2.4 Εσωτερικό γινόμενο και ορθογωνιότητα

Αν $ f, g \in C([0,2\pi])$ (ο χώρος των συνεχών συναρτήσεων στο διάστημα $ [0,2\pi]$) ορίζουμε το εσωτερικό τους γινόμενο να είναι η ποσότητα

$\displaystyle {\langle f, g \rangle} = {\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}}f(x) \overline{g(x)} dx.
$

Παρατήρηση 2.2   Εδώ $ \overline{g(x)}$ είναι το μιγαδικό συζυγές του $ g(x)$. Αν οι συναρτήσεις είναι πραγματικές τότε ο παραπάνω ορισμός του εσωτερικού γινομένου δίδεται συνήθως χωρίς το μιγαδικό συζυγές. Επίσης ο παράγοντας $ \frac{1}{2\pi}$ χρησιμεύει στο να μετατρέψει το ολοκλήρωμα σε ένα μέσο όρο πάνω στο διάστημα $ [0,2\pi]$ και απλουστεύονται πολύ με αυτόν τον τρόπο διάφοροι τύποι. Μπορεί όμως σε άλλα κείμενα να δείτε τον ορισμό χωρίς τον παράγοντα αυτό. Για παράδειγμα, αν τα εκθετικά που χρησιμοποιούνται είναι τα $ e^{2\pi i nx}$, $ n\in{\mathbb{Z}}$, τότε ο ορισμός του εσωτερικού γινομένου είναι

$\displaystyle {\langle f, g \rangle}=\int_0^1 f(x)\overline{g(x)} dx.
$

Σε πολλά βιβλία επίσης (ιδίως σε βιβλια φυσικής) θα δείτε το εσωτερικό γινόμενο να έχει το συζυγές στον πρώτο παράγοντα αντί για το δεύτερο.

Παρατήρηση 2.3   Δεν είναι απαραίτητο οι δύο συναρτήσεις να είναι συνεχείς για να οριστεί το εσωτερικό τους γινόμενο. Για παράδειγμα, και αυτή είναι μια περίπτωση που θα τη χρησιμοποιήσουμε πολύ, μπορεί η μία συνάρτηση να είναι απλά ολοκληρώσιμη (στο $ L^1([0,2\pi])$ δηλ.) και η άλλη να είναι φραγμένη. Σε αυτή την περίπτωση το ολοκλήρωμα που δίνει το εσωτερικό γινόμενο ορίζεται αφού ο ολοκληρωτέος είναι ολοκληρώσιμη συνάρτηση.

Μια άλλη σημαντική περίπτωση είναι όταν και οι δύο συναρτήσεις είναι συναρτήσεις στο $ L^2([0,2\pi])$. Σε αυτή την περίπτωση εύκολα βλέπει κανείς ότι ο ολοκληρωτέος είναι ολοκληρώσιμη συνάρτηση και πάλι, από την ανισότητα Cauchy-Schwartz (Θεώρημα 1.7).

Τέλος, από την ανισότητα Hölder (Θεώρημα 1.6) βλέπει κανείς ότι το εσωτερικό γινόμενο μιας $ L^p$ και μιας $ L^q$ συνάρτησης με

$\displaystyle 1<p, q<+\infty,   \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1
$

επίσης ορίζεται.

Στην περίπτωση που οι δύο συναρτήσεις $ f$ και $ g$ είναι από διαφορετικούς χώρους τότε η ποσότητα $ \int f\overline{g}$ συνήθως δεν ονομάζεται εσωτερικό γινόμενο αλλά «δράση» της μιας συνάρτησης πάνω στην άλλη.

Άσκηση 2.8 (Αλγεβρικές ιδιότητες του εσωτερικού γινομένου)  
Το εσωτερικό γινόμενο είναι ουσιαστικά γραμμικό στους δύο παράγοντες, αν εξαιρέσουμε την μικρή επιπλοκή που δημιουργεί η ύπαρξη του μιγαδικού συζυγούς στο δεύτερο παράγοντα. Αποδείξτε τις παρακάτω ιδιότητες ( $ f, g, h \in C([0,2\pi])$):

$\displaystyle {\langle g, f \rangle}$ $\displaystyle = \overline{{\langle f, g \rangle}}$    
$\displaystyle {\langle \lambda f + \mu h, g \rangle}$ $\displaystyle = \lambda{\langle f, g \rangle} + \mu{\langle h, g \rangle}$ $\displaystyle (\lambda, \mu \in {\mathbb{C}})$    
$\displaystyle {\langle f, \lambda g + \mu h \rangle}$ $\displaystyle = \overline{\lambda}{\langle f, g \rangle} + \overline{\mu}{\langle f, h \rangle}$ $\displaystyle (\lambda, \mu \in {\mathbb{C}})$    
$\displaystyle      {\langle f, f \rangle}$ $\displaystyle = {\left\Vert{f}\right\Vert}_2^2 := {\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}}{\left\vert{f(x)}\right\vert}^2 dx.$    

(παραλλαγή ορισμού της $ 2$-νόρμας).

Δύο συναρτήσεις $ f, g \in C([0,2\pi])$ ονομάζονται ορθογώνιες αν $ {\langle f, g \rangle}=0$.

Άσκηση 2.9 (Πυθαγόρειο Θεώρημα)  
Αν $ f_1, f_2, \ldots, f_n$ είναι ανά δύο ορθογώνιες τότε

$\displaystyle {\left\Vert{f_1+\ldots+f_n}\right\Vert}_2^2 = {\left\Vert{f_1}\right\Vert}_2^2 + \cdots + {\left\Vert{f_n}\right\Vert}_2^2.$ (2.4)

Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε επαγωγή ως προς $ n$. Για $ n=2$ γράψτε

$\displaystyle {\left\Vert{f_1+f_2}\right\Vert}_2^2$ $\displaystyle = {\langle f_1+f_2, f_1+f_2 \rangle}$    
  $\displaystyle = {\langle f_1, f_1 \rangle} + {\langle f_1, f_2 \rangle} + {\langle f_2, f_1 \rangle} + {\langle f_2, f_2 \rangle}$    

και χρησιμοποιήστε την ορθογωνιότητα.

Σχήμα 2.3: Το άθροισμα δύο ορθογώνιων συναρτήσεων $ f_1$ και $ f_2$ και το Πυθαγόρειο θεώρημα $ {\left\Vert{f_1+f_2}\right\Vert}_2^2 = {\left\Vert{f_1}\right\Vert}_2^2+{\left\Vert{f_2}\right\Vert}_2^2$

Είναι πολύ βασικό και πολύ χρήσιμο ότι οι μιγαδικές εκθετικές συναρτήσεις $ e_n(x) = e^{inx}$, $ n\in{\mathbb{Z}}$, είναι ανά δύο ορθογώνιες. Αν $ m \neq n$ και θέτοντας $ k=m-n\neq 0$ έχουμε

$\displaystyle {\langle e_m, e_n \rangle}$ $\displaystyle = {\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}}e^{imx}e^{-inx} dx$    
  $\displaystyle = {\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}}e^{ikx} dx$    
  $\displaystyle = {\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}}\left(\frac{e^{ikx}}{ik}\right)' dx$    
  $\displaystyle =\frac{1}{ik}(e^{ik2\pi}-e^{ik\cdot 0})$    
  $\displaystyle = 0.$    

Ισχύει επίσης $ {\langle e_n, e_n \rangle} = {\left\Vert{e_n}\right\Vert}_2^2 = 1$ για $ n\in{\mathbb{Z}}$. Γι' αυτό το λόγο οι συναρτήσεις $ e_n(x)$ λέμε ότι αποτελούν ένα ορθοκανονικό σύστημα.

Άσκηση 2.10   (Ορθογωνιότητα των τριγωνομετρικών συναρτήσεων)
Αποδείξτε ότι οι συναρτήσεις

$\displaystyle 1, \cos{x}, \sin{x}, \cos{2x}, \sin{2x}, \cos{3x}, \sin{3x}, \ldots
$

είναι ανά δύο ορθογώνιες. Αν τις διαιρέσουμε όλες (εκτός από τη σταθερή συνάρτηση) με $ \sqrt{2}$ τότε εκτός από ορθογώνιο σύστημα συναρτήσεων είναι και ορθοκανονικό.

Υπόδειξη: Γενικά οι υπολογισμοί ολοκληρωμάτων με τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις δεν είναι από τις πιο απολαυστικές ασχολίες. Είναι πολύ καλύτερο να τις μετατρέψουμε σε μιγαδικές εκθετικές συναρτήσεις και να κάνουμε εκεί τις πράξεις μας μια και οι εκθετικές συναρτήσεις είναι φτιαγμένες για να πολλαπλασιάζονται. Για παράδειγμα, για να δείξετε την ορθογωνιότητα των $ \cos{mx}$ και $ \cos{nx}$ υπολογίστε το ολοκλήρωμα αφού πρώτα γράψετε

$\displaystyle \cos{mx}\cdot\cos{nx} = \frac{1}{4}(e^{imx}+e^{-imx})(e^{inx}+e^{-inx}).
$

Θυμίζουμε τον ορισμό της γραμμικής ανεξαρτησίας διανυσμάτων $ v_1,\ldots,v_n$ σε ένα διανυσματικό χώρο $ V$: θεωρούνται αυτά γραμμικώς ανεξάρτητα αν για κάθε επιλογή των συντελεστών $ c_j \in {\mathbb{C}}$ ισχύει η συνεπαγωγή

$\displaystyle \sum_{k=1}^n c_k v_k = 0 \Longrightarrow c_1 = c_2 = \cdots = c_n = 0.
$

Οι διανυσματικοί χώροι που μας απασχολούν σε αυτό το μάθημα είναι κατά κανόνα χώροι συναρτήσεων όπως ο $ C([0,2\pi])$ με τον οποίο ασχολούμαστε εδώ. Είναι πολύ βασικό ότι η ορθογωνιότητα συνεπάγεται τη γραμμική ανεξαρτησία. Αν οι μη μηδενικές $ f_1, f_2, \ldots, f_n \in C([0,2\pi])$ είναι ανά δύο ορθογώνιες τότε, υποθέτοντας ότι έχουμε ένα μηδενιζόμενο γραμμικό συνδυασμό τους

$\displaystyle 0 = \sum_{k=1}^n c_k f_k,
$

και παίρνοντας το εσωτερικό γινόμενο και τον δύο μελών με την $ f_1$, έχουμε

$\displaystyle 0 = \sum_{k=1}^n c_k {\langle f_k, f_1 \rangle} = c_1 {\langle f_1, f_1 \rangle} = c_1 {\left\Vert{f_1}\right\Vert}_2^2
$

πράγμα που συνεπάγεται $ c_1=0$ αφού $ {\left\Vert{f_1}\right\Vert}_2^2>0$ αρκεί η $ f_1$ να μην είναι η μηδενική συνάρτηση. Ομοίως αποδεικνύουμε ότι όλα τα $ c_j$ είναι μηδέν και άρα τα $ f_1,\ldots,f_n$ είναι γραμμικώς ανεξάρτητα.

Άσκηση 2.11   (Η 2-νόρμα ενός τριγωνομετρικού πολυωνύμου)
Αν $ p(x) = \sum_{k=-N}^N p_k e^{ikx}$ δείξτε ότι

$\displaystyle {\left\Vert{p}\right\Vert}_2^2 = \sum_{k=-N}^N {\left\vert{p_k}\right\vert}^2.
$

Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε την ορθογωνιότητα των εκθετικών συναρτήσεων και το Πυθαγόρειο Θεώρημα.

Άσκηση 2.12   Αποδείξτε ξανά τη μοναδικότητα των συντελεστών των τριγωνομετρικών πολυωνύμων χωρίς τον πίνακα Vandermonde (δείτε το Πρόβλημα 2.7). Αν $ p(x), q(x)$ είναι δύο τριγωνομετρικά πολυώνυμα που ταυτίζονται σε ολόκληρο το διάστημα $ [0,2\pi]$ τότε έχουν τους ίδιους συντελεστές.

Υπόδειξη: Αποδείξτε ότι οι συντελεστές ενός τριγωνομετρικού πολυωνύμου δίδονται από τον τύπο

$\displaystyle p_k = {\langle p(x), e^{ikx} \rangle} = {\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}}p(x) e^{-ikx} dx,   (k\in{\mathbb{Z}}).$ (2.5)

Άσκηση 2.13   Αποδείξτε ότι το τριγωνομετρικό πολυώνυμο $ p(x)$ παίρνει μόνο πραγματικές τιμές αν και μόνο αν για κάθε $ k\in{\mathbb{Z}}$ με $ {\left\vert{k}\right\vert} \le \deg{p}$ ισχύει

$\displaystyle p_{-k} = \overline{p_k}.
$

Παρατήρηση 2.4   Το δεξί μέλος της (2.5) μπορεί να εφαρμοστεί σε οποιαδήποτε συνεχή συνάρτηση $ p(x)$ στο διάστημα $ [0,2\pi]$. Η ποσότητα αυτή ονομάζεται συντελεστής Fourier $ k$ τάξης της συνάρτησης $ p(x)$.

Άσκηση 2.14   Αν

$\displaystyle p(x)=\sum_{k=-N}^N p_k e^{ikx}$

$\displaystyle q(x)=\sum_{k=-N}^N q_k e^{ikx}$

δείξτε ότι

$\displaystyle {\langle p(x), q(x) \rangle} = \sum_{k=-N}^N p_k \overline{q_k}.
$

Έστω $ {\mathcal P}_N$ το σύνολο όλων των τριγωνομετρικών πολυωνύμων βαθμού $ \le N$

$\displaystyle {\mathcal P}_N = {\left\{{p(x) = \sum_{k=-N}^N p_k e^{ikx}:  p_k \in {\mathbb{C}}}\right\}}.
$

Αφού το άθροισμα δυο τέτοιων πολυωνύμων παραμένει στοιχείο του $ {\mathcal P}_N$ και γινόμενο ενός μιγαδικού αριθμού με στοιχείο του $ {\mathcal P}_N$ παραμένει στοιχείο του $ {\mathcal P}_N$ προκύπτει ότι το σύνολο αυτό είναι ένας μιγαδικός διανυσματικός χώρος. Μάλιστα με την αντιστοίχιση

$\displaystyle p(x) \to (p_{-N}, p_{-N+1}, \ldots, p_{N-1}, p_N)
$

που είναι καλώς ορισμένη (μοναδικότητα των συντελεστών πολυωνύμου), γραμμική και αντιστρέψιμη είναι φανερό πως ο χώρος $ {\mathcal P}_N$ είναι ισομορφικός, ως γραμμικός χώρος, με το χώρο $ {\mathbb{C}}^{2N+1}$. Μια βάση του χώρου $ {\mathcal P}_N$ αποτελείται από τα $ 2N+1$ τριγωνομετρικά πολυώνυμα

$\displaystyle e^{-iNx}, e^{-i(N-1)x}, \ldots, e^{-ix}, 1, e^{ix}, \ldots, e^{iNx}.
$

Αυτή μάλιστα η βάση έχουμε αποδείξει ότι είναι και ορθοκανονική, είναι δηλαδή τα στοιχεία της ανά δύο ορθογώνια και κάθε στοιχείο της έχει 2-νόρμα ίση με 1.

Υπάρχει μια ακόμη ορθοκανονική βάση του $ {\mathcal P}_N$ η οποία είναι χρήσιμη στις εφαρμογές, ειδικά όταν πρόκειται για τριγωνομετρικά πολυώνυμα που παίρνουν πραγματικές τιμές.

Θεώρημα 2.1   Οι συναρτήσεις

  $\displaystyle 1,$ (2.6)
  $\displaystyle \frac{1}{\sqrt2}\cos{x}, \frac{1}{\sqrt2}\cos{2x}, \ldots, \frac{1}{\sqrt2}\cos{Nx},$    
  $\displaystyle \frac{1}{\sqrt2}\sin{x}, \frac{1}{\sqrt2}\sin{2x}, \ldots, \frac{1}{\sqrt2}\sin{Nx}$    

είναι μια ορθοκανονική βάση του $ {\mathcal P}_N$. Επιπλέον, αν μια συνάρτηση $ p(x) \in {\mathcal P}_N$ παίρνει πραγματικές τιμές τότε οι συντελεστές της ως προς αυτή τη βάση είναι πραγματικοί.

Από το Πρόβλημα 2.10 έχουμε την ορθογωνιότητα των συναρτήσεων ανά δύο. Το ότι κάθε μια από αυτές έχει 2-νόρμα ίση με το 1 είναι ένας απλός υπολογισμός που στην περίπτωση της σταθερής συνάρτησης είναι προφανής και σε όλες τις άλλες περιπτώσεις ανάγεται στον τύπο

$\displaystyle \int_0^{2\pi}\cos^2 x dx = \int_0^{2\pi} \sin^2 x dx = \pi.
$

Για να αποδείξουμε το δεύτερο μέρος του Θεωρήματος θα υπολογίσουμε ακριβώς τους συντελεστές του πολυωνύμου

$\displaystyle p(x)=\sum_{k=-N}^N p_k e^{ikx}$

ως πρός τη βάση (2.6). Έστω λοιπόν ότι

$\displaystyle p(x)$ $\displaystyle = a_0 + \sum_{k=1}^N (a_k \cos{kx} + b_k \sin{kx})$ (2.7)
  $\displaystyle = a_0 + \sum_{k=1}^N \left( a_k \frac{e^{ikx}+e^{-ikx}}{2} + b_k \frac{a^{ikx}-e^{-ikx}}{2i} \right).$ (2.8)

Εξισώνοντας (από τη μοναδικότητα των συντελεστών των τριγωνομετρικών πολυωνύμων) τους συντελεστές των δύο μελών, και παρατηρώντας ότι οι συναρτήσεις $ e^{ikx}$ και $ e^{-ikx}$ εμφανίζονται μόνο στον $ k$ προσθετέο του αθροίσματος (2.8), παίρνουμε ότι $ p_0 = a_0$ και για $ k=1,2,\ldots,N$ ότι

$\displaystyle p_k e^{ikx} + p_{-k} e^{-ikx} = a_k \frac{e^{ikx}+e^{-ikx}}{2} + b_k \frac{a^{ikx}-e^{-ikx}}{2i}.
$

Κάνοντας πράξεις αυτό γράφεται

$\displaystyle (p_k - a_k/2 -b_k/(2i)) e^{ikx} + (p_{-k} - a_k/2 + b_k/(2i)) e^{-ikx} = 0.
$

Από τη μοναδικότητα παίρνουμε τις δύο εξισώσεις

$\displaystyle p_k = a_k/2 + b_k/(2i),   p_{-k} = a_k/2 - b_k/(2i).$ (2.9)

Λύνοντας ως προς τις ποσότητες $ a_k, b_k$ παίρνουμε

$\displaystyle a_k = p_k + p_{-k},   b_k = i(p_k-p_{-k}).$ (2.10)

Οι τύποι (2.9) και (2.10), μαζί με τον $ a_0=p_0$, μας λένε το πώς γράφουμε μια συνάρτηση $ p(x)$ στην τριγωνομετρική βάση (2.6) αν την έχουμε γραμμένη ως προς την εκθετική βάση και το αντίστροφο.

Τέλος, ας υποθέσουμε ότι η συνάρτηση $ p(x)$ παίρνει πραγματικές τιμές. Έχουμε τότε

$\displaystyle a_0$ $\displaystyle = p(0) = {\langle p(x), 1 \rangle}$    
$\displaystyle a_k$ $\displaystyle = p_k+p_{-k} = {\langle (p(x), e^{ikx} + e^{-ikx} \rangle} = 2{\langle p(x), \cos{kx} \rangle}$    
$\displaystyle b_k$ $\displaystyle = i(p_k-p_{-k}) = i {\langle p(x), e^{ikx}-e^{-ikx} \rangle} = -2{\langle p(x), \sin x \rangle}.$    

Όλα τα εσωτερικά γινόμενα που εμφανίζονται παραπάνω έχουν και τους δύο παράγοντες πραγματικές συναρτήσεις, άρα είναι πραγματικά.

Mihalis Kolountzakis 2015-11-28