4.2 Συνέλιξη στην ευθεία

Ας είναι $ R>0$ και $ f,g:{\mathbb{R}}\to{\mathbb{C}}$ δύο συνεχείς συναρτήσεις που είναι 0 έξω από το διάστημα $ [-R,R]$. Σε αυτή την περίπτωση η συνέλιξη των δύο συναρτήσεων

$\displaystyle f*g(x) = \int_{-\infty}^\infty f(y)g(x-y) dy$ (4.5)

είναι χωρίς αμφιβολία καλώς ορισμένη αφού ο ολοκληρωτέος $ f(y)g(x-y)$ είναι, για κάθε σταθερό $ x$, μια συνεχής συνάρτηση του $ y$ που μηδενίζεται έξω από το διάστημα $ [-R,R]$, και άρα το ολοκλήρωμα στον ορισμό (4.5) είναι το ίδιο με το $ \int_{-R}^R f(y)g(x-y) dy$.

Εύκολα βλέπουμε σε αυτή την περίπτωση ότι η συνάρτηση $ f*g(x)$ μηδενίζεται για $ {\left\vert{x}\right\vert}>2R$ αφού σε αυτή την περίπτωση δεν γίνεται ταυτόχρονα να έχουμε $ y \in [-R,R]$ και $ x-y \in [-R,R]$, και άρα ο ολοκληρωτέος μηδενίζεται ταυτοτικά.

Με την αλλαγή μεταβλητής $ u = x-y$ στο ολοκλήρωμα (4.5) βλέπουμε ότι η συνέλιξη είναι αντιμεταθετική πράξη

$\displaystyle f*g(x) = g*f(x).
$

Η συνέχεια των $ f$ και $ g$ που ζητήσαμε εδώ να έχουμε είναι κάπως περιοριστική. Μήπως θα μπορούσαν οι $ f$ και $ g$ να είναι απλώς ολοκληρώσιμες; Το απλό παράδειγμα των ολοκληρωσίμων συναρτήσεων

$\displaystyle f(x) = g(x) =
\begin{cases}0 & \alpha\nu  x=0  \eta  {\left\v...
...}\right\vert}}} & \gamma\iota\alpha  0<{\left\vert{x}\right\vert}<1\end{cases}$

μας δείχνει ότι τα πράγματα δεν είναι τόσο απλά αφού ο υπολογισμός του $ f*g(0)$ καταλήγει στο ολοκλήρωμα της $ 1/{\left\vert{x}\right\vert}$ στο $ (-1,1)$ το οποίο είναι $ +\infty$.

Άσκηση 4.1   Δείξτε παρ' όλα αυτά ότι, για τις συναρτήσεις $ f$ και $ g$ που ορίσαμε παραπάνω ότι, η ποσότητα $ f*g(x)$ είναι καλώς ορισμένη (η υπό ολοκλήρωση συνάρτηση είναι ολοκληρώσιμη) για κάθε $ x \neq 0$.

Αν θέλουμε το ολοκλήρωμα στην (4.5) πάντα να συγκλίνει μια φυσιολογική συνθήκη για τις $ f$ και $ g$ είναι να έχουμε την μια από αυτές ολοκληρώσιμη και την άλλη φραγμένη. Αν για παράδειγμα η $ f$ είναι μια ολοκληρώσιμη συνάρτηση στο $ {\mathbb{R}}$ (δεν υποθέτουμε ότι μηδενίζεται έξω από κάποιο διάστημα) και $ {\left\vert{g(x)}\right\vert} \le M < +\infty$ για κάθε $ x \in {\mathbb{R}}$ τότε εύκολα βλέπουμε ότι η $ f*g$ ορίζεται παντού και είναι μια φραγμένη συνάρτηση

$\displaystyle {\left\vert{f*g(x)}\right\vert} = {\left\vert{\int_{-\infty}^\inf...
...\right\vert} dy
\le M \int_{-\infty}^\infty{\left\vert{f(y)}\right\vert} dy
$

και το δεξί μέλος της ανισότητας είναι μια πεπερασμένη σταθερά αφού η $ f$ έχει υποτεθεί ολοκληρώσιμη.

Αν όμως είμαστε διατεθειμένοι να αποδεχτούμε η συνάρτηση $ f*g$ να ορίζεται σχεδόν παντού τότε αρκεί $ f,g \in L^1({\mathbb{R}})$.

Θεώρημα 4.2   Αν $ f,g \in L^1({\mathbb{R}})$ τότε σχεδόν για κάθε $ x \in {\mathbb{R}}$ η συνάρτηση $ F(x, y)=f(y)g(x-y)$ είναι ολοκληρώσιμη ως προς $ y$, άρα η συνάρτηση $ f*g(x)$ ορίζεται σχεδόν για κάθε $ x \in {\mathbb{R}}$ και

$\displaystyle {\left\Vert{f*g}\right\Vert _{1}} \le {\left\Vert{f}\right\Vert _{1}} {\left\Vert{g}\right\Vert _{1}}.
$





Απόδειξη.
Έχουμε

$\displaystyle \int\int{\left\vert{F(x, y)}\right\vert} dy dx$ $\displaystyle = \int\int {\left\vert{f(y)}\right\vert} {\left\vert{g(x-y)}\right\vert} dx dy$    
  $\displaystyle = \int {\left\vert{f(y)}\right\vert}\int{\left\vert{g(x-y)}\right\vert} dx dy$    
  $\displaystyle = \int {\left\vert{f(y)}\right\vert} dy \int{\left\vert{g(x)}\right\vert} dx$    
  $\displaystyle = {\left\Vert{f}\right\Vert _{1}}{\left\Vert{g}\right\Vert _{1}}.$    

Για την εναλλαγή της σειράς ολοκλήρωσης χρησιμοποιήσαμε το θεώρημα του Fubini (Θεώρημα 1.4).

Άρα η ποσότητα $ \int F(x, y)  dy$ είναι πεπερασμένη σχεδόν για κάθε $ x \in {\mathbb{R}}$, όπως θέλαμε να αποδείξουμε.



Mihalis Kolountzakis 2015-11-28