Κεφάλαιο 1Βασικές Έννοιες

$1.$ Οι αριθμητικές δομές $(\mathbb{Z},+)$, $\mathrm{(}\mathbb{Q}\mathrm{,}+\mathrm{)}$, $(ℝ,+)$, $(ℂ,+)$ είναι αβελιανές (προσθετικές) ομάδες.

$2.$ Συμβολίζουμε με ${\mathbb{Q}}^{*}:=\mathbb{Q}\backslash \{0\}:=\{\alpha \in \mathbb{Q}|a\ne 0\}$ και ανάλογα ${ℝ}^{*}:=ℝ\backslash \{0\}$, ${ℂ}^{*}:=ℂ\backslash \{0\}$. Εύκολα βλέπουμε ότι οι αριθμητικές δομές $({\mathbb{Q}}^{*},\cdot )$, $({ℝ}^{*},\cdot )$, $({ℂ}^{*},\cdot )$ είναι αβελιανές (πολλαπλασιαστικές) ομάδες. Ενώ οι αριθμητικές δομές $(\mathbb{Q},\cdot )$, $(\mathbb{Z},\cdot )$ δεν είναι ομάδες.

$3.$ Έστω $2\mathbb{Z}:=\{2\alpha |\alpha \in \mathbb{Z}\}$, παρατηρούμε ότι η $(2\mathbb{Z},+)$ είναι μία αβελιανή ομάδα, ενώ η $(2\mathbb{Z},\cdot )$ δεν είναι ομάδα.

$4.$ Έστω $n$, $m$ φυσικοί αριθμοί και $X$ ένα μη κενό σύνολο. Θυμίζουμε ότι με τον όρο $n\times m$-πίνακας (matrix) με συντελεστές από το $X$ εννοούμε μία συνάρτηση

και τον συμβολίζουμε με

Με $M_{n\times m}(X)$ συμβολίζουμε το σύνολο των $n\times m$-πινάκων $(x_{ij})$, με $x_{ij}\in X,$ για $1\le i\le n$ και $1\le j\le m$. Η αλγεβρική δομή $(M_{n\times m}(\mathbb{Z}),+)$ είναι μία αβελιανή ομάδα, όπου με $+$ συμβολίζουμε το άθροισμα των $n\times m$-πινάκων, δηλαδή αν $({\alpha }_{ij}),({\beta }_{ij})\in M_{n\times m}\left(\mathbb{Z}\right),$ τότε

Το μηδενικό στοιχείο της $M_{n\times m}(\mathbb{Z})$ είναι ο μηδενικός $n\times m$-πίνακας $0$, δηλαδή αυτός για τον οποίο ${\alpha }_{ij}=0$, για $1\le i\le n$ και $1\le j\le m$. Αντίθετος του πίνακα $({\alpha }_{ij})\in M_{n\times m}\left(\mathbb{Z}\right)$ είναι ο πίνακας $(-{\alpha }_{ij})$, δηλαδή $-({\alpha }_{ij})=(-{\alpha }_{ij})$.

Ανάλογα οι αλγεβρικές δομές $(M_{n\times m}(\mathbb{Q}),+)$, $(M_{n\times m}(ℝ),+)$, $(M_{n\times m}(ℂ),+)$ είναι προσθετικές αβελιανές ομάδες.

Συμβολίζουμε με $M_n(X):=\{({\alpha }_{ij})|{\alpha }_{ij}\in X,1\le i,j\le n\}$ το σύνολο των $n\times n$-πινάκων με συντελεστές από το σύνολο $X$. Παρατηρούμε ότι η $(M_n(X),+)$, όπου $X\in \{\mathbb{Z},\mathbb{Q},ℝ,ℂ\}$, είναι επίσης μία προσθετική αβελιανή ομάδα.

$5.$ Έστω $X\in \{\mathbb{Q},ℝ,ℂ\}$. Συμβολίζουμε με

όπου με $det({\alpha }_{ij})$ συμβολίζουμε την ορίζουσα του πίνακα $({\alpha }_{ij})$. Από τη Γραμμική ’λγεβρα γνωρίζουμε ότι αν για τον πίνακα $({\alpha }_{ij})\in M_n\left(X\right)$ ισχύει $det({\alpha }_{ij})\ne 0$, τότε και μόνον τότε ορίζεται ο αντίστροφος πίνακας ${({\alpha }_{ij})}^{-1}$ για τον οποίο ισχύουν οι σχέσεις $det({({\alpha }_{ij})}^{-1})={(det({\alpha }_{ij}))}^{-1}$ και

όπου με $I_n$ συμβολίζουμε τον λεγόμενο μοναδιαίο (unit) $n\times n$-πίνακα, δηλαδή αυτόν που όλα τα στοιχεία του πάνω στην κύρια διαγώνιο ισούνται με $1$ και όλα τα άλλα στοιχεία του είναι ίσα με μηδέν.

Παρατηρούμε αμέσως ότι το σύνολο $G{L}_n(X)$ με πράξη τον πολλαπλασιασμό πινάκων αποτελεί ομάδα με μοναδιαίο στοιχείο το $I_n$ και αντίστροφο του $({\alpha }_{ij})\in G{L}_n\left(X\right)$ τον πίνακα ${({\alpha }_{ij})}^{-1}$. Η ομάδα $(G{L}_n(X),\cdot )$, για $n>1$, δεν είναι αβελιανή, αφού δεν ισχύει πάντα η αντιμεταθετικότητα των πινάκων, δηλαδή, δεν ισχύει

για όλα τα $({\alpha }_{ij}),({\beta }_{ij})\in G{L}_n\left(X\right)$. Η $G{L}_n(X)$ λέγεται γενική γραμμική ομάδα (general linear group).

$6.$ Ας θεωρήσουμε ένα μη κενό σύνολο $X$ και το σύνολο $X^X$ όλων των συναρτήσεων $f:X\to X$. Συμβολίζουμε, ως συνήθως, με $\circ$ τη σύνθεση συναρτήσεων. Είναι φανερό ότι η σύνθεση συναρτήσεων στο $X^X$ ορίζεται και ότι έχει την προσεταιριστική ιδιότητα. Έτσι η $(X^X,\circ )$ είναι μία αλγεβρική δομή. Από τη θεωρία των συναρτήσεων γνωρίζουμε ότι η ταυτοτική συνάρτηση $1_X$ στο σύνολο $X$ έχει την ιδιότητα

δηλαδή η $1_X$ είναι ουδέτερο στοιχείο της $(X^X,\circ )$. Είναι η $(X^X,\circ )$ ομάδα; Για να συμβαίνει αυτό θα πρέπει, για κάθε στοιχείο $f\in X^X$, να υπάρχει μία συνάρτηση $g\in X^X$ έτσι ωστε $g\circ f=1_X=f\circ g$. Γνωρίζουμε, όμως, από τη θεωρία συναρτήσεων ότι η ύπαρξη μίας τέτοιας συνάρτησης ισοδυναμεί με το γεγονός ότι η $f$ είναι αμφιμονότιμη και επί συνάρτηση. Όμως, κάθε συνάρτηση $f\in X^X$ δεν έχει αυτές τις ιδιότητες. Επομένως η $(X^X,\circ )$ δεν μπορεί να είναι ομάδα.

Συμβολίζουμε με $S_X$ το σύνολο των αμφιμονότιμων και επί συναρτήσεων του συνόλου $X$. Βέβαια $S_X\subseteq X^X$. Το $S_X$ λέγεται σύνολο των μετασχηματισμών (transformations) του συνόλου $X$. Είναι εύκολο να διαπιστώσουμε ότι η αλγεβρική δομή $(S_X,\circ )$ είναι ομάδα με τη συνάρτηση $1_X$ να είναι ουδέτερο στοιχείο και την αντίστροφη συνάρτηση $f^{-1}$ της $f\in S_X$ να είναι το αντίστροφο στοιχείο της $f$. Βέβαια η ομάδα $(S_X,\circ )$ δεν είναι αντιμεταθετική, αφού η σύνθεση συναρτήσεων (όταν αυτή ορίζεται) δεν έχει πάντα την αντιμεταθετική ιδιότητα.

Η ομάδα $(S_X,\circ )$ λέγεται ομάδα μετασχηματισμών (transformation group) του συνόλου $X$ και, όπως θα διαπιστώσουμε από την ανάπτυξη της θεωρίας ομάδων, παίζει εξαιρετικά ενδιαφέροντα ρόλο τόσο για τη θεωρία ομάδων όσο και για τις εφαρμογές της σε άλλους επιστημονικούς κλάδους.

Οι ομάδες μετασχηματισμών είναι από τις βασικές ομάδες που εμφανίζονται στις εφαρμογές της θεωρίας ομάδων. Το $1872$ ο Felix Klein ανακοίνωσε το Erlangen Program σύμφωνα με το οποίο επιχειρούσε να ταξινομήσει τις γεωμετρίες χρησιμοποιώντας τη σημασία των ομάδων μετασχηματισμών.

Το ενδιαφέρον της Γεωμετρίας για τις ομάδες μετασχηματισμών εμφανίζεται όταν το σύνολο $X$ είναι το σύνολο των σημείων κάποιου γεωμετρικού αντικειμένου π.χ. της πραγματικής ευθείας, του επιπέδου, της σφαίρας κ.ο.κ.

Παρατηρούμε ότι κάθε στοιχείο $f:X\to X$ της ομάδας $S_X$ ικανοποιεί τη σχέση $f(X)=X$, όμως δε συμβαίνει $f(x)=x$, $\forall x\in X$, εκτός αν η $f$ είναι η ταυτοτική συνάρτηση. Γι’ αυτόν τον λόγο κάθε στοιχείο της $S_X$ λέγεται συμμετρία (symmetry) του $X$ και η ομάδα $S_X$ ομάδα των συμμετριών του $X$ (group of symmetries of X). Στα παραδείγματα 1.1.4 θα δούμε συγκεκριμένες περιπτώσεις.

$7.$ Ας θεωρήσουμε το σύνολο $\{x_1,x_2,\mathrm{\dots },x_n\}$. Τότε το σύνολο $S_X$ είναι ακριβώς το σύνολο των αμφιμονότιμων και επί συναρτήσεων του συνόλου $X$ στον εαυτό του, δηλαδή το σύνολο των μεταθέσεων των αντικειμένων $x_1,x_2,\mathrm{\dots },x_n$. Η ομάδα $(S_X,\circ )$ σε αυτήν την περίπτωση λέγεται ομάδα μεταθέσεων (permutation group) των $n$ αντικειμένων και συμβολίζεται με $S_n$. Τα αντικείμενα τα συμβολίζουμε με τους αριθμούς $1,2,\mathrm{\cdots },n$ για να απλουστευτεί ο συμβολισμός.

Είναι εύκολο να αποδείξουμε ότι το πλήθος των στοιχείων του συνόλου $S_n$ είναι $n!$. Ένα στοιχείο της $S_n$ συμβολίζεται αναλυτικότερα

όπου $\sigma (i)$ είναι η εικόνα του $i$ μέσω της $\sigma$. Αν $\sigma ,\tau \in S_n$, τότε το γινόμενο $\sigma \circ \tau$ και απλούστερα $\sigma \tau$ είναι η σύνθεση των συναρτήσεων $\sigma$, $\tau$. Έτσι $\sigma \tau (i)=\sigma (\tau (i))$, $\forall i\in X$. Το αντίστροφο του $\sigma \in S_n$ είναι το

Στο σημείο αυτό ας παρατηρήσουμε ότι το στοιχείο $\sigma$ θα μπορούσε να γραφτεί κατά τους $n$ ισοδύναμους τρόπους:

κ.ο.κ.. Αν

τότε το ${\sigma }^{-1}$ είναι το

Ιδιαίτερα υπολογίζουμε ότι

$8.$ Το παράδειγμα που θα παρουσιάσουμε τώρα είναι από το σύνολο των μιγαδικών αριθμών. Αν $p$ είναι ένας συγκεκριμένος πρώτος ακέραιος αριθμός, ορίζουμε

Παρατηρούμε ότι ο αριθμός $n$ εξαρτάται από τον $c$. Το σύνολο $C_p^{\mathrm{\infty }}$ με πράξη τον συνήθη πολλαπλασιασμό των μιγαδικών αριθμών αποτελεί αντιμεταθετική ομάδα. Πράγματι:
$i.$ Αν $\alpha ,\beta \in C_p^{\mathrm{\infty }}$, τότε υπάρχουν φυσικοί αριθμοί $n$, $m$ τέτοιοι ωστε

όπου $k$ είναι ο μεγαλύτερος από τους $n,m$. Αυτό σημαίνει ότι $\alpha \beta \in C_p^{\mathrm{\infty }}$, δηλαδή ο πολλαπλασιασμός είναι πράξη στο $C_p^{\mathrm{\infty }}$.
$ii$. Αφού $C_p^{\mathrm{\infty }}\subset ℂ,$ έπεται ότι ο πολλαπλασιασμός στο $C_p^{\mathrm{\infty }}$ διατηρεί τις ιδιότητες που έχει στο $ℂ$. Έτσι η πράξη στο $C_p^{\mathrm{\infty }}$ είναι προσεταιριστική και αντιμεταθετική.
$iii$. Είναι φανερό ότι $1\in C_p^{\mathrm{\infty }}$.
$iv$. Αν $c\in C_p^{\mathrm{\infty }}$, τότε θα υπάρχει φυσικός αριθμός $n$ τέτοιος ώστε $c^{p^n}=1$. Τότε, όμως,

Άρα $\frac{1}{c}\in C_p^{\mathrm{\infty }}$ και $c\cdot \frac{1}{c}=1$.

Από τα $i.-iv.$ έπεται ότι το $C_p^{\mathrm{\infty }}$ είναι αβελιανή ομάδα. Η $C_p^{\mathrm{\infty }}$ λέγεται σχεδόν κυκλική ομάδα (almost cyclic group).

$9.$ Το σύνολο ${\mathbb{Z}}_n$ των κλάσεων υπολοίπων $modn$, $n\in \mathbb{N}$ και $n>1$, είναι το επόμενο παράδειγμα που θα μας απασχολήσει. Χωρίς μαθηματική αυστηρότητα μπορούμε να περιγράψουμε το ${\mathbb{Z}}_n$ ως εξής: Το σύνολο ${\mathbb{Z}}_n$ είναι ένα σύνολο με στοιχεία σύνολα. Σε κάθε στοιχείο του ${\mathbb{Z}}_n$ ανήκουν όλοι οι ακέραιοι αριθμοί που διαιρούμενοι δια του $n$ αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο. Αν $\alpha$ είναι αυτό το υπόλοιπο, τότε το στοιχείο αυτό του ${\mathbb{Z}}_n$ το συμβολίζουμε με $\overline{\alpha }$. Τα δυνατά υπόλοιπα που παρουσιάζονται, αν διαιρέσουμε κάθε ακέραιο δια του $n$, είναι $0,1,2,\mathrm{\dots },n-1$. Έτσι

όπου $\overline{0}=\{kn:k\in {\mathbb{Z}}_n\}$, $\overline{1}=\{kn+1:k\in {\mathbb{Z}}_n\}$ κ.ο.κ.

Θα κατασκευάσουμε, τώρα, το ${\mathbb{Z}}_n$. Στο σύνολο $\mathbb{Z}$ ορίζουμε τη σχέση

Η σχέση αυτή είναι σχέση ισοδυναμίας. (Να αποδειχθεί ως άσκηση). Συμβολίζουμε με $\overline{\alpha }$ την κλάση που ανήκει ο ακέραιος αριθμός $\alpha$. Το σύνολο των κλάσεων ισοδυναμίας που χωρίζει αυτή η σχέση ισοδυναμίας το $\mathbb{Z}$, δηλαδή το σύνολο πηλίκο $\mathbb{Z}/\sim$, το συμβολίζουμε με ${\mathbb{Z}}_n$. Έτσι

Από τις ιδιότητες των σχέσεων ισοδυναμίας ισχύουν οι σχέσεις

1. i.

   $\mathbb{Z}={\bigcup }_{\alpha \in \mathbb{Z}}\overline{\alpha }$.

2. ii.

   $\overline{\alpha }\bigcap \overline{\beta }=\mathrm{\varnothing }$ ή $\overline{\alpha }\bigcap \overline{\beta }=\overline{\alpha }$, για $\overline{\alpha },\overline{\beta }\in {\mathbb{Z}}_n$.

Είναι φανερό ότι

Από την άλλη μεριά, όμως, αφού

έπεται ότι

Από τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει ότι

Στο σύνολο ${\mathbb{Z}}_n$ ορίζουμε την πρόσθεση ως εξής:

Θα αποδείξουμε ότι η $+$ είναι συνάρτηση, δηλαδή η $+$ είναι πράξη στο ${\mathbb{Z}}_n$. Αν $(\overline{\alpha },\overline{\beta })=(\overline{\gamma },\overline{\delta })$, τότε $\overline{\alpha }=\overline{\gamma }$ και $\overline{\beta }=\overline{\delta }$. Άρα $\gamma -\alpha =kn$ και όμοια $\delta -\beta =\lambda n$, για κάποιους ακεραίους $k,\lambda$. Έτσι $\gamma +\delta =\alpha +\beta +(k+\lambda )n$ και $\overline{\gamma +\delta }=\overline{\alpha +\beta }$. Επομένως η $+$ είναι πράξη στο ${\mathbb{Z}}_n$.

Όμοια μπορεί να αποδειχθεί ότι ο πολλαπλασιασμός

είναι πράξη στο ${\mathbb{Z}}_n$.

Εξετάζουμε τώρα τις ιδιότητες των πράξεων αυτών στο ${\mathbb{Z}}_n$.

1. Αν $\alpha ,\beta ,\gamma \in \mathbb{Z}$, τότε

δηλαδή η πρόσθεση στο ${\mathbb{Z}}_n$ είναι προσεταιριστική.

2. Αν $\alpha \in \mathbb{Z}$, τότε $\overline{\alpha }+\overline{0}=\overline{\alpha +0}=\overline{\alpha }$, δηλαδή το $\overline{0}$ είναι μηδενικό στοιχείο.

3. Αν $\alpha \in \mathbb{Z}$, τότε $\overline{\alpha }+\overline{(-\alpha )}=\overline{\alpha +(-\alpha )}=\overline{0}$, δηλαδή το $\overline{(-\alpha )}$, η κλάση με αντιπρόσωπο το $-\alpha$, είναι αντίθετο του $\overline{\alpha }$.

4. Αν $\alpha ,\beta \in \mathbb{Z}$, τότε $\overline{\alpha }+\overline{\beta }=\overline{\alpha +\beta }=\overline{\beta +\alpha }=\overline{\beta }+\overline{\alpha }$, δηλαδή η πρόσθεση είναι αντιμεταθετική πράξη.

Όμοια μπορούν να αποδειχθούν οι ιδιότητες

5. Αν $\alpha ,\beta ,\gamma \in \mathbb{Z}$, τότε $(\overline{\alpha }\cdot \overline{\beta })\cdot \overline{\gamma }=\overline{\alpha }\cdot (\overline{\beta }\cdot \overline{\gamma })$.

6. Αν $\alpha \in \mathbb{Z}$, τότε $\overline{\alpha }\cdot \overline{1}=\overline{\alpha }$.

7. Αν $\alpha ,\beta \in \mathbb{Z}$, τότε $\overline{\alpha }\cdot \overline{\beta }=\overline{\beta }\cdot \overline{\alpha }$.

Από τα παραπάνω καταλήγουμε στο επόμενο συμπέρασμα.

Συμπέρασμα: Η $({\mathbb{Z}}_n,+)$ είναι αντιμεταθετική ομάδα, ενώ η $({\mathbb{Z}}_n,\cdot )$ δεν είναι ομάδα.

$10.$ Θεωρούμε το σύνολο ${\mathbb{Z}}_n^{*}=\{\overline{\alpha }:\overline{\alpha }\in {\mathbb{Z}}_n,(\alpha ,n)=1\}$. Είναι φανερό ότι ${\mathbb{Z}}_n^{*}\subseteq {\mathbb{Z}}_n$. Τα στοιχεία του ${\mathbb{Z}}_n^{*}$ λέγονται πρώτες κλάσεις υπολοίπων modn (prime classes modn). Ο πολλαπλασιασμός στο ${\mathbb{Z}}_n$ εξακολουθεί να είναι πράξη στο ${\mathbb{Z}}_n^{*}$. Πράγματι: Αν $\alpha$, $\beta$ είναι ακέραιοι αριθμοί τέτοιοι ώστε $(\alpha ,n)=1$ και $(\beta ,n)=1$, τότε είναι γνωστό ότι $(\alpha \beta ,n)=1$. Άρα, αν $\overline{\alpha },\overline{\beta }\in {\mathbb{Z}}_n^{*}$, τότε $\overline{\alpha \beta }\in {\mathbb{Z}}_n^{*}$.

Ο πολλαπλασιασμός στο ${\mathbb{Z}}_n^{*}$ είναι προσεταιριστική και αντιμεταθετική πράξη, αφού αυτό συμβαίνει στο ${\mathbb{Z}}_n$. Ακόμη, είναι φανερό ότι $1\in {\mathbb{Z}}_n^{*}$ αφού $(1,n)=1$.

Θα δείξουμε, τώρα, ότι κάθε στοιχείο του ${\mathbb{Z}}_n^{*}$ έχει αντίστροφο στο ${\mathbb{Z}}_n^{*}$. Αν $(\alpha ,n)=1$, τότε $\kappa \alpha +\lambda n=1$ για κάποιους ακεραίους $\kappa ,\lambda$. Έτσι $\overline{1}=\overline{\kappa \alpha +\lambda n}=\overline{\kappa \alpha }=\overline{\kappa }\overline{\alpha }$. Όμως, $\overline{\kappa }\in {\mathbb{Z}}_n^{*}$ γιατί για τους ακέραιους $\alpha ,\lambda$ ισχύει $\kappa \alpha +\lambda n=1$. Άρα η $\overline{\kappa }\in {\mathbb{Z}}_n^{*}$ είναι η αντίστροφη κλάση της $\overline{\alpha }\in {\mathbb{Z}}_n^{*}$. Αποδείχθηκε, επομένως, ότι η $({\mathbb{Z}}_n^{*},\cdot )$ είναι αβελιανή ομάδα.

Ένα εύλογο ερώτημα είναι αν και πότε συμβαίνει ${\mathbb{Z}}_n^{*}={\mathbb{Z}}_n\backslash \{0\}$. Παρατηρούμε ότι αν ο $n$ είναι σύνθετος ακέραιος, δηλαδή έχει μία ανάλυση $n=ms$, $m\ne \pm 1$, $s\ne \pm 1$, τότε υπάρχουν στοιχεία του ${\mathbb{Z}}_n$ που δεν ανήκουν στο ${\mathbb{Z}}_n^{*}$, π.χ. $\overline{m},\overline{s}\notin {\mathbb{Z}}_n^{*}$. Άρα ${\mathbb{Z}}_n^{*}⫋{\mathbb{Z}}_n$. Αν $n=p$, όπου $p$ είναι πρώτος φυσικός αριθμός, τότε είναι φανερό ότι ${\mathbb{Z}}_p^{*}={\mathbb{Z}}_p\backslash \{0\}$, αφού $(p,\alpha )=1$, για $1\le \alpha \le p-1$. Καταλήγουμε, λοιπόν, στο συμπέρασμα:

Συμπέρασμα: Έστω ${\mathbb{Z}}_n^{*}=\{\overline{\alpha }\in {\mathbb{Z}}_n,(\alpha ,n)=1\}$. Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να ισχύει ${\mathbb{Z}}_n^{\mathrm{*}}\mathrm{=}{\mathbb{Z}}_n\mathrm{\backslash }\mathrm{\{}\mathrm{0}\mathrm{\}}$, είναι ο $n$ να είναι πρώτος φυσικός αριθμός.

$11.$ Έστω $G_1,G_2$ δύο ομάδες. Σχηματίζουμε το καρτεσιανό γινόμενο

Στο σύνολο $G_1\times G_2$ ορίζουμε την πράξη

όπου $g_i,g_i^{\prime }\in G_i,i=1,2.$

Είναι εύκολο να αποδείξουμε ότι η πράξη αυτή στο $G_1\times G_2$ είναι προσεταιριστική. Ακόμη αν $e_i$ είναι το ουδέτερο στοιχείο της $G_i,i=1,2$, τότε το στοιχείο $(e_1,e_2)$ είναι το ουδέτερο στοιχείο του $G_1\times G_2$. Πράγματι

και

Άρα το $(e_1,e_2)$ είναι το ουδέτερο στοιχείο του $G_1\times G_2.$ Αν $(g_1,g_2)\in G_1\times G_2,$ τότε βλέπουμε ότι

και

Άρα το $(g_1^{-1},g_2^{-1})$ είναι το αντίστροφο του $(g_1,g_2)$, δηλ.

Από τα παραπάνω προκύπτει ότι το $G_1\times G_2$ με την πράξη (1.1.1) είναι ομάδα. Η ομάδα $G_1\times G_2$ είναι αβελιανή αν και μόνον αν η $G_1$ και η $G_2$ είναι αβελιανές ομάδες. Ο αναγνώστης καλείται να αποδείξει την αλήθεια αυτής της πρότασης. Ας θεωρήσουμε, τώρα, έναν φυσικό αριθμό $n$ και έστω

το καρτεσιανό γινόμενο των ομάδων $G_i,i\le i\le n.$ Ανάλογα με την ομάδα $G_1\times G_2$, μπορούμε να δώσουμε στο $G_1\times G_2\times \mathrm{\dots }\times G_n$ τη δομή μίας ομάδας. Πράγματι ορίζουμε στο $G_1\times G_2\times \mathrm{\dots }\times G_n$ την πράξη:

όπου $g_i,g_i^{\prime }\in G_i$ για $1\le i\le n.$ Η πράξη αυτή είναι προσεταιριστική, όπως καλείται να αποδείξει ο αναγνώστης. Ακόμη, αν $e_i$ είναι το ουδέτερο στοιχείο της $G_i,1\le i\le n,$ το $(e_1,e_2,\mathrm{\dots },e_n)$ είναι το ουδέτερο στοιχείο του $G_1\times G_2\times \mathrm{\dots }\times G_n$. Επίσης το $(g_1^{-1},g_2^{-1},\mathrm{\dots },g_n^{-1})$ είναι αντίστροφο στοιχείο του $(g_1,g_2,\mathrm{\dots },g_n),$ δηλ.

Ο αναγνώστης καλείται να εκτελέσει τις απαιτούμενες πράξεις. Έτσι το $G_1\times G_2\times \mathrm{\dots }\times G_n$ με αυτήν την πράξη είναι ομάδα.

Η ομάδα $G_1\times G_2\times \mathrm{\dots }\times G_n$ λέγεται ευθύ εξωτερικό γινόμενο (external direct product) των ομάδων $G_1,G_2,\mathrm{\dots },G_n.$

$1.$ Θεωρούμε το υποσύνολο $G=\{1,-1,i,-i\}$ του συνόλου των μιγαδικών αριθμών, δηλαδή $i^2=-1$, και την αλγεβρική δομή $(G,\cdot )$ με πράξη τον πολλαπλασιασμό των μιγαδικών αριθμών. Είναι εύκολο να διαπιστώσουμε ότι η $(G,\cdot )$ είναι αβελιανή ομάδα με πίνακα Cayley τον ακόλουθο Πίνακα 1.2

Πίνακας 1.2

$2.$ Έστω $X=\{\alpha ,\beta \}$, τότε το σύνολο $X^X=\{f,\varphi ,g,h\}$, όπου τα στοιχεία $f$,$\varphi$,$g$,$h$ είναι οι συναρτήσεις που περιγράφονται από τον Πίνακα 1.3

Πίνακας 1.3

Η αλγεβρική δομή $(X^X,\circ )$ με πράξη τη σύνθεση συναρτήσεων είναι ημιομάδα, αφού η $\circ$ είναι προσεταιριστική. Ο πίνακας Cayley της $(X^X,\circ )$ είναι ο ακόλουθος

Πίνακας 1.4

Από το Παράδειγμα 1.1.2.6 η $(X^X,\circ )$ δεν είναι ομάδα. Παρατηρώντας ότι μόνον οι $g,h$ είναι αμφιμονότιμες και επί, το $(S_X,\circ )$ με $S_X=\{g,h\},$ είναι ομάδα με πίνακα Cayley

Πίνακας 1.5

$3.$ Θεωρούμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο με κορυφές $1$, $2$, $3$ και κέντρο Ο όπως στο σχήμα:

Σχήμα 1.1

Ας καλέσουμε $X$ το σύνολο των σημείων του επιπέδου που περικλείονται από τις πλευρές του τριγώνου. Έστω ${\rho }_{120}$ η στροφή ως προς το κέντρο του Ο του τριγώνου κατά γωνία ${120}^{\circ }$ με φορά αντίστροφη των δεικτών του ρολογιού. Βέβαια η στροφή ${\rho }_{120}$ είναι μία συνάρτηση από το $X$ στο $X$ η οποία είναι φανερό ότι είναι αμφιμονότιμη και επί, δηλαδή ${\rho }_{120}(X)=X$. Όμως, κάθε σημείο του $X$ δεν μένει στη θέση του π.χ. ${\rho }_{120}(1)=2$, ${\rho }_{120}(2)=3$, ${\rho }_{120}(3)=1$. Ας συμβολίσουμε ως ακολούθως

Σχήμα 1.2

τη μεταβολή του τριγώνου από τη στροφή ${\rho }_{120}$. Όμοια

ενώ

Σχήμα 1.3

Παρατηρούμε ότι ${\rho }_0={\rho }_{2\kappa \pi }$, με $\kappa \in \mathbb{N}$, και

Μπορούμε εύκολα να διαπιστώσουμε ότι το σύνολο $\{{\rho }_0,{\rho }_{120},{\rho }_{240}\}$ με πράξη τη σύνθεση συναρτήσεων αποτελεί ομάδα.

Ας συμβολίσουμε τώρα με $\epsilon$ τη στροφή του τριγώνου κατά ${180}^{\circ }$ ως προς άξονα τη μεσοκάθετο του τριγώνου που διέρχεται από την κορυφή $1$. Τότε η $\epsilon$ είναι επίσης μία αμφιμονότιμη και επί συνάρτηση του συνόλου $X$ επί του $X$ και

Σχήμα 1.4

Τώρα παρατηρούμε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις είναι επίσης αμφιμονότιμες και επί:

Σχήμα 1.5

Σχήμα 1.6

Ακόμη, βλέπουμε αμέσως ότι ισχύουν οι σχέσεις:

Ας συμβολίσουμε $\rho :={\rho }_{120}$, ${\rho }^2:={\rho }_{240}$, $e:={\rho }_0$ και

Η σύνθεση συναρτήσεων βέβαια ορίζεται στο σύνολο $D_{2\cdot 3}$, άρα μπορούμε να δημιουργήσουμε τον Πίνακα 1.6 που είναι ο πίνακας Cayley της $(D_{2\cdot 3},\circ )$

Πίνακας 1.6

(1.45)

και να διαπιστώσουμε ότι η $(D_{2\cdot 3},\circ )$ είναι μία μη αβελιανή ομάδα.

Τα στοιχεία της ομάδας $D_{2\cdot 3}$ ονομάζονται συμμετρίες του ισόπλευρου τριγώνου. Η γραμμική άλγεβρα μας βεβαιώνει ότι αυτές είναι όλες οι συμμετρίες του ισόπλευρου τριγώνου, αλλά η απόδειξη δε θα μας απασχολήσει τώρα. Αργότερα, όμως, θα δώσουμε περισσότερες πληροφορίες.

$4.$ Ας θεωρήσουμε ως $Y$ το σύνολο των σημείων ενός τετραγώνου με κορυφές $1$, $2$, $3$, $4$ και κέντρο Ο όπως στο Σχήμα 1.7:

Σχήμα 1.7

Ας συμβολίσουμε με $\rho ={\rho }_{90}$ τη στροφή του τετραγώνου κατά ${90}^{\circ }$ ως προς το κέντρο Ο με φορά αντίστροφη των δεικτών του ρολογιού, με ${\rho }_{180}={\rho }^2$, ${\rho }_{270}={\rho }^3$, ${\rho }_0=e$. Ακόμη, έστω $\epsilon$ η στροφή κατά ${180}^{\circ }$ του τετραγώνου ως προς άξονα την ευθεία που διέρχεται από το μέσον της πλευράς των σημείων 1,4 και το κέντρο Ο. Όπως πριν ας συμβολίσουμε

Η αλγεβρική δομή $(D_{2\cdot 4},\circ )$ είναι επίσης μία μη αβελιανή ομάδα, η οποία λέγεται ομάδα συμμετρίας του τετραγώνου. Έχει $8$ στοιχεία και γεωμετρικά, όπως πριν, μπορούμε να διαπιστώσουμε τις σχέσεις:

Ο πίνακας Cayley της $D_{2\cdot 4}$ είναι ο Πίνακας 1.7

Πίνακας 1.7

(1.50)

Ας παρατηρήσουμε από τον παραπάνω πίνακα ότι η $(\{e,\rho ,{\rho }^2,{\rho }^3\},\circ )$ είναι επίσης ομάδα.