ για $n \to \infty$.

Απόδειξη.
(Η περίπτωση $p=\infty$ που λείπει από το Πόρισμα 4.8 είναι το Θεώρημα 4.7 αλλά μόνο όταν $f \in C({\mathbb{T}})$. Δεν αρκεί $f \in L^\infty({\mathbb{T}})$ μια και προφανώς δε μπορεί μια ακολουθία τριγωνομετρικών πολυωνύμων, ή άλλων συνεχών συναρτήσεων, να συγκλίνει ομοιόμορφα σε μια ασυνεχή συνάρτηση.)

Έστω $p<+\infty$, $\epsilon>0$ και $g \in C({\mathbb{T}})$ τ.ώ. ${\left\Vert{f-g}\right\Vert}_p \le \epsilon$. Αυτό είναι εφικτό λόγω της πυκνότητας των συνεχών συναρτήσεων στους χώρους $L^p({\mathbb{T}})$, $1 \le p < +\infty$.

Έχουμε

$${\left\Vert{\sigma_n(f)-f}\right\Vert}_p = {\left\Vert{\sigma_n(f) - \sigma_n(g) + \sigma_n(g) - g + g - f}\right\Vert}_p$$

$$\le {\left\Vert{\sigma_n(f-g)}\right\Vert}_p + {\left\Vert{\sigma_n(g)-g}\right\Vert}_p + {\left\Vert{g-f}\right\Vert}_p$$

$$\le {\left\Vert{f-g}\right\Vert}_p {\left\Vert{K_n}\right\Vert}_1... ...sigma_n(g)-g}\right\Vert}_\infty + {\left\Vert{g-f}\right\Vert}_p \dagger$$

$$\le \epsilon + {\left\Vert{\sigma_n(g)-g}\right\Vert}_\infty + \epsilon$$

($\dagger$: από (4.10)).

Από το Θεώρημα 4.7 έπεται ότι για $n$ αρκετά μεγάλο ισχύει

$${\left\Vert{\sigma_n(f)-f}\right\Vert}_p \le 3\epsilon.$$